2.导热基本定律
传热学-第二章-导热基本定律及稳态导热
dQx qx dydz d
[J]
d 时间内、沿 x 轴方向、经 x+dx 表面导出的热量：
dQxdx qxdx dydz d [J]
ห้องสมุดไป่ตู้
qxdx
qx
qx x
dx
d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQx
dQxdx
qx x
dxdydz d
气体的压力升高时：气体的密度增大、平均自由行程 减小、而两者的乘积保持不变。
除非压力很低或很高，在2.67*10-3MPa ~ 2.0*103MPa范围内， 气体的热导率基本不随压力变化
气体的温度升高时：气体分子运动速度和定容比热随T升高 而增大。 气体的热导率随温度升高而增大
混合气体热导率不能用部分求和的方法求；只能靠实验测定
热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最大热流密度的
方向为方向、数值上正好等于沿该方向的热
流密度 q
直角坐标系中：
q
q
q qx i qy j qz k
q q cos
二、导热基本定律(Fourier’s law）
1822年，法国数学家傅里叶（Fourier）在实验研究基础上， 发现导热基本规律 —— 傅里叶定律
3、时间条件
说明在时间上导热过程进行的特点
x
y
z
直角坐标系：（Cartesian coordinates）
grad t t i t j t k
x
y
z
注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加的方向
热流密度矢量 （Heat flux）
热流密度：单位时间、单位面积上所传递的热量；
导热基本定律
qxdydz
qx
qx x
dxdydz
qx dxdydz
同理在y,z方向热量差
x y
ydy
qy y
dxdydz
z
zdz
qz z
dxdydz
如单位体积内热源生成的热量为 Φ ，则微元体内产生的
热量：
Φ dxdydz
微元体内热量的增加（内能的增加）为：
c t dxdydz
代入能量平衡方程：
c t [( t )] [( t )] [( t )] Φ x x y y z z
▪ 4、定解条件的数学表达
初始条件（initial condition）--初始时刻的状态表
示为： t =0 =f (x,y,z)
边界条件（boundary condition）--边界上的温度分 布或换热条件，分为三类： 第一类边界条件：规定了边界上的温度值（变量值）
温度分布 t = 0 =f (x,y,z) 〈2〉 边界条件（boundary condition）：边界上的温
度分布或换热条件。
边界条件的分类：
第一类边界条件：规定了边界上的温度值（变量值）
0 tw f ( )
第二类边界条件： 规定了边界上的热流密度（变 量梯度）
0
(
t n
)
w
f
( )
q y dy
qy dx qz
dz qxdx
dy
微元体热平衡
导入微元体的总热量-导出微元体的总热量 + 微元微元体内产生的热量 = 体内的热量增加
X方向导入热量
x qxdydz
导出热量
xdx qxdxdydz
qxdx 用Taylor级数展开
传热学(第二章)
⒉ 通过圆筒壁的导热 由导热微分方程式(2—12)
边界条件：r=r1时，t=t1；r=r2时，t=t2 对（2-25）式积分两次，得其通解： t = c1 ln r + c2 将边界条件代入通解，确定积分常数
t2 − t1 t −t c2 = t1 − ln r 2 1 ln( r2 / r ) ln( r2 / r ) 1 1 t −t t = t1 + 2 1 ln( r / r ) （2-26） 1 ln( r2 / r ) 1 dt λ t1 − t2 q = −λ = （2-27） dr r ln( r2 / r ) 1 c1 =
2 1
λ1
第二章
导热基本定律及稳态导热
2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其他变截面物体的导热 通过平壁、圆筒壁、
