2023年浙江省金兰教育合作组织数学高一第二学期期末统考模拟试题含解析
浙江省湖州市2023-2024学年高一下学期6月期末调研测试数学试题(含答案)
湖州市2023学年第二学期期末调研测试卷高一数学注意事项：1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．2．本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，是两个单位向量，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径是（ ）ABCD4．设，是两个平面，m ，n 是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若，，，则B ．若，，，则C ．若，，，则D ．若，，，则5．如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是（ ）A ．众数<中位数<平均数B ．众数<平均数<中位数C ．中位数<平均数<众数D ．中位数<众数<平均数6．在正方体中，是的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值是（）a ba b =± //a b 0a b ⋅= 22a b= z (1i)3i z -=+i z αβαβ⊥//m α//n βm n ⊥m α⊂n β⊂//m n //αβm αβ= //n α//n β//m n m α⊥n β⊥//m n αβ⊥1111ABCD A B C D -E 11C DA ．0BCD ．7．湖州东吴国际双子大厦是湖州目前已建成的第一高楼，也被称为浙北第一高楼，是湖州的一个壮观地标．如图，为测量双子大厦的高度CD ，某人在大厦的正东方向找到了另一建筑物，其高AB 约192m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 共线）处测得建筑物顶A 、大厦顶C 的仰角分别为45°和60°，在建筑物顶A处测得大厦顶C 的仰角为15°，则可估算出双子大厦的高度CD 约为（）A ．284mB ．286mC ．288mD ．290m8．已知是锐角三角形，若，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．为了丰富同学们的课外活动，某学校为同学们举办了四种不同的科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件A ：只参加科技游艺活动；事件B ：至少参加两种科普活动；事件C ：只参加一种科普活动；事件D ：一种科普活动都不参加；事件E ：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是（）A ．A 与D 是互斥事件B ．B 与E 是对立事件C ．D ．10．若复数z ，w 均不为0，则下列结论正确的是*A．B ．C ．D ．11．如图，一张矩形白纸，，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，BE 交AC 于点M ，DF 交AC 于点．现分别将，沿BE ，DF 折起，且点A ，C 在平面的同侧，则下列命题正确的是（）12ABC △22sin sin sin sin A B B C -=ab(0,2)E C D= A C E= ||||||z w z w +=+||||z w z w -=-||||||z w z w ⋅=⋅||||z z w w =ABCD 4AB =AD =N ABE △CDF △BFDEA ．当平面平面时，平面B ．当A ，C 重合于点时，平面C ．当A ，C 重合于点时，三棱锥的外接球的表面积为D ．当A ，C 重合于点时，四棱锥三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知事件和事件相互独立，且，，则__________．13．已知向量，，则在上的投影向量的坐标是__________．14．已知四面体中，棱BC ，AD 所在直线所成的角为，且，，，则四面体体积的最大值是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”．（1）求和的值；（2）求两次摸到的不都是红球的概率．16．（本题满分15分）在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，．（1）求；（2）若，边上的高为1，求的周长．17．（本题满分15分）某学校组织“防电信诈骗知识”测试，随机调查400名学生，将他们的测试成绩（满分100分）的统计结果按，，…，依次分成第一组至第五组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中x 的值；（2）估计参与这次测试学生的成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第60百分位数；（3）现从以上第三组、第四组和第五组中参与测试的学生用分层随机抽样的方法选取15人，担任学校“防电信诈骗知识”的宣传员．若这15名学校宣传员中来自第三组学生的测试成绩的平均数和方差分别为75和5，来自第四组学生的测试成绩的平均数和方差分别为85和10，来自第五组学生的测试成绩的平//ABE CDF //AC BFDE P PD ⊥PFMP P DEF -24πP P BFDE -A B 1()2P A =3()4P B =(P AB =(4,3)a = (2,4)b =b a A BCD -60︒4BC =3AD =120ACD ︒∠=A BCD -A =B =()P A ()P B ABC △(2)cos cos bc A a C -=A ABC △BC ABC △[)50,60[)60,70[]90,100均数和方差分别为93和5．2，据此估计这次第三组、第四组和第五组所有参与测试学生的成绩的方差．18．（本题满分17分）如图，在四棱台中，底面为菱形，且，，侧棱与底面．若球与三棱台内切（即球与棱台各面均相切）．（1）求证：平面；（2）求二面角的正切值；（3）求四棱台的体积和球的表面积．19．（本题满分17分）已知函数，．（1）写出函数的单调区间；（2）若函数有两个不同零点，求实数的取值范围；（3）已知点，是函数图象上的两个动点，且满足，求的取值范围．湖州市2023学年第二学期期末调研测试卷高一数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678答案DDACABCB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ABCBCDAC1111ABCD A B C D -ABCD 60ABC ∠=︒1111AA BB CC ===1BB ABC O 111ABC A B C -AC ⊥11B D DB 1B BC A --1111ABCD A B C D -O 1()()f x x x a x=---R a ∈()f x ()f x a ()1,2A x ()2,2B x ()f x 210x x >>123x x a -+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．13．14．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5．第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，（1）第一次摸到红球的可能结果有8种，即，所以．第二次摸到红球的可能结果也有8种，即，所以．（2）事件“两次摸到都是红球”包含2个可能结果，即，则两次摸到都是红球的概率，故两次摸到的不都是红球的概率．16．解：（1）因为，由正弦定理，得，即，即．因为在中，，所以．又因为，所以．（2）因为，所以，得由，即．由余弦定理，得，即，化简得，所以，即，所以的周长为．17．解：（1）由题意得，所以；（2）参与测试学生的成绩平均值：181612,55⎛⎫⎪⎝⎭32()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,1,5,2,1,2,3,2,4,2,5A=82()205P A ==()()()()()()()(){}2,1,3,1,4,1,5,1,1,2,3,2,4,2,5,2B =82()205P B ==AB =()(){}1,2,2,1AB =21()2010P AB ==()()19111010P AB P AB =-=-=(2)cos cos b c A a C -=(2sin sin )cos sin cos B C A A C -=2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+2sin cos sin B A B =ABC △sin 0B ≠1cos 2A =0πA <<π3A =ABC △112a ⨯=a =1sin 2bc A =12bc =4bc =2222cos a b c bc A =+-2212b c bc =+-2()312b c bc +=+2()24b c +=b c +=ABC △a b c ++=+(0.0150.020.030.025)101x ++++⨯=0.01x =．第60百分位数为；（3）设第三组，第四组，第五组测试学生成绩的平均数和方差分别为，，，，，，且三组的频率之比为4：6：5，则这三组的平均数，所以第三组、第四组和第五组所有参与测试的学生的测试成绩的方差18．解：（1）证明：设与、与BD 分别交点E ，F ，连接EF ，因为底面为菱形，所以．在等腰梯形中，因为E ，F 为底边中点，所以，又EF 与BD 相交，平面．（2）由（1）可知平面平面，又平面平面，过点作于，则平面，再作于，则由三垂线定理得，则是二面角的平面角．因为平面，故是侧棱与底面所成角，所以．在，，，在，，在，．因此二面角的正切值为．10(550.01650.015750.02850.03950.025)79.5u =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=0.60.458010850.750.45-+⨯=-3x 4x 5x 23s 24s 25s 7548569358515x ⨯+⨯+⨯==()()()2222222334455465151515s s x x s x x s x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-++-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2224655(7585)10(8585) 5.2(9385)151515⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-++-++-⎣⎦⎣⎦⎣⎦82615=11AC 11B D AC ABCD AC BD ⊥11AC CA AC EF ⊥AC∴⊥11B D DB ABCD ⊥11B D DB ABCD 11B D DB BD =1B 1BH BD ⊥H 1B H ⊥ABCD HG BC ⊥G 1B G BC ⊥1B GH ∠1B BC A --1B H ⊥ABCD 1B BH ∠1BB ABC 1sin B BH ∠=1Rt B BH △111sin B H BB B BH =∠=11cos BH BB B BH =∠=Rt BGH △sin 30GH BH =︒=1Rt B GH △11tan B HB GH GH ∠===1B BC A --（3）由题意可知三棱台为正三棱台，设，是和的中心，M ，N 分别是和BC 的中点，故为内切球的球心的直径。
2022-2023学年度第二学期期末考试卷高一数学试卷(答案版)
2022-2023学年度第二学期期末考试卷高中数学答案120α=>，25，)，二、多选题15．【答案】π12【详解】如图所示：设ADN α∠=，大正方形边长为a ，则cos DN a α=，sin AN a α=，cos sin MN a a αα=-，则()()()21cos sin cos sin 2S a a a a αααα=-+⨯阴，()()()22ABCD1cos sin cos sin 528a a a a S S a αααα-+⨯==阴，2215sin cos 2sin cos sin cos 28αααααα+-+=，化为33sin248α=，则1sin22α=，由题意π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π20,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故π26α=，解得π12α=．故答案为：π12.16．【答案】10-【详解】设28(1)716y ax a x a =++++，其图象为抛物线，对于任意一个给定的a 值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足0y ≥而整数解只有有限个，所以a<0，因为0为其中一个解可以求得167a ≥-，又a Z ∈，所以2a =-或1a =-，则不等式为22820x x --+≥和290x -+≥，可分别求得2552x --≤≤-和33x -≤≤，因为x 位整数，所以4,3,2,1x =----和3,2,1,0,1,2,3x =---，所以全部不等式的整数解的和为10-.故答案为：10-.17．【答案】(1)52k ≥(2)1k ≤【详解】（1）由2511x x -<+，移项可得25101x x --<+，通分并合并同类项可得601x x -<+，等价于()()610x x -+<，解得16x -<<，则{}16A x x =-<<；由A B A = ，则A B ⊆，即1621k k -≤-⎧⎨≤+⎩，解得52k ≥.（2）p 是q 的必要不充分条件等价于B A ⊆.①当B =∅时，21k k -≥+，解得13k ≤-，满足.②当B ≠∅时，原问题等价于131216k k k ⎧>-⎪⎪-≥-⎨⎪+≤⎪⎩（不同时取等号）解得113k -<≤.综上，实数k 的取值范围是1k ≤.18．【答案】(1)π()sin(2)3f x x =+，(2){}2[3,2)-f=，的奇函数，所以()00),0∞和()+上分别单调递增．0,∞。
2024届浙江省十校联盟选考学考高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析
2024届浙江省十校联盟选考学考高一数学第二学期期末学业水平测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若001a b ><<，，则2a ab ab ，，的大小关系为 A ．2a ab ab >>B ．2a ab ab <<C ．2ab a ab >>D ．2ab ab a >>2．如图所示，向量,,,5OA a OB b OC c AC CB ====-，则（ ）A ．1544c a b =-+ B ．2c a b =-+ C ．1322c a b =-+ D ．1433c a b =-+ 3．将一个底面半径和高都是R 的圆柱挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，剩余部分的体积记为1V ，半径为R 的半球的体积记为2V ，则1V 与2V 的大小关系为( ) A ．12V V >B ．12V <VC ．12V =VD ．不能确定4．圆2220x y x +-=和圆2240x y y ++=的公切线条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．如图是一个正四棱锥，它的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．6．若向量()2cos ,1a α=-， ()2,tan b α=，且//a b ，则sin α＝( )A ．22B ．－22C ．4π D ．－4π 7．3,3,6这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是( ) A ．12πB ．18πC ．36πD ．6π8．已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-9．已知四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，其中ABCD 为正方形，PAD ∆为等腰直角三角形，2PA PD ==P ABCD -外接球的表面积为（ ）A ．10πB ．4πC ．16πD ．8π10．已知向量(1,2)a =，(4,2)b =-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．3π C ．512π D ．2π 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2023-2024第二学期期末考试高一数学试卷
