10函数值域
(高频考点)函数的定义域和值域(经典、可编辑)
第二节函数的定义域和值域[知识能否忆起]1．常见基本初等函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝a x ，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R. (5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠k π＋π2，k ∈Z .(6)函数f (x )＝x 0的定义域为{x |x ≠0}．(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．2．基本初等函数的值域 (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R.(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≥4ac －b24a ；当a <0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≤4ac －b 24a . (3)y ＝kx (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是{y |y >0}． (5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R. (6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]． (7)y ＝tan x 的值域是R.[小题能否全取]1．(教材习题改编)若f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,4]，则f (x )的值域为( ) A ．[－1,8] B ．[－1,16] C ．[－2,8]D ．[－2,4]答案：A2．函数y ＝1x 2＋2的值域为( )A ．R B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≥12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≤12D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫y 0<y ≤12解析：选D ∵x 2＋2≥2，∴0<1x 2＋2≤12.∴0<y ≤12.3．(2012·山东高考)函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2] C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，4－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x ≠0，－2≤x ≤2.解得－1<x <0或0<x ≤2. 4．(教材习题改编)函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，|x |－5≠0，得x ≥4且x ≠5.答案：{x |x ≥4，且x ≠5}5．(教材习题改编)若x 有意义，则函数y ＝x 2＋3x －5的值域是________． 解析：∵x 有意义，∴x ≥0. 又y ＝x 2＋3x －5＝⎝⎛⎭⎫x ＋322－94－5， ∴当x ＝0时，y min ＝－5. 答案：[－5，＋∞)函数的最值与值域的关系函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但只确定了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域．[注意] 求函数的值域，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意函数定义域．典题导入[例1] (1)(2012·大连模拟)求函数f (x )＝lg (x 2－2x )9－x 2的定义域；(2)已知函数f (2x )的定义域是[－1,1]，求f (x )的定义域．[自主解答] (1)要使该函数有意义，需要⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x >0，9－x 2>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧x <0或x >2，－3<x <3， 解得－3<x <0或2<x <3，所以所求函数的定义域为(－3,0)∪(2,3)． (2)∵f (2x )的定义域为[－1,1]， 即－1≤x ≤1，∴12≤2x ≤2，故f (x )的定义域为⎣⎡⎦⎤12，2.若本例(2)条件变为：函数f (x )的定义域是[－1,1]，求f (log 2x )的定义域． 解：∵函数f (x )的定义域是[－1,1]， ∴－1≤x ≤1，∴－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.故f (log 2x )的定义域为⎣⎡⎦⎤12，2.由题悟法简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)对抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出； ②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．以题试法1．(1)函数y ＝2x －x 2ln (2x －1)的定义域是________．(2)(2013·沈阳质检)若函数y ＝f (x )的定义域为[－3,5]，则函数g (x )＝f (x ＋1)＋f (x －2)的定义域是( )A ．[－2,3]B ．[－1,3]C ．[－1,4]D ．[－3,5] 解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2≥0，ln (2x －1)≠0，2x －1>0，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠1，x >12.所以函数的定义域为⎝⎛⎭⎫12，1∪(1,2]．(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤x ＋1≤5，－3≤x －2≤5，解不等式组可得－1≤x ≤4. 所以函数g (x )的定义域为[－1,4]． 答案：(1)⎝⎛⎭⎫12，1∪(1,2] (2)C典题导入[例2] 求下列函数的值域． (1)y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])； (2)y ＝1－x 21＋x 2；(3)y ＝x ＋4x (x <0)；(4)f (x )＝x －1－2x . [自主解答] (1)(配方法) y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数， ∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]． (2)y ＝1－x 21＋x 2＝21＋x 2－1，∵1＋x 2≥1， ∴0<21＋x 2≤2. ∴－1<21＋x 2－1≤1.即y ∈(－1,1]．∴函数的值域为(－1,1]．(3)∵x <0，∴x ＋4x＝－⎝⎛⎭⎫－x －4x ≤－4，当且仅当x ＝－2时等号成立． ∴y ∈(－∞，－4]．∴函数的值域为(－∞，－4]．(4)法一：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，12. 法二：(单调性法)f (x )的定义域为⎝⎛⎦⎤－∞，12容易判断f (x )为增函数，所以f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫12＝12， 即函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，12.由题悟法求函数值域常用的方法(1)配方法，多适用于二次型或可转化为二次型的函数(例(1))． (2)换元法(例(4))． (3)基本不等式法(例(3))． (4)单调性法(例(4))． (5)分离常数法(例(2))．[注意] 求值域时一定要注意定义域的使用，同时求值域的方法多种多样，要适当选择．以题试法2．(1)函数y ＝x －3x ＋1的值域为________．(2)(2012·海口模拟)在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]，则函数f (x )的值域为________．解析：(1)y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1，因为4x ＋1≠0，所以1－4x ＋1≠1，即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}．(2)由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈(1，2]，当x ∈[－2,1]时，f (x )∈[－4，－1]； 当x ∈(1,2]时，f (x )∈(－1,6]， 即当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－4,6]．答案：(1){y |y ∈R ，y ≠1} (2)[－4,6]典题导入[例3] (2012·合肥模拟)若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．