• 1∂ ∂T 1 ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T (λr + 2 (λ ) + (λ ) + Φ = ρcp ∂τ r ∂r ∂r) r ∂ϕ ∂ϕ ∂z ∂z d dt 简化变为 dr (r dr ) = 0 （2-25）
⒉ 通过圆筒壁的导热 根据热阻的定义，通过整个圆筒壁的导热热阻为 （2-29） 29） 与分析多层平壁—样，运用串联热阻叠加的原则，可得通过图2-9所示的多层圆筒壁的 导热热流量 2πl(t1 − t4 ) Φ= （2-30） ln( d2 / d1) / λ1 + ln( d3 / d2 ) / λ2 + ln( d4 / d3) / λ3 ⒊ 通过球壳的导热 导热系数为常数，无内热源的空心球壁。内、外半径为r1、r2，其内外表面均匀 恒定温度为t1、t2，球壁内的温度仅沿半径变化，等温面是同心球面。 由傅立叶定律得： dt 各同心球面上的热流率q不相等，而热流量Φ相等。 Φ = −4πr2λ dr dr ⇒Φ 2 = −4πλdt r
东南大学传热学 第二章 导热基本定律及稳态导热
本章重点讨论稳态导热问题。为此首先介绍 一些相关的基本知识，如温度场、温度剃度、 导热基本定律等；然后应用这些基本知识推 导出求解导热问题的微分方程；最后应用这 些微分方程求解常见的导热问题。
第一节 导热基本定律
温度场
• 定义：某一瞬间物体内的温度分布，称为温度场。 • 分类 1.按温度是否随时间而变化可分为 稳态温度场：物体内温度不随时间的变化而变化的温度场 非稳态温度场：物体内的温度随时间变化而变化的温度场 2.按温度随空间的变化可分为 一维温度场：温度只在一个方向有变化的温度场 二维温度场：温度在两个方向有变化的温度场 三维温度场：温度在三个方向有变化的温度场 • 表示：三种表示方法
n x y z
导热基本定律
• 傅立叶定律：单位时间内通过单位截面积所传 递的热量，正比例于当地垂直于截面方向上的 温度变化率，即温度剃度，其比例系数为导热 系数。
• 表示型式： A t n
n
导热系数
•
定义：
q
t n
n
• 物理意义：单位时间单位面积当温度变化率为1时，由导
热所传递的热量
• 影响因素：主要是物质的种类和物质所处的状态
第三节 通过平壁、圆筒壁、球壳和 其他变截面物体的导热
通过 平壁导热
通过 圆筒壁导热
通过 球壳导热
通过变导热 系数物体 的导热
单层平壁 多层平壁 单层圆筒壁 多层圆筒壁 单层球壳 多层球壳
通过单层平壁的导热
通过单层 平壁的导热
物理模型
数学描写
温度分布
热流量计算
数学描写
d 2t dx2 x
数学描写
温度分布
热流量计算
物理模型
热工基础4-2传热导热基本定律和稳态导热
1 h2
t2
t3
h2
tf2
单位：
w m2
t1
t2
t3
t2
三层平壁的稳态导热
通过多层平壁的导热
作业： P185 4-1
思考题: P184 9，10，11，15
三、单层圆筒壁的导热
假设单管长度为l，圆筒壁的外半径小于长度的1/10
一维、稳态、无内热源、常物性：
圆筒壁导热方程： d (r dt ) 0
22l
22l
第 i 层：
1 Ri
(ti
ti1)
ti1
ti
Ri
t1 (R1 R2 ... Ri )
通过多层圆筒壁的导热
例题：某炉壁由厚250mm的耐火土层和厚500mm的红 砖层组成。内、外壁温度各1000、50℃，红砖层的 热导率为0.7W/(m.K)，耐火土层的热导率为：
1 W /(m.K )
或 t a2t
（2）若无内热源，稳态导热：
2t x 2
2t y 2
2t z 2
0;
或:
2t 0
二、导热方程的单值性条件
对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充 说明条件的唯一解 单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件 完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件
单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界
第一类边条件：
x 0,
x ,
t t
直接积分，得： dt
dx
c1
tw1 tw2
t c1x
线性关系
c2
t1
t
带入边界条件
c1
t2
