2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题44直线与圆、圆与圆的位置关系(押题专练)含解析
高考数学一轮复习 4-1.2直线与圆的位置关系精品课件 新人教版
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直线与圆的位置关系
1.圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数. 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧 相等. 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径. 弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
【典例1】 如图,已知AP是⊙O的切线,P为切点,AC是⊙O的割线,与⊙O交 于B,C两点,圆心O在∠PAC的内部,点M是BC的中点.
(1)证明:A,P,O,M四点共圆;
(2)求∠OAM+∠APM的大小. [分析] 要证A､P､O､M四点共圆,可考虑四边形APOM的对角互补;根据四点 共圆,同弧所对的圆周角相等,进行等量代换,进而求出∠OAM+∠APM的大小.
在 APD中, AD 2 PA 2 PD 2 2PA PD 2 3 cosAPD 6b 9b 2 b 3b cosAPD 2
2 2
15b 2 6 6cosAPD. 5 2 b 6b 2 cosAPD 2 BC 1 2 , 2 2 2 AD 15b 6 6b cosAPD 6 BC 6 . AD 6 6 答案 : 6
2.圆内接四边形的性质定理与判定定理:
圆内接四边形的对角互补;圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.
如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆;如果四边形 的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.
3.切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.
推论:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;经过切点且垂直于切线的
解析:连接OA,OB, ∵∠BCA=45°,∴∠AOB=90°. 设圆O的半径为R,在Rt△AOB中,R2+R2=AB2=16,∴R2=8. ∴圆O的面积为8π. 答案:8π
年高考第一轮复习数学：直线与圆的位置关系
直线与圆的地点关系●知识梳理 直线和圆1.直线和圆地点关系的判断方法一是方程的看法，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用鉴别式 来议论地点关系 .① ＞0，直线和圆订交 . ② =0，直线和圆相切 . ③＜0，直线和圆相离 .方法二是几何的看法，即把圆心到直线的距离 d 和半径 R 的大小加以比较 .① d ＜R ，直线和圆订交 . ② d=R ，直线和圆相切 . ③ d ＞R ，直线和圆相离 .2.直线和圆相切，这种问题主假如求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种状况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种状况.3.直线和圆订交，这种问题主假如求弦长以及弦的中点问题 .●点击双基1.（ 2005 年北京海淀区期末练习题）设m>0，则直线2 22（ x+y ） +1+m=0 与圆 x +y =m的地点关系为A. 相切B. 订交C.相切或相离D. 订交或相切解读：圆心到直线的距离为d=1m，圆半径为m .2∵ d － r =1 m－ m = 1（m － 2 m +1） = 1（ m － 1） 2≥ 0，222∴直线与圆的地点关系是相切或相离 .答案： C2.圆 x 2＋ y 2－ 4x+4y+6=0 截直线 x － y － 5=0 所得的弦长等于A. 6B. 5 22解读：圆心到直线的距离为2，半径为 2 ，弦长为 2( 2)2( 2)2= 6.22答案： A3.（ 2004 年全国卷Ⅲ， 4）圆 x 2+y 2－4x=0 在点 P （ 1， 3）处的切线方程为A. x+ 3 y － 2=0B. x+ 3 y － 4=0－3 y+4=0D. x －3 y+2=0解法一：x 2+y 2－ 4x=0y=kx － k+3x 2－ 4x+（ kx － k+3 ）2 =0.该二次方程应有两相等实根，即=0，解得 k=3.3∴ y － 3 =3（ x － 1），即 x － 3 y+2=0.3解法二：∵点（ 1，3 ）在圆 x 2 +y 2－ 4x=0 上，∴点 P 为切点，进而圆心与 P 的连线应与切线垂直 .