《高等代数》(上)期末试卷(A)

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高等数学a上期末考试试题和答案

高等数学a上期末考试试题和答案高等数学A上期末考试试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 极限的定义是（）。

A. 函数在某点的值B. 函数在某点的增量C. 函数在某点的导数D. 函数在某点的无穷小答案：D2. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C3. 定积分∫₀¹x²dx的值是（）。

A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：C4. 函数f(x)=sinx在x=π/2处的值是（）。

A. 0B. 1C. -1D. π/2答案：B5. 函数f(x)=e^x的原函数是（）。

A. e^xB. e^(-x)C. ln(x)D. x答案：A6. 函数f(x)=x^3-3x^2+2的极值点是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B7. 函数f(x)=x^2+2x+1的最小值是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B8. 函数f(x)=ln(x)的定义域是（）。

A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)答案：B9. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的拐点是（）。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B10. 函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的零点是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题3分，共30分）11. 函数f(x)=x^3-3x^2+2的导数是______。

答案：3x^2-6x12. 函数f(x)=e^x的二阶导数是______。

答案：e^x13. 函数f(x)=ln(x)的不定积分是______。

答案：xln(x)-x+C14. 函数f(x)=x^2-4x+4的顶点坐标是______。

答案：(2, 0)15. 函数f(x)=sinx+cosx的周期是______。

答案：2π16. 函数f(x)=x^3-3x^2+2的单调增区间是______。

高等代数期末卷及答案

沈阳农业大学理学院第一学期期末考试《高等代数》试卷(1)1 •设 f (x) = x 4+x ? +4x - 9 ,贝H f (一3) = 69 .. 2•当 t = _2,-2 . 时，f(x)=x 3—3x+t 有重因式。

3.令f(x),g(x)是两个多项式，且f(x 3) xg(x 3)被x 2x 1整除，则 f(1)=_0_^ g(1)= 0 . 0 6 2=23 。

1 1 —-2 0 1x , 2x 2 2x 3 x 4 二 07. 2x 1 x 2 -2x 3 -2x 4 二 0 的一般解为x( ~'X 2 _'4x 3 ~3x 4 = 0题号-一--二二-三四五六七总分得分、填空(共35分，每题5 分)得分4.行列式1 -35.■’4 10"1 0 3-1、 -1 1 3'9 -2 -1 2 1 0 2」2 0 1< 9 9 11<1 3 4 丿6.z5 0 0 1 -1<0 2 1；0-2 3矩阵的积c 亠5 刘=2x3 X44x3, x4任意取值。

X2 二-2x^ --x4、(10分)令f(x),g(x)是两个多项式。

求证当且仅当(f(x)g(x), f(x)g(x))=1。

证：必要性.设(f(x)g(x), f (x)g(x)) =1。

故 p(x) |1 矛盾。

(2%)充分性.由(f (x)g(x), f (x)g(x)^1知存在多项式u(x), v(x)使u(x)(f(x) g(x)) v(x)f(x)g(x)=1,(2%)从而 u(x)f(x) g(x)(u(x) v(x) f(x)) =1,(2%)故(f (x), g(x)) =1 o (1%)ax 「bx 2 2x 3 =1 ax 1 (2 b -1)x 2 3x 3 =1 ax 1 bx 2 - (b 3)X 3 = 2b _1有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。

