平面任意力系的简化
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用解析法求合力的大小和方向：
以A点为原点建立直角坐标系，将（a）式向x、y轴投影：
由矢量和投影定理：
F Rx Fx1 Fx2 ... xn Fxi
Ry Fy1 Fy2 ... Fyn Fyi
8
合力的大小： R Rx2 Ry2
Fxi 2 Fyi 2
方向：
tg Ry
Rx
作用点： 力系的汇交点
R' F'1 F'2 ... F'n F1 F 2 ... F n Fi
原力系中各力的矢量和称为力系的主矢量，简称主矢（
它是不是原力系的合力？），用R' 表示，即
R' F i
14
主矢作用在简化中心O点，与简化中心位置无关（为什么？）。
(3)将平面力偶系合成：
F'1
m1 F'2
=
m2
tg R y Rx 160 1162 0.133 754
由于 Rx 为正，Ry 为负，故合力在第四象限，如图所示 。
三、平面力偶系的合成
11
设有两个力偶组成的力偶系
=
=
m1 F1d1;
m1 P1d
R P1 P2
m2 F2d2
m2 P2d
R' P'1 P'2
合力偶矩 m R d ( P1 P2 )d P1d P2d m1 m2
（2）改变分力的作图顺序，力多边形改变，但其合力不变6 。
对于由n个力组成的汇交力系，有
n R F 1 F 2 F n F i Fi
i1
（a）
平面汇交力系可合成为通过汇交点的合力，其大小和方向等
于各分力的矢量和。
7
n R F 1 F 2 F n F i Fi
i1
3
§2-1 平面一般力系的简化
一、力的平移定理
可以把作用在刚体上点A的力平行移到任一指定点B，但 必须同时附加一个力偶。这个力偶的矩等于原力对指定点B的 矩。
证：
=
=
F' F" F
m Fd mB (F )
4
●该定理指出，一个力可等效于一个力和一个力偶，或一个 力可分解为作用在同平面内的一个力和一个力偶。其逆定理 表明，在同平面内的一个力和一个力偶可等效或合成一个力。 ●该定理既是复杂力系简化的理论依据，又是分析力对物体 作用效应的重要方法。 例如单手攻丝时，而且丝锥易折断。
当合力等于零，即 R 0 时，汇交力系平衡。
此时，力多边形自行封闭这就是汇交力系平衡的几何条件。
9
[例1]如图所示，作用于吊 环螺钉上的四个力构成平面 汇交力系。已知各力的大小 为F1=360N，F2=550N， F3=380N，F4=300N，方向 如图。试求合力的大小和方 向。
解：选取图示坐标系，则
③RA方向不定可用正交 分力YA, XA表示;
④ YA, XA, mA为固定端 约束反力;
⑤ YA, XA限制物体平动,
mA为限制转动。
18
结论:平面任意力系向作用面内已知点简化,一般可 以得到一个力和一个力偶.这个力作用在简化中心, 其矢量称为原力系的主矢,并等于这个力系中各力 的矢量和; 这个力偶的力偶矩称为原力系对于简化 中心的主矩 ,并等于这个力系中各力对简化中心的 矩代数和.
