高等代数期末试卷

数学与应用数学专业本科期末考试试卷（A ）
课程名称： 高等代数 任课教师： 考试时间： 120 分钟 考试性质（学生填写“√”）：正常考试（ ）缓考补考（ ）重修（ ）提前修读（ ）
一、填空题（每小题2分）
1. 设n x f =∂))((, 且)()(x f x g , )()(x g x f , 则))((x g ∂=_________．
2. 在数域P 上有根, 但是在P 上不可约的多项式是__________多项式．
3. )(x f 是首项系数为1的实系数三次多项式. 若0)()3(==i f f , 则
)(x f =_________________．
4. 在行列式55
5115
11a a a a 中, 含有32a 且带有负号的项共有_________项．
5. 在行列式131402
1
b a -中, b 的代数余子式为-24, 则a =________．
6. 当矩阵A=______时, 秩A=0.
7. 已知A 为三阶矩阵, 且A =1, 则A 2-=_________．
8. 向量组{k ααα,,,21 }和{m βββ,,,21 }的秩分别是s 和t , 则{k αα,,1 ,
m ββ,,1 }的秩r 与s ,t 适合关系式____________．
9. 设A 为n 阶方阵, X 1, X 2均为方程组AX=B 的解, 且21X X ≠, 则A =____．
10. 设A, B 都是三阶方阵, 秩A=3, 秩B=2, 则秩(AB)=____________．
二、单选题（每小题2分）
）.
(A) S 1={Z n m m
n ∈,2
}; (B) S 2={Z b a bi a ∈+,};
(C) S 3={Z z nz ∈}; (D) S 4={Q b a b a ∈+,2}．
2. 设0)(≠x f , 且)())(),((x d x g x f =, )()()()()(x d x v x g x u x f =+, 则错误的结．．．．论．是( ). (A) 1))
()
(,)()((
=x d x g x d x f ; (B) )())(),((x d x v x u =; (C) )())(),()((x d x g x g x f =+; (D) )())(),((m m m x d x g x f =．
3. 设行列式D 1=3332
31232221
13
1211
a a a a a a a a a , D 2=31
32
33
21222311
1213
a a a a a a a a a ,则下面结论正确的有( ).
(A)D 2=－D 1； (B)D 2=0； (C)D 2与D 1无关； (D)D 2=D 1．
4. )(x f =
x
x x x x
1
11
1231
11212-中 4x 的系数为（ ）
(A) 1, (B) 2, (C) 0, (D) 3．
5. 22)13)()(1()(--+=x i x x x f 在复数域上的标准分解式是（ ）
(A)22)13)()(1(--+x i x x ; (B) 22)13())((--+x i x i x ;
(C)22)31())((--+x i x i x ; (D) 22)3
1
())((9--+x i x i x ．
6．若r ααα,,,21 是线性无关的向量组, 则r r k k k ααα,,,2211 也线性无关的条件
是（ ）
(A) r k k k ,,,21 不全为零, (B) r k k k ,,,21 全为零, (C) r k k k ,,,21 全不为零, (D)以上结论都错．
7. 在一个含有n 个未知数m 个方程的线性方程组中，若方程组有解，则（ ） (A) m ＞n ； (B) m ＜n ； (C) m =n ； (D)与m ,n 的大小无关． 8. 若矩阵A 的秩为r ，则（ ）
(A)A 有r 阶非零子式； (B)A 有r 阶非零子式且任意r +1阶子式为0； (C)A 的任意r +1阶子式为0； (D)A 的r 阶子式都不等于0． 9. 下列矩阵中( )不是初等矩阵
(A)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001; (B)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010100; (C)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001; (D)⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛100010101．
10. 若数域P 上三元齐次线性方程组0=AX 的基础解系中仅含有一个向量,则其系数矩阵的秩是( )
(A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3．
三、判断正误（每小题2分）
1. 若)()()(21x f x f x g +, 且)()()(21x f x f x g -, 则)()(1x f x g ,且)()(2x f x g .
( )
2. 若n 级行列式D ≠0, 则D 的n-1阶子式不全为零. ( )
3. 初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵. ( )
4. 若A,B 均为n 阶可逆矩阵, 则A+B 也是n 阶可逆矩阵． ( )
5. 等价的向量组含有相同个数的向量． ( ) 四、计算题（第1、2小题每题10分，第3小题15分）
1. 计算n 阶行列式
n
n
n
a a a a a a a a a a a a +++11132
1
32
1321
．
2. 设111111022110110211X --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
，求矩阵X ．
3. 用导出组的基础解系表出线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-++-=---+=-++=+-++5
54931232362323354321543214
32154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部
解.
五、证明题（第1小题7分，第2小题8分）
1. 设P[x]的多项式)(x f 与不可约多项式)(x p 有一个公共根, 则)()(x f x p ．
2. 若方程组⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=+++=+++=+++++++1
1212111221111212111n n n n n n n n nn n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 有解, 则行列式
1
11111
111+++n n
n n n nn
n n b a a b a a b a a
=0．。