厦门大学《高等代数》期末试题及答案(数学系)
03-04学年《高等代数》第二学期期末考试卷
1一 选择题（6题×4分）1． 和矩阵1001M ⎛⎫=⎪-⎝⎭正交相似的矩阵是（ ）。
A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110B. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0011C. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111D. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0110 2. 实数域上阶实对称阵按合同关系分类, 共有( )类A. n +1B.2)1(nn - C.2)1(nn + D.2)2)(1(++n n3. 设*V 是数域F 上三维线性空间V 的对偶空间. 123,,v v v 是V 的一组基, ***123,,v v v 是其对偶基, 则V 中基12233,,v v v v v --的对偶基是( )A. *3*2*2*1*1*3,,v v v v v v +++B. *3*2*1*2*1*1,,v v v v v v +++C. *3*3*2*2*1,,v v v v v --D. *1*2*3*2*2,,v v v v v -+4. 设21,V V 是n 维欧氏空间V 的子空间, ϕ是正交变换, 则下列命题中正确的有( )项.① 若21V V ⊆，则⊥⊥⊆21V V② 若⊥⊥=21V V ，则21V V =③ 若1V 是ϕ不变子空间，则⊥1V 也是ϕ不变子空间 ④ 11)V (V =⊥⊥A. 1B. 2C. 3D. 45. 设,ϕψ是n 维欧氏空间V 的线性变换, **,ϕψ分别是,ϕψ的伴随变换, 则下列命题中错误的是( ).①ϕ是单的线性变换，则*ϕ是满的线性变换 ②*Im dim Im dim ϕϕ=③)),(()),((*αβϕβαϕ=,对任意的V ∈βα, ④ϕ是同构变换,则*ϕ也是同构变换 A. 0B. 1C. 2D. 36． 已知二次型222123123121323(,,)()444f x x x a x x x x x x x x x =+++++经正交变换X = TY 化为标准形21231(,,)6f y y y y =，则( )a =.A. 0B. 2C. 4D. 62二 填空题(6题×4分)1. 在欧氏空间3R (标准内积)中, 设(2,2,0),(1,2,3)αβ==, 则β的长度是( ), α与β的距离是( ), α与β的夹角是( ).2. 设V 是数域K 上n 维线性空间, 则线性映射()v η= ( )，V ∈∀v ，导出了线性空间的同构**)(V V ≅.3. 三阶正交矩阵在正交相似下的所有可能的标准形是( ).4. 设,A C 为n 阶对称阵，且⎪⎪⎭⎫⎝⎛'C B B A 为正定阵, 则以B A B C 1-'-为相伴阵的二次型为( )型.5. 当t 取值范围为( )时, 二次型22212312323(,,)232f x x x x x x tx x =+++是正定型. 6. 设二次型(,,)f x y z xy yz zx =++, 则与f 相伴矩阵是( ), f 的正惯性指数是( ),f 的符号差是( ).三 (15分)设实数域上3阶方阵022244243A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭, 求正交矩阵T , 使'T AT 为对角阵, 并写出该对角阵. 四 (10分)设A 是m n ⨯阶阵, λ＞0, 证明'n I A A λ+是正定阵.五 (15分)设ϕ是n 维欧氏空间V 的对称变换, V ∈α,且1α=。
(word版)厦门大学参考答案0809学年第一学期《高等代数》期末考试卷
08-09学年第一学期厦门大学?高等代数?期末试卷 厦门大学?高等代数?课程试卷数学科学学院各系2021年级各专业信息科学与技术学院 计算机科学 系2021年级CST 专业特别说明：答案写在答题纸上一、单项选择题〔32分.共8题,每题4分〕以下说法错误的选项是___B____.假设向量组1,2,3线性无关，那么其中任意两个向量线性无关；B ) 假设向量组1, 2,3 中任意两个向量线性无关，那么1,2,3线性无关；C) 向量组 1 2,2 3,3 1线性相关；D) 假设向量组1,2,3 线性无关，那么1, 1 2, 123线性无关.2. 设n 维列向量1,2,...,m (m n)线性无关,那么n 维列向量1,2,...,m线性无关的充要条件是___D____.A) 向量组 1,2,..., m 可由向量组1, 2,..., m 线性表示；B) 向量组 1, 2,..., m 可由向量组 1,2,..., m 线性表示；C) 向量组 1,2,..., m 与向量组 1, 2,...,m 等价；D)矩阵A (1, 2,..., m )与矩阵B (1, 2,..., m )相抵. 3.设线性方程组 Ax 0的解都是线性方程组 Bx 0的解，那么__C__.A)r(A) r(B)；B)r(A) r(B)；C)r(A) r(B)；D)r(A) r(B).4. 