高等代数(一)考试试题及参考答案
高等代数(一)试题及参考答案汇编
高等代数（一）考试试卷一、单选题（每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中。
错选、多选、不选均不给分，6小题，每小题4分，共24分）1. 以下乘积中（ ）是4阶行列式ij D a =展开式中取负号的项.A 、11223344a a a a .B 、14233142a a a a .C 、12233144a a a a .D 、23413214a a a a .2．行列式13402324a --中元素a 的代数余子式是（ ）.A 、0324-. B 、0324--. C 、1403-. D 、1403. 3．设,A B 都是n 阶矩阵，若AB O =，则正确的是（ ）. A 、()()r A r B n +≤. B 、0A =. C 、A O =或B O =. D 、0A ≠.4．下列向量组中，线性无关的是（ ）.A 、{}0.B 、{},,αβ0.C 、{}12,,,r ααα，其中12m αα=.D 、{}12,,,r ααα，其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合.5．设A 是n 阶矩阵且()r A r n =<，则A 中（ ）.A 、必有r 个行向量线性无关.B 、任意r 个行向量线性无关.C 、任意r 个行向量构成一个极大线性无关组.D 、任意一个行向量都能被其它r 个行向量线性表出.6．n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）条件. A 、充要. B 、充分非必要. C 、必要非充分. D 、非充分非必要. 二、判断题（正确的打√，错误的打×，5小题，每小题2分，共10分）.1．若A 为n 阶矩阵，k 为非零常数，则kA k A =. （ ） 2．若两个向量组等价，则它们包含的向量个数相同. （ ） 3．对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变. （ ） 4．正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵. （ ） 5．任何数域都包含有理数域. （ ） 三、填空题（每空4分，共24分）.1．行列式000100200100D n n==- . 2．已知5(1,0,1)3(1,0,2)(1,3,1),(4,2,1)αβ---=--=-，则α= ，(,)αβ= .3．矩阵12311211022584311112A ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦，则()r A = . 4．设线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解，其系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩分别为s 和t ，则s 与t 的大小关系是 .5．设111123111,124111051A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，则1A B -= .四、计算题（4小题，共42分）1．计算行列式（1）111111111111a a a a；（2）111116541362516121612564.（每小题6分，共12分）2．用基础解系表出线性方程组123451234512345123452321236222223517105x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+--+=⎩的全部解.（10分）3．求与向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)ααα==-=-等价的正交单位向量组.（10分）4．求矩阵211020413A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征根和特征向量.（10分）一、单选题（每题4分，共24分）二、判断题（每题2分，共10分）三、填空题（每空4分，共24分）1．(1)2(1)!n n n --⋅； 2．（1 （2）0；3．3； 4．s t =；5.351222312212112-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 四、计算题（共42分）1．（12分，每小题各6分） (1)解：11131111111111311111(3)111311111111311111a a a a a a a a a a a aa a a++==+++ ..............（3分）31111010(3)(3)(1)001001a a a a a a -=+=+--- ...................