一元二次方程练习(3)(无答案)
一元二次方程练习题
2一、选择题1.下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ）。
A. x 2 + 1= 0 x B. ax 2 + bx + c = 0C. (x − 1)(x + 2) = 1D. 3x 2 − 2xy − 5y 2 = 02.下列关于 x 的一元二次方程有实数根的是（ ）。
A. x 2 + 1 = 0B. x 2 + x + 1 = 0C. x 2 − x + 1 = 0D. x 2 − x − 1 = 03.一元二次方程 x 2 + 2x − c = 0 中， c > 0 ，该方程的解的情况是（ ）。
A. 没有实数根B. 有两个不相等的实数根C. 有两个相等的实数根D. 不能确定 4.若 5k + 20 < 0 ，则关于 x 的一元二次方程 x 2 + 4x − k = 0 的根的情况是（ ）。
A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 无法判断5.已知 1 是关于 x 的一元二次方程 (m − 2)x 2 + x + 1 = 0 的一个根，则 m 的值是（ ）。
A. 1 B. − 1 C. 0 D. ± 16.若关于 x 的一元二次方程 (k − 1)x 2 + 4x + 1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是（ ）。
A. k < 5B. k ⩾5 且 k ≠ 1C. k ⩽5 且 k ≠ 1D.k > 57.如果 x = 4 是一元二次方程 x 2 − 3x − a = 0 的一个根，则常数 a 的值是（ ）。
A. 2 B. − 2 C. ± 4 D. 48.如果关于 x 的一元二次方程 kx 2 − 2k + 1x + 1 = 0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是（ ）。
A. k < 12B.k < 12 且 k ≠ 0C. −1 ⩽k < 12 2−1 ⩽k < 1 且k ≠ 02 29.一元二次方程x2 + x − 2 = 0 的两根之和是（）。
一元二次方程测试题(含答案)
一元二次方程测试题(含答案) 一元二次方程测试题1.一元二次方程$(1-3x)(x+3)=2x^2+1$化为一般形式为：二次项系数$2$，一次项系数$-7$，常数项$10$。
2.若$m$是方程$x^2+x-1=3mx+1$的一个根，代入可得$m+2\sqrt{m+2013}$的值为$-1$，解得$\sqrt{m+2013}=-\frac{m+1}{2}$，代入可得$m=-2014$。
4.关于$x$的一元二次方程$(a-2)x^2+x+a-4$的一个根为$1$，代入可得$a=5$。
5.若代数式$4x-2x-5$与$2x+1$的值互为相反数，则$x=-\frac{3}{2}$。
6.已知$2y+y-3=2$，代入可得$4y^2+2y+1=27$。
7.若方程$(m-1)x+m\cdot x=1$是关于$x$的一元二次方程，则$m$的取值范围为$m\neq 0$。
8.已知关于$x$的一元二次方程$ax+bx+c(a\neq 0)$的系数满足$a+c=b$，则此方程必有一根为$\frac{c}{a}$。
10.设$x_1,x_2$是方程$x^2+bx+b-1=0$有两个相等的实数根，则$b=2$。
12.若$x=-2$是方程$x^2+mx-6=0$的一个根，则方程的另一个根是$3$。
13.设$m,n$是一元二次方程$x^2+4x+m=0$的两个根，则$m+n=-4$。
14.一元二次方程$(a+1)x^2-ax+a-1=0$的一个根为$1$，代入可得$a=2$。
15.若关于$x$的方程$x^2-2ax+a^2=0$的两个根互为倒数，则$a=\pm\sqrt{2}$。
17.已知关于$x$的方程$x^2-x-2=0$与$2x^2-(a+b)x+ab-1=0$有一个解相同，则$a=1$。
18.$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项，且满足$a-1+(b-2)+|a+b+c|=0$，则满足条件的一元二次方程为$(a-1)x^2+(b-2)x+c=0$。
一元二次方程100道计算题练习(附答案)+一元二次方程经典练习题(6套)附带详细答案
一元二次方程100道计算题练习1、)4(5)4(2+=+x x2、x x 4)1(2=+3、22)21()3(x x -=+4、31022=-x x5、〔x+5〕2=166、2〔2x －1〕－x 〔1－2x 〕=07、x 2 =64 8、5x 2 -52=0 9、8〔3 -x 〕2–72=010、3x(x+2)=5(x+2) 11、〔1－3y 〕2+2〔3y －1〕=0 12、x 2+ 2x + 3=013、x 2+ 6x －5=0 14、x 2－4x+ 3=0 15、x 2－2x －1 =016、2x 2+3x+1=0 17、3x 2+2x －1 =0 18、5x 2－3x+2 =019、7x 2－4x －3 =0 20、 -x 2-x+12 =0 21、x 2－6x+9 =022、22(32)(23)x x -=-23、x 2-2x-4=0 24、x 2-3=4x25、3x 2＋8 x －3＝0〔配方法〕 26、(3x ＋2)(x ＋3)＝x ＋1427、(x+1)(x+8)=-1228、2(x －3) 2＝x 2－9 29、－3x 2＋22x －24＝0 30、〔2x-1〕2 +3〔2x-1〕+2=031、2x 2－9x ＋8＝0 32、3〔x-5〕2=x(5-x) 33、(x ＋2) 2＝8x34、(x －2) 2＝(2x ＋3)2 35、2720x x += 36、24410t t -+=37、()()24330x x x -+-=38、2631350x x -+= 39、()2231210x --=40、2223650x x -+=补充练习：一、利用因式分解法解以下方程(x －2) 2＝(2x-3)2 042=-x x 3(1)33x x x +=+x 2-2 ()()0165852=+---x x二、利用开平方法解以下方程 51)12(212=-y 4〔x-3〕2=25 24)23(2=+x三、利用配方法解以下方程25220x x -+=012632=--x x 01072=+-x x四、利用公式法解以下方程－3x 2＋22x －24＝0 2x 〔x －3〕=x －3．3x 2+5(2x+1)=0五、选用适当的方法解以下方程(x ＋1) 2－3 (x ＋1)＋2＝0 22(21)9(3)x x +=-2230x x --=21302x x ++=4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x--xx x〔x＋1〕－5x＝0. 3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1).23(=11)2)(应用题：1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，假设商场平均每天盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？2、两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4 cm，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32平方厘米，求大小两个正方形的边长.3、如图，有一块梯形铁板ABCD，AB∥CD，∠A=90°，AB=6 m，CD=4 m，AD=2 m，现在梯形中裁出一内接矩形铁板AEFG，使E在AB上，F在BC上，G在AD上，假设矩形铁板的面积为5 m2，那么矩形的一边EF长为多少？4、如右图，某小在长32米，区规划宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AD平行，一条与AB平行，其余局部种草，假设使草坪的面积为566米2，问小路应为多宽？5、某商店经销一种销售本钱为每千克40元的水产品，据市场分析，假设按每千克50元销售一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，商店想在月销售本钱不超过1万元的情况下，使得月销售利润到达8000元，销售单价应定为多少？6.某工厂1998年初投资100万元生产某种新产品，1998年底将获得的利润与年初的投资的和作为1999年初的投资，到1999年底，两年共获利润56万元，1999年的年获利率比1998年的年获利率多10个百分点，求1998年和1999年的年获利率各是多少？思考：1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，那么a 的值为。
人教版九年级数学上册第21章一元二次方程的应用归类练习(无答案)
第21章一元二次方程的归类应用一、公式运用问题例1：某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有多少队？例2：怎样用一条长40cm的绳子围成一个面积为96cm的矩形？能围成一个面积为102cm的矩形吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由．练习：1.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？2.一块正方形钢板上截去3cm宽的长方形钢条，剩下的面积是，则原来这块钢板的面积是多少？3.世界杯小组赛阶段一共比赛48场，来自全世界的参赛球队通过抽签分为八个小组，每个小组的每支球队都必须和其余的球队进行且只进行一场比赛，求世界杯有多少支参赛队伍？4.一条长的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形．若两个正方形的面积和等于，则两个正方形的边长分别为多少？二、数字问题例：一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9.如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是多少？练习：一个两位数，它的个位数与十位数的和是12，而这两个数的积比这个两位数少16 ，这个两位数是多少？三、平均变化率问题〖增长率〗例：某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资10亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2016年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2018年该市计划投资“改水工程”864万元．（1）求A市投资“改水工程”费用的年平均增长率；（2）从2016年到2018年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？〖降低率〗例：某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是多少？254cm2cm64cm2160cm练习：1.某养猪专业户每年的养猪成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养猪专业户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为x．（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为万元．（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率.2.汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加. 据统计，2016年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2018年，该品牌汽车的年产量达到10万辆. 若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2016年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2019年的年产量将为多少万辆？3.2016年，东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2018年的均价为每平方米5265元．（1）求平均每年下调的百分率；（2）假设2019年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）4.受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2015年利润为2亿元，2017年利润为2.88亿元．（1）求该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率；（2）若2018年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2018年的利润能否超过3.4亿元？四、传播问题例：“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染，（1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感。
中考数学专项复习《一元二次方程的应用(3)》练习(无答案) 浙教版(2021年整理)
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一元二次方程的应用(03)一、选择题1．从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的面积是48m2，则原来这块木板的面积是（）A．100m2B．64m2C．121m2D．144m22．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）,计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是( ）A．5个B．6个C．7个D．8个3．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（）A．20 B．40 C．100 D．120二、填空题4．如图，一块四周镶有宽度相等的花边的长方形十字绣，它的长为120cm，宽为80cm,如果十字绣中央长方形图案的面积为6000cm2，则花边宽为．5．一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m,那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是m．6．某小区2013年绿化面积为2000平方米，计划2015年绿化面积要达到2880平方米．如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是．7．某商品经过连续两次降价,销售单价由原来的125元降到80元,则平均每次降价的百分率为．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t= 秒时,S1=2S2．三、解答题9．随着铁路客运量的不断增长,重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月,并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月?（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程并且甲、乙两队的工作效率与题干的不同，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍,那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元?（甲、乙两队的施工时间按月取整数）10．小丽为校合唱队购买某种服装时,商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元;如果一次性购买多于10件,那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元,但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装?11．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．（1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？12．电动自动车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计,该品牌电动自行车1月份销售150辆,3月份销售216辆．（1)求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；（2）若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1至3月共盈利多少元?13．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后,将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2?（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？14．某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．（1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；（2）2014年这种产品的产量应达到多少万件？15．随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．咸宁市2011年销售烟花爆竹20万箱，到2013年烟花爆竹销售量为9。
21.2.1 解一元二次方程---配方法 课时练习(2课时、无答案)人教版数学九年级上册
-2，原式有最大值，是-2.