高代期末考试试卷

高代期末考试试卷一、选择题（每题4分，共40分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. [1 2; 3 4]B. [1 0; 0 0]C. [2 0; 0 2]D. [1 1; 1 1]2. 矩阵A的特征值是λ1和λ2，那么矩阵A^2的特征值是？A. λ1^2, λ2^2B. 2λ1, 2λ2C. λ1, λ2D. λ1+λ2, λ2+λ13. 线性方程组有非零解的条件是？A. 系数矩阵的行列式不等于0B. 系数矩阵的行列式等于0C. 增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩D. 增广矩阵的秩不等于系数矩阵的秩4. 以下哪个向量组是线性无关的？A. [1, 0], [0, 1]B. [1, 1], [1, 2]C. [1, 2], [2, 4]D. [1, 2, 3], [4, 5, 6]5. 矩阵A的秩是3，那么矩阵A的零空间的维数是？A. 0B. 1C. 2D. 36. 以下哪个矩阵是对称矩阵？A. [1 2; 3 4]B. [1 3; 3 1]C. [2 1; 1 2]D. [1 0; 0 1]7. 以下哪个矩阵是正交矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [1/√2 1/√2; -1/√2 1/√2]C. [1 1; 1 1]D. [1 2; 3 4]8. 以下哪个矩阵是幂等矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [1 1; 1 1]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]9. 以下哪个矩阵是投影矩阵？A. [1 0; 0 0]B. [1 1; 1 1]C. [1 0; 0 1]D. [0 1; 1 0]10. 以下哪个矩阵是单位矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [1 1; 1 1]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]二、填空题（每题4分，共20分）1. 矩阵的迹是其对角线元素的______。

2. 矩阵的转置是将矩阵的行和列进行______。

3. 矩阵的行列式可以通过______展开来计算。

《高等代数》期末考试卷

[ ϑ1 2 3 | | 22高等代数期末考试卷一、单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分）1)设 b 为 3 维行向量， V = {(x 1 , x 2 , x 3 ) | ( x 1 , x 2 , x 3 ) = b }，则。

CA) 对任意的 b ，V 均是线性空间； B) 对任意的 b ，V 均不是线性空间； C) 只有当 b = 0 时，V 是线性空间；D) 只有当 b σ 0 时，V 是线性空间。

2)已知向量组 I ：α1 ,α2 ,...,α s 可以由向量组 II ： ⎭1 , ⎭2 ,..., ⎭t 线性表示，则下列叙述正确的是。

AA) 若向量组 I 线性无关，则 s t ； B) 若向量组 I 线性相关，则 s > t ； C) 若向量组 II 线性无关，则 s t ；D) 若向量组 II 线性相关，则 s > t 。

3)设非齐次线性方程组 AX = ⎭ 中未定元个数为 n ，方程个数为 m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则。

DA) 当 r < n 时，方程组 AX = ⎭ 有无穷多解； B) 当 r = n 时，方程组 AX = ⎭ 有唯一解；C) 当 r < m 时，方程组 AX = ⎭ 有解；D) 当 r = m 时，方程组 AX = ⎭ 有解。

4)设 A 是 m n 阶矩阵， B 是 n m 阶矩阵，且 AB = I ，则。

AA) r ( A ) = m , r (B ) = m ；B) r ( A ) = m , r (B ) = n ；C) r ( A ) = n , r (B ) = m ；D) r ( A ) = n , r (B ) = n 。

{1 1 1[5)设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换ϕ 在基 ⋂ ,⋂ ,⋂ 下的表示矩阵是|1 0 1|，则 ϕ 在基|1 1 1|⋂1 , 2⋂2 ,⋂3 下的表示矩阵是。

2020-2021大学《高等代数》期末课程考试试卷A(含答案)

2020-2021《高等代数》期末课程考试试卷A适用专业：考试日期：试卷类型：闭卷考试时间：120分钟试卷总分：100分一、填空（共40分，每小题4分）1.向量空间n P 的子空间12112{(,,,,0)0,}n k W x x x x x x P -=+=∈的维数为____________,它的一组基为__________________．2.已知111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是矩阵2125312A a b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的一个特征向量，则_______,_______a b ==特征向量α对应的特征值0___________λ=．3.k 满足___________时，二次型22212312132(1)22f x x k x kx x x x =--+---是负定的。

