2019年硕士研究生弹塑性力学课程复习要点

2019年塑性力学课程复习*

1.名词解释：

塑性变形、应变强化、等向强化、随动强化、屈服面、Mises屈服条件、Tresca屈服条件、加载条件与加载面、Drucker公设、正交流动法则、加载准则、静力场与机动场、用于极限分析的上限定理与下限定理。

塑性变形：物体在除去外力后所残留下来的永久变形，在给定的外力下，物体的变形并不随时间而改变（p1）

应变强化：重新拉伸后，材料并不在初始屈服点处进入塑性状态，而是在最后的卸载点附近进入塑性状态。进入塑性状态后，应力应变曲线渐与初始应力应变曲线

重合。经历塑性变形后，材料受到了强化，屈服应力有了提高。这种现象称

为应变强化或应变硬化。（p4）

等向强化：认为拉伸时的强化屈服应力和压缩时的强化屈服应力绝对值相等。也就是说当在拉伸变形时使得材料强化时，这种强化作用对拉伸和压缩都是相同的。

即压缩屈服应力得到了相同的提高。

随动强化：考虑到包兴格效应，认为拉伸屈服应力和压缩屈服应力（代数值）之差是不变的。也就是弹性响应的范围始终不变。

屈服面：在复杂应力状态下。初始弹性状态的界限为屈服条件，若以σij 作为坐标轴，屈服条件用F（σij）=0表示，则应力空间中F=0将表示为一个曲面，称为屈

服曲面。

Mises屈服条件：注意到Tresca屈服条件不考虑中间主应力的影响，主方向不知道的

情况下用J’2=0去拟合实验点，并称之为Mises屈服条件。

Tresca屈服条件：当最大剪应力达到某一极限值k时，材料开始产生屈服。如果规定

σ1 >=σ2 >=σ3，Tresca屈服条件可写为τmax=(σ1 -σ3)/2=k

加载条件与加载面：经过变化的屈服条件称之为加载条件；在应力空间中对应的表面

称为加载面。

Drucker公设：单轴实验表明，在平面上，回路（1）→（2）→（3）总是顺

时针的。这表明在一个应力闭循环中，需要外界注入功而不可能提

取有用功。在三维应力状态，这一性质可以表述为：当材料的物质

微元在应力空间的任意应力闭循环中的余功非正时，即称材料满足Drucker公设。

0 ij ij

d

εσ≤

⎰

正交流动法则：

加载准则：在应力空间中加载准则可写为

（f >0）即只有当应力增量指向加载面外部时才能产生塑性变形，称之为加

载准则

静力场与机动场：

用于极限分析的上限定理与下限定理：

2. 基本概念：

1)体积变形为弹性（塑性不可压缩）的概念；

静水压力不太大时，材料体积的变化服从弹性规律而不产生永久的塑性体积改变，因此可近似地认为材料的体积是塑性不可压缩的。

2）主应力空间中任意一应力状态的向量表示，及其对π平面的投影；

3)初始各向同性材料在π平面上屈服曲线的对称性质；

在各向同性假设下屈服曲线有3条对称轴

进一步假定拉伸和压缩时屈服极限相等，在各向同性假设下屈服曲线有6条对称轴

ij ij

f ˆf σσ∂=∂

4)加载面的外凸性；

5）塑性流动的正交性的表达式中各项含义；

6)与Mises 屈服条件相关连的正交流动定律与塑性本构关系。

3. Cauchy 公式 j ij i T νσ= 的含义是什么？与主应力和主方向有什么关系？

4. 主应力空间中任意一点（321,,σσσ）可以用向量332211i i i OP

σσσ++=来表达。 （1） 试将该向量分解为主偏应力分量和静水分量，写出其表达式，并简述

这两个分量在塑性变形分析中的意义；

（2） 证明OQ 与ON 正交；

静水应力不影响材料的塑性性质的假设：屈服条件只与应力偏量有关。

（3）简洁写出将OP投影到π平面的方法。

5.若Ｅ'=Ｅ/100，给定应力路径是：０→1.5σS→0 →- σS→0。ａ）试按线性弹塑性随动强

化模型画出相应的应力应变曲线；ｂ）试按线性弹塑性等向强化模型画出相应的应力应变曲线。

6. 受竖直载荷的对称桁架由理想弹塑性材料的三根等截面杆件构成，图中α=π/4

（见附图）。ａ）若施加的最大载荷大于

弹性极限载荷Pe 而小于塑性极限载荷

Ps ，问卸去载荷时各杆的残余应力和残

余变形是拉伸还是压缩？ｂ）该桁架的

弹性极限曲线怎样求？ 7. ａ）若分别用单轴拉伸实验和纯剪实验来测定σS 和τS ，试在π平面上分别考虑

怎样针对不同实验的结果绘出Mises 圆

和Tresca 正六边形的示意图，并在图中标明Mises 圆的半径大小；

ｂ）如果分别用单轴拉伸实验和纯剪实验测定的σS 和τS ，Mises 圆和Tresca 正六边形两者应该有什么关系？

8. 平面刚架受集中力的极限载荷问题。

9. （1）请叙述Drucker 公设所给出不等式()02

1)1()2(≥∆∆+∆-p ij ij p ij ij ij εσεσσ的含义；（2）写出由Drucker 公设导出的正交流动法则的公式表达；（3）若加载面由Mises 圆柱面()

0=-=Φ⎰p d εψσ描述（式中σ是Mises 等效应力，εp 是等效塑性应变），请写出正交流动法则的具体公式。

10. 对各向同性材料，若已知 P ij kk ij ij ij E

E εσδνσνε +-+=1

（1）问上式的含义；（2）利用正交流动法则，写出率形式的本构方程。

11. 对矩形截面梁，设其由理想弹塑性材料做成，当其受弯矩作用而作纯弯曲变形时，问如

何求解下列问题：ａ）弹性极限弯矩M e 和塑性极限弯矩M s ；ｂ）塑性区域随施加弯矩增加的变化规律。又，以下公式

)(232

ζ-=

e M M ，ζ/e K K = 说明什么现象？ 12. 理想弹塑性材料等截面圆杆，求其弹性极限扭矩和塑性极限扭矩。