2023—2024学年第二学期期末试卷高一数学注意事项：1．本试卷包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）四部分。
本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级填在答题卡上指定的位置。
3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z ＝3＋i(i 为虚数单位)，则复数zz －2i的虚部是 A ．45B ． 45iC ． 35D ．35i2．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是 A ．若m ∥α，n α⊂，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC ．若m ∥β，n ∥β，且m α⊂，n α⊂，则α∥βD ．若α⊥β，α β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥β 3．已知数据x 1，x 2，x 3， …x n 的平均数为10，方差为5，数据3x 1－1，3x 2－1，3x 3－1， …3x n－1的平均数为—x ，方差为s 2，则 A ．—x =10，s 2=14 B ．—x =9，s 2=44 C ．—x =29，s 2=45D ．—x =29，s 2=444．向量→a 与→b 不共线，→AB ＝→a ＋ k →b ，→AC ＝ m →a －→b (k ，m ∈R )，若→AB 与→AC 共线，则k ，m 应满足A ．k ＋m ＝0B ．k -m ＝0C ．km ＋1＝0D ．km －1＝05．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，设事件A ＝“第一枚向上点数为奇数”，事件B ＝“第二枚向上点数为偶数”，事件C ＝“两枚骰子向上点数之和为8”，事件D ＝“两枚骰子向上点数之积为奇数”，则 A ． A 与C 互斥B ． A 与C 相互独立C ． B 与D 互斥 D ． B 与D 相互独立6． 在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ．若2b cos C ＝2a －c ，A ＝π4，b ＝3，则实数a 的值为 A ． 6B ． 3C ． 6D ． 37． 如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，P A ＝4，PC 与平面ABCD 所成角的大小为θ，且 tan θ＝223，则四棱锥P －ABCD 的外接球表面积为 A ． 26π B ． 28π C ． 34πD ． 14π8．已知sin2θ＝45，θ∈(0，π4) ，若cos(π4－θ)＝m cos(π4＋θ)，则实数m 的值A ．－3B ．3C ．2D ．－2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数z ＝i ＋3i 2(i 为虚数单位)，则下列结论正确的是 A ． z 的共轭复数为－3－iB ．z ·i=1－3iC ． z 在复平面内对应的点位于第二象限D ．|z ＋2|＝ 210．已知△ABC 内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是 A ．若sin A ＞sin B ，则A ＞BB ．若a cos B =b cos A ，则△ABC 为等腰三角形 C ．若a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形D ．若a ＝1.5，b ＝2，A ＝30°的三角形有两解11．如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是C 1D 1，C 1C ，A 1A 的中点，则A ．M ，N ，B ，A 1四点共面B ．若a ＝2，则异面直线PD 1与MNC ．平面PMN 截正方体所得截面为等腰梯形D ．若a ＝1，则三棱锥P －MD 1B 的体积为124三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．12．一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中2个白球，1个红球和3个黄球，从中1次随机摸出2个球，则恰有一球是黄球的概率是▲ .13．已知A(－3，5)，B(1，10)，C(2，1)，则tan∠ACB＝▲ .14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∠ABC=120°，BD是△ABC的中线，且1BD=，则a＋c的最大值为▲．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．15．(13分)已知sin α＝－55，α∈(π，3π2)，sin(α+β)＝513，β∈(π2，π)．（1）求tan2α的值；（2）求sinβ的值．16．(15分)某市高一年级数学期末考试，满分为100分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取100名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40和100之间，将数据按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6组，制成如图所示的频率直方图。
2020年浙江省“金兰教育合作组织”高一下学期期中联考数学试题(附带详细解析)
绝密★启用前2020年浙江省“金兰教育合作组织”高一下学期期中联考数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知数列的前五项分别为13，12，35，23，57，则该数列的一个通项公式为（ ） A ．231nn - B ．2n n - C ．221nn - D ．2n n +2．若a b >，则下列正确的是（ ） A ．22a b > B ．ac bc > C ．22ac bc >D ．a c b c ->-3．已知数列{}n a 中，112a =，且对任意的*n N ∈，都有111n n na a a +-=+成立，则2019a =（ ） A ．1B ．13C ．12D ．234．已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，349a =，则{}n a 的前8项和等于（ ） A ．86(13)--- B ．81(13)9--C ．83(13)--D ．83(13)-+5．设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定6．在上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-，若关于x 的不等式()()0x a x b -⊗->的解…………集为(2)3，，则a b+=（）A．1 B．2 C．4 D．57．在三角形ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一个解的是（）A．b=7，c=3，C=300B．b=5，c=，B=450C．a=6，b=B=600D．a=20，b=30，A=3008．等差数列{}n a的前n项和为n S，若公差0d>，()()8595S S S S--<，则（）A．78a a>B．78a a<C．78a a=D．7a=9．已知：0x>，0y>，且211x y+=，若222x y m m+>+恒成立，则实数m的取值范围是（）A．()4,2-B．(][),42,-∞-+∞C．()2,4-D．(][),24,-∞-⋃+∞10．在ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，22sin cos sin cos4sinc A A a C C B+=，cos B=，已知D是AC上一点，且23BCDS∆=，则ADAC等于（）A．49B．59C．13D．23第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．ABC∆的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b=，6Bπ=，4Cπ，则c=______；12．已知等差数列{}n a的前n项和为n S，若310a=，450S=，则公差d=______；当n=______时，n S取到最大值.13．已知函数()21f x x=-，()()2g x x a a R=+∈，则不等式()3f x≤的解集为……外………………内…………______.14．已知数列{}n a 的前n 项的和为21n S n n =++，*(1)(2)()n n n b a n N =--∈，则数列{}n a 的通项公式为______；数列{}n b 的前50项和为______.15．已知A 船在灯塔C 北偏东80︒处，且A 到C 的距离为2km ，B 船在灯塔C 北偏西40︒处，且A ，B 两船的距离为3km ，则B 到C 的距离为______km .16．若对任意x ∈R ，不等式22(1)(1)10a x a x ----<恒成立，则实数a 值范围是____________.17．已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，263n n n S a a =+，*n N ∈，()()122121nnn a n a a b +=--，若任意*n N ∈，n k T >恒成立，则k 的最小值为______.三、解答题18．已知不等式()210x a x a -++≤的解集为A ，不等式2103x x +≤-的解集为B . （1） 当3a =时，求AB ；（2）若不等式的解集A B ⊆，求实数a 的取值范围.19．如图所示，ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c cb=.（1）求角B 的大小；（2）点D 为边AB 上的一点，记BDC θ∠=，若2πθπ<<，2,5CD AD a ===，求sin θ与b 的值.20．已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.（2）求数列{}n b 的前n 项和.21．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1cos cos ()2a C c A a c +=+. （1）若4sin 3sin A B =，求ca的值； （2）若23C π=，且8c a -=，求ABC ∆的面积. 22．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，对任意的*n N ∈，都有()1n n S m ma =+-(m 为常数，且0)m >．（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f m =，数列{}n b 满足()1112,n n b a b f b -==(2n ≥，*n N ∈)，求数列{}n b 的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求证：数列{}2nb 的前n 项和8918nT<．参考答案1．D 【解析】 【分析】分析可得数列的前五项可为13,24,35,46,57,分别观察分子、分母的数的规律,进而求解即可. 【详解】通过观察,整理数列的前五项为13,24,35,46,57, 则分母为由3开始,每次递增1的连续的自然数；分母为由1开始,每次递增1的连续的自然数,所以该数列的一个通项公式为2nn +, 故选:D 【点睛】本题考查观察法求数列的通项公式,属于基础题. 2．D 【解析】 【分析】由不等式的性质对四个选项逐一判断，即可得出正确选项，错误的选项可以采用特值法进行排除． 【详解】A 选项不正确，因为若0a =，1b =-，则不成立；B 选项不正确，若0c时就不成立；C 选项不正确，同B ，0c时就不成立；D 选项正确，因为不等式的两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变，故选D ． 【点睛】本题主要考查不等关系和不等式的基本性质，求解的关键是熟练掌握不等式的运算性质． 3．C【解析】 【分析】 整理111n n n a a a +-=+为1211n n a a +=-++,即1211n na a ++=+,设1n nb a =+,易得数列{}n b 是周期为2的数列,即可求得2019b ,进而求解即可. 【详解】 由题,因为111n n n a a a +-=+,所以1211n n a a +=-++,即1211n na a ++=+, 设1n nb a =+,所以12n nb b +=,即12n n b b +=, 则212n n b b ++=,所以2n n b b +=,即数列{}n b 是周期为2的数列, 因为2019210091÷=,所以201911312b b a ==+=,即20192019312b a =+=,所以201912a =, 故选:C 【点睛】本题考查数列的周期性的应用,属于基础题. 4．C 【解析】试题分析：111303n n n n a a a a +++=∴=-，，∴数列{}n a 是以13-为公比的等比数列．349a =，14a ∴=，由等比数列的求和公式可得，{}n a 的前8项和883(13)S -=-，故选C ．考点：1.数列的递推关系；2.等比数列. 5．B 【解析】 【分析】利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==，从而可得结果.【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=，所以sin 1,2A A π==，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 6．C 【解析】 【分析】根据定义，利用一元二次不等式的解法求不等式的解集． 【详解】∵x ⊗y ＝x （1﹣y ）， ∴（x ﹣a ）⊗（x ﹣b ）＞0得 （x ﹣a ）[1﹣（x ﹣b ）]＞0， 即（x ﹣a ）（x ﹣b ﹣1）＜0，∵不等式（x ﹣a ）⊗（x ﹣b ）＞0的解集是（2，3）， ∴x ＝2，和x ＝3是方程（x ﹣a ）（x ﹣b ﹣1）＝0的根， 即x 1＝a 或x 2＝1+b ， ∴x 1+x 2＝a +b +1＝2+3， ∴a +b ＝4， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，利用新定义列出不等式是解决本题的关键． 7．C 【解析】三角形ABC 中已知a b A ，，（A 为锐角），若 a b ≥ 或a bsinA = 则三角形有一个解.A 选项已知c b C ，，，,c b < 且sin c b c ≠；B 选项已知b c B ，，， ,b c <且sin b c B ≠；C 选项已知b a B ，，，,b a >所以有一个解；D 选项已知a b A ，，，,a b <且sin a b A ≠；故选C. 【点睛】已知两边和其中一边的对角，解三角形，要注意对解的个数的讨论．可按如下步骤和方法进行： 例如已知a b A ，， ，（一）若A 为钝角或直角，当b a ≥ 时，则无解；当a b ≥ 时，有只有一个解； （二）若A 为锐角，结合下图理解. ①若a b ≥ 或a bsinA = ，则只有一个解. ②若bsinA a b ＜＜ ，则有两解. ③若a bsinA ＜ ，则无解.a bsinA ＜无解 a bsinA =一解 bsinA ab ＜＜两解 a b ≥一解也可根据a b ， 的关系及sin sin b AB a= 与1 的大小关系来确定. 8．B 【解析】 【分析】由题整理可得()()67867890a a a a a a a +++++<,利用等差数列的性质可得()7780a a a +<,再分别讨论70a >和70a <的情况即可.【详解】由题,因为()()85950S S S S --<,则()()67867890a a a a a a a +++++<,所以()778320a a a ⋅+<,即()7780a a a +<,因为0d >,当70a >时,80a >,则()7780a a a +>,不符合题意；当70a <时,因为()7780a a a +<,所以780a a +>,所以870a a >->,即87a a >, 故选:B 【点睛】本题考查等差数列的性质的应用,考查等差数列的单调性的应用,考查数列的前n 项和的定义. 9．A 【解析】 【分析】若222x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可. 