完成下列问题：
(1)求代数式 2²−4 + 1的最小值.
(2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，用长为 100 米的木栅栏围成一个长方形花圃(如
图)，设花圃中垂直于围墙的一边的长度为 x 米，完成下列任务.
(
3 2
(
3 2
1
2
4
. −
. −
)
2
+
)−
1
(
(
. +
1
2
4
)−
. +
4
3 2Biblioteka 3 2)2
+
)
1
4
2.用配方法解方程 ²−6 + 5 = 0,配方后所得的方程是
.( + 3)² = −4
.(−3)² = −4
.( + 3)² = 4
.(−3)² = 4
(
)
3.用配方法解一元二次方程 ² + 2 = 3时，将其化为( ( + )² = 的形式，则.m,n 的值分别
(1)(4 + 1)2−
16
9
= 0.
(2)4(2−1)²−25( + 1)² = 0.
.
)
能力提升全练
1
8.用直接开平方法解一元二次方程 (−1)2 = 9,步骤如下：
4
①(x-1)²=36;②x-1=±6;③x=±7;④即.x₁=7，x₂=-7.其中开始出错的步骤是
A.①
B.②
C.③
(
x²+2x=
人教版九年级数学上册第二十一章 一元二次方程 压轴题 练习
人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程压轴题复习练习题1．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0．（1）已知x＝2是方程的一个根，求m的值；（2）以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB＜AC）的边长，当BC＝时，△ABC是等腰三角形，求此时m的值．2．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每每次下降的百分率相同（1）求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？3．边长为整数的直角三角形若其两直角边长是方程x2﹣（k+2）x+4k＝0的两根，求k的值并确定直角三角形三边之长．4．某汽车销售公司2019年10月份销售一种新型低能耗汽车20辆，由于该型号汽车经济适用性强，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达45辆．（1）求11月份和12月份的平均增长率；（2）该型号汽车每辆的进价为10万元，且销售a辆汽车，汽车厂队销售公司每辆返利0.03a万元，该公司这种型号汽车的售价为11万元/辆，若使2020年1月份每辆汽车盈利不低于2.6万元，那么该公司1月份至少需要销售该型号汽车多少辆？此时总盈利至少是多少万元？（盈利＝销售利润+返利）5．已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．（1）m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？6．某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利于每盆的株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？7．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．8．南岸区正全力争创全国卫生城区和全国文明城区（简称“两城同创”）．某街道积极响应“两城同创”活动，投入一定资金绿化一块闲置空地，购买了甲、乙两种树木共72棵，甲种树木单价是乙种树木单价的，且乙种树木每棵80元，共用去资金6160元．（1）求甲、乙两种树木各购买了多少棵？（2）经过一段时间后，种植的这批树木成活率高，绿化效果好．该街道决定再购买一批这两种树木绿化另一块闲置空地，两种树木的购买数量均与第一批相同，购买时发现甲种树木单价上涨了a%，乙种树木单价下降了，且总费用为6804元，求a的值．9．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m＝0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围．（2）若|x1|＝|x2|，求m的值及方程的根．10．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．（1）判断这个一元二次方程的根的情况；（2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积．11．已知关于x的一元二次方程|x2﹣1|＝（x﹣1）（kx﹣2）：（1）若k＝3，求方程的解；（2）若方程恰有两个不同解，求实数k的取值范围．12．已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值．13．为了准备科技节创意销售，宏帆初2018级某同学到批发市场购买了一些甲、乙两种型号的小元件，甲型小元件的单价是6元，乙型小元件的单价是3元，该同学的创意作品每件需要的乙型小元件的个数是甲型小元件的个数的2倍，同时，为了控制成本，该同学购买小元件的总费用不超过480元．（1）该同学最多可购买多少个甲型小元件？（2）在该同学购买甲型小元件最多的前提下，用所购买的甲、乙两种型号的小元件全部制作成创意作品，在制作中其他费用共花520元，销售当天，该同学在成本价（购买小元件的费用+其他费用）的基础上每件提高2a%（10＜a＜50）标价，但无人问津，于是该同学在标价的基础上降低a%出售，最终，在活动结束时作品全部卖完，这样，该同学在本次活动中赚了a%，求a的值．14．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k＝﹣2，λ＝，试求λ的值．15．利民商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：请根据以上信息，解答下列问题：（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元？（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1700元？16．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22＝6，求m值；（2）令T＝+，求T的取值范围．17．已知关于x的两个一元二次方程：方程①：；方程②：x2+（2k+1）x﹣2k﹣3＝0．（1）若方程①有两个相等的实数根，求：k的值（2）若方程①和②只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根．（3）若方程①和②有一个公共根a，求代数式（a2+4a﹣2）k+3a2+5a的值．18．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，求小道进出口的宽度．19．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC 三边的长．（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．参考答案1．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0．（1）已知x＝2是方程的一个根，求m的值；（2）以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB＜AC）的边长，当BC＝时，△ABC是等腰三角形，求此时m的值．【解答】解：（1）∵x＝2是方程的一个根，∴4﹣2（2m+3）+m2+3m+2＝0，∴m＝0或m＝1；（2）∵△＝（2m+3）2﹣4（m2+3m+2）＝1，∴x＝∴x1＝m+2，x2＝m+1，∵AB、AC（AB＜AC）的长是这个方程的两个实数根，∴AC＝m+2，AB＝m+1．∵BC＝，△ABC是等腰三角形，∴当AB＝BC时，有m+1＝，∴m＝﹣1；当AC＝BC时，有m+2＝，∴m＝﹣2，综上所述，当m＝﹣1或m＝﹣2时，△ABC是等腰三角形．2．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每每次下降的百分率相同（1）求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？【解答】解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：50（1﹣a）2＝32，解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2，答：每次下降的百分率为20%；（2）设每千克应涨价x元，由题意，得（10+x）（500﹣20x）＝6000，整理，得x2﹣15x+50＝0，解得：x1＝5，x2＝10，因为要尽快减少库存，所以x＝5符合题意．答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．3．边长为整数的直角三角形若其两直角边长是方程x2﹣（k+2）x+4k＝0的两根，求k的值并确定直角三角形三边之长．【解答】解：设直角边为a，b（a＜b），则a+b＝k+2，ab＝4k，因方程的根为整数，故其判别式为平方数，设△＝（k+2）2﹣16k＝n2⇒（k﹣6+n）（k﹣6﹣n）＝1×32＝2×16＝4×8，∵k﹣6+n＞k﹣6﹣n，∴或或，解得k1＝（不是整数，舍去），k2＝15，k3＝12，当k2＝15时，a+b＝17，ab＝60⇒a＝5，b＝12，c＝13，当k3＝12时，a+b＝14，ab＝48⇒a＝6，b＝8，c＝10．∴当k＝15时，三角形三边的长为：5，12，13．当k＝12时，三角形三边的长为：6，8，10．4．某汽车销售公司2019年10月份销售一种新型低能耗汽车20辆，由于该型号汽车经济适用性强，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达45辆．（1）求11月份和12月份的平均增长率；（2）该型号汽车每辆的进价为10万元，且销售a辆汽车，汽车厂队销售公司每辆返利0.03a万元，该公司这种型号汽车的售价为11万元/辆，若使2020年1月份每辆汽车盈利不低于2.6万元，那么该公司1月份至少需要销售该型号汽车多少辆？此时总盈利至少是多少万元？（盈利＝销售利润+返利）【解答】解：（1）设11月份和12月份的平均增长率为x，根据题意得：20（1+x）2＝45，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（舍去）．答：11月份和12月份的平均增长率为50%．（2）根据题意得：11﹣10+0.03a≥2.6，解得：a≥53．∵a为整数，∴a≥54．∴此时总盈利为54×（11﹣10+0.03×54）＝141.48（万元）．答：该公司1月份至少需要销售该型号汽车54辆，此时总盈利至少是141.48万元．5．已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．（1）m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD．又∵AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根，∴△＝（﹣m）2﹣4×（﹣）＝（m﹣1）2＝0，∴m＝1，∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．当m＝1时，原方程为x2﹣x+＝0，即（x﹣）2＝0，解得：x1＝x2＝，∴菱形ABCD的边长是．（2）把x＝2代入原方程，得：4﹣2m+﹣＝0，解得：m＝．将m＝代入原方程，得：x2﹣x+1＝0，∴方程的另一根AD＝1÷2＝，∴▱ABCD的周长是2×（2+）＝5．6．某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利于每盆的株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？【解答】解：设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，平均单株盈利为：（3﹣0.5x）元，由题意得：（x+3）（3﹣0.5x）＝10．化简，整理，得x2﹣3x+2＝0．解这个方程，得x1＝1，x2＝2，则3+1＝4，2+3＝5，答：要使每盆的盈利达到10元，每盆应植4株或者5株．7．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由：当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，∴b＝c，∴△ABC是等腰三角形，（2）△ABC是直角三角形，理由：∵方程有两个相等的实数根，∴△＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形；（3）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0，即：x2+x＝0，∴x（x+1）＝0，∴x1＝0，x2＝﹣1，即：这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1．