t1
c2 t1
o
x t2
导热基本定律
导热基本定律导热基本定律是研究物体传热过程中的一个基本原理，它描述了导热的规律和特性。
导热基本定律是热传导学中非常重要的一个定律，它对于我们理解物体的热传导行为和研究热传导过程具有重要的意义。
热传导是指热量从高温区域传递到低温区域的过程，它是由物质内部的分子热运动引起的。
导热基本定律告诉我们，热量在物体内部的传导速度与物体的温度梯度成正比，与物体的导热性能成反比。
根据导热基本定律，热量的传导速率与物体的温度梯度成正比。
温度梯度是指物体在空间上温度变化的速率。
例如，一个物体的一端温度为100℃，另一端温度为50℃，那么这个物体的温度梯度就是(100-50)/L，其中L为物体的长度。
温度梯度越大，热量的传导速率就越快。
导热基本定律还告诉我们，热量的传导速率与物体的导热性能成反比。
导热性能是指物体传导热量的能力，它与物体的导热系数有关。
导热系数越大，物体的导热性能就越好，热量的传导速率也就越快。
导热系数与物体的材料性质有关，例如金属的导热系数通常比非金属材料大。
导热基本定律的应用非常广泛。
在工程领域，我们常常需要计算物体的热传导速率，以便设计合适的散热装置。
例如，在电子设备中，为了保持设备正常工作温度，通常需要设计散热片或散热风扇来加速热量的散发。
利用导热基本定律，我们可以计算散热装置的尺寸和材料，以确保设备的热量得到有效散发。
在材料科学研究中，导热基本定律也是一个重要的工具。
通过研究不同材料的导热性能，我们可以了解材料的热传导特性，并在实际应用中选择合适的材料。
例如，在建筑材料的选用中，导热性能是一个重要的考虑因素。
对于冬季保温材料，我们希望材料导热系数较小，以减少室内热量的传导损失；而对于夏季隔热材料，我们希望材料导热系数较大，以阻止室外热量的传导入室内。
导热基本定律是研究物体传热过程中的一个基本原理，它描述了热量在物体内部的传导规律和特性。
通过了解导热基本定律，我们可以更好地理解和应用热传导学知识，为工程设计和材料选择提供科学依据。
热量传递的三种基本方式导热(热传导)、对流(热对流)和热辐射。
[ W m2 ]
: 热导率（导热系数） （Thermal conductivity） W (m C) 直角坐标系中： t t t q q x i q y j q z k i j k x y z
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的
Nu C Rem
)/ 2; 式中：定性温度为 tr (tw tf特征长度为管外径 d， 数中的流速采用整个管束中最窄截面处的流速。 Re 实验验证范围：
C和m的值见下表。
Ref 2000 ~ 40000。
§6-5 自然对流换热及实验关联式
自然对流：不依靠泵或风机等外力推动，由流体自身 温度场的不均匀所引起的流动。一般地，不均匀温度 场仅发生在靠近换热壁面的薄层之内。 自然对流的自模化现象：紊流时换热系数与特征尺度无 关。
Nu f (Re, Pr)； Nu x f ( x ' , Re, Pr)
自然对流换热：
Nu f (Gr , Pr)
混合对流换热： Nu f (Re, Gr , Pr) 试验数据的整理形式：
Nu c Re n Nu c Re n Pr m Nu c(Gr Pr)n
2. 入口段的热边界层薄，表面传热系数高。 层流入口段长度: l / d 0.05 Re Pr 湍流时:
4-2 边界节点离散方程的建立及代数 方程的求解
对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为 已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离 散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。
而对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题， 就必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边界 节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才 能求解。