又∵圆心为（2， 0），∴3· k=－1.2 1解得 k=3，∴切线方程为 x － 3 y+2=0.3答案： D4.（ 2004 年上海，理 8）圆心在直线 2x － y － 7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点A （0，－4）、 B （0，－ 2），则圆 C 的方程为 ____________.解读：∵圆 C 与 y 轴交于 A （ 0，－ 4）， B （ 0，－ 2），∴由垂径定理得圆心在 y=－ 3 这条直线上 .又已知圆心在直线2x － y －7=0 上，y=－3，解 得 ∴联立2x － y －7=0.∴圆心为（ 2，－ 3），半径 r =|AC |=2 2 [3 ( 4)] 2 = 5 .∴所求圆 C 的方程为（ x －2） 2+（ y+3 ）2=5. 答案：（ x － 2） 2+（ y+3） 2=55.若直线 y=x+k 与曲线 x= 1 y 2 恰有一个公共点，则 k 的取值范围是 ___________.解读：利用数形联合 .答案：－ 1＜ k ≤ 1 或 k=－2●典例解析【例 1】 已知圆 x 2+y 2+x －6y+m=0 和直线 x+2y － 3=0 交于 P 、 Q 两点，且 OP ⊥ OQ （O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.解析：因为 OP ⊥ OQ ，所以 k OP · k OQ =－ 1，问题可解 .222解：将 x=3－ 2y 代入方程 x +y +x － 6y+m=0，得 5y － 20y+12+m=0.12 my 1+y 2=4， y 1y 2=.5∵ OP ⊥ OQ ，∴ x 1x 2+y 1 y 2=0.而 x1=3－ 2y1，x2 =3－ 2y2，∴x1x2=9 － 6（ y1+y2） +4y1y2.∴ m=3，此时＞0，圆心坐标为（－1，3），半径r =5. 22评论：在解答中，我们采纳了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但一定注意这样的交点能否存在，这可由鉴别式大于零帮助考虑.【例 2】求经过两圆（x+3）2+y2=13 和 x2+（ y+3）2=37 的交点，且圆心在直线x－ y－4=0 上的圆的方程.解析：依据已知，可经过解方程组（x+3）2+y2=13 ，22得圆上两点，x +（ y+3） =37由圆心在直线x－y－ 4=0 上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可依据已知，设所求圆的方程为（x+3）2 +y2－ 13+ λ［ x2+（ y+3）2－ 37］ =0，再由圆心在直线 x－ y－ 4=0 上，定出参数λ，得圆方程 .解：因为所求的圆经过两圆（x+3）2+y2=13 和 x2+（y+3）2=37 的交点，所以设所求圆的方程为（x+3）2+y2－ 13+ λ［ x2+（ y+3 ）2－ 37］ =0.睁开、配方、整理，得（x+3）2 +（y+3）2=4 28+ 9(12 ) .111(1) 2圆心为（－3，－3），代入方程x－ y－4=0 ，得λ=－ 7.11故所求圆的方程为（x+1）2+（ y+7）2=89. 222评论：圆 C1： x2+y2+D 1x+E1y+F1=0，圆 C2： x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圆 C1、 C2订交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x2+y2+D 1x+E1y+F1） +λ（ x2+y2+D2x+E2y+F2） =0 （λ ∈R 且λ ≠－1）.它表示除圆C2之外的全部经过两圆C1、 C2公共点的圆 .特别提示在过两圆公共点的图象方程中，若λ=－ 1，可得两圆公共弦所在的直线方程.【例 3】已知圆C：（ x－1）2＋（ y－ 2）2＝ 25，直线l：（ 2m+1） x+（ m+1） y－7m －4=0 （ m∈R） .（1）证明：无论 m 取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；（ 2）求直线被圆 C 截得的弦长最小时l 的方程 .解析：直线过定点，而该定点在圆内，本题即可解得.（1）证明： l 的方程（ x+y－ 4） +m（ 2x+y－ 7） =0.2x+y－ 7=0 ， x=3，∵ m∈R，∴得x+y－4=0 ， y=1，即 l 恒过定点 A（ 3，1） .∵圆心 C（ 1，2），｜ AC｜＝ 5 ＜5（半径），∴点 A 在圆 C 内，进而直线l 恒与圆 C 订交于两点 .（2）解：弦长最小时， l⊥ AC，由 k AC＝－1，2∴l 的方程为 2x－ y－ 5=0.评论：若定点 A 在圆外，要使直线与圆订交则需要什么条件呢？思虑议论求直线过定点，你还有其他方法吗？●闯关训练夯实基础1.若圆（ x－ 3）2＋（ y+5 ）2＝ r 2上有且只有两个点到直线 4x－ 3y=2 的距离等于 1，则半径 r 的范围是A. （4， 6）B.