NOI国家集训队论文分类(至2008)(摘抄自C博客)讲解
国家集训队2003论文集 项荣璟
问题三——分析（4）
维护一个表Hlst，表头指针p，表尾指针q。 在递推到第i阶段，bot…top：Si中第bot到第top个元素 （即：lst[bot],lst[bot+1],…,lst[top])都与h联系。 Hlst[k].bot=Hlst[k-1].top+1。
p
H l s t
q
top bot Hlist[k ] h value
问题一——算法分析
for i:=n downto 1 do g(i,1):=f(i,n); ｛边界条件｝ for k:=2 to m do 计算边界g(n-k+1,k); j:=n-k+1; for i:=n-k downto m-k+1 do if f(I,j)<=g(j+1,k-1) then g(i,k):=g(j+1,k-1)｛性质一｝ else if f(i,i)>=g(i+1,k-1) then 【 g(i,k):=f(i,i); j:=i 】 else 【while f(i,j-1)>=g(j,k-1) do j:=j-1; {定si,k} g(i,k):=min{f(i,j),g(j,k-1)} {性质三} if g(i,k)=g(j,k-1) then j:=j-1】 end_for_k 外层每循环一次，j递减的工作量是O(n)。因此总的复杂度O(n２)。
pk q
F (i ) li min Hlst [k ].value
value值不断更新，在求F(n),F(n-1),…,F(0)
时都要察看最小的value。 堆!
问题三——算法分析
国家集训队2009论文集信息学竞赛中概率问题
2 22
全文总览
样本空间 连续型随机变量 随机变量 离散型随机变量
SPOJ RNG SGU Random Shooting SRM 349 LastMarble UVA Randomness
3 22
要用到的定义
1 fi ( [x-Ri, j-Ri+1]x ) = ∫x R i R f i 1 ( t )dt [j-Ri+1,j] [j,x] i
x
P
P
f i1 (t )
f i (x)
19 22
j-Ri j-Ri+1
j j+1
t
j
j+1
x
本题总结
在解决本题的过程中,我们遇到了这样的困难: 在解决本题的过程中,我们遇到了这样的困难: N个随机变量代表着 维空间,较为抽象 个随机变量代表着N维空间 个随机变量代表着 维空间, 两个解法都从N较小的情况开始分析 较小的情况开始分析, 两个解法都从 较小的情况开始分析,发现规律
23 22
用归纳法, 用归纳法,当N=1时,V((0,+∞),x) = x显然 时 显然 符合结论. 符合结论. 设当N=2,3,…,k-1时都有结论成立,那么 时都有结论成立, 设当 时都有结论成立 N=k时,V([0,+∞), [0,+∞),…, [0,+∞),x)就是 时 就是 一个k维锥体的 维体积, 维锥体的k维体积 一个 维锥体的 维体积,椎体的底面面积 是 ( kx 1)! 同时我们知道体积就是截面面积的积分值, 同时我们知道体积就是截面面积的积分值, 而对与锥体的顶点距离为h的截面而言 的截面而言, 而对与锥体的顶点距离为 的截面而言,其 截面面积 (kx 1)! ( h ) 为,所以 所以 x x h 1 x x ( ) dh= ( 0) = V([0,+∞), [0,+∞),…, [0,+∞),x) = ∫ (k 1)! x (k 1)! k k! ■
2008年中国国家集训队选拔考试
Gn = {1 ,2 , …, n}的全部非空子集排成一个
序列 P1 , P2 , …, P2 n - 1 ,使得对任意的 i ∈{1 ,
2 , …,2 n - 2} ,总有
| Pi ∩Pi + 1 | = 1 ,且 P1 = {1} , P2 n - 1 = Gn .
当 n = 3 时 ,序列{1} ,{1 ,2} ,{2} ,{2 ,3} ,
+
(6 k 2
+4i
+ 1)
=4k
+2i
+1
为蓝色 ,取 an + 1 = 6 k + 4 i + 1 即可.
至此引理 3 证完.
综上三个引理便知结论成立.