[自主解答] 函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥1，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. [答案] [－1,0]由题悟法求解定义域为R 或值域为R 的函数问题时，都是依据题意，对问题进行转化，转化为不等式恒成立问题进行解决，而解决不等式恒成立问题，一是利用判别式法，二是利用分离参数法，有时还可利用数形结合法．以题试法3．(2012·烟台模拟)已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有________个．解析：由0≤4|x |＋2－1≤1，即1≤4|x |＋2≤2，得0≤|x |≤2，满足整数数对的有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)共5个．答案：5函数的值域由函数的定义域和对应关系完全 确定，但因函数千变万化，形式各异，值域的求 法也各式各样，因此求函数的值域就存在一定的 困难，解题时，若方法适当，能起到事半功倍的 作用．求函数值域的常用方法有配方法、换元法、 分离常数法、基本不等式法、单调性法(以上例2 都已讲解)、判别式法、数形结合法等．1．数形结合法利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法，如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键．[典例1] 对a ，b ∈R ，记max|a ，b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b .函数f (x )＝max||x ＋1|，|x －2||(x ∈R)的值域是________．[解析] f (x )＝⎩⎨⎧|x ＋1|，x ≥12，|x －2|，x <12，由图象知函数的值域为⎣⎡⎭⎫32，＋∞. [答案] ⎣⎡⎭⎫32，＋∞ [题后悟道] 利用函数所表示的几何意义求值域(最值)，通常转化为以下两种类型： (1)直线的斜率：yx 可看作点(x ，y )与(0,0)连线的斜率；y －b x －a 可看作点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．(2)两点间的距离： (x －x 1)2＋(y －y 1)2可看作点(x ，y )与点(x 1，y 1)之间的距离．针对训练1．函数y ＝(x ＋3)2＋16＋(x －5)2＋4的值域为________． 解析：函数y ＝f (x )的几何意义为：平面内一点P (x,0)到两点A (－3,4)和B (5,2)距离之和．由平面几何知识，找出B 关于x 轴的对称点B ′(5，－2)．连接AB ′交x 轴于一点P 即为所求的点，最小值y ＝|AB ′|＝82＋62＝10.即函数的值域为[10，＋∞)． 答案：[10，＋∞) 2．判别式法对于形如y ＝a 1x 2＋b 1x ＋c 1a 2x 2＋b 2x ＋c 2(a 1，a 2不同时为零)的函数求值域，通常把其转化成关于x 的一元二次方程，由判别式Δ≥0，求得y 的取值范围，即为原函数的值域．[典例2] 函数y ＝x 2－xx 2－x ＋1的值域为________．[解析] 法一：(配方法) ∵y ＝1－1x 2－x ＋1，又x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34， ∴0<1x 2－x ＋1≤43，∴－13≤y <1.∴函数的值域为⎣⎡⎭⎫－13，1. 法二：(判别式法) 由y ＝x 2－xx 2－x ＋1，x ∈R ，得(y －1)x 2＋(1－y )x ＋y ＝0. ∵y ＝1时，x ∈∅，∴y ≠1.又∵x ∈R ，∴Δ＝(1－y )2－4y (y －1)≥0， ∴－13≤y <1.∴函数的值域为⎣⎡⎭⎫－13，1. [答案] ⎣⎡⎭⎫－13，1 [题后悟道] 本题解法二利用了判别式法，利用判别式法首先把函数转化为一个系数含有y 的二次方程a (y )x 2＋b (y )x ＋c (y )＝0，则在a (y )≠0时，若x ∈R ，则Δ≥0，从而确定函数的最值；再检验a (y )＝0时对应的x 的值是否在函数定义域内，以决定a (y )＝0时y 的值的取舍．针对训练2．已知函数y ＝mx 2＋43x ＋nx 2＋1的最大值为7，最小值为－1，则m ＋n 的值为( )A ．－1B ．4C ．6D ．7解析：选C 函数式可变形为(y －m )x 2－43x ＋(y －n )＝0，x ∈R ，由已知得y －m ≠0，所以Δ＝(－43)2－4(y －m )·(y －n )≥0，即y 2－(m ＋n )y ＋(mn －12)≤0，①由题意，知不等式①的解集为[－1,7]，则－1、7是方程y 2－(m ＋n )y ＋(mn －12)＝0的两根，代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋(m ＋n )＋mn －12＝0，49－7(m ＋n )＋mn －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝5，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝5.所以m ＋n ＝6.求解函数的值域要根据函数解析式的特点选择恰当的方法，准确记忆常见函数的值域，熟练掌握各种类型函数值域的求法，除前面介绍的几种方法外，还有单调性法、导数法(以后还要讲解)．1．函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是( ) A.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫23，＋∞D.⎝⎛⎭⎫12，23解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2>0，2x －1>0得x >23.2．(2012·汕头一测)已知集合A 是函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1x 的定义域，集合B 是其值域，则A ∪B 的子集的个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．16解析：选C 要使函数f (x )的解析式有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0，x ≠0，解得x ＝1或x ＝－1，所以函数的定义域A ＝{－1,1}．而f (1)＝f (－1)＝0，故函数的值域B ＝{0}，所以A ∪B ＝{1，－1,0}，其子集的个数为23＝8.3．下列图形中可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的图象是( )解析：选C 由题意知，自变量的取值范围是[0,1]，函数值的取值范围也是[0,1]，故可排除A 、B ；再结合函数的定义，可知对于集合M 中的任意x ，N 中都有唯一的元素与之对应，故排除D.4．(2013·长沙模拟)下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x 2－2x ＋1 B ．y ＝x ＋2x ＋1(x ∈(0，＋∞))C ．y ＝1x 2＋2x ＋1(x ∈N)D ．y ＝1|x ＋1|解析：选D 选项A 中y 可等于零；选项B 中y 显然大于1；选项C 中x ∈N ，值域不是(0，＋∞)；选项D 中|x ＋1|>0，故y >0.5．已知等腰△ABC 周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，则函数的定义域为( )A ．RB ．{x |x >0}C ．{x |0<x <5}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |52<x <5 解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >0，10－2x >0，即0<x <5.6．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( )A ．(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎤12，2 B ．(－∞，2] C.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪[2，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选A ∵x ∈(－∞，1)∪[2,5)， 故x －1∈(－∞，0)∪[1,4)， ∴2x －1∈(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎤12，2. 7．(2013·安阳4月模拟)函数y ＝x ＋1＋(x －1)0lg (2－x )的定义域是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，2－x >0，2－x ≠1得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，x <2，则⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <2，x ≠1，所以定义域是{x |－1≤x <1，或1<x <2}． 答案：{x |－1≤x <1，或1<x <2}8．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________． 解析：y ＝x －x ＝－(x )2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14， 即y max ＝14.答案：149．(2012·太原模考)已知函数f (x )的定义域为[0,1]，值域为[1,2]，则函数f (x ＋2)的定义域为____________，值域为__________．