【详解】 由题,因为211x y+=,0x >,0y >,所以()2142224448x y x y x y y x ⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭,当且仅当4x y y x =,即4x =,2y =时等号成立,因为222x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A 【点睛】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题. 10．B 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理化角为边可得22222222422b c a a b c c a a c b bc ab+-+-⋅⋅+⋅⋅=,整理可得4ac =,则32ABCS =,由于BCD ABCS CD AC S =,进而求解即可.【详解】由题,因为22sin cos sin cos 4sin c A A a C C B +=,所以22222222422b c a a b c c a a c b bc ab+-+-⋅⋅+⋅⋅=,整理可得4ac =,则1133sin 42242ABCSac B =⋅=⨯⨯=, 因为23BCD S ∆=,所以451199BCD ABCS AD AC S =-=-=, 故选:B 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理化角为边,考查运算能力. 11．【解析】 【分析】利用正弦定理求解即可. 【详解】由题,根据正弦定理可得sin sin b cBC=,即212可得c =故答案为:【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形,属于基础题. 12．5- 4或5 【解析】【分析】利用等差数列可得3141210434502a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩,即可求得1a 和d ,则n S 是关于n 的二次函数,进而求解即可,需注意n *∈N . 【详解】由题,因为等差数列{}n a ,所以3141210434502a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩,解得1205a d =⎧⎨=-⎩, 所以()()()21115452052222n n n n n S na d n n n --=+=+⨯-=-+, 当92n =时取得最大值,因为n *∈N , 所以当4n =或5时,n S 取得最大值, 故答案为:5-；4或5 【点睛】本题考查等差数列的基本量,考查等差数列的前n 项和的最大值的满足条件. 13．[]1,2- 7a ≤-或5a ≥ 【解析】 【分析】解不等式()3f x ≤,即解213x -≤,即3213x -≤-≤,求解即可；由()()6f x g x +≥在R 上恒成立,则2126x x a -++≥,利用绝对值的几何意义,即21x -为点()2,0x 到点()1,0的距离；2x a +为点()2,0x 到点(),0a -的距离,则212x x a -++为点()2,0x 到点()1,0与到点(),0a -的距离之和,进而求解即可.【详解】由题,因为()3f x ≤,即213x -≤,则3213x -≤-≤,解得12x -≤≤,故解集为[]1,2-； 又()()6f x g x +≥在R 上恒成立,即2126x x a -++≥,由绝对值的几何意义可知2121x x a a -++≥+, 所以16a +≥,则16a +≥或16a +≤-, 解得5a ≥或7a ≤-,故答案为:[]1,2-；7a ≤-或5a ≥ 【点睛】本题考查解含绝对值的不等式,考查绝对值的几何性质的应用,考查不等式恒成立问题.14．3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩49【解析】 【分析】当2n ≥,12n n n a S S n -=-=,验证1n =时是否符合条件,即可得到{}n a 的通项公式,代入n b 中,进而求解即可.【详解】由题,当2n ≥时,()()22111112n n n a S S n n n n n -=-=++-----=, 当1n =时,21111132a S ==++=≠,所以不符合,所以3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩,则()()1,1121,2nn n b n n -=⎧⎪=⎨--≥⎪⎩, 所以数列{}n b 的前50项和为()12122232424912123449122549-+⨯-⨯+⨯-⨯++⨯=-+⨯-+-++=-+⨯=,故答案为:3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩；49【点睛】本题考查由n a 与n S 的关系求通项公式,考查数列的和,考查运算能力.151 【解析】 【分析】由题作出图形,再利用余弦定理求解即可. 【详解】 由题,如图所示,则120BCA ∠=︒,2AC =,3AB =,所以根据余弦定理可得222222231cos 2222BC AC AB BC BCA BC AC BC +-+-∠===-⋅⨯,解得1BC =或1（舍）,故答案为1 【点睛】本题考查余弦定理在实际中的应用,考查作图能力,考查运算能力. 16．3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】根据题意，分两种情况讨论：1若210a -=，则1a =±，分别验证1a =或1-时，是否能保证该不等式满足对任意的实数x 都成立；2若210a -≠，不等式22(1)(1)10a x a x ----<为二次不等式，结合二次函数的性质，可解得此时a 值范围. 【详解】由题意，分两种情况讨论：1若210a -=，则1a =±，当1a =时，不等式22(1)(1)10a x a x ----<为：10-<， 满足对任意的实数x 都成立，则1a =满足题意，当1a =-时，不等式22(1)(1)10a x a x ----<为：20x -<， 不满足对任意的实数x 都成立，则1a =-满足题意，2若210a -≠，不等式22(1)(1)10a x a x ----<为二次不等式，要保证22(1)(1)10a x a x ----<实数x 都成立，必须有()()222101410a a a ⎧-<⎪⎨∆=-+-<⎪⎩可解得315a -<<， 综上可得3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦.故答案为：3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查不等式恒成立求参数的取值范围，考查了分类讨论思想的应用，属于基础题. 17．149【解析】 【分析】当2n ≥时,211163n n n S a a ---=+,与条件作差可得13n n a a --=,即可得到数列{}n a 是首项为3,公差为3的等差数列,即3n a n =,则()()313332111781812121n n n n n n b ++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭,再由裂项相消法求数列的和,进而求解即可. 【详解】由题,当2n ≥时,211163n n n S a a ---=+,则221116633n n n n n n S S a a a a ----=-+-,即2211633n n n n n a a a a a --=-+-,所以()()1130n n n n a a a a --+--=,因为0n a >,所以130n n a a ---=,即13n n a a --=,当1n =时,21111663S a a a ==+,所以13a =,所以数列{}n a 是首项为3,公差为3的等差数列,则()3313n a n n =+-=, 所以()()()()13333133322111111721217818121212121nnn a n n n n n n n n a a b ++++⎛⎫⎛⎫===⋅-=- ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭,所以1223111111117818181818181n n n T +⎛⎫=⨯-+-++- ⎪------⎝⎭1111178181n +⎛⎫=⨯- ⎪--⎝⎭111114978149n +=-⋅<-, 因为对任意*n N ∈,n k T >恒成立,所以k 的最小值为149, 故答案为:149【点睛】本题考查由n a 与n S 的关系求通项公式,考查裂项相消法求数列的和,考查运算能力. 18．（1）{}|13A B x x ⋂=≤<（2）132a -≤< 【解析】 【分析】先求解不等式,可得1|32B x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭, （1）当3a =时,{}|13A x x =≤≤,再由交集的定义求解即可； （2）由A B ⊆,判断a 与集合B 的端点的位置即可. 【详解】由题,因为()210x a x a -++≤,则()()10x a x --≤,因为2103x x +≤-,即()()213030x x x ⎧+-≤⎨-≠⎩,所以132x -≤<,即集合1|32B x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭,（1）当3a =时,()()310x x --≤,解得13x ≤≤,即{}|13A x x =≤≤, 所以{}|13A B x x ⋂=≤<（2）由题,当1a <时,{}|1A x a x =≤≤；当1a ≥时,{}|1A x x a =≤≤, 因为A B ⊆,所以132a -≤< 【点睛】本题考查集合的交集运算,考查已知集合的包含关系求参数问题,考查解一元二次不等式和分式不等式.19．（1）30°；（2【解析】试题分析：(1)由题意求得tan 3B =，则30B =；(2)由题意可得sin θ=， 在ACD ∆中， cos 5ADC ∠=， 在ACD ∆中，由余弦定理b =试题解析：解：（1）由正弦定理可得sin cos sin C C B B=,所以tan B =,故30B =（2）在BCD ∆中，sin sin CB CD B θ=,所以sin θ=在ACD ∆中，由sin θ=,2πθπ<<,所以cos ADC ∠= 在ACD ∆中，由余弦定理的2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠即22222AC =+-所以b =20．（1）3(1,2,)n a n n ==，132(1,2,)n n b n n -=+=；（2）3(1)212nn n ++-【解析】试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n 项和公式即可求得数列{}n b 前n 项和． 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d ，由题意得 d=== 3．∴a n =a 1+（n ﹣1）d=3n设等比数列{bn ﹣an}的公比为q ，则 q 3===8，∴q=2，∴b n ﹣a n =（b 1﹣a 1）q n ﹣1=2n ﹣1， ∴bn=3n+2n ﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n =3n+2n ﹣1， ∵数列{3n}的前n 项和为n （n+1），数列{2n ﹣1}的前n 项和为1×= 2n ﹣1，∴数列{bn}的前n 项和为；考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；3.数列求和．21．（1）53（2）【解析】 【分析】先对1cos cos ()2a C c A a c +=+利用正弦定理可得()12b ac =+, （1）由正弦定理可得43a b =,即可求解；（2）由8c a -=可得48b ac a =+⎧⎨=+⎩,利用余弦定理可得a ,进而求解即可.【详解】因为1cos cos ()2a C c A a c +=+, 由正弦定理可得()1sin cos sin cos sin sin 2A C C A A C +=+, 即()()1sin sin sin 2A C A C +=+,所以()1sin sin sin 2B AC =+,即()12b a c =+, （1）因为4sin 3sin A B =,所以43a b =,由()1243b a c a b ⎧=+⎪⎨⎪=⎩可得53a c =,即53c a = （2）由()128b ac c a ⎧=+⎪⎨⎪-=⎩可得48b a c a =+⎧⎨=+⎩, 所以由余弦定理可得()()()222222481cos 2242a a a abc C ab a a ++-++-===-+,则6a =或4a =-（舍）,所以410b a =+=,sin 2C =,所以11sin 61022ABCSab C ==⨯⨯=【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化,考查余弦定理的应用,考查三角形面积公式的应用. 22．（1）证明过程见详解；（2）221n b n =-（*n N ∈）；（3）证明过程见详解. 【解析】 【分析】（1）先由题意求出11a =；再由11n n n n n a S S ma ma --=-=-，即可证明数列是等比数列；（2）由（1）的结果得到，()1==+mq f m m，1122b a ==． 再由()1111n n n n b b f b b ---==+，得到1111n n b b -=+进而可求出结果； （3）先由（2）知221n b n =-，则22(241)=-n b n ,根据放缩法，与裂项相消，即可证明结论成立. 【详解】（1）证明：当1n =时，()1111a S m ma ==+-，解得11a =． 当2n ≥时，11n n n n n a S S ma ma --=-=-． 即()11n n m a ma -+=． ∵m 为常数，且0m >，∴11n n a ma m-=+()2n ≥． ∴数列{}n a 是首项为1，公比为1mm+的等比数列． （2）解：由（1）得，()1==+mq f m m，1122b a ==．∵()1111n n n n b b f b b ---==+，∴1111n n b b -=+，即1111n n b b --=()2n ≥． ∴1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为1的等差数列． ∴()11211122n n n b -=+-⋅=，即221n b n =-（*n N ∈）． （3）证明：由（2）知221n b n =-，则22(241)=-n b n ,所以2222123n n T b b b b =++++()2444492521n =++++-，当2n ≥时，()()24411222121n n n n n <=----，所以()2444492521nT n =++++-41111114923341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭4011899218n =+-<． 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，以及裂项相消法求数列的和，属于常考题型.。
浙江省宁波市金兰教育合作组织2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题含解析