4.设矩阵20022311A x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与10002000B y -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似，则_________,________x y ==．5.在空间[]n P x 中，设变换σ为()(1)()f x f x f x →+-，则σ在基0(1)(1)1,(1,2,1)!i x x x i i n i εε--+===-下的矩阵为____________________．6.相似矩阵的特征值__________.7.向量)1,3,2,4(),4,3,2,1(==βα,则内积=),(βα___________. 8.若A 是实对称矩阵,则 A 的特征值为____________.9.n 元实二次型),,,(21n x x x f 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于___________________.10.对于线性空间V 中向量)1(,,,21≥r r ααα ,若在数域P 中有r 个不全为零的数r k k k ,,,21 ,使02211=+++r r k k k ααα ,则向量r ααα,,,21 称为_________.二、（15分）设V 是实数域上由矩阵A 的全体实系数多项式组成的空间，其中2100100,200A ωωω⎛⎫- ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,求V 的维数和一组基.三、（15分）用非退化线性替换化二次型22212312132322448x x x x x x x x x ---++为标准形.四、（15分）在4P 中，求由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵，并求向量ξ在基1234,,,ηηηη下的坐标，设(1,0,1,0)ξ=1234(1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)εεεε=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩； 1234(2,1,1,1)(0,3,1,0)(5,3,2,1)(6,6,1,3)ηηηη=-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩.五、（15分）设1234,,,εεεε是四维线性空间V 的一组基，已知线性变换σ在这组基下的矩阵为1021121312552212⎛⎫⎪- ⎪⎪⎪--⎝⎭ 1）求σ在基11242234334442,3,,2ηεεεηεεεηεεηε=-+=--=+=下的矩阵； 2）求σ的核与值域.2020-2021《高等代数》期末课程考试试卷A 答案一、填空（共40分，每小题4分）1、向量空间n P 的子空间12112{(,,,,0)0,}n k W x x x x x x P -=+=∈的维数为__2n -__________,它的一组基为122(1,1,0,,0,0),(0,0,1,,0,0),,(0,0,0,,1,0)n εεε-=-==_。