［4， 6）C.（ 4，6］D.［ 4， 6］解读：数形联合法解.答案： A2.（ 2003 年春天北京）已知直线ax+by+c=0（ abc≠0）与圆 x2+y2=1 相切，则三条边长分别为｜ a｜、｜ b｜、｜ c｜的三角形A. 是锐角三角形B. 是直角三角形C.是钝角三角形D. 不存在解读：由题意得| a 0 b0c |=1，即 c2 =a2+b2，∴由｜ a｜、｜ b｜、｜ c｜组成的三a 2b2角形为直角三角形 .答案： B3.（ 2005 年春天北京， 11）若圆 x2+y2+mx－1=0 与直线 y=－ 1 相切，且其圆心在y 轴4的左边，则 m 的值为 ____________.解读：圆方程配方得（ x+ m）2+y2=m2 1，圆心为（－m，0） . 242由条件知－m<0，即 m>0. 2又圆与直线 y=－1 相切，则0－（－ 1） =m 2124，即 m =3，∴ m= 3 .答案：34.（ 2004年福建， 13）直线x+2y=0 被曲线 x2+y2－ 6x－ 2y－ 15=0 所截得的弦长等于____________.解读：由 x2+y2－ 6x－ 2y－15=0 ，得（ x－ 3）2+（ y－ 1）2=25.知圆心为（ 3， 1）， r=5.由点（ 3， 1）到直线 x+2y=0 的距离 d= |32 | = 5 .5可得1弦长为 2 5 ，弦长为4 5 . 2答案： 455.自点 A（－ 3，3）发出的光芒l 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光芒所在的直线与圆 x2＋y2－ 4x－ 4y＋ 7＝ 0 相切，求光芒 l 所在直线的方程 .解：圆（ x － 2） 2＋（ y － 2） 2＝ 1 对于 x 轴的对称方程是（ x － 2） 2＋（ y ＋ 2） 2＝ 1.设 l 方程为 y － 3＝ k （ x ＋3），因为对称圆心（ 2，－ 2）到 l 距离为圆的半径1，进而可得 k 1＝－ 3 ， k 2＝－ 4．故所求 l 的方程是 3x ＋ 4y － 3＝ 0 或 4x ＋ 3y ＋ 3＝0.436.已知 M （ x 0， y 0）是圆 x 2+y 2=r 2（ r >0）内异于圆心的一点，则直线 x 0x+y 0y=r 2 与此圆有何种地点关系 ?解析：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.解：圆心 O （0， 0）到直线 x 0x+y 0y=r 2 的距离为 d=r 2 .x 02 y 02∵ P （ x 0， y 0）在圆内，∴ 22x 0 y 0 <r .则有 d>r ，故直线和圆相离 . 培育能力7.方程 ax 2+ay 2－ 4（a － 1） x+4y=0 表示圆，求 a 的取值范围，并求出此中半径最小的圆的方程 .解：（ 1）∵ a ≠0 时，方程为［ x －2(a1) ］2 +（ y+ 2 ） 2 = 4( a 2 2a 2) ，a a a 2因为 a 2－2a+2 ＞ 0 恒建立， ∴ a ≠0 且 a ∈ R 时方程表示圆 .（ 2） r 2=4 · a22a2=4［2( 1－ 1)2+1］，a 2a 2 2∴ a=2 时， r min 2=2.此时圆的方程为（ x － 1） 2+（ y － 1） 2=2.8.（文）求经过点A （－ 2，－ 4），且与直线 l ： x+3y － 26=0 相切于（ 8， 6）的圆的方程.解：设圆为 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，依题意有方程组 3D － E=－ 36， 2D+4E －F=20， 8D+6E+F=－ 100. D=－ 11， ∴ E=3，F=－ 30.∴圆的方程为 x 2+y 2－ 11x+3y －30=0.（理）已知点 P 是圆 x 2+y 2=4 上一动点，定点 Q （ 4， 0） .（ 1）求线段 PQ 中点的轨迹方程；（ 2）设∠ POQ 的均分线交 PQ 于 R ，求 R 点的轨迹方程 .解：（ 1）设 PQ 中点 M （ x ， y ），则 P （ 2x － 4， 2y ），代入圆的方程得（x － 2）2+y 2=1.（ 2）设 R （ x ， y ），由| PR |= |OP|= 1 ，|RQ| |OQ | 2设 P （ m ，n ），则有3x4m=，n=3y，2代入 x 2+y 2=4 中，得 （ x － 4） 2+y 2=16（ y ≠ 0） .39研究创新9.已知点 P 到两个定点 M （－ 1， 0）、 N （ 1， 0）距离的比为 2，点 N 到直线 PM 的距离为 1，求直线 PN 的方程 .解：设点 P 的坐标为（ x ，y ），由题设有|PM |= 2，|PN |即 (x 1) 2y 2 = 2 · (x 1) 2y 2 ，整理得 x 2+y 2－6x+1=0.①因为点 N 到 PM 的距离为 1， |MN |=2，所以∠ PMN =30°，直线 PM 的斜率为±3.3直线 PM 的方程为 y=±3（ x+1） .3②将②代入①整理得x 2－ 4x+1=0.