《高等代数》试题库
《高等代数》多项式试题库
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(1 �
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� 1 ;(vi) 1 �
1 2!
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1 3!
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xn
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其中
是
多项式.
3. 零多项式是
, 零次多项式是
.
n
m
4.
� � 设 多 项 式 f ( x) � ai x i , g ( x) � bi x i
i �1
i �1
,
则 f (x)g(x) 的 k 次 项 系 数
二 证明题
1. 证明 x f k (x) 的充分必要条件是 x f (x) .
2. 证明 . x 8 � x 7 � x 5 � x 4 � x 3 � x � 1 x 12 � x 9 � x 6 � x 3 � 1
3. 证明 x d �1 整除 x n �1 的充要条件是 d n .
4. 证明, 若 x 3 � x 2 � x � 1 f ( x 4 ) � xg (x 4 ) � x 2 h(x 4 ) ,则 x � 1 同时整除 f ( x), g ( x), h( x) . 与例 2 联系,将此题推广到一般结果,并证明你的结论.
(C)若 g (x) Q f (x) ,则 g ( x) R f ( x) ;(D)若 g (x)� R f (x) ,则 g ( x)� q f ( x) .
3. 设 p(x) f (x), p(x) g (x) ,则 p( x) 整除于
.
① f ( x) � g ( x) ;② f 2 ( x) � g 2 ( x) ;③ f ( x) g ( x) ;④ f 3 (x) � g 3 (x) .
a2 � b2 n
高等代数试题附答案
科目名称：《高等代数》姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌一、填空题（每小题5分，共25分）1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。
2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩） 是线其中7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。
（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。
（ ）9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是)(2R M 的子空间。
（ ）10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。
（ ） 三、明证题（每小题××分，共31分）1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。
（10）2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻，2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。
（11）3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥=+2121W W W W 。
（10） 四、计算题（每小题8分，共24分）⎫⎛-331AP 为对考试形式：闭卷 4、特征根是1，1，2，特征向量分别为()(),1,1,2,1,1,121-==αα 5、秩为 3二、是非题（每小题2分，共20分）1、（是 ）2、（是 ）3、（是 ）4、（否 ）5、（否 ）6、（否 ）7、（是 ） 8、（是 ） 9、（是 ） 10、（是 ）三、明证题（每小题××分，共31分）1、证明 设A 可逆，则1-A 存在，且1-A 也是V 的线性变换，（1） 若n A A A εεε,,,21 线性相关，则)(,),(),(12111n A A A A A A εεε--- ，(2)即n εεε,,,21 也线性相关，这与假设n εεε,,,21 是基矛盾，故n A A A εεε,,,21 线性无的一组存在即n A ε,是（10） 则() ⊥⊥⊥=+2121W W W W 。
高等代数分类题库
高等代数分类题库选择题1. 设A 为全体正整数所成的集合，下列结论中不是A 的代数运算的是（ ）(A) ab b a →),(；(B) b a b a →),(; (C) b b a a log ),(→; (D) b a b a +→),(.2. 欲使4231213a a a a k i a 5成为5阶行列式的一个带正号的项, 则k i ,的取法（ ）(A) 有四种; (B) 有三种; (C) 有两种; (D) 仅有一种.3. 设A 是n 阶矩阵，k 是一个数，则=)det(kA ( )(A)A k ndet ； (B) A k det ； (C) A k det ； (D) A k d e t - A.4. 若矩阵A 的秩为r ，则下列说法中正确的是 ( )(A)A 中只有一个r 阶子式不为零; (B) A 中至少有一个r 阶子式不为零;(C)A 中也可能有r +1阶子式不为零; (D) A 中所有r -1阶子式全不为零.5. 设A ，B 是n 阶矩阵，0是n 阶零矩阵. 若AB = 0，则一定有( )(A) A = 0或B = 0; (B) 0≠A 且0≠B ;(C) A 和B 都不可逆; (D) A 和B 中至少有一个奇异.6.A 、B 为n 阶矩阵，则秩(A B + ) ( )(A) > 秩 (A ) + 秩（B ）； (B) ≤ 秩 (A ) + 秩（B ）；(C) > max (秩 (A ), 秩（B ）)； (D) < min ( 秩 (A ), 秩（B ）).7．A 是m k ⨯矩阵, B 是k t ⨯矩阵, 若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是（ ）(A) AB 的第j 列元素全等于零； (B) AB 的第j 行元素全等于零；(C) BA 的第j 列元素全等于零； (D) BA 的第j 行元素全等于零.8．设,A B 为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（ ）(A) 222()2A B A AB B +=++ (B) 22()()A B A B A B -=+-(C) 222()AB A B = (D) 22()()A E A E A E -=+-9．