设n 阶方阵A 的伴随矩阵 A * 0，非齐次线性方程组 Ax b 有无穷多组解，那么对应的齐次线性方程组Ax 0的根底解系__B__.A)不存在； B)仅含一个非零解向量；C)含有两个线性无关的解向量； D)含有三个线性无关的解向量 .以下子集能构成R 22的子空间的是___B____.A)122 } ；B)V2{A|tr(A)0,AR 22}；V{A||A|0,AR108-09学年第一学期厦门大学?高等代数?期末试卷C)V 3 {A|A 2A,A R 22}；D)V 4 {A|A A 或 A,A R 22}.6.设V 是数域K 上的线性空间,V 上的线性变换在基 1,2,...,n 下的矩阵为A 且|A|2，假设在基 n ,n1,...,1下的矩阵为B,那么|B|___B___.A)2n；B)2； C)1； D)不能确定.27.设V 是n 维向量空间， 和 是V 上的线性变换，那么 dimImdimIm的充分必要条件是_____D ___.A) 和都是可逆变换； B)Ker=Ker ；C)Im Im ；D) 和 在任一组基下的表示矩阵的秩相同.8. 设 是线性空间 V 到U 的同构映射,那么以下命题中正确的有 ___D___个.(Ⅰ) 为可逆线性映射；(Ⅱ)假设W 是V 的s 维子空间,那么(W )是U 的s 维子空间；(Ⅲ) 在给定基下的表示矩阵为可逆阵；(Ⅳ)假设V=V 1 V 2,那么(V 1V 2)(V 1)(V 2).A)1B)2C)3D)4二、填空题〔32分.共8题,每题4分〕1 0 0 3假设矩阵A( 1,2,3,0 0 2 4 1,2,3,4的1. 4)经过行初等变换化为1 0 ,那么向量组0 50 0一个极大无关组是1,2,3,其余向量由此极大无关组线性表示的表示式为4315223.2. 设3 维向量空间的一组基为1(1,1,0),2(1,0,1),3(0,1,1)，那么向量 (2,0,0) 在这组基1下的坐标为1.13. 设V 1，V 2均为线性空间 V 的子空间，那么 L(V 1 V 2)V 1 V 2.208-09学年第一学期厦门大学?高等代数?期末试卷4. 数域K 上所有三阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是 _3_.而E 12E 21,E13E 31,E 23E 32是它的一组基.5. K 12上的线性变换定义如下：((a,b))(0,a)，那么Ker={(0,a)|aK}.Im={(0,a)|aK}.6. 设是数域K 上n 维线性空间 V 到m 维线性空间U 的线性映射, 那么为满射的充分必要条件是对任意 U,存在V,使得();Im U;dimImm;.〔请写出两个〕dimKer nm;在任意基下的矩阵都是行满秩的 ; 在某个基下的矩阵是行满秩的 〔.其中任两个均可〕7. 设1,2,...,n 和1, 2,..., n 是线性空间 V 的两组基，从 1,2,..., n到1,2,...,n 的过渡矩阵为P .假设 是V 上的线性变换且 (i ) i, i1,2,...,n ，那么 在基1, 2,..., n 下的表示矩阵是_P_.8. 设是线性空间V 上的线性变换，在基1, 2,...,n 下的表示矩阵为 A B ，其中A 为rr 矩C阵，那么存在V 的一个非平凡-不变子空间L(1,,r ).三、(8 分)设线性空间V 的向量组1,2,..., m 线性无关，V ，考虑向量组,1,2,...,m .求证：或者该向量组线性无关，或者 可由 1,2,...,m 线性表示.证明：假设,1,,m 线性相关，那么存在不全为0的数k 0,k 1,,k m 使得k 0+k 11+k mm0．我们断言，k 0 0．事实上，假设k 0=0，那么k 11+k mm 0．由1, 2,...,m 线性无关知k 1==k m =0．于是，k 0=k 1==k m =0．这与k 0,k 1, ,k m 不全为０相矛盾．因此，k 00．此时，k 1 k m m ．1k 0k 0从而，或者该向量组线性无关，或者可由1, 2,..., m 线性表示．四、(10分)设V 1,V 2分别是数域K 上的齐次线性方程组x 1x 2x n 与x 1x 2x n 0的解空间.证明K n1V 1V 2.3a1证明：法一：一方面，a2V1V2，有a1a2a n，那么a1a2a n0．故a1a2a n0a nV1V20．n n n na1a i a ia1a i a i i1a i1i1a i1n1n n1na2K n1，存在a2另一方面，V1,V2，使得＝＋n n n na a i a i a n a i a ini1i1i1i1a n a nn n n n 即K n1V1V2．因此，K n1V1V2．a1法二：一方面，a2a1a2a n，那么a1a2a n0．故V1V20．V1V2，有a2a1a n0a n11000另一方面，由于V1为方程组Ax0的解空间，其中A 01100，V2为方程组00011(n1)nBx0的解空间，其中B(1,1,,1)1n，所以dimV11,dimV2n1．故dimV1dimV2dimK n1．从而，K n1V1V2．11000法三：一方面，由于V1为方程组Ax0的解空间，其中A 01100，V2为方00011(n1)n程组Bx0的解空间，其中B(1,1,,1)1n，所以dimV11,dimV2n1．故dimV1dimV2dimK n1．