（3分）注：中间步骤形式多样，可酌情加分(2)解：222233331111111116541654136251616541216125641654=，此行列式为范德蒙行列式 ......（3分）进而2222333311111654=(61)(51)(41)(56)(46)(45)12016541654=------=-原式 .......（3分） 2．（10分）解：用初等变换把增广矩阵化为阶梯形1213211213211213212111360317740115411122220115410317742351710501711630171163---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎣⎦⎣⎦⎣⎦1213211213210115410115410317740048510171163000000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦..................（3分） 得同解方程组12345234534523215414851x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=-⎨⎪+-=-⎩取45,x x 为自由未知量，得方程的一般解为12345234534521321544185x x x x x x x x x x x x++=+-⎧⎪-=+-⎨⎪=--+⎩（其中45,x x 为自由未知量） 将450,0x x ==代入得特解01551(,,,0,0)444γ=--. ................（3分）用同样初等变换，得到与导出组同解的方程组12345234534523205404850x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩仍取45,x x 为自由未知量，得一般解12345234534523254485x x x x x x x x x x x x++=-⎧⎪-=-⎨⎪=-+⎩，将451,0x x ==和450,4x x ==分别代入得到一个基础解系：12(1,3,2,1,0),(9,11,5,0,4)ηη=--=- ...............（3分）所以，原方程组的全部解为01122k k γηη++，12,k k 为数域P 中任意数。
山西师大高等代数2017-2018(1)期末试题_pdf
院系：_____________专业：_______________班级：_________学号：___________姓名：_____________山西师范大学2017——2018学年第一学期期末考试试题（卷）密封线密封线以内不准作任何标记密封线山西师范大学期末考试试题（卷）2017—2018学年第一学期院系：数计学院专业：数学与应用数学信息与计算科学考试科目：高等代数1题号一二三四五六七八总分分数评卷人复查人一.判断题（每小题2分，共20分）1.设F 是至少包含两个数的数集,若F 中任两数的差和商(除数不为零)仍属于F ,则F 为数域.（）2.若齐次线性方程组有一个非零解，则它有无穷多个解.（）3.设A 为一个m n ⨯矩阵且()R A m n =<,则A 的任意一个m 级子式均不为0.（）4.秩相等的两个向量组等价.（）5.如果矩阵A 与B 等价，那么A 与B 的行向量组等价（）6.对称矩阵的乘积未必为对称矩阵.（）7.若一个复多项式有重因式,则这个复多项式一定有重根.（）8.若矩阵A 的所有行向量组线性无关,则A 为满秩矩阵.（）9.若n 维向量组12,,,s αααL 线性无关，则n 维向量组121,,,,,s s m ααααα+L L 也线性无关（）10.矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.（）二.填空题（每空3分，共15分）.1.设A 为3级方阵且||3A =,则||A *=（）.2.设行列式31243333,00212412D =则其第三行各元代数余子式的和为().3.设102123,014A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则A 可以写成一个对称矩阵()与一个反对称矩阵()的和.4.设向量组123(,0,),(,,0),(0,,),a c b c a b ααα===线性无关,则,,a b c 必须满足关系式().三.选择题（每小题3分，共15分）1.下列矩阵不是初等矩阵的是()A.100001010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B.100010004⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C.140001010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭D.140010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2.