第二章导热基本定律及稳态导热
金属（以自由电子的迁移为主） 金属T↑， λ↓； 合金T↑， λ↑
非金属（以弹性波） T↑， λ↑
– 气体 分子间的相互碰撞 T↑， λ↑ – 液体 分子运动、弹性波 T↑， λ↓
由以上分析可看出，在一般情况下：
– ①λ固>λ液>λ气； – ②λ导>λ非导； – ③λ湿>λ干； – ④λ多孔<λ实体 – 习惯上把λ<0.15 的材料称为隔热材料
物体内各点温度更快地随界面温度的升高而升 高。
表示物体内部温度趋向一致能力的大小。
二、圆柱体坐标中的导热微分方程
三、单值性条件
1 几何条件 物体的形状、大小及相对 位置。
2 物理条件 热物性λ、ρ、Cp等 3 时间条件 （初始条件）tτ=0=f(x,y,z) 4 边界条件 表征导热体的边界与导热
第三节 一维稳态导热
一、平壁的一维稳态导热
1 单层平壁
（1）壁面等温
t
已知有一平壁，导热系数为λ ， 且为常数，二壁温为t1和t2 （ t1>t2 ），壁面截面积为A， 厚为δ，无内热源。
求（1）温度分布；（2）热流 量Q（q）
t1
δ
t2 x
方法一：利用导热微分方程式
方法二：直接利用付里叶定律
隔热材料一般利用气体导热系数小的特 点，把材料做成蜂窝状多孔性。
第二节 导热微分方程
一、直角坐标系中的导热微分方程
假设：
– （1）物性参数为常数 （λ，ρ，c）
– （2）材料各相同性 – （3）物体内具有内热
源 发q出v，的单热位量时。间体积 Qx
思路：取一微元体— 平行六面体
dv=dx·dy·dz
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第九章导热9-1 导热理论基础1. 导热的基本概念（1）温度场(temperature field)在τ时刻，物体内所有各点的温度分布称为该物体在该时刻的温度场。
一般温度场是空间坐标和时间的函数，在直角坐标系中，温度场可表示为t=fy),,,(τzx非稳态温度场:温度随时间变化的温度场，其中的导热称为非稳态导热。
稳态温度场:温度不随时间变化的温度场，其中的导热称为稳态导热。
(),,t f x y z=一维温度场二维温度场三维温度场(),t f xτ=()t f x=(),,t f x yτ=(),t f x y=(),,,t f x y zτ=(),,t f x y z=（2）等温面与等温线在同一时刻，温度场中温度相同的点连成的线或面称为等温线或等温面。
等温面与等温线的特征：同一时刻，物体中温度不同的等温面或等温线不能相交；在连续介质的假设条件下，等温面（或等温线）或者在物体中构成封闭的曲面（或曲线），或者终止于物体的边界，不可能在物体中中断。
（3）温度梯度(temperature gradient)在温度场中，温度沿x 方向的变化率(即偏导数)0lim x t t x x∂∂∆→∆=∆很明显,等温面法线方向的温度变化率最大，温度变化最剧烈。
温度梯度：等温面法线方向的温度变化率矢量：tt n∂=∂grad nn —等温面法线方向的单位矢量，指向温度增加的方向。
温度梯度是矢量，指向温度增加的方向。
6在直角坐标系中，温度梯度可表示为t t tt x y z∂∂∂=++∂∂∂grad i j kt t tx y z∂∂∂∂∂∂、、分别为x 、y 、z 方向的偏导数;i 、j 、k 分别为x 、y 、z 方向的单位矢量。
（4）热流密度(heat flux)d d q AΦ=热流密度的大小和方向可以用热流密度矢量q 表示d d AΦ=-q n热流密度矢量的方向指向温度降低的方向。
nt d Ad Φq在直角坐标系中，热流密度矢量可表示为x y z q q q =++q i j kq x 、q y 、q z 分别表示q 在三个坐标方向的分量的大小。
2.导热的基本定律傅里叶（Fourier ）于1822年提出了著名的导热基本定律，即傅里叶定律，指出了导热热流密度矢量与温度梯度之间的关系。
对于各向同性物体,傅里叶定律表达式为t λ=-grad q 傅里叶定律表明,导热热流密度的大小与温度梯度的绝对值成正比，其方向与温度梯度的方向相反。