解得 x 1=2+ 3 ， x 2=2－ 3 .代入②得点 P 的坐标为（ 2+ 3 ，1+ 3 ）或（ 2－ 3，－1+ 3 ）；（ 2+ 3，－1－3 ）或（ 2－ 3，1－ 3）.直线 PN 的方程为 y=x － 1 或 y=－ x+1. ●思悟小结1.直线和圆的地点关系有且仅有三种：相离、相切、订交.判断方法有两个：几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；代数法，看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数 .2.解决直线与圆的地点关系的相关问题，常常充足利用平面几何中圆的性质使问题简化.●教师下载中心 教学设计点睛1.相关直线和圆的地点关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确立.2.当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线组成的直角三角形；与圆订交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半组成的直角三角形.3.相关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用.4.在确立点与圆、直线与圆、圆与圆的地点关系时，常常要用到距离，所以，两点间的距离公式、点到直线的距离公式等应娴熟掌握，灵巧运用.拓展题例【例 1 】已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，必定点为A（ 1， 2），要使过定点A （1， 2）作圆的切线有两条，求 a 的取值范围 .解：将圆的方程配方得（x+a）2+（ y+1）243a2C 的坐标为（－a，－2=4，圆心21），半径43a2r=4，条件是 4－ 3a2＞ 0，过点 A（ 1， 2）所作圆的切线有两条，则点 A 必在圆外，即(1a)2(21)2＞43a 2.242化简得 a +a+9 ＞ 0.4－3a2＞ 0，由a2 +a+9＞ 0，－2 3＜ a＜2 3，33解之得a∈R.∴－2 3＜a＜2 3. 33故 a 的取值范围是（－23，2 3）.33【例 2】已知⊙ O 方程为 x2+y2=4，定点 A（ 4， 0），求过点 A 且和⊙ O 相切的动圆圆心的轨迹 .解析：两圆外切，连心线长等于两圆半径之和，两圆内切，连心线长等于两圆半径之差，由此可获得动圆圆心在运动中所应知足的几何条件，而后将这个几何条件坐标化，即获得它的轨迹方程 .解法一：设动圆圆心为P（ x， y），因为动圆过定点 A，所以 |PA|即动圆半径 .当动圆 P 与⊙ O 外切时， |PO |=|PA|+2；当动圆 P 与⊙ O 内切时， |PO |=|PA|－2.综合这两种状况，得 ||PO|－ |PA||=2.将此关系式坐标化，得| x2y2－ ( x 4)2y2|=2.化简可得（ x－ 2）2－y2=1. 3解法二：由解法一可得动点P 知足几何关系||OP|－ |PA||=2，即 P 点到两定点 O、 A 的距离差的绝对值为定值2，所以P点轨迹是以O、A为焦点， 2为实轴长的双曲线，中心在OA 中点（ 2， 0），实半轴长=1，半焦距c =2，虚半轴长ab = c2a 2= 3 ，所以轨迹方程为（ x － 2） 2－ y 2=1.3。
高中数学高考高三理科一轮复习资料第8章 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
题型探究 题型一 直线和圆相交 例 1 已知圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线 l：(2m＋1)x ＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)． (1)证明：无论 m 取何实数，直线 l 与圆恒交于两点； (2)求直线 l 被圆 C 截得的线段的最短长度以及此时直线 l 的方程．
高中数学
8．4 直线与圆、圆与圆的位置关系
考纲点击 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系； 能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
说基础
课前预习读教材
考点梳理 一、直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交． 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： (1)代数法：利用判别式 Δ＞0⇔① 判别式 Δ＝0⇔② ――→ 2 Δ＝b －4ac Δ＜0⇔③ (2)几何法： 利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关 系 d＜r⇔④______；d＝r⇔⑤______；d＞r⇔⑥______.
