9道题分清超几何分布和二项分布(含答案)
人教版(B版)高中数学选择性必修第2册 69 二项分布与超几何分布(2)
= − − ).
而且
= =
−
C C−
C
, = , + 1, … , .
这里的称为服从参数为, , 的超几何分布，记
作~ , , .
例如，尝试与发现中(10名同学，6男，4女，
次抽取中恰好得到件次品的概率，应采用超几何
分布的概率公式.
课堂小结
但当相对来说很大时，那么不放回抽样与
放回抽样时差不多的，故超几何分布近似于二项分
布，因此可用二项分布的计算公式近似．所以当一
批产品数量很大的时候，我们可以把取得某类样本
的频率视作取得这类样本的概率，用二项分布近似
代替超几何分布．
C10 30
因此的分布列为
超几何分布：
一般地，若有总数为件的甲、乙两类物品，其中
甲类有件( < )，从所有物品中随机取出件
( ≤ )，则这件中所含甲类物品件数是一个离
散型随机变量.
能取不小于且不大于的所有自然数，其中是
与中的较小者，在不大于乙类物品件数(即 ≤
1
125
(2) 若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看
成随机抽取1次，但1次抽取了3个球，因此黑球数
服从参数为10,3,2的超几何分布，即~(10,3,2).
所以
=0
=1
0 3
C2 C8
= 3
C10
1 2
C2 C8
= 3
C10
7
=
,
15
7
=
,
15
C22 C81
1
=2 = 3 =
(2) 已知女性患色盲的概率为 0.25%，任意抽取 300名 女
(完整版)超几何分布典型例题(附答案)
1.20世纪50年代，日本熊本县水俣市的许多居民都患了运动失调、四肢麻木等症状，人们把它称为水俣病．经调查发现一家工厂排出的废水中含有甲基汞，使鱼类受到污染。
人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类引起汞中毒．引起世人对食品安全的关注．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.00ppm．罗非鱼是体型较大，生命周期长的食肉鱼，其体内汞含量比其他鱼偏高．现从一批罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前一位数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：（Ⅰ）若某检查人员从这15条鱼中，随机地抽出3条，求恰有1条鱼汞含量超标的概率；（Ⅱ）以此15条鱼的样本数据来估计这批鱼的总体数据．若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的鱼汞含量超标的条数，求ξ的分布列及Eξ.【分析】①不放回→超几何分布②N=15，汞含量超标的鱼为X，则X服从一个参数为15(N).5(M).3(n)的超几何分布③由频率估计概率/由样本估计总体 2句都等价于将N无限化→不是超几何分布④做n次独立重复实验，每次实验成功的概率都相同→二项分布法2：设3条鱼中汞含量超标的鱼的条数为X.则X服从一个参数为15、5、3的超几何分布∴P(X=1)=（每个概率的求得过程必须有公式和最简结果，再画表格）设“学生持满意态度”为事件A，由题意可知该事件满足古典概型。
∴P(A)=(Ⅱ)由题意可知，服从参数为14、3、4的超几何分布.（右上角为4-k）（1）解:设“扫黑除恶利国利民”的卡片有M张设抽取2张卡片中“扫黑除恶利国利民·”的卡片数为X,则X服从参数为9、M、2的超几何分布。
故由题意可得，即解得M=4则抽奖者获奖的概率为（为防止与第二问雷同,将X改为Y）（2）【分析】甲乙丙三人在抽奖过程中互不影响,各自独立,可看作3次独立重复实验,故为二项分布解:设中奖为事件A(下求中奖的概率)即则X服从参数为3(抽奖的人数)、5/9(中奖概率)的二项分布.补充：数学期望。
2022届高考数学二轮专题：二项分布超几何分布和正态分布
二项分布、超几何分布和正态分布1．正态分布1．已知随机变量 6,X B p ，2,Y N :，且 122P Y， E X E Y ，则p （）A．12B．13C．14D．16【答案】B【解析】因为随机变量 6,X B p ，所以 6E X p ，因为2,Y N :， 122P Y，所以2 ，即 2E Y ，又 E X E Y ，所以62p ，即13p ．2．（多选）已知三个正态分布密度函数22()2i i x i x(x ∈R，i ＝1，2，3)的图象如图所示，下列关于μ1，μ2，μ3，σ1，σ2，σ3的大小关系正确的是（）A．123 B．123 C．123 D．123【答案】AB【解析】正态分布关于x 对称，且 越大图象的对称轴越靠近右边，故第一个曲线的均值比第二和第三的均值小，且二，三两个的均值相等，故123 ．越小，曲线越瘦高，则第二个图象 要比第三个的 要小，故123 ．故选AB．3．某篮球队在某赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分分别为7，8，10，15，17，19，21，23．（1）根据这8场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值 和标准差 ；（2）假设甲在每场比赛的得分服从正态分布2(,)N ，且各场比赛间相互没有影响，依此估计甲在82场比赛中得分在不低于26分的平均场数(结果保留整数)．5.66 ， 5.68 5.70 ．正态总体2(,)N 在区间(2,2) 内取值的概率约为95.4%．【答案】（1）估计甲每场比赛中得分的均值 为15，标准差 为5.68；（2）估计甲在82场比赛中得分在不低于26分的平均场数为2．【解析】（1）由题意可得1(78101517192123)158，2222222221[(8)(7)(5)02468]32.258，所以 5.68 ，所以估计甲每场比赛中得分的均值 为15，标准差 为5.68．（2）设甲每场比赛中的得分为随机变量X ，由（1）得甲在每场比赛中得分不低于26分的概率1126[1(22)]10.9540.02322P X P X ，设在82场比赛中，甲得分不低于26分的次数为Y ，则(82,0.023)Y B :，Y 的均值()820.0232E Y ，由此估计甲在82场比赛中得分在不低于26分的平均场数为2．4．5G 网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一．2020年初以来，我国5G 网络正在大面积铺开．A 市某调查机构为了解市民对该市5G 网络服务质量的满意程度，从使用了5G 手机的市民中随机选取了200人进行问卷调查，并将这200人根据其满意度得分分成以下6组： 40,50､ 50,60､ 60,70､…， 90,100，统计结果如图所示：（1）由直方图可认为A 市市民对5G 网络满意度得分Z （单位：分）近似地服从正态分布 2,N ，其中 近似为样本平均数x ， 近似为样本的标准差s ，并已求得14.31s ．若A 市恰有2万名5G 手机用户，试估计这些5G 手机用户中满意度得分位于区间41.88,84.81的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；（2）该调查机构为参与本次调查的5G 手机用户举行了抽奖活动，每人最多有3轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为13．每一轮抽奖，奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束．现小王参与了此次抽奖活动，求小王所获话费总额X 的数学期望．参考数据：若随机变量Z 服从正态分布2,N ，即2~,Z N ，则0.6827P Z ， 220.9545P Z ．【答案】（1）16372（人）；（2）130027（元）．【解析】（1）由题意知样本平均数为450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5x ，∴70.5x ，∵14.31s ，所以， 2,41.88,84.81s s ，而 1122222P x Z s P Z Z0.8186 ，故2万名5G 手机用户中满意度得分位于区间 41.88,84.81的人数约为200000.818616372 （人）．（2）由题意可知X 的可能取值有0､100､200､300，203p X， 122100339p X ， 112220033327p X， 111130033327p X ，∴ 22211300010020030039272727E X（元）．2．二项分布1．足球运动是一项在学校广泛开展､深受学生喜爱的体育项目，对提高学生的身心健康具有重要的作用．某中学为了推广足球运动，成立了足球社团，该社团中的成员分为A ，B ，C三个层次，其中A ，B ，C 三个层次的球员在1次射门测试中踢进球的概率如表所示，A ，B ，C 三个层次的球员所占比例如图所示．层次A B C概率231214（1）若从该社团中随机选1名球员进行1次射门测试，求该球员踢进球的概率；（2）若从该社团中随机选1名球员，连续进行5次射门测试，每次踢进球与否相互独立，记踢进球的次数为X ，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）12；（2）分布列见解析，数学期望为2.5．【解析】（1）从该社团随机选1人进行一次射门测试，选自层次A ，B ，C 的成员踢进球的事件分别记为事件A ，B ，C ，则321111111(),(),()10352245420P A P B P C．因为事件A ，B ，C 为互斥事件，所以1111()()()()54202P A B C P A P B P CU U ．故从该社团中随机选1名球员进行1次射门测试，球员踢进球的概率为12．（2）由（1）可知从该社团中随机选择1人进行1次射门测试，球员踢进球的概率为12，每次踢进球与否相互独立，所以X 服从二项分布，即15,2X B:，5550125551115110(0),(1),(2)232232232P X C P X C P X C，5553455551101511(3),(4),(5)232232232P X C P X C P X C．X 的分布列为X 012345P13253210321032532132故X 的数学期望1()5 2.52E X．2．某厂生产,A B 两种产品，对两种产品的某项指标进行检测，现各抽取100件产品作为样本，其指标值的频率分布直方图如图所示：以该项指标作为衡量产品质量的标准，该项指标划分等级和收益率如下表，其中1154p ．（注：收益率利润总投资额）等级一等品二等品三等品指标值m 140m 120140m 120m 产品收益率p24p 2p （1）求a 的值；（2）将频率分布直方图中的频率近似看作概率，用样本估计总体．①从产品B 中随机抽取3件，求其中一等品件数X 的分布列及数学期望；②在总投资额相同的情况下，若全部投资产品A 或产品B ，试分析投资哪种产品收益更大．【答案】（1）0.030a ；（2）①分布列见解析，95；②投资产品A 的收益更大．【解析】（1）由题可得 0.0050.0100.0150.040101a ，解得0.030a ．（2）①由直方图知：产品B 为一等品的概率是35，二等品概率是310，三等品概率是110，由题知随机抽取3件是一等品的件数X 可能的取值是0，1，2，3，且5~33,X B，3003238055125P X C ， 21132336155125P X C， 12235412523255P X C， 03332712523355P X C，则X 的分布列为：X 0123P8125361255412527125∴ 8365427901231251251251255E X．②由题可得，产品A 为一等品的概率为710，二等品的概率为14，三等品的概率为120，产品B 为一等品的概率为35，二等品的概率为310，三等品的概率为110，产品A 的收益：22217112174104202010E p p p p p ，产品B 的收益：2222331133451010105E p p p p p ，∴ 22151152201020E E p p p p ，因为1154p ，所以210E E ，即21E E ，故投资产品A 的收益更大．3．印刷行业的印刷任务是由印张数（单位：千张）来衡量的．某印刷企业有甲，乙两种印刷设备，每年的各单印刷任务在180~240千张；当一单任务的印张数不大于210千张时，由甲种印刷设备来完成，当一单任务的印张数大于210千张时，由乙种印刷设备来完成．资料显示1000单印制任务的印张数的频率分布直方图如图所示，现有4单印刷任务，印张数未知，只知道印张数在180~240千张，以相关印张数的频率视为相应事件发生的概率．（1）求a 的值，并求这1000单印刷任务的印张数（单位：千张）的中位数；（2）用X ､Y 分别表示这4单印刷任务中由甲､乙两个印刷设备来完成的个数，记||X Y ，求随机变量 的分布列与数学期望．【答案】（1）0.005a ，中位数为214；（2）分布列见解析，数学期望为1012625．【解析】（1）由频率分布直方图知：(0.01520.02020.025)101a ，解得0.005a ．设这1000单印刷任务的印张数（单位：千张）的中位数为x ，由0.005100.015100.02100.4 ，得(210)0.0250.50.4x ，解得214x ．（2）由频率分布直方图知，一个任务由甲种印刷机器来完成的概率为：20.005100.015100.02100.45，所以由乙种印刷机器来完成的概率为35，由题意||X Y ，则 的可能取值为0，2，4；0 表示甲乙分别完成两个任务，概率为222423216(0)55625P C；2 表示甲完成1个任务而乙完成3个任务或甲完成3个任务而乙完成1个任务，概率为1331134********(2)C C 5555625P；4 表示任务全部由甲完成或乙完成，其概率442397(4)55625P，则随机变量 的分布列为：024p21662531262597625所以随机变量 的数学期望为216312971012()024625625625625E．4．某学习网按学生数学成绩的水平由高到低分成甲､乙两档，进行研究分析，假设学生做对每道题相互独立，其中甲､乙档学生做对每道题的概率分别为p ，58p ，现从甲､乙两档各抽取一名学生成为一个学习互助组合．