高等代数(下)期末试卷
03-04学年《高等代数》第二学期期末考试卷
1一 选择题（6题×4分）1． 和矩阵1001M ⎛⎫=⎪-⎝⎭正交相似的矩阵是（ ）。
A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110B. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0011C. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111D. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0110 2. 实数域上阶实对称阵按合同关系分类, 共有( )类A. n +1B.2)1(nn - C.2)1(nn + D.2)2)(1(++n n3. 设*V 是数域F 上三维线性空间V 的对偶空间. 123,,v v v 是V 的一组基, ***123,,v v v 是其对偶基, 则V 中基12233,,v v v v v --的对偶基是( )A. *3*2*2*1*1*3,,v v v v v v +++B. *3*2*1*2*1*1,,v v v v v v +++C. *3*3*2*2*1,,v v v v v --D. *1*2*3*2*2,,v v v v v -+4. 设21,V V 是n 维欧氏空间V 的子空间, ϕ是正交变换, 则下列命题中正确的有( )项.① 若21V V ⊆，则⊥⊥⊆21V V② 若⊥⊥=21V V ，则21V V =③ 若1V 是ϕ不变子空间，则⊥1V 也是ϕ不变子空间 ④ 11)V (V =⊥⊥A. 1B. 2C. 3D. 45. 设,ϕψ是n 维欧氏空间V 的线性变换, **,ϕψ分别是,ϕψ的伴随变换, 则下列命题中错误的是( ).①ϕ是单的线性变换，则*ϕ是满的线性变换 ②*Im dim Im dim ϕϕ=③)),(()),((*αβϕβαϕ=,对任意的V ∈βα, ④ϕ是同构变换,则*ϕ也是同构变换 A. 0B. 1C. 2D. 36． 已知二次型222123123121323(,,)()444f x x x a x x x x x x x x x =+++++经正交变换X = TY 化为标准形21231(,,)6f y y y y =，则( )a =.A. 0B. 2C. 4D. 62二 填空题(6题×4分)1. 在欧氏空间3R (标准内积)中, 设(2,2,0),(1,2,3)αβ==, 则β的长度是( ), α与β的距离是( ), α与β的夹角是( ).2. 设V 是数域K 上n 维线性空间, 则线性映射()v η= ( )，V ∈∀v ，导出了线性空间的同构**)(V V ≅.3. 三阶正交矩阵在正交相似下的所有可能的标准形是( ).4. 设,A C 为n 阶对称阵，且⎪⎪⎭⎫⎝⎛'C B B A 为正定阵, 则以B A B C 1-'-为相伴阵的二次型为( )型.5. 当t 取值范围为( )时, 二次型22212312323(,,)232f x x x x x x tx x =+++是正定型. 6. 设二次型(,,)f x y z xy yz zx =++, 则与f 相伴矩阵是( ), f 的正惯性指数是( ),f 的符号差是( ).三 (15分)设实数域上3阶方阵022244243A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭, 求正交矩阵T , 使'T AT 为对角阵, 并写出该对角阵. 四 (10分)设A 是m n ⨯阶阵, λ＞0, 证明'n I A A λ+是正定阵.五 (15分)设ϕ是n 维欧氏空间V 的对称变换, V ∈α,且1α=。
高代期末考试试卷
高代期末考试试卷一、选择题（每题4分，共40分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. [1 2; 3 4]B. [1 0; 0 0]C. [2 0; 0 2]D. [1 1; 1 1]2. 矩阵A的特征值是λ1和λ2，那么矩阵A^2的特征值是？A. λ1^2, λ2^2B. 2λ1, 2λ2C. λ1, λ2D. λ1+λ2, λ2+λ13. 线性方程组有非零解的条件是？A. 系数矩阵的行列式不等于0B. 系数矩阵的行列式等于0C. 增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩D. 增广矩阵的秩不等于系数矩阵的秩4. 以下哪个向量组是线性无关的？A. [1, 0], [0, 1]B. [1, 1], [1, 2]C. [1, 2], [2, 4]D. [1, 2, 3], [4, 5, 6]5. 矩阵A的秩是3，那么矩阵A的零空间的维数是？A. 0B. 1C. 2D. 36. 以下哪个矩阵是对称矩阵？A. [1 2; 3 4]B. [1 3; 3 1]C. [2 1; 1 2]D. [1 0; 0 1]7. 