8．南岸区正全力争创全国卫生城区和全国文明城区（简称“两城同创”）．某街道积极响应“两城同创”活动，投入一定资金绿化一块闲置空地，购买了甲、乙两种树木共72棵，甲种树木单价是乙种树木单价的，且乙种树木每棵80元，共用去资金6160元．（1）求甲、乙两种树木各购买了多少棵？（2）经过一段时间后，种植的这批树木成活率高，绿化效果好．该街道决定再购买一批这两种树木绿化另一块闲置空地，两种树木的购买数量均与第一批相同，购买时发现甲种树木单价上涨了a%，乙种树木单价下降了，且总费用为6804元，求a的值．【解答】解：（1）设甲种树木的数量为x棵，乙种树木的数量为y棵，由题意得：，解得：，答：甲种树木的数量为40棵，乙种树木的数量为32棵；（2）由题意得甲种树木单价为×80（1+a%）＝90（1+a%）元，乙种树木单价为80×（1﹣），由题意得：90（1+a%）×40+80×（1﹣）×32＝6804，解得：a＝25，答：a的值为25．9．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m＝0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围．（2）若|x1|＝|x2|，求m的值及方程的根．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m＝0有两个实数根x1，x2，∴，解得：m≥﹣且m≠2．（2）由|x1|＝|x2|，可得：x1＝x2或x1＝﹣x2．当x1＝x2时，△＝（2m+1）2﹣4m（m﹣2）＝0，解得：m＝﹣，此时x1＝x2＝﹣＝；当x1＝﹣x2时，x1+x2＝﹣＝0，∴m＝﹣，∵m≥﹣且m≠2，∴此时方程无解．综上所述：若|x1|＝|x2|，m的值为﹣，方程的根为x1＝x2＝．10．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．（1）判断这个一元二次方程的根的情况；（2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积．【解答】解：（1）∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×4（k﹣）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，∴该方程有两个实数根；（2）①当3为底边长时，△＝（2k﹣3）2＝0，∴k＝，此时原方程为x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2．∵2、2、3能组成三角形，∴三角形的周长为2+2+3＝7，三角形的面积为×3×＝；②当3为腰长时，将x＝3代入原方程，得：9﹣3×（2k+1）+4（k﹣）＝0，解得：k＝2，此时原方程为x2﹣5x+6＝0，解得：x1＝2，x2＝3．∵2、3、3能组成三角形，∴三角形的周长为2+3+3＝8，三角形的面积为×2×＝2．综上所述：等腰三角形的周长为7或8，面积为或2．11．已知关于x的一元二次方程|x2﹣1|＝（x﹣1）（kx﹣2）：（1）若k＝3，求方程的解；（2）若方程恰有两个不同解，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）把k＝3代入|x2﹣1|＝（x﹣1）（kx﹣2）中，得|x2﹣1|＝（x﹣1）（3x﹣2），当x2＞1，即x＞1或x＜﹣1时，原方程可化为：x2﹣1＝（x﹣1）（3x﹣2），解得，x＝1（舍），或x＝；当x2≤1，即﹣1≤x≤1时，原方程可化为：1﹣x2＝（x﹣1）（3x﹣2），解得，x＝1，或x＝；综上，方程的解为x1＝，x2＝1，x3＝；（2）∵x＝1恒为方程|x2﹣1|＝（x﹣1）（kx﹣2）的解，∴当x≠1时，方程两边都同时除以x﹣1得，，要使此方程只有一个解，只需函数y＝与函数y＝kx﹣2的图象只有一个交点．∵函数：，作出函数图象，由图象可知，当k＜0时，直线y＝kx﹣2与函数y＝图象只有一个交点；当k＝0时，直线y＝kx﹣2＝﹣2与函数y＝图象只有一个交点；当k＝1时，y＝kx﹣2＝x﹣2与y＝x+1平行，则与函数y＝图象只有一个交点；∵当直线y＝kx﹣2过（1，2）点时，2＝k﹣2，则k＝4，∴函数图象可知，当k≥4时，直线y＝kx﹣2与函数y＝图象也只有一个交点，∴要使函数图象与y＝kx﹣2图象有且只有一个交点，则实数k的取值范围是k≤0或k＝1或k≥4．综上，实数k的取值范围：k≤0或k＝1或k≥4．12．已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值．【解答】解：（1）△＝（2k﹣3）2﹣4×（k﹣1）（k+1）＝4k2﹣12k+9﹣4k2+4＝﹣12k+13，∵方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根，∴﹣12k+13＞0，解得，k＜，又k﹣1≠0，∴k＜且k≠1时，方程有两个不相等的实数根；（2）∵k是符合条件的最大整数，∴k＝0，x2﹣4x＝0，x＝0或4，当x＝0时，x2+mx﹣1＝0无意义；当x＝4时，42+4m﹣1＝0m＝．13．为了准备科技节创意销售，宏帆初2018级某同学到批发市场购买了一些甲、乙两种型号的小元件，甲型小元件的单价是6元，乙型小元件的单价是3元，该同学的创意作品每件需要的乙型小元件的个数是甲型小元件的个数的2倍，同时，为了控制成本，该同学购买小元件的总费用不超过480元．（1）该同学最多可购买多少个甲型小元件？（2）在该同学购买甲型小元件最多的前提下，用所购买的甲、乙两种型号的小元件全部制作成创意作品，在制作中其他费用共花520元，销售当天，该同学在成本价（购买小元件的费用+其他费用）的基础上每件提高2a%（10＜a＜50）标价，但无人问津，于是该同学在标价的基础上降低a%出售，最终，在活动结束时作品全部卖完，这样，该同学在本次活动中赚了a%，求a的值．【解答】解：（1）设该同学购买x个甲型小元件，则购买2x个乙型小元件，根据题意得：6x+3×2x≤480，解得：x≤40．答：该同学最多可购买40个甲型小元件．（2）设y＝a%，根据题意得：（520+480）×（1+2y）（1﹣y）＝（520+480）×（1+y），整理得：4y2﹣y＝0，解得：y＝0.25或y＝0（舍去），∴a%＝0.25，a＝25．答：a的值为25．14．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k＝﹣2，λ＝，试求λ的值．【解答】解：（1）∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根，∴x1+x2＝1，x1x2＝，∴（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝2x12﹣4x1x2﹣x1x2+2x22＝2（x1+x2）2﹣9x1x2＝2×12﹣9×＝2﹣，若2﹣＝﹣成立，解上述方程得，k＝，∵△＝16k2﹣4×4k（k+1）＝﹣16k＞0，∴k＜0，∵k＝，∴矛盾，∴不存在这样k的值；（2）原式＝﹣2＝﹣2＝﹣2＝﹣6＝﹣2﹣，∴k+1＝1或﹣1，或2，或﹣2，或4，或﹣4解得k＝0或﹣2，1，﹣3，3，﹣5．∵k＜0．∴k＝﹣2，﹣3或﹣5；（3）∵k＝﹣2，λ＝，x1+x2＝1，∴λx2+x2＝1，x2＝，x1＝，∵x1x2＝＝，∴＝，∴λ＝3±2．15．利民商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：请根据以上信息，解答下列问题：（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元？（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1700元？【解答】解：（1）假设甲、乙两种商品的进货单价各为x，y元，根据题意得：，解得：，答：甲、乙两种商品的进货单价各为2元、3元；（2）∵商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．∴甲、乙两种商品的零售单价都下降m元时，甲乙每天分别卖出：（500+×100）件，（300+×100）件，∵销售甲、乙两种商品获取的利润是：甲乙每件的利润分别为：3﹣2＝1元，5﹣3＝2元，每件降价后每件利润分别为：（1﹣m）元，（2﹣m）元；w＝（1﹣m）×（500+×100）+（2﹣m）×（300+×100），＝﹣2000m2+2200m+1100，∴1700＝﹣2000m2+2200m+1100，解：m＝0.6或0.5∴当m定为0.5元或0.6元时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润是1700元．16．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22＝6，求m值；（2）令T＝+，求T的取值范围．【解答】解：∵方程由两个不相等的实数根，所以△＝[2（m﹣2）]2﹣4（m2﹣3m+3）＝﹣4m+4＞0，所以m＜1，又∵m是不小于﹣1的实数，∴﹣1≤m＜1∴x1+x2＝﹣2（m﹣2）＝4﹣2m，x1•x2＝m2﹣3m+3；（1）∵x12+x22＝6，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝6，即（4﹣2m）2﹣2（m2﹣3m+3）＝6整理，得m2﹣5m+2＝0解得m＝；∵﹣1≤m＜1所以m＝．（2）T＝+＝＝＝＝＝2﹣2m．∵﹣1≤m＜1且m≠0所以0＜2﹣2m≤4且m≠0即0＜T≤4且T≠2．17．已知关于x的两个一元二次方程：方程①：；方程②：x2+（2k+1）x﹣2k﹣3＝0．（1）若方程①有两个相等的实数根，求：k的值（2）若方程①和②只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根．（3）若方程①和②有一个公共根a，求代数式（a2+4a﹣2）k+3a2+5a的值．【解答】解：（1）∵方程①有两个相等的实数根，∴，则k≠﹣2，△1＝b2﹣4ac＝（k+2）2﹣4（1+）×（﹣1）＝k2+4k+4+4+2k＝k2+6k+8，则（k+2）（k+4）＝0，∴k＝﹣2，k＝﹣4，∵k≠﹣2，∴k＝﹣4；（2）∵△2＝（2k+1）2﹣4×1×（﹣2k﹣3）＝4k2+4k+1+8k+12＝4k2+12k+13＝（2k+3）2+4＞0，∴无论k为何值时，方程②总有实数根，∵方程①、②只有一个方程有实数根，∴此时方程①没有实数根．（3）根据a是方程①和②的公共根，∴③，a2+（2k+1）a﹣2k﹣3＝0④，∴③×2得：（2+k）a2+（2k+4）a﹣2＝0⑤，⑤+④得：（3+k）a2+（4k+5）a﹣2k＝5，代数式＝（a2+4a﹣2）k+3a2+5a＝（3+k）a2+（4k+5）a﹣2k＝5．故代数式的值为5．18．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，求小道进出口的宽度．【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）＝532．整理，得x2﹣35x+34＝0．解得，x1＝1，x2＝34．∵34＞20（不合题意，舍去），∴x＝1．答：小道进出口的宽度应为1米．19．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC 三边的长．（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【解答】解：（1）把x＝1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；（2）根据题意得△＝（﹣2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；（3）∵△ABC为等边三角形，∴a＝b＝c，∴方程化为x2﹣x＝0，解得x1＝0，x2＝1．。
第二十一章一元二次方程练习