高等代数上期末复习题

高等代数（1）复习题一、判断题1、四阶行列式中含因子2311a a 的项为42342311a a a a 和44322311a a a a 。

（）2、设D 为六阶行列式，则162534435261a a a a a a 是D 中带负号的项。

（）3、对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变。

（）4、排列()3211 -n n 的逆序数为n 。

（）5、排列()3211 -n n 为偶排列。

（）6、若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数。

（）7、若22B A =，则B A =或B A -=。

（）8、若AC AB =，0≠A ，则C B =。

（）9、若矩阵A 满足A A =2，则0=A 或E A =。

（） 10、设A 是n 阶方阵，若0≠A ，则必有A 可逆。

（） 11、若矩阵A 满足02=A ，则0=A 。

（）12、若矩阵B A ,满足0AB =，且0A ≠，则0B =。

（） 13、对n 阶可逆方阵A ，B ，必有()111---=B A AB 。

（）14、对n 阶可逆方阵A ，B ，必有()111---+=+B A B A 。

（）15、设A ，B 为n 阶方阵，则必有B A B A +=+。

（） 16、设A ，B 为n 阶方阵，则必有BA AB =。

（） 17、若矩阵A 与B 等价，则B A =。

（）18、若A 与B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵。

（）19、若矩阵A 的所有1r +级的子式全为零，则A 的秩为r 。

（） 20、设n m A ⨯，n m B ⨯为矩阵，则()()()B R A R B A R +≤+。

（） 21、设A =0，则()0=A R 。

（）22、线性方程组0=⨯X A n n 只有零解，则0≠A 。

（） 23、若b AX =有无穷多解，则0=AX 有非零解。

（）24、设n 级方阵C B A ,,满足ABC E =，E 为单位矩阵，则CAB E =。

高等代数2009-2010第一学期期末试卷答案

高等代数（北大版）第一学期考试卷答案一、选择题（每小题3分，共24分）1.Ｄ2.Ｃ3.Ｂ4.Ｄ5.Ａ6.Ｂ7.Ｃ8.Ａ二、填空题（每小题3分，共１８分）1．322(1)5(1)7(1)1x x x -+-+-- 2．2x + 3．1()2n n +- 4．)1,,1,1( c x = 5．d6．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-3/13/1003/23/100005200211A三、计算题（本大题共３个小题，共2２分.请写出必要的推演步骤和文字说明）１．（6分）设b ax x x x x f +++-=23463)(，1)(2-=x x g ，a 与b 是什么数时，)(x f 能被)(x g 整除？解：方法一、利用辗转相除法，得余式：7)3()(++-=b x a x r ，………………………………………..4分由已知， 7,3-==b a ……………………………………………..2分方法二、由于)(x f 能被)(x g 整除，而1)(2-=x x g 的零点为1和-1，所以1和-1也应是)(x f 的零点，即04)1(=++=b a f 和 010)1(=+-=-b a f …………5分故7,3-==b a …………………………………………………...….1分２．（8分）已知B AX X +=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101111010A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=350211B ，求矩阵X 。

解：由 B AX X += 得 B X A E =-)(而 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-201101011101111010100010001A E 可逆…………….2分可以求得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--11012312031)(1A E ……………………………………….. .3分所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-11012312031)(1B A E X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--350211=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110213………………3分３．（８）b a ,取什么值时,线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++bx x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 5432154325432154321334536223231有解？在有解的情形求一般解。

