高等代数期末卷 及答案

沈阳农业大学理学院第一学期期末考试

《高等代数》试卷（1）

一、 填空（共35分，每题5分）

1．设4

2

()49f x x x x =++-, 则(3)f -= 69_ .. 2．当t = _2,-2 .时, 3()3f x x x t =-+有重因式。

3. 令

()f x ,()g x 是两个多项式, 且33()()f x xg x +被21x x ++整除, 则

(1)f = 0_ , (1)g = _0 . 4. 行列式

31

0210

62

101132

1

-=-- 23 。 5. 矩阵的积41010311

1321022

011

34⎛⎫

⎪

--⎛⎫ ⎪= ⎪

⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭

9219911--⎛⎫

⎪⎝⎭。 6. 1

500031021-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

1

05011023⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪

- ⎪⎝⎭ 7. 1234123412342202220430

x x x x x x x x x x

x x +++=⎧⎪

+--=⎨⎪---=⎩的一般解为

134234523423x x x x x x ⎧

=+⎪⎪⎨

⎪=--⎪⎩

, 34,x x 任意取值。 二、（10分）令()f x ,()g x 是两个多项式。求证((),())1f x g x =当且仅当

(()(),()())1f x g x f x g x +=。

证：必要性. 设(()(),()())1f x g x f x g x +≠。（1%）

令()p x 为()(),()()f x g x f x g x +的不可约公因式，（1%）则由()|()()p x f x g x 知

()|()p x f x 或()|()p x g x 。(1%)

不妨设()|()p x f x ，再由()|(()())p x f x g x +得()|()p x g x 。故()|1p x 矛盾。(2%) 充分性. 由(()(),()())1f x g x f x g x +=知存在多项式(),()u x v x 使

()(()())()()()1u x f x g x v x f x g x ++=,(2%)

从而()()()(()()())1u x f x g x u x v x f x ++=,(2%) 故((),())1f x g x =。(1%)

三、(16分),a b 取何值时，线性方程组

有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。 解：

21212131011032100122201011000122a b a b a b b a b b b b b a b

b b b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+-⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+-⎝⎭

(5%)

当2

(1)0a b -≠时，有唯一解：1235222

, (1)+11

b b x x x a b b b ---=

==++，；

(4%) 当1b =时，有无穷解：3210,1,x x ax ==-1x 任意取值；

当a 0,5b ==时，有无穷解：14

12333,,,x k x x k ==-=任意取值；(3%)

当1b =-或0 1 5a b b =≠±≠且且时，无解。(4%) 四、(10分)设12,,...,n a a a 都是非零实数，证明

证: 对n 用数学归纳法。当n=1时 , 1111

1

1(1)D a a a =+=+, 结论成立(2%);

假设n-1时成立。则n 时

n D = 1

12233

111...

10111...

11111 (10111)

(11)

111...10111...11..........................

111...

1111...11n

a a a a a a a +++++++ =1211...n n n a a a a D --+ (4%)

现由归纳假设1112111

...1n n n i i D a a a a ---=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

∑

有 n D =1211...n n n a a a a D --+=112112111

......1n n n n i i

a a a a a a a a ---=⎛⎫++ ⎪⎝⎭

∑

=12111

...1n

n n i i

a a a a a -=⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

∑

,(3%) 故由归纳原理结论成立。(1%)

五、(10分)证明4

()1f x x =+在有理数域上不可约。

证: 令1x y =+得(1%)

432()()4642g y f x y y y y ==++++。(3%)

取素数p=2满足

2|2,2|4,2|6,2|4,且2不整除1, 4不整除2. (2%)

再据艾茵斯坦茵判别法知4

3

2

()4642g y y y y y =++++在有理数域上不可约，（2%） 从而4

()1f x x =+在有理数域上不可约（2%）

六、（9分）令A 为数域F 上秩为r 的m n ⨯矩阵，0r >。求证：存在秩 为r 的m r ⨯矩阵F 和秩为r 的r n ⨯矩阵G , 使得A FG =。

证: A 为数域F 上秩为r 的m n ⨯矩阵，0r >, 则存在m m ⨯可逆阵P 和n n ⨯可逆阵Q 使

00

0r

I A P Q ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

.（3%） 进而令

(),00r r

I F P G I Q ⎛⎫

== ⎪⎝⎭

（4%）

就得A FG =（2%） .