（1）现从甲档中选取一名学生，该生5道题做对4道题的概率为 f p ，求出 f p 的最大值点0p ；（2）若以0p 作为p 的值，①求每一个互助组合做对题的概率；②现选取n 个组合，记做对题的组数为随机变量X ，当90X 时， P X 取得最大值，求相应的n 和 E X ．【答案】（1）045p；（2）①0.9；②答案见解析．【解析】（1）由题可知 4445151f p C p p p p ， 3545f p p p ，令 0f p ，得45p ．当40,5p 时， 0f p ， f p 在40,5上单调递增；当4,15p时， 0f p ， f p 在4,15上单调递减，所以 f p 的最大值点045p．（2）①记事件A 为一个互助组合做对题，事件B 为一个互助组合中甲档中的学生做对题，事件C 为一个互助组合中乙档中的学生做对题，则4()5P B， 451582P C ， 11110.952P A P B P C ．②由题意知随机变量 ,0.9X B n :， 0.90.10,1,2,,k k n kn P X k C k n ，因为 90P X 最大，所以9090909191919090908989890.90.10.90.10.90.10.90.1n n n n n n n n C C C C ，解得901999n ，因为n 是整数，所以99n 或100n ，当99n 时， 990.989.1E X np ；当100n 时， 1000.990E X np ．3．超几何分布1．2021年8月8日，东京奥运会落下帷幕．400多名中国奥运健儿在比赛中积极弘扬奥林匹克精神，敢于挑战极限、超越自我，展现了精湛的竞技水平和顽强的拼搏精神．为了鼓励更多的市民参与体育锻炼，某城市随机抽取了100名市民对其每月（按30天）的运动天数进行了统计：平均每月运动的天数x5x 515x 1525x 25x 人数20403010我们把每月运动超过15天称为热衷运动，不超过15天称为一般运动，为了了解运动是否与性别有关，得到了以下22 列联表：一般运动热衷运动合计男性22女性1250合计100（1）完成22 列联表，并判断是否有99%的把握认为运动与性别有关？（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取10个，再从抽取的10个人中随机抽取3个，用X 表示抽取的是“热衷运动”的人数，求X 的分布列及数学期望 E X ．附：20P K k 0.1000.0500.0100.0010k 2.7063.8416.63510.82822n ad bc K a b c d a c b d，n a b c d ．【答案】（1）列联表见解析，有99%的把握认为运动与性别有关；（2）分布列见解析，数学期望 65E X．【解析】（1）完善22 列联表如下表所示：一般运动热衷运动合计男性222850女性381250合计604010022100221238283210.667 6.635604050503K，所以有99%的把握认为运动与性别有关．（2）根据分层抽样，10个人中抽取的热衷运动的人数为4人，一般运动的人数为6人，从抽取的10个人中随机抽取3个，X 表示抽取的是“热衷运动”的人数，X 的可能取值为0、1、2、3，则 36310C 10C 6P X ， 2164310C C 11C 2P X ， 1264310C C 32C 10P X ， 34310C 13C 30P X，所以X 的分布列为：X 0123P1612310130所以X 的数学期望 1131601236210305E X．2．第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办．为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从高一年级（共六个班）答题优秀的学生中随机抽查了20名，得到这20名优秀学生的统计如下：高一班级一（1）一（2）一（3）一（4）一（5）一（6）人数454331（1）从这20名学生中随机抽取两名学生参加区里冬奥知识比赛．（i）恰好这2名学生都来自同一班级的概率是多少？（ii）设这2名学生中来自高一（2）的人数为 ，求 的分布列及数学期望；（2）如果该校高中生的优秀率为0.1，从该校中随机抽取2人，这两人中优秀的人数为 ，求 的期望．【答案】（1）（i）1495；（ii）分布列见解析，12；（2）0．2．【解析】（1）（i ）20名学生中随机抽取两名学生共有220190C ，设恰好2名学生都来自同一班级共有222224543328C C C C C ，2814()191095P A ．（ii ） 可取0，1，2，215220105(0)190C P C ，1115522075(1)190C C P C ，2522010(2)190C P C ， 的分布列为：012P 1051907519010190的期望 75110211901902E ．（2） 可取0，1，2，(2,0.1)B :，所以 0.120.2E ．3．为缓解城市垃圾带来的问题，许多城市实行了生活垃圾强制分类．为了加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成良好的垃圾分类的习惯，某学校团委组织了垃圾分类知识竞赛活动．设置了四个箱子，分别标有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”；另有写有垃圾名称的卡片若干张．每位参赛选手从所有写有垃圾名称的卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．规定每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子得5分，放入其他箱子得0分．从所有参赛选手中随机抽取40人，将他们的得分分成以下5组：[0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]，(80,100]，绘成如下频率分布直方图：（1）求得分的平均数（每组数据以中点值代表）；（2）学校规定得分在80分以上的为“垃圾分类知识达人”．为促进社区的垃圾分类，学校决定从抽取的40人中的“知识达人”（其中含A ，B 两位同学）中选出两人利用节假日到社区进行垃圾分类知识宣讲，求A ，B 两人至少有1人被选中的概率；（3）从所抽取的40人中得分落在组[0,40]的选手中随机选取3名选手，用X 表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）56；（2）1328；（3）分布列见解析，65．【解析】（1）由频率分布直方图可求得各组的频率自左到右依次为：0．1，0．15，0．3，0．25，0．2，所以得分的平均数100.1300.15500.3700.25900.256x ．（2）所抽取的40人中，得分在80分以上的有400.28 人，故所求概率为2628C 151311C 2828．（3）由题可知X 的所有可能取值为0，1，2，3，得分在[0,20]的人数400.14 ，得分在(20,40]的人数为400.156 人．36310C 1(0)C 6P X ，1246310C C 1(1)C 2P X ，2146310C C3(2)C 10P X ，34310C 1(3)C 30P X ，所以X 的分布列为X 0123P 1612310130所以X 的数学期望11316()01236210305E X ．。
超几何分布与二项分布
最新资料推荐1. （2010 r 东，本小题满分12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作 为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490, 495], （495, 500], (510)515],由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.（I ） 根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量.（II ） 在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数呈:，求丫的分布列.（III ） 从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率.解：（I ）重量超过505克的产品数量是40x （0.05x5+0.01 x5）=40x0.3= 12 件. （II ） Y 的可能取值：0丄2Y 的分布列为Y 0 1 2 P6313056 13011 130（III ）以下的方法①②哪个正确？①利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过505克的概率是0.3,令§为任取的5件产品中，重量超过505克的产品数邕 则歹~ 8（5,03）, 故所求概率为：P(g = 2) = C ； O.32(l- 0.3)3 = 0.3087②从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率是P(Y = 2)=c ；0" 130二遢颅资料推卷=二=¥=—二28x27x26 12x11。
28。
］2 _ 3x2x1 2x1 _ 21x11 = 231C］（＞ ~ 40x39x38x37x36 一37x19 _ 703'5x4x3x2xl超几何分布与二项分布—、超几何分布一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取“件SWN）,这“件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为山时的概率为P（X = m）= “ j （0W mWl, /为“和M中较小的一个）.5我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超儿何分布，也称X服从参数为N, M, n的超几何分布.在超几何分布中，只要知道N, M和“，就可以根据公式求出X取不同值时的概率P（X =/n）,从而列出X的分布列.二、二项分布（1）独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A及灭，并11事件A发生的概率相同.在相同的条件下，重复地做"次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为"次独立重复试验.“次独立重复试验中，事件A恰好发生R次的概率为= 於（1一卩严仗=0」,2,..・,“）•（2）二项分布若将事件A发生的次数设为X,事件A不发生的概率为q = i，那么在“次独立重复试验中，事件A恰好发生代次的概率是P（X =k） = C； P k q"'k»其中£=0,1, 2,..., 于是得到X的分布列由于表中的第二行恰好是二项展开式S + PY = C：P°g n + C；时+••• + © 如 + • • .C；：内。
二项分布与超几何分布专题训练
二项分布与超几何分布专题训练一、知识梳理知识点一n重伯努利试验及其特征1.n重伯努利试验的概念将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.2.n重伯努利试验的共同特征(1)同一个伯努利试验重复做n次.(2)各次试验的结果相互独立.知识点二二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=C n p k(1-p)n-k,k=0,1,2,…，n.称随机变量X服从二项分布，记作X〜B(n,p).知识点三二项分布的均值与方差若X〜B(n,p)，则E(X)=np，D(X)=np(1-p).知识点四超几何分布1.定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=C kMC N-M，k=m，m+1,m+2,其中n,N,M E N*,M W N,n W N,m=max{0,n—N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.2•均值：E(X)=N・二、题型归纳】考点一：超几何与二项分布概念的辨析【例1-1】下列随机变量中，服从超几何分布的有.(填序号)①在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X；②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数；③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量X.【例1-2】下列例子中随机变量E服从二项分布的有.①随机变量E表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数；②某射手击中目标的概率为0.9,从开始射击到击中目标所需的射击次数E；③有一批产品共有N件，其中M件为次品,采用有放回抽取方法，E表示n次抽取中出现次品的件数(M 〈N)；④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，E表示n次抽取中出现次品的件数.r.【考点精练】1.一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.27 81 现从中任取4个球，有如下几种变量：① X 表示取出的最大号码；② X 表示取出的最小号码；③ 取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X 表示取出的4个球的总得分；④ X 表示取出的黑球个数.这四种变量中服从超几何分布的是（）A.①②B.③④C.①②④D.①②③④2•下列随机事件中的随机变量X 服从超几何分布的是（）A. 将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为XB. 从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为XC •某射手的射击命中率为0.8,现对目标射击1次，记命中的次数为XD.