21.1 一元二次方程1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )A.x2+=0B.ax2+bx+c=0C.(x-1)(x+2)=1D.3x2-2xy-5y2=02.若关于x的方程ax2-3x+2=0是一元二次方程,则( )A.a>0B.a≠0C.a=1D.a≥03.[2013²安顺]已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3,则实数k的值为( )A.1B.-1C.2D.-24.下列关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的说法正确的有( )①若有一个根为零时,则c=0;②若有一个根为1时,则a+b+c=0;③若有一个根为-1时,则a-b+c=0;④只有一个实数根.A.1个B.2个C.3个D.4个5.如图21-1-1所示,图形中四个长方形的长比宽多5,围成的大正方形的面积为125.设长方形的宽为x,则下列方程不正确的是( )A.x(x+5)=25B.x2+5x=25C.x2+5x-20=0D.x(x+5)-25=06.若方程4x k-1+3x+1=0是关于x的一元二次方程,则k的值为 .7.已知关于x的方程x2-mx+n=0的两个根是0和-3,则m= ,n= .8.当x=时,方程(a2-9)x2+(a+3)x+5=0不是关于a的一元二次方程;当a= 时,方程(a2-9)x2+(a+3)x+5=0是关于x的一元一次方程.9.《九章算术》“勾股”章有一题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈,问户高、广各几何?”大意是说:已知矩形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么门的高和宽各是多少?(1丈=10尺,1尺=10寸)如果设门的宽为x尺,那么这个门的高为(x+6.8)尺,根据题意,得,整理、化简,得.10.资料中有一这样的题目:把方程x2-x=2化为一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、现把上面的题目改编为下面的两个小题,请解答:(1)下列式子中,有哪几个是方程x2-x=2所化的一元二次方程的一般形式?(答案只写序号).①x2-x-2=0;②-x2+x+2=0;③x2-2x=4;④-x2+2x+4=0;⑤x2-2x-4=0.(2)方程x2-x=2化为一元二次方程的一般形式后,它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系?11.[2013²黔西南州]已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,则代数式a2+b2+2ab的值是 .12.翠湖公园有一块长为32 m,宽为20 m的长方形空地,现准备在空地中修同样宽的两条“之”字路.如图21-1-2所示,若设道路宽为x m,剩下的空地面积为540 m2,请列出关于x的一元二次方程,把它化为一般形式,并指出二次项系数、一次项系数和常数项.13.已知m是方程x2-2 013x+1=0的一个根,试求代数式m2-2 012m+的值.答案解析21.1 一元二次方程1. C【解析】 A是分式方程,B中缺a≠0,D中含有两个未知数.2. B【解析】一元二次方程的隐含条件是二次项系数a≠0,故选B.3. A【解析】因为x=3是原方程的根,所以将x=3代入原方程,即32-3k-6=0成立,解得k=1.4. C【解析】把x=0代入原方程有a×02+b×0+c=0,得到c=0;把x=1代入原方程有a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0;把x=-1代入原方程有a×(-1)2+b×(-1)+c=0,即a-b+c=0,这说明①②③都正确.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可以没有实数根,所以④不正确.5. C【解析】大正方形边长为2x+5,则(2x+5)2=125,∴4x2+20x+25=125,∴4x2+20x-100=0,∴x2+5x-25=0,故A、B、D正确,选C.6.3【解析】∵此方程是一元二次方程,∴k-1=2,∴k=3.7.-3 0【解析】由题意得∴8.09.x2+(x+6.8)2=1022x2+13.6x-53.76=010.(1) ①②④⑤(2)解:(2)若设它的二次项系数为a(a≠0),则一次项系数为-2a,常数项为-4a.11.1【解析】∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,∴12+a+b=0,∴a+b=-1.∴a2+b2+2ab=(a+b)2=(-1)2=1.12.【解析】为了便于计算图形的面积,通过如答图所示的方式平移. 解:将图形中的“之”字路进行平移得到如答图所示的图形.依题意得(32-x)(20-x)=540,整理,得一般形式为x2-52x+100=0,二次项系数为1,一次项系数为-52,常数项为100.第12题答图13.解:∵m为方程x2-2 013x+1=0的根,∴m2-2 013m+1=0,即m2-2 013m=-1,m2+1=2 013m,∴m2-2 012m+=m2-2 013m+m+=-1+m+.又由m2-2 013m+1=0,两边同除以m得m+=2 013,∴原式=-1+2 013=2 012.21.2 解一元二次方程用直接开平方法解一元二次方程1.方程(x+2)2-3=0的解为( )A.x1=2+,x2=-2- B.x1=2+,x2=-2+ C.x1=2-,x2=2+ D.x1=-2+,x2=-2-2.[2013²威海]已知关于x的一元二次方程(x+1)2-m=0有两个实数根,则m的取值范围是( )A. m≥-B. m ≥0C.m≥1D. m≥23.方程4x2+4x+1=0的解是( )A.x1=x2=0.2 B.x1=x2=-2 C.x1=x2= D.x1=x2=-4.若a为一元二次方程(x-)2=100的一个根,b为一元二次方程(y-4)2=17的一个根,且a,b都是正数,则a-b等于( )A.5B.6C.D.10-5.[2013²赣州模拟]一元二次方程4(x-1)2-9=0的解是.6.如果分式的值为零,那么x= .7.若x=2是关于x的方程x2-x-a2+5=0的一个根,则a的值为.8.当x= 时,代数式(x-2)2与(2x+5)2的值相等.9.在实数范围内定义运算“☆”,其规则为a☆b=a2-b2,则方程(4☆3)☆x=13的解为x= .10.解下列方程:(1)[2012²永州](x-3)2-9=0; (2)(2x-3)(2x-3)=x2-6x+9; (3)(2x+3)2-(1-)2=0.11.已知等腰三角形的两边长分别是(x-3)2=1的两个解,则这个三角形的周长是( )A.2或4B.8C.10D.8或1012.若关于x的方程(3x-c)2-60=0的两根均为正数,其中c为整数,则c的最小值为( )A.1B.8C.16D.6113.以大约与水平线成45°角的方向,向斜上方抛出标枪,抛出距离s(单位:米)与标枪出手的速度v(单位:米/秒)之间根据物理公式大致有如下关系:s=+2,如果抛出48米,试求标枪出手时的速度(精确到0.1米/秒).14.已知=,求关于x的方程x2-3m=0的解.15.已知a+b=4n+2,ab=1,若19a2+152ab+19b2的值为2 014,求n.答案解析第1课时用直接开平方法解一元二次方程6. D7. B【解析】 (x+1)2-m=0,整理得(x+1)2=m.∵一元二次方程(x+1)2-m=0有两个实数根,∴m≥0.8. D【解析】由4x2+4x+1=0得(2x+1)2=0,∴2x+1=0,x=-,∴x1=x2=-.9. B【解析】 (x-)2=100的根为x1=-10+,x2=10+,又因为a为正数所以a=10+.(y-4)2=17的根为y 1=4+,y2=4-,因为b为正数所以b=4+,所以a-b=10+-(4+)=6.10.x1=-12,x2=126.-2【解析】由题意得x2-4=0且x-2≠0,∴x=-2.7. ±【解析】把x=2代入方程x2-x-a2+5=0得22-2-a2+5=0,即a2=7,所以a=±.8. -7或-1【解析】由(x-2)2=(2x+5)2,得x-2=±(2x+5),即x-2=2x+5或x-2=-2x-5,所以x1=-7,x2=-1.9. ±6【解析】 4☆3=42-32=16-9=7,7☆x=72-x2,10. 解:(1)(x-3)2=9,x-3=±3,∴x1=0,x2=6;(2)原方程可化为(2x-3)2=(x-3)2,两边开平方得2x-3=±(x-3),即2x-3=x-3或2x-3=-(x-3),∴x1=0,x2=2;(3)原方程可化为(2x+3)2=(1-)2,∴2x+3=±(1-).∴2x+3=1-或2x+3=-(1-).∴x1=-1-,x2=-2+.11.C【解析】开方得x-3=±1,即x=4或2,则等腰三角形的三边长只能为4,4,2,则其周长为10.故选C.12.B【解析】原方程可化为(3x-c)2=60,3x-c=±,3x=c±,x=.因为两根均为正数,所以c>>7,所以整数c的最小值为8.故选B.13.解:把s=48代入s=+2,得48=+2,v2=46×9.8,∴v1≈21.2,v2≈-21.2(舍去).答:标枪出手时的速度约为21.2米/秒.14. 解:=,方程两边同时乘m(m-1),得2m=3(m-1),解得m=3.将m=3代入方程x2-3m=0,则x2-9=0,解得x=±3,即关于x的方程x2-3m=0的解为x1=3,x2=-3.15.解:∵19a2+152ab+19b2=19(a+b)2-38ab+152ab =19(a+b)2+114ab,且a+b=4n+2,ab=1,又19a2+152ab+19b2的值为2 014,∴19×(4n+2)2+114×1=2 014,即(4n+2)2=100,∴4n+2=±10,当4n+2=10时,解得n=2;当4n+2=-10时,解得n=-3.故n为2或-3.用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程x2-x-4=0时,配方后得( )A.=B.=-C.=D.以上答案都不对2.若一元二次方程x2-2x-3 599=0的两根为a,b,且a>b,则2a-b之值为( )A.-57B.63C.179D.1813.已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式,那么x2-6x+q=2可以配方成下列的( )A.(x-p)2=5B.(x-p)2=9C.(x-p+2)2=9D.(x-p+2)2=54.用配方法使下列等式成立(1)x2-2x-3=(x- )2+( ); (2)3x2-2x-2=3 (x- )2+( ).5.[2013²吉林]若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16,则m= .6.当m= 时,x2+mx+36是完全平方式.7.用配方法解一元二次方程:(1)x2-2x=5; (2)2x2+1=3x; (3)2t2-6t+3=0; (4)6x2-x-12=0; (5)2y2-4y=4; (6)x2+3=2x.8.用配方法解方程:(1)[2013²山西](2x-1)2=x(3x+2)-7; (2)5(x2+17)=6(x2+2x).9.关于x的一元二次方程x2-5x+p2-2p+5=0的一个根为1,则实数p的值是( )A.4B.0或2C.1D.-110.利用配方法比较代数式3x2+4与代数式2x2+4x值的大小.11.已知a,b,c是△ABC三边长,且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca.试判断△ABC的形状,并说明理由.答案解析第2课时用配方法解一元二次方程1. C【解析】先把方程化为x2-3x-12=0,再移项得x2-3x=12,配方得=.2. D【解析】x2-2x-3 599=0,移项得x2-2x=3 599,x2-2x+1=3 599+1,即(x-1)2=3 600,x-1=60或x-1=-60,解得x=61或x=-59.∵一元二次方程x2-2x-3 599=0的两根为a,b,且a>b,∴a=61,b=-59,∴2a-b=2×61-(-59)=181.3. A【解析】由x2-6x+q=0,得x2-6x+9-9+q=0,即(x-3)2-9+q=0,∴(x-3)2=9-q.∴q=2,p=3.∴x2-6x+q=2即为x2-6x+2=2,x2-6x=0,x2-6x+9=9,(x-3)2=9,即(x-p)2=9.故选B.4.(1)1 -4(2)13735. 36. ±12【解析】∵x2+mx+36=x2+mx+62是完全平方式, ∴m=±2×1×6,∴m=±12.7.解:(1)配方,得(x-1)2=6,∴x-1=±,∴x 1=1+,x2=1-;(2)移项得2x2-3x=-1,二次项系数化为1得x2-x=-,配方得x2-x+=-+,即=,∴x-=±,解得x1=1,x2=;(3)移项、系数化为1得t2-3t=-,配方得t2-3t+=-+,即=,开方得t-=±,∴t1=,t2=.(4)移项,得6x2-x=12,二次项系数化为1,得x 2-=2,配方,得x2-+=2+,即=,∴x-=±,∴x1=,x2=-;(5)系数化为1,得y2-2y=2,配方,得y2-2y+1=2+1,即(y-1)2=3,∴y-1=±,∴y=1+,y2=1-;(6)移项,得x2-2x=-3,配方,得x2-2x+()2=-3+()2,即(x-)2=0,∴x=x2=.8. 解:(1)(2x-1)2=x(3x+2)-7,整理得x2-6x=-8,配方得(x-3)2=1,∴x-3=±1,∴x1=2,x2=4.