一次函数的图象与性质重难点

一次函数的图象与性质

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1．一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，当b＝0时，一次函数y＝kx(k≠0）也叫正比例函数。

2．一次函数的图象及性质

与x轴的交点与y轴的交点图象经过的象限函数的增减性

y＝kx＋b (k≠0）k＞0b＞0

(－

b

k，0)

(0，b)一、二、三y随x的增大而增大

b＝0(0，0)(0,0)一、三y随x的增大而增大

b＜0

(－

b

k，0)

(0，b)一、三、四y随x的增大而增大

k＜0b＞0

(－

b

k，0)

(0，b)一、二、四y随x的增大而减小b＝0(0，0)(0，0)二、四y随x的增大而减小

b＜0

(－

b

k，0)

(0，b)二、三、四y随x

的增大而减小

3．－次函数和正比例尿数的图象都是一条直线

①一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0的图象是一条直线，称为直线y＝kx＋b；

②直线y＝kx＋b(k≠0)可以看做由直线y＝kx(k≠0)上下平移b个单位长度而得到．当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移．

4.想据函数图象上两个点的坐标，用待定系数法求解析式

【板块】正比例函数及其性质

方法技巧

正比例函数要満足两个条件，一是指数为1，二是系数不为0．

题型一求正比例函数的解析式

【例1】函数y＝(k2－4)x2＋(k＋1)x是正比例函数，且y随x的增大而减小，求正比例函数的解析式.

【例2】如图，正比例函数y＝(m－3)x1

m 的图象是经过原点O的直线，点A(2，0).

(1)求正比例函数的解析式；

(2)求直线l与x轴正半轴的夹角的度数；

(3)点B是直线l上一动点，当线段AB最短时，求点B坐标.

【例3】已知y＝y

1＋y

2

，y

1

与x成正比例，y

2

与x－2成正比例，当x＝1时，y＝0；当x＝3时，y＝4.

(1)求y与x之间的关系式；

(2)当x＝－1时，求y的值。

针对练习1

1．如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在正比例函数y＝4x和y＝kx的图象上，OB=1，顶点B，C在x轴上，则系数k的值是（）

A.1

2B.2

3

C.3

4

D.4

5

2．一个函数的图象是经过原点的直线，并且这条直线经过第二象限及点(－2，3），求这个函数的解析式. 3．已知2y－3与3x＋1成正比例，且x＝2，y＝12，求y与x函数解析式。

【板块】一次函数的图象与性质

方法技巧

一次函数的图象是过点(0，b )，(－

b

k

，0)的直线，当k ＞0时，函数值y 随x 的增大而増大；当k ＜0时，函数值y 随x 的增大面减小．因此，根据函数图象经过的象限，画出大致图象，结合图象可以确定其系数的符号，也可以由系数的符号确定图象经过哪些象限

题型二一次函数的图象的位置与字母的取值

【例1】已知直线y ＝(m ＋3)x ＋m －1经过第二、三、四象限，则()A .－3＜m ＜0

B ．－3＜m ＜1

C .m ＜－3

D .m ＞1

【例k －2)－2

有意义，则一次函数y ＝(k －2)x ＋2－k 的图象可能是(

)

(2)如图，直线l 1:y ＝ax ＋b 与直线l 2:y ＝bx ＋a 在同一坐标系中的图象大致是()

题型三一次函数的增减性

【例3】已知一次函数y ＝(2m ＋4)x ＋(3－n )，求:(1)当m ，n 满足什么条件时，y 随x 的增大而增大；

(2)当m ，n 满足什么条件时，函数的图象与y 轴的交点在x 轴下方；(3)当m ，n 满足什么条件时，函数的图象经过原点.

针对练习2

1在平面直角坐标系中，若直线y ＝kx 十b 经过第一、三、四象限，则直线y ＝bx ＋k 不经过的象限是(C )A.

第一象限

B .第二象限

C .第三象限

D .第四象限

2.若点(－1，m )和点(

1

2

，n )是直线y ＝(k 2－1)x ＋b (0＜k ＜1)上的两个点，则m ，n 的大小关系为.

3.把直线y ＝－x ＋3向上平移m 个单位后，与直线y ＝2x ＋4的交点在第一象限，求m 的取值范围.

巩固练习:

1、某函数具有下面两条性质：（1）它的图象是经过原点的一条直线；（2）y 随x 的增大而减小．请你写出一个满足上述条件的函数

2、已知函数(3)2y m x =+-，要使函数值y 随自变量x 的增大而减小，则m 的取值范围是（）

Ａ．3

m -≥Ｂ．3

m >-Ｃ．3

m -≤Ｄ．3

m <-3、一次函数(1)5y m x =++中，y 的值随x 的减小而减小，则m 的取值范围是（）

Ａ．1

m >-Ｂ．1

m <-Ｃ．1

m =-Ｄ．1

m <4、已知点A(-4,a),B(-2,b)都在一次函数y=2

1

x+k(k 为常数)的图像上,则a 与b 的大小关系是a____b(填”<””=”或”>”)

5、已知直线y kx b =+，经过点11()A x y ，和点22()B x y ，，若0k <，且12x x <，则1y 与2y 的大小关系是（

）Ａ．12

y y >Ｂ．12

y y <Ｃ．12

y y =Ｄ．不能确定

6、下列图象中不可能是一次函数(3)y mx m =--的图象的是（

）

【板块三】待定系数法求一次函数的解析式

x

y O

x y

O

x

y O

x

y O

Ｄ．

Ｃ．B ．A ．