2008 年第 7 期
第二天
四 、首先 ,当 n ≥3 时 ,对 n 用数学归纳
法证明下述命题 :
对任意的正整数 n ( n ≥3) ,可以将集合
P′2 k - 4 ∪{ k + 1} , P′2 k - 5 , …, P′3 ,
P′2 ∪{ k + 1} ,{ k + 1} , P′1 ∪{ k + 1} , P′2 ,
P′3 ∪{ k + 1 } , P′4 , …, P′2 k - 2 , ′ P2 k - 1 ∪
{ k + 1}.
q ≥2 p - 1.
三 、引理 1 若正整数集 N+ 中存在一个
无穷的等差数列 ,则结论成立.
事实上 ,设无穷序列 c1 < c2 < …< cn <
…是 一 个 N+ 中 的 红 色 的 等 差 数 列. 则 取
ai = c2 i - 1 ( i ∈N+ ) ,便得到一个满足要求的
国家集训队2004论文集 黄源河
浅谈图论模型的建立与应用广东省中山市第一中学黄源河【关键字】图论模型、建立、转化【摘要】在近几年的信息学竞赛中，图论题目层出不穷。
图论作为一个新生的数学分支，相比其他数学分支来说，具有许多自有的特性。
利用图论解题，通常具有高效、简洁的便利。
有了这门工具，并不意味就能很好地解决问题，还在于我们能否熟练地识别与建立一系列的图论模型。
本文通过一些实例，简单地介绍一下图论建模的方法。
【正文】引言应用数学知识解题时，首先要通过对实际问题的分析，研究组建用以描述这个问题的数学模型。
使用数学的理论和方法对模型进行分析从而得到结果，再返回去解决现实的实际问题。
图论模型是一类特殊的数学模型，建立图论模型，就是要从问题的原型中，抽取对我们有用的信息和要素，把问题抽象为点、边、权的关系。
经过图论建模之后，杂乱无章的信息变得有规可寻，要素的内在联系体现在了点、边、权的关系。
有不少经典的图论模型可以直接用特定的算法解决，一些复杂的问题，只要能认清问题的本质，把握问题的关键，建立合适的图论模型，往往能转化为我们熟悉的经典问题。
本文要写的，正是我在图论建模方面的一点心得与认识。
例题分析〖例题1〗Place the Robots (ZOJ)[问题大意]有一个N*M(N,M<=50)的棋盘，棋盘的每一格是三种类型之一：空地、草地、墙。
机器人只能放在空地上。
在同一行或同一列的两个机器人，若它们之间没有墙，则它们可以互相攻击。
问给定的棋盘，最多可以放置多少个机器人，使它们不能互相攻击。
[分析]在问题的原型中，草地，墙这些信息不是我们所关心的，我们关心的只是空地和空地之间的联系。
因此，我们很自然想到了下面这种简单的模型：以空地为顶点，有冲突的空地间连边，我们可以得到下面的这个图：那么，问题转化为求图的最大独立集问题。
众所周知，这是NP-完全问题。
看来，建立这样的模型，没有给问题的求解带来任何便利，我们必须建立一个行之有效的新模型。
国家集训队2002论文集-李睿
二分法与统计问题淮阴中学李睿[关键字]线段树二叉树二分法[摘要]我们经常遇到统计的问题。
这些问题的特点是，问题表现得比较简单，一般是对一定范围内的数据进行处理，用基本的方法就可以实现，但是实际处理的规模却比较大，粗劣的算法只能导致低效。
为了解决这种困难，在统计中需要借助一些特殊的工具，如比较有效的数据结构来帮助解决。
本文主要介绍的是分治的思想结合一定的数据结构，使得统计的过程存在一定的模式，以到达提高效率的目的。
首先简要介绍线段树的基础，它是一种很适合计算几何的数据结构，同时也可以扩充到其他方面。
然后将介绍IOI2001中涉及的一种特殊的统计方法。
接着将会介绍一种与线段树有所不同的构造模式，它的形式是二叉排序树，将会发现这种方法是十分灵活的，进一步，我们将略去对它的构造，在有序表中进行虚实现。