若n 级矩阵A 的秩为()43≥-n n ，则A 的伴随矩阵*A 的秩为（）A 2-nB 0C1D 不确定3.要使()11,0,2ξ'=，()20,1,1ξ'=-都是线性方程组0Ax =的解，只要系数矩阵A 为（）A.201011-⎛⎫ ⎪⎝⎭； B.()2,1,1-；C.102011-⎛⎫⎪-⎝⎭； D.011422011-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭4.设,,A B C 都是n 级方阵.若,B E AB C A CA =+=+,则B C -=()A.EB.E- C.AD.A-5.若向量组,,αβγ线性无关,,,αβδ线性相关,则()A.α必可由,,βγδ线性表出;B.β必不可由,,βγδ线性表出;C.δ必可由,,αβγ线性表出;D.δ必不可由,,αβγ线性表出;四．计算题（共30分）1.(7分)已知11(1,2,3),(1,,),23αβ==设,TA αβ=计算nA .2.计算(8分)设211024141,426112A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪=--= ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭.若,XA B X =+求矩阵.X 3.讨论下列方程组,当λ取何值时,方程组无解,有唯一解,有无穷多个解?并在有无穷多个解的情况下用其导出组的基础解系表示出其全部解.(15分)12312331231x x x x x x x x x λλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩五．证明题（每小题10分，共20分）1.设12,,,t ηηηL 是某一非齐次线性方程组的解，证明：1122t t μημημη+++L 也是该非齐次线性方程组的一个解的充要条件是121t μμμ+++=L 。
(word版)厦门大学参考答案0809学年第一学期《高等代数》期末考试卷
08-09学年第一学期厦门大学?高等代数?期末试卷 厦门大学?高等代数?课程试卷数学科学学院各系2021年级各专业信息科学与技术学院 计算机科学 系2021年级CST 专业特别说明：答案写在答题纸上一、单项选择题〔32分.共8题,每题4分〕以下说法错误的选项是___B____.假设向量组1,2,3线性无关，那么其中任意两个向量线性无关；B ) 假设向量组1, 2,3 中任意两个向量线性无关，那么1,2,3线性无关；C) 向量组 1 2,2 3,3 1线性相关；D) 假设向量组1,2,3 线性无关，那么1, 1 2, 123线性无关.2. 设n 维列向量1,2,...,m (m n)线性无关,那么n 维列向量1,2,...,m线性无关的充要条件是___D____.A) 向量组 1,2,..., m 可由向量组1, 2,..., m 线性表示；B) 向量组 1, 2,..., m 可由向量组 1,2,..., m 线性表示；C) 向量组 1,2,..., m 与向量组 1, 2,...,m 等价；D)矩阵A (1, 2,..., m )与矩阵B (1, 2,..., m )相抵. 3.设线性方程组 Ax 0的解都是线性方程组 Bx 0的解，那么__C__.A)r(A) r(B)；B)r(A) r(B)；C)r(A) r(B)；D)r(A) r(B).4. 设n 阶方阵A 的伴随矩阵 A * 0，非齐次线性方程组 Ax b 有无穷多组解，那么对应的齐次线性方程组Ax 0的根底解系__B__.A)不存在； B)仅含一个非零解向量；C)含有两个线性无关的解向量； D)含有三个线性无关的解向量 .以下子集能构成R 22的子空间的是___B____.A)122 } ；B)V2{A|tr(A)0,AR 22}；V{A||A|0,AR108-09学年第一学期厦门大学?高等代数?期末试卷C)V 3 {A|A 2A,A R 22}；D)V 4 {A|A A 或 A,A R 22}.6.设V 是数域K 上的线性空间,V 上的线性变换在基 1,2,...,n 下的矩阵为A 且|A|2，假设在基 n ,n1,...,1下的矩阵为B,那么|B|___B___.A)2n；B)2； C)1； D)不能确定.27.设V 是n 维向量空间， 和 是V 上的线性变换，那么 dimImdimIm的充分必要条件是_____D ___.A) 和都是可逆变换； B)Ker=Ker ；C)Im Im ；D) 和 在任一组基下的表示矩阵的秩相同.8. 设 是线性空间 V 到U 的同构映射,那么以下命题中正确的有 ___D___个.(Ⅰ) 为可逆线性映射；(Ⅱ)假设W 是V 的s 维子空间,那么(W )是U 的s 维子空间；(Ⅲ) 在给定基下的表示矩阵为可逆阵；(Ⅳ)假设V=V 1 V 2,那么(V 1V 2)(V 1)(V 2).A)1B)2C)3D)4二、填空题〔32分.