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源 一、圆的切线方程的求法 1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程 先求切点与圆心连线的斜率 k，由垂直关系知切线斜率为 1 － k ，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由 图形写出切线方程 x＝x0.
2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程 (1)几何方法 当斜率存在时，设为 k，切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，即 kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径， 即可得出切 线方程． (2)代数方法 设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，即 y＝kx－kx0＋y0，代入 圆方程，得一个关于 x 的一元二次方程，由 Δ＝0，求得 k，切 线方程即可求出． 【说明】 过圆外一点作圆的切线有两条， 若在解题过程中， 只解出一个答案，说明另一条直线的斜率不存在．
直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
≤ + ，解得−
≤≤
.
−−
+
=
+
≤ ，即
考点二 直线与圆位置关系的应用
角度1 圆的切线问题（链接高考）
例2 (2023·新课标Ⅰ卷)过点 , − 与圆 + − − = 相切的两条直
（2）过圆 + = 外一点 , 作圆的两条切线，则两切点所在
直线方程为 + = .
2.圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
（2）两个圆系方程
①过直线 + + = 与圆 + + + + = 交点的圆系方
（其中不含圆 ，所以注意检验 是否满足题意，以防丢解）.
1.若经过点 −, − 的直线与圆 + = 相切，则该直线在轴上的截
距为(
A.
)
√
C.−
B.5
解析：选C.因为 −
+ −
D.−
= ，所以点在圆上，
所以切线方程为− − = ,令 = 得 =
+ − − = 相交.
方法三：圆的方程可化为 −
+ = ,
所以圆的圆心为 , ，半径为3.
圆心到直线 − + − = 的距离为
+−
+
=
+
≤ < ,所以直线与圆相交.故选C.
2019版高考数学一轮复习第七章解析几何第4讲直线与圆的位置关系配套课件理20180712290
考情风向标 从近几年的高考看， 对这部分内容的考查 呈上升的趋势，逐渐 成为热点问题，要引 起重视 . 预计 2019 年高 考仍将以圆与圆、直 线与圆的位置为主要 考点，尤其是直线与 圆的位置关系是重中 之重，备考时应特别 关注利用圆心到直线 的距离与半径的大小 比较来判断位置关系 及有关计算的方法
1.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9 的位置关系为 ( B )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
解析：两圆心之间的距离为 d＝ －2－22＋0－12＝ 17， 两圆的半径分别为 r1＝2，r2＝3，则r2－r1＝1<d<r1＋r2＝5.故两
圆相交.故选 B.
2.已知圆 x2＋y2＋2x－2y＋a＝0 截直线 x＋y＋2＝0 所得弦 的长度为 4，则实数 a 的值为( B )
4x－3y＋a＝0， 由方程组 2 2 x ＋y ＝100，
消去 y，得
25x2＋8ax＋a2－900＝0.
Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90 000. ① 当直线和圆相交时， Δ>0 ， 即－36a2 ＋ 90 000>0 ， －50<a<50； ②当直线和圆相切时，Δ＝0，即 a＝50 或 a＝－50； ③当直线和圆相离时，Δ<0，即 a<－50 或 a>50. 方法二，(几何法)
解析：由点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方
程为 x2＋y2＝5，所以该圆在点 P 处的切线方程为 1×x＋2×y
＝5，即 x＋2y－5＝0.
考点 1 直线与圆的位置关系 考向 1 直线与圆位置关系的判断 例 1：若直线4x－3y＋a＝0与圆 x2＋y2＝100 有如下关系： ①相交；②相切；③相离.试分别求实数 a 的取值范围. 解：方法一，(代数法)
高考数学(理科)一轮复习课件：第七章 第4讲 直线与圆的位置关系
线 x＋y＝0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N：(x－1)2
＋(y－1)2＝1 的位置关系是( )
A.内切
B.相交
C.外切
D.相离
解析：由 x2＋y2－2ay＝0(a>0)，得 x2＋(y－a)2＝a2(a>0).所
以圆 M 的圆心为(0，a)，半径为 r1＝a.因为圆 M 截直线 x＋y＝
2.已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦
的长度为 4，则实数 a 的值为( B )
A.－2
B.－4
C.－6
D.－8
解析：圆 x2＋y2＋2x－2y＋a＝0 配方，得(x＋1)2＋(y－1)2
＝2－a.所以圆心为(－1,1)，半径 r＝ 2－a.圆心到直线 x＋y＋2
＝0 的距离为 d＝－1＋21＋2＝ 2.所以( 2)2＋22＝r2＝2－a.解
1.(2015年重庆)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2 ＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴.过点A(－4，a)作圆C的一条切 线，切点为 B，则|AB|＝( C )
A.2
B.4 2
C.6
D.2 10
解析：圆 C 的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为 C(2,1)， 半径为 r＝2，因此 2＋a×1－1＝0，a＝－1，即 A(－4，－1)， |AB|＝ |AC|2－r2＝ －4－22＋－1－12－4＝6.故选 C.