目录一线段树1.1 线段树的构造思想1.2 线段树处理数据的基本方法1.3 应用的优势1.4 转化为对点的操作二一种解决动态统计的静态方法2.1 问题的提出2.2 数据结构的构造和设想2.3 此种数据结构的维护2.4 应用的分析三在二叉排序树上实现统计3.1 构造可用于统计的静态二叉排序树3.2 进行统计的方法分析3.3 一个较复杂的例子四虚二叉树4.1 虚二叉树实现的形态4.2 一个具体的例子4.3 最长单调序列的动态规划优化问题[正文]一 线段树在一类问题中，我们需要经常处理可以映射在一个坐标轴上的一些固定线段，例如说映射在OX 轴上的线段。
由于线段是可以互相覆盖的，有时需要动态地取线段的并，例如取得并区间的总长度，或者并区间的个数等等。
一个线段是对应于一个区间的，因此线段树也可以叫做区间树。
1.1线段树的构造思想线段树处理的是一定的固定线段，或者说这些线段是可以对应于有限个固定端点的。
处理问题的时候，首先抽象出区间的端点，例如说N 个端点ti(1≤i ≤N)。
那么对于任何一个要处理的线段（区间）[a,b]来说，总可以找到相应的i,j ，使得ti=a,tj=b,1≤i ≤j ≤N 。
国家集训队2004论文集_林涛
线段树的应用广西柳铁一中林涛【摘要】在竞赛解题中，常遇到与区间有关的操作，比如统计若干矩形并的面积，记录一个区间的最值、总量，并在区间的插入、删除和修改中维护这些最值、总量。
线段树拥有良好的树形二分结构，能够高效的完成这些操作，本文将介绍线段树的各种操作以及一些推广。
本文通过3个例子：《蛇》、《空心长方体》、《战场统计系统》，讲述线段树中基本的插入、删除、查找操作，和不规则的修改和删除操作，以及到二维的推广。
关键字：线段树二分子树收缩叶子释放面积树【正文】1. 线段树的定义及特征定义1：线段树一棵二叉树，记为T (a,b)，参数a,b表示该节点表示区间[a,b]。
区间的长度b-a记为L。
递归定义T[a,b]：若L>1 ：[a, (a+b) div 2]为T的左儿子[(a+b) div 2,b]为T的右儿子。
若L=1 ：T为一个叶子节点。
表示区间[1, 10]的线段树表示如下：(以下取对数后均向上取整)定理1：线段树把区间上的任意一条线段都分成不超过2log L条线段证明：(1)在区间(a，b)中，对于线段(c，d)，如果(c<=a) 或(d>=b)，那么线段在(a，b)中被分为不超过log(b-a)。
用归纳法证明，如果是单位区间，最多被分为一段，成立。
如果区间(a，b)的左儿子与右儿子成立，那么如果当c<=a时，1．若d<=(a+b)div2那么相当与其左儿子分该线段，所分该线段数树不超过log((a+b)div 2-a)，即不超过log(b-a),成立。
2．若d>(a+b) div 2那么相当于该线段被分为它左儿子表示的线段，加上右儿子分该线段，线段数不超过1+log(b-(a+b) div 2),也不超过log(b-a)，成立。
对于d>=b的情况证明类似，不再赘述。
(2)在区间(a,b)中，对于任意线段也用归纳法证明。
对于单位区间，最多分为一段，成立。
2008年noip提高组复赛题解
2015/11/25
北京12中庄燕文
【题目类型】双线程动态规划 【建议编程时间】40分钟。这里的编程时间包括调试时间。 【空间复杂度】约27M，全局变量完全可承受。50*50*50*50*sizeof(int)=2.5*10^7. 【解题分析】 1、 读入矩阵，注意行列。 2、 采用一个四维数组记录当前两条路走到的位置(i1,j1,i2,j2)时取得的最大值，初始化为 0，表示不可能到达。(0,0,0,0)为1，最后减1输出。 3、 一个四重循环枚举两条路分别走到的位置。由于每个点均从上或左继承而来，故内部 有四个if，分别表示两个点从上上、上左、左上、左左继承来时，加上当前两个点所取得 的最大值。例如，f[i][j][k][l] = max{f[i][j][k][l], f[i-1][j][k-1][l] + a[i][j] + a[k][l]}，表示两点均从 上面位置走来。 4、 输出右下角处的最大值f[m][n][m][n]，注意换行。 【编程注意】 1、 在数组边界处特殊处理，避免数组越界。 2、 若待继承的点最大值为零，则停止判断，不能从这里走来。 3、 显然，非矩阵右下角的汇合点，两个位置不能重合（否则路径相交），若重合则最大 值为0，不可达。