厦门大学参考答案--08-09学年第一学期《高等代数》期末考试卷

厦门⼤学参考答案--08-09学年第⼀学期《⾼等代数》期末考试卷特别说明：答案写在答题纸上⼀、单选题（32分. 共8题, 每题4分）1.下列说法错误的是A) 若向量组123,,ααα线性⽆关，则其中任意两个向量线性⽆关； B) 若向量组123,,ααα中任意两个向量线性⽆关，则123,,ααα线性⽆关； C) 向量组122331,,αααααα---线性相关；D) 若向量组123,,ααα线性⽆关，则112123,,αααααα+++线性⽆关.2. 设n 维列向量12,,...,m ααα()m n <线性⽆关, 则n 维列向量12,,...,m βββ线性⽆关的充要条件是A) 向量组12,,...,m ααα可由向量组12,,...,m βββ线性表⽰； B) 向量组12,,...,m βββ可由向量组12,,...,m ααα线性表⽰； C) 向量组12,,...,m ααα与向量组12,,...,m βββ等价； D) 矩阵12(,,...,)m A ααα=与矩阵12(,,...,)m B βββ=相抵.3.设线性⽅程组0Ax =的解都是线性⽅程组0Bx =的解，则A) ()()r A r B <； B) ()()r A r B >； C) ()()r A r B ≥；D) ()()r A r B ≤.4.设n 阶⽅阵A 的伴随矩阵*0A ≠，⾮齐次线性⽅程组Ax b =有⽆穷多组解，则对应的齐次线性⽅程组0Ax =的基础解系 A) 不存在；B) 仅含⼀个⾮零解向量；C) 含有两个线性⽆关的解向量； D) 含有三个线性⽆关的解向量.5.下列⼦集能构成22R的⼦空间的是A) 221{|||0,}V A A A R ?==∈；B) 222{|()0,}V A tr A A R==∈；C) 2223{|,}V A A A A R ?==∈；D) 224{|,}V A A A A A R ?'==-∈或.6.设V 是数域K 上的线性空间, V 上的线性变换?在基12,,...,n ααα下的矩阵为A 且||2A =，若?在基11,,...,n n ααα-下的矩阵为B , 则||B =A) 2n； B) 2； C)12； D) 不能确定.7.设V 是n 维向量空间，?和ψ是V 上的线性变换，则dimIm dimIm ?ψ=的充分必要条件是A) ?和ψ都是可逆变换；B) Ker ?=Ker ψ；C) Im Im ?ψ=； D) ?和ψ在任⼀组基下的表⽰矩阵的秩相同. 8.设?是线性空间V 到U 的同构映射, 则下列命题中正确的有个. (Ⅰ) ?为可逆线性映射；(Ⅱ) 若W 是V 的s 维⼦空间, 则()?W 是U 的s 维⼦空间； (Ⅲ) ?在给定基下的表⽰矩阵为可逆阵；(Ⅳ) 若12V=V V ⊕, 则1212)))⊕=⊕(V V (V (V . A) 1B) 2C) 3D) 4⼆、填空题（32分. 共8题,每题4分）1. 若矩阵1234(,,,)A αααα=经过⾏初等变换化为1003002401050000-??-, 那么向量组1234,,,αααα的⼀个极⼤⽆关组是其余向量由此极⼤⽆关组线性表⽰的表⽰式为.2. 设3维向量空间的⼀组基为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)ααα===，则向量(2,0,0)β=在这组基.3. 设1V ，2V 均为线性空间V 的⼦空间，则12()L V V ?4. 数域K 上所有三阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是的⼀组基. 5. 已知12K上的线性变换?定义如下：((,))(0,)ab a ?=-，则Ker ?=Im ?6. 设?是数域K 上n 维线性空间V 到m 维线性空间U 的线性映射, 则?为满射的充分必要条件是（请写出两个）7. 设12,,...,n ααα和12,,...,n βββ是线性空间V 的两组基，从12,,...,n ααα到12,,...,n βββ的过渡矩阵为P . 若?是V 上的线性变换且,()i i ?αβ=1,2,...,i n =，则?在基12,,...,n βββ下的表⽰矩阵是8. 设?是线性空间V 上的线性变换，?在基12,,...,n ααα下的表⽰矩阵为0A B C ??，其中A 为r r ?矩阵，则存在V 的⼀个⾮平凡?-,,)r α.三、(8分) 设线性空间V 的向量组12,,...,m ααα线性⽆关，V β∈，考虑向量组12,,,...,m βααα.求证：或者该向量组线性⽆关，或者β可由12,,...,m ααα线性表⽰. ,,m α线性相关，则存在不全为,,k m 使得+k m m α+=．事实上，若k +k m m α+=12,,...,ααα线性⽆关知1m k ==k =0．m ==k =0．,,k m 不全为０相⽭盾．mm k k α--从⽽，或者该向量组线性⽆关，或者β可由α四、(10分) 设1V ,2V 分别是数域K 上的齐次线性⽅程组12n x x x == =与120n x x x +++=的解空间. 证明112n KV V ?=⊕.1n V V a ?∈n n a a ==++=，则0n a ===1n n K a ??∈，11i V a n∈∑, 21n i i V a n =??∈?∑n a ＝1n i i a n =?∑＋n a1n V V a ∈n n a a ==++=，则0n a ===(1)000011n n-?，1,1,,1)n ?，所以1．故1dim V (1)000011n n-? ?，1,1,,1)n ?，1dim 1,dim V =1n n K a ??∈，11i n V a n ?∈∑, 21n i i n V a n =??∈?∑n a ＝1n i i n a n =?