解析：由已知可得x ＋2∈[0,1]，故x ∈[－2，－1]，所以函数f (x ＋2)的定义域为[－2，－1]．函数f (x )的图象向左平移2个单位得到函数f (x ＋2)的图象，所以值域不发生变化，所以函数f (x ＋2)的值域仍为[1,2]．答案：[－2，－1] [1,2]10．求下列函数的值域．(1)y ＝1－x 2x ＋5；(2)y ＝2x －1－13－4x . 解：(1)y ＝1－x 2x ＋5＝－12(2x ＋5)＋722x ＋5＝－12＋722x ＋5， 因为722x ＋5≠0，所以y ≠－12， 所以函数y ＝1－x 2x ＋5的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－12. (2)法一：(换元法)设13－4x ＝t ，则t ≥0，x ＝13－t 24， 于是y ＝g (t )＝2·13－t 24－1－t ＝－12t 2－t ＋112＝－12(t ＋1)2＋6， 显然函数g (t )在[0，＋∞)上是单调递减函数，所以g (t )≤g (0)＝112， 因此函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，112. 法二：(单调性法)函数定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤134， 当自变量x 增大时，2x －1增大，13－4x 减小，所以2x －1－13－4x 增大，因此函数f (x )＝2x －1－13－4x 在其定义域上是单调递增函数，所以当x ＝134时，函数取得最大值f ⎝⎛⎭⎫134＝112， 故函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，112. 11．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a 、b 的值． 解：∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12，∴其对称轴为x ＝1.即[1，b ]为f (x )的单调递增区间．∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1① f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b ② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.12．(2013·宝鸡模拟)已知函数g (x )＝x ＋1, h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]，其中a 为常数且a >0，令函数f (x )＝g (x )·h (x )．(1)求函数f (x )的表达式，并求其定义域；(2)当a ＝14时，求函数f (x )的值域． 解：(1)f (x )＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a ](a >0)． (2)函数f (x )的定义域为⎣⎡⎦⎤0，14， 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈⎣⎡⎦⎤1，32， f (x )＝F (t )＝t t 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2， 当t ＝4t 时，t ＝±2∉⎣⎡⎦⎤1，32，又t ∈⎣⎡⎦⎤1，32时，t ＋4t单调递减，F (t )单调递增，F (t )∈⎣⎡⎦⎤13，613. 即函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤13，613.1．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( )A ．[－2,2]B ．[1,2]C ．[0,2]D ．[－2，2]解析：选C －x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4≤4，0≤－x 2＋4x ≤2，－2≤－－x 2＋4x ≤0，0≤2－－x 2＋4x ≤2，所以0≤y ≤2.2．定义区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝|log 12x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．解析：由函数f (x )＝|log 12x |的图象和值域为[0,2]知，当a ＝14时，b ∈[1,4]；当b ＝4时，a ∈⎣⎡⎦⎤14，1，所以区间[a ，b ]的长度的最大值为4－14＝154，最小值为1－14＝34. 所以区间长度的最大值与最小值的差为154－34＝3. 答案：33．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解：(1)行车所用时间为t ＝130x(h)， y ＝130x ×2×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋14×130x，x ∈[50,100]． 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]． (2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2 340x ＝1318x ， 即x ＝1810时，上述不等式中等号成立．当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．1．已知函数f (x )＝2x ＋4－x ，则函数f (x )的值域为( )A ．[2,4]B ．[0,2 5 ]C ．[4,2 5 ]D ．[2,2 5 ] 解析：选D ∵x ∈[0,4]，∴可令x ＝4cos 2θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 则y ＝2·2cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)，tan φ＝2.又0≤θ≤π2，φ≤θ＋φ≤π2＋φ， 故cos φ≤sin(θ＋φ)≤1，而cos φ＝15， ∴2≤y ≤2 5.2．若函数f (x )＝ (a 2－1)x 2＋(a －1)x ＋2a ＋1的定义域为R ，求实数a 的取值范围． 解：由函数的定义域为R ，可知对x ∈R ，f (x )恒有意义，即对x ∈R ，(a 2－1)x 2＋(a －1)x＋2a＋1≥0恒成立．①当a2－1＝0，即a＝1(a＝－1舍去)时，有1≥0，对x∈R恒成立，故a＝1符合题意；②当a2－1≠0，即a≠±1时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a2－1>0，Δ＝(a－1)2－4(a2－1)×2a＋1≤0，解得1<a≤9.综上，可得实数a的取值范围是[1,9]．。
函数的值域
奎屯 新疆
题型精讲 例4 求函数
5x 2 y x
5 5x 2
的最大值；
解法2： (不等式方法)
y 5x 2 1 [(5 x 2) 2] 5
2 当x 时， 5
2 5x 2 5 2 4 2 2 5
4 4 当且仅当 x 时等号成立 ， 且x 适合题意 。 5 5
1 1 7 （x ） （x ） 5 5x 1 7 5 ＝5 2 10 5 解(1):由y 1 4 x 2 （x 1 ） 4 （x 1 ） 4 4 8 x 2 2 2 由此知y f ( x)在[3, 1] 上为增函数
f ( 3) y f (1)
2
王新敞
奎屯
新疆
四、巩固与提高
3.y 2 x 2 4 x的值域是 C ( A)[2, 2];( B)[1, 2];(C )[0, 2);( D)[ 2, 2]. 2 x 3, 4.函数y x 3, x 5, x0 0 x 1的最大值为 4 x 1
王新敞
奎屯
新疆
五、小结 求函数的值域和最值常用方法： 配方法、判别式法、不等式法、换元法、 反函数法、利用函数的单调性和有界性、数形 结合、导数法等. 求函数最大、最小值问题历来是高考热点， 这类问题的出现率很高，应用很广. 因此应注意 总结最大、最小值问题的解题方法与技巧，以提 高高考应变能力. 因为函数的最大、最小值求出 来了，值域也就知道了，反之，若求出的函数的 值域为非开区间，函数的最大或最小值也等于求 出来了 .
题型精讲
1 5 5 x x 1 x ,0 (0, ) 2 4 4
10正弦函数的性质01
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存
在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最
小正周期。（有些周期函数没有最小正周期）.
注意：
(1) 周期函数中，x定义域M，则必有x+TM, 且
若T>0，则定义域无上界；T<0则定义域无下界；
(2) “每一个值”，只要有一个反例，则f (x)就不为
正弦函数的性质（一）
正弦函数图像的作出
正弦函数y=sinx，x∈R，的图象叫做正弦曲线．
正弦函数y=sinx性质
(1)定义域：y=sinx的定义域是实数集R (2)值域:正弦函数的值域是［－ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，1］. ①当且仅当x＝
2
＋2kπ，k∈Z时，正弦函数
2
取得最大值1；
②当且仅当x＝－ 数取得最小值－1 ＋2kπ，k∈Z时，正弦函
(1) y sin 2 x
(3) y (sin x 1) 2
2
( 2 ) y sin 2 x （
( 4 ) y sin ( 2 x
4
） 2
)( x [0,
4
2
])
课堂练习
1.
