锐角三角函数专项解析与训练(一)

锐角三角函数专项解析与训练（一）

[例题精选]

例1 如图，在∆ABC ACB CD AB D AB BC 中于若求：,,,,.sin ∠=︒⊥==901612α的值． 分析：要求sin αα，必须把放在某个直角三角形中，如图可知，

∠α在Rt BCD ∆中，根据锐角正弦概念，sin αα=∠的对边

斜边

，

即，sin α=BD

BC

因此只需求BD 即可．此外，还可以发现，

∠=∠αA ，因此只要求出sin ,sin A 它就等于。α

解法一：Rt ABC ACB CD AB D ∆中，于∠=︒⊥90,

∴∆ABC ∽∆CBD

∴===∴=∴=

==BC AB BD

BC AB BD BD BC 2

121699123

4

·， sin .α

解法二： Rt ABC ACB ∆,∠=︒90

∴∠+∠=︒⊥∴∠+∠=︒∴∠=∠A B CD AB D B A

9090, 于αα

Rt ABC ACB BC AB ∆中，，，∠=︒==901216

∴=

==sin A BC AB 12163

4

∴==sin sin .αA 3

4

小结：求锐角三角函数值必须在直角三角形中求，不论直角三角形如何放置，都应能

结合图形，灵活准确地运用三角函数概念．另外，也应注意根据等角关系求三角函数值．

例2 计算： （1）tg tg ctg 223026045456030︒+︒︒+︒-︒-︒sin cos cos ,· （2）sin .304530245︒-︒︒-︒

tg ctg ctg 分析：特殊锐角的三角函数值必须熟练记忆．计算时注意根式的运算，结果应化简．

解：（1）tg tg ctg 223026045456030︒+︒︒+︒-︒-︒sin cos cos

=⎛⎝ ⎫⎭⎪+⨯⨯+--⎛⎝ ⎫⎭⎪

=

++--=+-︒33232221333213621333471262332

2

（2）

sin 304530245︒-︒

︒-︒

tg ctg ctg

=--=-=

+-=

+1

21321423

4231612232

例3 化简： （1）1260602-︒+︒tg tg ; （2）sin sin ,()221090ααα-+︒<<︒其中．

分析：第（1）小题可化为()||||16016022-︒=-︒tg a a tg ，根据公式可得，将tg 60︒代

入即可进一步化简，第（2）小题同样可得|sin |sin ααα-=∠1，因的对边斜边

，而在直角三

角形中，斜边为最长边，所以对于任何锐角αα，同理01<

解：（1）1260602-︒+︒tg tg

=-︒=-︒=-=-()||||;

16016013312

tg tg

（2）sin sin 221αα-+

=-=-︒<<︒

∴<<∴=-(sin )|sin |

sin sin ααααα

110900112 原式

例4 （1）已知：cos .sin .4326072624634︒'=︒'，求

（2）求tg ctg 3555︒︒

．

分析：本题所求都不是特殊锐角三角函数值，不能代入数值，但可发现角度间关系，即43︒26'与46︒34'互余，35︒与55︒也互余．因此应考虑应用互余两角的三角函数关系．

解：（1） 43︒26'+46︒34'=90︒, ∴sin46︒34'=cos43︒26'=0.7262, （2）∵35︒+55︒=90︒

∴

tg ctg tg tg 355535351︒︒=︒

︒

=. 例5 已知：ααααα为锐角，且，求：和的值。sin cos ,=35

tg ctg

分析：sin ααα=∠∠35

35

，即的对边比斜边为，不妨设的对边为3k ，斜边为5k ，则

由勾股定理可求出∠α的邻边为4k ，再根据锐角三角函数概念可求其余三角函数值． 另外，同一个锐角的三角函数之间有平方关系，倒数关系和商的关系，利用它们可以求其它三角函数，如根据sin cos cos ,221ααααα+=，可求进一步再求和tg ctg ，应注意因为锐角三角函数都是正的，求cos α开方时应取正值．

解： sin cos 221αα+=

cos sin cos cos sin 222

101αααααα=-∴>∴=-为锐角

=-⎛⎝ ⎫

⎭⎪

=

13545

2

∴===∴==tg ctg tg αααααsin cos .354534

14

3

小结：同角三角函数关系可用来从一个三角函数求其它的锐角三角函数．要注意几

个公式结合起来灵活运用．

例6 计算：

（1）tg tg tg tg tg 4143454749︒︒︒︒︒····;

（2）1221

2

2---cos sin ααααtg ctg ·． 解：（1）

tg tg tg tg tg 4143454749︒︒︒︒︒····

=︒︒︒︒︒

=︒︒︒︒︒=tg tg tg ctg ctg tg ctg tg ctg tg 414345434141414343451········()();

（2）1221

22

---cos sin ααααtg ctg ·

=+----=---=-=sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos .

222222

2222

2211110αααααααααα 小结：在化简或计算时，应把互为余角的三角函数关系和同角三角函数关系结合起来考虑．而且应灵活运用，如sin cos ,221αα+=有时也须把1化成sin cos 22αα+，以便化简或计算，这应结合题目具体情况．

例7 不求值，判断式子的符号：

(cos cos )()25504055︒-︒︒-︒tg tg ．

分析：要判断两式乘积的符号，只需知道这两个式子是正是负，而这两个式子又是两个三角函数式的差，要判断两数差是正是负，应知道两数谁大谁小．这就根据三角函数的增减性判断． 解：锐角的余弦值随角度的增大而减小， 25502550︒<︒∴︒>︒,cos cos ,∴︒cos25 -︒>cos500。而锐角的正切值随角度的增大而增大， 40554055︒<︒∴︒<︒，，tg tg ∴︒-︒

()

∴--<(cos cos )2550405500000tg tg ．

例8 选择题： 已知∠=ααα为锐角，则的范围是cos .,075（ ）．

A ．030︒<<︒α

B ．3045︒<<︒α

C ．4560︒<<︒α

D ．6090︒<<︒α

分析：我们知道cos ,cos ,cos ,30324522601

2

︒=︒=︒=根据锐角三角函数的增减性，

要判断α的范围，只需知道∠α的余弦值的位置．

解： cos ,cos 30324522︒=︒=

而220753

2<<

. ∴︒<<︒3045α 因此选B ．

答案：B ．

例9 查表求值：（1）sin ;5112︒'（2）sin1841︒'；（3）cos5942︒'；（4）cos2517︒'． 分析：查表时应注意锐角三角函数的增减性，尤其查余弦值时，应看右边和下边，而且角度每增加1'，余弦值相应减小． 解：（1）sin51︒12'=0.7793； （2）sin18︒42'=0.3206 角度减1'值减0.0003 ∴sin18︒41'=0.3203;

（3）cos59︒42'=0.5045; （4）cos25︒18'=0.9041 角度减1'，值增0.0001

∴cos25︒17'=0.9042．