(2)5(x2+17)=6(x2+2x),整理得:,x2+12x-85=0,∴x2+12x=85,x2+12x+36=85+36,∴(x+6)2=121,∴x+6=±11,∴x1=5,x2=-17.9.C【解析】把x=1代入原方程有1-5+p2-2p+5=0,即p2-2p+1=0,∴(p-1)2=0,∴p=1.10.解:∵(3x2+4)-(2x2+4x)=3x2+4-2x2-4x=x2-4x+4=(x-2)2≥0,∴3x2+4≥2x2+4x.11.解:△ABC是等边三角形.理由略理由:∵a2+b2+c2=ab+bc+ca,∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0,∴a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ca+a2=0, ∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,∴a-b=0,b-c=0,c-a=0,∴a=b,b=c,c=a,即a=b=c,∴△ABC是等边三角形.21.2.2 公式法1.[2013²成都]一元二次方程x2+x-2=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根2.方程x2+x-1=0的一个根是( )A.1-B.C.-1+D.3.[2012²南昌]已知关于x的一元二次方程x2+2x-a=0有两个相等的实数根,则a的值是( )A.1B.-1C.D.-4.方程4y2=5-y化成一般形式后,a= , b= ,c= ,则b2-4ac= ,所以方程的根为 .5.[2013²滨州]一元二次方程2x2-3x+1=0的解为 .6.[2012²上海]如果关于x的一元二次方程x2-6x+c=0(c是常数)没有实数根,那么c的取值范围是.7.不解方程,判断下列一元二次方程的根的情况:(1)3x2-2x-1=0; (2)2x2-x+1=0; (3)4x-x2=x2+2; (4)3x-1=2x2.8.用公式法解方程:(1)x2=6x+1; (2)2x2-3x=0; (3)0.2x2-0.1=0.4x; (4)x-2=2x2.9.[2012²广安]已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( )A.a>2B.a<2C.a<2且a≠1D.a<-210.用适当的方法解一元二次方程:(1)(3x+1)2-9=0; (2)x2+4x-1=0(用两种方法);(3)3x2-2=4x; (4)(y+2)2=1+2y(用两种方法).11.[2013²北京]已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;(2)若k为正整数,且该方程的根都是整数,求k的值.答案解析21.2.2公式法1. A2. D【解析】用公式法解得x=.3. B【解析】∵关于x的一元二次方程x2+2x-a=0有两个相等的实数根,∴Δ=b2-4ac=0,即22-4(-a)=0,解得a=-1.4. 4 1 -5 81 y1=1,y2=-5.x1=1,x2=6.c>9【解析】∵关于x的一元二次方程x2-6x+c=0(c是常数)没有实数根,∴Δ=(-6)2-4c<0,即36-4c<0,c>9.7.解:(1)Δ>0,方程有两个不相等的实数根;(2)Δ<0,方程没有实数根;(3)Δ=0,方程有两个相等的实数根;(4)Δ>0,方程有两个不相等的实数根.8.解:(1)x1=,x2=; (2)x1=3+,x2=3-; (3)x1=0,x2=; (4)x1=,x2=;(5)x1=,x2=; (6)无解.9.C【解析】Δ=4-4(a-1)=8-4a>0,得a<2.又a-1≠0,∴a<2且a≠1.10.解:(1)x1=,x2=-;(2)x1=-2-,x2=-2+;(3)x1=,x2=;(4)无解.11.解:(1) Δ=b2-4ac=4-4(2k-4)=20-8k.∵方程有两个不等的实数根,∴20-8k>0,∴k<.(2)∵k为正整数,∴0<k<(且k为整数),即k为1或2.∴当k=1时,方程x2+2x-2=0的根x=-1±不是整数;当k=2时,方程x2+2x=0的根x 1=-2,x2=0.都是整数,综上所述,k=2.创新专题(一) 配方法与公式法的综合一配方法的运用1.若4x2+k xy+y2表示一个完全平方式,则k的值为( )A.4B.±4C.±8D.82.利用配方法证明:无论x取何实数值,代数式-x2-x-1的值总是负数,并求它的最大值.3.已知a2-4a+b2-+=0,求a2-4的值.二配方法解方程4.[2012²兰州]已知x是一元二次方程x2-2x+1=0的根.求代数式÷(x+2-)的值.5.[2013²杭州]当x满足条件时,求出方程x2-2x-4=0的根.6.[2012²张家界]阅读材料:对于任何实数,我们规定符号的意义是=ad-bc.例如:=1³4-2³3=-2,=(-2)³5-4³3=-22.(1)按照这个规定请你计算的值;(2)当x2-4x+4=0时,按照这个规定请你计算的值.三公式法解方程7.[2012²珠海]已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0.(1)当m=3时,判断方程的根的情况;(2)当m=-3时,求方程的根.8.[2013²淄博]关于x的一元二次方程(a-6)x2-8x+9=0有实根.(1)求a的最大整数值;(2)当a取最大整数值时,①求出该方程的根;②求2x2-的值.答案解析创新专题(一) 配方法与公式法的综合1. B2. 证明:-x 2-x -1=-+-1=--.∵-≤0,∴--<0, 即无论x 取何值时,代数式-x 2-x -1的值总是负数. 当x =-时,-x 2-x -1有最大值-.3. 解:∵a 2-4a +b 2-+=0,∴(a 2-4a +4)+=0,即(a -2)2+=0, ∴a-2=0且b -=0,∴a=2,b=,∴a 2-4=22-4=4-4×=2.4. 解:∵x 2-2x +1=0,∴(x -1)2=0,∴x 1=x 2=1.原式=÷=·=.当x =1时,原式=.5. 解:由得2<x <4.解方程x 2-2x -4=0得x 1=1+,x 2=1-. 又∵2<<3,2<x<4, ∴x =1+.6. 解:(1)=5×8-7×6=-2;(2)由x 2-4x +4=0得x=2,==3×1-4×1=-1.7. 解:(1)当m =3时,b 2-4ac =22-4×1×3=-8<0,∴原方程没有实数根.(2)当m =-3时,x 2+2x -3=0,∵a =1,b =2,c =-3,Δ=b 2-4ac =4-4×1×(-3)=16,∴x ==,∴x 1=-3,x 2=1.7. 解:(1)∵关于x 的一元二次方程(a -6)x 2-8x +9=0有实根,8.∴a-6≠0,Δ=(-8)2-4×(a-6)×9≥0,解得a≤且a≠6.∴a的最大整数值为7.(2)①当a=7时,原一元二次方程变为x2-8x+9=0. ∵a=1,b=-8,c=9,∴Δ=(-8)2-4×1×9=28,∴x =,即x=4±2, ∴x1=4+2,x2=4-2.②∵x是一元二次方程x2-8x+9=0的根, ∴x2-8x=-9.∴2x2-=2x2-=2x2-16x+=2(x2-8x )+=2×(-9)+=-.教材回归(一) 根的判别式的应用(教材P17习题21.2第13题)无论p取何值,方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根吗?给出答案并说明理由.【思想方法】一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac可以用来判断根的情况,也可以根据一元二次方程根的情况,确定方程中的未知系数.一判断一元二次方程根的情况方程x2+7=8x的根的情况为( )A.方程有两个不相等的实数根B.方程有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.方程没有实数根[2013²滨州]对于任意实数k,关于x的方程x2-2(k+1)x-k2+2k-1=0的根的情况为( )A.有两个相等的实数根B.没有实数根C.有两个不相等的实数根D.无法确定[2012²孝感]已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.求证:无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根.[2012²绵阳]已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0.(1)求证:方程恒有两个不相等的实数根;(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求出以此两根为边长的直角三角形的周长.二确定一元二次方程中字母系数的值关于x的一元二次方程x2+(m-2)x+m+1=0有两个相等的实数根,则m的值是( )A.0B.8C.4±D.0或8[2012²广州]已知关于x的一元二次方程x2-2x-k=0有两个相等的实数根,则k的值为 .已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)有两个相等的实数根,求的值.三确定一元二次方程中字母系数的取值范围[2013²宜宾]若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )A.k<1B. k>1C.k=1D. k≥0已知a,b,c分别是△ABC的三条边,其中a=1,c=4,且关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状.如果关于x的方程mx2-2(m+2)x+m+5=0没有实数根,试判断关于x的方程(m-5)x2-2(m-1)x+m=0的根的情况.答案解析教材回归(一) 根的判别式的应用解:x2-5x+6-p2=0,Δ=(-5)2-4×1×(6-p2)=25-24+4p2=4p2+1>0,所以方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根.AC证明:Δ=(m+3)2-4(m+1)=(m+1)2+4.∵无论m取何值时,(m+1)2+4的值恒大于0,∴原方程总有两个不相等的实数根.【解析】(1)根据关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0的根的判别式的符号来证明结论;(2)根据一元二次方程的解的定义求得m的值,然后把m的值代入原方程求得方程的另一根.分类讨论:①当该直角三角形的两直角边是1,3时,由勾股定理得斜边的长度为;②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1,3时,由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2;再根据三角形的周长公式进行计算.解:(1)∵b2-4ac=[-(m+2)]2-4×1×(2m-1)=m2-4m+8=(m-2)2+4>0,∴方程恒有两个不相等的实数根;(2)把x=1代入方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0中,解得m=2,∴原方程为x2-4x+3=0,解这个方程得x1=1,x2=3,∴方程的另一个根为x=3.①当1,3为直角边长时,斜边长为=,∴直角三角形的周长为1+3+=4+.②当3为斜边长时,另一条直角边长为=2,∴直角三角形的周长为1+3+2=4+2.D【解析】依题意得Δ=(m-2)2-4(m+1)=0,∴m1=0,m2=8.-3【解析】∵关于x的一元二次方程x2-2x-k=0有两个相等的实数根,∴Δ=0,即(-2)2-4×(-k)=12+4k=0,解得k=-3.【解析】由于这个方程有两个相等的实数根,因此Δ=b2-4a=0,可得出a、b之间的关系式,然后将化简后,将a、b之间的关系式代入即可求出这个分式的值.解:∵ax2+bx+1=0(a≠0)有两个相等的实数根,∴Δ=b2-4ac=0,即b2-4a=0.∴=====4.A解:∵关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根,∴Δ=(-4)2-4b=0,∴b=4.∵c=4,∴b=c,∴△ABC是等腰三角形.解:∵方程mx2-2(m+2)x+m+5=0没有实数根,∴m≠0,原方程是关于x的一元二次方程,∴Δ=[-2(m+2)]2-4m(m+5)=4(m2+4m+4-m2-5m)=4(4-m)<0,∴m>4.对于方程(m-5)x2-2(m-1)x+m=0,当m=5时,方程有一个实数根;当m≠5时,Δ=[-2(m-1)]2-4m(m-5)=4(3m+1).∵m>4,∴3m+1>13,∴Δ=4(3m+1)>0,方程有两个不相等的实数根,∴当m=5时,方程(m-5)x2-2(m-1)x+m=0有一个实数根;当m>4且m≠5时,此方程有两个不相等的实数根.21.2.3 因式分解法1.方程(x+1)2=x+1的解是( )=0,x2=-1 C.x1=0,x2=-2 D.x1=1,x2=-1A.x=-1B.x1,x2(x1<x2),则x2-x1= .2.若方程x2-x=0的两根为x13.关于x的方程mx2+mx+1=0有两个相等的实数根,那么m= .4.