2.求以下函数的最大和最小值以及对应的x的值
（1）
1 （2） ) y sin x (3 2 6 2
2
2
函数，其值从－1增大到1； 闭区间［
2
＋2kπ，
3 2
＋2kπ］(k∈Z)上都是减
函数，其值从1减小到－1
(6)对称性
1.对称轴：
x
2
k (k Z )
函数的定义域与值域知识点与题型归纳
●高考明方向了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.★备考知考情定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以选择、填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，三种题型都有，难度中等.一、知识梳理《名师一号》P13知识点一常见基本初等函数的定义域注意：1、研究函数问题必须遵循“定义域优先”的原则！！！2、定义域必须写成集合或区间的形式！！！(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0(3)一次函数、二次函数的定义域均为R(4)y＝a x(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R(5)y＝log a x(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)(6)函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}12 (7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意 义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约. （补充）三角函数中的正切函数y ＝tan x 定义域为{|,,}2∈≠+∈x x R x k k Z ππ 如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．知识点二 基本初等函数的值域注意：值域必须写成集合或区间的形式！！！(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a ＞0时，值域为{y |y ≥4ac －b 24a}； 当a ＜0时，值域为{y |y ≤4ac －b 24a} (3)y ＝k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是{y |y ＞0}(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R .（补充）三角函数中正弦函数y ＝sin x ，余弦函数y ＝cos x 的值域均为[]1,1- 正切函数y ＝tan x 值域为R3 《名师一号》P15知识点二 函数的最值注意：《名师一号》P16 问题探究 问题3函数最值与函数值域有何关系？函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在．1、温故知新P11 知识辨析1（2）函数21=+x y x 的值域为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）答案：正确2、温故知新P11 第4题4 函数(]()1122,,222,,2--⎧-∈-∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩x x x y x 的值域为（ ） 3.,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭A ().,0-∞B 3.,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C (].2,0-D答案：D注意：牢记基本函数的值域3、温故知新P11 第6题函数()=y f x 的值域是[]1,3，则函数()()123=-+F x f x 的值域是（ ）[].5,1--A [].2,0-B [].6,2--C [].1,3D答案：A注意：图像左右平移没有改变函数的值域二、例题分析：（一)函数的定义域1．据解析式求定义域例1. （1）《名师一号》P13 对点自测15(2014·山东) 函数()=f x 为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)解析 要使函数有意义，应有(log 2x )2>1，且x >0， 即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0<x <12. 所以函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)． 例1. （2）《名师一号》P14 高频考点 例1（1）函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0] B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1]6 解析：由题意得⎩⎨⎧1－2x ≥0，x ＋3>0，解得－3<x ≤0.注意：《名师一号》P14 高频考点 例1 规律方法（1） 求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集． 函数的定义域一定要用集合或区间表示例2. (补充)若函数2()lg(21)f x ax x =++的定义域为R 则实数a 的取值范围是 ；答案：()1,+∞变式：2()lg(21)=++f x ax ax练习：(补充) 若函数27()43kx f x kx kx +=++的定义域为R7则实数k 的取值范围是 ；答案：30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．求复合函数的定义域例3.（1）《名师一号》P14 高频考点 例1（2）(2015·北京模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为[0,4]，则函数y ＝f (2x )－ln(x －1)的定义域为( )A ．[1,2]B ．(1,2]C ．[1,8]D ．(1,8]解析：由已知函数y ＝f (x )的定义域为[0,4]．则使函数y ＝f (2x )－ln(x －1)有意义，需⎩⎨⎧ 0≤2x ≤4，x －1>0，解得1<x ≤2，所以定义域为(1,2]．例3. （2）《名师一号》P13 对点自测2已知函数f (x )＝1x ＋1，则函数f (f (x ))的定义域是( ) A ．{x |x ≠－1} B ．{x |x ≠－2}C ．{x |x ≠－1且x ≠－2}D ．{x |x ≠－1或x ≠－2}8解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠－1，1x ＋1＋1≠0，解得x ≠－1且x ≠－2.注意：《名师一号》P14 高频考点 例1 规律方法（2） （P13 问题探究 问题1 类型二）已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域， 是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f [g (x )]的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]．例4．(补充)已知2(1)f x +的定义域是[]0,1，求()f x 的定义域。
函数的定义域和值域
函数的定义域和值域1．常见函数定义域的求法(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0．(3)一次函数、二次函数的定义域为R ．2．基本初等函数的值域(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R ．(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a ＞0时，值域为{}y |y ≥4ac －b 24a ；当a ＜0时，值域为{}y |y ≤4ac －b 24a．(3)y ＝k x(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}． 2．求函数值域的六种基本方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域． (3)换元法：形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 均为常数，且a ≠0)的函数常用换元法求值域， (4)分离常数法：形如y ＝cx ＋d ax ＋b(a ≠0)的函数可用此法求值域． (5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．(6)数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域．[做一做]1．下列表格中的x 与y 能构成函数的是( )2下面各组函数中为相同函数的是( )A ．f (x )＝（x －1）2，g (x )＝x －1B ．f (x )＝x 2－1，g (x )＝x ＋1·x －1C ．f (x )＝x 与g (x )＝1D ．f (x )＝x 0与g (x )＝1x0 3．对于集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |0≤y ≤3}，则由下列图形给出的对应f 中，能构成从A 到B 的函数的是( )4．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图像过原点，则g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2x 2－3xB ．g (x )＝3x 2－2xC ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x5．函数y ＝|x |(x －1)的定义域为( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |x ≥1或x ＝0}C ．{x |x ≥0}D ．{x |x ＝0}6．