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X 3•下列例子中随机变量服从二项分布的个数为（）① 某同学投篮的命中率为0.6,他10次投篮中命中的次数g ；② 某射手击中目标的概率为0.9,从开始射击到击中目标所需的射击次数g ；③ 从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数g ；④ 有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用不放回抽取方法，g 表示n 次抽取中出现次品的件数4•下列选项中的随机变量不服从两点分布的是（）A. 抛掷一枚骰子，所得点数XB. 某射击手射击一次，击中目标的次数X D.某医生做一次手术，手术成功的次数X 考点二：二项分布的均值与方差【例2】•已知随机变量:，耳满足2C +H =9，且匚〜B （8,p ）,E （匚）二2，则E （q ）,D （q ）分别是（）【考点精练】(1、1•设随机变量X,Y 满足：Y=3X-1,X 〜B 2,-，则V(Y)=()V 3丿 A.4B.5C.6D.72•设随机变量B (2,p),q ~B (4,p)，若P(g >1)=9，则P (q >2)的值为()9 A.0 B.1 C.2D.3C. 从装有除颜色外其余均相同的5个红球，3个白球的袋中任取1个球，设X 1,取出白球 <0,取出红球A.5,3B.5,6C.8,3D.8,6A. 32 81 D. 16 813•已知随机变量X〜B（5,0.2），随机变量Y=5X+10，则（）27 81A.E（Y）=5B.E（Y）=10C.D（Y）=20D.D（Y）=30考点三：二项分布【例3】很多新手拿到驾驶证后开车上路，如果不遵守交通规则，将会面临扣分的处罚，为让广大新手了解驾驶证扣分新规定，某市交警部门结合机动车驾驶人有违法行为一次记12分、6分、3分、2分的新规定设置了一份试卷（满分100分），发放给新手解答，从中随机抽取了12名新手的成绩，成绩以茎叶图表示如图所示，并规定成绩低于95分的为不合格，需要加强学习，成绩不低于95分的为合格.687288955667891000（1）求这12名新手的平均成绩与方差；（2）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，若从该市新手中任选4名参加座谈会，用X表示成绩合格的人数，求X的分布列与数学期望.【考点精练】1.影响青少年近视形成的因素有遗传因素和环境因素，主要原因是环境因素学生长时期近距离的用眼状态，加上不注意用眼卫生、不合理的作息时间很容易引起近视除了学习，学生平时爱看电视、上网玩电子游戏、不喜欢参加户外体育活动，都是造成近视情况日益严重的原因为了解情况，现从某地区随机抽取16名学生，调查人员用对数视力表检查得到这16名学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶），如图.学生视力测试结果666777S12（1）写出这组数据的众数和中位数.（2）若视力测试结果不低于5.0,则称为“好视力”•①从这16名学生中随机选取3名，求至少有2名学生是“好视力”的概率；②以这16名学生中是“好视力”的频率代替该地区学生中是“好视力”的概率若从该地区学生（人数较多）中任选3名，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列.2.甲、乙二人进行定点投篮比赛，已知甲、乙二人每次投进的概率均为丄，两人各投1次称为一轮投篮.2（1）求乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率；（2）设前3轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量g,求g的分布列与期望.3.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟)•将统计数据按［5,10),110,15),［15,20)，…,［35,40］分组，制成频率分布直方图：假设乘客乘车等待时间相互独立.(1)在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为A;从乙站的乘客中随机抽取1人，记为B.用频率估计概率，求乘客A，B乘车等待时间都小于20分钟的概率；(2)在上班高峰时段，从甲站乘车的乘客中随机抽取3人，X表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量X的分布列与数学期望.考点四：超几何分布【例4】某班利用课外活动时间举行了一次“函数求导比赛”活动，为了解本次比赛中学生的总体情况,从中抽取了甲、乙两个小组的样本分数的茎叶图如图所示11叶6 87 24698 1391Z(1)分别求出甲、乙两个小组成绩的平均数与方差，并判断哪个小组的成绩更稳定?(2)从甲组同学成绩不低于70分的人中任意抽取3人，设X表示所抽取的3名同学的得分在［70,80)的人数，求X的分布列及数学期望.【考点精练】1.2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，自2021年1月1日起施行•它被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法某中学培养学生知法懂法，组织全校学生学习《中华人民共和国民法典》并组织知识竞赛.为了解学习的效果，现从高一，高二两个年级中各随机抽取20名学生的成绩(单位:分)，绘制成如图所示的茎叶图：~s^rTO高二8986361269765007345799611呂025788771109133589根据学生的竞赛成绩，将其分为四个等级:(1)从样本中任取2名同学的竞赛成绩，在成绩为优秀的情况下，求这2名同学来自同一个年级的概率；(2)现从样本中成绩为良好的学生中随机抽取3人座谈，记X为抽到高二年级的人数，求X的分布列，数学期望与方差.2.为庆祝2021年中国共产党成立100周年，某校高二年级举行“党史知识你我答”活动，共有10个班，每班选5名选手参加了预赛，预赛满分为150分，现预赛成绩全部介于90分到140分之间•将成绩结果按如下方式分成五组：第一组b0,100)，第二组1100,110)，…，第五组1130,140]•按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示.(1)若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求参赛学生在这次活动中成绩良好的人数；(2)若从第一五组中共随机取出两个成绩，记X为取得第一组成绩的个数，求X的分布列与数学期望.3.已知袋中装有5个白球，2个黑球，3个红球，现从中任取3个球.(1)求恰有一个白球的方法种数；(2)求至少有一个红球的方法种数；(3)设随机变量X为取出3球中黑球的个数，求X的概率分布及数学期望.考点五：二项分布与超几何分布的综合【例5】袋中有6个白球、3个黑球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球.(1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的次数为X,求X的分布列；(2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y,求Y的分布列.【考点精练】1.某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1道相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题.已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答3这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率均为二，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相4互独立、互不影响的.(1)求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率.(2)设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为X，Y，求随机变量X，Y的期望E(X)，E(Y)和方差D(X)，D(Y),并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好.2.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5pm的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35p g/m3以下空气质量为一级；在35〜75p g/m3之间空气质量为二级；在75p g/m3以上空气质量为污染•某市生态环境局从该市2021年上半年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)•PM2.5日均值(pg/m123)28537143445638791从这15天的数据中任取1天，求这天空气质量达到一级的概率；2从这15天的数据中任取3天的数据，记g表示其中空气质量达到一级的天数，求g的分布列和数学期望；3以这15天的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况(一年按365天来计算)，则一年中大约有多少天的空气质量达到一级？3.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495，500],…,(510，515].由此得到样本的频863925(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列.考点六：二项分布与超几何分布与其他知识综合【例6】某企业为检验某种设备生产的零件质量，现随机选取20个零件进行检验，分出合格品和次品•设每个零件是次品的概率为P(0<P<1)，且相互独立.(I)若20个零件中恰有2个次品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p；(II)若合格品又分为一等品和二等品，每个零件是二等品的概率为是一等品概率的2倍.已知生产一个一等品可获利100元，生产一个二等品可获利30元，生产一个次品会亏损40元，当每个零件平均获利低于20元时，需对设备进行技术升级.当P满足什么条件时，企业需对该设备进行技术升级？【考点精练】1.某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶A,A，A中的一个，每个乙系列盲盒可以开出123玩偶B1，B2中的一个.(1)记事件E:一次性购买n个甲系列盲盒后集齐玩偶A，A，A玩偶；事件F：—次性购买n个乙系n123n列盲盒后集齐B1，B2玩偶；求概率P(三)及P(佇)；(2)某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选2择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为亍，购买乙系113列的概率为-；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为；，购买乙系列的概率为匚，前344一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为1，购买乙系列的概率为1；如此往复，记某人第n次22购买甲系列的概率为Q.n①求｛Q｝的通项公式；n②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.2.由于“新冠肺炎”对抵抗力差的人的感染率相对更高，特别是老年人群体，因此某社区在疫情控制后，及时给老年人免费体检，通过体检发现“高血糖，高血脂，高血压”，即“三高”老人较多为此社区根据医生的建议为每位老人提供了一份详细的健康安排表，还特地建设了一个老年人活动中心，老年人每天可以到该活动中心去活动，以增强体质，通过统计每周到活动中心去运动的老年人的活动时间，得到了以下频率分布直方图.(1)从到活动中心参加活动的老人中任意选取5人.①若将频率视为概率，求至少有3人每周活动时间在［8,9)(单位：h)的概率；②若抽取的5人中每周活动时间在［8,11］(单位：h)的人数为2人，从5人中选出3人进行健康情况调查，记3人中每周活动时间在［8,11］(单位：h)的人数为求g的分布列和期望；(2)将某人的每周活动时间量与所有老人的每周平均活动时间量比较，当超出所有老人的每周平均活动量不少于0.74h时，则称该老人为“活动爱好者”，从参加活动的老人中随机抽取10人，且抽到k人为“活动爱好者”的可能性最大，试求k的值.(每组数据以区间的中点值为代表)3.现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验.第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验.如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗.设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为P(0<P<1).(1)求该组试验只需第一轮注射的概率(用含P的多项式表示)；(2)记该组动物需要注射次数X的数学期望为E(X)，求证：10<E(X)<10(2-p)。
专题49 两点分布、二项分布与超几何分布(解析版)