下列命题正确的是（ ）(A) 若AB AC =，则B C = (B) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (C) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (D) 若AB AC =，且0,0B C ≠≠，则B C =10．以下结论正确的是（ ）(A) 如果矩阵A 的行列式0A =,则0A =；(B) 如果矩阵A 满足20A =，则0A =；(C) 如果矩阵A 满足20A =，则A ≠0；(D)n 阶数量阵与任何一个n 阶矩阵都是可交换的； 11．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵()T B B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（ ）(A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2()AB (D) BAB12. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么（ ）是对称矩阵.(A) T A A (B) T A A - (C) 2A (D) T A A -13．以下结论不正确的是（ ）(A) 如果A 是上三角矩阵，则2A 也是上三角矩阵；(B) 如果A 是对称矩阵，则 2A 也是对称矩阵；(C) 如果A 是反对称矩阵，则2A 也是反对称矩阵；(D) 如果A 是对角阵，则2A 也是对角阵.14．以下结论正确的是（ ）(A) 如果矩阵A 的行列式0A =,则0A =；(B) 如果矩阵A 满足20A =，则0A =；(C) n 阶数量阵与任何一个n 阶矩阵都是可交换的；(D) 对任意方阵,A B ，有22()()A B A B A B -+=-.15．如果矩阵,A B 满足A B =，则（ ）(A)A B = (B)T A B = (C)A B ≠ (D)A B =可能成立也可能不成立16.设A 是n 阶矩阵，A 适合下列条件（ ）时，n I A -必是可逆矩阵.(A) 0n A = (B) A 是可逆矩阵 (C)A n≠0 (D) 主对角线上的元素全为零 17．n 阶矩阵A 是可逆矩阵的充分必要条件是（ ）. (A) 1A = (B) 0A = (C) TA A = (D) 0A ≠18．,,A B C 均是n 阶矩阵，下列命题正确的是（ ）. (A) 若A 是可逆矩阵，则从AB AC =可推出B =C ;(B) 若A 是可逆矩阵，则必有AB BA =;(C) 若0A ≠，则从AB AC =可推出B C =;(D) 若B C ≠，则必有AB AC ≠.19．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，则有（ ）.(A)ACB E = (B) BAC E = (C) BCA E = (D) CBA E =20．A 是n 阶方阵，*A 是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ ）(A)若A 是可逆矩阵，则*A 也是可逆矩阵；(B)若A 是不可逆矩阵，则*A 也是不可逆矩阵；(C)若*0A ≠，则A 是可逆矩阵； (D) *AA A =;21. 设A 是n 阶可逆矩阵, 则 ( )(A) 秩)(AB ≤秩)(BA ; (B) 秩)(AB =秩)(BA ;(C) 秩)(AB ≤秩)(BA ; (D) 秩)(AB =n .22. 设A 是数域上的任一奇数阶方阵, 则下列结论一定成立的是( ).(A) 0='-A A ; (B) 0≠'-A A ; (C) 0='+A A ; (D) 0≠'+A A23. 假设A B ,都是n 阶矩阵，且0det ≠A ，则AB 的秩 ( )(A) 一定等于A 的秩； (B) 一定等于B 的秩；(C) 一定小于A 的秩； (D) 一定小于B 的秩.24.A 为n 阶矩阵，r E 为r 阶单位矩阵，则秩 A E r ⎪⎪⎭⎫⎝⎛000 =( ) (A) = r 或 = 秩 (A )(B)= max ( 秩 (A )，r ) (C) < min (秩 (A )，r ) (D) 以上都不对25. n 阶矩阵A 与B 相似, 则下列结论中不正确的是( )(A) A 与B 有相同的迹; (B) A 与B 有相同的特征值;(C) A 与B 有相同的特征向量; (D) A 与B 有相同的行列式.26. 若)(x g ,)(x f 都是多项式环][x F 中的非零多项式, 且)(|)(x f x g , 则)(x g 与)(x f 之间的次数关系是( )(A) 次()(x f )≥次))((x g ; (B) 次()(x f )<次))((x g ;(C) 次()(x f )>次))((x g ; (D) 以上结论都不对.27.已知()p x 是数域P 上的不可约多项式，(),()[],f x g x P x ∈则下列命题中错误的是（ ）(A) 若()|(),p x f x 则((),())1p x f x =；(B) 若((),())1,p x f x =则()|()p x f x ；(C) 若()()(),p x f x g x 且()|(),p x f x 则((),())1p x g x ≠；(D) 若()()(),p x f x g x 则((),())1f x g x =.28. 若n 元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵的秩是1+n , 则该方程组 ( )(A) 有唯一解; (B) 无解; (C) 有无穷多解; (D)不能判定其解的数量..29. 设C R ,分别是实数域和复数域, 则以下结论中不正确的是( )(A) C 作成C 上的向量空间; (B) R 作成C 上的向量空间 ;(C) C 作成R 上的向量空间; (D) R 作成R 上的向量空间..30. 设V 是实数域R 上)1(>n n 阶对角形矩阵构成的向量空间, 则V 的维数是( )(A) 1; (B) n ; (C) n 2; (D) 2n .31．把复数域C 看成实数域R 上的向量空间(运算是普通数的加法与乘法), C 的维数是( )(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4.32. 若n 阶矩阵A 的行列式不为零, 下列数中哪一个一定不是A 的特征值( )(A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3.33. 向量组r ααα,,,21 )2(≥r 线性相关⇔ ( )(A) 其中必含有零向量; (B) 其中每个向量都是其余向量的线性组合;(C) 每个部分组线性相关; (D) 其中存在一个向量是其余向量的线性组合.34. 向量组m ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是它所构成的矩阵()m A ααα,,,21 =的秩( )(A) 等于m +1; (B) 大于m ; (C) 等于m ; (D) 小于m .35.