统计学课件 概率论基础

0.5016
0.5005
当n逐渐增大时，频率趋向于某一常数，称为
频率稳定性
2-8

概率(probability)
S是某一随机试验的样本空间，对于其中的任意
一个事件A赋予一个实数P(A)，如果P(A)满足下 列三个条件，则称P(A)为事件A的概率。 1. 0P(A) 1 2. P(S)=1 3. 如果A1,A2,…,是两两不相容的事件，那么 P(A1+A2+…)=P(A1)+P(A2)+…
每次试验的可能结果不止一个，但事先能明确
所有的可能结果 进行一次试验之前不能确定会出现哪一个结果

实例
一枚硬币抛掷两次
在校园里询问任意一个学生的年龄
2-5

样本空间(sampling space)/总体(population)
某一个随机试验的所有可能结果组成的集合，记
为S

样本点(sampling point)
2-12

连续型变量的累积分布函数(cumulative distribution function，CDF)
F ( x ) P( X x ) a .P ( X a ) 1 F ( a ) b .P ( a X b ) F ( b ) F ( a ),a b
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2-14
概率密度函数
连续型变量的概率密度函数(PDF)

x
f ( x )dx F ( x ) P ( X x )
概率密度函数f ( t )有以下重要性质： a .

f ( x )dx 1
b a
b .P ( a X b ) F ( b ) F ( a ) f ( x )dx , a b
P ( x X x x) f ( x) lim x 0 x
这表明，f(x)不是X取值x的概率，而是它在x点 概率分布的密集程度。但是f(x)的大小能反映X在x 附近取值的概率大小。因此，对于连续型随机变量， 用密度函数描述它的分布比分布函数直观。
2-16
概率密度函数

连续型变量的概率密度函数(PDF)

实例
枪靶的半径为2米，若每枪都能击中枪靶，且
击中靶上任一同心圆内的点的概率与该圆的面 积成正比，则弹着点与靶心的距离X是一个连 续型随机变量，其CDF为：
2-13
概率密度函数
0, x 0 2 F ( x) x / 4,0 x 2 1, x 2
F(x) 1 x

当n趋近于无穷大时，频率fn(A)无限接近于概 率P(A)，从而用概率来度量事件A在一次试验 中发生的可能性
2-9

条件概率(conditional probability)
设A、B是两个事件，且P(A)>0，称下式为事件A发生的
条件下事件B发生的条件概率：

实例 一枚硬币抛掷两次，出现正面记为H，出现反面 记为T。样本空间：{HH, HT, TH, TT}。 事件A为“至少有一次H”，事件B为“两次都是 同一面”。则事件A的概率为3/4，事件A和B同 时发生的概率为1/4，在A发生的条件下B发生的 概率为1/3
f(x)
P (a X b) f ( x )dx
a b
a
2-17
b
x
多维随机变量

多维随机变量
多个变量的取值由同一个随机试验决定，称这
P ( AB ) P ( B | A) P ( A)
2-10
二、随机变量

随机变量(stochastic/random variable)
一个变量若它的值是由随机试验决定的，称其为随机
变量。随机变量通常用大写字母X、Y、Z表示，其数 值则用小写字母x、y、z表示

离散型随机变量(discrete random variable)
经济计量学
概率论与统计学基础 (chp2~chp5)
主要内容
概率论基础知识 数理统计基础知识

2-2
概率论部分
概率论基础知识主要内容
概率 随机变量 概率密度函数 多维随机变量 随机变量的数字特征 一些重要的概率分布

2-4
一、概率

随机试验
可以在相同条件下重复进行

离散型变量的概率函数/概率分布
f ( X ) P( X xi ),i 1,2 , , n

实例
X：投掷两颗骰子出现的点数之和，X的PDF为：
X
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
f(X) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
实例

f(x) 1 2
在上例中，PDF为：
x / 2 ,0 x 2 f( x) 0 , 其它
x
2-15
PDF与CDF关系
概率密度函数(PDF)是累积分布函数(CDF)的 x 导数,即 f ( x) F ( x), F ( x) f (t )dt


对于这一点进一步剖析,可以得到：
样本空间里的某一元素，即随机试验的某一可能
结果

实例
一枚硬币抛掷两次，出现正面记为H，出现反面
记为T
样本空间：{HH, HT, TH, TT} 样本点： HH, HT, TH, TT

2-6

事件(event)
某一随机试验的样本空间的一个子集

实例：一枚硬币抛掷两次
事件A：出现两个正面 事件B：出现一个正面和一个反面 事件C：出现两个反面
可能取到的值是有限个的随机变量

例：离散型随机变量：扔一次骰子出现的点数；未出生婴儿的 性别

连续型随机变量(continuous random variable)
可能取到的值是无限个的随机变量

例：人的身高；百米跑速度
2-11
三、概率密度函数(probability density
function，PDF/probability distribution)
2-7

频率(frequency)
在相同条件下，某随机试验进行了n次，其中
事件A发生了m次，则比值m/n称为事件A发生 的频率，记fn(A)

实例：抛掷一枚硬币，事件A为出现正面
n 5 50 500 2048 4040 12000 24000
fn(A)
0.6
0.54
0.484
0.5181
0.5069