4nnnna 1a ia ia 1a ia ii1i1i 1i1na 1na 1a 2Kn1，存在na 2n另一方面，V 1,V 2，使得＝＋nnnna na ia ia na ia ii1i1i 1i1n a nna nnn即K n1V 1 V 2．因此，K n1V 1V 2．五、(10分)设AK mn .证明：r(A)r 的充分必要条件是存在BK mr，CK rn ，使得r(B)r(C)r 且ABC .证明： 充分性： 由于BK mr ，C K rn 满足r(B)r(C)r 且ABC ，所以rr(B)r(C)rr(A)r(BC)r(B)r故r(A)r ．必要性： 由于r(A)r，所以存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q 使得AI r 0PQ ．令BPI r ,C(I r ,0)Q，那么BK mr ，CKrn满足r(B)r(C)r 且ABC ．六、(8分)设V,U,W 是有限维线性空间，:V U ，:WU 是线性映射.求证：存在线性映射:VW 使得的充分必要条件是 Im Im .证明： 充分性： 法一：取V 的一组基 1,2,, n ，由于ImIm，所以(i ) Im，1 in ，即存在iW 使得(i )(i )．定义线性映射:V W 满足(i )i,1in ，那么(i ) (i )( i ), 1 in ．因此，．法二：取V 的一组基1,2,,n ，U 的一组基1,2,,m ，W 的一组基1,2,,s ．设(1,2, ,n ) (1,2, ,m )A mn(1,2,,s )(1,2,,m )B ms5其中A(1,2,,n ),B(1,2, ,s )．由于ImIm ，所以L(1,2,s,n)L1(,2 ,s ，, 即)1 jn, jciji ．取i1C(c ij )s n ，那么A BC ．定义线性映射:V W 满足 (1, 2,, n )(1,2,, s )C ，那么.必要性： 对任意 Im，存在V 使得( )．由于，所以( )(())Im从而，ImIm．附加题:(本局部不计入总分)设V,U,W是有限维线性空间且dimVdimW ，:V U ， :W U 是线性映射.证明：存在可逆线性映射:V W 使得的充分必要条件是 ImIm.证明：充分性：法一：由于dimVdWim 且Im Im ，所以由维数公式知：dimKerdimKe ．r 取Ker的一组基1,2,,r ；Ker 的一组基1,2,, r ，将其扩充为V的一组基1,2,,r ,r1, n ，那么(r1),(n )是Im的一组基．由于Im Im ，所以(r 1),( n )是Im的一组基．设(i )( i ), r 1 i n ，由于 (r1), , (n )线性无关，所以r1,,n 线性无关．我们断言， 1, 2, ,r ,r1,,n 线性无关．事实上，假设k 11k 22krrk r1r 1knn0，那么将作用于上式得k r1(r1) k n (n )0．由于(r1), ,(n )线性无关，所以k r1k n 0．于是k 11 k 22k r r ＝０．又1, 2, , r 是Ker的一组基，故k 1k r从而，1, 2,,r ,r1,,n 线性无关．注意到dimW n ，故1,2,,r ,r1,,n 是W 的一组基．定义线性映射 :V W 满足(i )i ,1 i n ．由于1,2,,n 是V 的一组基，1,2,,n 是W的一组基，故 可逆．又(i )( i)( i ), 1i n ，从而．法二：取V 的一组基1,2,, n ，U 的一组基1,2,,s ，W 的一组基1, 2,, n ．设(1,2, ,n )(1,2,,s )A sn6(1,2,,n)(1,2,,s)B sn且dimIm dimIm r，那么r(A)r(B)r．于是，存在n阶可逆矩阵P,Q使得AP(A1,0), BQ(B1,0)，其中A1,B1K sr列满秩．由于Im Im，所以同上题证明可知存在n阶矩阵C使得A BC，那么(A1,0)AP BQ(Q1CP)．设Q1CP X11X12，其中X11是r阶方阵，那么X21X22(A1,0)(B1,0)X11X12．从而，A1B1X11．又A1列满秩，所以存在A2K rs使得A2A1I r．于X21X22是，I r A2A1(A2B1)X11，即X11是可逆矩阵．因此，存在可逆矩阵X Q X110P1使得0I n rBX BQ X110P1(B1,0)X110P1B1X11,0P1(A1,0)P1A0I nr0I nr定义线性映射:V W满足(1,2,,n)(1,2,,n)X由于X可逆且ABX，故可逆且．必要性：由于，所以同上题证明可知Im Im．又由:V W可逆可知1，所以Im Im．从而，Im Im．7。
高等代数期末考试试卷
一、填空题（每小题2分，共10分）1．多项式22009320101()(2)()2f x x x =+-的常数项为 。
2．设,,a b c 是方程30x px q ++=的三个根，则a bcb c a c a b = 。
3．线性方程组m n A x b ⨯=有无穷多解的充要条件是______________________。
4．设矩阵123012001A ---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭＝，则1A -的秩为 。
5．设实二次型123(,,)f x x x 的矩阵是111t ⎛⎫⎪⎝⎭，则123(,,)f x x x 是正定二次型的充要条件是 。