已知向量组12,,,n σσσ线性相关，则下列命题成立的是( ) (A) 12,,,n σσσ 中至少有一个含有零向量；(B) 对任意一组不全为零的常数12,,,n k k k ，有11220n n k k k σσσ+++=； (C) 12,,,n σσσ中任意一个向量均可由其余1m -个向量线性表示；(D) 秩（12,,,n σσσ）< m . 36.方程组⎩⎨⎧=+=+002121x x x x λλ，当λ=____________时，方程组有非零解.(A) 0 (B) ±1 (C) 2 (D) 任意实数37.下列向量组中，____________是线性无关向量组.(A) (1, 2), (--3, 0), (5, 1) (B) (1, 1, 0), (0, 0, 3), (2, 2, 0)(C) (2, 6, 0), (3, 9, 0), (0, 0, 2) (D) (1, 1, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3)38.齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-000313221x x x x x x ，________是它的一个基础解系.(A) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011,222 (B) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110,444(C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111 (D) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101 39．当k = _________ 时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+=-+)4)(3()2)(1(2242332321k k x k k x x x x x 无解.(A) 2 ； (B) 3 ； (C) 4 ； (D) 5 .40.若向量组123,,σσσ是齐次线性方程组0AZ =的一个基础解系，则向量组（ ）也是0AZ =的一个基础解系.(A)122331,,σσσσσσ++- (B) 1223123,,2σσσσσσσ++++(C)112122,,σσσσσ+- (D) 12123,,σσσσσ+-41.如果12,ξξ是线性方程组AX b =的两个不同解，η是齐次线性方程组0AX =的一个非零解，则___________.(A) 向量组121,ξξξ-线性无关；(B) 向量组12,ξξη-线性相关；(C) AX b =的通解为1k ξη+，其中k 为任意数；(D) AX b =的通解为112()s t ξξξη+-+,其中,s t 为任意数.42 设A 为m n ⨯矩阵，秩 (A ) = r ，则下列结论中正确的是___________.(A)r n = 时，Ax b = 有唯一解；(B)m n = 时，Ax b = 有唯一解 ；(C)r n < 时，Ax b = 有无穷多解；(D)m n = 时，Ax b =有解.43．设n 维向量组12345,,,,ααααα的秩为3，且满足135230,ααα+-=242,αα=则向量组的一个极大无关组为（ ）(A) 125,,ααα (B) 124,,ααα (C) 245,,ααα (D) 135,,ααα44．设,A B 都是可逆矩阵，则矩阵0A C B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为（ ）(A)1110A C B ---⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (B)1110B C A ---⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C)11110A A CB B ----⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ (D)11110A B CA B ----⎡⎤⎢⎥-⎣⎦45. 下列排列中是偶排列的是（ ） A. 526413 B. 423561 C. 621435 D. 32641546. 方程组231312221232233x x x x x x --=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩的系数行列式的值为（ ）A ．12B ．-6C ．-12D ．047. 对矩阵的运算而言, 不成立的运算规律是( ) A. 乘法的交换律 B. 乘法的结合律;C. 加法交换律;D.加法结合律.48. 行列式00010002000800090000000010的值为（ ） A ．9！ B -10！ C 10！ D -9！49. 已知1112131421222324313233344142434410a a a a a a a a a a a a a a a a =，则1121314212232431323441424342222222222222222a a a a a a a a a a a a a a a a 的值为 （ ） A ． -160 B ．160 C ．-20 D ． 2050. 已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的代数余子式依次分别为5，3，-7，4，则D 的值为 （ ）A ．5B ．-5C ．-15D ．1551. 下列矩阵中不是三阶初等矩阵的是 （ ）A. 010100001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B.200010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ C. 102010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D. 001100010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭52. 设A 、B 都是n 阶方阵，则下列命题成立的是 （ ）A ．若AB=O ，则A=O 或B=O ；B ．若det0A =，则A=0； C ．若de t()0AB =，则d e t 0A =或det 0B =； D ．若d e t 1A =，则A=I. 53. 若A 是m n ⨯矩阵，B 是s m ⨯矩阵，C 是n p ⨯矩阵，则下列乘积有意义的是（ ）A ． BCB ．CBC ．BAD ．AB54. 设A 、B 、C 都是n 阶方阵，则下列命题正确的是 （ ）A ．若A ≠O ，从AB=AC 可推出B=C ；B ．若B ≠C ，则必有AB ≠ACC ．