2023学年第一学期宁波金兰教育合作组织期中联考高一年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}230P x x x =-≥，{}13Q x x =<≤，则()RP Q ð等于（）A.[)0,1 B.(]0,3 C.()1,3 D.[]1,3【答案】C 【解析】【分析】利用一元二次不等式解法可得{3P x x =≥或}0x ≤，再由补集、交集的运算法则即可求得结果.【详解】解不等式230x x -≥可得3x ≥或0x ≤，即{3P x x =≥或}0x ≤，则{}R 03P x x =<<ð，又{}13Q x x =<≤，所以(){}()R 131,3P Q x x ⋂=<<=ð.故选：C2.命题“25,23x x x ∀<-+≥"的否定是（）A.25,23x x x ∀<-+<B.25,23x x x ∃≥-+<C.25,23x x x ∃<-+<D.25,23x x x ∃<-+≤【答案】C 【解析】【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.【详解】命题“25,23x x x ∀<-+≥"的否定是“25,23x x x ∃<-+<".3.已知函数222,1(),22,1x xf xx x x⎧-≤=⎨+->⎩则2()(2)ff的值为（）A.7136 B.6 C.74 D.179【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（2）＝6，进而可得2()(2)ff＝f（13），由解析式计算可得答案．【详解】根据题意，函数222,1(),22,1x xf xx x x⎧-≤=⎨+->⎩，则f（2）＝22+2×2﹣2＝6，则2()(2)ff＝f（13）＝2﹣（13）2＝179.故选D．【点睛】本题考查分段函数的求值，涉及分段函数的解析式，属于基础题．4.下图中可以表示以x为自变量的函数图象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义，对于自变量中的任意一个x，都有唯一确定的数y与之对应.【详解】根据函数的定义，对于自变量中的任意一个x，都有唯一确定的数y与之对应，所以ABD选项的图象不是函数图象，故排除,5.函数y =的定义域是（）A.[]22-, B.()2,2- C.()()2,11,2- D.[)(]2,11,2- 【答案】B 【解析】【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解.【详解】由函数y =有意义，则满足240x ->，即22x -<<，所以函数的定义域为()2,2-，故选：B.6.设1465a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1556b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1345c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A.c b a <<B.a c b<< C.b a c<< D.b c a<<【答案】C 【解析】【分析】对1556b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1345c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，分别化简放缩，利用指数函数()65xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调性，即可求出.【详解】由题1465a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11555665b -⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，设函数()65xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为615>，所以()f x 单调递增，因为1145>，所以a b >.因为1111333445665455c a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==>>= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以c a >，所以b a c <<，故选：C7.某家医院成为病毒检测定点医院，在开展检测工作的第n 天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时()t n （单位：小时）大致服从的关系为()00n N t n n N <=≥（0t ，0N 为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为10小时，第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，那么可得到第36天检测过程平均耗时约为（）A.6小时B.7小时C.9小时D.5小时【答案】B 【解析】【分析】按照题目所给的条件，算出0t ，0N ，再代入计算即可.【详解】因为第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，所以016N <，10=，即040t =，5=，解得064N =，所以()645,64n t n n <=≥⎩所以第36天检测过程平均耗时()203673t ==≈小时，故选：B.8.已知函数()()121x mf x x x +=+≤≤，函数()()()112g m x x x =-≤≤，若任意的[]11,2x ∈，存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x =，则m 的取值范围是（）A.51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B.()1,+∞ C.52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.55,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】对()f x 分离变量化简，结合单调性，求出()f x 和()g x 的值域，由题意可得()f x 的值域为()g x 值域的子集，解不等式可得所求范围.【详解】()()111112111x m x m m f x x x x x +++--===+≤≤+++，()()()112g m x x x =-≤≤，①当1m >时，函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，函数()g x 在区间[]1,2上单调递增，可得()21,32m m f x ++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()[]1,22g x m m ∈--，由题意，得2112232m m m m ++-≤<≤-，解得5532m ≤≤；②当1m <时，函数()f x 在区间[]1,2上单调递增，函数()g x 在区间[]1,2上单调递减，可得()12,23m m f x ++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()[]22,1g x m m ∈--，由题意，得1222123m m m m ++-≤<≤-，解得m ∈∅；③当1m =时，()1f x =，()0g x =，显然不满足，故实数m 的取值范围为55,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设()f x 是定义在R 上的奇函数且在()0,∞+上单调递减，()40f -=，则（）A.()f x 在(),0∞-上单调递减B.()80f >C.不等式()0f x >的解集为()(),40,4-∞- D.()f x 的图象与x 轴只有2个公共点【答案】AC 【解析】【分析】根据奇函数特征，画出()f x 的大致图象，结合图象分析四个选项.【详解】对于A，因为()f x 是定义在R 上的奇函数且在()0,∞+上单调递减，()40f -=，根据奇函数特征，所以()f x 在(),0∞-上单调递减，()()440f f =--=，()00f =，故A 正确；对于B，画出大致图象如图，根据图象可知()80f <，故B 错误；对于C，如图可知，不等式()0f x >的解集为()(),40,4-∞- ，故C 正确；对于D ，()f x 的图象与x 轴只有3个公共点，分别是()4,0-，()0,0，()4,0，故D 错误，故选：AC.10.下列命题中正确的是（）A.B.已知,R a b ∈，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件C.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()2f x x x =-+，则0x <时，()2f x x x=+D.()f x x =与()g x =【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，由基本不等式即可判断；对于B ，利用充分必要条件的概念判断即可；对于C ，利用函数的奇偶性求解析式即可；对于D ，判断两个函数的定义域，对应关系是否一致即可.【详解】对于A+≥=当且仅当242x +=时取“=”，显然不成立，所以A 错误；对于B ，由00a ab ≠⇒≠，而00ab a ≠⇒≠，所以“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，所以B 正确；对于C ，()f x 为定义在R 上的奇函数，0x >时，()2f x x x =-+，0x <时，0x ->，则()()()2f x x x f x -=---=-，所以()2f x x x =--，则C 正确；对于D ，()f x x =，()g x x ==，两个函数的定义域，对应关系都一样，所以是两个相同的函数，则D 正确；故选：BCD11.已知函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，当(]12,,0x x ∈-∞，且12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-成立，若()()2421f bx f x <+对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的可能取值为（）A .B.12-C.1- D.12【答案】ABD 【解析】【分析】由函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，得到()y f x =的图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数，再根据当(]12,,0x x ∈-∞，且12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-成立，得到()f x 在(],0-∞上递减，在[0,)+∞上递增，然后将()()2421f bx f x <+对任意x ∈R 恒成立，转化为2421bx x <+对任意x ∈R 恒成立求解.【详解】解：因为函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，则()f x 为偶函数，又因为当(]12,,0x x ∈-∞，且12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-成立，所以()f x 在(],0-∞上递减，在[0,)+∞上递增，则()()2421f bx f x <+对任意x ∈R 恒成立，即()()2421fbx f x<+对任意x ∈R 恒成立，即2421bx x <+对任意x ∈R 恒成立，当0x =时，01<成立；当0x ≠时，即142b x x<+对任意x ∈R 恒成立，而12x x +≥=，当且仅当12x x =，即22x =时，等号成立，所以4b <，即2b <，故选：ABD12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数1,()0x f x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数称为狄利克雷函数，则关于()f x 下列说法正确的是（）A.函数()f x 的值域是[0,1]B.,(())1x R f f x ∀∈=C.(2)()f x f x +=对任意x R ∈恒成立D.存在三个点11(,())A x f x ，22(,())B x f x ，33(,())C x f x ，使得ABC 为等腰直角三角形【答案】BC 【解析】【分析】根据新定义函数得函数的值域为{0,1}；无论x 为有理数还是无理数，()f x 均为有理数，故,(())1x R f f x ∀∈=；由于x 与2x +均属于有理数或均属于无理数，故(2)()f x f x +=对任意x R ∈恒成立；假设存在，则根据函数推出矛盾即可否定结论.【详解】解：对于A 选项，函数的值域为{0,1}，故A 选项错误.对于B 选项，.当x 为有理数时，()1f x =，(())()1f f x f x ==当x 为无理数时，()0f x =，()()()01ff x f ==所以R ∀∈，(())1f f x =，故B 选项正确.对于C 选项，x 为有理数时，2x +为有理数，(2)()1f x f x +==当x 为无理数时，2x +为无理数，(2)()0f x f x +==所以(2)()f x f x +=恒成立，故C 选项正确.对于D 选项，若ABC 为等腰直角三角形，不妨设角B 为直角，则()()()123,,f x f x f x 的值得可能性只能为()()()1230,1,0f x f x f x ===或()()()1231,0,1f x f x f x ===，由等腰直角三角形的性质得211x x -=，所以12()()f x f x =，这与()()12f x f x ≠矛盾，故D 选项错误.故选：BC.【点睛】本题考查函数新定义问题，考查数学知识的迁移与应用能力，是中档题.本题解题的关键在于根据函数的定义，把握函数的值只有两种取值{0,1}，再结合题意讨论各选项即可得答案.非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数()()222mf x m m x =--在第一象限单调递减，则()f m =__________.【答案】1-【解析】【分析】利用幂函数定义及单调性可得1m =-，代入解析式即可求得()1f m =-.【详解】由幂函数定义可得2221m m --=，即2230m m --=，解得3m =或1m =-，又函数()f x 在第一象限单调递减，所以1m =-，即()1f x x -=，即可得()()1111f m f -===--.故答案为：1-14.()31622390.12528-⎛⎫⎡⎤-+-+= ⎪⎣⎦⎝⎭____________.【答案】81【解析】【分析】利用指数幂运算法则化简即可求得答案.【详解】()31622390.12528-⎛⎫⎡⎤-+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭161313322114238-⎛⎫⎛⎫=-++⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1332381223=-++⨯21889=-++⨯81=故答案为：81.15.函数()()231f x ax a x =-++在(),a -∞上是减函数，则实数a 的取值范围是_________.【答案】30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据题意，分0a =和0a ≠两种情况讨论，结合函数特点，求出实数a 的取值范围.【详解】当0a =时，()31f x x =-+在(),0∞-上是减函数，符合题意；当0a ≠时，()()231f x ax a x =-++为一元二次函数，对称轴为32ax a+=，因为函数()()231f x ax a x =-++在(),a -∞上是减函数，所以032a a a a>⎧⎪+⎨≥⎪⎩，解得302<≤a ，综上，302a ≤≤，所以实数a 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.16.已知函数()()()224100f x x a x a a a =-++++>，且()()2332f a f a +=-，则()()61f n a n N n *+∈+的最小值为______．【答案】145##2.8【解析】【分析】首先根据题中条件()()2332f a f a +=-，结合二次函数的图象求出实数a 的值；从而结合对号函数的单调性即可求出最小值.【详解】二次函数()()22410f x x a x a a =-++++的对称轴为42a x +=，因为()()2332f a f a +=-，所以2332a a +=-或23324222a a a +-++=，因为0a >，所以解得1a =.所以()2512f x x x =-+，所以()()()221712451262417111n n n n n n n n +-++-++==++-+++，因为()247g x x x =+-在(0,内单调递减，在()+∞单调递增，又()2444734g =+-=，()2414557355g =+-=<，所以()()61f n n N n *+∈+的最小值为145.故答案为：145.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{4A x x =≤-或}3x ≥，{}15B x x =<≤，{}12C x m x m =-≤≤.