二、单选题（每小题2分，共10分）1．实数域上次数大于1的多项式()f x 有一实根是()f x 在实数域上可约的（ ）。
a) 必要非充分条件 b) 充分必要条件 c) 充分非必要条件 d) 既非充分又非必要条件2．行列式111213212223313233a a a a a a d a a a =，则332313322212312111a a a a a a a a a =（ ）。
a) d - b) d c) 0 d) 不确定3．λ=（ ），非齐次线性方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解。
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 4．若矩阵A 满足20A A E ++=，则9A =（ ）。
a) A b) A - c) E d) 05．矩阵（ ）合同与200010005-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 。
a) 4000100010⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭b) 300020005⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭c) 100010001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭d) 200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭三、判断题（每小题2分，共10分）1．若()()()h x f x g x ，则()()h x f x 或()()h x g x 。
2020-2021大学《高等代数》期末课程考试试卷A(含答案)
2020-2021《高等代数》期末课程考试试卷A适用专业： 考试日期：试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一、填空（共40分，每小题4分）1.向量空间n P 的子空间12112{(,,,,0)0,}n k W x x x x x x P -=+=∈的维数为____________,它的一组基为__________________．2.已知111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是矩阵2125312A a b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的一个特征向量，则_______,_______a b ==特征向量α对应的特征值0___________λ=．3.k 满足___________时，二次型22212312132(1)22f x x k x kx x x x =--+---是负定的。
4.设矩阵20022311A x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与10002000B y -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似，则_________,________x y ==．5.在空间[]n P x 中，设变换σ为()(1)()f x f x f x →+-，则σ在基0(1)(1)1,(1,2,1)!i x x x i i n i εε--+===-下的矩阵为____________________．6.相似矩阵的特征值__________.7.向量)1,3,2,4(),4,3,2,1(==βα,则内积=),(βα___________. 8.若A 是实对称矩阵,则 A 的特征值为____________.9.n 元实二次型),,,(21n x x x f 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于___________________.10.对于线性空间V 中向量)1(,,,21≥r r ααα ,若在数域P 中有r 个不全为零的数r k k k ,,,21 ,使02211=+++r r k k k ααα ,则向量r ααα,,,21 称为_________.二、（15分）设V 是实数域上由矩阵A 的全体实系数多项式组成的空间，其中2100100,200A ωωω⎛⎫- ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,求V 的维数和一组基.三、（15分）用非退化线性替换化二次型22212312132322448x x x x x x x x x ---++为标准形.四、（15分）在4P 中，求由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵，并求向量ξ在基1234,,,ηηηη下的坐标，设(1,0,1,0)ξ=1234(1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)εεεε=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩； 1234(2,1,1,1)(0,3,1,0)(5,3,2,1)(6,6,1,3)ηηηη=-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩.五、（15分）设1234,,,εεεε是四维线性空间V 的一组基，已知线性变换σ在这组基下的矩阵为1021121312552212⎛⎫⎪- ⎪⎪⎪--⎝⎭ 1）求σ在基11242234334442,3,,2ηεεεηεεεηεεηε=-+=--=+=下的矩阵； 2）求σ的核与值域.2020-2021《高等代数》期末课程考试试卷A 答案一、填空（共40分，每小题4分）1、向量空间n P 的子空间12112{(,,,,0)0,}n k W x x x x x x P -=+=∈的维数为__2n -__________,它的一组基为122(1,1,0,,0,0),(0,0,1,,0,0),,(0,0,0,,1,0)n εεε-=-==_。
厦门大学线性代数期末考试试卷A (含答案)
一、填空题（每小题4分，共24分）1．设四阶方阵234234(,,,), (,,,)A r r r B r r r αβ==，其中234,,,,r r r αβ均为四维列向量，且||4, ||1A B ==-，则|2|A B +=2．n 阶方阵A 满足2330A A E -+=，则1(4)A E -+=3．向量组 1(1,3,5,1)T α=-，2(2,1,3,4)T α=--，3(5,1,1,7)T α=-和4(7,7,9,1)T α=的一个极大无关组是 。
4．已知四元线性方程组Ax b =的三个解为123,,ξξξ，且1(1,2,3,4)T ξ=，23(3,5,7,9)T ξξ+=，()3R A =，则方程组的通解是 。
5．设x z A y x z y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则A = 。
6．设二次型2222f x xy yz z =+-+，则其对应的矩阵A 的正特征值有 个。
二、单项选择题（每小题4分，共24分）1．若行列式10012010001x x x xx x =，则x =( )。
A ．1；B ．–1;C ．1±;D ．2±2．设矩阵111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中0,0, ,1,2,,i j a b i j n ≠≠=，则()R A 为（ ） A. 1； B ．2； C ．n ； D ．无法确定。
厦门大学《 线性代数 》课程试卷＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业主考教师：线性代数教学组 试卷类型：（A 卷）3．向量组1234,,,αααα线性无关，则线性无关的是（ ）。
A ．12233441, , , αααααααα++++；B ．12233441, , , αααααααα----；C ．12233441, , , αααααααα+++-；D ．12233441, , , αααααααα++--。
厦门大学高等代数课程试卷
必要性。对矩阵
A，存在可逆矩阵
P，Q
使得 A =
P
æ ç
I
r
è
ö
0
÷ ø
Q
=
æ Pç
è
Ir 0
ö ÷ ø
(Ir
, 0)Q
。令
S
=
æ Pç
è
Ir 0
ö ÷ ø
，
T = (Ir , 0)Q ，可证 P，Q 即为所求。显然， S 和T 分别是 n ´ r 矩阵和 r ´ n 矩阵，且因 P，Q 可逆，所以
P，使得
P-1 AP
=
æ ç
Ir
è
ö
0
÷ ø
。令 S
=
æ Pç
è
Ir 0
ö ÷ ,T ø
=
(Ir , 0)P-1 ，则
A
=
ST
， TS
=
Ir
，
r(S ) = r(T ) = r 。
由j(x1),...,j(xr ) 的线性无关性，得 k1 = ... = kr = 0 ，进而 kr+1 = ... = kn = 0 。因此
j
(j
(x1
),
...,
j
(xr
),
xr
+1
,
...,
xn
)
=
(j
(x1
),
...,
j
(x
r
),
x
r
+1
,
...,
xn
)
æ ç
I
r
è
0
ö ÷ ø
。
这说明存在可逆矩阵
(Ir
厦门大学《高等代数》期末试题及答案(数学系)
一、单选题（32 分. 共8 题, 每题4 分）1) 设b 为3 维行向量，V ={(x1 , x2 , x3 ) | ( x1 , x2 , x3 ) =b}，则。
CA) 对任意的b ，V 均是线性空间；B) 对任意的b ，V 均不是线性空间；C) 只有当b = 0 时，V 是线性空间；D) 只有当b σ 0 时，V 是线性空间。
2)已知向量组I：α1 ,α2 ,...,αs 可以由向量组II：⎭1 , ⎭2 ,..., ⎭t 线性表示，则下列叙述正确的是。
AA)若向量组I 线性无关，则s t ；B) 若向量组I 线性相关，则s >t ；C) 若向量组II 线性无关，则s t ；D) 若向量组II 线性相关，则s >t 。
3)设非齐次线性方程组AX =⎭中未定元个数为n，方程个数为m，系数矩阵A 的秩为r，则。
DA)当r <n 时，方程组AX =⎭有无穷多解；B) 当r =n 时，方程组AX =⎭有唯一解；C) 当r <m 时，方程组AX =⎭有解；D) 当r =m 时，方程组AX =⎭有解。