若A 是非奇异矩阵，从AB=AC 可推出B=C ；D ．若A 是非奇异矩阵，则必有AB=BA ；55．行列式m a a a a =22211211,n a a a a =23211311,则行列式232221131211a a a a a a ++=( ) A.m+n B.-(m+n) C.n-m D.m-n56. A,B,C 都是n 阶矩阵,根据矩阵的运算性质判断下列推理规则中哪个是正确的. ( )A.AB=0⇒A=0或B=0 B .AB=AC ⇒A=CC.AB ≠0⇒A ≠0且B ≠0 D .AB =0⇒detA =0且detB =057．矩阵A 可逆的充要条件是( )A.0det ≠AB. 0det >AC. 0det =AD.秩A>058.设A=121340-⎡⎤⎢⎥⎣⎦,B=1203,43-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦下列哪些式子有意义?(这时A T , B T 分别表示A,B 的转置矩阵)( ) A .A+B B .A+B T C .A B T D .A T B59． 若A 是m n ⨯矩阵，B 是s m ⨯矩阵，C 是n p ⨯矩阵，则下列乘积有意义的是( ) A ． BC B ．CB C ．BA D ．AB60. m ×n 矩阵A 的秩r 与m 、n 的关系为（ ）A ．m r ≤ B.n r ≤ C. m r ≤且n r ≤ D.无法确定61.如果两个矩阵A 、B 满足：0=AB ,那么( )A. B=0B. A=0C. B=0或A=0D. A 、B 中可能有零矩阵,也可能没有零矩阵62．下面不是初等矩阵的是( )A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100020001 B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100 C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-200010001 D.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10001020163. n 阶行列式的展开式中共有（ ）A ．n 项 B.2n 项 C.2)1(+n n 项 D.!n 项64．设A 与B 是n 阶矩阵,A 与B 相似.以下论断错误的是( )A.存在可逆矩阵P,使得AP P B 1-=B.B A det det ≠C.A 与B 有相同的特征根D. A 与B 有相同的特征多项式65、下列集合中作成向量空间2R 的子空间的是 （） A. {}1212a a a a =0 （，）； B. {}1212a a a +a =0 （，）；C. {}1212a a a a Z ∈（，）；D.{}1212a a a +a =1 （，）；66、设λ是n 阶矩阵A 的特征根，β是相应的特征值向量，下列说法正确的是（） A β线性无关； B β线性相关；C 0=β；D 前三种说法都不对.67、设λ是n 阶矩阵A 的特征值，则λ的几何重数s 与λ的代数重数t 的关系是（）A t s =B t s ≤C s t ≤D n t s =+68、下列向量组是线性无关的是 （ ）。
高等代数习题及答案
⾼等代数习题及答案⾼等代数试卷⼀、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每⼩题1分，共10分）1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。
（）2、若线性⽅程组的系数⾏列式为零，由克莱姆法则知，这个线性⽅程组⼀定是⽆解的。
（）3、实⼆次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。
（）4、 321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i 是线性空间3R 的⼀个⼦空间。
（） 5、数域F 上的每⼀个线性空间都有基和维数。
（）6、两个n 元实⼆次型能够⽤满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。
（）7、零变换和单位变换都是数乘变换。
（） 8、线性变换的属于特征根0 的特征向量只有有限个。
（）9、欧⽒空间V 上的线性变换是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。
（）10、若n ,,,21 是欧⽒空间V 的标准正交基，且 ni i i x 1，那么 ni ix12。
（）⼆、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出⼀个正确答案，并将其号码写在题⼲后⾯的括号内。
答案选错或未作选择者，该题⽆分。
每⼩题1分，共10分）1、关于多项式的最⼤公因式的下列命题中，错误的是（）① n n nx g x f x g x f,, ；② n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 ；③ x g x g x f x g x f ,, ；④若 1,1, x g x f x g x f x g x f 。
2、设D 是⼀个n 阶⾏列式，那么（）①⾏列式与它的转置⾏列式相等；②D 中两⾏互换，则⾏列式不变符号；③若0 D ，则D 中必有⼀⾏全是零；④若0 D ，则D 中必有两⾏成⽐例。
3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（）①A 中每个s s (<)r 阶⼦式都为零；②A 中每个r 阶⼦式都不为零；③A 中可能存在不为零的1 r 阶⼦式；④A 中肯定有不为零的r 阶⼦式。
高等代数试题
第一章 多项式§1.1一元多项式的定义和运算1．设),(x f )(x g 和)(x h 是实数域上的多项式．证明：若是(6) 222)()()(x xh x xg x f +=，那么.0)()()(===x h x g x f2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式)(),(x g x f 和).(x h 3．证明：!))...(1()1(!)1)...(1()1(!2)1(1n n x x n n x x x x x x nn---=+---+--+-§1.2 多项式的整除性1．求)(x f 被)(x g 除所得的商式和余式：( i );13)(,14)(234--=--=x x x g x x x f (ii);23)(,13)(3235+-=-+-=x x x g x x x x f 2．证明：kx f x )(|必要且只要).(|x f x3．令()()()x g x g x f x f 2121,,),(都是数域F 上的多项式，其中()01≠x f 且()()()()()().|,|112121x g x f x f x f x g x g 证明：()().