《高等代数》试题库
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一、选择题
1．在里能整除任意多项式的多项式是（）。
．零多项式．零次多项式．本原多项式．不可约多项式
2．设是的一个因式，则（）。
．1 ．2 ．3 ．4
3．以下命题不正确的是（）。
. 若；.集合是数域；
.若没有重因式；
．设重因式，则重因式
4．整系数多项式在不可约是在上不可约的( ) 条件。
. 充分 . 充分必要 .必要．既不充分也不必要
5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。
.如果，那么
.如果，那么
.如果，那么，有
.如果，那么
6．对于“命题甲：将级行列式的主对角线上元素反号, 则行列式变为；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
.甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成立；.甲, 乙均成立；．甲, 乙均不成立
7．下面论述中, 错误的是( ) 。
. 奇数次实系数多项式必有实根； . 代数基本定理适用于复数域；
．任一数域包含；．在中,
8．设，为的代数余子式, 则=( ) 。
. . . ．
9.行列式中，元素的代数余子式是（）。
．．．．
10．以下乘积中（）是阶行列式中取负号的项。
.； .；．；.
11. 以下乘积中（）是4阶行列式中取负号的项。
.； .；．； .
12. 设阶矩阵，则正确的为（）。
. .
． .
13. 设为阶方阵，为按列划分的三个子块，则下列行列式中与等值的是（）
. .
． .
14. 设为四阶行列式，且，则（）
. . ． .
15. 设为阶方阵，为非零常数，则（）
. . ． .
16.设，为数域上的阶方阵，下列等式成立的是（）。
.；. ；
．； .
17. 设为阶方阵的伴随矩阵且可逆，则结论正确的是（）
. .
． .
18.如果，那么矩阵的行列式应该有（）。
.； .；．； .
19.设, 为级方阵, , 则“命题甲：；命题乙：”中正确的是( ) 。
. 甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成立；．甲, 乙均成立；.甲, 乙均不成立
20.设为阶方阵的伴随矩阵，则（）。
. . ． .
21.若矩阵，满足，则（）。
.或；.且；．且；.以上结论都不正确
22.如果矩阵的秩等于，则（）。
.至多有一个阶子式不为零； .所有阶子式都不为零；．所有阶子式全为零，而至少有一个阶子式不为零；.所有低于阶子式都不为零
23.设阶矩阵可逆，是矩阵的伴随矩阵，则结论正确的是（）。
.；.；．；.
24. 设为阶方阵的伴随矩阵，则=（）
. . ． .
25.任级矩阵与-, 下述判断成立的是( )。
. ； .与同解；
.若可逆, 则；．反对称, -反对称
26.如果矩阵,则（）
. 至多有一个阶子式不为零；.所有阶子式都不为零．所有阶子式全为零，而至少有一个阶子式不为零；．所有低于阶子式都不为零
27. 设方阵，满足，则的行列式应该有（）。
. . ． .
28. 是阶矩阵，是非零常数，则 ( )。
. ； . ；． .
29. 设、为阶方阵，则有（）.
.，可逆，则可逆 .，不可逆，则不可逆
．可逆，不可逆，则不可逆.可逆，不可逆，则不可逆
30. 设为数域上的阶方阵，满足，则下列矩阵哪个可逆（）。
. . ．
31. 为阶方阵，，且，则（）。
.； .；．；.
32. ，，是同阶方阵，且，则必有（）。
. ； . ；．．
33. 设为3阶方阵，且，则（）。
.；.；．；.
34. 设为阶方阵，，且，则（）.
. .或． .
35. 设矩阵，则秩=（）。
．1 ．2 ．3 ．4
36. 设是矩阵，若（），则有非零解。
.； .；． .
37. ，是阶方阵，则下列结论成立得是（）。
.且； . ；
．或； .
38. 设为阶方阵，且，则中（）.
.必有个行向量线性无关 .任意个行向量线性无关．任意个行向量构成一个极大无关组 .任意一个行向量都能被其他个行向量线性表示
39. 设为矩阵，为矩阵，为矩阵，则下列乘法运算不能进行的是（）。
. . ． .
40.设是阶方阵，那么是（）
. 对称矩阵； . 反对称矩阵；．可逆矩阵； .对角矩阵
41.若由必能推出（均为阶方阵），则满足( )。
. . ． .
42.设为任意阶可逆矩阵，为任意常数，且，则必有（）
. . ． .
43.，都是阶方阵，且与有相同的特征值，则（）
. 相似于； . ；．合同于； .
44. 设，则的充要条件是（）
.；（B）；． .
45. 设阶矩阵满足，则下列矩阵哪个可能不可逆（）
. . ． .
46. 设阶方阵满足，则下列矩阵哪个一定可逆（）
. ； . ；． .
47. 设为阶方阵，且，则中（）.
.必有个列向量线性无关；.任意个列向量线性无关；．任意个行向量构成一个极大无关组；.任意一个行向量都能被其他个行向量线性表示
48.设是矩阵，若（），则元线性方程组有非零解。
. .的秩等于． .的秩等于
49. 设矩阵，仅有零解的充分必要条件是( ).
. 的行向量组线性相关 .的行向量组线性无关
．的列向量组线性相关 .的列向量组线性无关
50. 设, 均为上矩阵, 则由( ) 不能断言；
. ；.存在可逆阵与使
．与均为级可逆；.可经初等变换变成
51. 对于非齐次线性方程组其中，则以下结论不正确的是（）。
.若方程组无解，则系数行列式；.若方程组有解，则系数行列式。
．若方程组有解，则有惟一解，或者有无穷多解；
.系数行列式是方程组有惟一解的充分必要条件
52. 设线性方程组的增广矩阵是，则这个方程组解的情况是（）.
.有唯一解 .无解．有四个解 .有无穷多个解
53. 为阶方阵,，且，则（）。
.；.；．齐次线性方程组有非解；.
54. 当（）时，方程组，有无穷多解。
．1 ．2 ．3 ．4
55. 设线性方程组，则（）
.当取任意实数时，方程组均有解。.当时，方程组无解。
．当时，方程组无解。.当时，方程组无解。
56. 设原方程组为，且，则和原方程组同解的方程组为( )。
.；.（为初等矩阵）；．（为可逆矩阵）；
.原方程组前个方程组成的方程组
57. 设线性方程组及相应的齐次线性方程组，则下列命题成立的是（）。
.只有零解时，有唯一解；.有非零解时，有无穷多个解；．有唯一解时，只有零解；. 解时，也无解
58. 设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则有非零解的充分必要条件是（）。
. . ． .
59. 维向量组线性无关的充分必要条件是（）
.存在一组不全为零的数，使
.中任意两个向量组都线性无关
．中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示
.中任意一个向量都不能由其余向量线性表示
60. 若向量组中含有零向量，则此向量组（）
.线性相关； . 线性无关；．线性相关或线性无关；.不一定
61．设为任意非零向量，则（）。
.线性相关；.线性无关；．线性相关或线性无关；．不一定
62.维向量组线性无关，为一维向量，则（）.