若x －4有意义，则函数y ＝x 2－6x ＋7的值域是________．7下表表示经典例题 1 (2015·广东惠州第二次调研) 函数y ＝4(x 2－3x －4)3|x ＋1|－2的定义域为________2函数f (x )＝1－|x －1|x －1的定义域为____________．3设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域.（1）y=f(3x); (2)y=f(x 1); (3)y=f()31()31-++x f x ;4 (2015·广东佛山模拟)已知f (x 2－1)的定义域为[0，3]，则函数y ＝f (2x+1)的定义域为__________．已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f (g (x ))的定义域，是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f (g (x ))的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]．_求函数的值域________________________求下列函数的值域．(1)y ＝x 2＋2x (x ∈[0，3])；(2)y ＝1－x 21＋x 2；(3) y ＝x －3x ＋1；(4)f (x )＝x －1－2x .（5）y=;122+--x x x x__与函数定义域、值域有关的参数问题__1若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，34] B ．(0，34) C ．[0，34] D ．[0，34) 2.已知函数f (x )＝32)(f 2+-=x x x 的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域是[2，3]，则a-b 的最大值是（ ）最小值是（ ）3．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b ＞1)，求a ，b 的值．4．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域．过关题1．已知a 为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R 的是( )A ．f (x )＝x 2＋aB ．f (x )＝ax 2＋1C ．f (x )＝ax 2＋x ＋1D ．f (x )＝x 2＋ax ＋12．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( )A ．[－2，2]B ．[1，2]C ．[0，2]D ．[－2，2]3若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________4求下列函数的值域（1）y=521+-x x (2)y=x-x 21-;思考题1已知函数f (x )的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则函数f (x ＋2)的定义域为________，值域为________．2设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意的x ∈[a ，b ]，都有|f (x )－g (x )|≤1成立，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“亲密函数”，区间[a ，b ]称为“亲密区间”．若f (x )＝x 2＋x ＋2与g (x )＝2x ＋1在[a ，b ]上是“亲密函数”，则其“亲密区间”可以是( )A ．[0，2]B ．[0，1]C ．[1，2]D ．[－1，0]3．若函数y ＝kx 2－6kx ＋（k ＋8）的值域为[0，＋∞)，则k 的取值范围是________．。
函数求值域的15种方法
函数求值域的15种方法求值域是数学中一个重要的概念，它可以用来确定函数在什么值上才能可以被定义。
它也可以用来判断函数是否具有极值以及极值在哪里。
求解函数域可以使用很多种方法，下面介绍15种求解函数域的方法。
1. 曲线图：用曲线图来求解函数域，通过分析函数的凹凸变化，以及变化的临界点来考虑函数的值域。
2. 区间法：分析函数的解析式，找出函数变量的取值范围，从而求出函数的定义域。
3. 限制法：通过限制函数的方程来求解函数域的大小，有助于函数属于哪个集合。
4. 线性变换：通过对函数值的线性变换，可以求解函数值的取值范围。
5. 积分法：根据求解函数值的积分值，来判断函数值的取值范围。
6. 求根法：通过求解函数的根，找出函数的定义域，计算出函数在一定范围内所具有的有效值。
7. 不等式法：分析函数的不等式，来求出函数的定义域。
8. 收敛法：通过检验函数的收敛性，来确定函数的定义域。
9. 极值法：通过分析函数的极值，找出函数的值域。
10. 极限法：通过求解函数的极限，来确定函数的值域。
11. 变分法：根据函数在不同变量上的变分，求出函数的定义域。
12. 拓扑法：根据不同拓扑形状，确定函数的定义域，计算出函数在一定范围内所具有的值。
13. 微分表示法：通过求解函数的微分，来确定函数的取值范围。
14. 二分法：通过分段求解函数的值，以二分的方式查找函数的值域。
15. 图解法：通过对函数的图解，计算出函数所具有的定义域。
以上就是15种求解函数域的方法。
上述15种方法都可以用来帮助我们求解函数域，可以根据不同的情况，适当选择不同的方法来解决问题。
根据实际情况，选择合适的方法，有助于我们获得更好的结果，但这也取决于我们是否能够正确掌握这些求解函数域的方法。
高考总复习函数的定义域和值域
第二节函数的定义域和值域[知识能否忆起]1．常见基本初等函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝a x，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R.(5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠k π＋π2，k ∈Z .(6)函数f (x )＝x 0的定义域为{x |x ≠0}．(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．2．基本初等函数的值域 (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R.(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≥4ac －b 24a ；当a <0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≤4ac －b 24a . (3)y ＝k x(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}． (4)y ＝a x(a >0且a ≠1)的值域是{y |y >0}． (5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R. (6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]． (7)y ＝tan x 的值域是R.[小题能否全取]1．(教材习题改编)若f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,4]，则f (x )的值域为( ) A ．[－1,8] B ．[－1,16] C ．[－2,8]D ．[－2,4]答案：A 2．函数y ＝1x 2＋2的值域为( ) A ．R解析：选D ∵x 2＋2≥2，∴0<1x 2＋2≤12.∴0<y ≤12. 3．(2012·山东高考)函数f (x )＝1ln?x ＋1?＋ 4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，4－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x ≠0，－2≤x ≤2.解得－1<x <0或0<x ≤2.4．(教材习题改编)函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，|x |－5≠0，得x ≥4且x ≠5.答案：{x |x ≥4，且x ≠5}5．(教材习题改编)若x 有意义，则函数y ＝x 2＋3x －5的值域是________． 解析：∵x 有意义，∴x ≥0.又y ＝x 2＋3x －5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－94－5，∴当x ＝0时，y min ＝－5. 答案：[－5，＋∞)函数的最值与值域的关系函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但只确定了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域．[注意] 求函数的值域，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意函数定义域．求函数的定义域典题导入[例1] (1)(2012·大连模拟)求函数f (x )＝lg?x 2－2x ?9－x 2的定义域； (2)已知函数f (2x)的定义域是[－1,1]，求f (x )的定义域．[自主解答] (1)要使该函数有意义，需要⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x >0，9－x 2>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧x <0或x >2，－3<x <3，解得－3<x <0或2<x <3，所以所求函数的定义域为(－3,0)∪(2,3)． (2)∵f (2x)的定义域为[－1,1]， 即－1≤x ≤1，∴12≤2x≤2，故f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.若本例(2)条件变为：函数f (x )的定义域是[－1,1]，求f (log 2x )的定义域． 