∑＋n n a五、(10分) 设m n A K ?∈. 证明：()r A r =的充分必要条件是存在m r B K ?∈，r n C K ?∈，使得()()r B r C r ==且A BC =.证明：充分性：由于m rB K∈，r nC K∈满⾜()()r B r C r ==且A BC =，所以()()()()()r r B r C r r A r BC r B r =+-≤=≤=故()r A r =．必要性：由于()r A r =，所以存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q 使得000rI A P Q ??=．令,(,0)0r r I B P C I Q ??==，则m r B K ?∈，r n C K ?∈满⾜()()r B r C r ==且A BC =．六、(8分) 设V , U, W 是有限维线性空间，:V U ?→，:W U ψ→是线性映射. 求证：存在线性映射:V W σ→使得?ψσ=的充分必要条件是Im Im ?ψ?.证明：充分性：法⼀：取V 的⼀组基12,,,n ααα，由于Im Im ?ψ?，所以()Im i ?αψ∈，1i n ?≤≤，即存在i W β∈使得()()i i ?αψβ=．定义线性映射:V W σ→满⾜(),1i i i n σαβ=?≤≤，则()()(),1i i i i n ψσαψβ?α==?≤≤．因此，ψσ?=．法⼆：取V 的⼀组基12,,,n ξξξ，U 的⼀组基12,,,m ηηη，W 的⼀组基12,,,s γγγ．设1212(,,,)(,,,)n m m n A ?ξξξηηη?= 1212(,,,)(,,,)s m m s B ψγγγηηη?=其中1212(,,,),(,,,)n s A B αααβββ==．由于I m I m ?ψ?，所以1212(,,,)(,,,)n s L L αααβββ?，即11,sj ij i i j n c αβ=?≤≤=∑．取()ij s n C c ?=，则A B C =．定义线性映射:V W σ→满⾜1212(,,,)(,,,)n s C σξξξγγγ=，则?ψσ=.必要性：对任意Im β?∈，存在V α∈使得()β?α=．由于?ψσ=，所以()β?α=(())Im ψ?αψ=∈从⽽，Im Im ?ψ?．附加题: (本部分不计⼊总分)设V , U, W 是有限维线性空间且dim dim V W =，:V U ?→，:W U ψ→是线性映射. 证明：存在可逆线性映射:V W σ→使得?ψσ=的充分必要条件是Im Im ?ψ=.证明：充分性：法⼀：由于d i m d i m V W =且Im Im ?ψ=，所以由维数公式知：d i m d i m Ke r K e r ?ψ=．取Ker ψ的⼀组基12,,,r ηηη；Ker ?的⼀组基12,,,r ξξξ，将其扩充为V的⼀组基121,,,,,r r n ξξξξξ+，则1(),()r n ?ξ?ξ+是Im ?的⼀组基．由于Im Im ?ψ=，所以1(),()r n ?ξ?ξ+是Im ψ的⼀组基．设()(),1i i r i n ?ξψη=?+≤≤，由于1(),,()r n ψηψη+线性⽆关，所以1,,r n ηη+线性⽆关．我们断⾔，121,,,,,,r r n ηηηηη+线性⽆关．事实上，若1122110r r r r n n k k k k k ηηηηη++++++++=，则将ψ作⽤于上式得11()()0r r n n k k ψηψη++++=．由于1(),,()r n ψηψη+线性⽆关，所以10r n k k +===．于是1122r r k k k ηηη+++＝０．⼜12,,,r ηηη是Ker ψ的⼀组基，故10r k k ===从⽽，121,,,,,,r r n ηηηηη+线性⽆关．注意到dim W n =，故121,,,,,,r r n ηηηηη+是W 的⼀组基．定义线性映射:V W σ→满⾜(),1i i i n σξη=?≤≤．由于12,,,n ξξξ是V 的⼀组基，12,,,n ηηη是W的⼀组基，故σ可逆．⼜()()(),1i i i i n ψσξψη?ξ==?≤≤，从⽽?ψσ=．法⼆：取V 的⼀组基12,,,n ξξξ，U 的⼀组基12,,,s γγγ，W 的⼀组基12,,,n ηηη．设1212(,,,)(,,,)n s s n A ?ξξξγγγ?=1212(,,,)(,,,)n s s n B ψηηηγγγ?=且dimIm dimIm r ?ψ==，则()()r A r B r ==．于是，存在n 阶可逆矩阵,P Q 使得1(,0),AP A =1(,0)BQ B =，其中11,s r A B K ?∈列满秩．由于Im Im ?ψ=，所以同上题证明可知存在n 阶矩阵C 使得A BC =，则11(,0)()A AP BQ Q CP -==．设111212122X X Q CP X X -??=，其中11X 是r 阶⽅阵，则1112112122(,0)(,0)X X A B X X ??=．从⽽，1111A B X =．⼜1A 列满秩，所以存在2r sA K ?∈使得21r A A I =．于是，212111()r I A A AB X ==，即11X 是可逆矩阵．因此，存在可逆矩阵11100n r X X Q P I --??=使得()111111111111100(,0),0(,0)00n r n r X X BX BQ P B P B X P A P A I I ------=====定义线性映射:V W σ→满⾜1212(,,,)(,,,)n n X σξξξηηη=由于X 可逆且A BX =，故σ可逆且?ψσ=．必要性：由于?ψσ=，所以同上题证明可知Im Im ?ψ?．⼜由:V W σ→可逆可知1ψ?σ-=，所以Im Im ψ??．从⽽，Im Im ?ψ=．。