以下哪个矩阵是正交矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [1/√2 1/√2; -1/√2 1/√2]C. [1 1; 1 1]D. [1 2; 3 4]8. 以下哪个矩阵是幂等矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [1 1; 1 1]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]9. 以下哪个矩阵是投影矩阵？A. [1 0; 0 0]B. [1 1; 1 1]C. [1 0; 0 1]D. [0 1; 1 0]10. 以下哪个矩阵是单位矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [1 1; 1 1]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]二、填空题（每题4分，共20分）1. 矩阵的迹是其对角线元素的______。
2. 矩阵的转置是将矩阵的行和列进行______。
3. 矩阵的行列式可以通过______展开来计算。
《高等代数与解析几何(下) 》期末考试试卷(A 卷)
6．(10 分) 用非退化线性替换将二次型
化为标准型．
q(x1, x2 , x3 ) = x12 − 2x1x3 + x22 + 2x2 x3 − x32
7．（13 分）设V1 与V2 分别是齐次线性方程组 x1 + x2 + + xn = 0 与 x1 = x2 = = xn
的解空间,证明 K n = V1 ⊕V2 .
5 5 λ+7 5 5 λ+7故特征向量为 Nhomakorabea2 和 3.
………………5 分
⎛ −1⎞ ⎛ −1⎞
当 λ1
=
−2 时，特征向量η1
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
,η2
=
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
.
⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎜⎝ 1 ⎟⎠
………………2 分
⎛ −1⎞
当 λ2
=
3 时，特征向量η3
=
⎜ ⎜
−1⎟⎟ .
⎜⎝ 1 ⎟⎠
………………2 分
命题共 2 页第 1 页
三．解答题：（共 80 分）
⎛3 5 5⎞
1．(15 分)
设
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎝
5 −5
3 −5
5
⎟ ⎟
，问矩阵
A 是否可以相似于一个对角矩阵,若可
−7 ⎟⎠
以,求一个可逆矩阵T ,使T −1AT 为对角形矩阵.
2．(10 分) 求单叶双曲面 x2 + y2 − z2 = 1上过点（-3，-2，4）的直母线的方程． 9 4 16
矩
阵.
4. n 维线性空间V 的线性变换 A 在某个基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是 A
高等代数期末试题及答案
高等代数期末试题及答案1. 选择题1.1 题目：解线性方程组已知线性方程组：\[\begin{cases}2x - 3y + z = 7 \\4x + y - 2z = -1 \\3x - 2y + 2z = 5\end{cases}\]其中，x、y、z为实数。
求解该线性方程组的解。
1.1 答案：解线性方程组的步骤如下：通过高斯消元法，将方程组化为行简化阶梯形式：\[\begin{cases}x - \frac{12}{7}z = 5 \\y - \frac{5}{7}z = 2 \\0 = 0\end{cases}\]由最后一行可以看出，方程存在自由变量z。
令z为任意实数，可以得到：\[\begin{cases}x = 5 + \frac{12}{7}z \\y = 2 + \frac{5}{7}z \\z = z\end{cases}\]因此，该线性方程组的解为：\[\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 +\frac{12}{7}z \\ 2 + \frac{5}{7}z \\ z \end{pmatrix}\]2. 填空题2.1 题目：求行列式的值计算行列式的值：\[D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}\]2.1 答案：计算行列式的值，可以通过按任意行或列展开的方法来求解。
选择第一行进行展开计算：\[D = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}\]计算上述三个二阶行列式的值，得到：\[D = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3\cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 0\]因此，行列式的值为0。