解：∵函数f (x )的定义域是[－1,1]， ∴－1≤x ≤1，∴－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.故f (log 2x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 由题悟法简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)对抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出； ②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．以题试法1．(1)函数y ＝2x －x2ln?2x －1?的定义域是________．(2)(2013·沈阳质检)若函数y ＝f (x )的定义域为[－3,5]，则函数g (x )＝f (x ＋1)＋f (x －2)的定义域是( )A ．[－2,3]B ．[－1,3]C ．[－1,4]D ．[－3,5]解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2≥0，ln?2x －1?≠0，2x －1>0，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠1，x >12.所以函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1,2]．(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤x ＋1≤5，－3≤x －2≤5，解不等式组可得－1≤x ≤4. 所以函数g (x )的定义域为[－1,4]．答案：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1,2] (2)C 求已知函数的值域典题导入[例2] 求下列函数的值域． (1)y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])； (2)y ＝1－x 21＋x 2；(3)y ＝x ＋4x(x <0)；(4)f (x )＝x －1－2x . [自主解答] (1)(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数， ∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]． (2)y ＝1－x 21＋x 2＝21＋x 2－1，∵1＋x 2≥1，∴0<21＋x2≤2.∴－1<21＋x 2－1≤1.即y ∈(－1,1]．∴函数的值域为(－1,1]．(3)∵x <0，∴x ＋4x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －4x ≤－4，当且仅当x ＝－2时等号成立． ∴y ∈(－∞，－4]．∴函数的值域为(－∞，－4]．(4)法一：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.法二：(单调性法)f (x )的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12容易判断f (x )为增函数，所以f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，即函数的值域是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.由题悟法求函数值域常用的方法(1)配方法，多适用于二次型或可转化为二次型的函数(例(1))． (2)换元法(例(4))． (3)基本不等式法(例(3))． (4)单调性法(例(4))． (5)分离常数法(例(2))．[注意] 求值域时一定要注意定义域的使用，同时求值域的方法多种多样，要适当选择．以题试法2．(1)函数y ＝x －3x ＋1的值域为________． (2)(2012·海口模拟)在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]，则函数f (x )的值域为________．解析：(1)y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1， 因为4x ＋1≠0，所以1－4x ＋1≠1， 即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}．(2)由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈?1，2]，当x ∈[－2,1]时，f (x )∈[－4，－1]； 当x ∈(1,2]时，f (x )∈(－1,6]， 即当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－4,6]．答案：(1){y |y ∈R ，y ≠1} (2)[－4,6]与函数定义域、值域有关的参数问题典题导入[例3] (2012·合肥模拟)若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．[自主解答] 函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥1，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. [答案] [－1,0]由题悟法求解定义域为R 或值域为R 的函数问题时，都是依据题意，对问题进行转化，转化为不等式恒成立问题进行解决，而解决不等式恒成立问题，一是利用判别式法，二是利用分离参数法，有时还可利用数形结合法．以题试法3．(2012·烟台模拟)已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有________个．解析：由0≤4|x |＋2－1≤1，即1≤4|x |＋2≤2，得0≤|x |≤2，满足整数数对的有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)共5个．答案：5函数的值域由函数的定义域和对应关系完全 确定，但因函数千变万化，形式各异，值域的求 法也各式各样，因此求函数的值域就存在一定的 困难，解题时，若方法适当，能起到事半功倍的 作用．求函数值域的常用方法有配方法、换元法、 分离常数法、基本不等式法、单调性法(以上例2 都已讲解)、判别式法、数形结合法等．1．数形结合法利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法，如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键．[典例1] 对a ，b ∈R ，记max|a ，b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b .函数f (x )＝max||x ＋1|，|x －2||(x ∈R)的值域是________．[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ≥12，|x －2|，x <12，由图象知函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞[题后悟道] 利用函数所表示的几何意义求值域(最值)，通常转化为以下两种类型： (1)直线的斜率：yx 可看作点(x ，y )与(0,0)连线的斜率；y －bx －a可看作点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (2)两点间的距离： ?x －x 1?2＋?y －y 1?2可看作点(x ，y )与点(x 1，y 1)之间的距离． 针对训练1．函数y ＝?x ＋3?2＋16＋?x －5?2＋4的值域为________． 解析：函数y ＝f (x )的几何意义为：平面内一点P (x,0)到两点A (－3,4)和B (5,2)距离之和．由平面几何知识，找出B 关于x 轴的对称点B ′(5，－2)．连接AB ′交x 轴于一点P 即为所求的点，最小值y ＝|AB ′|＝82＋62＝10.即函数的值域为[10，＋∞)． 答案：[10，＋∞) 2．判别式法对于形如y ＝a 1x 2＋b 1x ＋c 1a 2x 2＋b 2x ＋c 2(a 1，a 2不同时为零)的函数求值域，通常把其转化成关于x 的一元二次方程，由判别式Δ≥0，求得y 的取值范围，即为原函数的值域．[典例2] 函数y ＝x 2－xx 2－x ＋1的值域为________．[解析] 法一：(配方法) ∵y ＝1－1x 2－x ＋1，又x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴0<1x 2－x ＋1≤43，∴－13≤y <1.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1.法二：(判别式法)由y ＝x 2－xx 2－x ＋1，x ∈R ，得(y －1)x 2＋(1－y )x ＋y ＝0. ∵y ＝1时，x ∈?，∴y ≠1.又∵x ∈R ，∴Δ＝(1－y )2－4y (y －1)≥0， ∴－13≤y <1.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1. [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1 [题后悟道] 本题解法二利用了判别式法，利用判别式法首先把函数转化为一个系数含有y 的二次方程a (y )x 2＋b (y )x ＋c (y )＝0，则在a (y )≠0时，若x ∈R ，则Δ≥0，从而确定函数的最值；再检验a (y )＝0时对应的x 的值是否在函数定义域内，以决定a (y )＝0时y 的值的取舍．针对训练2．已知函数y ＝mx 2＋43x ＋nx 2＋1的最大值为7，最小值为－1，则m ＋n 的值为( )A ．－1B ．4C ．6D ．7解析：选C 函数式可变形为(y －m )x 2－43x ＋(y －n )＝0，x ∈R ，由已知得y －m ≠0，所以Δ＝(－43)2－4(y －m )·(y －n )≥0，即y 2－(m ＋n )y ＋(mn －12)≤0，①由题意，知不等式①的解集为[－1,7]，则－1、7是方程y 2－(m ＋n )y ＋(mn －12)＝0的两根，代入得⎩⎪⎨⎪⎧1＋?m ＋n ?