4)设A 是m ⨯n 阶矩阵，B 是n ⨯m 阶矩阵，且AB =I ，则。
AA) r( A) =m, r(B) =m ；B) r( A) =m, r(B) =n ；C) r( A) =n, r(B) =m；D) r( A) =n, r(B) =n 。
5)设K 上3 维线性空间V 上的线性变换ϕ在基⋂,⋂{1 1 1,⋂ 下的表示矩阵是|1 0 1| ，则ϕ 在基⋂1 , 2⋂2 ,⋂3 下的表示矩阵是 。
C1 2 3|||1 1 1|{1 2 1112222{ 1 11| | |2|| || 2 |A) |2 0 2 |；B) | 11 10 1 |；C) |10 1 ；D)|2 0 2 |。
|1 2 1 || 1 | 2|1 2 1 || 1 |26)设ϕ是V 到U 的线性映射，dim V =n, dim U =m 。
(完整版)高等代数期末试卷
数学与应用数学专业本科期末考试试卷（A ）课程名称： 高等代数 任课教师： 考试时间： 120 分钟 考试性质（学生填写“√”）：正常考试（ ）缓考补考（ ）重修（ ）提前修读（ ）一、填空题（每小题2分）1. 设n x f =∂))((, 且)()(x f x g , )()(x g x f , 则))((x g ∂=_________．2. 在数域P 上有根, 但是在P 上不可约的多项式是__________多项式．3. )(x f 是首项系数为1的实系数三次多项式. 若0)()3(==i f f , 则)(x f =_________________．4. 在行列式55511511a a a a 中, 含有32a 且带有负号的项共有_________项．5. 在行列式1314021b a -中, b 的代数余子式为-24, 则a =________．6. 当矩阵A=______时, 秩A=0.7. 已知A 为三阶矩阵, 且A =1, 则A 2-=_________．8. 向量组{k ααα,,,21 }和{m βββ,,,21 }的秩分别是s 和t , 则{k αα,,1 ,m ββ,,1 }的秩r 与s ,t 适合关系式____________．9. 设A 为n 阶方阵, X 1, X 2均为方程组AX=B 的解, 且21X X ≠, 则A =____．10. 设A, B 都是三阶方阵, 秩A=3, 秩B=2, 则秩(AB)=____________．二、单选题（每小题2分））.(A) S 1={Z n m mn ∈,2}; (B) S 2={Z b a bi a ∈+,};(C) S 3={Z z nz ∈}; (D) S 4={Q b a b a ∈+,2}．2. 设0)(≠x f , 且)())(),((x d x g x f =, )()()()()(x d x v x g x u x f =+, 则错误的结．．．．论．是( ). (A) 1))()(,)()((=x d x g x d x f ; (B) )())(),((x d x v x u =; (C) )())(),()((x d x g x g x f =+; (D) )())(),((m m m x d x g x f =．3. 设行列式D 1=333231232221131211a a a a a a a a a , D 2=313233212223111213a a a a a a a a a ,则下面结论正确的有( ). (A)D 2=－D 1； (B)D 2=0； (C)D 2与D 1无关； (D)D 2=D 1．4. )(x f =xx x x x111123111212-中 4x 的系数为（ ）(A) 1, (B) 2, (C) 0, (D) 3．5. 22)13)()(1()(--+=x i x x x f 在复数域上的标准分解式是（ ）(A)22)13)()(1(--+x i x x ; (B) 22)13())((--+x i x i x ;(C)22)31())((--+x i x i x ; (D) 22)31())((9--+x i x i x ．6．若r ααα,,,21 是线性无关的向量组, 则r r k k k ααα,,,2211 也线性无关的条件是（ ）(A) r k k k ,,,21 不全为零, (B) r k k k ,,,21 全为零, (C) r k k k ,,,21 全不为零, (D)以上结论都错．7. 在一个含有n 个未知数m 个方程的线性方程组中，若方程组有解，则（ ） (A) m ＞n ； (B) m ＜n ； (C) m =n ； (D)与m ,n 的大小无关． 8. 若矩阵A 的秩为r ，则（ ）(A)A 有r 阶非零子式； (B)A 有r 阶非零子式且任意r +1阶子式为0； (C)A 的任意r +1阶子式为0； (D)A 的r 阶子式都不等于0． 9. 下列矩阵中( )不是初等矩阵(A)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001; (B)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010100; (C)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001; (D)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010101．