5
二、平面汇交力系的合成
设有四个力组成的平面汇交力系，应用平行四边形（或三 角形）法则：
说明：
c
R12 F1 F 2
F2
b
F3
R123 R12 F 3
R
R12
F1
d
F1 F2 F3
a
F R123
4
R R123 F 4
R
e
F1 F2 F3 F4
（1）去掉虚线后的多边形称为力多边形。用此方法求合力， 称为力多边形法则。
15
F'1
m1 F'2
=
m2
=
mn
(a)
F'n
(b)
R'
MO (c)
结论：平面一般力系向作用面内任一点简化，得到一个力和一个
力偶。这力的大小和方向等于原力系的主矢，作用在简化中心； 这力偶的矩等于原力系对简化中心的主矩。
16
过O点建立直角坐标系，由矢量和投影定理，得主矢在x、y轴
上的投影为：
Rx Fx1 Fx2 ... Fxn Fxi
m1 F'2
=
m2
mn
(a)
F'n
(b)
（1）将各力平移至点O ，得一平面汇交力系和一平面力偶系。
其中
F'1 F1
F'2 F2 ...F'n Fn
m1 mO(F1) m2 mO(F2) ...mn mO(Fn) 13
=
(a)
F'1 m1 F'2
m2
mn
F'n
(b)
R'
(c)
（2）将平面汇交力系合成：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
y
R'
Ry Fy1 Fy2 ... Fyn Fyi
则主矢的大小：
α
x
MO x
(a)
(c)
R' R'x2 R'y2 ( Fxi )2 ( Fy i )2
方向：
tg1 R'y tg1 Fyi
R'x
Fxi
17
固定端（插入端）约束
说明
①认为Fi这群力在同一 平面内;
② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶;
对由n个力偶组成的力偶系：
n
m m1 m2
mn
m
i 1
i
mi
结论: 平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力
偶矩的代数和。
12
四、平面一般力系向作用面内任一点简化
设刚体上作用一平面任意力系F 1 、F 2 ······F n 。
在力系作用面内任取一点O，称该点为简化中心
F'1
第二章.平面任意力系
1
第二章 平面一般力系
平面一般力系：各力的作用线都在同一平面内且任意分布的力
系。
[例]屋架： 有自重、风压力、约束反力。
Q GQ G Q / 2G / 2
G
G/2
FA x
FA y
FB
这些力构成平面一般力系。
2
平面一般力系包含以下几种特殊力系：
（1）平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于 一点的力系。 （2）平面平行力系：各力的作用线都在同一平面内且相互平 行的力系。 （3）平面力偶系：各力偶作用面共面。
=
R'
MO
mn
(a)
F'n
(b)
(c)
得到作用于力系平面内的一力偶，其力偶矩为:
MO =m1+m2+…+mn
mO( F 1 ) mO( F 2 ) ... mO( F n ) mO( F i )
原力系中各力对简化中心之矩的代数和称为力系对简化中心
的主矩 （它是不是合力偶？）
主矩一般与简化中心的位置有关（why？）。
Rx F1 cos1 F2 F3 cos3 F4 cos4
360cos60 550 380cos30 300cos70 1162N
Ry F1 sin1 F3 sin3 F4 sin4 160N
10
合力的大小和方向分别为
R Rx2 Ry2 (1162 )2 ( 160 )2 1173N
以A点为原点建立直角坐标系，将（a）式向x、y轴投影：
由矢量和投影定理：
F Rx Fx1 Fx2 ... xn Fxi
Ry Fy1 Fy2 ... Fyn Fyi
8
合力的大小： R Rx2 Ry2
Fxi 2 Fyi 2
方向：
tg Ry
Rx
作用点： 力系的汇交点
R' F'1 F'2 ... F'n F1 F 2 ... F n Fi
原力系中各力的矢量和称为力系的主矢量，简称主矢（
它是不是原力系的合力？），用R' 表示，即
R' F i
14
主矢作用在简化中心O点，与简化中心位置无关（为什么？）。
(3)将平面力偶系合成：
F'1
m1 F'2
=
m2
tg R y Rx 160 1162 0.133 754
由于 Rx 为正，Ry 为负，故合力在第四象限，如图所示 。
三、平面力偶系的合成
11
设有两个力偶组成的力偶系
=
=
m1 F1d1;
m1 P1d
R P1 P2
m2 F2d2
m2 P2d
R' P'1 P'2
合力偶矩 m R d ( P1 P2 )d P1d P2d m1 m2
（2）改变分力的作图顺序，力多边形改变，但其合力不变6 。
对于由n个力组成的汇交力系，有
n R F 1 F 2 F n F i Fi
i1
（a）
平面汇交力系可合成为通过汇交点的合力，其大小和方向等
于各分力的矢量和。
7
n R F 1 F 2 F n F i Fi
i1
3
§2-1 平面一般力系的简化
一、力的平移定理
可以把作用在刚体上点A的力平行移到任一指定点B，但 必须同时附加一个力偶。这个力偶的矩等于原力对指定点B的 矩。
证：
=
=
F' F" F
m Fd mB (F )
4
●该定理指出，一个力可等效于一个力和一个力偶，或一个 力可分解为作用在同平面内的一个力和一个力偶。其逆定理 表明，在同平面内的一个力和一个力偶可等效或合成一个力。 ●该定理既是复杂力系简化的理论依据，又是分析力对物体 作用效应的重要方法。 例如单手攻丝时，而且丝锥易折断。
当合力等于零，即 R 0 时，汇交力系平衡。
此时，力多边形自行封闭这就是汇交力系平衡的几何条件。
9
[例1]如图所示，作用于吊 环螺钉上的四个力构成平面 汇交力系。已知各力的大小 为F1=360N，F2=550N， F3=380N，F4=300N，方向 如图。试求合力的大小和方 向。
解：选取图示坐标系，则
③RA方向不定可用正交 分力YA, XA表示;
④ YA, XA, mA为固定端 约束反力;
⑤ YA, XA限制物体平动,
mA为限制转动。
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结论:平面任意力系向作用面内已知点简化,一般可 以得到一个力和一个力偶.这个力作用在简化中心, 其矢量称为原力系的主矢,并等于这个力系中各力 的矢量和; 这个力偶的力偶矩称为原力系对于简化 中心的主矩 ,并等于这个力系中各力对简化中心的 矩代数和.