|22x f x g4．实数q p m ,,满足什么条件时多项式12++mx x 能够整除多项式.4q px x ++ 5．设F 是一个数域，.F a ∈证明：a x -整除.nn a x -6．考虑有理数域上多项式()()()()()(),121211nkn k nk x x x x x x f ++++++=-++这里k 和n 都是非负整数．证明：()()().11|1n k 1+++++-x x f x x k7．证明：1-d x 整除1-nx 必要且只要d 整除.n§1.3 多项式的最大公因式1. 计算以下各组多项式的最大公因式：( i )()();32103,34323234-++=---+=x x x x g x x x x x f (ii) ()().1)21(,1)21()42()22(2234i x i x x g i x i x i x i x x f -+-+=----+-+-+=2. 设()()()()()().,11x g x d x g x f x d x f ==证明：若()()(),),(x d x g x f =且()x f 和()x g 不全为零，则()();1),(11=x g x f 反之，若()(),1),(11=x g x f 则()x d 是()x f 与()x g 的一个最大公因式．3. 令()x f 与()x g 是][x F 的多项式，而d c b a ,,,是F 中的数，并且0≠-bc ad证明：()()()()()()).,(),(x g x f x dg x cf x bg x af =++4． 证明：（i ）h g f ),(是fh 和gh 的最大公因式； （ii ）),,,,(),)(,(212121212211g g f g g f f f g f g f = 此处h g f ,,等都是][x F 的多项式。
高等代数试题及参考答案
高等代数试题及参考答案The document was prepared on January 2, 2021高等代数一考试试卷一、单选题每一小题备选答案中,只有一个答案是正确的,请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中.错选、多选、不选均不给分,6小题,每小题4分,共24分 1. 以下乘积中 是4阶行列式ij D a =展开式中取负号的项.A 、11223344a a a a .B 、14233142a a a a .C 、12233144a a a a .D 、23413214a a a a .2．行列式13402324a --中元素a 的代数余子式是 .A 、0324-. B 、0324--. C 、1403-. D 、1403. 3．设,A B 都是n 阶矩阵,若AB O =,则正确的是 . A 、()()r A r B n +≤. B 、0A =. C 、A O =或B O =. D 、0A ≠.4．下列向量组中,线性无关的是 .A 、{}0.B 、{},,αβ0.C 、{}12,,,r ααα,其中12m αα=.D 、{}12,,,r ααα,其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合. 5．设A 是n 阶矩阵且()r A r n =<,则A 中 .A 、必有r 个行向量线性无关.B 、任意r 个行向量线性无关.C 、任意r 个行向量构成一个极大线性无关组.D 、任意一个行向量都能被其它r 个行向量线性表出.6．n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的 条件. A 、充要. B 、充分非必要. C 、必要非充分. D 、非充分非必要. 二、判断题正确的打√,错误的打×,5小题,每小题2分,共10分.1．若A 为n 阶矩阵,k 为非零常数,则kA k A =. 2．若两个向量组等价,则它们包含的向量个数相同. 3．对任一排列施行偶数次对换后,排列的奇偶性不变. 4．正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵. 5．任何数域都包含有理数域. 三、填空题每空4分,共24分.1．行列式000100201000D n n==- . 2．已知5(1,0,1)3(1,0,2)(1,3,1),(4,2,1)αβ---=--=-,则α= ,(,)αβ= .3．矩阵12311211022584311112A ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦,则()r A = . 4．设线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解,其系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩分别为s 和t ,则s 与t 的大小关系是 .5．设111123111,124111051A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,则1A B -= . 四、计算题4小题,共42分1．计算行列式1111111111111a a a a；2111116541362516121612564.每小题6分,共12分2．用基础解系表出线性方程组123451234512345123452321236222223517105x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+--+=⎩的全部解.10分3．求与向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)ααα==-=-等价的正交单位向量组.10分4．求矩阵211020413A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征根和特征向量.10分 一、单选题每题4分,共24分二、判断题每题2分,共10分三、填空题每空4分,共24分1．(1)2(1)!n n n --⋅； 2． 20；3．3； 4．s t =；5.351222312212112-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 四、计算题共42分1．12分,每小题各6分 1解：11131111111111311111(3)111311111111311111a a a a a a a a a a a aa a a++==+++ ..............3分31111010(3)(3)(1)001001a a a a a a -=+=+--- ...................3分注：中间步骤形式多样,可酌情加分 2解：222233331111111116541654136251616541216125641654=,此行列式为范德蒙行列式 ......3分 进而2222333311111654=(61)(51)(41)(56)(46)(45)12016541654=------=-原式 .......3分2．