2015/11/25
北京12中庄燕文
这道题的错误做法很多,错误做法却能得满分的也很多, 这里就不多说了.直接切入正题,就是即将介绍的这个基 于二分图的算法. 注意到并没有说基于二分 图匹配,因为这个算法和二分图匹配无关.这个算法只是 用到了给一个图着色成二分图. 第一步需要解决的问题是,判断是否有解. 考虑对于任意两个数q1[i]和q1[j]来说,它们不能压入同 一个栈中的充要条件是什么(注意没有必要使它们同时 存在于同一个栈中,只是压入了同一个栈).实际上,这个 条件p是:存在一个k,使得i<j<k且q1[k]<q1[i]<q1[j].
国家集训队2007论文集7.胡伯涛《最小割模型
[Key Words]
Network Flow, Maximum Flow, Minimum Cut, Maximum Weight Closure of a Graph, Finding
a Maximum Density Sub Graph, Minimum Weight Vertex Covering Set and Maximum Weight
第 2 页 共 45 页
[][Library]Thesis
最小割模型在信息学竞赛中的应用
Amber
3.1. 引入 Introduction...........................................................................................................16 3.2. 构造 Construction of Algorithm ....................................................................................17 3.3. 证明 Proof......................................................................................................................17 3.4. 应用 Application............................................................................................................19
knowledge of minimum cut model. The thesis sets focus on researching that is in four aspects: 1. the application based on the
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NOI国家集训队论文分类（至2008） 摘抄自C博客 组合数学 计数与统计 2001 - 符文杰：《Pólya原理及其应用》 2003 - 许智磊：《浅谈补集转化思想在统计问题中的应用》 2007 - 周冬：《生成树的计数及其应用》 2008 - 陈瑜希《Pólya计数法的应用》 数位问题 2009 - 高逸涵《数位计数问题解法研究》 2009 - 刘聪《浅谈数位类统计问题》 动态统计 2004 - 薛矛：《解决动态统计问题的两把利刃》 2007 - 余江伟：《如何解决动态统计问题》 博弈 2002 - 张一飞：《由感性认识到理性认识——透析一类搏弈游戏的解答过程》 2007 - 王晓珂：《解析一类组合游戏》 2009 - 曹钦翔《从“k倍动态减法游戏”出发探究一类组合游戏问题》 2009 - 方展鹏《浅谈如何解决不平等博弈问题》 2009 - 贾志豪《组合游戏略述——浅谈SG游戏的若干拓展及变形》 母函数 2009 - 毛杰明《母函数的性质及应用》 拟阵 2007 - 刘雨辰：《对拟阵的初步研究》 线性规划 2007 - 