A.－53或－35 C.－54或－45
B.－32 或－23 D.－43或－34
解析：由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点 (2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为 k，则反射光线所在直 线的方程为：y＋3＝k(x－2)，即 kx－y－2k－3＝0.又因为反射 光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1 相切，所以|－3k－k22－＋21k－3|＝1. 整理，得 12k2＋25k＋12＝0.解得 k＝－43或 k＝－34.故选 D.
高考数学一轮复习第七章第四讲直线与圆、圆与圆的位置关系课件
解析：当 k＝ 33时，直线 l 为 y＝ 33(x＋2)，即 3x－3y＋2 3＝ 0，所以圆心(0，0)到直线 l 的距离为 d＝|0－( 03＋)22＋323|＝1＝r， 所以直线与圆相切.当直线与圆相切时，圆心(0，0)到直线 kx－y＋
解析：如图 D71，曲线 C：y＝ 1－x2 的图象为单位圆的上半
圆(包含端点)，直线 l：x＋y＝m 的斜率为－1，在 y
轴上的截距为 m.当直线 l 经过A(1，0)，B(0，1)两点 时，m＝1，此时直线 l 与曲线 C 有两个公共点.当直 线 l 与曲线 C 相切时，m＝ 2.因此当 1≤m< 2时， 直线 l 与曲线 C 有且只有两个公共点.
2k＝0 的距离为 d＝ k|22＋k| 1＝r＝1，解得 k＝±33.故“k＝ 33”是 “直线 l：y＝k(x＋2)与圆 O：x2＋y2＝1 相切”的充分不必要条件. 故选 A.
答案：A
2.若直线 l：x＋y＝m 与曲线 C：y＝ 1－x2 有两个公共点， 则实数 m 的取值范围是________________.
∵点(1，1)在圆 C：x2＋(y－1)2＝5 的内部， ∴直线 l 与圆相交.
(方法三，代数法)由mx2x＋－(yy－＋11)－2＝m5＝，0，
消去 y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0， 因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线 l 与圆相交. 答案：A
(2)若直线 x＋my＝2＋m 与圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相交，则 实数 m 的取值范围为( )
第四讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置 关系.
高考数学(理)总复习讲义：直线与圆、圆与圆的位置关系
)
A． [－ 3 ，－ 1]
B.[－ 1,3]
C． [－ 3,1]
D． (－∞，－ 3]∪ [1，＋∞ )
解析： 选 C 由题意可得，圆的圆心为 (a,0)，半径为 2，
|a－ 0＋ 1| 所以 12＋ － 1 2≤ 2，
即 |a＋ 1|≤2，解得－ 3≤ a≤ 1，故选 C. 4．已知直线 l：y＝ k(x＋ 3)和圆 C：x2＋ (y－ 1) 2＝1，若直线 l 与圆 C 相切，则 k＝ ________.
A ．相切
B.相交
C ．相离
D ．不确定
解析： 选 B 因为 M (a， b)在圆 O： x2＋ y2＝ 1 外，所以 a2＋b2＞ 1，而圆心 O 到直线
ax＋ by＝ 1 的距离 d＝
1 a2＋
b2＜
1.所以直线与圆相交．
2．(2019 杭·州模拟 )若无论实数 a 取何值时， 直线 ax＋ y＋a＋ 1＝ 0 与圆 x2＋ y2－ 2x－ 2y
所以该圆的圆心坐标为 (1,2)，半径 r＝ 5，
又圆心 (1,2)到直线
3x－ y－ 6＝ 0 的距离为
d＝
|3－ 2－6| 32＋ － 1 2＝
210，由
|AB| 2
2＝ r2－ d2，
得|AB|2＝ 4
5 5－ 2
＝10，即 |AB|＝
10.