10分解：用初等变换把增广矩阵化为阶梯形1213211213211213212111360317740115411122220115410317742351710501711630171163---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎣⎦⎣⎦⎣⎦1213211213210115410115410317740048510171163000000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ ..................3分 得同解方程组取45,x x 为自由未知量,得方程的一般解为12345234534521321544185x x x x x x x x x x x x++=+-⎧⎪-=+-⎨⎪=--+⎩其中45,x x 为自由未知量 将450,0x x ==代入得特解01551(,,,0,0)444γ=--. ................3分用同样初等变换,得到与导出组同解的方程组12345234534523205404850x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩仍取45,x x 为自由未知量,得一般解12345234534523254485x x x x x x x x x x x x++=-⎧⎪-=-⎨⎪=-+⎩,将451,0x x ==和450,4x x ==分别代入得到一个基础解系：12(1,3,2,1,0),(9,11,5,0,4)ηη=--=- ...............3分所以,原方程组的全部解为01122k k γηη++,12,k k 为数域P 中任意数. ............1分注：答案不唯一,但同一齐次方程组的基础解系必等价. 3．10分解：因123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)ααα==-=-是线性无关向量组,现将 123,,ααα正交化,令11βα=,αβαββαββββββ-=--=-----=-313233121122(,)(,)814(3,5,1,1)(1,1,1,1)(0,2,1,3)(,)(,)414(1,1,2,0)............................6分再将向量组123,,βββ单位化,得βγβ==1111111(,,,)2222,βγβ==--2222,1,3)14,βγβ==-3332,0)6. 即123,,γγγ就是与123,,ααα等价的正交单位向量组. ....................4分 注：答案不唯一. 4．10分解：A 的特征多项式为所以A 的特征值为1,2-2重. ....................4分1λ=-对应的齐次线性方程组为它的基础解系是1101η⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 11k η10k ≠为A 的属于特征值1-的特征向量； .................3分2λ=对应的齐次线性方程组为它的基础解系是1144231,001ηη⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；2233k k ηη+23,k k 不同时为零为A 的属于特征值2的特征向量. ...............3分注：答案不唯一.。
高等代数期末试题及答案
高等代数期末试题及答案1. 选择题1.1 题目：解线性方程组已知线性方程组：\[\begin{cases}2x - 3y + z = 7 \\4x + y - 2z = -1 \\3x - 2y + 2z = 5\end{cases}\]其中，x、y、z为实数。
求解该线性方程组的解。
1.1 答案：解线性方程组的步骤如下：通过高斯消元法，将方程组化为行简化阶梯形式：\[\begin{cases}x - \frac{12}{7}z = 5 \\y - \frac{5}{7}z = 2 \\0 = 0\end{cases}\]由最后一行可以看出，方程存在自由变量z。
令z为任意实数，可以得到：\[\begin{cases}x = 5 + \frac{12}{7}z \\y = 2 + \frac{5}{7}z \\z = z\end{cases}\]因此，该线性方程组的解为：\[\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 +\frac{12}{7}z \\ 2 + \frac{5}{7}z \\ z \end{pmatrix}\]2. 填空题2.1 题目：求行列式的值计算行列式的值：\[D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}\]2.1 答案：计算行列式的值，可以通过按任意行或列展开的方法来求解。
选择第一行进行展开计算：\[D = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}\]计算上述三个二阶行列式的值，得到：\[D = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3\cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 0\]因此，行列式的值为0。
《高等代数》多项式试题库
一 填空题
1�数集{0}对 2�自然数集 N 对 3�数集{a � bi a, b � Z} 对
二 判断题
运算封闭. 运算封闭.
封闭.
1. 数域必含有无穷多个数. 2. 所有无理数构成的集合是数域.
三 证明
1. 证明 Q( n ) � {a � b n a, b � Q} 是数域,这里 n 不是完全平方数. 2. 证明{a � b3 2 a, b � Q} 不是数域. 3. 若 P1 , P2 是 数 域 , 证 明 P1 � P2 也 是 数 域 , 而 P1 � P2 不 一 定 是 数
a2 � b2 n
. 当 � (a1a2 � b1bn2 ) � (a1b2 � a b2 1 ) n � Q ( n )
a1 � b1
n � 0 时,
a1 � b1
n
� a1 a 2 � b1b2 n � a1b2 � b1 a 2 �
a2 1
�
b2 1
n
a2 1
�
b2 1
n
n �Q(
n)
.故 Q(
§2 一元多项式[达标训练题]
A组
一 填空题
1. 式
数项是
系数在数域 P 上的关于文字 x 的一元多项式指的是形式表达
, 其中 i 次项是
, i 次项系数是
,常
.
1
2. 下列形式表达式(i)2;(ii) x ; (iii)0; (iv) 1 � ln( x � x 2 � 3x 3 ) ;
(v)
ix 3
域.
§1 数域[达标训练题解答]
一 填空题
1�加法、 减法、 乘法�2.加法、乘法 �3.加法、减法、乘法.