李宇骞：《浅谈信息学竞赛中的线性规划——简洁高效的单纯形法实现与应用》 置换群 2005 - 潘震皓：《置换群快速幂运算研究与探讨》 问答交互 2003 - 高正宇：《答案只有一个——浅谈问答式交互问题》 猜数问题 2003 - 张宁：《猜数问题的研究:一题的推广》 2006 - 龙凡：《一类猜数问题的研究》 数据结构 数据结构 2005 - 何林：《数据关系的简化》 2006 - 朱晨光：《基本数据结构在信息学竞赛中的应用》 2007 - 何森：《浅谈数据的合理组织》 2008 - 曹钦翔《数据结构的提炼与压缩》 结构联合 2001 - 高寒蕊：《从圆桌问题谈数据结构的综合运用》 2005 - 黄刚：《数据结构的联合》 块状链表 2005 - 蒋炎岩：《数据结构的联合——块状链表》 2008 - 苏煜《对块状链表的一点研究》 动态树 2006 - 陈首元：《维护森林连通性——动态树》 2007 - 袁昕颢：《动态树及其应用》 左偏树 2005 - 黄源河：《左偏树的特点及其应用》 跳表 2005 - 魏冉：《让算法的效率“跳起来”！——浅谈“跳跃表”的相关操作及其应用》 2009 - 李骥扬《线段跳表——跳表的一个拓展》 SBT 2007 - 陈启峰：《Size Balance Tree》 线段树 2004 - 林涛：《线段树的应用》 单调队列 2006 - 汤泽：《浅析队列在一类单调性问题中的应用》 哈希表 2005 - 李羽修：《Hash函数的设计优化》 2007 - 杨弋：《Hash在信息学竞赛中的一类应用》 Splay 2004 - 杨思雨：《伸展树的基本操作与应用》 图论 图论 2005 - 任恺：《图论的基本思想及方法》 模型建立 2004 - 黄源河：《浅谈图论模型的建立与应用》 2004 - 肖天：《“分层图思想”及其在信息学竞赛中的应用》 网络流 2001 - 江鹏：《从一道题目的解法试谈网络流的构造与算法》 2002 - 金恺：《浅谈网络流算法的应用》 2007 - 胡伯涛：《最小割模型在信息学竞赛中的应用》 2007 - 王欣上：《浅谈基于分层思想的网络流算法》 2008 - 周冬《两极相通——浅析最大—最小定理在信息学竞赛中的应用》 最短路 2006 - 余远铭：《最短路算法及其应用》 2008 - 吕子鉷《浅谈最短径路问题中的分层思想》 2009 - 姜碧野《SPFA算法的优化及应用》 欧拉路 2007 - 仇荣琦：《欧拉回路性质与应用探究》 差分约束系统 2006 - 冯威：《数与图的完美结合——浅析差分约束系统》 平面图 2003 - 刘才良：《平面图在信息学中的应用》 2007 - 古楠：《平面嵌入》 2-SAT 2003 - 伍昱：《由对称性解2-SAT问题》 最小生成树 2004 - 吴景岳：《最小生成树算法及其应用》 2004 - 汪汀：《最小生成树问题的拓展》 二分图 2005 - 王俊：《浅析二分图匹配在信息学竞赛中的应用》 Voronoi图 2006 - 王栋：《浅析平面Voronoi图的构造及应用》 偶图 2002 - 孙方成：《偶图的算法及应用》 树 树 2002 - 周文超：《树结构在程序设计中的运用》 2005 - 栗师：《树的乐园——一些与树有关的题目》 路径问题 2009 - 漆子超《分治算法在树的路径问题中的应用》 最近公共祖先 2007 - 郭华阳：《RMQ与LCA问题》 划分问题 2004 - 贝小辉：《浅析树的划分问题》 数论 欧几里得算法 2009 - 金斌《欧几里得算法的应用》 同余方程 2003 - 姜尚仆：《模线性方程的应用——用数论方法解决整数问题》 搜索 搜索 2001 - 骆骥：《由“汽车问题”浅谈深度搜索的一个方面——搜索对象与策略的重要性》 2002 - 王知昆：《搜索顺序的选择》 2005 - 汪汀：《参数搜索的应用》 启发式 2009 - 周而进《浅谈估价函数在信息学竞赛中的应用》 优化 2003 - 金恺：《探寻深度优先搜索中的优化技巧——从正方形剖分问题谈起》 2003 - 刘一鸣：《一类搜索的优化思想——数据有序化》 