（1）求A B ⋂，()R A B ð；（2）若B C C = ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}35A B x x ⋂=≤≤，(){}R 45A B x x ⋃=-<≤ð（2）()5,12,2⎛⎤-∞-⋃ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据集合的交并补运算公式计算即可.（2）根据集合的包含关系，分C =∅与C ≠∅两类讨论即可求出m 的取值范围.【小问1详解】因为集合{4A x x =≤-或}3x ≥，{}15B x x =<≤，所以{}35A B x x ⋂=≤≤，{}R 43A x x =-<<ð所以(){}R 45A B x x ⋃=-<≤ð【小问2详解】∵B C C = ，∴C B⊆①当C =∅时，∴12m m ->，解得1m <-②当C ≠∅时，则121125m m m m -≤⎧⎪->⎨⎪≤⎩，解得522m <≤综上所述：m 的取值范围是()5,12,2⎛⎤-∞-⋃ ⎥⎝⎦18.已知正数a 、b 满足122a b+=.（1）求a b +的最小值；（2）求42211a b a b +--的最小值.【答案】（1）32+（2）8【解析】【分析】（1）由已知()1122a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后结合基本不等式求解.（2）对已知式子变形，结合已知条件求出()()2111a b -⋅-=，然后再利用基本不等式求解.【小问1详解】因为a 、b 是正数，所以()1121233222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥当且仅当12a +=，22b +=时等号成立,所以a b +的最小值为32+.【小问2详解】因为122a b +=，所以12a >，1b >，所以210a ->，10b ->，()()2111a b -⋅-=则4222448211211a b a b a b +=+++----≥当且仅当1a =，2b =时等号成立，所以42211a b a b +--的最小值为8.19.已知函数()412x f x a a =-+（0a >且1a ≠）的定义域为R ，且()00f =.（1）求函数()f x 的解析式，并判断其奇偶性；（2）判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用单调性定义法证明.【答案】（1）()2121x f x =-+，奇函数（2）单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）根据()00f =求出a 的值，然后根据奇偶函数的定义判断其奇偶性.（2）定义法判断函数的单调性.【小问1详解】∵函数()412x f x a a=-+（0a >且1a ≠）的定义域为R ，()40102f a =-=+，解得：2a =，∴()2121x f x =-+，()2121x x f x -=+，()21122121x x x x f x -----==++∴()()f x f x -=-∴()f x 是奇函数.【小问2详解】设12,R x x ∈且12x x <，∴()()()()()()()()121212121212221212222211212121212121x x x x x x x x x x f x f x +----=--+==++++++∵1210x +>，2210x +>，12220x x -<，∴()()120f x f x -<，即当12x x <时，()()12f x f x <，∴()f x 在R 上单调递增.20.已知二次函数()()2214f x x t x =--+.（1）若1t =，求()f x 在[]1,3-上的值域；（2）若存在[]4,10x ∈，使得不等式()f x tx <有解，求实数t 的取值范围.【答案】（1）[]4,13（2）73t >【解析】【分析】（1）将1t =代入，转换成二次函数求值域问题，求解即可..（2）分离参数，转换成不等式能成立问题，求解即可.【小问1详解】根据题意，函数()()2214f x x t x =--+，∵1t =，则()24f x x =+，又由13x -≤≤，当0x =时，()f x 有最小值4，当3x =时，()f x 有最大值13，则有()413f x ≤≤，即函数()f x 的值域为[]4,13【小问2详解】()()2214f x x t x tx =--+<整理得2243x x tx++<∵[]4,10x ∈，∴224432x x t x x x++>=++令()4g x x x=+，设[]12,4,10x x ∈，且12x x >，则()()()()121212*********x x x x g x g x x x x x x x --⎛⎫-=+-+= ⎪⎝⎭，因为1240x x ->，120x x ->，所以()()120g x g x ->，即()()12g x g x >，所以()4g x x x=+在[]4,10单调递增，所以当4x =时，min 427x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，∴73t >.21.2020年初新冠肺炎袭击全球，严重影响人民生产生活．为应对疫情，某厂家拟加大生产力度．已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x ．当年产量不足50千件时，21()202C x x x =+（万元）；年产量不小于50千件时，3600()51600C x x x=+-（万元）．每千件商品售价为50万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）2130200,0502()3600400,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）60，280万元【解析】【分析】（1）可得销售额为0.051000x ⨯万元，分050<<x 和50x ≥即可求出；（2）当050<<x 时，利用二次函数性质求出最大值，当50x ≥，利用基本不等式求出最值，再比较即可得出.【详解】（1）∵每千件商品售价为50万元．则x 千件商品销售额50x 万元当050<<x 时，2211()50202003020022L x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭当50x 时，36003600()5051600200400⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L x x x x x x 2130200,0502()3600400,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当050<<x 时，21()(30)2502L x x =--+此时，当30x =时，即()(30)250L x L = 万元当50x时，3600()400400⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭L x x x 400120280=-=此时3600=x x，即60x =，则()(60)280=L x L 万元由于280250>所以当年产量为60千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为280万元．【点睛】关键点睛：本题考查函数模型的应用，解题的关键是理解清楚题意，正确的建立函数关系，再求最值时，需要利用函数性质分段讨论比较得出.22.已知函数()9f x x a a x=--+，a ∈R .（1）若0a =，求()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在[]1,a 上单调，且对任意[]1,x a ∈，()2f x <-恒成立，求a 的取值范围；（3）当()3,6a ∈时，函数()f x 在区间[]1,6上的最大值为()M a ，求()M a 的函数解析式.【答案】（1）单调增区间为()0,∞+，()3,0-（2）11a <<（3）()921,3,242126,,64a M a a a ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎡⎫⎪-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩【解析】【分析】（1）根据题意，分0x >与0x <讨论，即可得到结果；（2）根据题意，求得函数()f x 的最大值，即可得到()max 92f x a a=-+<-，从而求得结果；（3）根据题意，由条件可得()f x 在[)1,3上单调递增，在[]3,a 上单调递减，(],6a 上单调递增，即可得到结果.【小问1详解】当0a =时，()()90f x x x x=-≠，0x >时，()9f x x x =-，由y x =与9y x =-在()0,∞+单调递增可知，此时()f x 的单调增区间为()0,∞+，0x <时，()9f x x x=--，此时()f x 的单调增区间为()3,0-，由对勾函数的性质可知，∴此时()f x 的单调增区间为()0,∞+，()3,0-.【小问2详解】当[]1,x a ∈时，()92f x x a x=--+，因为函数()f x 在[]1,a 上单调，所以13a <£，此时()f x 在[]1,a 上单调递增，()()max 9f x f a a a==-+，由题意：()max 92f x a a =-+<-恒成立，即2290a a +-<，所以11a <<，又13a <£，∴a的取值范围为11a <<.【小问3详解】当[]1,6x ∈时，()[](]92,1,9,,6x a x a x f x x a a x ⎧--+∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩，又()3,6a ∈，由上式知，()f x 在区间(],6a 单调递增，当()3,6a ∈时，()f x 在[)1,3上单调递增，在[]3,a 上单调递减，所以，()f x 在[)1,3上单调递增，在[]3,a 上单调递减，(],6a 上单调递增，则()()()()max 921,3,249max 3,6max 26,22126,,64a f x f f a a a ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎪⎝⎭⎛⎫==-=⎨ ⎪⎝⎭⎡⎫⎪-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩，。
浙江省宁波市九校2023-2024学年高一下学期期末联考 数学试题【含答案】
宁波市2023学年第二学期期末九校联考高一数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．四棱锥至多有几个面是直角三角形？（）A ．2B ．3C ．4D ．52．已知点()2,3A ，()3,1B -，若直线l 过点()0,1P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．23k ≤-或1k ≥B ．23k ≤-或01k ≤≤C ．203k -≤≤或1k ≥D ．213k -≤≤3．若平面向量,,a b c两两的夹角相等，且1a = ，1= b ，2c = ，则a b c ++= （）A ．1B ．4C ．1或4D ．1或24．已知m ，n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则m n ⊥是//αβ的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在,,A B C 三处测得道路一侧山顶P 的仰角分别为30,4560︒︒ ,，其中,03AB a BC b a b ==<<（），则此山的高度为（）A 12()23ab a b b a +-B 13()23ab a b b a +-C 15()23ab a b b a+-D 16()23ab a b b a+-6．已知复数11i z =+是关于x 的方程20(,)x px q p q ++=∈R 的一个根，若复数z 满足1-=-z z p q ，复数z 在复平面内对应的点Z 的集合为图形M ，则M 围成的面积为（）A ．πB ．4πC ．16πD ．25π7．慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等，小温从小到大记录了近6周的慢走里程（单位：公里）：11，12，m ，n ，20，27，其中这6周的慢走里程的中位数为16，若要使这6周的周慢走里程的标准差最小，则m =（）A ．14B ．15C ．16D ．178．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2222sin -+=b c B c a ，且2a =，则tan tan tan AB C的最大值为（）A 52B ．35C 51-D 51+二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列描述正确的是（）A ．若事件A ，B 相互独立，()0.6P A =，()0.3P B =，则()0.54=U P AB AB B ．若三个事件A ，B ，C 两两独立，则满足()()()()P ABC P A P B P C =C ．若()0P A >，()0P B >，则事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥一定不能同时成立D ．必然事件和不可能事件与任意事件相互独立10．已知复数122z =-+，则下列说法正确的是（）A ．zB ．12z z =-C ．复平面内1z z+对应的点位于第二象限D ．2024z z=11．如图，已知四面体ABCD 的各条棱长均等于2，E ，F 分别是棱AD ，BC 的中点.G 为平面ABD 上的一动点，则下列说法中正确的有（）A ．三棱锥E AFC -体积为2B ．线段+CG GFC ．当G 落在直线BD 上时，异面直线EF 与AG D ．垂直于EF 的一个面α，截该四面体截得的截面面积最大为1第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12．已知直线40ax y +-=与3(202x a y +++=平行，则实数=a .13．已知圆O 的直径AB 把圆分成上下两个半圆，点C ，D 分别在上、下半圆上（都不与A ，B 点重合）若2AC =，1AD =，则AB DC ⋅=.14．已知三棱锥P ABC -的四个面是全等的等腰三角形，且PA =PB AB ==点D为三棱锥P ABC -的外接球球面上一动点，PD =D 的轨迹长度为.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．如图，在等腰梯形ABCD 中，2222====AD DC CB AB a ，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，BF 与DE 交于点M .(1)用AD ，AE 表示BF；(2)求线段AM 的长.16．已知直线()()1231:-=-+a y a x l .(1)求证：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围；(3)若直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l 的方程.17．“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：[)40,50，[)50,60，……，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a 的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数；(2)活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n 道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同.（i ）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；（ii ）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为2225，求n 的值.18．如图1，有一个边长为4的正六边形ABCDEF ，将四边形ADEF 沿着AD 翻折到四边形ADGH 的位置，连接BH ，CG ，形成的多面体ABCDGH 如图2所示.(1)求证：AD ⊥CG ；(2)若AH ⊥CD ，试求直线CH 与平面ABCD 所成角的正弦值；(3)若二面角H AD B --的大小为π3，M 是线段CG 上的一个动点（M 与C ，G 不重合），试问四棱锥M ABCD -与四棱锥M ADGH -的体积之和是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由19．