tnλ∂=-∂n标量形式的傅里叶定律表达式为tq nλ∂=-∂对于各向同性材料,各方向上的热导率λ相等,x y z q q q =++q i j kt t tt x y z∂∂∂=++∂∂∂grad i jkt t t x yz λ⎛⎫∂∂∂=-++ ⎪∂∂∂⎝⎭q i j k x tq xλ∂=-∂y tq yλ∂=-∂z tq zλ∂=-∂由傅里叶定律可知,要计算导热热流量,需要知道材料的热导率,还必须知道温度场。
所以,求解温度场是导热分析的主要任务。
傅里叶定律的适用条件：（1）傅里叶定律只适用于各向同性物体。
对于各向异性物体，热流密度矢量的方向不仅与温度梯度有关,还与热导率的方向性有关,因此热流密度矢量与温度梯度不一定在同一条直线上。
（2）傅里叶定律适用于工程技术中的一般稳态和非稳态导热问题，对于极低温（接近于0K ）的导热问题和极短时间产生极大热流密度的瞬态导热过程,如大功率、短脉冲(脉冲宽度可达10-12～10-15s)激光瞬态加热等,傅里叶定律不再适用。
xy q x q yqnλxλy3.热导率（导热系数）热导率表明物质导热能力的大小。
根据傅里叶定律表达式绝大多数材料的热导率值都可以通过实验测得。
-grad q tλ=11物质的热导率在数值上具有下述特点:(1)对于同一种物质,固态的热导率值最大,气态的热导率值最小；(2)一般金属的热导率大于非金属的热导率；(3)导电性能好的金属,其导热性能也好；(4)纯金属的热导率大于它的合金；(5)对于各向异性物体,热导率的数值与方向有关；(6)对于同一种物质,晶体的热导率要大于非定形态物体的热导率。
热导率数值的影响因素较多,主要取决于物质的种类、物质结构与物理状态,此外温度、密度、湿度等因素对热导率也有较大的影响。
其中温度对热导率的影响尤为重要。
12温度对热导率的影响：一般地说,所有物质的热导率都是温度的函数,不同物质的热导率随温度的变化规律不同。
纯金属的热导率随温度的升高而减小。
一般合金和非金属的热导率随温度的升高而增大。
大多数液体（水和甘油除外）的热导率随温度的升高而减小。
13多孔材料的热导率绝大多数建筑材料和保温材料（或称绝热材料）都具有多孔或纤维结构(如砖、混凝土、石棉、炉渣等),不是均匀介质,统称多孔材料。
多孔材料的热导率是指它的表观热导率,或称作折算热导率。
保温材料（或称绝热材料）：用于保温或隔热的材料。
国家标准规定，温度低于350℃时热导率小于0.12W/(m K)的材料称为保温材料。
多孔材料的热导率随温度的升高而增大。
多孔材料的热导率与密度和湿度有关。
一般情况下密度和湿度愈大，热导率愈大。
典型材料热导率的数值范围纯金属50～415 W/(m·K)合金12～120 W/ (m·K)非金属固体1～40 W/(m·K)液体(非金属) 0.17～0.7 W /(m·K)绝热材料0.03～0.12 W/ (m·K)气体0.007～0.17 W/ (m·K)4.导热问题的数学描述（数学模型）（1）导热微分方程式的导出导热微分方程式+单值性条件建立数学模型的目的：求解温度场依据：能量守恒和傅里叶定律。
有内热源，强度为，表示单位时间、单位体积内的生成热，单位为W/m 3。
导热数学模型的组成：),,,(τz y x f t =Φ导热微分方程式Φzt z y t y x t x t c +∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂)()()(λλλτρ导热微分方程式建立了导热过程中物体的温度随时间和空间变化的函数关系。
当热导率λ为常数时, 导热微分方程式可简化为Φz t y t x t t c ＋)(222222∂∂+∂∂+∂∂=∂∂λτρ2 [m s]a cλρ=—热扩散率（导温系数）2t a t cτρ∂Φ=∇+∂导热微分方程式的简化(1)物体无内热源：=0Φ(2)稳态导热：0t ∂∂τ=(3)稳态导热、无内热源：∇2t =0，即2t a t ∂∂τ=∇20a t c Φρ∇+=2222220t t t x y z ∂∂∂∂∂∂++=18圆柱坐标系下的导热微分方程式211t t t t c r r r r r z z ∂∂∂∂∂∂∂ρλλλΦ∂τ∂∂∂ϕ∂ϕ∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭球坐标系下的导热微分方程式22222111sin sin sin t t t t c r r r r r r ∂∂∂∂∂∂∂ρλλθλΦ∂τ∂∂θ∂θ∂θθ∂ϕ∂ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）单值性条件导热微分方程式推导过程中没有涉及导热过程的具体特点,适用于无穷多个导热过程, 也就是说有无穷多个解。