10. 若数域P 上三元齐次线性方程组0=AX 的基础解系中仅含有一个向量,则其系数矩阵的秩是( )(A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3．三、判断正误（每小题2分）1. 若)()()(21x f x f x g +, 且)()()(21x f x f x g -, 则)()(1x f x g ,且)()(2x f x g .( )2. 若n 级行列式D ≠0, 则D 的n-1阶子式不全为零. ( )3. 初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵. ( )4. 若A,B 均为n 阶可逆矩阵, 则A+B 也是n 阶可逆矩阵． ( )5. 等价的向量组含有相同个数的向量． ( ) 四、计算题（第1、2小题每题10分，第3小题15分）1. 计算n 阶行列式nnna a a a a a a a a a a a +++111321321321．2. 设111111022110110211X --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求矩阵X ．3. 用导出组的基础解系表出线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-++-=---+=-++=+-++55493123236232335432154321432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解.五、证明题（第1小题7分，第2小题8分）1. 设P[x]的多项式)(x f 与不可约多项式)(x p 有一个公共根, 则)()(x f x p ．2. 若方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++++++11212111221111212111n n n n n n n n nn n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 有解, 则行列式111111111+++n nn n n nnn n b a a b a a b a a=0．。
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证明：充分性。直接计算 A2 = STST = SIT = A 。
必要性。对矩阵
A，存在可逆矩阵
P，Q
使得 A =
P
æ ç
I
r
è
ö
0
÷ ø
Q
=
æ Pç
è
Ir 0
ö ÷ ø
(Ir
, 0)Q
。令
S
=
æ Pç
è
Ir 0
ö ÷ ø
，
T = (Ir , 0)Q ，可证 P，Q 即为所求。显然， S 和T 分别是 n ´ r 矩阵和 r ´ n 矩阵，且因 P，Q 可逆，所以
A
A) 若向量组 I 线性无关，则 s £ t ； C) 若向量组 II 线性无关，则 s £ t ；
B) 若向量组 I 线性相关，则 s > t ； D) 若向量组 II 线性相关，则 s > t 。
3) 设非齐次线性方程组 AX = b 中未定元个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则____。
相等”，“未必相等”）。必等价，未必相等
3) 设 a1,a2 ,a3 ,a4 都是 4 维列向量， A = (a1,a2 ,a3 ,a4 ) 。已知齐次线性方程组 AX = 0 的通解是 k(0,1,1, 0)¢ 。以 A* 表示 A 的伴随矩阵，则齐次线性方程组 A* X = 0 解空间的维数是____，而____是 它的一个基础解系。3，a1,a2 ,a4 或a1,a3 ,a4 4) 设 n 元 齐 次 线 性 方 程 组 Ax = 0 和 Bx = 0 分 别 有 l, m 个 线 性 无 关 解 向 量 ， 且 l + m > n ， 则 ( A + B)x = 0 ____（选填“必有”，“未必有”）非零解。必有 5) 设{x1,x2 ,...,xn} ，{h1,h2 ,...,hn}是 V 的两组基， (h1,h2 ,...,hn ) = (x1,x2 ,...,xn )P 。又若 V 中向量 a 在基{h1,h2 ,...,hn}下的坐标向量是 X ，则a 在基{x1,x2 ,...,xn} 下的坐标向量是____。 PX
7)
设
j
是
V
到
U
的线性映射，且
j
(x1
,x
2
,
x3
)
=
(h1
,h
2
)
æ ç è
0 0
1 0
0 1
ö ÷ ø
，其中
{x1
,
x2
,
x3}
， {h1
,h 2
}
分别
是 V 和 U 的一组基，则 Kerj = ____， Imj = ____。 L(x1) ， U 或 L(h1,h2 )
8)
设
A
=
æ ç è
0 1
D
A) 当 r < n 时，方程组 AX = b 有无穷多解； B) 当 r = n 时，方程组 AX = b 有唯一解；
C) 当 r < m 时，方程组 AX = b 有解；
D) 当 r = m 时，方程组 AX = b 有解。