.，线性相关；.一定能被线性表出；
．一定不能被线性表出；
.当时，一定能被线性表出
63. （1）若两个向量组等价，则它们所含向量的个数相同；（2）若向量组线性无关，可由线性表出，则向量组也线性无关；（3）设线性无关，则也线性无关；（4）线性相关，则一定可由线性表出；以上说法正确的有（）个。
.1 个 .2 个．3 个 .4个
64．（1）维向量空间的任意个线性无关的向量都可构成的一个基；（2）设是向量空间中的个向量，且中的每个向量都可由之线性表示，则是的一个基；（3）设是向量空间的一个基，如果与等价，则也是的一个基；
（4）维向量空间的任意个向量线性相关；以上说法中正确的有（）个。
.1 个 .2 个．3 个 .4个
65．设向量组线性无关。线性相关，则（）。
.线性表示；.线性表示；
．线性表示； .线性表示
66.设向量组Ⅰ（），Ⅱ（）则必须有（）。
.Ⅰ无关Ⅱ无关； . Ⅱ无关Ⅰ无关；.Ⅰ无关Ⅱ相关；.Ⅱ相关Ⅰ相关
67．向量组:与:等价的充要条件为（）.
.； .且；．；.
68．向量组线性无关?( ) 。
. 不含零向量； . 存在向量不能由其余向量线性表出；
．每个向量均不能由其余向量表出；．与单位向量等价
69.已知则?????????????????
.；.；．；. .
70. 设向量组线性无关。线性相关，则（）。
.线性表示；.线性表示；
．线性表示；.线性表示
71．下列集合中，是的子空间的为（），其中
.．.
72．下列集合有（）个是的子空间；
；
；
；
；
73．设是相互正交的维实向量，则下列各式中错误的是（）。
.； .；
．；.
.1 个 .2 个．3 个 .4个
74.是阶实方阵，则是正交矩阵的充要条件是（）。
.； .；．； .
75．（1）线性变换的特征向量之和仍为的特征向量；（2）属于线性变换的同一特征值的特征向量的任一线性组合仍是的特征向量；（3）相似矩阵有相同的特征多项式；
（4）的非零解向量都是的属于的特征向量；以上说法正确的有（）个。
.1 个 .2 个．3 个 . 4个
75. 阶方阵具有个不同的特征值是与对角阵相似的（）。
.充要条件；.充分而非必要条件；．必要而非充分条件；.既非充分也非必要条件
76. 对于阶实对称矩阵，以下结论正确的是（）。
.一定有个不同的特征根；.正交矩阵，使成对角形；．它的特征根一定是整数；.属于不同特征根的特征向量必线性无关，但不一定正交
77. 设都是三维向量空间的基，且，则矩阵是由基到（）的过渡矩阵。
. . ． .
78. 设，是相互正交的维实向量，则下列各式中错误的是（）。
. .
． .
二、填空题
1．最小的数环是，最小的数域是。
2．一非空数集,包含0和1, 且对加减乘除四种运算封闭，则其为。
3．设是实数域上的映射，，若，则= 。
4．设，若，则= 。
5.求用除的商式为，余式为。
6．设，用除所得的余式是函数值。
7．设是两个不相等的常数，则多项式除以所得的余式为____
8．把表成的多项式是。
9．把表成的多项式是。
10．设使得，且，，，则
。
11．设使得=____。
12．设使得=___。
13. 若，并且，则。
14. 设，则与的最大公因式为。
15. 多项式、互素的充要条件是存在多项式、使得。
16. 设为，的一个最大公因式, 则与的关系。
17. 多项式的最大公因式
。
18. 设。，若，则
，。
19．在有理数域上将多项式分解为不可约因式的乘积。20．在实数域上将多项式分解为不可约因式的乘积。
21. 当满足条件时，多项式才能有重因式。
22. 设是多项式的一个重因式，那么是的导数的一个。
23. 多项式没有重因式的充要条件是互素。
24．设的根，其中，则
。
25．设的根，其中，则
= 。
26．设的根，其中，则
。
27．设的根，其中，则 = 。
28. 按自然数从小到大为标准次序，排列的反序数为。29．按自然数从小到大为标准次序，排列的反序数为。30．排列的反序数为。
31．排列的反序数为。
32．排列的反序数为。
33．排列的反序数为。
34. 若元排列是奇排列，则_____, _______。
35. 设级排列的反数的反序数为，则= 。
36. 设,则。
37. 当，时，5阶行列式的项取“负”号。
38. 。
39．。
40．。
41．。
42. _________________。
43． ________________。
44. ， _________________。
45. , 则 ______________________。
46. 设两两不同, 则的不同根为。
47. =______________。
48．,，则= 。
49. 设行列式中，余子式，则＝__________。
50. 设行列式中，余子式，则＝__________。
51. 设，则。
52行列式的余子式的值为。
53.设，,则 ____________。
54．设，,则____________。
55．设， ,则 ____________。
56. 设，，则＝_____________。
57. 设，则＝_____________。
58．设矩阵可逆，且，则的伴随矩阵的逆矩阵为。
59．设、为阶方阵，则的充要条件是。
60．一个级矩阵的行（或列）向量组线性无关，则的秩为。
61. 设、都是可逆矩阵，若，则。
62. 设，则。
63. 设，则。
64. 设矩阵，且,则。
65. 设为阶矩阵，且,则 ______________。
66. ,则________________。
67.,则________________。
68. 已知其中，则_________________。
69. 若为级实对称阵，并且，则= 。
70. 设为阶方阵，且，则，，的伴随矩阵的行列式。
71. 设，是的伴随矩阵，则= 。
72. 设，是的伴随矩阵，则= 。
73. ____________。
74. 设为阶矩阵，且,则 ____________。
75. 为阶矩阵，，则=（）。
76. 设,则____________。
77. 是同阶矩阵，若,必有，则应是 _____。
78. 设，则的充要条件是。
79.一个齐次线性方程组中共有个线性方程、个未知量，其系数矩阵的秩为，若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数为。
80.含有个未知量个方程的齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是。
81.线性方程组有解的充分必要条件是。
82. 方程组有解的充要条件是。
83. 方程组有解的充要条件是。
84. 是矩阵，对任何矩阵，方程都有解的充要条件是_______。
85．已知向量组，，，
，则向量。
86.若，则向量组必线性。
87.已知向量组，，，
，则该向量组的秩是。
88. 若可由唯一表示, 则线性。
89. 单个向量线性无关的充要条件是_____________。
90. 设为维向量组, 且，则。
91. 个维向量构成的向量组一定是线性的。（无关，相关）
92.已知向量组线性无关，则 _______。
93. 向量组的极大无关组的定义是___________。
94. 设两两不同, 则线性。
95.二次型的矩阵是____________.
96. 是正定阵，则满足条件__________________。
97 . 当满足条件，使二次型是正定的。
98. 设阶实对称矩阵的特征值中有个为正值，有为负值，则的正惯性指数和负惯性指数是。
99. 相似于单位矩阵，则 = _______________。
100. 相似于单位阵，。
101. 矩阵的特征值是____________。
102. 矩阵的特征值是____________。
103. 设为3阶方阵，其特征值为3，—1，2，则。
104.满足，则有特征值______________________。
105. 设阶矩阵的元素全为，则的个特征值是。
106. 设矩阵是阶零矩阵，则的个特征值是。
107. 如果A的特征值为，则的特征值为。
108. 设是的任意向量，映射是否是到自身的线性映射。
109. 设是的任意向量，映射是否是到自身的线性映射。
110. 若线性变换关于基的矩阵为，那么线性变换关于基的矩阵为。111. 对于阶矩阵与，如果存在一个可逆矩阵U,使得，则称与是相似的。
112.实数域R上的n阶矩阵Q满足，则称Q为正交矩阵。
113.实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此。
114. 复数域作为实数域上的向量空间，则_____，它的一个基为____。
115. 复数域作为复数域上的向量空间，则____，它的一个基为_____。
116. 复数域作为复数域上的向量空间，则___________。
117. 设是数域上的3维向量空间，是的一个线性变换，是的一个基，关于该基的矩阵是，，则关于的坐标是____________。
118. 设是向量空间的一个基，由该基到的过渡矩阵为___________________。
119. 设是向量空间的一个基，由该基到的过渡矩阵为__________。
120. 设与都是上的两个有限维向量空间，则。
121. 数域F上任一维向量空间都却与。（不同构，同构）
122. 任一个有限维的向量空间的基是____的，但任两个基所含向量个数是_____。
123. 令是数域上一切满足条件的阶矩阵所成的向量空间，则= 。
124. 设为变换，为欧氏空间，若都有，则
为变换。
125. 在。
126. 在欧氏空间里的长度为__ _ __。
127. 在欧氏空间里的长度为_________。
128. 设是欧氏空间，则是正交变换。
129. 设，则在= 。
三、计算题
1.把按的方幂展开.