专题49 两点分布、二项分布与超几何分布【考点预测】 知识点一．两点分布1、若随机变量X 服从两点分布，即其分布列为其中01p <<(1)P X =称为成功概率． 注意：（1）两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为1； （2）两点分布又称01-分布、伯努利分布，其应用十分广泛．2、两点分布的均值与方差：若随机变量X 服从参数为p 的两点分布，则()10(1)p p E X =⨯+⨯-=p ，()(1)p D X p =-．知识点二．n 次独立重复试验 1、定义一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．2、特点（1）每次试验中，事件发生的概率是相同的；（2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例． 知识点三．二项分布 1、定义一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，不发生的概率1q p =-，那么事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n kn P X k p q-==（0k =，1，2，…，n ） 于是得到X 的分布列()001110C C C C nn n kk n k nn n n n n q p p q p q p q p q --+=+++++各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为n ，p 的二项分布，记作()X B n p ～，，并称p 为成功概率．注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即1n =时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式．2、二项分布的适用范围及本质 （1）适用范围：①各次试验中的事件是相互独立的；②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．（2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3、二项分布的期望、方差若()X B n p ～,，则()E X np =，)(1)(np p D X =-． 知识点四．超几何分布 1、定义在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件}{X k =发生的概率为()k n k M N MnNC C P X k C --==，0k =，1，2，…，m ，其中}{min m M n =，，且n N ≤，M N ≤，n ，M ，*N N ∈，称分布列为超几何分布列．如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布．2（1）适用范围： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数Y 的概率分布．（2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的． 【方法技巧与总结】 超几何分布和二项分布的区别（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的； 而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的. 【题型归纳目录】 题型一：两点分布 题型二：n 次独立重复试验 题型三：二项分布 题型四：超几何分布题型五：二项分布与超几何分布的综合应用 【典例例题】 题型一：两点分布例1．（2022·全国·高三专题练习）.若随机变量ξ的分布列为，其中()0,1m ∈，则下列结果中正确的是XA ．()()3,E m D n ξξ==B ．()()2,E m D n ξξ==C ．()()21,E m D m m ξξ=-=-D ．()()21,E m D m ξξ=-=【答案】C【解析】由离散型随机变量的概率关系可知：1n m =-.则()()()()()222011;01111E m n n m D m m m m m mξξ=⨯+⨯==-⎡⎤⎡⎤=--+---=-⎣⎦⎣⎦.例2．（2022·河北·高三阶段练习）新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease 2019，COVID -19），简称“新冠肺炎”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎.2019年12月以来，部分医院陆续发现了多例不明原因肺炎病例，证实为2019新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，为防止该病症的扩散与传染，某检测机构在某地区进行新冠病毒疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病.现有(),2n n n +∈≥N 个人，每人一份血液待检验，有如下两种方案：方案一：逐份检验，需要检验n 次；方案二：混合检验，将n 份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n 个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对n 份血液逐份检验，此时共需要检验+1n 次. (1)若10n =，且其中两人患有该疾病，①采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人的概率； ②将这10人平均分成两组，则这两患者分在同一组的概率； (2)已知每个人患该疾病的概率为()01p p <<.（i ）采用方案二，记检验次数为X ，求检验次数X 的期望()E X ；（ii ）若5n =，判断方案一与方案二哪种方案检查的次数更少？并说明理由. 【解析】（1）①根据题意可得：28182121098109845P =⨯⨯+⨯⨯=；②根据题意可得：38510C 419C 2P ==；（2）（i ）根据题意：X 的取值为1，+1n ，()()11n P X p ==-，()()111nP X n p =+=--，所以()()()()1111n nE X p n p ⎡⎤=-++--⎣⎦； （ii ）当5n =时，方案一：检验的次数为5次，方案二：检查的次数期望为()()()551611E X p p ⎡⎤=-+--⎣⎦， ()()()5556515151E X p p ⎡⎤-=---=--⎣⎦，记()()5151g p p =--，因为011p <-<，所以()g p 单调递增， 当1p =()0g p =， 所以当01p <<时，()0g p <，则()5E X <， 当11p <<时，()0g p >，则()5E X >， 故当01p <<时，选择方案二； 当11p <<时，选择方案一； 当1p =. 例3．（2022·全国·高三专题练习）2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注．为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k 个人，把这k 个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 个人的血液全为阴性，因而这k 个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这k 个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k 个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为0.003P =，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．核酸检测通常有两种分组方式可以选择：方案一：10人一组；方案二：8人一组． (1)分别求出采用方案一和方案二中每组的化验次数的分布列和数学期望； (2)若该社区约有2000人，请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由． （参考数据：80.9970.976=，100.9970.970=）【解析】（1）设方案一中每组的化验次数为ξ，则ξ的取值为1，11， ∴10(1)0.9970.970P ξ===，10(11)10.9970.030P ξ==-=， ∴ξ的分布列为：设方案二中每组的化验次数为η，则η的取值为1，9， 8(1)0.9970.976P η===，8(9)10.9970.024P η==-=，∴η的分布列为：（2）根据方案一，该社区化验分组数为200，方案一的化验总次数的期望值为：200()200 1.3260E X =⨯=次． 根据方案二，该社区化验分组数为250，方案二的化验总次数的期望为250()250 1.192298E η=⨯=次． ∵260298<，∴方案一工作量更少．故选择方案一．变式1．（2022·全国·高三专题练习）某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每位职工每年只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金．保险公司把企业的所有岗位分为A 、B 、C 三类工种，从事三类工种的人数分布比例如图所示，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表所示（并以此估计赔付概率）．A 、B 、C 工种职工每人每年的保费分别为a 元，a 元，b 元，出险后获得的赔偿金额分别为100万元，200万元，50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元． (1)若保险公司要求利润的期望不低于保费的20%，试确定保费a ，b 所要满足的条件．(2)现有如下两个方案供企业选择：方案一、企业不与保险公司合作，企业自行拿出与保险公司赔付金额相同的赔偿金付给出险职工；方案二、企业与保险公司合作，企业负责职工保费的60%，职工个人负责保费的40%，出险后赔偿金由保险公司赔付．若企业选择方案二的支出期望（不包括职工支出）低于选择方案一的，求a ，b 所要满足的条件，并判断企业是否与保险公司合作（若企业选择方案二的支出期望低于方案一，且与（1）中保险公司所提条件不矛盾，则企业与保险公司合作）．【解析】(1)设工种为,,A B C 职工的每份保单保险公司的收益分别为随机变量,,X Y Z ，则随机变量的分布列如下：455()(1)(10010)101010E X a a a =-+-⨯⨯=-， 45522()(1)(10010)201010E Y a a a =-+-⨯⨯=-， 45511()(1)(5010)501010E Z b b b =-+-⨯⨯=-， 由题意4(10)200000.6(20)200000.3(50)200000.11010a a c -⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯-⨯ (200000.6200000.3200000.1)0.2a a b ≥⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯，化简得9275a b +≥．所以每张保单的保费需要满足9275a b +≥；(2)若企业不与保险公司合作，则安全支出即赔偿金的期望值为 44455412120000(0.6100100.3100100.15010)1720000101010⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯， 若企业与保险公司合作，则安全支出即赔偿金的期望值为 20000(0.60.30.1)0.6(9)0.0620000a a b a b ⨯⨯+⨯+⨯⨯=+⨯⨯，由(9)0.06200001720000a b +⨯⨯<⨯，得9283.33a b +<，结果与（1）不冲突，所以企业有可能与保险公司合作．变式2．（2022·黑龙江实验中学模拟预测（理））为考察本科生基本学术规范和基本学术素养，某大学决定对各学院本科毕业论文进行抽检，初步方案是本科毕业论文抽检每年进行一次，抽检对象为上一学年度授予学士学位的论文，初评阶段，每篇论文送3位同行专家进行评审，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的毕业论文，将认定为“存在问题毕业论文”.3位专家中有1位专家评议意见为“不合格”，将再送2位同行专家（不同于前3位）进行复评.复评阶段，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”，将认定为“存在问题毕业论文”.每位专家，判定每篇论文“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇毕业论文是否被判定为“不合格”相互独立. (1)若12p =，求每篇毕业论文被认定为“存在问题毕业论文”的概率是多少； (2)学校拟定每篇论文需要复评的评审费用为180元，不需要复评的评审费用为90元，则每篇论文平均评审费用的最大值是多少？【解析】(1)设每篇毕业论文被认定为“存在问题毕业论文”为事件A ，则()()()()223221331111p A p C p p C p p p ⎡⎤=+-+---⎣⎦， 12p =，()2532p A ∴=；(2)设每篇文章的评审费用为X 元，则X 的可能取值为90，180，则()()2131801P X C p p ==-，()()2139011P X C p p ==--； ()()()()222113390111801270190E X C p p C p p p p ⎡⎤∴=⨯--+⨯-=-+⎣⎦.令()()21g p p p =-，()0,1p ∈，则()()()()()2121311g p p p p p p '=---=--.当10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '>，()g p 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，当1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '<，()g p 在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()g p ∴的最大值为14327g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴每篇论文平均评审费用的最大值是130元.变式3．（2022·安徽·二模（理））某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为p ，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验5件该产品，且每 件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检 验方案：将产品每k 个()5k ≤一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验1次或1k +次．