高等代数(下)期终考试题及答案(C卷)汇编
高等代数(下）期末考试试卷（C 卷）一. 选择题（每空2分，共12分） 1．( D )下列集合哪一个是R n 的子空间11 1 1 2 1 2 11 2 1(A) {(,0,....,0,)| , ,}(B){( ,,...,)| , 1,...,}(C){( ,,...,)| 1 , }(D){( ,,...,)|0, }n n n n i nn i i i n n i i i a a a a R a a a a a a Z i n a a a a a R a a a a a R ==∈≠∈==∈=∈∑∑2．( B ) 令ξ=（x 1，x 2，x 3）是R 3的任意向量．下列哪一个映射σ是R 3的线性变换31 2 3233231 2312(A) ( ) = , 0(B) ( ) = (2-+ , , -)(C) ( ) =(,, )(D) ( ) =( 1 ,,0)R x x x x x x x x x x x σξξαασξσξσξ+≠++其中是 的固定向量3. (C) 如果1V , 2V 是线性空间V 的两个子空间, 且()1dim 3V =, ()2dim 2V =,()12dim 1V V ?, 那么()12dim V V +为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 4. （C ）若4阶方阵A 的初等因子为()23l +, +3, 2. 则 A 的不变因子是(Ａ) 1，（ +3），（ +2），()23l +； (B) 1，1， ( +3) ( + 2) ，()()223l l ++； (C ）1，1，（ +3），()()223l l ++；(D) 1，1，( +2)，()()223l l ++；5．（ B ）设矩阵A 的全部不同特征值为12,,...,s λλλ，则下列哪一说法与A 可对角化不等价（A ） A 有n 个线性无关的特征向量； （B ） ()(1,2,...)()i ii i R E A n i s n λλ-==其中为的重数;（C ） V dim (V )(1,2,...,)iii i i s λλλλ==的特征子空间的维数的重数 ;( D) A 的最小多项式均是数域P 上互素的一次因式的乘积;6.（D ） 在实数域R 中，由全体4阶反对称矩阵所构成的线性空间W 的维数为(A) 10; （B ）4； (C) 9； （D ）6；.二. 填空题（每空２分，共18分）1、已知a 是数域P 上的一个固定的数，而2{(,,,),2,,}n i W a x x x P i n =∈=是1n P +的一个子空间，则a ＝_______， dim (W )＝________. 2. 设,στ是2P 的两个线性变换，定义如下(,)(2,0)x y x y σ=-+, (,)(3,)x y y x y τ=-+ (,x y P ∀∈)则 (,)x y τσ=_________.3. 已知E A λ-的标准形为1000000(2)λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭，则A 的特征多项式2(2)E A λλλ-=-，A 的最小多项式为___________。
高等代数(下)期末考试 A 卷解答
五、证明题 3. (本题13分) 设 A 是欧氏空间V 的一个变换, 并且对任意
V , 有 A (,). V , 1
(1) 证明: A 是 V的一个线性变换.
(2) 当 取何值时, A 是 V的一个正交变换?
(1) 证明：对于 , V , k R, 由于 A ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) (, ) [ ( , ) ] [ (, ) ] 以及 A ( ) A (), A (k ) k (k , ) k[ ( , ) ] kA ( ),
已知
B
A2
A
E,
其中
A
与
1 0
3
2
相似，则
B __3________
5. 设 1,2,3 是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为
2
1
1 2
2 1
则向量 1 2 的长度
为
2.
2 1 2
三、判别题（对的打”√”,错的打” ×”， 2×5=10分）
五、证明题 3. (本题13分) 设 A 是欧氏空间V 的一个变换, 并且对任意
V , 有 A (,). V, 1
(2) 当 取何值时, A 是 V的一个正交变换?
(2) 如果A 是 V的一个正交变换，即有 对于任意的 , V ,
(A ( ), ()) ( (,)， (,)) (,) (，(,)) ((,)，) 2(,)(,)(, ) (,) 2(,)(,) 2(,)(,)(,) (,),
2.