2．利用综合除法，求用去除所得的商及余式。，。
3．利用综合除法，求用去除所得的商及余式。，。
4.已知 ,求被除所得的商式和余式。
5.设，求的最大公因式。
6．求多项式与的最大公因式．
7. 求多项式，的最大公因式，以及满足等式的和。
8.求多项式，的最大公因式，以及满足等式的和。
9.令是有理数域，求出的多项式，的最大公因式，并求出使得。
10. 令是有理数域，求的多项式
的最大公因式。
11. 设，，求出
，使得。
12.已知，求
。
13.在有理数域上分解多项式为不可约因式的乘积。
14.应该满足什么条件，有理系数多项式才能有重因式。
15.求多项式的有理根。
16.求多项式的有理根。
17．求多项式的有理根。
18.求多项式的有理根。
19.求多项式的有理根。
20.求多项式的有理根。
21.求一个二次多项式，使得：。
22.问取何值时，多项式，有实根。
23.用初等对称多项式表示元对称多项式。
24.用初等对称多项式表示元对称多项式。
25.请把元对称多项式表成是初等对称多项式的多项式。
26.求行列式的值。
27.求行列式的值。
28.求行列式的值。
29.求行列式的值。
30.求行列式的值。
31.求行列式的值。
32.求行列式的值。
33.求行列式的值。
34.把行列式依第三行展开然后加以计算。
35.求行列式的值。
36.求行列式的值。
37.求行列式的值。
38.求行列式的值。
39.计算阶行列式
40.计算阶行列式
41. 计算阶行列式
42. 计算阶行列式
43. 计算阶行列式
44. 计算阶行列式
45. 计算阶行列式
46.计算阶行列式
47.计算阶行列式()
48.计算阶行列式 (其中)
49.计算阶行列式
50.计算阶行列式
51.计算阶行列式
52.计算阶行列式
53.计算阶行列式
54.计算阶行列式
55.解方程。
56.解方程。
57.解方程。
58.解方程。
59.设为矩阵，，把按列分块为。其中是的第列。求（1）；（2）。
60.
）____________________已知,，试求：①；②。
61.已知，求
62.设=，，求。
63.设=，已知,求。
64.求矩阵的秩。
65.求矩阵=的秩。
66.求矩阵=的秩。
67.求矩阵=的秩。
68.求矩阵=的秩。
69.求矩阵的逆矩阵。
70.求矩阵的逆矩阵。
71.求矩阵的逆矩阵。
72.求矩阵的逆矩阵。
73.设，给出可逆的充分必要条件，并在可逆时求其逆．
74.设矩阵，问矩阵是否可逆？若可逆，求出。
75.设矩阵，问矩阵是否可逆？若可逆，求出。
76.设矩阵，判断是否可逆？若可逆，求。
77.设，请用两种方法（行初等变换，伴随矩阵）求。
78.已知矩阵=, 用矩阵的初等变换求的逆矩阵。
79.已知矩阵=，用矩阵的初等变换求的逆矩阵。
80.设为三阶矩阵，为的伴随矩阵，已知=，求(1) 的值；
(2) 的值。
81.设为阶方阵，，判断与是否一定可逆，如果可逆，求出其逆。
82.设矩阵=，求矩阵, 使得。
83.用求逆矩阵的方法解矩阵方程。
84. 解矩阵方程。
85.解矩阵方程。
86.解矩阵方程
87.解矩阵方程
88.求解矩阵方程
）____________________89.判断齐次线性方程组是否有非零解？
90.用求逆矩阵的方法解线性方程组
91.用求逆矩阵的方法解线性方程组
92.用克莱姆法则解线性方程组（其中
93
）____________________444.用克莱姆法则解线性方程组（其中）
94.用克莱姆规则解方程组
95.讨论取何值时，方程组有解，并求解。
96.讨论取什么值时，方程组有解，并求解。
97.选择，使方程组无解。
98.确定的值，使齐次线性方程组有非零解。
）____________________5252552298.取何值时，齐次线性方程组有非零解？
99.齐次线性方程组有非零解，则为何值？
100.问，取何值时，齐次线性方程组有非零解？
101. 问取何值时，非线性方程组有无限多个解？
102.齐次线性方程组有非零解，则应满足什么条件？
103.确定的值，使线性方程组无解？有惟一解？有无穷多解？
104
）____________________515.取怎样的数值时，线性方程组有解，并求出一般解。
105.问当取何值时，线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？并在有解时写出解。
106.问取何值时，线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？并在有解时写出解。
107.设线性方程组为讨论为何值时，下面线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解（要求用导出组的基础解系及它的特解形式表示其通解）。
108.设非齐次线性方程组为试问:取何值时，方程组无解？有唯一的解？有无穷多个解？有解时请求出解。
109.设非齐次线性方程组为试问: 取何值时，方程组无解？有唯一的解？有无穷多个解？当有解时请求出解来。
110.求线性齐次方程组的基础解系。
111.求线性齐次方程组的基础解系。
112.求线性齐次方程组的基础解系。
113.求线性齐次方程组的基础解系。
114.求线性齐次方程组的基础解系。
115.求线性齐次方程组的基础解系。
116.求齐次线性方程组的基础解系。
117.求齐次线性方程组的通解。
118.求齐次线性方程组的通解。
119.求非齐次线性方程组的通解。
120.求非齐次线性方程组的通解。
121.问下列向量组是否线性相关？
（1）（3，1，4），（2，5，-1），（4，-3，7）；（2）（2，0，1），（0，1，-2），（1，-1，1）122.判别向量组=(0,0,2,3), =(1,2,3,4)，=(1,2,1,1)，=(1,0,1,0)是否线性相关，并求,,,的一个极大线性无关组。
123.求向量组，，的一个极大线性无关组，并将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合。124.求向量组，，，，的极大无关组, 并求出组中其余向量被该极大无关组线性表出的表达式。125.已知向量组（Ⅰ）,(Ⅱ) ,(Ⅲ) ，若各向量组的秩分别为(Ⅰ) = (Ⅱ) = 3 , (Ⅲ) = 4 ,证明向量组（Ⅳ）：的秩为4。
126.设矩阵，求矩阵的列向量组的一个最大无关组。
127.已知向量,,线性相关，求的值。
128.设矩阵,其中线性无关，，向量
求方程的解。
129.判断实二次形10是不是正定的。
130.取什么值时, 实二次形是正定的。
131.取何值时，实二次型是正定的？
132.取何值时，二次型正定。
133.取何值时，二次型正定。
134.取何值时，二次型正定。
135.求一个正交变换把二次型化为只含有平方项的标准形。
136.求一个正交变换把二次型化为只含有平方项的标准形。
137.将二次型化为规范形，并指出所用的线性变换。
138.用正交线性替换化实二次型为典范形，并求相应的正交阵。
139.已知向量组=(1,1,0,-1), =(1,2,3,4)，=(1,2,1,1)，=(2,4,2,2)，试求它们的生成子空间(, , , )的维数和一个基。
140.求的特征值。
141.求的特征值。
142.求的特征值。
143.求矩阵的特征根和相应的特征向量。
144.设，求一个正交矩阵为对角形矩阵。
