第1章-导热理论基础

第1章导热理论基础航空航天热物理研究所上一节课回顾：(1)Fourier 定律：(2)(3)Stenfan-Boltzmann 定律：4Tσ本章重点内容2.1 导热基本定律一、温度场：各个时刻物体内各点温度分布的总称()=,,t f x yz 与时俱进与时无关()=,,,t f x y zτ非稳温度场：变动工况下，随时间变化()=,,,t f x y z τ2.1导热基本定律二维稳态：()=,t f x y ()=t f x ()=t f τ二、等温面、等温线1.2.01020-0.6-0.4-0.200.20.40.64444数值模拟的火箭尾喷焰流场图片3.物体内一个点在同一时刻，只能有一个温度值同一时刻，不同温度的等温面（线）不可能相交 4.等温面（线）不可能终止在物体的内部，它只能终止在物体的边界上，或者自身形成的封闭曲面（线）。

三、温度梯度定义：等温面法线方向上温度的变→∂==∂0lim n grad n n t t t n n∆∆∆在等温面法线方向上，单位长度的温度变化率最大。

qtgrad tt t-∆t t+∆四、傅里叶定律大量实验观测总结在导热现象中，单位时间内通过给定截面所传递的热量，正比例于垂直于该截面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向与温度升高的方向相反d d t t q x λ=-四、傅里叶定律一般形式（即：对热流密度矢量写出）grad t q t n nλλ∂=-=-∂ 负号表示热量传递方向与温度梯度方向相反对各向同性材料grad q tt t t i j k xy z λλ=-⎡⎤∂∂∂=-++⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 各向同性2.1 导热基本定律五、导热系数1.导热系数与温度有关、与方向有关（各向异性，如：木材、纤维、汽车轮胎）2.碳钢36.7，摄氏20度时的水0.599摄氏20度时的干空气0.0259 t q n nλ∂=-∂五、导热系数310-银427铜399纯金属热绝缘材料建筑材料合金人工材料超级绝缘材料人工热管干空气导电介质4102103100.02611W mK ∙∙--110010110-210-0.12夹层中抽真空多层间隔结构称为保温材料多孔材料，空气多，<0.12λ↓λ五、导热系数3.很多材料，既有导热，又有对流、辐射，态测量五、导热系数5.与温度的关系：在工程上，通常可用线性近6.各向异性材料：指有些材料（木材，石墨）各向结构不同，各方向上的导热系数也有较大差别，这些材料称各向异性材料。

（此类材料必须注明方向）()=+01bt λλb 0λt2.2 导热微分方程式及定解条件一、问题的提出1.一维问题，可直接对傅立叶定律积分，得到热流密度。

定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律，建2.：傅立叶定律仍适用，但还必须解决不同坐标方向间导热公式的相互联系问题。

因为傅立叶定律揭示了连续温度场内系，因而知道了物体中的温度分布就能得到相应的热流分布但是傅立叶定律并未指出一个点的温度与它临近点的温度有何联系，空间坐标、时间变化的内在联系。

2.2 导热微分方程式及定解条件二、思路及原理以直角坐标系为例，从物体中分割出一个微 1.傅立叶定律2.能量守恒定律（热平衡原理）建立导热微分方程式任一点各方向温度分布推广到全场2.2 导热微分方程式及定解条件1.——各向同性，均质2.——密度、比热均质，与温度无关（常物性）λ,c ρxyzzQ yQ x Q x dxQ ++y dyQ +z dzQ1.能量守恒定律。

在任一时间间隔内导入微元体的总热量+=+微元体内热源的生成热微元体内能的增量导出微元体的总热量父母兄弟姐妹给予的经济资助+=+本人所得（奖学金、其它收入）手头存款的增量（增量可正、可负）总的支出类比四、推导1、能量守恒定律()()++++++∂=+++∂()x y z x dx y dy z dzQ Q Q QdxdydztQ Q Q c a dxdydzρτxyzzQ yQ xQ x dxQ ++y dyQ +z dzQ2、单位时间内，微元体内能的增量——比热，（单位质量升高时所需的热量）。