2006 - 黄晓愉：《深度优先搜索问题的优化技巧》 背包问题 2009 - 徐持衡《浅谈几类背包题》 匹配 2004 - 楼天城：《匹配算法在搜索问题中的巧用》 概率 概率 2009 - 梅诗珂《信息学竞赛中概率问题求解初探》 数学期望 2009 - 汤可因《浅析竞赛中一类数学期望问题的解决方法》 字符串 字符串 2003 - 周源：《浅析“最小表示法”思想在字符串循环同构问题中的应用》 多串匹配 2004 - 朱泽园：《多串匹配算法及其启示》 2006 - 王赟：《Trie图的构建、活用与改进》 2009 - 董华星《浅析字母树在信息学竞赛中的应用》 后缀数组 2004 - 许智磊：《后缀数组》 2009 - 罗穗骞《后缀数组——处理字符串的有力工具》 字符串匹配 2003 - 饶向荣：《病毒的DNA———剖析一道字符匹配问题解析过程》 2003 - 林希德：《求最大重复子串》 动态规划 动态规划 2001 - 俞玮：《基本动态规划问题的扩展》 2006 - 黄劲松：《贪婪的动态规划》 2009 - 徐源盛《对一类动态规划问题的研究》 状态压缩 2008 - 陈丹琦《基于连通性状态压缩的动态规划问题》 状态设计 2008 - 刘弈《浅谈信息学中状态的合理设计与应用》 树形DP 2007 - 陈瑜希：《多角度思考创造性思维——运用树型动态规划解题的思路和方法探析》 优化 2001 - 毛子青：《动态规划算法的优化技巧》 2003 - 项荣璟：《充分利用问题性质——例析动态规划的“个性化”优化》 2004 - 朱晨光：《优化，再优化！——从《鹰蛋》一题浅析对动态规划算法的优化》 2007 - 杨哲：《凸完全单调性的加强与应用》 计算几何 立体几何 2003 - 陆可昱：《长方体体积并》 2008 - 高亦陶《从立体几何问题看降低编程复杂度》 计算几何思想 2004 - 金恺：《极限法——解决几何最优化问题的捷径》 2008 - 程芃祺《计算几何中的二分思想》 2008 - 顾研《浅谈随机化思想在几何问题中的应用》 圆 2007 - 高逸涵：《与圆有关的离散化》 半平面交 2002 - 李澎煦：《半平面交的算法及其应用》 2006 - 朱泽园：《半平面交的新算法及其实用价值》 矩阵 矩阵 2008 - 俞华程《矩阵乘法在信息学中的应用》 高斯消元 2002 - 何江舟：《用高斯消元法解线性方程组》 数学方法 数学思想 2002 - 何林：《猜想及其应用》 2003 - 邵烜程：《数学思想助你一臂之力》 数学归纳法 2009 - 张昆玮《数学归纳法与解题之道》 多项式 2002 - 张家琳：《多项式乘法》 数形结合 2004 - 周源：《浅谈数形结合思想在信息学竞赛中的应用》 黄金分割 2005 - 杨思雨：《美，无处不在——浅谈“黄金分割”和信息学的联系》 其他算法 遗传算法 2002 - 张宁：《遗传算法的特点及其应用》 2005 - 钱自强：《关于遗传算法应用的分析与研究》 信息论 2003 - 侯启明：《信息论在信息学竞赛中的简单应用》 染色与构造 2002 - 杨旻旻：《构造法——解题的最短路径》 2003 - 方奇：《染色法和构造法在棋盘上的应用》 一类问题 区间 2008 - 周小博《浅谈信息学竞赛中的区间问题》 序 2005 - 龙凡：《序的应用》 系 2006 - 汪晔：《信息学中的参考系与坐标系》 物理问题 2008 - 方戈《浅析信息学竞赛中一类与物理有关的问题》 编码与译码 2008 - 周梦宇《码之道—浅谈信息学竞赛中的编码与译码问题》 对策问题 2002 - 骆骥：《浅析解“对策问题”的两种思路》 优化 算法优化 2002 - 孙林春：《让我们做得更好——从解法谈程序优化》 2004 - 胡伟栋：《减少冗余与算法优化》 2005 - 杨弋：《从的解法谈算法的优化》 2006 - 贾由：《由图论算法浅析算法优化》 程序优化 2006 - 周以苏：《论反汇编在时间常数优化中的应用》 2009 - 骆可强《论程序底层优化的一些方法与技巧》 语言 C++