答案： 10
考点一 直线与圆的位置关系的判断
[ 师生共研过关 ]
＝ 0 与圆相交， l1， l2 与 l 平行，且与直线 l 的距离为 1，故可以看出，圆的
半径应该大于圆心到直线 l2 的距离 2＋ 1.
[ 答案 ] (1)A (2)D (3)A
[ 解题技法 ]
9-4直线与圆、圆与圆的位置关系2019高三一轮复习课件
(4)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两 圆的公共弦所在的直线方程． ( )
(5)过圆 O： x2＋y2＝r2 上一点 P(x0， y0)的圆的切线方程是 x0x＋y0y ＝r2.
基础诊断
(
考点突破
)
解析 (1)“k＝1”是“直线 x－y＋k＝0 与圆 x2＋y2＝1 相交”的充 分不必要条件． (2)除外切外，还有可能内切． (3)两圆还可能内切或内含． 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
基础诊断
考点突破
2．(2015· 安徽卷改编)直线 3x＋4y＝b 与圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相 切，则 b 的值是________． 解析 圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心(1,1)到直线 3x |7－b| ＋4y＝b 的距离为 ＝1，解得 b＝2 或 b＝12. 5 答案 2 或 12
基础诊断
考点突破
(2)当直线的斜率不存在时，直线方程为 x＝2，此时，圆心到直线的 距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时， 设直线方程为 y－4＝k(x－2)，即 kx－y＋4－2k＝0，∵直线与圆相 |k－1＋4－2k| |3－k| 切， ∴圆心到直线的距离等于半径， 即 d＝ ＝ 2 2 ＝ 2 k ＋－1 k ＋1 1，
得 x－y＋2＝0. 2 又圆 x ＋y ＝4 的圆心到直线 x－y＋2＝0 的距离为 ＝ 2. 2
2 2
由勾股定理得弦长的一半为 4－2＝ 2， 所以，所求弦长为 2 2. 答案 2 2
基础诊断 考点突破
考点一
直线与圆的位置关系
【例 1】 (1)“a＝3”是“直线 y＝x＋4 与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8 相 切”的 ________ 条件 ( 从“充分不必要”“必要不充分”“充 要”“既不充分也不必要”中选填一个)． 3 (2)直线 y＝－ 3 x＋m 与圆 x2＋y2＝1 在第一象限内有两个不同的 交点，则 m 的取值范围是________．
高考数学复习第八单元第44讲直线与圆、圆与圆的位置关系课件理新人教A版4
位置关系是
.
2
相交
[答案]
[解析] 将圆的方程化为
x +(y-1) =1,直线 l 的方程化为
2
2
kx-y-k+1=0,则圆心为(0,1),半径
r=1,所以圆心到直线 l 的距离
d=
|-|
1+ 2
<1,故直线 l 与圆相交.
课前双基巩固
3.[教材改编] 圆 x +y -4x=0 在点 P(1, 3)处的切线方程
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆
相交. (
[解析] (1)直线的方程与圆的方程组成
两组解时,直线与圆相交.
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,
则两圆外切. (
(2)× (3)× (4)×
)
共弦所在的直线方程.
课前双基巩固
2.[教材改编] 直线 l:y-1=k(x-1)和圆 x +y -2y=0 的
2
为
.
2
||
2 + 2
=1=r(r 为圆 C 的半径),
2
2
课堂考点探究
例 1 (1)[2018·贵州黔东南一联] 在△ABC 中,若
asin A+bsin B-csin C=0,则圆 C:x +y =1 与直线
2
l:ax+by+c=0 的位置关系是 (
2
)
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
2
2
2
.