共8题,每题4分〕1 0 0 3假设矩阵A( 1,2,3,0 0 2 4 1,2,3,4的1. 4)经过行初等变换化为1 0 ,那么向量组0 50 0一个极大无关组是1,2,3,其余向量由此极大无关组线性表示的表示式为4315223.2. 设3 维向量空间的一组基为1(1,1,0),2(1,0,1),3(0,1,1)，那么向量 (2,0,0) 在这组基1下的坐标为1.13. 设V 1，V 2均为线性空间 V 的子空间，那么 L(V 1 V 2)V 1 V 2.208-09学年第一学期厦门大学?高等代数?期末试卷4. 数域K 上所有三阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是 _3_.而E 12E 21,E13E 31,E 23E 32是它的一组基.5. K 12上的线性变换定义如下：((a,b))(0,a)，那么Ker={(0,a)|aK}.Im={(0,a)|aK}.6. 设是数域K 上n 维线性空间 V 到m 维线性空间U 的线性映射, 那么为满射的充分必要条件是对任意 U,存在V,使得();Im U;dimImm;.〔请写出两个〕dimKer nm;在任意基下的矩阵都是行满秩的 ; 在某个基下的矩阵是行满秩的 〔.其中任两个均可〕7. 设1,2,...,n 和1, 2,..., n 是线性空间 V 的两组基，从 1,2,..., n到1,2,...,n 的过渡矩阵为P .假设 是V 上的线性变换且 (i ) i, i1,2,...,n ，那么 在基1, 2,..., n 下的表示矩阵是_P_.8. 设是线性空间V 上的线性变换，在基1, 2,...,n 下的表示矩阵为 A B ，其中A 为rr 矩C阵，那么存在V 的一个非平凡-不变子空间L(1,,r ).三、(8 分)设线性空间V 的向量组1,2,..., m 线性无关，V ，考虑向量组,1,2,...,m .求证：或者该向量组线性无关，或者 可由 1,2,...,m 线性表示.证明：假设,1,,m 线性相关，那么存在不全为0的数k 0,k 1,,k m 使得k 0+k 11+k mm0．我们断言，k 0 0．事实上，假设k 0=0，那么k 11+k mm 0．由1, 2,...,m 线性无关知k 1==k m =0．于是，k 0=k 1==k m =0．这与k 0,k 1, ,k m 不全为０相矛盾．因此，k 00．此时，k 1 k m m ．1k 0k 0从而，或者该向量组线性无关，或者可由1, 2,..., m 线性表示．四、(10分)设V 1,V 2分别是数域K 上的齐次线性方程组x 1x 2x n 与x 1x 2x n 0的解空间.证明K n1V 1V 2.3a1证明：法一：一方面，a2V1V2，有a1a2a n，那么a1a2a n0．故a1a2a n0a nV1V20．n n n na1a i a ia1a i a i i1a i1i1a i1n1n n1na2K n1，存在a2另一方面，V1,V2，使得＝＋n n n na a i a i a n a i a ini1i1i1i1a n a nn n n n 即K n1V1V2．因此，K n1V1V2．a1法二：一方面，a2a1a2a n，那么a1a2a n0．故V1V20．V1V2，有a2a1a n0a n11000另一方面，由于V1为方程组Ax0的解空间，其中A 01100，V2为方程组00011(n1)nBx0的解空间，其中B(1,1,,1)1n，所以dimV11,dimV2n1．故dimV1dimV2dimK n1．从而，K n1V1V2．11000法三：一方面，由于V1为方程组Ax0的解空间，其中A 01100，V2为方00011(n1)n程组Bx0的解空间，其中B(1,1,,1)1n，所以dimV11,dimV2n1．故dimV1dimV2dimK n1．4nnnna 1a ia ia 1a ia ii1i1i 1i1na 1na 1a 2Kn1，存在na 2n另一方面，V 1,V 2，使得＝＋nnnna na ia ia na ia ii1i1i 1i1n a nna nnn即K n1V 1 V 2．因此，K n1V 1V 2．五、(10分)设AK mn .证明：r(A)r 的充分必要条件是存在BK mr，CK rn ，使得r(B)r(C)r 且ABC .证明： 充分性： 由于BK mr ，C K rn 满足r(B)r(C)r 且ABC ，所以rr(B)r(C)rr(A)r(BC)r(B)r故r(A)r ．必要性： 由于r(A)r，所以存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q 使得AI r 0PQ ．令BPI r ,C(I r ,0)Q，那么BK mr ，CKrn满足r(B)r(C)r 且ABC ．六、(8分)设V,U,W 是有限维线性空间，:V U ，:WU 是线性映射.求证：存在线性映射:VW 使得的充分必要条件是 Im Im .