设该工厂生产1000件该产品，记每件产品的平均检验次 数为X ． （1）求X 的分布列及其期望；（2）（i ）试说明，当p 越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少； （ii ）当0.1p =时，求使该方案最合理时k 的值及1000件该产品的平均检验次数．【解析】（1）()11k P X p k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭由题，X 的可能取值为 1k 和1k k + ()111k k P X p k +⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，故X 的分布列为()()()()1111111k k kk E X p p p k k k+⎡⎤=-+--=--+⎣⎦ ()()2i 由()1记()()111k f p p k=--+，因为0k >， 所以 ()f p 在()0,1p ∈上单调递增 ，故p 越小，()f p 越小，即所需平均检验次数越少，该方案越合理()ii 记()()11g 1110.9k k k p k k=--+=-+ 当()1g k <且取最小值时，该方案最合理，因为()()1 1.1,20.69g g ==，()()30.604,40.594g g ≈≈，()50.61g ≈ 所以4k =时平均检验次数最少，约为10000.594594⨯=次．题型二：n 次独立重复试验例4．（2022·河北衡水·高三阶段练习）进入2021年以来，国家提倡大学生毕业自主创业，根据已知的调查可知，大学生创业成功与失败的概率分别为a ，b ，且2a b =，则某高校四名大学生毕业后自主创业，其中至少有两名大学生创业成功的概率为（ ） A ．881B ．89C ．724D ．523【答案】B【解析】由题意21a b a b =⎧⎨+=⎩，解得2313a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则四名大学生至少有两名创业成功的概率341421181C 3339P ⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B ．例5．（2022·全国·模拟预测）某同学随机掷一枚骰子4次，则该同学得到1点或5点的次数超过2次的概率为（ ） A ．19B ．727C ．827D ．829【答案】A【解析】该同学随机掷一枚骰子，得到1点或5点的概率为13，则该同学掷一枚骰子4次，得到1点或5点的次数超过2次的概率3434441111C 1C 3339P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A.例6．（2022·全国·高三专题练习）体育课上进行投篮测试，每人投篮3次，至少投中1次则通过测试．某同学每次投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） A ．0.064 B ．0.600C ．0.784D ．0.936【答案】D【解析】该同学通过测试的概率为310.40.936-=， 故选：D变式4．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）有甲､乙两个盒子，甲盒子中装有2个小球，乙盒子中装有4个小球，每次随机取一个盒子并从中取一个球. (1)求甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球的概率：(2)当其中一个盒子中的球被取完时，记另一个盒子恰剩下ξ个球，则求ξ的分布列与数学期望()E ξ. 【解析】（1）甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球，意味着总共取了四次球，第四次取到的一定是甲盒中的球，前三次中有一次取到甲盒中的球，另外两次取的是乙盒中的球， 所以223112213C 216p ⎛⎫== ⎪⨯⨯⎝⎭（2）由题意知：ξ的可能取值为1.2.3.4，当1ξ=时，总共取了5次球，剩余的一个球可能在甲盒子中，也可能在乙盒子中，若剩余的一个球在甲（乙）盒子中，则第5次取到的是乙（甲）盒子中的球，前4次有一次取到甲盒子中的球，另外3次取到乙盒子中的球， 所以553344111(1)C C 224P ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当2ξ=时，总共取了4次球，剩余的2个球可能在甲盒子中，也可能在乙盒子中， 若剩余的2个球在甲盒子中，则4次均取到乙盒子中的球，若剩余的2个球在乙盒子中，则第4次取到甲盒中的球，前3次有1次取到甲盒中的球，有2次取到乙盒子中的球，故444423111(2)C C 224P ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当3ξ=时，总共取了3次球，剩余的3个球一定在乙盒子中，第3次一定取到的是甲盒中的球，前2次有1次取到甲盒中的球，有1次取到乙盒子中的球，所以31211(3)C 24P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，当4ξ=时，总共取了2次球，剩余的4个球一定在乙盒子中，前2次均取到甲盒中的球， 故22211(4)C 24P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.即ξ的分布列为：计算可得：()2E ξ=变式5．（2022·江苏南通·模拟预测）某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲､乙两人比赛，甲每局获胜的概率为12.(1)在一场比赛中，甲的积分为X ，求X 的概率分布列； (2)求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率. 【解析】（1）由题意可知，X 可能取值为0，1，2，3 ，当X 0=时，则前三场比赛都输或前三场比赛赢一场且第四场比赛输， 则312311115(0)(1)C (1)(1)222216P X ==-+⋅⋅--=，当1X =时，前四场比赛赢两场且第五场比赛输， 则22241113(1)C ()(1)(1)22216P X ==⋅⋅-⋅-=；当2X =时，前四场比赛赢两场且第五场比赛赢， 则22241113(2)C ()(1)22216P X ==⋅⋅-⋅=，当3X =时，前三场比赛都赢或前三场比赛赢两场且第四场比赛赢， 则322311115(3)()C ()(1)222216P X ==+⋅⋅-⋅=，故X 的概率分布列如下：5分为事件A ， 则甲的三场比赛积分分别为1、1、3或者0、2、3或者1、2、2， 故33335535333333()3A 31616161616161616162048P A =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=， 故甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为3332048. 变式6．（2022·河北衡水·高三阶段练习）我国出现了新冠疫情后，医护人员一直在探索治疗新冠的有效药，并对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，分成,A B 两组，A 组3人，服用甲种中药，B 组3人，服用乙种中药.服药一个疗程后，A 组中每人康复的概率都为45，B 组3人康复的概率分别为933,,1044. (1)设事件M 表示A 组中恰好有1人康复，事件N 表示B 组中恰好有1人康复，求()P MN ； (2)求A 组康复人数比B 组康复人数多的概率.【解析】（1）依题意有，()2134412C 155125P M ⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭，()129111133C 1044104432P N =⨯⨯+⨯⨯⨯=， 又事件M 与N 相互独立， 则()()()1239125321000P MN P M P N ==⨯=； （2）设A 组中服用甲种中药康复的人数为X ，则43,5XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()21341121C 55125P X ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭， ()22314482C 55125P X ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭， ()3334643C 5125P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭， 设B 组中服用乙种中药康复的人数为Y ，则Y 的可能取值为0,1,2,3，()111101044160P Y ==⨯⨯= ()12911113151C 10441044160P Y ==⨯⨯+⨯⨯⨯=， ()12931133632C 10441044160P Y ==⨯⨯⨯+⨯⨯=， A 组康复人数比B 组康复人数多的概率()()()()()10201P P X P Y P X P Y P Y ⎡⎤==⨯=+=⨯=+=⎣⎦ ()()()()14593012.5000P X P Y P Y P Y ⎡⎤+=⨯=+=+==⎣⎦ 变式7．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为23，乙胜的概率为13．比赛采用“三局两胜”制，先胜二局者获胜．商定每局比赛（决胜局第三局除外）胜者得3分，败者得1分；决胜局胜者得2分，败者得0分．已知各局比赛相互独立． (1)求比赛结束，甲得6分的概率；(2)设比赛结束，乙得X 分，求随机变量X 的概率分布列与数学期望． 【解析】（1）记事件A ：“比赛结束，甲得6分”， 则事件A 即为乙以0:2败给甲或乙以1:2败给甲，所以21221224820()+C +=333392727P A ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭． （2）由题意得，X 可取2,4,6，则224(2)39P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 121228(4)C 33327P X ==⨯⨯⨯=，21212117(6)C 333327P X ⎛⎫==⨯⨯⨯+= ⎪⎝⎭，即X 的分布列为X 的数学期望为()2469272727E X =⨯+⨯+⨯=． 变式8．（2022·全国·高三专题练习）“民族要复兴，乡村必振兴”，为了加强乡村振兴宣传工作，让更多的人关注乡村发展，某校举办了有关城乡融合发展、人与自然和谐共生的知识竞赛.比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为35，且相互间没有影响.(1)求选手甲被淘汰的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X ，试求X 的分布列和数学期望. 【解析】（1）设“选手甲被淘汰”为事件A ，因为甲答对每个题的概率均为35，所以甲答错每个题的概率均为25.则甲答了3题都错，被淘汰的概率为33328C 5125⎛⎫= ⎪⎝⎭；甲答了4个题，前3个1对2错，被淘汰的概率为22323272C 555625⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭；甲答了5个题，前4个2对2错，被淘汰的概率为2224322432C 5553125⎛⎫⎛⎫⋅⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 所以选手甲被海的概率()87243299212562531253125P A =++=. （2）易知X 的可能取值为3，4，5，对应甲被淘汰或进入复赛的答题个数，则()3333333273C C 5525P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2222333232322344C C 555555625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2224322165C 55625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.X 的分布列为则()21625622541 3456255625E X=⨯+⨯+⨯=.【方法技巧与总结】（1）在解复杂的题目时，可利用“正难则反”的思想，通过考查原事件的对立事件来求其概率．（2）运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解；在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．（3）解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验．题型三：二项分布例7．（2022·全国·高三专题练习）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形小木块（如图所示），并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔的小球，当小球从之间的间隙下落时，于是碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块.如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内，则小球落到第⑤个格子的概率是（）A．532B．516C．316D．332【答案】A【解析】小球落到第⑤个格子的概率是4151152232 C⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭.故选：A例8．（2022·全国·高三专题练习）从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则()D X=（）A．