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《高等代数》试题库一、选择题1．在里能整除任意多项式的多项式是（）。
．零多项式．零次多项式．本原多项式．不可约多项式2．设是的一个因式，则（）。
．1 ．2 ．3 ．43．以下命题不正确的是（）。
. 若；.集合是数域；.若没有重因式；．设重因式，则重因式4．整系数多项式在不可约是在上不可约的( ) 条件。
. 充分 . 充分必要 .必要．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。
.如果，那么.如果，那么.如果，那么，有.如果，那么6．对于“命题甲：将级行列式的主对角线上元素反号, 则行列式变为；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
.甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成立；.甲, 乙均成立；．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。
. 奇数次实系数多项式必有实根； . 代数基本定理适用于复数域；．任一数域包含；．在中,8．设，为的代数余子式, 则=( ) 。
. . . ．9.行列式中，元素的代数余子式是（）。
．．．．10．以下乘积中（）是阶行列式中取负号的项。
.； .；．；.11. 以下乘积中（）是4阶行列式中取负号的项。
.； .；．； .12. 设阶矩阵，则正确的为（）。
. .． .13. 设为阶方阵，为按列划分的三个子块，则下列行列式中与等值的是（）. .． .14. 设为四阶行列式，且，则（）. . ． .15. 设为阶方阵，为非零常数，则（）. . ． .16.设，为数域上的阶方阵，下列等式成立的是（）。
.；. ；．； .17. 设为阶方阵的伴随矩阵且可逆，则结论正确的是（）. .． .18.如果，那么矩阵的行列式应该有（）。
.； .；．； .19.设, 为级方阵, , 则“命题甲：；命题乙：”中正确的是( ) 。
. 甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成立；．甲, 乙均成立；.甲, 乙均不成立20.设为阶方阵的伴随矩阵，则（）。
. . ． .21.若矩阵，满足，则（）。
.或；.且；．且；.以上结论都不正确22.如果矩阵的秩等于，则（）。
.至多有一个阶子式不为零； .所有阶子式都不为零；．所有阶子式全为零，而至少有一个阶子式不为零；.所有低于阶子式都不为零23.设阶矩阵可逆，是矩阵的伴随矩阵，则结论正确的是（）。
.；.；．；.24. 设为阶方阵的伴随矩阵，则=（）. . ． .25.任级矩阵与-, 下述判断成立的是( )。
. ； .与同解；.若可逆, 则；．反对称, -反对称26.如果矩阵,则（）. 至多有一个阶子式不为零；.所有阶子式都不为零．所有阶子式全为零，而至少有一个阶子式不为零；．所有低于阶子式都不为零27. 设方阵，满足，则的行列式应该有（）。
. . ． .28. 是阶矩阵，是非零常数，则 ( )。
. ； . ；． .29. 设、为阶方阵，则有（）..，可逆，则可逆 .，不可逆，则不可逆．可逆，不可逆，则不可逆.可逆，不可逆，则不可逆30. 设为数域上的阶方阵，满足，则下列矩阵哪个可逆（）。
. . ．31. 为阶方阵，，且，则（）。
.； .；．；.32. ，，是同阶方阵，且，则必有（）。
. ； . ；．．33. 设为3阶方阵，且，则（）。
.；.；．；.34. 设为阶方阵，，且，则（）.. .或． .35. 设矩阵，则秩=（）。
．1 ．2 ．3 ．436. 设是矩阵，若（），则有非零解。
.； .；． .37. ，是阶方阵，则下列结论成立得是（）。
.且； . ；．或； .38. 设为阶方阵，且，则中（）..必有个行向量线性无关 .任意个行向量线性无关．任意个行向量构成一个极大无关组 .任意一个行向量都能被其他个行向量线性表示39. 设为矩阵，为矩阵，为矩阵，则下列乘法运算不能进行的是（）。
. . ． .40.设是阶方阵，那么是（）. 对称矩阵； . 反对称矩阵；．可逆矩阵； .对角矩阵41.若由必能推出（均为阶方阵），则满足( )。
. . ． .42.设为任意阶可逆矩阵，为任意常数，且，则必有（）. . ． .43.，都是阶方阵，且与有相同的特征值，则（）. 相似于； . ；．合同于； .44. 设，则的充要条件是（）.；（B）；． .45. 设阶矩阵满足，则下列矩阵哪个可能不可逆（）. . ． .46. 设阶方阵满足，则下列矩阵哪个一定可逆（）. ； . ；． .47. 设为阶方阵，且，则中（）..必有个列向量线性无关；.任意个列向量线性无关；．任意个行向量构成一个极大无关组；.任意一个行向量都能被其他个行向量线性表示48.设是矩阵，若（），则元线性方程组有非零解。
. .的秩等于． .的秩等于49. 设矩阵，仅有零解的充分必要条件是( ).. 的行向量组线性相关 .的行向量组线性无关．的列向量组线性相关 .的列向量组线性无关50. 设, 均为上矩阵, 则由( ) 不能断言；. ；.存在可逆阵与使．与均为级可逆；.可经初等变换变成51. 对于非齐次线性方程组其中，则以下结论不正确的是（）。
.若方程组无解，则系数行列式；.若方程组有解，则系数行列式。
．若方程组有解，则有惟一解，或者有无穷多解；.系数行列式是方程组有惟一解的充分必要条件52. 设线性方程组的增广矩阵是，则这个方程组解的情况是（）..有唯一解 .无解．有四个解 .有无穷多个解53. 为阶方阵,，且，则（）。