证明： 充分性： 法一：取V 的一组基 1,2,, n ，由于ImIm，所以(i ) Im，1 in ，即存在iW 使得(i )(i )．定义线性映射:V W 满足(i )i,1in ，那么(i ) (i )( i ), 1 in ．因此，．法二：取V 的一组基1,2,,n ，U 的一组基1,2,,m ，W 的一组基1,2,,s ．设(1,2, ,n ) (1,2, ,m )A mn(1,2,,s )(1,2,,m )B ms5其中A(1,2,,n ),B(1,2, ,s )．由于ImIm ，所以L(1,2,s,n)L1(,2 ,s ，, 即)1 jn, jciji ．取i1C(c ij )s n ，那么A BC ．定义线性映射:V W 满足 (1, 2,, n )(1,2,, s )C ，那么.必要性： 对任意 Im，存在V 使得( )．由于，所以( )(())Im从而，ImIm．附加题:(本局部不计入总分)设V,U,W是有限维线性空间且dimVdimW ，:V U ， :W U 是线性映射.证明：存在可逆线性映射:V W 使得的充分必要条件是 ImIm.证明：充分性：法一：由于dimVdWim 且Im Im ，所以由维数公式知：dimKerdimKe ．r 取Ker的一组基1,2,,r ；Ker 的一组基1,2,, r ，将其扩充为V的一组基1,2,,r ,r1, n ，那么(r1),(n )是Im的一组基．由于Im Im ，所以(r 1),( n )是Im的一组基．设(i )( i ), r 1 i n ，由于 (r1), , (n )线性无关，所以r1,,n 线性无关．我们断言， 1, 2, ,r ,r1,,n 线性无关．事实上，假设k 11k 22krrk r1r 1knn0，那么将作用于上式得k r1(r1) k n (n )0．由于(r1), ,(n )线性无关，所以k r1k n 0．于是k 11 k 22k r r ＝０．又1, 2, , r 是Ker的一组基，故k 1k r从而，1, 2,,r ,r1,,n 线性无关．注意到dimW n ，故1,2,,r ,r1,,n 是W 的一组基．定义线性映射 :V W 满足(i )i ,1 i n ．由于1,2,,n 是V 的一组基，1,2,,n 是W的一组基，故 可逆．又(i )( i)( i ), 1i n ，从而．法二：取V 的一组基1,2,, n ，U 的一组基1,2,,s ，W 的一组基1, 2,, n ．设(1,2, ,n )(1,2,,s )A sn6(1,2,,n)(1,2,,s)B sn且dimIm dimIm r，那么r(A)r(B)r．于是，存在n阶可逆矩阵P,Q使得AP(A1,0), BQ(B1,0)，其中A1,B1K sr列满秩．由于Im Im，所以同上题证明可知存在n阶矩阵C使得A BC，那么(A1,0)AP BQ(Q1CP)．设Q1CP X11X12，其中X11是r阶方阵，那么X21X22(A1,0)(B1,0)X11X12．从而，A1B1X11．又A1列满秩，所以存在A2K rs使得A2A1I r．于X21X22是，I r A2A1(A2B1)X11，即X11是可逆矩阵．因此，存在可逆矩阵X Q X110P1使得0I n rBX BQ X110P1(B1,0)X110P1B1X11,0P1(A1,0)P1A0I nr0I nr定义线性映射:V W满足(1,2,,n)(1,2,,n)X由于X可逆且ABX，故可逆且．必要性：由于，所以同上题证明可知Im Im．又由:V W可逆可知1，所以Im Im．从而，Im Im．7。
山东师范大学21年下半年高等代数考试题
一.单项选择题答题要求：1.A.B.C.两个子空间的并还是子空间D.两个维数相同的有限维空间同构.参考答案：C2.A.B.C.D.参考答案：B3.A.B.C.D.参考答案：C 4.A.B.C.D.0参考答案：C 5.A.B.C.D.参考答案：C 6.A.B.C.D.参考答案：D7.A.0B.1C.2D.3参考答案：C8.A.B.C.D.参考答案：B 9.A.B.C.D.参考答案：A 10.A.正定矩阵B.正交矩阵C.单位矩阵D.对称矩阵参考答案：C11.A.正定二次型B.半正定二次型C.半负定二次型D.不定二次型参考答案：A12.A.B.C.D.参考答案：B13.A.B.C.D.参考答案：C 14.A.B.C.D.参考答案：D15.A.A为对称矩阵B.P为实数域C.A 有n个线性无关的特征向量D.A是正交矩阵参考答案：C16.A.B.C.D.参考答案：C17.A.B.C.D.参考答案：D 18.A.B.C.D.参考答案：A 19.A.单位矩阵B.正定矩阵C.零矩阵D.对角矩阵参考答案：D20.A.B.C.D.参考答案：A21.同一线性变换在不同基下的矩阵( ).A.相等B.合同C.等价D.相似参考答案：D22.A.1B.2C.3D.不确定参考答案：C23.A.B.C.D.参考答案：D24.A.B.C.D.参考答案：A25.对于线性变换，下列叙述正确的是 ( ).A.