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二、平面汇交力系的合成
设有四个力组成的平面汇交力系，应用平行四边形（或三 角形）法则：
说明：
c
R12 F1 F 2
F2
b
F3
R123 R12 F 3
R
R12
F1
d
F1 F2 F3
a
F R123
4
R R123 F 4
R
e
F1 F2 F3 F4
（1）去掉虚线后的多边形称为力多边形。用此方法求合力， 称为力多边形法则。
15
F'1
m1 F'2
=
m2
=
mn
(a)
F'n
(b)
R'
MO (c)
结论：平面一般力系向作用面内任一点简化，得到一个力和一个
力偶。这力的大小和方向等于原力系的主矢，作用在简化中心； 这力偶的矩等于原力系对简化中心的主矩。
16
过O点建立直角坐标系，由矢量和投影定理，得主矢在x、y轴
上的投影为：
Rx Fx1 Fx2 ... Fxn Fxi
m1 F'2
=
m2
mn
(a)
F'n
(b)
（1）将各力平移至点O ，得一平面汇交力系和一平面力偶系。
其中
F'1 F1
F'2 F2 ...F'n Fn
m1 mO(F1) m2 mO(F2) ...mn mO(Fn) 13
=
(a)
F'1 m1 F'2
m2
mn
F'n
(b)
R'
(c)
（2）将平面汇交力系合成：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
y
R'
Ry Fy1 Fy2 ... Fyn Fyi
则主矢的大小：
α
x
MO x
(a)
(c)
R' R'x2 R'y2 ( Fxi )2 ( Fy i )2
方向：
tg1 R'y tg1 Fyi
R'x
Fxi
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固定端（插入端）约束
说明
①认为Fi这群力在同一 平面内;
② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶;
对由n个力偶组成的力偶系：
n
m m1 m2
mn
m
i 1
i
mi
结论: 平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力
偶矩的代数和。
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四、平面一般力系向作用面内任一点简化
设刚体上作用一平面任意力系F 1 、F 2 ······F n 。
在力系作用面内任取一点O，称该点为简化中心
F'1
第二章.平面任意力系
1
第二章 平面一般力系
平面一般力系：各力的作用线都在同一平面内且任意分布的力
系。
[例]屋架： 有自重、风压力、约束反力。
Q GQ G Q / 2G / 2
G
G/2
FA x
FA y
FB
这些力构成平面一般力系。
2
平面一般力系包含以下几种特殊力系：
（1）平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于 一点的力系。 （2）平面平行力系：各力的作用线都在同一平面内且相互平 行的力系。 （3）平面力偶系：各力偶作用面共面。
=
R'
MO
mn
(a)
F'n
(b)
(c)
得到作用于力系平面内的一力偶，其力偶矩为:
MO =m1+m2+…+mn
mO( F 1 ) mO( F 2 ) ... mO( F n ) mO( F i )
原力系中各力对简化中心之矩的代数和称为力系对简化中心
的主矩 （它是不是合力偶？）
主矩一般与简化中心的位置有关（why？）。
Rx F1 cos1 F2 F3 cos3 F4 cos4
360cos60 550 380cos30 300cos70 1162N
Ry F1 sin1 F3 sin3 F4 sin4 160N
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合力的大小和方向分别为
R Rx2 Ry2 (1162 )2 ( 160 )2 1173N