145.设，求一个正交矩阵为对角形矩阵。
146.设，用初等变换求一可逆矩阵是对角形式。
147.设，用初等变换求一可逆矩阵是对角形式。
148.设,求可逆矩阵, 使是对角形矩阵。
149.设，求一个正交矩阵，使是对角矩阵。
150.设矩阵与相似，求。
151.,，求关于基的坐标。
）____________________66152.已知是线性空间的一组基，求向量在基下的坐标。
153.设中的两个基分别为,，（1）求由基的过渡矩阵。
（2）已知向量在基下的坐标为，求在基下的坐标。
154.已知是的一个基，求在该基下的坐标。
155.已知是的一个基，求在该基下的坐标。
156.考虑中以下两组向量；
，证明和都是的基。并求出由基到的过渡矩阵。
157.设上三维向量空间的相性变换关于基的矩阵是,求关于基的矩阵。
158.中的两向量组，
（1）证明它们都是的基，（2）并求第一个基到第二个基的过渡矩阵，
（3）如果在基下的坐标为（3，1，2），求在基下的坐标。
159．设在标准欧几里得空间中有向量组，
, ，求的一个基与维数。
四、判断题
1.判断中的子集是否为子空间。
2. 判断中的子集是否为子空间。
3.判断中的子集是否为子空间。
4.判断的向量是否线性相关。
5. 判断的向量是否线性相关。
6.判断的向量的线性相关性。
7.若整系数多项式在有理数域可约，则一定有有理根。（）
8.若、均为不可约多项式，且，则存在非零常数，使得
。（）
9.对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变。（）
10.若矩阵的所有级的子式全为零，则的秩为。（）
11.若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数。（）
12.若向量组（）线性相关，则存在某个向量是其余向量的线性组合。（）
13.若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同。（）
14.若矩阵、满足，且，则。（）
15.称为对称矩阵是指．若与都是对称矩阵，则也是对称矩阵。（）
16.设级方阵、、满足，为单位矩阵，则。（）
17.若是方程的一个基础解系，则是的属于的全部特征向量，其中是全不为零的常数。（）
18.、有相同的特征值，则与相似。（）
19.若无有理根，则在上不可约。（）
20.两个本原多项式的和仍是本原多项式。（）
21.对于整系数多项式，若不存在满足艾森施坦判别法条件的素数，那么不可约。（）
三、简要回答
1．设, , , 若, 则
成立吗？为什么？
2.设, 则当满足何条件时, ？？为什么？
3．若与均相关, 则相关吗？为什么？
4．若、均为级阵, 且≌, 则与的行向量组等价吗？为什么？
五、证明题
1.证明：两个数环的交还是一个数环。
2．证明：是一个数环。
3．证明：是一个数域。
4.证明：, 是映射，又令，证明：如果是单射，那么也是单射。
5.若, 则, 。
6.令都是数域上的多项式,其中且
, ，证明: 。
7.和是数域F上的两个多项式。证明：如果整除，即：，并且，那么。
8.设，。证明：如果，且和不全为零，则。
9.设是中次数大于零的多项式，若只要
就有或，则不可约。
10.设，证明：如果，那么对，都有
。
11.设是多项式的一个重因式，那么是的导数的一个重因式。
12.设，且，对于任意的，则有
。
13.设，试证：（1）；
（2）
14.试证：。
15.设，．（1）计算及；
（2）证明：可逆的充分必要条件是；
（3）证明：当时，不可逆。
16.若阶矩阵满足，证明可逆，并求。
17.若阶矩阵满足，证明可逆，并求
18.设阶方阵的伴随方阵为,证明：若。
19.设是阶可逆矩阵,证明: (1) ； (2) 乘积可逆。
20.证明:一个可逆矩阵可通过行初等变换化为单位矩阵。
21.证明：1）若向量组线性无关，则它们的部分向量组也线性无关。
2）若向量组中部分向量线性相关，则向量组必线性相关。
22. 已知为阶方阵，为的伴随阵，，则的秩为1或0。
23. 设为阶阵，求证，。
24.设是一个阶方阵，其中分别是阶，阶可逆阵，，
（1）证明，（2）设，求。
25.设阶可逆方阵的伴随方阵为,证明：.
26.已知阶方阵可逆，证明：的伴随方阵也可逆,且。
27.设，均为阶方阵，证明：
28.令是阶矩阵的伴随矩阵，试证：（1）；
（2）。
29．设，，，都是阶矩阵，其中并且，证明：。
30.已知方阵满足，试证：可逆，并求出。
31.设是一个秩为的矩阵，证明：存在一个秩为的矩阵，使
。
32.证明：设是正定矩阵，证明也是正定的。
33.证明：正定对称矩阵的主对角线上的元素都是正定的。
34.设是一个正交矩阵，证明：(1) 的行列等于或；（2）的特征根的模等于；
（3）的伴随矩阵*也是正交矩阵。
35.设是一个正交矩阵，且，证明：①有一个特征根等于。②的特征多项式有形状,这里。
36.设矩阵满足，为阶单位阵，，证明是对称阵，且。
37.设向量组线性无关，而向量组线性相关，证明：可以由线性表出，且表示法唯一。
38.证明向量（）线性相关必要且只要其中某一个向量是其余向量的线性组合。
39.设向量可由向量组线性表示，证明表法唯一的充要条件是线性无关。
40.设在向量组中，并且每一都不能表成它的前个向量的线性组合，证明线性无关。
41.不含零向量的正交向量组是线性无关的。
42.证明向量（）线性相关必要且只要其中某一个向量是其余向量的线性组合。
43.设向量组线性无关,而线性相关,那么一定可以由相性表示。
44.设线性无关，证明也线性无关。
45.设向量组线性无关，且
证明线性无关的一个充要条件是
46.设,,,,证明向量组线性相关
47.已知，，试证向量组能用，线性表示。
48.设是非齐次线性方程组的个解，,,…,为实数，且，证明也是它的解。
49. 设是非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明：, 线性无关。
50. 设是非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明：, 线性无关。
51.设是向量空间的两个子空间，那么它们的交也是的一个子空间。
52.设是向量空间的两个子空间，那么它们的交也是的一个子空间。
53.（维数定理）设都是数域上的向量空间的有限维子空间，那么也是有限维的，并且。
54.个变量的二次型的一切主子式都大于零，则是正定的。
55.设是三维欧氏空间的一个标准正交基，试证：
也是的一个标准正交基。
56．设是线性变换的两个不同特征值，x1，x2是分别属于的特征向量，都是非零常数，证明：向量不是的特征向量。
57．设的特征值为，如果可逆，证明：的特征值为。
58.令是数域上向量空间的一个线性变换，如果分别是的属于互不相同的本征值的本征向量，证明线性无关。
59. 令是数域上向量空间的一个线性变换，如果分别是的属于互不相同的特征值的特征向量，那么线性无关。
60.设是维欧氏空间的一个线性变换，如果是正交变换又是对称变换，证明是单位变换。
61.设是维欧氏空间的一个线性变换，如果是对称变换，且是单位变换。证明是正交变换。
62.证明:两个对称变换的和还是一个对称变换, 两个对称变换的乘积是不是对称变换?找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件.
