2020年高考数学 考点13 数列

考点13 数列及等差数列
1.（2020·安徽高考文科·Ｔ5）设数列{}n a 的前n 项和2
n S n =，则8a 的值为( )
（A ） 15 (B ) 16 (C) 49 （D ）64
【命题立意】本题主要考查数列中前n 项和n S 与通项n a 的关系，考查考生的分析推理能力。

【思路点拨】直接根据1(2)n n n a S S n -=-≥即可得出结论。

【规范解答】选A ，887644915a S S =-=-=.，故A 正确。

2.（2020·福建高考理科·Ｔ3）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 。

若111a =-，466a a +=-，则当n
S 取最小值时，n 等于（ ）
A.6
B.7
C.8
D.9
【命题立意】本题考查学生对等差数列公式、求和公式的掌握程度，以及一元二次方程最值问题的求解。

【思路点拨】 d n n na S d n a a n n 2
)
1(,)1(11-+
=-+=。

【规范解答】选A ，由61199164-=+-=+=+a a a a a ，得到59=a ，从而2=d ，所以
n n n n n S n 12)1(112-=-+-=，因此当n S 取得最小值时，6=n .=
3332
<，又a b >，故A B >，从而00
(0,60)B ∈,6
cos 3
B =
. 3.（2020·广东高考理科·Ｔ4）已知{}n a 为等比数列，S n 是它的前n 项和。

若2312a a a ⋅=， 且4a 与27a 的等差中项为
5
4
，则5S =( ) A ．35 B.33 C.31 D.29
【命题立意】本题考察等比数列的性质、等差数列的性质以及等比数列的前n 项和公式 【思路点拨】由等比数列的性质及已知条件2312a a a ⋅= 得出
4
a ，由等差数列的性质及已知条件得出
7
a ，
从而求出q
及
1
a 。

【规范解答】选 C
由2311414222a a a a a a a ⋅=⇒⋅=⇒=，又475224a a +=⨯
得 714
a = 所以，37411428a q a =
==，∴ 12q =，41321618a a q ===， 5
5116[1()]231112
S -==-
4.（2010·辽宁高考文科·Ｔ14）设S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3=3，S 6 =24，则a 9= . 【命题立意】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和公式
【思路点拨】根据等差数列前n 项和公式，列出关于首项a 1和公差d 的方程组，求出a 1和d ，再求出9a
【规范解答】记首项a 1公差d,则有111
32332
1,2656242
a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⇒=-=⎨
⨯⎪+=⎪⎩。

91(91)18215a a d =+-=-+⨯=。

【答案】15
5.（2020·浙江高考理科·Ｔ15）设1,a d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足56150S S +=，则d 的取值范围是__________________ .
【命题立意】本题考查数列的相关知识，考查等差数列的通项，前n 项和公式。

【思路点拨】利用等差数列的前n 项和公式，列出1,a d 的关系式，再利用一元二次方程的判别式 求d 的范围。

【规范解答】d ≤22-或d ≥22。

5611(510)(615)150S S a d a d =+++=，
即22
116273030a da d +++=，把它看成是关于1a 的一元二次方程，因为有根，
所以22
(27)24(303)0d d ∆=-+≥，即2
80d -≥，解得d ≤22-或d ≥22。

【答案】d ≤22-或d ≥22
6.（2020·辽宁高考理科·Ｔ16）已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则n
a n
的最小值为________. 【命题立意】考查了数列的通项公式，考查数列数列与函数的关系 【思路点拨】先求出n
n a a n
再求出，然后利用单调性求最小值。

【规范解答】
(][)11221156()()) 22(1)2133 (1)33
33331133
()6563321
515523321
1662212n n n n n n n n a a a a a a a a n n n n a n n n n n
f x x x
a
n n n
a a a n ---=-++++-+=+-++⨯+=-+∴
=-+=+-=++∞∴==+-+-Q ……(……函数在0,5上单调减少，在，上单调增加。

在或时最小，当n=5时＝＝
当n=6时＝6＝
所以的最小值是。

【方法技巧】
1、形如1n n a a pn --=，求n a 常用迭加法。

2、函数()(0)0a
f x x a a a x
=+
>+∞在(，)上单调减少，在（，）上单调增加。

7.（2020·浙江高考文科·Ｔ14）在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么，位于下表中的第n 行第n+1列的数是 。

【命题立意】本题主要考察了等差数列的概念和通项公式，以及运用等差关系解决问题的能力，属中档题。

【思路点拨】解决本题要先观察表格，找出表中各等差数列的特点。

【规范解答】第n 行第一列的数为n ，观察得，第n 行的公差为n ，所以第n 0行的通项公式为
()001n n n a n -+=，又因为为第n+1列，故可得答案为n n +2。

【答案】n n +2
8.（2020·湖南高考理科·Ｔ4）若数列{}n a 满足：对任意的n N *
∈，只有有限个正整数m 使得m a n
＜
成立，记这样的m 的个数为()n a *
，则得到一个新数列{
}()n a *
．例如，若数列{}n
a 是1,2,3,n …，…，
则数列{
}()
n a *
是0,1,2,1,n -…，…．已知对任意的N n *
∈，2n
a
n =，则5()a *= ，
123… 246… 369… …
…
…
…
第1列 第2列 第3列 ……
第1行 第2行 第3行
(())n a **= ．
【命题立意】以数列为依托，产生新定义考查学生的接受能力，信息迁移能力，归纳能力. 【思路点拨】罗列数列，归纳总结.
【规范解答】由2
n a n
=得到数列是：1,4,9,16,25,…，则满足
m a n
＜的m 是1和2，因此是2个.
设
*)(n a =
n
b ，则
n
b 是：0,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,…，∴目标数列是：1,4,9,…，∴
(())n a **=2
n .
【方法技巧】对于新定义题，常常利用特殊代替一般对定义进行充分理解，只有在完全理解问题的基础 上才能解题.
9.（2020·浙江高考文科·Ｔ19）设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足56S S +15=0。

（Ⅰ）若5S =5，求6S 及a 1； （Ⅱ）求d 的取值范围。

【命题立意】本题主要考查等差数列概念、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力及分析问题解决问题的能力。

【思路点拨】本题直接利用等差数列的通项公式和前n 项和求解即可。

【规范解答】(Ⅰ)由题意知S 6=5-15
S =-3, 6a =S 6-S 5=-8。

所以115105,58.
a d a d +=⎧⎨+=-⎩ 解得a 1=7，所以S 6= -3,a 1=7
(Ⅱ)方法一：因为S 5S 6+15=0, 所以(5a 1+10d )(6a 1+15d )+15=0,即2a 12
+9da 1+10d 2
+1=0. 故(4a 1+9d )2
=d 2
-8. 所以d 2
≥8.[ 故d 的取值范围为d ≤-22或d ≥22.
方法二：因为S 5S 6+15=0, 所以(5a 1+10d )(6a 1+15d )+15=0,即2a 12+9da 1+10d 2
+1=0. 看成关于1a 的一元二次方程，因为有根，所以2
2
2
818(101)80d d d ∆=-+=-≥， 解得22d ≤-或22d ≥。