＋mn －12＝0，49－7?m ＋n ?＋mn －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝5.所以m ＋n ＝6.求解函数的值域要根据函数解析式的特点选择恰当的方法，准确记忆常见函数的值域，熟练掌握各种类型函数值域的求法，除前面介绍的几种方法外，还有单调性法、导数法(以后还要讲解)．1．函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是( )解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2>0，2x －1>0得x >23.2．(2012·汕头一测)已知集合A 是函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1x的定义域，集合B 是其值域，则A ∪B的子集的个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．16解析：选C 要使函数f (x )的解析式有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0，x ≠0，解得x ＝1或x ＝－1，所以函数的定义域A ＝{－1,1}．而f (1)＝f (－1)＝0，故函数的值域B ＝{0}，所以A ∪B ＝{1，－1,0}，其子集的个数为23＝8.3．下列图形中可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的图象是( )解析：选C 由题意知，自变量的取值范围是[0,1]，函数值的取值范围也是[0,1]，故可排除A 、B ；再结合函数的定义，可知对于集合M 中的任意x ，N 中都有唯一的元素与之对应，故排除D.4．(2013·长沙模拟)下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x 2－2x ＋1 B ．y ＝x ＋2x ＋1(x ∈(0，＋∞)) C ．y ＝1x 2＋2x ＋1(x ∈N)D ．y ＝1|x ＋1|解析：选D 选项A 中y 可等于零；选项B 中y 显然大于1；选项C 中x ∈N ，值域不是(0，＋∞)；选项D 中|x ＋1|>0，故y >0.5．已知等腰△ABC 周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，则函数的定义域为( ) A ．RB ．{x |x >0}C ．{x |0<x <5}解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >0，10－2x >0，即0<x <5.6．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( ) A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2B ．(－∞，2]∪[2，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选A ∵x ∈(－∞，1)∪[2,5)， 故x －1∈(－∞，0)∪[1,4)， ∴2x －1∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2. 7．(2013·安阳4月模拟)函数y ＝x ＋1＋x －1?0lg?2－x ?的定义域是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，2－x >0，2－x ≠1得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，x <2，则⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <2，x ≠1，所以定义域是{x |－1≤x <1，或1<x <2}．答案：{x |－1≤x <1，或1<x <2}8．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________． 解析：y ＝x －x ＝－(x )2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，即y max ＝14.答案：149．(2012·太原模考)已知函数f (x )的定义域为[0,1]，值域为[1,2]，则函数f (x ＋2)的定义域为____________，值域为__________．解析：由已知可得x ＋2∈[0,1]，故x ∈[－2，－1]，所以函数f (x ＋2)的定义域为[－2，－1]．函数f (x )的图象向左平移2个单位得到函数f (x ＋2)的图象，所以值域不发生变化，所以函数f (x ＋2)的值域仍为[1,2]．答案：[－2，－1] [1,2] 10．求下列函数的值域．(1)y ＝1－x2x ＋5；(2)y ＝2x －1－13－4x .解：(1)y ＝1－x2x ＋5＝－12?2x ＋5?＋722x ＋5＝－12＋722x ＋5， 因为722x ＋5≠0，所以y ≠－12， 所以函数y ＝1－x 2x ＋5的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－12. (2)法一：(换元法)设13－4x ＝t ，则t ≥0，x ＝13－t 24， 于是y ＝g (t )＝2·13－t 24－1－t ＝－12t 2－t ＋112＝－12(t ＋1)2＋6， 显然函数g (t )在[0，＋∞)上是单调递减函数，所以g (t )≤g (0)＝112， 因此函数的值域是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，112. 法二：(单调性法)函数定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤134， 当自变量x 增大时，2x －1增大，13－4x 减小，所以2x －1－13－4x 增大，因此函数f (x )＝2x －1－13－4x 在其定义域上是单调递增函数，所以当x ＝134时，函数取得最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝112， 故函数的值域是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，112. 11．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a 、b 的值． 解：∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12，∴其对称轴为x ＝1. 即[1，b ]为f (x )的单调递增区间．∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1① f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b ②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝32，b ＝3. 12．(2013·宝鸡模拟)已知函数g (x )＝x ＋1, h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]，其中a 为常数且a >0，令函数f (x )＝g (x )·h (x )．(1)求函数f (x )的表达式，并求其定义域；(2)当a ＝14时，求函数f (x )的值域． 解：(1)f (x )＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a ](a >0)． (2)函数f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14， 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32， f (x )＝F (t )＝t t 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2， 当t ＝4t 时，t ＝±2?⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，又t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，t ＋4t 单调递减，F (t )单调递增，F (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613. 即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613.1．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( )A ．[－2,2]B ．[1,2]C ．[0,2]D ．[－2，2] 解析：选C －x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4≤4，0≤－x 2＋4x ≤2，－2≤－－x 2＋4x ≤0，0≤2－－x 2＋4x ≤2，所以0≤y ≤2.2．定义区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝|log 12x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．解析：由函数f (x )＝|log 12x |的图象和值域为[0,2]知，当a ＝14时，b ∈[1,4]；当b ＝4时，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以区间[a ，b ]的长度的最大值为4－14＝154，最小值为1－14＝34.所以区间长度的最大值与最小值的差为154－34＝3. 答案：3 3．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解：(1)行车所用时间为t ＝130x (h)， y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100]． 