63.设是维欧氏空间的一个线性变换，证明，如果满足下列三个条件中的任意两个，那么它必然满足第三个：（i）是正交变换，（ii）是对称变换，（iii）是单位变换。
64.证明，一个正交变换的逆变换还是一个正交变换。
65.令是数域上向量空间的一个线性变换，如果的特征多项式的根都在内；对于的特征多项式的每一根，本征子空间的维数等于的重数，证明：可以对角化。
中国农业大学2021年601高等代数考试大纲
《高等代数》考试大纲 一、考试性质 《高等代数》课程是数学专业硕士研究生入学考试必考科目之一，有些对数学知识要求较高的理工类非数学专业也考此门课程，是由教育部授权各招生院校自行命题的选拔性考试。《高等代数》考试的目的是测试考生的高等代数相关基础知识和分析及运用能力。 二、评价目标 要求考生具有较全面的高等代数基础知识，并且具有应用高等代数知识解题、证明及分析问题的能力。 三、考试内容 （1）行列式的定义、性质及各种计算方法； （2）向量组的线性相关与无关、向量组的秩；线性方程组有解的充分必要条件及线性方程组求解的各种方法； （3）矩阵的各种运算（包括矩阵的逆运算）；矩阵的分块，矩阵的初等变换，广义逆矩阵，矩阵的相抵（也叫等价）、相似和合同；矩阵的特征值与特征向量；矩阵可对角化的各种判别方法。 （4）二次型的标准型及其求法；正定二次型与正定矩阵及其判别。 （5）一元多项式的带余除法、最大公因式；不可约多项式与唯一因式分解定理； 重因式及其判定；有理数域上的不可约多项式及其判别方法； （6）线性空间的定义、线性空间的基和维数、线性空间的同构、商空间以及其子空间的交与直和；线性变换的核与象及矩阵表示；线性变换的特征值与特征向量，可对角化的条件，不变子空间；线性变换和矩阵的最小多项式； 线性变换和矩阵的约当标准形。-矩阵及其标准型和应用。 （7）欧几里得空间及性质，正交矩阵、正交变换与对称变换。 四、考试形式和试卷结构 （一）试卷满分及考试时间 本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。 （二）答题方式
答题方式为闭卷、笔试。 试卷由试题和答题纸组成。答案必须写在答题纸相应的位置上。（三）试卷题型 本试卷以解答题为主，包括计算题和证明题两部分。同时，根据情况，也可能含有填空、选择题，但分值不超过总分的20%。
高等代数多项式习题解答
第一章 多项式习题解答 1.用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r . 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f 9731929269 791437134373 132131232223232 ----+----+----+-x x x x x x x x x x x x x x 9 2926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 1 752 5 422225200222223232 342342-++--+-+--+---+-+-+++-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q . 2.q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1 m x m q x p m m x m x m q x p mx x mx x q px x x mx x --++++--+++--++++-+) ()1()1(01 222223232 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1.
本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时，用12-+mx x 去除q px x ++3，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有 q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323. 因此有m q p m ==++,012. 2）q px x mx x ++++242|1 由带余除法可得 )1()2()1)(1(2222224m p q x m p m m p mx x mx x q px x --++--++-+-++=++ 当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即 ???=--+=--0 10)2(22m p q m p m ，即???=+=,1,0p q m 或???==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时，用12++mx x 去除q px x ++24，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有 )1)((2224++++=++mx x q ax x q px x .)()1()(234q x mq a x q ma x a m x ++++++++= 比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得 ???=+=,1,0p q m 或???==+. 1,22q m p 3.求)(x g 除)(x f 的商)(x q 与余式)(x r . 1）;3)(,852)(35+=--=x x g x x x x f 解：运用综合除法可得 327 1093913623271170 83918605023--------- 商为109391362)(234+-+-=x x x x x q ，余式为.327)(-=x r
2019年沈阳师范大大学初试625高等代数一考试大纲
2019年全国硕士研究生招生考试大纲 科目代码：625 科目名称：高等代数一 适用专业：基础数学、计算数学、应用数学、 运筹学与控制论 制订单位：沈阳师范大学 修订日期：2018年9月
《高等代数一》考试大纲 一、课程简介 高等代数是数学专业的基础课之一。主要内容包括：多项式理论；线性方程组；行列式；矩阵；二次型；线性变换；欧氏空间等。本课程不仅注重讲授代数学的基本知识，更强调对于学生的代数学基本思想和基本方法的训练、线性代数基本计算的训练以及综合运用分析、几何、代数方法处理问题的初步训练。既有较强的抽象性和概括性，又具有广泛的应用性。对于培养学生的逻辑推理能力、抽象思维能力和运算能力有着重要作用。 二、考查目标 主要考察考生对高等代数的基本理论和基本方法的理解和掌握情况及抽象思维能力、逻辑推理能力和运算能力。 三、考试内容及要求 第一章多项式 一、考核知识点 1、熟练掌握一元多项式整除的概念及性质。 2、熟练掌握最大公因式的求法、性质及多项式互素的充要条件。 3、熟悉因式分解定理的内容，了解标准分解式的概念。 4、熟悉重因式的概念，熟练掌握k重因式的判定方法。 5、熟悉有关多项式函数的概念、余数定理。 6、熟练掌握代数基本定理，复系数多项式、实系数多项式因式分解定理的内容。 7、掌握本原多项式的概念。熟练掌握有理系数多项式与整系数多项式因式分解的关系。熟练掌握整系数多项式有理根的性质和求法。熟练掌握Eisenstein判别法及应用。 二、考核要求 识记：数域的概念，一元多项式的概念和运算性质，次数定理, 整除的概念和常用性质，带余除法，最大公因式的概念和性质，不可约多项式的概念和性
高等代数(上)_习题集(含答案)
《高等代数（上）》课程习题集 一、填空题1 1. 若3 1x -整除()f x ，则(1)f =( )。 2. 如果方阵A 的行列式 0=A ，则A 的行向量组线性（ ）关。 3. 设A 为3级方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且3 1= A ，则=--1*A A （ ）。 4. 若A 为方阵，则A 可逆的充要条件是——（ ）。 5. 已知1 21 1A ??=????，1 12 1B ?? =???? ，且3A B C A B +=+，则矩阵C =（ ） 。 6. 每一列元素之和为零的n 阶行列式D 的值等于（ ）。 7. 设行列式01 49007 16 =--k ，则=k （ ） 8. 行列式 2 2 3 5 007425120403 ---的元素43a 的代数余子式的值为（ ） 9. 设矩阵?? ? ? ??????-=40 3 212221 A ，11k α?? ?= ? ???，若αA 与α线性相关，则=α（ ） 10. 设A 为3阶矩阵， 5 1= A ，则12--A =（ ） 11. 已知：s ααα,,,21 是n 元齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，则系数矩阵A 的秩 =)(A R （ ） 12. 多项式)(),(x g x f 互素的充要条件是（ ） 13. 多项式 )(x f 没有重因式的充要条件是（ ）
14. 若排列 n j j j 21的逆序数为k ，则排列11j j j n n -的逆序数为（ ） 15. 当=a （ ）时，线性方程组??? ??=++=++=++0 402032 21321321x a x x ax x x x x x 有零解。 16. 设A 为n n ?矩阵，线性方程组B AX =对任何B 都有解的充要（ ） 17. 设00 A X C ??=? ??? ，已知1 1 ,A C --存在，求1 X -等于（ ） 18. 如果齐次线性方程组0=AX 有非零解，则A 的列向量组线性（ ）关 19. )(x p 为不可约多项式，)(x f 为任意多项式，若1))(),((≠x f x p ，则（ ） 20. 设A 为4级方阵， 3-=A ，则=A 2（ ） 21. 设m ααα,,,21 是一组n 维向量，如果n m > .，则这组向量线性（ ）关 22. 设矩阵?? ? ? ??????-=40 3 212221A ，11k α?? ?= ? ???，若αA 与α线性相关，则k=（ ）。 23. 每一列元素之和为零的n 阶行列式D 的值等于（ ） 24. 设A 为n 阶方阵，若I 2A -A -7=0，求()1 3A I --=（ ） 25. 如果2 4 2 11()|x A x B x -++，则A =（ ），B =（ ）。 26. 若行列式1 25 1 3202 5 x -=，则x =（ ）。 27. 向量α线性无关的充要条件是（ ） 28. 已知1 211A ??=????，1 12 1B ?? =???? ，且3A B C A B +=+，则矩阵C =（ ） 。 29. 行列式 2 2 3 5 007425120403 ---的元素43a 的代数余子式的值为（ ）
