跟踪强化训练11

跟踪强化训练(十一)一、选择题1．(2017·合肥质检)已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．2B ．－2 C.94 D ．－94[解析] 由已知条件f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，知f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，令x ＝2，则f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，即2f ′(2)＝－92，所以f ′(2)＝－94.故选D.[答案] D2．(2017·兰州质检)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(1,3)和(－1,3)D ．(1，－3)[解析] f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1,3)或(－1,3)．经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C.[答案] C3．(2017·四川乐山一中期末)f (x )＝x 2－a ln x 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．a <1B ．a ≤1C ．a <2D ．a ≤2[解析] 由f (x )＝x 2－a ln x ，得f ′(x )＝2x －ax ，∵f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴2x －ax ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≤2x 2在(1，＋∞)上恒成立，∵x ∈(1，＋∞)时，2x 2>2，∴a ≤2.故选D. [答案] D4．(2017·聊城模拟)已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )[解析] 由题图知当0<x <1时，xf ′(x )<0，此时f ′(x )<0，函数f (x )递减．当x >1时，xf ′(x )>0，此时f ′(x )>0，函数f (x )递增． 所以当x ＝1时，函数f (x )取得极小值．当x <－1时，xf ′(x )<0，此时f ′(x )>0，函数f (x )递增，当－1<x <0时，xf ′(x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )递减，所以当x ＝－1时，函数取得极大值．符合条件的只有C 项．[答案] C5．(2017·豫南九校2月联考)已知f ′(x )是定义在R 上的连续函数f (x )的导函数，满足f ′(x )－2f (x )<0，且f (－1)＝0，则f (x )>0的解集为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,1)C ．(－∞，0)D ．(－1，＋∞)[解析] 设g (x )＝f (x )e 2x ，则g ′(x )＝f ′(x )－2f (x )e 2x<0在R 上恒成立，所以g (x )在R 上递减，又因为g (－1)＝0，f (x )>0⇔g (x )>0，所以x <－1.[答案] A6．(2017·银川一模)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x (a ∈R )，g (x )＝－ax ，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f (x 0)>g (x 0)成立，则实数a 的范围为( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析] 由题可知，若至少存在一个x 0∈[1，e]使得f (x 0)>g (x 0)成立，即ax －2ln x >0在[1，e]上有解．只须满足a >⎝ ⎛⎭⎪⎫2ln x x min 即可．设h (x )＝2ln xx ，h ′(x )＝2(1－ln x )x 2，∵x ∈[1，e]，∴h ′(x )≥0，∴h (x )在[1，e]上恒为增函数，∴h (x )≥h (1)＝0，∴a >0，故选D.[答案] D 二、填空题7．(2017·武汉模拟)设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax＋y ＋1＝0垂直，则a ＝________.[解析] 因为y ＝x ＋1x －1，所以y ′＝－2(x －1)2，则曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线的斜率为y ′⎪⎪x ＝3＝－12.又因为切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，所以－12·(－a )＝－1，解得a ＝－2.[答案] －28．(2017·长沙模拟)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝________.[解析] 令⎠⎛01f (x )d x ＝m ，则f(x)＝x 2＋2m ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2mx ⎪⎪⎪10＝13＋2m ＝m ，解得m ＝－13.[答案] －139．(2017·南昌模拟)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是________．[解析] 因为f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1，所以f ′(x )＝x 2－ax ＋1.所以函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点等价于方程f ′(x )＝0在R 上有两个不相等的实根且在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3内有根，即Δ＝a 2－4>0且方程a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎪⎫12，3内有解．因为函数y ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，在(1,3)上单调递增，所以函数y ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103，所以2≤a <103.由a 2－4>0，所得a <－2或a >2.综上可知2<a <103.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103 三、解答题10．(2017·成都模拟)已知函数f (x )＝12ax 2＋2x －ln x . (1)当a ＝0时，求f (x )的极值．(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，求实数a 的取值范围． [解] (1)函数的定义域为(0，＋∞)， 因为f (x )＝12ax 2＋2x －ln x当a ＝0时，f (x )＝2x －ln x ， 则f ′(x )＝2－1x ，所以x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所以当x ＝12时，f (x )的极小值为1＋ln2，函数无极大值． (2)由已知，得f (x )＝12ax 2＋2x －ln x ， 且x >0，则f ′(x )＝ax ＋2－1x ＝ax 2＋2x －1x， 若a ＝0，由f ′(x )>0得x >12，显然不合题意．若a ≠0，因为函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数， 所以f ′(x )≥0对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2恒成立，即不等式ax 2＋2x －1≥0对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2恒成立， 即a ≥1－2x x 2＝1x 2－2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1恒成立，故a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1max .而当x ＝13，函数⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1的最大值为3，所以实数a 的取值范围为a ≥3.11．(2017·贵阳模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． [解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a . 若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a >0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值， 最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0.于是，当0<a <1时，g (a )<0. 因此，a 的取值范围是(0,1)． 12．已知函数f (x )＝a ln x ＋1x (a >0)． (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)已知对任意的x >0，ax (2－ln x )≤1恒成立，求实数a 的取值范围；(3)是否存在实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．[解] 由题意知函数的定义域为{x |x >0}, f ′(x )＝a x －1x 2(a >0)． (1)由f ′(x )>0解得x >1a ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞；由f ′(x )<0解得x <1a ，所以函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a .所以当x ＝1a 时，函数f (x )有极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a ln 1a ＋a ＝a －a ln a .(2)设g (x )＝ax (2－ln x )＝2ax －ax ln x ， 则函数g (x )的定义域为(0，＋∞)．g ′(x )＝2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ·1x ＋a ln x ＝a －a ln x . 由g ′(x )＝0，解得x ＝e.由a >0可知，当x ∈(0，e)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增； 当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减． 所以函数g (x )的最大值为g (x )的极大值g (e)＝a e.要使不等式ax (2－ln x )≤1恒成立，只需g (x )的最大值不大于1即可，即g (e)≤1，也就是a e ≤1，解得a ≤1e . 又a >0，所以0<a ≤1e . 故a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e . (3)由(1)可知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，函数f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，函数f (x )单调递增． ①若0<1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1，e]上为增函数， 故函数f (x )的最小值为f (1)＝a ln1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件．②若1<1a ≤e ，即1e ≤a <1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，1a 上为减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，e 上为增函数，故函数f (x )的最小值为f (x )的极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a ln 1a ＋a ＝a －a ln a ＝a (1－ln a )＝0，即ln a ＝1，解得a ＝e ，不满足条件．③若1a >e ，即0<a <1e 时，函数f (x )在[1，e]上为减函数，故函数f (x )的最小值为f (e)＝a lne ＋1e ＝a ＋1e ＝0，即a ＝－1e ，而0<a <1e ，故不满足条件．综上所述，不存在这样的实数a，使得函数f(x)在[1，e]上的最小值为0.。