用因式分解法解下列方程:(1)(x-1)2-2(x-1)=0; (2)9x2-4=0; (3)(3x-1)2-4=0; (4)5x(x-3)=(x-3)(x+1).5.[2012²巴中]解方程:2=3x(用不同的方法解方程).6.已知△ABC的两边长分别为2和3,第三边长是方程(x2-2x)-5(x-2)=0的根,求△ABC的周长.7.已知一直角三角形的三边长为三个连续偶数,试求这个直角三角形的三边长及面积.8.[2013²乐山]已知一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0 .(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根,第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时,求k的值.21.2.3 因式分解法1. B 2、1 3、4【解析】 因为方程有两个相等的实数根,所以m 2-4m =0,所以m 1=0,m 2=4.又m ≠0,所以m =4. 4. 解:(1)x 1=3,x 2=1;(2)x 1=-,x 2=;(3)x 1=-,x 2=1;(4)x 1=3,x 2=. 5. 【解析】 可用因式分解法或公式法. 解:解法一(因式分解法):(x -3)(2-3x )=0, x -3=0或2-3x =0, 所以x 1=3,x 2=.解法二(公式法):2x -6=3x 2-9x ,3x 2-11x +6=0,a=3,b =-11,c =6,b 2-4ac =121-72=49,x =,∴x 1=3,x 2=.6.解: 原方程可化为x (x -2)-5(x -2)=0,∴(x -5)(x-2)=0,∴x 1=5,x 2=2.∵三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,∴第三边的长x 的取值范围是1<x <5,∴x =2, ∴△ABC 的周长为2+3+2=7.7. 解:设三角形的三边长为n -2,n,n +2,则由勾股定理,得(n -2)2+n 2=(n +2)2,整理得n 2-8n =0,解得n =0(舍去)或n =8. 当n =8时,n -2=6,n +2=10, 三角形的面积为×6×8=24. 答:这个直角三角形的三边长分别为6,8,10,面积为24.8. 解:(1)证明:∵一元二次方程为x 2-(2k +1)x +k 2+k =0,Δ=[-(2k +1)]2-4 (k 2+k )=1>0, ∴此方程有两个不相等的实数根.(2)∵△ABC 的两边AB 、AC 的长是这个方程的两个实数根,由(1)知,AB ≠AC ,△ABC 第三边BC 的长为5,且△ABC 是等腰三角形,∴必然有AB=5或AC=5,即x =5是原方程的一个解.将x=5代入方程x 2-(2k +1)x+k 2+k =0,25-5(2k +1)+k 2+k =0,解得k =4或k =5.当k =4时,原方程为x 2-9x +20=0,解得x 1=5,x 2=4.以5,5,4为边长能构成等腰三角形; 当k =5时,原方程为x 2-11x+30=0,解得x 1=5,x 2=6.以5,5,6为边长能构成等腰三角形. ∴k 的值为4或5.*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1.已知方程3x 2-5x -7=0的两根为x 1,x 2,则下列各式中正确的是( ) A.x 1+x 2=5,x 1x 2=7 B.x 1+x 2=-5,x 1x 2=-7 C .x 1+x 2=,x 1x 2=- D.x 1+x 2=-,x 1x 2=-2.[2013²包头]已知方程x 2-2x -1=0,则此方程( )A.无实数根B.两根之和为-2C.两根之积为-1D.有一根为-1+3.[2012²攀枝花]已知一元二次方程x 2-3x -1=0的两个根分别是x 1,x 2,则x 2+x 1的值为( ) A.-3 B.3 C.-6 D.64.已知方程x 2-5x +2=0的两个解分别为x 1,x 2,则x 1+x 2-x 1x 2的值为( ) A.-7 B.-3C.7D.35.若x 1,x 2是方程x 2+x -1=0的两个根,则+= .6.[2012²张家界]已知m 和n 是方程2x 2-5x -3=0的两根,则+= .7.已知x 1,x 2是方程x 2+6x +3=0的两实数根,试求下列代数式的值:(1)+; (2)+; (3)(x 1+1)(x 2+1).8.已知2-是关于x 的一元二次方程x 2-4x+c=0的一个根,求方程的另一个根.9.[2013²泸州]设x1、x2是方程x2+3x-3=0的两个实数根,则+的值为( )A.5B.-5C.1D.-110.关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根分别是x1,x2,且+=7,则(x1-x2)2的值是( )A.1B.12C.13D.2511.设a,b是方程x2+x-2 012=0的两个实数根,则a2+2a+b的值为( )A.2 009B.2 010C.2 011D.2 01212.[2012²莱芜]已知m,n是方程x2+2x+1=0的两根,则代数式的值为( )A.9B.4C.3D.513.[2012²南充]关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2.(1)求m的取值范围;(2)若2(x1+x2)+x1x2+10=0,求m的值.14.[2013²荆州]已知关于x的方程kx2-(3k-1)x+2(k-1)=0.(1)求证:无论k为何实数,方程总有实数根;(2)若此方程有两个实数根x1,x2,且│x1-x2│=2,求k的值.答案解析*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1.C2.C3.A【解析】∵一元二次方程x2-3x-1=0的两个根分别是x1,x2,∴x1+x2=3,x1x2=-1,∴x2+x 1=x1x2(x1+x2)=-1×3=-3.4.D【解析】由根与系数的关系得x1+x2=5,x1x2=2,所以x1+x2-x1x2=5-2=3.5.3【解析】由根与系数的关系得x1+x2=-1,x1x2=-1,所以+=(x1+x2)2-2x1x2=(-1)2-2×(-1)=3.6. -【解析】∵m和n是方程2x2-5x-3=0的两根,∴m+n=-=,mn =-,∴+===-.7. 解:由根与系数的关系得x1+x2=-6,x1x2=3.(1)+=(x1+x2)2-2x1x2=(-6)2-2×3=36-6=30; (2)+===10;(3)(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=3-6+1=-2.8. 解:设方程的另一个根为x1,由x1+2-=4,得x1=2+.9.B10.C【解析】由根与系数的关系知:x1+x2=m,x1x2=2m-1,∴+=(x1+x2)2-2x1x2=m2-2(2m-1)=m2-4m+2,∴m2-4m+2=7,∴m2-4m-5=0,解得m=5或m=-1.当m=5时,原方程为x2-5x+9=0,Δ=(-5)2-4×1×9=25-36=-11<0,此时方程无实根. 当m=-1时,原方程为x2+x-3=0,方程有实根, ∴当m=-1时,x1+x2=-1,x1x2=-3,∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-1)2-4×(-3)=1+12=13,故选C.11.C【解析】∵a是方程x2+x-2 012=0的根,∴a2+a-2 012=0,∴a2+a=2 012.又由根与系数的关系得a+b=-1,∴a2+2a+b=a2+a+(a+b)=2 012-1=2 011,故选C.12.C13. 解:(1)∵原方程有两个实数根,∴Δ=9-4(m-1)≥0,解得m ≤.(2)由根与系数的关系,得x1+x2=-3,x1x2=m-1,∴2×(-3)+(m-1)+10=0,解得m=-3,符合题意.14. 解:(1)证明:当k=0时,x=2,方程有实数根, 当k≠0时,Δ=[-(3k-1)]2-4k·2(k-1)=k2+2k+1=(k+1)2≥0综上所述无论k为何实数,方程总有实数根; (2)由题意得k≠0,由根与系数关系,得x1+x2=,x1x2=.∵│x1-x2│=2,∴(x1-x2)2=4,即(x1+x2)2-4x1x2=4,故-=4,整理,得3k2-2k-1=0.解得k1=1,k2=-.经检验,k1=1,k2=-都是原分式方程的解,∴k1=1,k2=-.21.3 实际问题与一元二次方程第1课时变化率问题与一元二次方程1.[2013²黔西南]某机械厂七月份生产零件50万个,第三季度生产零件196万个.设该厂八、九月份平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是( )A.50(1+x)2=196B.50+50(1+x)2=196C.50+50(1+x)+50(1+x)2=196D.50+50(1+x)+50(1+2x)=1962.在一个QQ群里有n个网友在线,每个网友都向其他网友发出一条信息,共有20条信息,则n为( )A.10B.6C.5D.43.某种植物主干长出若干数目的分支,每个分支长出相同数目的小分支,主干、分支、小分支的总数为241,求每个分支长出多少个小分支?若设主干有x个分支,依题意列方程正确的是( )A.1+x+x(x+1)=241B.1+x+x2=241C.1+(x+1)+(x+1)2=241D.1+(x+1)+x2=2414.[2013²哈尔滨]某商品经过连续两次降价,销售单价由原来的125元降到80元,则平均每次降价的百分率为.5.某人将2 000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1 000元用作购物,剩下的1 000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后得本金和利息共1 320元(均不计利息税),设这种存款方式的年利率为x,则可列方程为.6.有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感.(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人?(2)如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?7.[2012²乐山]菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售,由于部分菜农盲目扩大种植,造成该蔬菜滞销.李伟为了加快销售,减少损失,对价格经过两次下调后,以每千克3.2元的单价对外批发销售.(1)求平均每次下调的百分率;(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜,因数量多,李伟决定再给予两种优惠方案以供选择:方案一:打九折销售;方案二:不打折,每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠,请说明理由.8.[2013²绵阳]“低碳生活,绿色出行”,自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加,据统计,该商城1月份销售自行车64辆,3月份销售了100辆.(1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同,问该商城4月份卖出多少辆自行车?(2)考虑到自行车需求不断增加,该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车,已知A型车的进价为500元/辆,售价为700元/辆,B型车的进价为1 000元/辆,售价为1 300元/辆.根据销售经验,A型车不少于B型车的2倍,但不超过B型车的2.8倍.假设所进车辆全部售完,为使利润最大,该商城应如何进货?答案解析第1课时变化率问题与一元二次方程1. C2. C【解析】依题意,得n(n-1)=20,解得n=5或n=-4(舍去).3. B【解析】植物有1个主干,1个主干有x个分支,x个分支有x2个小分支,依据题意,得1+x+x2=241.4.20%5.[2 000(1+x)-1 000](1+x)=1 3206.解:(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人,由题意,得1+x+x(1+x)=64.解得x1=7,x2=-9(不合题意,舍去) .答:每轮传染中平均一个人传染了7个人.(2)7×64=448.答:将又有448人被传染.7. 解:(1)设平均每次下调的百分率为x.由题意,得5(1-x)2=3.2,解这个方程,得x1=0.2,x2=1.8.因为降价的百分率不可能大于1,所以x2=1.8不符合题意,符合题目要求的是x1=0.2=20%.答:平均每次下调的百分率是20%.(2)小华选择方案一购买更优惠.理由:方案一所需费用为3.2×0.9×5 000=14 400(元),方案二所需费用为3.2×5 000-200×5=15 000(元).∵14 400元<15 000元,∴小华选择方案一购买更优惠.8.