第七章线性变换总结篇(高等代数)
第 7章 线性变换 7.1知识点归纳与要点解析 一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义 数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。 注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。 2.线性变换的判别 设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么： σ为V 的线性变换?()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+?∈?∈ 3.线性变换的性质 设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα?∈。 性质1. ()()00,σσαα==-; 性质2. 若12s ,, ,ααα线性相关，那么()()()12s ,, ,σασασα也线性相关。 性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,, ,ααα线性无关，那么()()()12s ,, ,σασασα 也线性无关。 注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββ，12,,,s γγγ是V 中的两个向量组， 如果： 11111221221122221122s s s s m m m ms s c c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=++ + 记：
()()112111222 2121212,,,,, ,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ?? ? ? = ? ??? 于是，若()dim V n =，12,, ,n ααα是V 的一组基，σ是V 的线性变换， 12,, ,m βββ是 V 中任意一组向量，如果： ()()()11111221221122221122n n n n m m m mn n b b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=++ + 记： ()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ= 那么： ()()1121 112222121212,,,,, ,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα?? ? ? = ? ??? 设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ?? ? ? = ? ??? ，12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηη是 12,, ,m ηηη的一个极大线性无关组，那么()()() 12 ,r i i i σβσβσβ就是 ()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβ的 秩等于秩()B 。 4. 线性变换举例 （1）设V 是数域P 上的任一线性空间。 零变换： ()00,V αα=?∈； 恒等变换：(),V εααα=?∈。 幂零线性变换：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换，如果存在正整数m ，使 得σ =m 0，就称σ为幂零变换。
高等代数考试大纲
高等代数考试大纲 Ⅰ考查目标 高等代数课程是一门基础理论课.近年来，由于自然科学，社会科学和工程技术的迅速发展，特别是由于电子计算机的普遍应用，使得代数学得到日益广泛的应用.这就要求数学专业的本科学生不仅了解代数学的一些计算问题，还应具备代数学的基础理论知识，以便融会贯通的运用代数学的工具去解决理论上和实践上遇到的各种问题. 本课程包括一元多项式理论，线性代数，其中以线性代数为主，具有很强的抽象性与逻辑性.本课程的考查注重学生科学的思维方式，分析问题和解决问题的能力；同时渗透现代数学的观点和的思想.通过本课程的考查，能体现“学生掌握多项式理论的基本概念，线性方程组的基本理论，矩阵的基本运算和技巧，线性空间与欧几里得空间的基本性质，线性变换的基本概念和方法”的基本情况.考查学生的抽象思维能力，解决实际问题的方法，从而为学生的研究生阶段的学习打下必要的代数学基础. 难度以应届本科优秀学生能取得及格以上成绩为基准. Ⅱ考试形式和试卷结构 1填空题约占30% 2计算题约占40% 3证明题约占30%.可以根据需要将证明题分为基本证明题和综合证明题两大部分. 4、试卷总分150分. Ⅲ考查范围 第一部分多项式 一多项式代数与多项式函数 二最大公因式和互质（与数域扩充无关的性质） 三因式分解（与数域扩充有关的性质）及应用 第二部分行列式
一行列式的定义、性质及应用 二行列式的计算 第三部分矩阵初步 一矩阵代数 二矩阵的初等变换及应用 三方块矩阵的初等变换及应用 第四部分线性空间 一线性空间的定义 二向量的线性关系 三子空间与空间直和分解 第五部分线性变换 一线性映射 二线性变换 三同构对应及应用 第六部分线性方程组 一齐次线性方程组解的存在性、唯一性与表示 二非齐次线性方程组解的存在性、唯一性与表示三线性方程组的反问题和矩阵方程 第七部分矩阵的秩 一矩阵的秩的等价刻划 二关于矩阵秩的命题及应用 第八部分线性空间同构
7.《高等代数》考试大纲
《高等代数》考试大纲 一、课程简介 高等代数是数学专业的基础课之一。主要内容包括：多项式理论；线性方程组；行列式；矩阵；二次型；线性变换；欧氏空间等。本课程不仅注重讲授代数学的基本知识，更强调对于学生的代数学基本思想和基本方法的训练、线性代数基本计算的训练以及综合运用分析、儿何、代数方法处理问题的初步训练。既有较强的抽象性和概括性，乂具有广泛的应用性。对于培养学生的逻辑推理能力、抽象思维能力和运算能力有着重要作用。 二、考查目标 主要考察考生对高等代数的基本理论和基本方法的理解和掌握情况及抽象思维能力、逻辑推理能力和运算能力。 三、考试内容及要求 第一章多项式 一、考核知识点 1、熟练掌握一元多项式整除的概念及性质。 2、熟练掌握最大公因式的求法、性质及多项式互素的充要条件。 3、熟悉因式分解定理的内容，了解标准分解式的概念。 4、熟悉重因式的概念，熟练掌握k重因式的判定方法。 5、熟悉有关多项式函数的概念、余数定理。 6、熟练掌握代数基本定理，复系数多项式、实系数多项式因式分解定理的内容。 7、掌握本原多项式的概念。熟练掌握有理系数多项式与整系数多项式因式分解的关系。熟练掌握整系数多项式有理根的性质和求法。熟练掌握EiSenStein 判别法及应用。 二、考核要求 识记：数域的概念，一元多项式的概念和运算性质，次数定理，整除的概念和常用性质，带余除法,最大公因式的概念和性质，不可约多项式的概念和性质，因式分解及唯一性定理，标准分解式的概念，重因式的概念、性质，多项式函数的概念、性质及根，代数基本定理，复系数与实系数多项式的因式分解定理，本原多项式的概念、性质，EiSenStein判别法。
高等代数习题及答案
高等代数试卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ） 4、 321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i 是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换 的属于特征根0 的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换 是对称变换的充要条件为 关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ） 10、若 n ,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且 n i i i x 1 ，那么 n i i x 1 2 。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写 在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ① n n n x g x f x g x f ,, ； ② n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 ； ③ x g x g x f x g x f ,, ； ④若 1,1, x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0 D ，则D 中必有一行全是零； ④若0 D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零；
高等代数 第四章 线性变换
第四章 线性变换 习题精解 1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3） 在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3 中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f 6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ= 8） 在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是. 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是. 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α. 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β A =)(αk A ),,(321kx kx kx ),,2() ,,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-= = k A )(α 故A 是P 3 上的线性变换. 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f 故A 为][x P 上的线性变换. 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g ) A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 7)不是.例如取a=1,k=I,则