.；.；．齐次线性方程组有非解；.54. 当（）时，方程组，有无穷多解。
．1 ．2 ．3 ．455. 设线性方程组，则（）.当取任意实数时，方程组均有解。
.当时，方程组无解。
．当时，方程组无解。
.当时，方程组无解。
56. 设原方程组为，且，则和原方程组同解的方程组为( )。
.；.（为初等矩阵）；．（为可逆矩阵）；.原方程组前个方程组成的方程组57. 设线性方程组及相应的齐次线性方程组，则下列命题成立的是（）。
.只有零解时，有唯一解；.有非零解时，有无穷多个解；．有唯一解时，只有零解；. 解时，也无解58. 设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则有非零解的充分必要条件是（）。
. . ． .59. 维向量组线性无关的充分必要条件是（）.存在一组不全为零的数，使.中任意两个向量组都线性无关．中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示.中任意一个向量都不能由其余向量线性表示60. 若向量组中含有零向量，则此向量组（）.线性相关； . 线性无关；．线性相关或线性无关；.不一定61．设为任意非零向量，则（）。
.线性相关；.线性无关；．线性相关或线性无关；．不一定62.维向量组线性无关，为一维向量，则（）..，线性相关；.一定能被线性表出；．一定不能被线性表出；.当时，一定能被线性表出63. （1）若两个向量组等价，则它们所含向量的个数相同；（2）若向量组线性无关，可由线性表出，则向量组也线性无关；（3）设线性无关，则也线性无关；（4）线性相关，则一定可由线性表出；以上说法正确的有（）个。
.1 个 .2 个．3 个 .4个64．（1）维向量空间的任意个线性无关的向量都可构成的一个基；（2）设是向量空间中的个向量，且中的每个向量都可由之线性表示，则是的一个基；（3）设是向量空间的一个基，如果与等价，则也是的一个基；（4）维向量空间的任意个向量线性相关；以上说法中正确的有（）个。
.1 个 .2 个．3 个 .4个65．设向量组线性无关。
线性相关，则（）。
.线性表示；.线性表示；．线性表示； .线性表示66.设向量组Ⅰ（），Ⅱ（）则必须有（）。
.Ⅰ无关Ⅱ无关； . Ⅱ无关Ⅰ无关；.Ⅰ无关Ⅱ相关；.Ⅱ相关Ⅰ相关67．向量组:与:等价的充要条件为（）..； .且；．；.68．向量组线性无关?( ) 。
. 不含零向量； . 存在向量不能由其余向量线性表出；．每个向量均不能由其余向量表出；．与单位向量等价69.已知则?????????????????.；.；．；. .70. 设向量组线性无关。
线性相关，则（）。
.线性表示；.线性表示；．线性表示；.线性表示71．下列集合中，是的子空间的为（），其中.．.72．下列集合有（）个是的子空间；；；；；73．设是相互正交的维实向量，则下列各式中错误的是（）。
.； .；．；..1 个 .2 个．3 个 .4个74.是阶实方阵，则是正交矩阵的充要条件是（）。
.； .；．； .75．（1）线性变换的特征向量之和仍为的特征向量；（2）属于线性变换的同一特征值的特征向量的任一线性组合仍是的特征向量；（3）相似矩阵有相同的特征多项式；（4）的非零解向量都是的属于的特征向量；以上说法正确的有（）个。
.1 个 .2 个．3 个 . 4个75. 阶方阵具有个不同的特征值是与对角阵相似的（）。
.充要条件；.充分而非必要条件；．必要而非充分条件；.既非充分也非必要条件76. 对于阶实对称矩阵，以下结论正确的是（）。
.一定有个不同的特征根；.正交矩阵，使成对角形；．它的特征根一定是整数；.属于不同特征根的特征向量必线性无关，但不一定正交77. 设都是三维向量空间的基，且，则矩阵是由基到（）的过渡矩阵。
. . ． .78. 设，是相互正交的维实向量，则下列各式中错误的是（）。
. .． .二、填空题1．最小的数环是，最小的数域是。
2．一非空数集,包含0和1, 且对加减乘除四种运算封闭，则其为。
3．设是实数域上的映射，，若，则= 。
4．设，若，则= 。
5.求用除的商式为，余式为。
6．设，用除所得的余式是函数值。
7．设是两个不相等的常数，则多项式除以所得的余式为____8．把表成的多项式是。
9．把表成的多项式是。
10．设使得，且，，，则。
11．设使得=____。
12．设使得=___。
13. 若，并且，则。
14. 设，则与的最大公因式为。
15. 多项式、互素的充要条件是存在多项式、使得。
16. 设为，的一个最大公因式, 则与的关系。
17. 多项式的最大公因式。
18. 设。
，若，则，。
19．在有理数域上将多项式分解为不可约因式的乘积。
20．在实数域上将多项式分解为不可约因式的乘积。
21. 当满足条件时，多项式才能有重因式。
22. 设是多项式的一个重因式，那么是的导数的一个。
23. 多项式没有重因式的充要条件是互素。
24．设的根，其中，则。
25．设的根，其中，则= 。
26．设的根，其中，则。
27．设的根，其中，则 = 。
28. 按自然数从小到大为标准次序，排列的反序数为。
29．按自然数从小到大为标准次序，排列的反序数为。
30．排列的反序数为。
31．排列的反序数为。
32．排列的反序数为。
33．排列的反序数为。
34. 若元排列是奇排列，则_____, _______。
35. 设级排列的反数的反序数为，则= 。
36. 设,则。
37. 当，时，5阶行列式的项取“负”号。