解:(1)设自行车销量的月平均增长率为x,根据题意得:64(1+x)2=100,解得x=0.25=25%或x=-2.25(不合题意)四月份的销量为100×(1+25%)=125(辆),答:四月份的销量为125辆.(2)设购进A型车x辆,根据题意得:2×≤x≤2.8×,解得30≤x≤35,∵A型车的利润率大于B型车的利润率,∴当A型车进货量最大时有最大利润.当购进A型车35辆,应购进B型车=12.5辆,不符合实际; 当购进A型车34辆,应购进B型车=13辆,∴应购进A型车34辆,B型车13辆.第2课时几何图形与一元二次方程1.如图21-3-3,在一条长90 m,宽60 m的矩形草地上修三条小路,小路都等宽,除小路外,草地面积为5 192 m2的6个矩形小块,则小路的宽度应为( )A.1 m或104 mB.1 mC.2 mD.1.5 m图21-3-32.[2013²南京]已知如图21-3-4所示的图形的面积为24,根据图中的条件,可列出方程:.图21-3-43.在一个正方形的铁板正中间,割去一块小正方形铁板后剩余部分面积为32 cm2,并且已知小正方形的边长为大正方形边长的,则大正方形铁板的边长为cm.4.近期随着国家抑制房价新政策的出台,某楼盘房价连续两次下跌,由原来的每平方米10 000元降至每平方米8 100元,设每次降价的百分率相同,则降价百分率为.5.[2013²连云港]小林准备进行如下操作实验:把一根长为40 cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2,小林该怎么剪?(2)小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2”,他的说法对吗?请说明理由.6.[2012²绍兴改编]把一张边长为40 cm的正方形硬纸板进行适当地裁剪,折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).图21-3-5(1)如图21-3-5,若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形,将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子.要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm2,那么剪掉的正方形的边长为多少?(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上),将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子.若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm2,求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况).答案解析第2课时几何图形与一元二次方程1. B【解析】如答图,将三条小路分别平移到矩形ABCD的最左边和最下边,则剩余部分EFGD也是一个矩形,它的面积=草地的面积.设小路的宽度为x米,则DE为(90-2x) m,DG为(60-x) m.依题意,得(90-2x)(60-x)=5 192,整理,得x2-105x+104=0,解得x1=1,x2=104(不合题意,舍去).故小路的宽度为1 m. 故选B.第1题答图2.答案不唯一,如(x+1)2=253. 64.10%5.解:(1)设其中一个正方形的边长为x cm ,则另一个正方形的边长为(10-x) cm.由题意得x2+(10-x)2=58,解得x1=3,x2=7.4×3=12,4×7=28.所以小林应把铁丝剪成 12 cm 和 28 cm 的两段.(2)小峰的说法对.理由:假设能围成两个正方形,使它们的面积和为48.由(1)得, x2+(10-x)2=48 .化简得x2 -10x+26=0 .因为b2-4ac=(-10)2-4 ×1×26 =- 4 < 0 ,所以此方程没有实数根.所以小峰的说法是对的.6.解:(1)设剪掉的正方形的边长为x cm,则(40-2x)2=484,即40-2x=±22,解得x1=31(不合题意,舍去),x2=9,∴剪掉的正方形的边长为9 cm.(2)如答图所示的一种裁剪方法,设剪掉的正方形的边长为x cm,2(40-2x)(20-x)+2x(20-x)+2x(40-2x)=550,解得x1=-35(不合题意,舍去),x2=15,∴剪掉的正方形的边长为15 cm,此时长方体盒子的长为15 cm,宽为10 cm,高为5 cm.第6题答图本章复习课类型之一一元二次方程的有关概念1.把方程2x(x+5)=10化为一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )A.2、5、10B.2、5、-10C.2、1、5D.2、10、-102.方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则( )A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m≠±23.[2013²荆门]设x,x2是方程x2-x-2 013=0的两实数根,则+2 014x2-2 013= .14.已知是关于x的方程x2-x+a=0的一个根,求a-2-的值.类型之二一元二次方程的解法5.用括号中的方法解下列方程:(1)5(x+1)2=(直接开平方法);(2)9(x-2)2=4(x+1)2(因式分解法);(3)4x2+5=12x(配方法);(4)2x2-3x-1=0(公式法).6.[2013²南充]关于x的一元二次方程为(m-1)x2-2mx+m+1=0(1)求出方程的根;(2)m为何整数时,此方程的两个根都为正整数?类型之三一元二次方程根的判别式7.[2013²泸州]若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是( )A.k>-1B.k<1且k≠0C.k≥-1且k≠0D.k>-1且k≠08.[2013²咸宁]关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+3=0有实数根,则整数a的最大值( )A.2B.1C.0D.-19.关于x的一元二次方程x2-(2a-3)x+a-2=0根的情况是( )A.有两个相等的实数根B.没有实数根C.有两个不相等的实数根D.根的情况无法确定10.[2013²郴州]已知关于x的一元二次方程x2+bx+b=0有两个相等的实数根,则b的值是.11.[2012²雅安]若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0无实数解,则m的取值范围是.类型之四一元二次方程根与系数的关系12.[2013²内蒙]已知α、β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足+=-1,则m 的值是( )A. 3B. 1C. 3 或-1D.-3 或 113.[2013²眉山]已知关于x的一元二次方程x2-x-3=0的两个实数根分别为α、β,则(α+3)(β+3)= .14.[2013²孝感]已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2.(1)求实数k的取值范围.(2)是否存在实数k使得x1²x2--≥0成立?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.类型之五一元二次方程的应用15.[2012²广东]据媒体报道,我国2009年公民出境旅游总人数约5 000万人次,2011年公民出境旅游总人数约7 200万人次.若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增,请解答下列问题:(1)求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率;(2)如果2012年仍保持相同的年平均增长率,请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次?类型之六一元二次方程的创新应用16.[2013²临沂]对于实数a,b,定义运算“*”:a*b=例如:4*2,因为4>2,所以4*2=42-4³2=8.若x1,x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根,则x1*x2= .17.[2013²绵阳]已知整数k<5,若△ABC的边长均满足关于x的方程x2-3x+8=0,则△ABC的周长是 .答案解析本章复习课1.D2.B【解析】由一元二次方程的定义知即∴m=2.3.2 0144.解:∵是方程x2-x+a=0的根,∴()2-+a=0,∴a=-2.原式=a-2-。
《一元二次方程》基础练习含答案(5套)
《一元二次方程》基础知识反馈卡·第一份时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．若(a－1)x2＋bx＋c＝0是关于x的一元二次方程，则( )A．a≠0 B．a≠1C．a＝1 D．a≠－12．一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x(x－1)化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m的值为( )A．－1 B．1 C．－2 D．2二、填空题(每小题4分，共12分)3．方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝_______________.4．若关于x的方程mx2＋(m－1)x＋5＝0有一个解为2，则m的值是______．5．把一元二次方程(x－3)2＝5化为一般形式为________________，二次项为________，一次项系数为__________，常数项为________.三、解答题(共7分)6．已知关于x的一元二次方程(2m－1)x2＋3mx＋5＝0有一根是x＝－1，求m的值．时间：10分钟 满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．用配方法解方程x 2－23x －1＝0，正确的配方为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＝89B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＝59C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋109＝0D.⎝⎛⎭⎪⎫x －132＝1092．一元二次方程x 2＋x ＋14＝0的根的情况是( )A ．有两个不等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定二、填空题(每小题4分，共12分)3．方程x 2－4x －12＝0的解x 1＝________，x 2＝________. 4．x 2＋2x －5＝0配方后的方程为____________． 5．用公式法解方程4x 2－12x ＝3，得到x ＝________. 三、解答题(共7分)6．已知关于x 的一元二次方程x 2－mx －2＝0.(1)对于任意实数m ，判断此方程根的情况，并说明理由； (2)当m ＝2时，求方程的根．时间：10分钟 满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分) 1．一元二次方程x 2＝3x 的根是( ) A ．x ＝3 B ．x ＝0C ．x 1＝0，x 2＝3D ．x 1＝0，x 2＝－32．方程4(x －3)2＋x (x －3)＝0的根为( )A ．x ＝3B ．x ＝125C ．x 1＝－3，x 2＝125D ．x 1＝3，x 2＝125二、填空题(每小题4分，共12分)3．方程x 2－16＝0的解是____________．4．如果(m ＋n )(m ＋n ＋5)＝0，则m ＋n ＝______. 5．方程x (x －1)＝x 的解是________． 三、解答题(共7分)6．解下列一元二次方程：(1)2x 2－8x ＝0； (2)x 2－3x －4＝0.时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．若x1，x2是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个根，则x1x2的值是( ) A．4 B．3 C．－4 D．－32．如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是( )A．－3,2 B．3，－2 C．2，－3 D．2,3二、填空题(每小题4分，共12分)3．已知一元二次方程的两根之和为7，两根之积为12，则这个方程为____________________．4．已知方程x2－3x＋m＝0的一个根是1，则它的另一个根是______，m的值是______．5．