线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组B. 若两个线性变换的乘积为零变换，则必有其中一个线性变换是零变换 C.线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组 D.以上都不对参考答案：C26.欧氏空间的度量矩阵为（）A.正定矩阵B.负定矩阵C.半正定矩阵D.半负定矩阵参考答案：A27.A.B.C.D.参考答案：A28.A.B.C.D.参考答案：D29.A.正定矩阵B.正交矩阵C.单位矩阵D.对称矩阵参考答案：C30.A.B.C.D.参考答案：C 31.A.B.C.D.参考答案：B 32.A.A是单射B.A的秩为nC.A是双射D.参考答案：D33.A.B.C.D.参考答案：C34.A.4B.C.D.8参考答案：C35.设数字矩阵A和B相似，则下列说法不正确的是（）A.矩阵A和B有相同的特征多项式B.矩阵A和B有相同的不变因子C.D.参考答案：C36.A.零矩阵B.负定矩阵C.单位矩阵D.参考答案：D37.A.1B.2C.5D.9参考答案：A38.下列论断正确的是( ).A.两两正交的向量组必线性无关B.C.由单个非零向量构成的向量组不是正交向量组D.参考答案：D39.A.B.C. 它的特征根一定是整数D.属于不同特征根的特征向量必定线性无关，但不一定正交参考答案：B40.A.B.C.D.参考答案：D二.多选题答题要求：41.(2分)正确错误参考答案：错误42.(2分)正确错误参考答案：错误43.(2分)相似的矩阵其特征值和特征向量相同.( ) 正确错误参考答案：错误44.(2分)正交变换的乘积仍是正交变换. ( ) 正确错误参考答案：正确45.(2分)正确错误参考答案：错误46.(2分)两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们的维数相同.( ) 正确错误参考答案：正确47.(2分)若两个矩阵相似，则它们的秩相等，反之亦然. ( ) 正确错误参考答案：错误48.(2分)n维线性空间的线性变换在某组基下的矩阵是对角阵的充分必要条件是它有n个不同的特征值. ( )正确错误参考答案：错误49.(2分)可以用非退化线性替换将任意二次型化为标准形，且标准形是唯一的. ( )正确错误参考答案：错误50.(2分)若维V=n,则V中任何n个线性无关的向量都是V的基..( ) 正确错误参考答案：正确51.(2分)正确错误参考答案：错误52.(2分)正确错误参考答案：错误53.(2分)保持向量的长度不变的变换一定保持向量的内积不变.( ) 正确错误参考答案：错误54.(2分)正确错误参考答案：正确55.(2分)若矩阵A,B正定，则AB也正定.( ) 正确错误参考答案：错误56.(2分)两个矩阵的秩相同，则它们必等价. ( )正确错误参考答案：错误57.(2分)正确错误参考答案：正确58.(2分)可逆的正交变换的逆变换仍是正交变换. ( ) 正确错误参考答案：正确59.(2分)任意一个线性变换都有特征根和特征向量。
福州大学2008年高等代数考研试题A卷及解答 (1)
福州大学2008年招收硕士研究生入学考试试卷招生学院_______________招生专业________________考试科目________________科目编号________________本卷共十题，每题15分一、填空题（每小题4分，满分20分）1、多项式32()61514f x x x x =-+-的有理根是_________；【答案解析】：22、矩阵012114210A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的逆矩阵1A -=_________；【答案解析】：124211221232⎛⎫- ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭3、设P 为数域，在线性空间[]n P x 中，多项式()f x 在基1{1,(),...,()}n x a x a ---下的坐标是_________；【答案解析】：(1)()()((),(),,...,)2!(1)!n f a f a f a f a n -'''-4、在欧式空间4R 中，向量1(1,2,2,3)α=，2(3,1,5,1)α=的夹角为________；【答案解析】：455、已知1101A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则nA =________；【答案解析】：101n ⎛⎫⎪⎝⎭二、简答题（每小题5分，满分25分）6、求非齐次线性方程组1231234123412344212357375822268x x x x x x x x x x x x x x x -+=-⎧⎪-+++=⎪⎨-+-=-⎪⎪---=-⎩的通解；【考察重点】：求非齐次线性方程组的通解，属于简单计算题，掌握知识点即可。