为完整地描写某个具体的导热过程，必须说明导热过程的具体特点, 即给出导热微分方程的单值性条件（或称定解条件），使导热微分方程式具有唯一解。
导热微分方程式与单值性条件一起构成具体导热过程完整的数学描述。
单值性条件一般包括：几何条件、物理条件、时间条件、边界条件。
211)几何条件说明参与导热物体的几何形状及尺寸。
几何条件决定温度场的空间分布特点和分析时所采用的坐标系。
2)物理条件说明导热物体的物理性质, 例如物体有无内热源以及内热源的分布规律，给出热物性参数(λ、ρ、c、a等)的数值及其特点等。
3)时间条件说明导热过程时间上的特点, 是稳态导热还是非稳态导热。
对于非稳态导热, 应该给出过程开始时物体内部的温度分布规律（称为初始条件）：0(,,)t f x y z τ==4)边界条件说明导热物体边界上的热状态以及与周围环境之间的相互作用。
例如,边界上的温度、热流密度分布以及边界与周围环境之间的热量交换情况等。
常见的边界条件分为以下三类:(a) 第一类边界条件给出边界上的温度分布及其随时间的变化规律：(b) 第二类边界条件给出边界上的热流密度分布及其随时间的变化规律：wq nt稳态导热：t w =const非稳态导热：t w =f (τ)()w n tq nλ∂=-∂()w n q t n λ∂-=∂()w ,,,t f x y z τ=电加热片加热物体表面(c) 第三类边界条件给出了与物体表面进行对流换热的流体的温度t f 及表面传热系数h 。
wq f,h t 根据边界面的热平衡，由傅里叶定律和牛顿冷却公式可得：()w wq t n λ=-∂∂()w w f q h t t =-()()w f w t n h t t λ-∂∂=-w=0n ∂∂⎛⎫ ⎪⎝⎭t 如果物体的某一表面是绝热的, 即q w = 0 ,则物体内部的等温面或等温线与该绝热表面垂直相交。
第三类边界条件建立了物体内部温度在边界处的变化率与边界处对流换热之间的关系，也称为对流换热边界条件。
对一个具体导热过程完整的数学描述（即导热数学模型）应该包括：(1)导热微分方程式;(2) 单值性条件。
建立合理的数学模型, 是求解导热问题的第一步, 也是最重要的一步。
对数学模型进行求解, 就可以得到物体的温度场, 进而根据傅里叶定律就可以确定相应的热流分布。
目前应用最广泛的求解导热问题的方法有:(1)分析解法、(2)数值解法、(3)实验方法。
这也是求解所有传热学问题的三种基本方法。
本章主要介绍导热问题的分析解法和数值解法。
9-2 稳态导热稳态导热是指温度场不随时间变化的导热过程.下面分别讨论日常生活和工程上常见的平壁、圆筒壁、球壁及肋壁的一维稳态导热问题。
1. 平壁的稳态导热当平壁的两表面分别维持均匀恒定的温度时，平壁的导热为一维稳态导热。
假设：表面面积为A、厚度为δ、λ为常数、无内热源，两侧表面分别维持均匀恒定的温度tw1、t w2，且tw1>tw2。
（1）单层平壁的稳态导热选取坐标轴x与壁面垂直,如图所示。
26数学模型：x =0,t =t w1x =δ,t =t w2求解结果：Φzt z y t y x t x t c +∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂)()()(λλλτρ0d d 22=xt121w w w t t t t xδ-=-可见，当λ为常数时,平壁内温度分布曲线为直线，其斜率为由傅里叶定律可得热流密度w1w2d d t t t x δ-=-w1w 2d d t t tq x λλδ-=-=通过整个平壁的热流量为w1w 2t t Aq A Φλδ-==27（2）多层平壁的稳态导热以三层平壁为例，假设各层厚度分别为δ1、δ2、δ3，各层材料的热导率分别为λ1、λ2、λ3, 且分别为常数；∑∑=+=+-=-=ni ii n ni in t t r t t q 111111λδ三层平壁稳态导热的总导热热阻为各层导热热阻之和，显然，通过此三层平壁的导热为稳态导热, 各层的热流量相同。