矩形ABCD 中，P ，Q 为边AB 的两个三等分点，满足AP PQ Q B BC ===，R 点从点A 出发.沿着折线段AD DC CB --向点B 运动（不包含A ，B 两点），记ARP α∠=，BRQ β∠=.(1)当APR 是等腰三角形时，求sin α；(2)当R 在线段AD （不包含A ，D 两点）上运动时，证明：α∠<BRP ；(3)当R 在线段CD （包含C ，D 两点）上运动时，求tan()αβ+的最大值.1．C【分析】在正方体中考虑一个三棱锥，即可得到四个面均为直角三角形.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，取三棱锥1A ABC -，其四个面均为直角三角形.故选：C.2．D【分析】根据两点间斜率公式计算即可.【详解】直线PA 的斜率为31120PA k -==-，直线PB 的斜率为112303PB k --==--，结合图象可得直线l 的斜率k 的取值范围是213k -≤≤.故选：D 3．C【分析】根据题意得到0θ=或2π3，然后利用数量积的运算律求模即可.【详解】设,,a b c 的夹角为θ，则0θ=或2π3，cos a b θ⋅=，2cos a c θ⋅=r r ，2cos b c θ⋅=r r ，2222222a b c a b c a b b c a c ++=+++⋅+⋅+⋅r r r r r r r r r r r r 11410cos θ=+++610cos θ=+，当0θ=时，4a b c ++=r r r ，当2π3θ=时，1a b c ++= .故选：C.4．C【分析】利用两者之间的推出关系可得正确的选项.【详解】若//αβ，因为m α⊥，故m β⊥，而n β⊂，故m n ⊥.若m n ⊥，则//αβ或,αβ相交，故m n ⊥是//αβ的必要不充分条件，故选：C.5．D【分析】根据锐角三角函数可得,,AO BO h CO ===.【详解】解：如图，设点P 在地面上的正投影为点O，则30,45PAO PBO ∠=︒∠=︒，60PCO ∠=︒,设山高PO h =，则,,AO BO h CO ===在AOC 中，cos cos ABO CBO ∠=-∠，由余弦定理可得：2222223322h b h a h h ah bh+-+-=-，整理得23()2(3)ab a b h b a +=-，∴h =故选：D ．6．C【分析】先由1z 是方程的根求出p ，q ，然后由复数减法的几何意义求解即可.【详解】∵11i z =+是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q ∈R ）的一个根，∴()()21i 1i 0p q ++++=（p ，q ∈R ），化简得()()2i 0p q p +++=，∴020p q p +=⎧⎨+=⎩，解得22p q =-⎧⎨=⎩，∴1224z z p q -=-=--=，如图所示复平面内，复数z 和11i z =+表示的点为Z 和1Z ，表示的向量为OZ 和1OZ，则由复数减法的几何意义，复数1z z -表示的向量为11OZ OZ Z Z -=，若14z z -=，则14Z Z =，∴点Z 的集合图形M 是以1Z 为圆心，半径为4的圆，∴M 围成的面积为2π416πS =⨯=.故选：C.7．C【分析】根据题意得到32m n +=，进而求得数据的平均数为17，结合方差的公式，要使这6个月的月慢走里程的标准差最小，需要()()221717m n -+-最小，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，数据的中位数为16，可得162m n+=，所以32m n +=，所以这6个月的月慢走里程的平均数为11122027176m n +++++=，要使这6个月的月慢走里程的标准差最小，需要()()221717m n -+-最小，又由()()()()222222217171732172641715m n m m m m -+-=-+--=-++，故当标准差最小时，641622m -=-=⨯.故选：C 8．B【分析】根据题意，结合条件由余弦定理可得tan 2A =，再由()tan tan A B C =-+，结合正切函数的和差角公式以及基本不等式代入计算可得625tan tan 4B C +≥，即可得到结果.【详解】因为2222sin -+=b c B c a ，且2a =，则222sin b ac B c a -+=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，所以sin 2cos ac B bc A =，即sin 2cos a B b A =，由正弦定理可得sin sin 2sin cos A B B A =，其中sin 0B ≠，则sin 2cos A A =，所以tan 2A =，又()tan tan tan tan 21tan tan B CA B C B C+=-+=-=-，化简可得2tan tan 2tan tan B C B C -=+，且ABC 为锐角三角形，则tan 0,tan 0B C >>，所以2tan tan 2tan tan B C B C -=+≥即tan tan 10B C -≥，≥，所以216tan tan 24B C ⎛⎫++≥= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当tan tan B C ==则tan tan tan A B C(86163316--=-故选：B【点睛】关键点睛：本题主要考查了余弦定理，正切函数的和差角公式以及基本不等式求最值问题，难度较大，解答本题的关键在于由余弦定理得到tan 2A =，然后结合基本不等式代入计算，即可求解.9．ACD【分析】根据独立事件的概念及乘法公式直接可判断.【详解】A 选项：由()0.6P A =，()0.3P B =，则()10.60.4P A =-=，()10.30.7P B =-=，又事件A ，B 相互独立，则()()()()()()()0.60.70.004.534.P AB P AB P A P B P A P P A B B AB =⨯=+=+=+⨯U ，A 选项正确；B 选项：若三个事件A ，B ，C 两两独立，由独立事件的乘法公式()()()P AB P A P B =，()()()P AC P A P C =，()()()P BC P B P C =，无法确定()()()()P ABC P A P B P C =，B 选项错误；C 选项：()0P A >，()0P B >，若事件A ，B 相互独立则()()()0P AB P A P B =>，若事件A ，B 互斥，则()0P AB =，C 选项正确；D 选项：设任意事件A 发生的概率为P ，必然事件事件B 发生的概率为1，不可能事件C 发生的概率为0，则()()()P AB P P A P B ==，()()()0P AC P A P C ==，D 选项正确；故选：ACD.10．BD【分析】根据复数的定义，几何意义及复数的运算分别判断各选项.【详解】A 选项：由13i 22z =-+，可得z 的虚部为32，A 选项错误；B选项：由1i 22z =-+，可得122z =--，则1111322124421322442222zz ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪⎪---==--+⎝⎭⎝⎭，B 选项正确；C选项：由12z =-+，则11111122211322244z z ---+=-++-++-+=-+⎝⎭⎝⎭，对应的点为()1,0-，在坐标轴上，C 选项错误；D选项：2211312442z z ⎛⎫=-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，3111312244z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=---+=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()67420243674232z z z z z ⨯+==⋅=，D 选项正确；故选：BD.11．BCD【分析】对A ，求出正四面体ABCD 的高h ，点E 到平面ACF 的距离为12h ，求出体积判断；对B ，作点C 关于平面ABD 的对称点C '，由对称性得CG GF C G GF C F ''+=+≥，求解判断；对C ，由最小角定理可知，EF 与AG 所成的最小角即EF 与平面ABD 所成角，运算得解判断；对D ，根据题意，可判断平面α截正四面体ABCD 的截面PQSR 为矩形，利用基本不等式求解.【详解】对于A ，如图，作CO ⊥平面ABD ，垂足为O ，因为四面体ABCD 为正四面体，则O 为三角形ABD 的中心，则23BO BE ==CO ，即正四面体ABCD的高为h 点E 到平面ACF 的距离为点D 平面ACF的距离的一半，即3，所以11132E ACF V -=⨯⨯⨯，故A错误；对于B ，如图，作点C 关于平面ABD 的对称点C '，连接C F '交平面ABD 于点G ，过点F 作平面ABD 的垂线FH 交平面ABD 于点M ，作C H FH '⊥，因为,CC FH '⊂平面BCE ，所以点,G M BE ∈，则123FM CO ==，3MH C O '==，123C H OM OB '===，所以3CG GFC G GF C F ''+=+≥=，故B 正确；对于C，当G 落在直线BD 上时，由最小角定理可知，EF 与AG 所成的最小角即EF 与平面ABD 所成角，即FEM ∠，所以tan 2FM FEM EM ∠===，所以cos FEM ∠，即异面直线EF 与AG 所成角余弦最大为3，故C 正确；对于D ，如图，连接,EC EB ，因为F 是BC 的中点，所以EF BC ⊥，同理EF AD ⊥，设平面α交正四面体ABCD 的棱CD 于点P ，棱AC 于点Q ，棱AB 于点S ，棱BD 于点R ，所以EF PQ ⊥，EF QS ⊥，EF RS ⊥，EF PR ⊥，所以////PQ AD RS ，////QS BC PR ，又AD EC ⊥，AD EB ⊥，,EC EB 是平面EBC 内的相交直线，则AD ⊥平面EBC ，所以AD BC ⊥，则PQ QS ⊥，即四边形PQSR 为矩形，即平面α截正四面体ABCD 的截面为矩形.设CP m CD =，即2CP m PQ ==，222AQ QS mAC BC -==，即22QS m =-，01m <<，所以()()2122241412PQSR m m S m m m m +-⎛⎫=-=-≤⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当1m m =-，即12m =时等号成立，所以平面α截该四面体截得的截面面积最大为1，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：本题B 选项，解题的关键是作点C 关于平面ABD 的对称点C '，由对称性求解；D 选项，关键是判断出平面α截该四面体截得的截面为矩形.12．12.【详解】分析：利用平行线的充要条件列出方程求解即可.详解：直线10ax y ++=与3202x a y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭平行，可得312a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得2a =-或12a =，当12a =时，两条直线重合，不满足题意，故答案为12.点睛：本题考查平行线充要条件的应用，意在考查基本性质的掌握情况以及计算能力.13．3【分析】利用向量数量积的运算法则与定义即可得解.【详解】依题意，连接,BC BD，如图，因为AB 是直径，所以,AC BC AD BD ⊥⊥，所以cos AB CAB AC ∠= ，cos AB CAD AD ∠= ，所以()AB DC AB AC AD AB AC AB AD ⋅=⋅-=⋅-⋅ 22cos cos 413AB AC CAB AB AD CAD AC AD =∠-∠=-=-= .故答案为：3.14．【分析】由三棱锥的结构特征，可扩成长方体，利用长方体的外接球半径得三棱锥的外接球半径，由动点D 的轨迹形状，求轨迹长度.【详解】由题意可知，三棱锥-P ABC 的四个面是全等的等腰三角形，且|||||PA PB AB ===则有|||||||||||PA BC PB AB PC AC ======把三棱锥-P ABC 扩成长方体PHCG FBEA -，则有222222222||||32||||20||||20FA FP PA FA FB AB FP FB AC ⎧+==⎪⎪+==⎨⎪+==⎪⎩，解得222||16||16||4FA FP FB ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，则长方体外接球半径3r =，所以三棱锥-P ABC 的外接球半径3r =；点D 为三棱锥-P ABC 的外接球球面上一动点，当||PD =||||3OD OP ==所以ODP 为等腰三角形，所以3||,||22OO O D ''==故动点D 的轨迹是半径为||O D '=的圆，轨迹长度为2π||O D '=.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查求三棱锥的外接球，解题关键是三组对棱分别相等的四面体（三棱锥），采用补形为长方体（四面体的棱分别是长方体各面的对角线），长方体的外接球半径即为三棱锥的外接球半径.15．(1)122BF AD AE=-uuu r uuu r uuu r3a 【分析】（1）根据向量的线性运算直接可得解；（2）根据转化法可得向量的模.【详解】（1）由已知2222====AD DC CB AB a ，且E 为AB 的中点，则四边形BCDE 为平行四边形，ADE V 为等边三角形，即60DAB ∠=︒，又F 为AD 的中点，则122BF BA AF AE AD =+=-+uuu r uur uuu r uuu r uuu r ，即122BF AD AE =-uuu r uuu r uuu r ；（2）由已知B ，M ，F 三点共线，则()1122AM AB AF AE AD λλλλ-=+-=+ ，又因为D ，M ，E 三点共线，则有1212λλ-+=，解得13λ=，故有2133=+uuur uuu r uuu r AM AE AD ，所以73AM a = .16．(1)证明见解析(2)1a ≤(3)240x y +-=【分析】（1）由方程变形可得()2310a x y x y --++=，列方程组，解方程即可；（2）数形结合，结合直线图像可得解；（3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值.【详解】（1）由()():1231l a y a x -=-+，即()2310a x y x y --++=，则20310x y x y -=⎧⎨-++=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，所以直线过定点()1,2；（2）如图所示，结合图像可知，当1a =时，直线斜率不存在，方程为1x =，不经过第二象限，成立；当1a ≠时，直线斜率存在，方程为11213y a a a x =+---，又直线不经过第二象限，则2301101a a a -⎧>⎪⎪-⎨⎪<⎪-⎩，解得1a <；综上所述1a ≤；（3）已知直线()():1231l a y a x -=-+，且由题意知1a ≠，令0x =，得101=>-y a ，得1a >，令0y =，得1032=>-x a ，得32a <，则22111112132410651444S a a a a a =⨯⨯==---+-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，所以当54a =时，S 取最大值，此时直线l 的方程为55123144y x ⎛⎫⎛⎫-=⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即240x y +-=.17．(1)0.030a =，75(2)（i ）1325；（ii ）10n =【分析】（1）根据频率之和为1即可求出a ，根据频率分布直方图中中位数的求法求中位数即可；（2）（i ）根据古典概型结合相互独立事件的乘法公式求解即可；（ii ）根据相互独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式求解即可.