【答案解析】：解：142011420110245231570555501111371580555500000222680666600000A -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭可知原方程组与下面方程组同解1342342451x x x x x x --=-⎧⎨-++=⎩令340x x ==，得原方程组的一个特解()5100--且原方程组的两个基础解系为()()123010,1001αα=-=-所以原方程组的通解为()()()12510030101001x k k =--+-+-其中1k ，2k 为任意常数。
2006年北京大学高等代数真题解答
2006年北京大学研究生入学考试高等代数与解析几何试题解答高等代数部分（100分）1.(16分)(1) 设,A B 分别是数域K 上,s n s m ××矩阵，叙述矩阵方程AX B =有解的充要条件，并且给予证明。
解: 方程AX B =有解的充分必要条件是: ()(,)r A r A B =. 令1(,,)m B ββ=", 其中k β为列向量. 则矩阵方程AX B =有解⇔方程组12,,,,k k Ay k m β=="有解. ⇔A 的列向量组构成的向量组与(,)A B 的列向量组构成的向量组等价. ⇔()(,)r A r A B =.注: 方程有解的一个等价含义是可由列向量线性表示, 从而转化为等价向量组上来.(2) 设A 是数域K 上s n ×列满秩矩阵，试问：方程n XA E =是否有解？有解，写出它的解集；无解，说明理由。
解:方程n XA E =有解. 理由: 因为A 列满秩, 所以()()Tr A r A n ==.又(,)Tn r A E n =, 因此()(,)TTn r A r A E =,从而Tn A Y E =有解,两边取转置可知方程n XA E =有解.我个人觉得本题似乎考察的是:广义逆矩阵方面的知识, 如果大家对这部分知识不熟悉, 建议大家去看看丘维声老先生编著的<<高等代数>>.矩阵方程AXA A =的解X A −=一般称为A 的广义逆矩阵. 广义逆是存在的, 对于本题因为A 是列满秩的, 故由相抵标准型知,存在可逆矩阵,P Q 满足n E PAQ O ⎛⎞⎟⎜⎟⎜=⎟⎜⎟⎟⎜⎝⎠, 则可以取(,)n A Q E O P −=. 此时X 的所有解为: (),n sn X A Z E AA KZ −−×∈=+−∀.因为 11(,)n n nE A Q E O PP Q A E O −−−⎛⎞⎟⎜⎟⎜==⎟⎜⎟⎟⎜⎝⎠, 所以A −是矩阵方程n A A E −=的特解. 下面证明XA O =的全部通解为: (),n sn X Z E AA Z K−×∈=−∀.首先, 由()()n Z E AA A Z A A O −−=−=,知()n Z E AA −−是方程的解. 其次, 任取XA O =的一个解0X , 则由0000()n X E AA X X AA X −−−=−=, 取0Z X =即可.由矩阵方程解的结构定理可知, (),n sn X Z E AA Z K −×∈=−∀(3) 设A 是数域K 上s n ×列满秩矩阵，试问：对于数域K 上任意s m ×矩阵B ,矩阵方程AX B =是否一定有解？当有解时，它有多少个解？求出它的解集。
高等代数期末考试题库及答案解析
高等代数期末考试题库及答案解析第一部分：选择题（共10题，每题2分，总分20分）1.高等代数是一门研究什么的数学学科？a.研究高等数学b.研究代数学c.研究线性代数d.研究数论–答案：b2.什么是矩阵的秩？a.矩阵中非零行的个数b.矩阵中非零列的个数c.矩阵中线性无关的行向量或列向量的最大个数d.矩阵的行数与列数的乘积3.给定一个方阵A，如果存在非零向量x使得Ax=0，那么矩阵A的秩为多少？a.0b.1c.方阵A的行数d.方阵A的列数–答案：a4.什么是特征值和特征向量？a.矩阵A与它的转置矩阵的乘积b.矩阵A的负特征值和负特征向量的乘积c.矩阵A与它的逆矩阵的乘积d.矩阵A与一个非零向量的乘积等于该向量的常数倍，并且这个向量成为特征向量，该常数成为特征值。
5.什么是行列式？a.矩阵A所有元素的和b.矩阵A中所有元素的乘积c.矩阵A的转置矩阵与它自身的乘积d.矩阵A的行列式是一个标量，表示矩阵A所表示的线性变换的倍数比例。
–答案：d6.什么是矩阵的逆？a.矩阵的行向量与列向量交换位置b.矩阵A的转置矩阵c.存在一个矩阵B，使得矩阵AB=BA=I（单位矩阵）d.矩阵的所有元素取倒数7.给定一个2x2矩阵A，当且仅当什么时候矩阵A可逆？a.矩阵A的行列式为0b.矩阵A的行列式不为0c.矩阵A的特征值为0d.矩阵A的特征值不为0–答案：b8.什么是矩阵的转置？a.矩阵的行与列互换b.矩阵的行与行互换c.矩阵的列与列互换d.矩阵的所有元素取相反数–答案：a9.对于矩阵A和B，满足AB=BA，则矩阵A和B是否可逆？a.可逆b.不可逆c.只有A可逆d.只有B可逆–答案：b10.什么是矩阵的秩-零空间定理？a.矩阵中非零行的个数加上零行的个数等于行数b.矩阵中非零列的个数加上零列的个数等于列数c.矩阵的秩加上矩阵的零空间的维数等于列数d.