在线性空间
R22
高等代数下期终考试题及答案B卷
高等代数(下）期末考试试卷及答案（B 卷）一．填空题（每小题3分，共21分）1. 223[]-2-31,(-1),(-1)P x x x x x 在中,在基下的坐标为2. 设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为 .3.'=n 在数域P 上的线性空间P[x]中,定义线性变换:(,则的值域())()A A f x f x A()-n P[x]=,的核(0)=1A A A4．已知3阶λ-矩阵A （λ）的标准形为21 0 00 00 0λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪+⎝⎭，则A （λ）的不变因子________________________；3阶行列式因子D 3 =_______________.5. 若4阶方阵A 的初等因子是（λ-1）2，（λ-2），（λ-3），则A 的若当标准形J=6.在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηη下的坐标是12(,,,)n x x x ，那么(,)i ξη＝7. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是．二. 选择题( 每小题2分，共10 分)1.( ) 已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间， 则dim(V)为(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 42. ( ) 下列哪个条件不是n 阶复系数矩阵A 可对角化的充要条件 (A) A 有n 个线性无关的特征向量； (B) A 的初等因子全是1次的； (C)A 的不变因子都没有重根； (D) A 有n 个不同的特征根； 3．( ) 设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) -34.( )设2121),2,1,2(),1,1,0(ααβαα+=-=-=k ，若β与2α正交，则 (A) k=1; (B) k=4; (C) k= 3; (D) k=2 5．( )下列子集哪个不是R 3的子空间(A) }1|),,{(233211=∈=x R x x x w (B) }0|),,{(333212=∈=x R x x x w (C) }|),,{(32133213x x x R x x x w ==∈=(D) }|),,{(32133214x x x R x x x w -=∈=三.判断题(对的打”√”,错的打”X ”,每小题2分,共12分)1.( )设n n V P ⨯=，则{,0}n n W A A P A ⨯=∈=是V 的子空间.2.( ）12,,,n εεε是n 维欧氏空间的一组基，矩阵()ijn nA a ⨯=，其中(,)ij i j a εε=，则A 是正定矩阵.3．( ) 若n 维向量空间P n 含有一个非零向量，则它必含有无穷多个向量．4．（）在线性空间R 2中定义变换σ：(,)(1,)x y x y σ=+，则σ是R 2的一个线性变换. 5.（ ）设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈，并且αβ=，则αβ+与αβ-正交。
2009-2011高等代数(下)考试卷(A)
2009-2010学学年第二期 数高等代(下)期末考试试卷(A 卷)选择题题（本大共5题题小，每小3分，共15分） 1．( )义变换下列所定的σ哪个线变换，一是性(A)线间在性空V 设中，α为对一固定的非零向量，于任意的V ξ∈，义定()σξξα=+;(B) 在3R 义中，定221231233(,,)(,,)x x x x x x x σ=+;(C) 在3R 义中，定222222123131223(,,)(,,)x x x x x x x x x σ=+++;(D) 在[]P x 义中，定()0()()f x f x σ=,其中0x 为P 个数中一固定的。
２．（ ）实数在域R 中，由全体3阶阵构线间矩所成的性空V 维数为的 （A ）2； （B ）4； （C ）6； （D ）9。
3. ( ) 如果1V , 2V 线间是性空V 两个间的子空, 且()1dim 5V =, ()2dim 3V =,()12dim 6V V +=, 么那()12dim V V ∩为(A) 2 (B)3 (C)4 (D)5 ４．（ 设）σ为欧间氏空V 个线变换号的一性，符(,)αβ表示向量α和β内积的，则哪说与下列一法σ为变换正交不等价（A ） 对任意V α∈，有()(),()(,)σασααα=； （B ） 对任意,V αβ∈，有()(),()(,)σασβαβ=; （C ）对任意,V αβ∈，有()()(),,()σαβασβ=;( D) σ组标阵阵在任意一准正交基下的矩是正交矩.５. ( ) 设A 和B 为数域P 上的n 阶阵则方，A 和B 当仅当相似且(A) A 和B 值有相同的特征； (B) A 和B 有相同的秩； (C) 为存在着行列式不零的n 阶阵方T 使得1B T AT −= ； ( D) A 和B 有相同的迹。