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《高等代数》（上）期末试卷（A ）
一、填空题（每空3分，共15分）
1．设方阵1112223
3
3b x c A b x c b x c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1
112
223
3
3b y c B b y c b y c ⎡⎤
⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎣⎦
，且2,3A B =-=，则行列式2A B += .
2.已知A 是一个34⨯矩阵，且秩()2A =，而102020103B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，则秩()BA = . 3. 多项式2005
20042
322006()(54)31(8112)f x x x x x x ⎡⎤=--+-+⎣⎦
的所有系数之和
＝，常数项＝ .
4. ()f x 为多项式，用1x -除时余式为3，用3x -除时余式为5，则用(1)(3)x x --除时余式为 .
二、选择题（每题3分，共12分）
1．设n 维向量组12345,,,,ααααα的秩为3，且满足135230,ααα+-=
242,αα=则向量组的一个极大无关组为（）
A ． 125,,ααα；
B ． 124,,ααα； C. 245,,ααα； D. 135,,ααα. 2. A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则（）
A ．当m n >时，必有行列式0A
B ≠； B ．当m n >时，必有行列式0AB =；
C ．当n m >时，必有行列式0AB ≠；
D ．当n m >时，必有行列式0AB =.
3．设,A B 都是可逆矩阵，则矩阵0A C B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为（）
A ． 1
1
10A C
B ---⎡⎤
⎢⎥⎣⎦； B ． 1110B C A ---⎡⎤⎢⎥⎣⎦
；
C ． 1
11
10A A CB B ----⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦； D ．11110A B CA B ----⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
. 4.已知()p x 是数域P 上的不可约多项式，(),()[],f x g x P x ∈ 则下列命题中错误的是（）
A ．若()|(),p x f x 则((),())1p x f x =；
B ．若((),())1,p x f x =则()|()p x f x ；
C ．若()()(),p x f x g x 且()|(),p x f x 则((),())1p x g x ≠；
D ．若()()(),p x f x g x 则((),())1f x g x =.
三、计算题（共51分）
1. (12分)计算行列式111212122212
n n n n n n
a b a b a b a b a b a b D a b a b a b ------=
---.
2. （15分）,a b 取什么值时，线性方程组1234512345
234512345132322635433x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x b
++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩
有解？在有解的情形，求一般解.
3．（12分）已知AX B X =+,其中012114210A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 112341B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，求矩阵.X 4.（12）设 5
4
3
2
()2101616146f x x x x x x =-+-+-，
分别求()f x 在复数域、实数域和有理数域上的标准分解式. 四、证明题（共22分）
1. （12分）设*η 是非齐次线性方程组AX β=的一个解，12,,,n r ξξξ-是对应的齐
次线性方程组0AX =的一个基础解系，证明：
（1）12*,,,,n r ηξξξ-线性无关；
（2）12*,*,*,
,*n r ηηξηξηξ-+++线性无关.
（2、3题任意选作一题，10分）
2.设,A B 为n 阶矩阵，2
2
,,A A B B ==证明：2
()A B A B +=+当且仅当
0.AB BA ==
3．设(),()f x g x 是数域P 上的多项式，()f x 与()g x 的最小公倍式指的是[]P x 中满足以下条件的一个多项式():m x （a ）()()f x m x 且()()g x m x ；
（b ）如果[][]h x P x ∈且()()f x h x ，()()g x h x ，那么()()m x h x .
（1）证明：[]P x 中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的差别外，是唯一的；
（2）设(),()f x g x 都是最高次项系数是1的多项式，令[(),()]f x g x 表示()f x 与
()g x 最高次项系数是1的那个最小公倍式，证明：
()()()(),()[(),()].f x g x f x g x f x g x =。