高等代数考研大纲
《高等代数》考试大纲 本《高等代数》考试大纲适用于宁波大学数学相关专业硕士研究生入学考试。 本课程考核内容包括多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵理论、二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧氏空间九个部分. 一、多项式理论：多项式的整除，最大公因式，多项式的互素，不可约多项式与因式分解，重因式重根的判别，多项式函数与多项式的根. 重点掌握：重要定理的证明，如多项式的整除性质，Eisenstein判别法，不可约多项式的性质, 整系数多项式的因式分解定理等. 运用多项式理论证明有关问题，如与多项式的互素和不可约多项式的性质有关问题的证明与应用以及用多项函数方法证明有关的问题. 二、行列式：行列式的定义、性质和常用计算方法（如：三角形法、加边法、降阶法、递推法、按一行一列展开法、Laplace展开法、范得蒙行列式法）。 重点掌握：n阶行列式的计算及应用. 三、线性方程组：向量组线性相（无）关的判别（相应齐次线性方程组有无非零解、性质判别法、行列式判别法、矩阵秩判别法）。向量组极大线性无关组的性质、向量组之间秩的大小关系（向量组（Ι）可由向量组（Π）线性表示，则（Ι）的秩小于等于（Π）的秩）定理2及三个推论、矩阵的秩（行秩和列秩、矩阵秩的行列式判别法、矩阵秩的计算）、Cramer法则，线性方程组有（无）解的判别定理、齐次线性方程组有非零解条件（用系数矩阵的秩进行判别、用行列式判别、用方程个数判别）、基础解系的计算及其性质、齐次线性方程组通解的求法，非齐次线性方程组的解法和解的结构. 重点掌握：向量组线性相（无）关的判别、向量组之间秩与矩阵的秩、齐次线性方程组有非零解条件及基础解系的性质、非齐次线性方程组解的结构与其导出组的基础解系的性质. 四、矩阵理论：矩阵的运算，矩阵的初等变换与初等矩阵的关系及其应用（求解线性方程组、求逆矩阵、求向量组的秩）、矩阵的等价标准形、矩阵可逆的条件（与行列式、矩阵的秩、初等矩阵的关系）、伴随矩阵及其性质、分块矩阵（包括矩阵乘法的常用分块方法并证明与矩阵相关的问题）、矩阵的常用分解（如：等价分解，满秩分解，实可逆阵的正交三角分解，Jordan分解），几种特殊矩阵的常用性质（如：准对角阵，对称矩阵与反对称矩阵，伴随矩阵、幂等矩阵，幂零矩阵，正交矩阵等）。 重点掌握：利用分块矩阵的初等变换证明有关矩阵秩的等式与不等式，矩阵的逆与伴随矩阵的性质与求法，应用矩阵理论解决一些相关问题. 1
高等代数 第四章 矩阵练习题参考答案
第四章 矩阵习题参考答案 一、 判断题 1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+. 错. 2. 如果20,A =则0A =. 错.如2 11,0,011A A A ??==≠ ?--?? 但. 3. 如果2 A A E +=，则A 为可逆矩阵. 正确.2()A A E A E A E +=?+=，因此A 可逆，且1A A E -=+. 4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n . 错.由0AB =可得()()r A r B n +≤.若一个秩等于n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n . 5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B = 错.如112132,,112132A B C ?????? === ? ? ?------?????? ，有,AC AB =但B C ≠. 6．A 为n m ?矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使 .00 0??? ? ??=s I PAQ 正确.右边为矩阵A 的等价标准形，矩阵A 等价于其标准形. 7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆. 正确.由A 可逆可得||0A ≠，又**||A A A A A E ==.因此*A 也可逆，且 11(*)|| A A A -= .
8．设B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB = 正确.*()()||||||.AB AB AB E A B E ==又 ()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====. 因此()()*()(**)AB AB AB B A =.由B A ,为n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式AB 的逆可得.**)*(A B AB = 二、 选择题 1．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵()T B B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（B ）. (A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2()AB (D) BAB (A)(D)为对称矩阵，（B ）为反对称矩阵，（C ）当,A B 可交换时为对称矩阵. 2. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么（ A ）是对称矩阵. (A) T A A (B) T A A - (C) 2 A (D) T A A - 3．以下结论不正确的是（ C ）. (A) 如果A 是上三角矩阵，则2 A 也是上三角矩阵； (B) 如果A 是对称矩阵，则 2A 也是对称矩阵； (C) 如果A 是反对称矩阵，则2A 也是反对称矩阵； (D) 如果A 是对角阵，则2 A 也是对角阵. 4．A 是m k ?矩阵, B 是k t ?矩阵, 若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是（B ） (A ) AB 的第j 行元素全等于零； (B )AB 的第j 列元素全等于零； (C ) BA 的第j 行元素全等于零； (D ) BA 的第j 列元素全等于零；
高等代数北大版习题参考答案
第九章 欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，
(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β==
高等代数 线性变换自测题
线性变换自测题 一、填空题（每小题3分，共18分） 1．σ是22?F 上的线性变换，若??? ? ??=100 71 )(A σ，则=-)3(A σ ． 2．σ：22R R →，)0,2(),(y x y x +-=σ；τ：22R R →，) ,3(),(y x y y x + -=τ， 则=+),)((y x τσ ．=),)((y x τσ ．=-),)(2(y x σ ． 3．设???? ? ?=2231 A ，则向量???? ??11是A 的属于特征值 的特征向量． 4．若???? ? ??--=10 0001 011 A 与???? ? ? ?--10101 01k k B 相似，则k = ． 5．设三阶方阵A 的特征多项式为322)(2 3 +--=λλλλf ，则=||A ． 6．n 阶方阵A 满足A A =2，则A 的特征值为 ． 二、判断说明题（每小题5分，共20分） 1．n 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件是0||=A ． 2．已知1 -=PBP A ，其中P 为n 阶可逆矩阵，B 为一个对角矩阵．则A 的特 征向量与P 有关． 3．σ为V 上线性变换，n ααα,,,21 为V 的基，则)(,),(),(21n ασασασ 线性无关． 4．α为V 上的非零向量，σ为V 上的线性变换，则} )(|{)(1 αησηασ==-是 V 的子空间． 三、计算题（每小题14分，共42分） 1．设??? ? ? ? ?----=a A 3 3242 111 与??? ? ? ??=b B 0 0020 002 相似． （1）求b a ,的值； （2）求可逆矩阵，使B AP P =-1．
高等代数考试科目大纲
高等代数考试科目大纲 一、考试性质 高等代数是硕士研究生入学考试科目之一，是硕士研究生招生院校自行命题的选拔性考试。本考试大纲的制定力求反映招生类型的特点，科学、公平、准确、规范地测评考生的相关基础知识掌握水平，考生分析问题和解决问题及综合知识运用能力。应考人员应根据本大纲的内容和要求自行组织学习内容和掌握有关知识。 二、评价目标 1、要求考生理解该课程的基本概念和基本理论，掌握该课程的基本方法。 2、要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力。 3、要求考生具有综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。 三、考试范围及其基本要求 1、行列式 考试范围：n阶行列式的定义，n阶行列式的性质与计算。 基本要求： （1）理解排列及其逆序数，理解n阶行列式的定义，能利用定义计算行列式的值。 （2）熟练掌握行列式的性质，能熟练计算低阶行列式的值，能计算较简单的n阶行列式的值。 2、矩阵 考试范围：矩阵及其运算，分块矩阵与矩阵的初等变换，矩阵的秩，可逆矩阵。 基本要求： （1）理解矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、方阵的幂及矩阵的转置等概念，熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算规律。 （2）理解分块矩阵、准对角矩阵、初等变换和初等矩阵的概念，熟练掌握分块矩阵的运算。 （3）理解初等变换与初等矩阵的概念及基本作用，了解矩阵等价的概念及性质，能用矩阵的初等变换化矩阵为标准形。 （4）理解矩阵的子式、矩阵的秩的定义，熟练掌握矩阵的秩的性质，能求矩阵的秩。 （5）理解满秩矩阵的概念，掌握满秩矩阵的性质。 （6）掌握两个方阵与其乘积的秩的关系式，能熟练运用方阵乘积的行列式的公式。 （7）理解可逆矩阵的概念，掌握可逆矩阵的性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。 （8）理解伴随矩阵的概念，掌握伴随矩阵的性质，会用伴随矩阵法求可逆矩阵的逆矩阵，能熟练运用矩阵的初等变换求可逆矩阵的逆矩阵，能解矩阵方程。 3、线性方程组 考试范围：向量及其线性运算，向量组的线性相关性，向量组的秩，线性方程组解的判定定理，齐次线性方程组解的结构，非齐次线性方程组解的结构。 基本要求： （1）理解n维向量的概念，熟练掌握n维向量的线性运算及其运算规律。 （2）理解向量组的线性组合的概念，能将向量表示成向量组的线性组合。 （3）理解向量组的线性相关与线性无关的定义，熟练掌握向量组线性相关、线性无关的判别法，掌握向量组线性相关、线性无关的有关重要结论。 （4）理解向量组等价、向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念，理解向量组的秩