【详解】（1）由频率分布直方图有()101100.0050.01020.0200.025a =-⨯+⨯++，得0.030a =，因为()100.0050.0100.0200.350.5⨯++=<，0.350.030100.65+⨯=，所以中位数在区间[)70,80上，设为x ，则有()()100.0050.0100.0200.03700.5x ⨯+++⨯-=，得75x =，所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75；（2）设A =“任选一道题，甲答对”，B =“任选一道题，乙答对”，C =“任选一道题，丙答对”，则由古典概型概率计算公式得：()123205P A ==，()82205P B ==，()20n P C =，所以有()25P A =，()35P B =，()120nP C =-，（i ）记D =“甲、乙两位同学恰有一人答对”，则有=U D AB AB ，且有AB 与AB 互斥，因为每位同学独立作答，所以A ，B 互相独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 均相互独立，所以()()()()()()()P AB AB P AB P AB P A P B P A P B ⋃=+=+332213555525=⨯+⨯=，所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率1325；（ii ）记E =“甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对”，则=E ABC ，所以()()()()()()111P E P E P ABC P A P B P C =-=-=-232211552025n ⎛⎫=-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得：10n =.18．(1)证明见解析3(3)是定值，【分析】（1）作出辅助线，得到AD ⊥NG ，AD ⊥NC ，进而得到线面垂直，得到AD ⊥CG ；（2）计算出AC =由勾股定理逆定理得到AC ⊥CD ，结合AH ⊥CD ，故CD ⊥平面AHC ，所以AH ⊥CH ，求出CH =，根据--=H ACD D AHC V V 求出点H 到平面ACD 的距离，求出CH 与平面ABCD 所成角的正弦值；（3）由二面角定义得到π3∠=GNC ，作出辅助线，证明出线面垂直，并求出)123MM MM MC MG ++⨯=，从而得到)12M ABCD M ADGH V V MM MM --+=+=【详解】（1）如图，连接EC 交AD 于N ，则N 为CE 的中点，由正六边形的性质，AD ⊥CE ，可知AD ⊥NG ，AD ⊥NC ，因为NG NC N ⋂=，NG ，NC ⊂平面GN C.故AD ⊥平面GN C.而CG ⊂平面GNC ，所以AD ⊥CG .（2）如图，连接AC ，在正六边形中，22212cos1201616244482AC AB BC AB BC ⎛⎫=+-⋅︒=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故AC =又4CD =，8AD =，则有222AC CD AD +=，即AC ⊥CD ，又因为AH ⊥CD ，故CD ⊥平面AHC ，连接FD ，同理AF ⊥FD ，即AH ⊥HD ，即有AH ⊥平面CDH .所以AH ⊥CH .因为4AH =，AC =CH ==设点H 到平面ACD 的距离为h ，由--=H ACD D AHC V V ，有1133⨯⨯=⨯⨯ACD AHC S h S CD △△，解得=h设CH 与平面ABCD 所成的角为θ，则sin θ==h CH所以CH 与平面ABCD （3）由（1）知AD ⊥平面GNC ，所以∠GNC 就是二面角H AD B --的平面角，即π3∠=GNC ，过M 作1MM ⊥NC ，垂足为点1M ，过M 作2MM NG ⊥，垂足为点2M .因为AD ⊥平面GNC ，11,MM MM ⊂平面GNC ，所以1AD MM ⊥，2AD MM ⊥，因为,AD NC N AD NG N == ，,AD NC ⊂平面ABCD ，,AD NG ⊂平面ADGH ，所以1MM ⊥平面ABCD ，2MM ⊥平面ADGH ，设梯形ABCD 的面积为1S ，梯形ADGH 的面积为2S ，所以22111133M ABCD M ADGH V V S MM S MM --+=⋅+⋅在△GNC 中，NG NC ==π3∠=GNC ，所以1MM =，2MM MG =，得()123333222MM MM MC MG GC +=+==⨯=.故)12M ABCD M ADGH V V MM MM --+=+=即四棱锥M -ABCD 与四棱锥M -ADGH 的体积之和是定值19．(1)sin α=45(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，分AP AR =，AP PR =，AR PR =三种情况讨论求解；（2）设1====AD AP PQ QB ，()0,1AR h =∈，将证明α∠<BRP ，转化为1tan tan α∠<=BRP h，利用两角差的正切公式求解判断；（3）设1=+AH x ，1=+BH y ，用,x y 表示()tan αβ+，最后借助基本不等式求得最大值.【详解】（1）①若AP AR =，则此时R 与D重合，sin 2α=；②若AP PR =，则AP ⊥PR，sin 2α=；③若AR PR =，因为AD AP =，此时有1tan 22α=，则22tan42sin 51tan 2ααα==+；综上，2sin 2α=或45.（2）不妨设1====AD AP PQ QB ，()0,1AR h =∈，π,0,2BRP α⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，要证α∠<BRP ，即证1tan tan α∠<=BRP h，又有)t n 3(a α+∠=hBRP ，故()2222312221tan tan tan 333211h h h h h BRP BRP h h h h hααα-∠=+∠-===<==+++，所以α∠<BRP.（3）设1====AD AP PQ QB ，作RH ⊥AB 于H，由对称性，不妨设≥AH HB ，设1=+AH x ，1=+BH y ，则有1x y +=，1212≥≥≥≥-x y ，则()2112,4xy x x x x ⎡⎤=-=-+∈-⎢⎥⎣⎦，()()211tan tan 111x x ARH PRH x x x x α+-=∠-∠==++++，①当H 在PQ 上时，()()211tan tan 111y y BRH QRH y y y y β+-=∠-∠==++++；②当H 在QB 上时，()()()()211tan tan 111y y BRH QRH y y y y β++-=∠+∠==-+-++；故21tan 1β=++y y .所以()222211tan tan 11tan 111tan tan 111x x y y x x y y αβαβαβ+++++++==--⋅++++()()()()22222222222312111x y x y xyx y x y xy xy x y x y x x y y +++++-==+++++++++++-22422-=+xy x y ，（令12,4xy t ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦）2422-=+t t ，（令7244m t ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦）()2226224mm m m ==≤=+-+-当且仅当m =2=-xy 时等号成立，故()max 62tan 2αβ++=.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于数学中转化与化归思想的应用，第（2）小题的角度转化为正切值，第（3）小题中，引入未知量，把所求转化为关于未知量,x y 的式子，结合基本不等式求最值.。
浙江省绍兴市2024届高一数学第二学期期末达标测试试题含解析
浙江省绍兴市2024届高一数学第二学期期末达标测试试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在三棱锥P ABC -中，222AC AB ==，10BC =，90APC ∠=，平面ABC ⊥平面PAC ，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（） A ．4πB ．5πC ．8πD ．10π2．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）A ．3B ．11C ．38D ．1233．若不等式220ax bx ++>的解集是11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则+a b 的值为（ ） A ．12B ．14-C ．12-D ．104．已知点(,1,2)A x 和点(2,3,4)B ，且6AB =x 的值是（ ） A ．6或2-B ．6或2C ．3或4-D ．3-或45．已知向量12e e ，满足121210e e e e ==⋅=，.O 为坐标原点，()1222OQ e e =+.曲线{}12|cos sin 002C P OP r e r e r θθθπ==+>≤<，，，区域{}12P PQ Ω=≤≤.若C Ω是两段分离的曲线，则( )A ．35r <<B ．35r <≤C ．35r ≤<D ．35r ≤≤6．下列函数中，既是偶函数又在区间()0+∞，上单调递减的是（ ）A ．3y x =B ．y x =C ．sin y x =D ．21y x =7．已知5a =，3b =，且12a b ⋅=-，则向量a 在向量b 上的投影等于（ ） A ．-4 B ．4C ．125-D ．1258．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间上单调递增 B ．在区间上单调递增 C ．在区间上单调递增 D ．在区间上单调递增9．已知2x >，函数42y x x =+-的最小值是（ ） A ．5B ．4C ．8D ．610．已知α为第一象限角，5sin cos 4αα+=，则4041cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．916-B ．916C ．5716-D ．5716二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2023-2024学年高一数学真题汇编(人教A版2019必修第二册)下学期期末模拟卷(二)解析版
高一期末模拟卷（二）一、单选题1．方程240x x k -+=有一个根为12i +，则k 的值为（）A ．5B ．3C ．4D ．2【答案】A【详解】方程240x x k -+=有一个根为12i +，则方程240x x k -+=的另一个根为12i -，故()()12i 12i 5k +-==．故选：A ．2．设α，β是两个不同的平面，m ，l 是两条不同的直线，且l αβ= 则“//m l ”是“//m β且//m α”的（）A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三年级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若小组的每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（）A ．甲组中位数为3，极差为5B ．乙组平均数为2，众数为2C ．丙组平均数为2，方差为3D ．丁组平均数为2，第85百分位数为7【答案】C【详解】A 选项，假设存在选手失分超过7分，失8分，根据极差为5，得到最低失分为3分，此时中位数为3，故假设可以成立，故A 错误；B 选项，假设乙组的失分情况为0,0,1,1,2,2,2,2,2,8，满足平均数为2，众数为2，但该组不为“优秀小组”，B 错误；C 选项，丙组的失分情况从小到大排列依次为1210,,,x x x ，4．某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（）A ．恰有1名女生和恰有2名女生B ．至少有1名男生和至少有1名女生C ．至少有1名女生和全是女生D ．至少有1名女生和至多有1名男生5．已知OA OB OC ==，且0AB AC OA ++=，则BA 在OA 上的投影向量为（）A ．12OA B ．12OA - C ．14OA D ．OA【答案】A【详解】如图，依题意可得点O 为ABC 的外心，因为0AB AC OA ++= 所以AB CO =，则四边形设AO BC M ⋂=，则AO 因为AO BC ⊥，所以BA 6．某地开展植树造林活动，拟测量某座山的高．勘探队员在山脚A 测得山顶B 的仰角为45︒，他沿着坡角为15︒的斜坡向上走了100米后到达C ，在C 处测得山顶B 的仰角为60 ．设山高为BD ，若,,,A B C D 在同一铅垂面，且在该铅垂面上,A C 位于直线BD 的同侧，则BD =（）A ．米B ．C ．-D ．由正弦定理得sin AB ACB ∠()sin15sin 6045=-= 故选：B7．如图，棱锥P ABCD -的高3PO =，截面A B C D ''''平行于底面,ABCD PO 与截面交于点O '，且2OO '=.若四边形ABCD 的面积为36，则四边形A B C D ''''的面积为（）A ．12B ．16C ．4D ．88．给定一个正整数(3)n n ≥，从集合{1,2,3,,}n Ω= 中随机抽取一个数，记事件A =“这个数为偶数”，事件B =“这个数为3的倍数”.下列说法正确的是（）A ．若6n k =，*k ∈N ，则至少存在一个n ，使事件A 和事件B 不独立B ．若6n k ≠，*k ∈N ，则存在无穷多个n ，使事件A 和事件B 独立C ．若n 为奇数，则至少存在一个n ，使事件A 和事件B 独立D ．若n 为偶数，则对任意的n ，事件A 和事件B 独立,二、多选题9．连续地掷一枚质地均匀的股子两次，记录每次的点数，记事件A为“第一次出现2点”，事件B为“第二次的点数小于等于4点”，事件C为“两次点数之和为奇数”，事件D为“两次点数之和为9"，则下列说法正确的是（）A．A与B不是互斥事件B．B与D相互独立C．A与B相互独立D．A与C相互独立10．关于复数z，下面是真命题的是（）A ．若zz∈R ，则z ∈R B ．若2z ∈R ，则z ∈R C ．若22z z =，则z ∈R D ．若z ∈R ，则z ∈R11．四棱台1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，,E F 是直线1DD 上的两个动点，两个底面是正方形，3AB =，111A B =，12AA =，1EF =，则下列叙述正确的是（）A ．侧棱1BB 的长是B ．侧面11CDD C 是直角梯形C ．该棱台的全面积是18+D ．三棱锥B EFC -的体积是定值平面三、填空题12．如图，A B C ''' 是斜二测画法画出的水平放置的ABC 的直观图，D ¢是B C ''的中点，且//A D y '''轴，//B C x '''轴，1A D ''=，2B C ''=，则ABC 的面积为．【答案】2【详解】根据斜二测画法的规则，可得水平放置的ABC 的直观图，如图所示，因为//A D y '''轴，//B C x '''轴，且1A D ''=，2B C ''=，13．已知正四面体A BCD -，O 是底面BCD 的中心，以OA 为旋转轴，将正四面体旋转180︒后，与原四面体的公共部分的体积为2，则正四面体A BCD -外接球的体积为．设正四面体的棱长为a ，而33BO a =，则正六边形EFGHIJ 的边长133a EF BD ==因此公共部分的体积13A EFGHIJ EFGHIJ V S -=显然正四面体的外接球球心O '在AO 上，所以正四面体A BCD -外接球的体积V =276π14．费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于3时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为2π3．已知点P 为ABC 的费马点，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，若tan (2)tan b A c b B =-，3b =，BC 边上的中线长为72，则PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅ 的值为．由tan (2)tan b A c b B =-，则因为,,(0,π)A B C ∈，故sin sin A 四、解答题15．已知复数53i 12iz =+-+．(1)求||z ；(2)若复数z 是关于x 的实系数方程20x mx n ++=的一个根，求m n +的值．16．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c cos 2sin cos C a B B =-.(1)求角B 的大小；(2)若c b >，1b =，求ABC 周长的取值范围.17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，1BB ⊥平面ABC ，2AB BC ==，AB BC ⊥，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点.(1)求证：//MN 平面11BCC B ；(2)求直线MN 与平面11AAC C 所成角的正弦值.（2）在三棱柱ABC A -则1AA ⊥平面ABC ，即于是1AA MQ ⊥，11AC 直线MN 与平面11AAC C18．在某社区举办的《“环保我参与”有奖问答比赛》活动中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是34，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是112，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是14．若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中恰有2个家庭回答正确这道题的概率．19．作为一种新的出游方式，近郊露营在疫情之后成为市民休闲度假的“新风尚”.我市城市规划管理局拟将近郊的一直角三角形区域按如图所示规划成三个功能区：BNC 区域为自由活动区，MNC 区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓，CMA 区域规划供游客餐饮休息用.为安全起见，预在鱼塘MNC 四周围筑护栏.已知20m AC =，BC =，AC BC ⊥，30MCN ∠=︒.(1)若10m AM =时，求护栏的长度（MNC 的周长）；(2)若鱼塘MNC 的面积是“餐饮休息区”CMA 的面积的2倍，求ACM ∠；(3)当ACM ∠为何值时，鱼塘MNC 的面积最小，最小面积是多少？。