二、 填题空题（本大共5题题小，每小3分，共15分）1、设阶阵三方A 项为的特征多式32()225f λλλλ=−−−则， =||A ________。
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东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）
课程名称 高等代数II 考试学期 2018-2019-3 得分 适用专业 数学学院各专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 150分钟 题目 一 二 三 四 五 六 七 得分
一. 填空(每空3分, 共30分) 1. 设数域P 上的线性空间V = {ax 2 + bx + c | a , b , c P }, V 的子空间V 1 = { f (x ) | f (0) = 0}, V 2 = { f (x ) | f ( 1) = 0}, 则V 1 V 2的一组基为_________________, V 1 + V 2的一组基为_______________________________________________. 2. 已知矩阵A 的特征多项式 | E A | = ( 1), 而且A 满足A 2019 = a A + b E , 则 (a , b ) = ______________________________________________________. 3. 设 1, 2是欧氏空间V 的一组标准正交基, 1 1 + a 2, 2 1 + b 2, 其中a > 0, 若 1, 2也是V 的标准正交基, 则 (a , b ) = ________________. 4. 矩阵A = 508316203 的不变因子依次为____________________________. 5. 已知矩阵A 的特征多项式是 3( 1)2, A 的最小多项式是 2( 1), 则A 的初等因子组是____________________________________________________, 矩阵A 的秩r(A ) = ________________________________________________. 6. 设二次型f (x 1, x 2, x 3)在正交变换x = Py 下的标准形为2y 12 + y 22 y 32, 其中 P = (p 1, p 2, p 3), 若Q = (p 1, p 3, p 2), 则f (x 1, x 2, x 3)在正交变换x = Qy 下的标 准形为__________________________________________________________.
7. 设3阶方阵A 的秩为2, 而且A + A * = E , 其中A *为A 的伴随矩阵, E 为3阶单位矩阵, 则行列式 |3A + E | = __________________________________.
8. 设A =20190626
, B = A T A , 则B 一共有__________________个正特征值.
自 觉 遵 守 考 场
纪 律 如 考 试 作 弊 此
答
卷
无
效
密 封 线 学
号
姓
名
二. (20分)设A =
10
11
, B =
10
10
, C2 2为全体2阶复矩阵关于矩阵的加法和数乘
构成的线性空间. 对于任意的X C2 2, 令f(X) = AXB.
1. 证明: f是C2 2上的线性变换.
2. 给出f在C2 2的基E11, E12, E21, E22下的矩阵M.
3. 分别求f的值域R( f )和核子空间K( f )的基.
4. 问C2 2 = R( f ) K( f )是否成立? 为什么?
三. (12分)已知矩阵A =
2001 030 3024 0003
a
.
1. 根据参数a的值给出A的若当标准形.
2. 若矩阵B的最小多项式与B的特征多项式相等, 并且A与B相似, 求a的取值范
围.
四. (8分)已知欧氏空间R3中 = (1, 1, 0), = (0, 1, 1), = (0, 0, 1), W = L( , ). 求
W
, 使得
0min
W
.
五. (8分) 设V是n维欧氏空间, p, q R, 1, 2是V中两个相互正交的单位向量.
V上的线性变换f定义如下: 对任意的 V, f( ) = + p( , 1) 1 + q( , 2) 2.
若f是V上的正交变换, 求参数p, q的值.
六. (8分) 已知矩阵A =
324
22
423
x
与B =
700
030
00y
相似.
1. 求x, y的值.
2. 求一个正交矩阵Q使得Q T AQ = B.
七. (14分)证明题
1. 设f是线性空间V上的线性变换. 若V的每个子空间都是f的不变子空间, 证明: f
为数乘变换.
2. 已知欧氏空间R n中的向量组 1, 2, …, n 1线性无关, 为R n中的非零向量, 并
且 与 1, 2, …, n 1中的每个向量都正交, 证明 1, 2, …, n 1, 线性无关.
3. 已知A, B都是n阶实矩阵, 其中A为对称矩阵. 若A B T B是正定的, 证明: 行
列式|A B T B| |A|.
4. 对于任意实数a, b, c, 证明: 矩阵A =
10
11
01
a
b
c
有3个互不相同的特征值.。