＝tc dxdydz∂∂ρτc 11J kgK∙∙--1C微元体升高所需热量微元体在单位时间内升高时所需的热量（内能）1J s W∙-=mdxdydz微元体体积kg mρ()J kg K c ∙K t τ∂∂kg微元体质量，3、单位时间内，微元体内热源的生成热Qdxdydz＝——单位时间内，单位体积内热源的生成热，Q 3W m ∙-4、导入热量λλλ (b)x y z tQ dydzx tQ dzdx y tQ dxdyz∂=-∂∂=-∂∂=-∂由傅立叶定律在处表面，温度梯度为;向的导热面积=x x tx∂∂=x A dydzx5、导出热量x泰勒（Taylor ）级数展开，取前二项因为：()()()τττ,,,,,,,,,x x dx Q f y z Q f y z f y z x x d x xdx fx++∂=∂=+=用泰勒级数表示，略去高阶小量后得，参考许维德“流体力学”，p.44同理y y dy y Q Q Q dyy+∂=+∂(c)zz dzz Q Q Q dz z+∂=+∂6、整理+ (d) ρτy z x Q Q Q Qdxdydz dx dy dz x y z t c dxdydz ∂⎛⎫∂∂=++ ⎪∂∂∂⎝⎭∂∂将(b)式代入(d)式，得t t t t ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫随温度变化时，,所以不能提到微分号外面。

λ()(),,,f t f x y z ==λτ三维直角坐标系下，有内热源、非稳态、变导热系数的导热微分方程式。

五、方程形式导热系数为常数时的导热微分方程式。

x y z +⎪∂∂∂⎝⎭五、方程形式为拉普拉斯运算子，∂τ2z ⎪⎝⎭a c=λρ为热扩散率、导温系数导热系数为常数时的导热微分方程式。

五、方程形式2222220t t t ++=c x y z ⎛⎫∂∂∂ ⎪∂∂∂⎝⎭λρ(2-9a)五、方程形式因为λ≠0，所以：⎛⎫∂∂∂ ⎪∂∂∂⎝⎭222222t t t ++=0x y z 或∇2t=0（又称为拉普拉斯方程）(2-9b)五、方程形式非稳态、变导热系数的导热微分方程大大，导热本领大，相同温度梯度下传导的热量多小，温度上升所需热量少，有更多的热量向内部传递六、导温系数（热扩散率）21m s a c∙-= λρ，它也是一个物性参数。

从表示式看，为温度传递的速度a λρc六、导温系数（热扩散率）8219.82610m s a ∙--=⨯4211.13310m s a ∙--=⨯如：铜空气，农机出版社5212.12710m s a ∙--=⨯六、导温系数（热扩散率）将一根铜棒与一根木棒放在火中，手握一端，铜棒马上烫手，木棒则无事。

只有在非稳态导热中，才显示它的作用。

a七、定解条件对任一微分方程，均可由数学方法求得其通解。

但对于某一具体问题，仅有通解还不行，必须求出既满足导热微分方程式，又满足该问题的一些附加条件下的特解。

这些附加条件，在数学上叫定解条件。

定解条件有四类。

七、定解条件初始条件：给出初始时刻温度分布（对于稳态导热，没有初始条件）边界条件：给出物体边界上的温度或换热情况。

有三类：界条件非稳态稳态w h f t ()∂ ⎪=f τ=-λw q =const ()⎫ ⎪w f wt -λ=h t七、定解条件几何条件：外形、尺寸物理条件：λ,ρ,c,a傅立叶定律：=-⎡⎤∂∂∂=-++⎢⎥∂∂∂⎣⎦grad q tt t t i j k xy z λλ导热微分方程：ρλλλτΦc x x y y =+++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭定解条件：物理、几何、初始、边界热扰动的传递速度是无限大对一般工程问题，非稳态导热的热流密度不很高，过程作用的时间足够长、过程发生的尺度范围也足够大，傅里叶导热定律以及基在下列三种情况下，傅里叶导热定律及导热微分方程是不适用的。

八、非傅里叶导热当过程的作用时间与材料的弛豫时间相接近时（时间效应）当过程发生的空间尺度极小，与微观粒子的平均自由行程相接近时（空间效应）九、两类问题——正问题与反问题微分方程温度分布热量边界条件初始条件几何条件物理条件九、两类问题——正问题与反问题反求物理条件——求等（卫星探测，测地球表面温度，求土壤物性；激光导热仪，测材料表面温度，求λ,a λ,a）反求几何条件——探伤反求边界条件——高速旋转两齿轮间啮合面的温度。

九、正问题解法是“偏微分方程”书中的一章。

有很多解法：分离变量法；格林函数法；拉普拉斯法；变分法；数值解法（包括：有限元法；有限差分法；边界元法）。

本课程只介绍：分离变量法；有限差分法。