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]． (2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2 340x ＝1318x ， 即x ＝1810时，上述不等式中等号成立．当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．1．已知函数f (x )＝2x ＋4－x ，则函数f (x )的值域为( )A ．[2,4]B ．[0,2 5 ]C ．[4,2 5 ]D ．[2,2 5 ] 解析：选D ∵x ∈[0,4]，∴可令x ＝4cos 2θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 则y ＝2·2cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)，tan φ＝2.又0≤θ≤π2，φ≤θ＋φ≤π2＋φ， 故cos φ≤sin(θ＋φ)≤1，而cos φ＝15， ∴2≤y ≤2 5.2．若函数f (x )＝ ?a 2－1?x 2＋?a －1?x ＋2a ＋1的定义域为R ，求实数a 的取值范围． 解：由函数的定义域为R ，可知对x ∈R ，f (x )恒有意义，即对x ∈R ，(a 2－1)x 2＋(a －1)x ＋2a ＋1≥0恒成立．①当a 2－1＝0，即a ＝1(a ＝－1舍去)时，有1≥0，对x ∈R 恒成立，故a ＝1符合题意； ②当a 2－1≠0，即a ≠±1时，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1>0，Δ＝?a －1?2－4?a 2－1?×2a ＋1≤0，解得1<a ≤9.综上，可得实数a 的取值范围是[1,9]．。
函数值域的十五种求法
1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1. 求函数的值域。
解：∵∴显然函数的值域是：2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例2. 求函数的值域。
解：将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时，故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例3. 求函数的值域。
解：两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵∴∴代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例4. 求函数值域。
解：由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为：5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例5. 求函数的值域。
解：由原函数式可得：，可化为：即∵∴即解得：故函数的值域为6. 函数单调性法例6. 求函数的值域。
解：令则在[2，10]上都是增函数所以在[2，10]上是增函数当x=2时，当x=10时，故所求函数的值域为：例7. 求函数的值域。
解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数所以，在上也为无上界的增函数所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值显然y>0，故原函数的值域为7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作例8. 求函数的值域。
求函数值域(最值)的方法
求函数值域（最值）方法汇总一．单调性法例1．求函数x 53x y ---=的值域 例2．求函数11--+=x x y 的值域例3．求函数x x y -+-=53的值域解一：例4．已知函数.2]2,0[34)(2的值，求实数上有最大值在区间a x ax x f -+= 解：（1）当0=a 时，max ()(2)4232,f x f ==⨯-≠舍去； （2）当↑⇒〈-=〉上在时，对称轴方程为]2,0[)(020x f ax a 舍去,043254)2(〈-=⇒=+=⇒a a f ；（3）当时，0〈a 02〉-=ax 对称轴方程为， ①]1,(]0,1[1]2,0[2--∞∈⇒-∈⇒∈-a a a 1542384)2(-〉-=⇒=--=-⇒a a a a f ，舍去②122-〉⇒〉-a a ↑⇒上在]2,0[)(x f 43-=⇒a纵上，43-=a例5.已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。
解：0)0()0()0()00(=⇒+=+f f f f为奇函数则令)()()()()()(,x f x f x f x f x f x x f x y ⇒-=-⇒-+=--= )()()()()(0)(0,121112121221x f x f x f x f x x f x x f x x x x 〉⇒〉+-⇒〉-⇒〉-〈则令422)1()1()11()2(-=--=-+-=--=-f f f f ,2)1()1(=--=f f()[-2,1][-4,2]f x ⇒在上的值域为：二．判别式（∆）法：用于自然定义域下的二次分式形式的函数，变形为关于x 的方程，讨论2x 的系数，当系数为0时，判断方程左边是否等于0；当系数不为0时，得0≥∆。
综上，求出y 的范围。
如：,,222211221121c x b x a b x a y b x a c x b x a y +++=+++=22221121c x b x a c x b x a y ++++=等。
函数的15种求值方法
在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。
研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。
本文就函数值域求法归纳如下，供参考。
基本知识1.定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。
2.函数值域常见的求解思路：⑴划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。
⑵反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。
⑶可以从方程的角度理解函数的值域，从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程y=f(x)在定义域内有解的y得取值范围。
特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。
⑷可以用函数的单调性求值域。
⑸其他。
1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1. 求函数的值域。
解：∵∴显然函数的值域是：2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例2. 求函数的值域。
解：将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时，故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法例3. 求函数的值域。
解：两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵∴∴代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
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函数的值域
【本课重点】
1、理解函数值域与函数定义域和解析式之间的关系
2、掌握常见函数的值域，
3、借助常见函数（一次函数、反比例函数、二次函数）的值域及它们的图象
来研究一些可化为它们的函数的值域
【预习导引】
1.函数11yx的的值域是 ( )
A.R B.(,1)(1,) C.(0,) D.(,0)(0,)
2.函数2610yxx的值域是 ( )
A.[1,) B.[0,3] C.[0,3] D[0,1]
3.函数22()11fxxx的值域是____________.
4. 函数23(0)()3(01)5(1)xxfxxxxx的最大值是____________.
【三基探讨】
【典例练讲】
例1、求下列函数的值域.
(1) )5,4,3,2,1(,12xxy (2) y=|x-1|-1,x[-1,2]
(3 ) 2,[1,4]yxx (4) 2241,([0,5))yxxx
例2、求下列函数的值域
（1）f(x)=x-2x+3 (1≤x≤2) （2）f(x)=2x-1x （3）f(x)=112xx
(4) ])5,4[(,2222xxxy （5）f(x)=322xx
例3、已知函数0,00,0,1xxxxxf ,求（1）1fff的值,（2）画出xf的图象
(3) 求函数f(x)的值域
例4（备选题）函数y=x2-2x+3在[0,m]上的值域为[2,3]，求m的取值范围
【课后检测】
1.下列函数中值域为(0,)的是 ( )
A.2310yxx B.y=2x+1 C.y=x2+x+1 D.21yx
2.设函数21()1fxx的定义域为R,则它的值域为 ( )
A. R B.(0,) C.[0,2] D.(0,1]
3.方程f(x)=1的实数根( )
A.至少有1个 B.至多有1个 C.恰有1个 D.有可能有2个
4.若函数2()35axfxx的值域为(,1)(1,),则a的值=__________.
5.函数2(01)()2(12)3(2)xxfxxx的值域为______________.
6、求下列函数的值域.
(1) 1,(1,2,3})yxx (2) y=x2, x[-1,0)∪(0,2]
(3) 223,([2,4])yxxx (4)32xxy
（5）y=2|21|69xxx
7、求函数xxy142的值域
（选做题）(1)兹规定:max{a,b}表示a与b的最大者. 设f(x)=max{-2x2-4x+3,3x-1},试求f(x)
的最大值.
(2) 兹规定:Min{a,b}表示a与b的最小者.设f(x)=min{-2x2-4x+3,3x-1},试求f(x)的最大值.
【感悟札记】