高等代数北大版习题参考答案
第七章线性变换 1．?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）?在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）?在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）?在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）?在P 3中，A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=； 5）?在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）?在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）?把复数域上看作复数域上的线性空间，A ξξ=。 8）?在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk , A ≠ )(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- =A α+A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx =k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f +=A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f +A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i,k(A a)=i,A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，
636数学教育综合(含数学教学论、数学分析、高等代数)考试大纲
硕士研究生入学考试 《数学教育综合（含数学教学论、数学分析、高等代数）》考试大纲 （科目代码：） 学院名称（盖章）：教育学院 学院负责人（签字）： 编制时间：2012年9月5日
《数学教育综合（含数学教学论、数学分析、高等代数）》 考试大纲 （科目代码：） 一、考核要求 《数学教育综合（含数学教学论、数学分析、高等代数）》是为全日制学术型硕士研究生课程与教学论专业数学教学论方向研究生而设置的一门复方式考试科目。其目的是科学、公平、有效地测试考生掌握《数学教育综合（含数学教学论、数学分析、高等代数）》课程的基础知识、基本理论、基本方法的水平和分析问题、解决问题的能力，为了择优录取，确保教育硕士研究生的入学质量。 在考试形式和和试卷结构等方面有如下的基本要求： （一）试卷满分及考试时间 试卷满分为300分，考试时间为180分钟． （二）考试方式 考试方式为闭卷、笔试． （三）试卷内容结构 数学教学论100分 数学分析100分 高等代数100分 （四）试卷题型结构 简答题4小题，每题20分，共80分 论述题3小题，每题20分，共60分 分析题2小题，每题20分，共40分 解答题（包括证明题）6小题，每题20分，共120分 二、考核评价目标 《数学教育综合（含数学教学论、数学分析、高等代数）》是一门重要的专业基础课程。要求考生系统掌握数学教学理论知识与数学分析、高等代数中的核心思想、知识和方法，能够运用所学的基本理论、基本知识和基本方法分析、判断和解决有关问题。 考核的主要目标是检测考生对数学教学理论知识的掌握与理解及应用情况，了解考生高等数学的基本功底及对现代数学思想方法的掌握情况，同时检测考应用数学教学、数学理论分析与解决实际问题的能力。
第九章 欧氏空间
第八章 欧氏空间练习题 1．证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量ηξ,,以下等式成立: (1)2222||2||2||||ηξηξηξ+=-++； (2).||4 1 ||41,22ηξηξηξ--+= 在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么? 2．在区氏空间n R 里,求向量)1,,1,1( =α与每一向量 )0,,0,1,0,,0() ( i i =ε,n i ,,2,1 = 的夹角. 3．在欧氏空间4R 里找出两个单位向量,使它们同时与向量 ) 4,5,2,3()2,2,1,1() 0,4,1,2(=--=-=γβα 中每一个正交. 4．利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这个三角形一定是直角三角形． 5．设ηξ,是一个欧氏空间里彼此正交的向量.证明: 222||||||ηξηξ+=+(勾股定理) 6．设βααα,,,,21n 都是一个欧氏空间的向量,且β是n ααα,,,21 的线性组合.证明：如果β与i α正交,n i ,,2,1 =,那么0=β. 7．设n ααα,,,21 是欧氏空间的n 个向量. 行列式 > <><><> <><><> <><> <= n n n n n n n G ααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,),,,(21222121211121 叫做n ααα,,,21 的格拉姆(Gram)行列式.证明),,,(21n G ααα =0,必要且只要
n ααα,,,21 线性相关. 8．设βα,是欧氏空间两个线性无关的向量,满足以下条件: ><><ααβα,,2和> <> <βββα,,2都是0≤的整数. 证明: βα,的夹角只可能是 6 54 3,32,2π π ππ或 . 9.证明:对于任意实数n a a a ,,,21 , 2 3322211 (||n n i i a a a a n a ++++≤∑= ). 10．已知 )0,1,2,0(1=α,)0,0,1,1(2-=α, )1,0,2,1(3-=α,)1,0,0,1(4=α 是4R 的一个基.对这个基施行正交化方法,求出4R 的一个规范正交基． 11．在欧氏空间]1,1[-C 里,对于线性无关的向量级{1,x ,2x ,3x }施行正交化方法,求出一个规范正交组． 12．令},,,{21n ααα 是欧氏空间V 的一组线性无关的向量,},,,{21n βββ 是由这组向量通过正交化方法所得的正交组.证明,这两个向量组的格拉姆行列式相等,即 ><>><=<=n n n n G G βββββββββααα,,,),,,(),,,(22112121 13．令n γγγ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一个规范正交基,又令 },2,1,10,|{1n i x x V K n i i i i =≤≤=∈=∑=γξξ K 叫做一个n -方体.如果每一i x 都等于0或1,ξ就叫做K 的一个项点.K 的顶点间一切可能的距离是多少? 14．设},,,{21m ααα 是欧氏空间V 的一个规范正交组.证明,对于任意V ∈ξ,以下等式成立:
高等代数考研习题精选
《高等代数》试题库 一、 选择题 1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。 A ．零多项式 B ．零次多项式 C ．本原多项式 D ．不可约多项式 2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．以下命题不正确的是（）。 A .若()|(),()|()f x g x f x g x 则； B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域； C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式； D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式 4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的()条件。 A .充分 B .充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。 A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f = B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ± C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈?，有)()()(x h x g x f D .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f 6．对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号,则行列式变为D -； 命题乙：对换行列式中两行的位置,则行列式反号”有()。 A .甲成立,乙不成立； B .甲不成立,乙成立； C .甲,乙均成立； D ．甲,乙均不成 立 7．下面论述中,错误的是()。 A .奇数次实系数多项式必有实根； B .代数基本定理适用于复数域；