2
r1=1,圆 C2 的方程可化为
2
2
(x-3) +(y-4) =25-m,所以 25-m>0,即 m<25,
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2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1．直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝1没有公共点的充要条件是( ) A ．k ∈(－2，2)B ．k ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．k ∈(－3，3)D ．k ∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：由直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝1没有公共点可知，圆心(0，0)到直线 y ＝kx ＋2的距离大于圆的半径，即|2|k 2＋1>1，由此解得－3<k<3，因此，直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝1没有公共点的充要条件是k ∈(－3，3)． 答案：C2．若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为( ) A ．k ＝12，b ＝－4 B ．k ＝－12，b ＝4C ．k ＝12，b ＝4D ．k ＝－12，b ＝－4答案：A3．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A ．－2 B ．－4 C ．－6 D ．－8解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，圆心C (－1, 1)，半径r 满足r 2＝2－a ，则圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝21＋1＝2。
所以r 2＝4＋2＝2－a ⇒a ＝－4。
答案：B4．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0)。
若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，|OC |＝5，所以以原点为圆心、以m 为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B 。
答案：B5．若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b )向圆所作的切线长的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6答案：C6．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：将直线l 的方程化为一般式得kx －y ＋1＝0， 所以圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心到该直线的距离d ＝1k 2＋1. 又弦长为21－1k 2＋1＝2|k|k 2＋1， 所以S △OAB ＝12·1k 2＋1·2|k|k 2＋1＝|k|k 2＋1＝12，解得k ＝±1.因此可知“k＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分而不必要条件．答案：A7. 两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0 和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A.1B.3C.19D.49解析 x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0，即(x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0，即x 2＋(y －2b )2＝1.依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和，则a 2＋（2b ）2＝1＋2＝3，即a 2＋4b 2＝9，所以1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋4b 29＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋a 2b 2＋4b 2a 2≥19⎝⎛⎭⎪⎫5＋2a 2b 2·4b 2a 2＝1，当且仅当a 2b 2＝4b 2a 2，即a ＝±2b 时取等号. 答案 A8.过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A.2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y －7＝0 C.x －2y －5＝0D.x －2y －7＝0答案 B9.已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A.－2 B.－4 C.－6D.－8解析 将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心为(－1，1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝2，故r 2－d 2＝4，即2－a －2＝4，所以a ＝－4，故选B. 答案 B10.圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A.1个 B.2个 C.3个D.4个解析 圆的方程化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点.答案 C11.过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A.y ＝－34 B.y ＝－12C.y ＝－32D.y ＝－14解析 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1，0)，半径为1，以|PC |＝（1－1）2＋（－2－0）2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12. 故选B.答案 B12.已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6，若对于点A (m ，0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP →＋AQ →＝0，则m 的取值范围为________.答案 [2，3]13.点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是________. 解析 把圆C 1、圆C 2的方程都化成标准形式，得 (x －4)2＋(y －2)2＝9，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4.圆C 1的圆心坐标是(4，2)，半径长是3；圆C 2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2. 圆心距d ＝（4＋2）2＋（2＋1）2＝3 5. 所以，|PQ |的最小值是35－5. 答案 35－514.由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________.解析 设直线上一点为P ，切点为Q ，圆心为M ，则|PQ |即切线长，MQ 为圆M 的半径，长度为1，|PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1.要使|PQ |最小，即求|PM |的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离. 设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ，则d ＝|3－0＋1|12＋（－1）2＝2 2.所以|PM |的最小值为2 2.所以|PQ |＝|PM |2－1≥（22）2－1＝7.答案715．圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为__________。
解析：依题意，设圆心的坐标为(2b ，b )(其中b ＞0)，则圆C 的半径为2b ，圆心到x 轴的距离为b ，所以24b 2－b 2＝23，b ＞0，解得b ＝1，故所求圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4。
答案：(x －2)2＋(y －1)2＝416．已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为__________。
解析：圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，所以圆心为C (－1,2)，半径为3.因为AC ⊥BC ，所以圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322，即|－1－2＋a |2＝322，所以a ＝0或6。
答案：0或617．已知圆O ：x 2＋y 2＝1和点A (－2,0)，若定点B (b,0)(b ≠－2)和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有|MB |＝λ|MA |，则(1)b ＝__________； (2)λ＝__________。
答案：－12 1218．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0。
(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程。
解析：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0化成标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2。
(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34。
(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22|DA |＝12|AB |＝2。
解得a ＝－7或－1。
故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0。
19．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点。
(1)若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程； (2)求四边形QAMB 面积的最小值； (3)若|AB |＝423，求直线MQ 的方程。
(2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝3。
∴四边形QAMB 面积的最小值为3。
(3)设AB 与MQ 交于P ， 则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ，∴|MP |＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2232＝13。
在Rt△MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |， 即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3，∴x 2＋(y －2)2＝9.设Q (x,0)， 则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)， ∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或 2x －5y ＋25＝0。
20．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点。
(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积。
解析：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4。
设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )。
由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2。