矩阵的秩加上矩阵的零空间的维数等于行数–答案：c第二部分：计算题（共4题，每题15分，总分60分）1.计算矩阵的秩： A = \[1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9\]–答案：矩阵A的秩为22.计算特征值和特征向量： A = \[1, 2; 3, 4\]–答案：矩阵A的特征值为5和-1，对应的特征向量分别为\[1; 1\]和\[-2; 1\]3.计算行列式： A = \[3, 1, 4; 1, 5, 9; 2, 6, 5\]–答案：矩阵A的行列式为-364.计算逆矩阵： A = \[1, 2; 3, 4\]–答案：矩阵A的逆矩阵为\[-2, 1/2; 3/2, -1/2\]第三部分：证明题（共2题，每题25分，总分50分）1.证明：当矩阵A为可逆矩阵时，有出现在矩阵A的行列式中的每个元素，将该元素与其对应的代数余子式相乘之后的结果，再求和得到的值等于矩阵A的行列式的值。
高等代数期末复习1
东 北 大学 秦 皇 岛 分 校课程名称： 高等代数〔二次型1〕 试卷： (A)答案 考试形式：闭卷授课专业： 信息与计算科学 考试日期： 2021年5月 试卷：共2页第五章 二次型1．〔Ⅰ〕用非退化线性交换化以下二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果： 1〕323121224x x x x x x ++-2）23322221214422x x x x x x x ++++ 3）32312122216223x x x x x x x x -+--4〕423243418228x x x x x x x x +++ 5〕434232413121x x x x x x x x x x x x +++++6〕4342324131212422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++ 7〕43322124232221222x x x x x x x x x x ++++++2．证明：秩等于r 的对称矩阵可以表成r 个秩等于1的对称矩阵之和。
3．证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21与 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n i ii λλλ21 合同，其中n i i i 21是n ,,2,1 的一个排列。
4．设A 是一个n 阶矩阵，证明：1〕A 是反对称矩阵当且仅当对任一个n 维向量X ，有0='A X X 。
2〕假如A 是对称矩阵，且对任一个n 维向量X 有0='A X X ，那么0=A 。
装订线装 订 线 内 不 要 答 题学 号姓 名班 级5．假如把实n 阶对称矩阵按合同分类，即两个实n 阶对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共有几类？6．证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是：它的秩等于2且符号差等于0，或者秩等于1。
7．判断以下二次型是否正定：1〕2332223121217160130481299x x x x x x x x x +-++- 2〕23322231212128224810x x x x x x x x x +-+++ 3〕jn j i i ni ixx x∑∑≤<≤=+1124〕11112+-==∑∑+i n i ini i xx x装订线装 订 线 内 不 要 答 题学 号姓 名班 级8．t 取什么值时，以下二次型是正定的：1〕3231212322214225x x x x x tx x x x +-+++ 2〕32312123222161024x x x x x tx x x x +++++9．证明：假如A 是正定矩阵，那么A 的主子式全大于零。
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一、单选题（每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题 号填入答题纸内相应的表格中。错选、多选、不选均不给分， 6小题，每小题4分，共 24分）
4.下列向量组中，线性无关的是（
A、｛0｝.
C、｛01,02,11）,%｝，来自中％=mD、｛a1。2,|||,%｝，其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合
5.设A是n阶矩阵且r（A） =rcn，则A中（）.
A、必有r个行向量线性无关.
B、任意r个行向量线性无关.
C、任意r个行向量构成一个极大线性无关组.
D、任意一个行向量都能被其它r个行向量线性表出.
6. n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（）条件.