157B．207C．2521D．6049【答案】D【解析】由题意得：从一个装有4个白球和3个红球的袋子中取出一个球，是红球的概率为33347=+， 因为是有放回的取球，所以35,7X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以3360()517749D X ⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭ 故选：D例9．（2022·全国·高三专题练习（理））某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能(即概率最大)是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【解析】根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为2011005=，设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为ξ，则1~20,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中202014()C 55k kk P k ξ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,,20k =，当1k时，由()(1)()(1)P k P k P k P k ξξξξ=≥=+⎧⎨=≥=-⎩，得201191202020121120201414C C 55551414C 5555k k k kk k k k k kk k C -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，化简得4(1)20214k k k k +≥-⎧⎨-≥⎩， 解得162155k ≤≤，又k ∈Z ，∴4k =，∴这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4. 故选：C.变式9．（2022·全国·高三专题练习（理））为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则()80P X ≥-=（ ） A ．27128B ．243256C ．43256D ．83128【答案】B【解析】由题意得该产品能销售的概率为113116104⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，易知X 的所有可能取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160， 设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则34,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()43C 4kk P k ξ⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭414k-⎛⎫⎪⎝⎭，所以()()22243127802C 44128P X P ξ⎛⎫⎛⎫=-==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()31343140(3)44P X P C ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2764=，40443181(160)(4)C 44256P X P ξ⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故()()()808040P X P X P X ≥-==-+=+()160P X =， 27278124312864256256=++=， 故选：B ．变式10．（2022·全国·高三专题练习）某工厂产品合格的概率均为p ，各产品合格与否相互独立．设X 为该工厂生产的5件商品中合格的数量，其中() 1.2D X =，(2)(3)P X P X =<=，则p =（ ） A ．0.7 B ．0.6 C ．0.4 D ．0.3【答案】B【解析】由已知X 服从与参数为5，p 的二项分布，∴ ()5(1)D X p p =⨯⨯-，2235(2)(1)P X C p p ==-，3325(3)(1)P X C p p ==-，又() 1.2D X =，(2)(3)P X P X =<=， ∴ (1)0.24p p -=，1p p -<， ∴ 0.6p =， 故选：B.变式11．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）某种植户对一块地上的n （*n ∈N ）个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为12，且每粒种子是否发芽相互独立.如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种.（1）当n 取何值时，有3个坑要补种的概率最大？最大概率为多少？ （2）当4n =时，用X 表示要补种的坑的个数，求X 的分布列.【解析】（1）由题意可知每个坑要补种的概率3213311112222P C C ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则n 个坑中有3个坑要补种的概率为312nnC ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 欲使312nn C ⎛⎫ ⎪⎝⎭最大，只需1331133111221122nn n n n n n n C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 解得56n ≤≤.因为n *∈N ，所以5n =，6.当5n =时，53515216C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当6n =时，63615216C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以当5n =或6n =时，有3个坑要补种的概率最大，最大概率516. （2）易知X 的取值范围为{}0,1,2,3,4，且14,2XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因此4040111(0)2126P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1314111(1)224P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2224113(2)228P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4313111(3)242P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4404111(4)2126P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为自行车分红、绿两种，投放比例是3∶1．监管部门为了了解这两种颜色电动自行车的性能，决定从中随机抽取4辆电动自行车进行骑行体验，假设每辆电动自行车被抽取的可能性相等． (1)求抽取的4辆电动自行车中至少有3辆是绿色的概率；(2)在骑行体验中，发现红色电动自行车的综合评分较高，监管部门决定从该次投放的这批电动自行车中随机地抽取一辆绿色电动自行车，送技术部门做进一步性能检测，并规定，若抽到的是绿色电动自行车，则抽样结束：若抽取的是红色电动自行车，则将其放回后，继续从中随机地抽取下一辆电动自行车，且规定抽取的次数最多不超过()n n *∈N 次在抽样结束时，设已抽到的红色电动自行车的数量用ξ表示，问：ξ的数学期望能否超过3？【解析】（1）∵抽取一辆电动车为绿色的概率为14∴4辆电动车至少有3辆是绿色的概率3334441313113C C 44416256256⎛⎫⎛⎫=⋅⨯+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P ． （2）ξ的所有可能取值为0，1，2…，n213131(0),(1),(2),44444⎛⎫====⨯==⨯⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭P P P ξξξ，1313(1),()444n nP n P n ξξ-⎛⎫⎛⎫=-=⨯== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ξ的分布列如下：13333()2(1)44444⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅++-⋅+⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦E n n ξ记213332(1)444-⎛⎫⎛⎫=+⋅++-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n S n ①∴213333(2)(1)4444-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n nn S n n ②①-②得：2113333(1)44444n nn S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()11331443333(1)33(1)344441334n n n n n n n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=--⋅=-⋅--⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+⎝⎝=-⎭⎭-∴3()3334⎛⎫=-⋅< ⎪⎝⎭nE ξ，∴ξ的数学期望不能超过3．变式13．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占12，通过电视收看的约占13，其他为未收看者：(1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；(2)从被调查对象中随机选取3人，用X 表示通过电视收看的人数，求X 的分布列和期望． 【解析】（1）记事件A 为至少有1人通过手机收看，由题意知，通过手机收看的概率为12，没有通过手机收看的概率为112-，则()3171128P A ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭；（2）由题意知：13,3XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则X 的可能取值为0，1，2，3，()03031280C 3327P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()121312121C 3327P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()21231262C 3327P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()30331213C 3327P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 所以X 的分布列为：所以()313E X ⨯==.变式14．（2022·江苏·新淮高中三模）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.（Ⅰ）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（Ⅰ）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为X ，求X 的分布列与数学期望.【解析】（Ⅰ）记“小球落入4号容器”为事件A ，若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左，∴理论上，小球落入4号容器的概率43411()24P A C ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（Ⅰ）落入4号容器的小球个数X 的可能取值为0，1，2，3，。
2023 届高考数学复习：历年经典好题专项(二项分布与超几何分布、正态分布)练习(附答案)
粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的
(-100)
1
e- 200
10√2π
株高,得出株高 X(单位:cm)服从正态分布,其密度曲线函数为 f(x)=
法正确的是(
4
5
率为 ,则连续测试 4 次,至少有 3 256
625
64
625
B.
C.
)
D.
64
125
3.从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛,设随机变量 ξ 表示所选 3 人中女生的人数,则
P(ξ≤1)等于
A.
(
1
5
2
5
3
5
B.
C.
D.
)
4
5
4.(历年福建福州高三检测)某市一次高三年级数学统测,经抽样分析,成绩 X 近似服从正态分布
)
A.该地水稻的平均株高为 100 cm
B.该地水稻株高的方差为 10
2
,x∈(-∞,+∞),则下列说
C.随机测量一株水稻,其株高在 120 cm 以上的概率比株高在 70 cm 以下的概率大
D.随机测量一株水稻,其株高在(80,90)和在(100,110)(单位:cm)的概率一样大
8.设事件 A 在每次试验中发生的概率相同,且在三次独立重复试验中,若事件 A 至少发生一次的概率
到样本的频率分布直方图,如图所示.
(1)根据频率分布直方图,求质量超过 500 克的产品数量;
(2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 Y 为质量超过 505 克的产品数量,求 Y 的分布列.