已知x1，x2是方程x2－3x－3＝0的两根，不解方程可求得x21＋x22＝________.三、解答题(共7分)6．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根α，β满足1α＋1β＝1，求m的值．时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共9分)1．某品牌服装原价173元，连续两次降价x%后售价为127元，下面所列方程中正确的是( )A．173(1＋x%)2＝127 B．173(1－2x%)＝127C．173(1－x%)2＝127 D．127(1＋x%)2＝1732．某城市为绿化环境，改善城市容貌，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是( )A．19% B．20% C．21% D．22%3．一个面积为120 cm2的矩形花圃，它的长比宽多2 m，则花圃的长是( ) A．10 m B．12 m C．13 m D．14 m二、填空题(每小题4分，共8分)4．已知一种商品的进价为50元，售价为62元，则卖出8件所获得的利润为__________元．5．有一个两位数等于其数字之和的4倍，其十位数字比个位数字小2，则这个两位数是________．三、解答题(共8分)6．某西瓜经营户以2元/千克的进价购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天赢利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？参考答案基础知识反馈卡·21.11．B 2.B 3.2 4.－125．x 2－6x ＋4＝0 x 2 －6 4 6．解：把x ＝－1代入原方程，得2m －1－3m ＋5＝0，解得m ＝4. 基础知识反馈卡·21.2.1 1．D 2.B 3.6 －24．(x ＋1)2＝6 5.3±2 326．解：(1)Δ＝b 2－4ac ＝m 2＋8， ∵对于任意实数m ，m 2≥0， ∴m 2＋8＞0.∴对于任意的实数m ，方程总有两个不相等的实数根．(2)当m ＝2时，原方程变为x 2－2x －2＝0， ∵Δ＝b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×(－2)＝12，∴x ＝2±122.解得x 1＝1＋3，x 2＝1－ 3. 基础知识反馈卡·21.2.2 1．C 2.D3. x ＝±44.0或－55.0或2 6．(1)x 1＝0，x 2＝4 (2)x 1＝4，x 2＝－1基础知识反馈卡·*21.2.3 1．B 2.A3．x 2－7x ＋12＝0(答案不唯一) 4．2 2 5.156．解：∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0.∴(2m －3)2－4m 2＞0.解得m ＜34.∵1α＋1β＝1，即α＋βαβ＝1. ∴α＋β＝αβ.又α＋β＝－(2m －3)，αβ＝m 2. 代入上式，得3－2m ＝m 2. 解得m 1＝－3，m 2＝1.∵m 2＝1＞34，故舍去．∴m ＝－3.基础知识反馈卡·21.31．C 2.B 3.B 4.96 5.24 6．解：设每千克小型西瓜的售价降低x 元，根据题意，得(3－2－x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫200＋x0.1×40－24＝200，整理，得50x －25x ＋3＝0， 解得x 1＝0.2，x 2＝0.3.答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2元或0.3元．。
一元二次方程综合练习题
一元二次方程练习题（A ）一、填空：1．一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。
2．关于x 的方程023)1()1(2=++++-m x m x m ,当m 时为一元一次方程；当m 时为一元二次方程。
3．若a 是方程2x -x-2=0的一个根，则代数式2a -a=4. ++x x 32 +=x ( 2)；-2x x (2=+ 2)。
5．已知方程x 2+kx+3=0 的一个根是 - 1，则k= , 另一根为 6．若方程02=++q px x 的两个根是2-和3，则q p ,的值分别为 。
7．若代数式5242--x x 与122+x 的值互为相反数，则x 的值是 。
8．方程492=x 与a x =23的解相同，则a = 。
9．当t 时，关于x 的方程032=+-t x x 可用公式法求解。
10．若实数b a ,满足022=-+b ab a ，则ba= 。
11．若8)2)((=+++b a b a ，则b a += 。
12．已知1322++x x 的值是10，则代数式1642++x x 的值是 。
13．若方程2x +8x-4=0的两根为1x 、2x 则11x +21x = 14．若m 是关于x 的一元二次方程02=++m nx x 的根，且m ≠0，则n m +的值为 15．关于x 的一元二次方程02=+k x 有实数根，则 K 的取值范围为 二、选择：1．要使分式4452-+-x x x 的值为0，则x 应该等于（ ）（A ）4或1 （B ）4 （C ）1 （D ）4-或1-2．关于x 的一元二次方程02=++m nx x 的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的是（ ）（A ）0,0==n m （B ）0,0≠=n m （C ）0,0=≠n m （D ）0,0≠≠n m（A ）02=++c bx ax （B ）x x ax -=+221（C ）0)1()1(222=--+x a x a （D ）0312=-+=a x x 4．若方程02=++c bx ax )0(≠a 中，c b a ,,满足0=++c b a 和0=+-c b a ，则方程的根是（ ） （A ）1，0 （B ）-1，0 （C ）1，-1 （D ）无法确定 5．方程02=x 的解的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）1或2 三、解方程（1）)4(5)4(2+=+x x （2）x x 4)1(2=+（3）22)21()3(x x -=+ （4）31022=-x x四、解答1. 一个一元二次方程，其两根之和是5，两根之积是-14，求出这两个根。
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一元二次方程巩固练习：
1． p x 2 – 3x + p 2 – p = 0 是关于x 的一元二次方程，则( )
A ． p =1
B ． p ＞0
C ．p ≠0
D ． p 为任何实数
2． 若方程)0(02≠=++a c bx ax 中c b a ,,满足0=++c b a 和
0=+-c b a ，则方程的根是( )
A ．1，0
B ． 0,1-
C ． 1,1-
D ． 无法确定
3．(1) 03)2(22=-+--x x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值是
(2) k 为 时， 方程 (k 2 – 3 k + 2 ) x 2 + (k 2 + 6 k – 7 ) x + 2 k + 1 = 0， 是关于X 的一元 二
次方程； k 为 时， 这个方程是关于X 的一元一次方程．
4．(1)把关于x 的一元二次方程：24)2()2(2=+---x a x a 化为一般形式为 ，二
次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．
(2) 已知关于x 的一元二次方程 (a x + 1 ) ( x – a ) = a – 2 的各项系数之和等于3， 求这时方程
的解．
5．若关于x 的二次三项式322+--m mx x 是一个完全平方式，则m 的值为 ．
6．三角形的三边长分别是整数值2cm ，5cm ，kcm ，且k 满足一元二次方程,05922=--k k 求
此三角形的周长．
7．若2是关于x 的方程012)3(2=++-x k x 的一个根，则以2和k 为两边的等腰三角形的周
长是 ．
8． 试说明：无论x 取何值，代数式1062+-x x 的值总大于0，再求出当x 取何值时，代数
式542+-x x 的值最小？最小值是多少？
9．求解方程：
(1) 2
2)3(4)23(-=+x x (2) )2(5)2(3+=+x x x
(3) 02852=+-x x (4) 04)23(5)23(22=+---x x
(5)解关于x 的方程：033)321(2=+++-x x
(6)65252
2-+=++k kx k x x
10． 已知关于x 的方程01322=++-m x x ．
(1) 当0<m 时，求这个方程的根，(用m 表示方程的根)
(2) 如果这个方程没有实数根，求m 的取值范围．
11． 关于x 的方程04)1(222=-+-m m x m x 2
(1) 当m 取何值时，方程有两个不相等实数根?
(2) 若方程有两个不相等的整数根，且152<<m ，求m 的值．
12．是否存在这样的非负整数m ，使关于x 的一元二次方程01)12(22=+--x m x m 有两个
实数根?若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．
12．已知：方程0)()()(22222=-+-+-+c b b a x c a x 有两相等实数根，
求证：,2b c a =+c b a ,,(是实数)
13．已知方程组⎩⎨⎧=+-=++-0
1022y x a y x 的两个解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==2211y y x x y y x x 或且21,x x 是两个不相等的实
数，若.116832212221--=-+a a x x x x (1)求a 的值；(2)不解方程组判断方程组的两个解能否都是正数，为什么？
14．已知21,.x x 是方程02232=--x x 的两根，不解方程，用根与系数关系求下列各式的值． (1) 2
111x x + (2) 2221x x + (3) 221221x x x x + (4) )2)(2(21--x x
15．已知方程组⎩⎨⎧-==--1
202x y y x x 的解是求⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==2211;y y x x y y x x 2111x x +和21,y y 的值．
16．已知21,x x 为方程02=++q px x 的两根，,621=+x x 202221=+x x 求p 和q 的值．
17． 解方程：(1) 1622-+-=x x x x (2)x
x x x 21422-=-
18． 已知直角三角形三边长为连续整数，求它的三边的长和面积．
19．三个连续偶数，第一个数的平方比第二个数与第三个数的积的一半小8，求此三个偶数
19．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，
剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，
到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．
20．某种新品种苹果中纯果实与水份之比为9：1，但苹果放在果盘中其水份将按一定比例挥发，我们把%100 原有的水份
挥发的水份称之为水份挥发率．已知某人某天称了10公斤该种苹果，两天之后称得还有9．75公斤，求该种水果平均每天的水份挥发率．
21． 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加
盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
22． 某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程．原计划每天拆迁12502
m ，
因为准备工作不足，第一条少拆迁了20％．从第二天开始，该工程对加快了拆迁速度，第三天拆迁了14402m ．求：
(1)该工程队第一条拆迁的面积；
(2)若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数相同，求这个百分数．
23． 一城市出租车的收费标准如下表，一人打车去某公司办事，停车后，打出的电子收费单为
．
23． 已知：甲乙两人分别从正方形ABCD 的顶点B 、C 两点同时出发，甲由C 向D 运动，乙
由B 向C 运动，甲的速度为1千米/分，乙的速度为
2千米/分，若正方形场地的周长为40千米/分，问几分钟后，两个相距102千米？
24．如图(l )，一个梯子AB 长2．5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为
乙甲
1．5米，梯子滑动后停在DE的位置上，如图(2)，测得BD长为0．5米．求梯子顶端A 下落了多少米．。