浙江省温州市温州中学2023年数学高一第二学期期末综合测试模拟试题含解析
2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在正方体1111ABCD A B C D -中，当点E 在线段11B D （与1B ，1D 不重合）上运动时，总有：①1AE BC ； ②平面1AA E ⊥平面11BB D D ；③AE 平面1BC D ；④1AC AE ⊥．以上四个推断中正确的是( ) A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④2．如图，PA ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点（与A 、B 均不重合），则图中直角三角形的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．设函数()222646cos x x xf x x xπ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=+的最大值为M ，最小值为m ，则M 与m 满足的关系是（ ） A ．2M m -= B ．2M m += C ．4M m -=D ．4M m +=4．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ）A ．()8,10B ．()22,10C ．()22,10D ．()10,85．已知2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>6．若关于x 的一元二次不等式的解集为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．B ．C ．D ．7．已知圆22:40C x y x +-=与直线l 切于点(3P ，则直线l 的方程为（ ）A ．320x y -+=B ．340x y +=C ．340x -=D ．320x y +-=8．函数()32cos4f x x =-的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．59．已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差2s 为（ ） A ．52B ．3C ．72D ．410．若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是( ) A ．245B ．285C ．5D ．6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
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2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在ABC ∆中，若623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅，则角A 的大小为（ ） A ．4π B ．3π C ．23π D ．34π2．已知042a ππβ<<<<，且sin cos 5αα-=，4sin 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则sin()αβ+=（ ）A ．B ．CD 3．函数y=tan （π4–2x ）的定义域是( ) A ．{x|x≠π2k +3π8，k ∈Z} B ．{x|x≠kπ+3π4，k ∈Z} C ．{x|x≠π2k +π4，k ∈Z}D ．{x|x≠kπ+π4，k ∈Z}4．已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距离是（ ）A ．13B ．26C ．13D ．265．已知{}n a 为递增等比数列47565,6a a a a +==，则110a a +=（） A ．152B ．5C ．6D ．3566．已知数列{}n a 满足11a =，21n n a a n --=（n *∈N 且2n ≥），且数列21{}n a -是递增数列，数列2{}n a 是递减数列，又12a a >，则100a = A ．5050-B ．5050C ．4950-D ．49507．设0x >，0y >，24x y +=，则()()121x y xy++的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．72D ．928．三角形的一个角为60°，夹这个角的两边之比为8:5，则这个三角形的最大角的正弦值为（ ） A ．32B ．437C ．5314D ．879．已知21tan1cos1sin1,22cos 22.52,1tan1a b c ︒︒︒︒︒+=-=-=-，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A ．b a c >> B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>10．若1sin 3α=，则cos2α= A ．89B ．79C ．79-D ．89-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知a ，b 为单位向量，且32a b ⋅=，若向量c 满足()()20c a c a -⋅-=，则c b λ-()λ∈R 的最小值为_____.12．若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩则z x y =+的最大值为__________．13．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是线段1BC 上的动点，则直线1A F 与平面1BDC 所成的最大角的余弦值为________.14．设函数()()sin ,0,0,2f x A x x R πωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+∈>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的表达式______．15．设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为(0)q q >，所有项和为1，则首项1a 的取值范围是____________.16．如果奇函数f （x ）在[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f （x ）在[-7,-3]上是_________. ①减函数且最小值是-5； ②减函数且最大值是-5； ③增函数且最小值是-5； ④增函数且最大值是-5三、解答题：本大题共5小题，共70分。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数()()sin 0,2f x t x t πωϕϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，()f x 的部分图像如图所示，点()0,3N ，,02M π⎛⎫- ⎪⎝⎭，,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭都在()f x 的图象上.（1）求()f x 的解析式； （2）当,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()33f x m -≤-≤恒成立，求m 的取值范围. 18．如图，在平行四边形ABCD 中，边AB 所在直线的方程 为220x y --=，点(2,0)C . （Ⅰ）求直线CD 的方程；（Ⅱ）求AB 边上的高CE 所在直线的方程.19．设函数.（1）当时，函数的图像经过点，试求的值，并写出（不必证明）的单调递减区间； （2）设，，，若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.20．某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y3040605070（1）若广告费与销售额具有相关关系，求回归直线方程；（2）在已有的五组数据中任意抽取两组，求两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5的概率．21．如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，5AB =，4BC =，14AA =，点D 是AB 的中点.（1）求证：1AC BC ⊥；（2）求证：11//AC CDB 平面 （3）求三棱锥11A B CD -的体积.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、D 【解析】由平面向量数量积的定义得出tan B 、tan C 与tan A 的等量关系，再由()tan tan A B C =-+并代入tan B 、tan C 与tan A 的等量关系式求出tan A 的值，从而得出A 的大小. 【详解】623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅，6cos 2cos 3cos bc A ca B ab C ∴=-=-，cos 3cos a B b A ∴=-，由正弦定理边角互化思想得sin cos 3cos sin A B A B =-，tan 3tan A B ∴=-，1tan tan 3B A ∴=-，同理得1tan tan 2C A =-，()11tan tan tan tan 32tan tan 111tan tan 1tan tan 32A AB C A B C B C A A --+∴=-+=-=--⎛⎫⎛⎫--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭225tan 5tan 616tan 1tan 6AA A A ==--，0A π<<，则tan 0A ≠，解得tan 1A =±， ABC ∆中至少有两个锐角，且1tan tan 3B A =-，1tan tan 2C A =-，所以，tan 1A =-，0A π<<，因此，34A π=，故选D. 【点睛】本题考查平面向量的数量积的计算，考查利用正弦定理、两角和的正切公式求角的值，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将问题转化为正切来进行计算，属于中等题.2、D 【解析】首先根据sin cos αα-=sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，结合角的范围，利用平方关系，求得cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭3cos 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，之后将角进行配凑，使得()sin sin 44a ππβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用正弦的和角公式求得结果. 【详解】因为sin cos 5αα-=，所以sin 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为42a ππ<<，所以cos 4πα⎛⎫-=⎪⎝⎭因为04πβ<<，4sin 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3cos 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()sin sin 44a ππβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 3455=+= 故选D. 【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦函数的和角公式，在解题的过程中，注意时刻关注角的范围. 3、A 【解析】根据诱导公式化简解析式，由正切函数的定义域求出此函数的定义域． 【详解】由题意得，y=tan （π4–2x ）=–tan （2x –π4），由2x –πππ42k ≠+（k ∈Z ）得，x≠π2k +3π8，k ∈Z ，所以函数的定义域是{x|x≠π2k +3π8，k ∈Z}，故选:A ． 【点睛】本题考查正切函数的定义域，以及诱导公式的应用，属于基础题． 4、D【解析】由已知中直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，求出m 的值，再根据两条平行线间的距离公式求得它们之间的距离． 【详解】∵直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则4m =， 将直线3230x y +-=的方程化为6460x y +-=，则两条平行直线之间的距离d ，d＝26. 故选：D ． 【点睛】本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行线间的距离公式的应用，属于中档题． 5、D 【解析】设数列{}n a 的公比为q ，根据等比数列的性质，得476a a =，又由475a a +=，求得3q ，进而可求解110a a +的值，得到答案. 【详解】根据题意，等比数列{}n a 中，设其公比为q ，因为566a a =，则有476a a =，又由475a a +=，且47a a <，解得472,3a a ==，所以37432a q a ==， 所以3411073233533262a a a a q q +=+=+⨯=， 故选D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和等比数列的性质的应用，其中解答中熟练应用等比数列的性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6、A 【解析】根据已知条件可以推出，当n 为奇数时，0n a >，当n 为偶数时，0n a <，因此21n n a a n --=去绝对值可以得到，121(1)n n n a a n +--=-⋅，利用累加法继而算出结果．【详解】2212a a -=，即214a -=，25a ∴=或3-，又12a a >，23a ∴=-．数列21{}n a -为递增数列，数列2{}n a 为递减数列，∴当n 为奇数时，0n a >，当n 为偶数时，0n a <， ∴121(1)n n n a a n +--=-⋅．1001009999989897211()()()()a a a a a a a a a a ∴=-+-+-+⋯+-+ 2222222100999897969521=-+-+-+--+22222222))(10099(9897(96195)(2)----=-----(10099989796321)=-+++++⋯+++100110050502+=-⨯=-．故选A ． 【点睛】本题主要考查了通过递推式求数列的通项公式，数列单调性的应用，以及并项求和法的应用。