高三数学概率专题复习：二项分布、几何分布、超几何分布、正态分布、离散型随机变量的期望与方差等五大专题
2011年高考数学正态分布几何分布超几何分布离散型随机变量专项突破精选真题汇编与讲解分析答案第一部分第五节离散型随机变量的分布列一、选择题1．抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验结果是()A．两颗都是2点B 一颗是3点，一颗是1点C．两颗都是4点D．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点解析：对A、B中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，而D是ξ＝4代表的所有试验结果．掌握随机变量的取值与它刻画的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键．答案：D2．下列分布列中，是离散型随机变量分布列的是()A.B.C.D.解析：只有选项C中的概率之和等于1，选C.答案：C3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次该项试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于( )A ．0 B.13 C.12 D.23解析：1－P (ξ＝0)＝2P (ξ＝0)，即P (ξ＝0)＝13.答案：B4．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C47C68C1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)解析：由分子C47C68可知是从7个不方便的村庄中选4个，从8个方便的村庄中选6个，∴X ＝4，∴是P (X ＝4)的概率．答案：C5．若离散型随机变量X 的分布列为：则常数q 的值为( )A ．1 B. 1±22 C. 1＋22 D. 1－22解析：由12＋(1－2q )＋q 2＝1，解得q ＝1－22或q ＝1＋22，又∵q 2∈[0,1]，∴q ＝1＋22舍去．∴q ＝1－22. 答案：D 二、填空题6．随机变量X 等可能取值为1,2,3，……，n ，如果P (X ＜4)＝0.3，那么n ＝________. 解析：∵P (X ＜4)＝ P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n ＝0.3，∴n ＝10. 答案：107．随机变量ξ的分布列为若a ＋c ＝2b ，则P (|ξ|＝1)＝________.解析：∵a ＋c ＝2b ，又∵a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，a ＋c ＝23，于是P (|ξ|＝1)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝－1)＝a ＋c ＝23.答案：238．若离散型随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝c2k ，k ＝1,2,3,4,5,6.其中c 为常数，则P (X ≤2)的值是________．解析：由c 2＋c 4＋c 8＋c 16＋c 32＋c 64＝1，可得c ＝6463.∴P (X ≤2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝3263＋1663＝4863＝1621.答案：1621三、解答题9．(2009年广州调研)一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子)，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品．(1)求这箱产品被用户接收的概率； (2)记抽检的产品件数为ξ，求ξ的分布列．解析：(1)设“这箱产品被用户接收”为事件A ，P (A )＝8×7×610×9×8＝715，即这箱产品被用户接收的概率为715. (2)ξ的可能取值为1,2,3.P (ξ＝1)＝210＝15，P (ξ＝2)＝810×29＝845，P (ξ＝3)＝810×79＝2845，∴ξ的分布列为10.(2009年广州模拟)50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：(1)从这50(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A 版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列． 解析：(1)从50名教师中随机选出2名的方法数为C250＝1225. 选出2人使用版本相同的方法数为C 220＋C 215＋C 25＋C 210＝350， 故2人使用版本相同的概率为：P ＝3501225＝27.(2)∵P (ξ＝0)＝C215C235＝317，P (ξ＝1)＝C120C115C235＝60119，P (ξ＝2)＝C220C235＝38119，∴ξ的分布列为第二部分第六节 二项分布、超几何分布、正态分布一、选择题1．设随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (ξ＝3)的值为( ) A.516 B.316 C.58 D.716 解析：P (ξ＝3)＝C36⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫1－123＝516. 答案：A2．设随机变量ξ ～ B (2，p )，随机变量η ～ B (3，p )，若P (ξ ≥1) ＝59，则P (η≥1) ＝( )A.13B.59C.827D.1927解析：∵P (ξ≥1) ＝2p (1－p )＋p 2＝59， ∴p ＝13，∴P (η≥1) ＝C 13⎝⎛⎭⎫13⎝⎛⎭⎫232＋C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫23＋C 33⎝⎛⎭⎫133＝1927，故选D. 答案：D3．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)＝( )A ．C 1012⎝⎛⎭⎫3810·⎝⎛⎭⎫582B ．C 911⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582·38C ．C 911⎝⎛⎭⎫589·⎝⎛⎭⎫382D ．C 911⎝⎛⎭⎫389·⎝⎛⎭⎫582 解析：P (ξ＝12)表示第12次为红球，前11次中有9次为红球，从而P (ξ＝12)＝C 911·⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582×38. 答案：B4．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．[0.4,1)B ．(0,0.6]C ．(0,0.4]D ．[0.6,1)解析：C14p (1－p )3≤C24p 2(1－p )2，即2(1－p )≤3p ， ∴p ≥0.4.又∵p <1，∴0.4≤p <1. 答案：A5．(2009年湖南四市联考)已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ＜0)＝( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 解析：∵P (ξ≤4)＝0.84，μ＝2，∴P (ξ＜0) ＝P (ξ＞4)＝1－0.84＝0.16.故选A. 答案：A 二、填空题6．某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率________．(用数值作答)解析：由题意知所求概率P ＝C 310⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫127＝15128. 答案：151287．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出两个球，设其中有X 个红球，则X 的分布列为________．解析：这是超几何分布，P (X ＝0)＝C 03C 22C 25＝0.1；P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝0.6; P (X ＝2)＝C 23C 02C 25＝0.3，分布列如下表：答案：8.某厂生产的圆柱形零件的外径ε1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm.则该厂生产的这批零件是否合格________．解析：根据3σ原则，在4－3×0.5＝2.5——4＋3×0.5＝5.5之外为异常，所以这批零件不合格． 答案：不合格 三、解答题9．(2008年四川延考)一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A 类、B 类、C 类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C 类产品或2件都是B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A 类品，B 类品和C 类品的概率分别为0.9,0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响．(1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；(2)若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列． 解析：(1)设A i 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为A 类品”， i ＝1,2.B i 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为B 类品”， i ＝1,2.C 表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”． 则C ＝A 1·A 2＋A 1·B 2＋B 1·A 2.由已知P (A i )＝0.9，P (B i )＝0.05 i ＝1,2. 所以，所求的概率为P (C )＝P (A 1·A 2)＋P (A 1·B 2)＋P (B 1·A 2) ＝0.92＋2×0.9×0.05＝0.9.(2)由(1)知一次抽检后，设备需要调整的概率为p ＝P (C )＝1－0.9＝0.1，依题意知ξ～B (3,0.1)，ξ的分布列为10.(2009年南海一中月考的方式来进行，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．(1)求甲答对试题数ξ的概率分布； (2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率．解析：(1)依题意，甲答对试题数ξ的可能取值为0、1、2、3，则 P (ξ＝0)＝C 34C 310＝130，P (ξ＝1)＝C 16·C 24C 310＝310，P (ξ＝2)＝C 26·C 14C 310＝12，P (ξ＝3)＝C 36C 310＝16，其分布列如下：(2)法一：设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P (A )＝C 26C 14＋C 36C 310＝60＋20120＝23， P (B )＝C 28C 12＋C 38C 310＝56＋56120＝1415.因为事件A 、B 相互独立，∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 P()A ·B ＝P ()A ·P ()B ＝⎝⎛⎭⎫1－23⎝⎛⎭⎫1－1415＝145， ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P ＝1－P()A ·B ＝1－145＝4445. 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.法二：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为 P ＝P ()A ·B＋P ()A ·B ＋P ()A ·B ＝23×115＋13×1415＋23×1415＝4445. 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445第三部分第七节 离散型随机变量的期望与方差一、选择题1．下列是4个关于离散型随机变量ξ的期望和方差的描述①Eξ与Dξ是一个数值，它们是ξ本身所固有的特征数，它们不具有随机性 ②若离散型随机变量一切可能取值位于区间[]a ，b 内，则a ≤Eξ≤b③离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，而方差反映的是随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度④离散型随机变量的期望值可以是任何实数，而方差的值一定是非负实数 以上4个描述正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：D2．设Eξ＝10，Eη＝3，则E (3ξ＋5η)＝( ) A ．45 B ．40 C ．35 D ．15 解析：E (3ξ＋5η)＝3Eξ＋5Eη＝3×10＋5×3＝45. 答案：A3．已知随机变量X 的分布列是：且EX ＝7.5，则a 的值为( A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 解析：b ＝1－0.3－0.1－0.2＝0.4EX ＝4×0.3＋a ×0.1＋9×0.4＋10×0.2＝7.5. ∴a ＝7. 答案：C4．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4 解析：ξ＝0,1,2,3，此时P (ξ＝0)＝0.43，P (ξ＝1)＝0.6×0.42，P (ξ＝2)＝0.6×0.4，P (ξ＝3)＝0.6，Eξ＝2.376. 答案：C5．口袋中有5只相同的球，编号为1、2、3、4、5，从中任取3球，用ξ表示取出的球的最大号码，则Eξ＝( )A ．4B ．4.75C ．4.5D ．5 解析：P (ξ＝3)＝1C 35＝110， P (ξ＝4)＝C 23C 35＝310，P (ξ＝5)＝C 24C 35＝35Eξ＝3×0.1＋4×0.3＋5×0.6＝4.5. 答案：C 二、填空题6．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是______．解析：EA 1＝50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7， EA 2＝70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5， EA 3＝－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7， EA 4＝98×0.25＋82×0.30＋(－10)×0.45＝44.6. 在四个均值中，EA 3最大，所以应选择的方案是A 3. 答案：A 37．(2009年上海卷)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ＝________(结果用最简分数表示)．解析：首先ξ∈{0,1,2}．∴P (ξ＝0)＝C25C27＝1021，P (ξ＝1)＝C12C15C27＝1021，P (ξ＝2)＝C22C27＝121.∴Eξ＝0·1021＋1·1021＋2·121＝1221＝47.答案：478．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的方差是________．解析：一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次，向上的数之积可能为ξ＝0,1,2,4，则P (ξ＝0)＝C 13C 13＋C 13C 12＋C 12C 13＋C 13C 11＋C 11C 13C 16C 16＝34， P (ξ＝1)＝C 12C 12C 16C 16＝19，P (ξ＝2)＝C 12C 11＋C 11C 12C 16C 16＝19，P (ξ＝4)＝C 11C 11C 16C 16＝136， ∴ Eξ＝19＋29＋436＝49.∴Dξ＝⎝⎛⎭⎫0－492×34＋⎝⎛⎭⎫1－492×19＋⎝⎛⎭⎫2－492×136＝182729. 答案：182729三、解答题9．(2009年浙江卷)在1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数． (1)求这3个数中恰有1个偶数的概率；(2)记ξ为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时ξ的值是2)．求随机变量ξ的分布列数学期望Eξ及方差Dξ. 解析：(1)记“这3个数中恰有一个是偶数”为事件A ， 则P (A )＝C14C25C39＝1021.(2)随机变量ξ的取值为0,1,2.ξ的分布列是所以ξ的数学期望Eξ＝0×512＋1×12＋2×112＝23. Dξ＝⎝⎛⎭⎫0－232×512＋⎝⎛⎭⎫1－232×12＋⎝⎛⎭⎫2－232×112＝2154. 10．(2009年山东卷)在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次．某同学在A 处的命中率q 1为0.25，在B 处的命率为q 2.该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为(1)求q 2的值；(2)求随机变量ξ的数学期望Eξ；(3)试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小． 解析：(1)由题设知，“ξ＝0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，由对立事件和相互独立事件性质可知P (ξ＝0)＝(1－q 1)(1－q 2)2＝0.03，解得q 2＝0.8.(2)根据题意P 1＝P (ξ＝2)＝(1－q 1)C12(1－q 2)q 2＝0.75×2×0.2×0.8＝0.24.P 2＝P (ξ＝3)．＝q 1(1－q 2)2＝0.25×(1－0.8)2＝0.01.P 3＝P (ξ＝4)＝(1－q 1)q 22＝0.75×0.82＝0.48.P 4＝P (ξ＝5)＝q 1q 2＋q 1(1－q 2)q 2＝0.25×0.8＋0.25×0.2×0.8＝0.24.因此Eξ＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.(3)用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”，用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”，则P(C)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝P3＋P4＝0.48＋0.24＝0.72.P(D)＝q22＋C12q2(1－q2)q2＝0.82＋2×0.8×0.2×0.8＝0.896.故P(D)>P(C)．即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处投以后都在B处投得分超过3分的概率。
