高一数学必修一复习资料.doc

第一童

§1.1集合

1.关于集合的元素的特征

(1)确定性(组成元素不确定的如：我国的小河流)

(2)互异性

(3)无序性

集合相等：构成两个集合的元素完全一样

(1)若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作A=B.

(2) A = B

例：已知A={l,l+d, l+2d}, B={1, q, q2},若A=B,求的，d, q 的值。

解：d=_? q=-|

2.元素与集合的关系；

(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to) A,记作a^A

(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to) A,记作a^A

子集与真子集：如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A^B或BpA・

若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q,或Q不包含P. 记作P^Q

若集合A是集合B的子集，且B屮至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集.4 u B或3二力.

子集与真子集的性质：传递性：若A^B, BuC,则AoC 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.

3.常用数集及其记法

非负整数集(或自然数集)，记作N 正整数集，记作2或N+；整数集，记作Z

有理数集，记作Q

实数集，记作R

4.集合的表示方法

(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

如:{1, 2, 3, 4, 5}, {x2, 3x+2, 5y3-x, x2+y2},…；

(2)描述法：把集合中的元素的公共属性描述出來，写在大括号{}内。具体方法：

在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共

同特征。

如:{x|x-3>2}, {（x, y） |y=x2+l}, {直角三角形},…；

（3）自然语言描述法：小于10的所有正偶数组成的集合。（{2,4,6,8}）里：1、{1, 3, 5, 7, 9}如何用自然语言描述法表示？2、用例举法表示集合心{兀旳13<8}练习：（1）已知集合M={a, b, c}屮的三个元素可构成某一三角形的三条边，那么

此三角形一定不是（）

A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形

5.集合间的基本运算

并集（U）：—般的由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，成为集合A与B的并集，记作AUB,即：

A B = {x\xeA^eB}t韦恩图如下：

交集（门）：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AAB, W：

A 3 = A,且韦恩图如下：

全集（U）：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素, 那么就成这个集合为全集，记为U。

补集：对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作C』，即

CuA ={x | xwU且xgA},韦恩图如下：

练习：

1、若A={0, 2, 4}, C LI A={-1, 2}, C LI B={-1, 0, 2},求B二_______________

2、设A二{x x>-2}, B= {x x<0},求AQB.

3、若A二{x x二4n, n^Z}, B={x x=6n, nEZ},求AQB・

4、A二{x|aWxWa+3},B二{x|xVT或x>5},分别求出满足下列条件的a的取值范围：

⑴ APB=0 (2) A QB二A

5、已知A={x|-l

77 777 -4- I

6、集合A = —wZ}, B = {m\——wZ},贝UAB = ____________

7、已知X二{x|x2+px+q二0, p2-4q〉0}, A二{1, 3, 5, 7, 9}, B二{1, 4, 7, 10},且

XnA = 0,XClB = X，试求p、q；

8、已知集合A二{a+2, (a+1)2, a2+3a+3},且1WA,求实数a的值

9、已知集合A={X|X2-5X +6=0}, B={x|mx+l=0}, AUB二A,求实数m 的值组成的集合。

10、集合A 二{x| |x—2| W2, xWR}, B={y|y=-x2, —1W X W2},则C R (A Cl B)等于()

A. R

B. {x|xeR, xHO}

C. {0}

D.①(空集)

11>已知{" b} cA,且A为{a, b, c, d, c}的真子集，则满足条件的集合A 的个数是()

12、记函数f (x) =lg (2x-3)的定义域为集合M,函数g (x) = J1—士的定义域为集合N,

求：(1)集合M、N； (2)集合mAN, MUN

13、已知集合A={x| |x-a|^l}, B={X|X2-5X +4^0},若AAB=①，则实数a 的取值范围是()

§1.2函数

函数概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A屮的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称£ A—B为从集合A到集合B的一个函数。

记作：y=f{x),

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{fd)| xWA }叫做函数的值域.

构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域

区间：(1)、开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)、无穷区间；区间的数轴表示

例1：已知函数f (x) - Jx + 3 +一—,求函数的定义域。

X + 2

例2：设一个矩形周长为80,其中一边长为x,求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域。

函数的定义域小结：

(1)如果fd)是整式，那么函数的定义域是实数集R・

(2)如果只劝是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合

(3)如果代方是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.

(4)如果代劝是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.(即求各集合的交集)

(5)满足实际问题有意义.

例3：下列函数屮哪个与函数y二x相等？

(1)y 二(Q ；⑵ y 二(V7);

(3)y二7? ; (4) y=—

X

练习：1・求下列函数的定义域兀_ ---------

(1) y—+厂=_±常认

2-|x| 7 b 厶一

说明：

(1)这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其中/表示具体的对应法则，可以用多种形式表述.

(2)“都有唯一”包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有口只有一个的意思.

例：1.已知A二{x, y}, B={a, b, c},从集合A到集合B的所有不同的映射有

()个。

2.已知A={x, y}, B={a, b, c},从集合B到集合A的所有不同的映射有() 个。

函数的表示方法：解析法、列表法、图像法

练习：1.己知f (x —2)二2x‘一9x+13,求f (x) -------------- 配凑法

答案：f (x) =2x2—x+3

2•已知f (仮+1) =x + 2Vx,求f (x + 1) , f (x2) ------------------ 换元法

答案：f (x+1) =x2+2x, (x20) ； f (x2) =x l—1, (xW — 1 或x21)

3. ------------------------------------------------------------------------------------ 已知f (x)是一