4) 设 A 是 m ´ n 阶矩阵， B 是 n ´ m 阶矩阵，且 AB = I ，则____。A
çè1 1 1÷ø
x1, 2x2 ,x3 下的表示矩阵是____。C
æ1 2 1ö
A)
ç ç
2
0
2
÷ ÷
；
çè 1 2 1 ÷ø
æ1
1 2
1ö
B)
ç1 ç2
0
1 2
÷ ÷
；
çè 1
1 2
1 ÷ø
æ1 2 1ö
C)
ç1 ç2
0
1 2
÷ ÷
；
çè 1 2 1 ÷ø
æ1
1 2
1ö
D)
ç ç
2
0
2
÷ ÷
。
çè 1
æ0
ö
j
在
a
,j
(a
),...,j
n -1
(a
)
下的表示矩阵
ç ç
1
ç
0 O
O
÷ ÷。 ÷
ç è
1
0
÷ ø
五、 (10 分) 设 A 是 n 阶方阵且 r( A) = r 。求证 A2 = A 的充要条件是存在 n ´ r 矩阵 S 和 r ´ n 矩阵
T ，使得 A = ST ，TS = Ir ， r(S ) = r(T ) = r 。
一组基，则j(x1),...,j(xr ) 线性无关，且可证{j(x1),...,j(xr ),xr+1,...,xn}是 V 的一组基。事实上，因为 V
的维数是 n，因此只要证明{j(x1),...,j(xr ),xr+1,...,xn}线性无关即可。设
4
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什么？
æ1 2 1ö 1 2 1
解：（法一）(a1
+
2a 2
+
a3,
2a1
+
a2
+
2a3 ,a1
+
a2
+
a3
)
=
(a1,a2 ,a3
)
ç ç
2
1
1÷÷ ， 2
1
1 = 0 ，故不
çè 1 2 1÷ø 1 2 1
是基础解系。
æ1 2 1ö
（法二）因
r
ç ç
2
1
1÷÷ = 2 < 3 ，表明它们线性相关，故不是基础解系。
7) 设 V、U、W 是数域 K 上的线性空间，又设j 、y 、 g 是都是 V 上的线性变换，则下列结论正
确的有____个。B
① Ker(j +y ) Í Kerj + Kery ；
② Im (j +y ) Í Imj + Imy ；
③ Kerj Í Ker(gj) ；
④ Imj Í Im(jg ) 。
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厦门大学《高等代数》课程试卷 1011 学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷
数学科学学院 各 系 2010 年级 各 专业
主考教师：杜妮、林鹭 试卷类型：（A 卷） 2011.1.13
一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分）
1) 设 b 为 3 维行向量， V = {(x1, x2 , x3 ) | (x1, x2 , x3 ) = b}，则____。C
r(S ) = r(T ) = r 。下证TS = Ir 。由 A2 = A ，得
因 P，Q 可逆，所以
P
æ ç
I
r
è
0
ö ÷ ø
QP
æ ç è
I
r
ö
0
÷ ø
Q
=
A2
=
A
=
æ Pç
è
Ir
0
ö ÷ ø
Q
。
（*）
æ Ir ç è
0
ö ÷ ø
=
æ ç è
Ir
0
ö ÷ ø
QP
æ ç è
I
r
0
ö ÷ ø
。
（**）
(Ir
,
0)
æ ç è
Ir
0
ö ÷ ø
QP
æ ç è
I
r
0
ö ÷ ø
æ ç è
Ir 0
ö ÷ ø
=
(Ir
,
æ 0) ç
è
Ir
0
ö ÷ ø
æ ç è
Ir 0
ö ÷ ø
=
I
r
。
（法三）（**）式
=
æ ç è
Ir 0
ö ÷ ø
(Ir
, 0)QP
æ ç è
Ir 0
ö ÷ ø
(Ir
,
0)
=
æ ç è
Ir 0
ö ÷ TS ø
çè 1 2 1÷ø
（法三）因a1 + 2a2 + a3 = 3(a1 + a2 + a3 ) - (2a1 + a2 + 2a3 ) ，故不是基础解系。
四、 (10 分) 设 j 是数域 K 上 n 维线性空间 V 的线性变换，a 是 V 中一个向量，且满足j n-1(a ) ¹ 0 ，
j n (a ) = 0 。证明：a,j (a ),...,j n-1(a ) 是 V 的一组基，并求j 在这组基下的表示矩阵。
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1011 学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷
6) 设 V1 ， V2 都 是 n 维 线 性 空 间 V 的 子 空 间 ， 且 dim(V1+V2 ) = dim V1 +1 ， 则 dim V2 - dim(V1 I V2 ) = ____。1
(Ir
,
0)
=
æTS
ç è
0
ö ÷ ø
(Ir
,
0)
=
æ TS ç è
ö
0
÷ ø
，故TS
=
Ir
。
必要性。（法四）（10 级 李荣刚）将 A 视为线性变换j 在 n 维线性空间 V 的某基下的表示矩阵，由同
构对应，则j 2 = j 。设j 的秩为 r，{xr+1,...,xn} 是 Kerj 的一组基，将扩成{x1,...,xr ,xr+1,...,xn} 为 V 的