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9道题分清超几何分布和二项分布（含答案）一．解答题（共9小题）1．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A，B，C的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过A，B，C每个项目测试的概率都是．（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的概率分布和数学期望．2．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；（Ⅱ）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．(3．随着全民健康运动的普及，每天一万步已经成为一种健康时尚，某学校为了教职工能够健康工作，在全校范围内倡导“每天一万步”健康走活动，学校界定一人一天走路不足4千步为“健步常人”，不少于16千步为“健步超人”，其他人为“健步达人”，学校随机抽取抽查人36名教职工，其每天的走步情况统计如下：步数[0，4000）[4000，16000）[16000，+∞]人数618-12现对抽查的36人采用分层抽样的方式选出6人，从选出的6人中随机抽取2人进行调查．（1）求这两人健步走状况一致的概率；（2）求“健步超人”人数X的分布列与数学期望．4．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛．据统计，2016年卫星导航与位置服务产业总产值达到2118亿元，较2015年约增长%．下面是40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求产值小于500万元的城市个数；（2）在上述抽取的40个城市中任取2个，设Y为产值不超过500万元的城市个数，求Y的分布列及期望和方差．？5．生蚝即牡蛎（oyster）是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：质量（g）[5，15）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55]10 12 8 4数量~6（1）若购进这批生蚝500kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；（2）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5，25）间的生蚝的个数为X，求X的分布列及数学期望．6．随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公示进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：~ 经常进行网络购物偶尔或从不进行网络购物合计男性50501006040100/女性合计11090200*（1）依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，从这5人中随机选出3人赠送网络优惠券，求出选出的3人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；（3）将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为X，求X的期望和方差．附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）&k0[7．手机QQ中的“QQ运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数．小明的QQ朋友圈里有大量好友参与了“QQ运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如表所示：步数性别（0，2500）[2500，5000）[5000，7500）[7500，10000）[10000，+∞）…男02472女1（3731（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明QQ朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有X名，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“QQ运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”．根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关积极型<消极型总计男女/总计附：．P（K2≥k0）)k0—8．某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：岗位男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数!女性录用比例A26916762%402460% /B401230%2026231%C$1775732%1845932%D44）59%382258%263267%E32…67%16936%总计53326450%·467（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记X为这2人中被录用的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）9．在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见图）．（1）填写下面的2×2列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”…（2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X，求X的分布列及数学期望．文科生理科生合计获奖5]不获奖合计<200附表及公式：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2≥k）'k-9道题分清超几何分布和二项分布参考答案与试题解析…一．解答题（共9小题）1．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A，B，C的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过A，B，C每个项目测试的概率都是．（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的概率分布和数学期望．【分析】（1）利用二项分布计算甲恰好有2次发生的概率；（2）由每人被录用的概率值，求出随机变量X的概率分布，计算数学期望值．【解答】解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为：；……（4分）（2）因为每人可被录用的概率为，所以，，，；故随机变量X的概率分布表为：@X0123 P(…………（8分）所以，X的数学期望为．……（10分）【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，是基础题．2．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．!（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；（Ⅱ）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，则P （A）=1﹣P．（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3．P（X=k）=，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，则P（A）=1﹣P =1﹣=．（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3．P（X=k ）=，>P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=．X的分布列为：X0123P&【点评】本题考查了对立与互相独立事件概率计算公式、超几何分布列与数学期望、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．随着全民健康运动的普及，每天一万步已经成为一种健康时尚，某学校为了教职工能够健康工作，在全校范围内倡导“每天一万步”健康走活动，学校界定一人一天走路不足4千步为“健步常人”，不少于16千步为“健步超人”，其他人为“健步达人”，学校随机抽取抽查人36名教职工，其每天的走步情况统计如下：;步数[0，4000）[4000，16000）[16000，+∞]人数61812:现对抽查的36人采用分层抽样的方式选出6人，从选出的6人中随机抽取2人进行调查．（1）求这两人健步走状况一致的概率；（2）求“健步超人”人数X的分布列与数学期望．【分析】（1）记事件A，这2人健步走状况一致，利用互斥事件概率计算公式能求出这两人健步走状况一致的概率．（2）X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）记事件A，这2人健步走状况一致，则．（2）X的可能取值为0，1，2，)所以，所以X的分布列为X 0 1 2P&所以．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查互斥事件概率计算公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．4．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛．据统计，2016年卫星导航与位置服务产业总产值达到2118亿元，较2015年约增长%．下面是40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求产值小于500万元的城市个数；（2）在上述抽取的40个城市中任取2个，设Y为产值不超过500万元的城市个数，求Y的分布列及期望和方差．，【分析】（1）根据频率分布直方图，能求出产值小于500万元的城市个数．（2）由Y的所有可能取值为0，1，2．分别滶出相应的概率，由此能求出Y的分布列及期望和方差．【解答】解：（1）根据频率分布直方图可知，产值小于500万元的城市个数为：[（+）×5]×40=14．（2）Y的所有可能取值为0，1，2．，，．?∴Y的分布列为：Y012P，期望为：，方差为：．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布、期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．5．生蚝即牡蛎（oyster）是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：质量（g）[5，15）#[15，25）[25，35）[35，45）[45，55]数量 6 10 12【84（1）若购进这批生蚝500kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；（2）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5，25）间的生蚝的个数为X ，求X的分布列及数学期望．【分析】（1）估算妹纸生蚝的质量为，由此能估计这批生蚝的数量．（2）任意挑选一只，质量在[5，25）间的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由表中的数据可以估算妹纸生蚝的质量为：，|所以购进500kg，生蚝的数量为500000÷≈17554（只）．（2）由表中数据知，任意挑选一只，质量在[5，25）间的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，4，则，，∴X的分布列为：X 0—12 3 4P:∴．【点评】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6．随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公示进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：经常进行网络购物-合计偶尔或从不进行网络购物男性5050100100女性60}40合计11090200（1）依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，从这5人中随机选出3人赠送网络优惠券，求出选出的3人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；/（3）将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为X，求X的期望和方差．附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）`k0【分析】（1）由列联表数据求出K 2≈＜，从而不能在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民网购情况与性别有关．（2）由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有3人，偶尔或从不进行网购的有2人，由此能求出从这5人中选出3人至少有2人经常进行网购的概率．、（3）由列联表可知，经常进行网购的频率为，由题意，从该市市民中任意抽取1人恰好是经常进行网购的概率是，由于该市市民数量很大，故可以认为X～B（10，），由此能求出X的期望和方差．【解答】解：（1）由列联表数据计算K2=≈＜，∴不能在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民网购情况与性别有关．（2）由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有5×=3人，偶尔或从不进行网购的有5×=2人，故从这5人中选出3人至少有2人经常进行网购的概率是p=+=．（3）由列联表可知，经常进行网购的频率为，由题意，从该市市民中任意抽取1人恰好是经常进行网购的概率是，^由于该市市民数量很大，故可以认为X～B（10，），∴E（X）=，D（X）==．【点评】本题考查独立性检验及应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7．手机QQ中的“QQ运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数．小明的QQ朋友圈里有大量好友参与了“QQ运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如表所示：步数性别—（0，2500）[2500，5000）[5000，7500）[7500，10000）[10000，+∞）男02~472女1373&1（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明QQ朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有X名，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“QQ运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”．根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关积极型消极型总计男}女总计》附：．P（K2≥k0）《k0【分析】（Ⅰ）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为．X可能取值分别为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（Ⅱ）完成2×2列联表求出k 2的观测值k0≈＜．据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．*【解答】解：（Ⅰ）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为．X可能取值分别为0，1，2，3，∴，，，，∴X的分布列为X 0[231P·则．（Ⅱ）完成2×2列联表如下：积极型消极型总计男9—156女41115总计13—3017k2的观测值=．据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查独立检验的应用，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．8．某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：岗位.男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数女性录用比例A269、16762%402460%B4012}30%2026231%C1775732%，1845932%D442659%38.2258%E3267%32：67%总计53326450%46716936%$（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记X为这2人中被录用的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）【分析】（I）根据录用总人数与应聘总人数的比值得出概率；（II）根据超几何分布列的概率公式得出分布列和数学期望；（III）去掉一个岗位后计算剩余4个岗位的男女总录用比例得出结论．【解答】解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为533+467=1000，被该企业录用的人数为264+169=433，?所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为．（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2．因为应聘E岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，所以；；．所以X 的分布列为：X01]2P．（Ⅲ）取掉A岗位后，男性的总录用比例为≈%，女性的总录用比例为≈%，故去掉A岗位后，男、女总录用比例接近．'∴这四种岗位是：B、C、D、E．【点评】本题考查了古典概型的概率计算，离散型随机变量的分布列，属于中档题．9．在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见图）．（1）填写下面的2×2列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”（2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X，求X的分布列及数学期望．文科生理科生合计获奖5不获奖合计200附表及公式：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2≥k）k【分析】（1）列出表格根据公式计算出K2，参考表格即可得出结论．（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X～B（3，）．即可得出．【解答】解：（1）文科生理科生合计获奖53540不获奖45115160合计50150200k==≈＞，所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”．（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X～B（3，）．P（X=k）=×（）k（1﹣）3﹣k（k=0，1，2，3），X0123PE（X）=3×=．【点评】本题考查了独立性检验原理、二项分布列的概率计算公式与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。