2018-2019学年安徽省合肥一六八中学高二第二学期期中考试理科数学试题(分层班、宏志班)解析版

绝密★启用前安徽省合肥一六八中学2018-2019学年第二学期期中考试高二理科数学试卷（分层班、宏志班)一、单选题1．已知i是虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】分析：先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限.详解：因为，所以所以,对应点为，对应象限为第一象限，选A.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为2．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【答案】A【解析】【分析】使用三段论推理证明，我们分析出“对于可导函数，若，且满足当和时导函数值异号时，此时才是函数的极值点”，得出答案.【详解】对于可导函数，若，且满足当和时导函数值异号时，此时才是函数的极值点，所以大前提错误故选A【点睛】本题主要考查了三段论以及命题的真假，属于基础题.3．函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：先求导数，再求导数小于零的解集得结果.详解：因为，所以因此单调递减区间为（0,1），选B.点睛：求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想.4．由曲线,直线及轴所围成的平面图形的面积为( )A．6B．4C．D．【答案】D【解析】【分析】先求可积区间，再根据定积分求面积.【详解】由,得交点为，所以所求面积为，选D.【点睛】本题考查定积分求封闭图形面积，考查基本求解能力，属基本题.5．利用数学归纳法证明“”时，从“”变到“”时，左边应増乘的因式是 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据“”变到“”变化规律确定选项.【详解】因为时，左边为,时左边为,因此应増乘的因式是，选D.【点睛】本题考查数学归纳法，考查基本分析求解能力，属基本题.6．给出一个命题：若，，，且，则，，，中至少有一个小于零．在用反证法证明时，应该假设 ( )A．，，，中至少有一个正数B．，，，全为正数C．，，，全都大于或等于D．，，，中至多有一个负数【答案】C【解析】【分析】根据否定结论得结果.【详解】，，，中至少有一个小于零的否定为，，，全都大于或等于，所以选C. 【点睛】本题考查反证法，考查基本分析判断能力，属基本题.7．三角形的面积为，（为三角形的边长，为三角形的内切圆的半径）利用类比推理，可以得出四面体的体积为 ( )A．（为底面边长）B．（分别为四面体四个面的面积，为四面体内切球的半径）C．（为底面面积，为四面体的高）D．（为底面边长，为四面体的高）【答案】B根据类比规则求解.【详解】平面类比到空间时，边长类比为面积，内切圆类比为内切球，调节系数也相应变化，因此四面体的体积为（分别为四面体四个面的面积，为四面体内切球的半径），选B.【点睛】本题考查类比推理，考查基本分析推理能力，属基本题.8．函数，正确的命题是（）A．值域为B．在是增函数C．有两个不同的零点D．过点的切线有两条【答案】B【解析】【分析】利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线.【详解】因为，所以，因此当时在上是增函数，即在上是增函数；当时在上是减函数，因此；值域不为R;当时,当时只有一个零点，即只有一个零点；设切点为，则，所以过点的切线只有一条；综上选B.【点睛】本题考查利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线，考查基本分析求解能力，属中档题.9．设,，，则（）A．B．C．D．【答案】A先研究函数单调性，再比较大小.【详解】,令，则因此当时，即在上单调递减，因为，所以，选A.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题. 10．已知函数图象上任一点处的切线方程为，那么函数的单调减区间是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据导数几何意义得导数，再解不等式得结果. 【详解】 由题意得，因此由得或，选D. 【点睛】本题考查导数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题. 11．关于函数()2ln f x x x=+，下列说法错误的是 A ．2x =是()f x 的最小值点B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个不相等的正实数12,x x ，若()()12f x f x =，则124x x +> 【答案】C【解析】()2'2f x x x =-,∴(0,2)上,函数单调递减,(2,+∞)上函数单调递增，∴x =2是f (x )的极小值点，即A 正确；()2y f x x lnx x x=-=+-,∴222'0x x y x -+-=<, 函数在(0,+∞)上单调递减,x →0,y →+∞,∴函数()y f x x =-有且只有1个零点，即B 正确；()f x kx >,可得22,lnx k x x <+令()22,lnx g x x x =+则()34'x xlnxg x x-+-=， 令()4h x x xlnx =-+-,则()'h x lnx =-,∴(0,1)上,函数单调递增,(1,+∞)上函数单调递减，∴()()()10,'0h x h g x <∴<…， ∴()22lnxg x x x=+在(0,+∞)上函数单调递减，函数无最小值， ∴不存在正实数k ,使得f (x )>kx 恒成立，即C 不正确；对任意两个正实数12,x x ,且12x x >,(0,2)上,函数单调递减,(2,+∞)上函数单调递增,若()()11f x f x =,则124x x +>，正确。

故选：C.点睛：不等式的存在问题即为不等式的有解问题，常用的方法有两个： 一是，分离变量法，将变量和参数移到不等式的两边，要就函数的图像，找参数范围即可；二是，含参讨论法，此法是一般方法，也是高考的热点问题，需要求导，讨论参数的范围，结合单调性处理.12．已知函数是定义在R 上的增函数, ,,则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 先构造函数，再化简不等式，最后根据函数单调性解不等式.【详解】 令，则，因此不等式化为选A.【点睛】本题考查利用导数解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．已知，则的值为______．【答案】【解析】【分析】根据定积分几何意义得结果.【详解】因为表示半个单位圆（上半圆）的面积，所以【点睛】本题考查定积分几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.14．已知既成等差数列，又成等比数列，则的形状是_______.【答案】等边三角形【解析】【分析】根据等差数列与等比数列解得关系，进而确定形状.【详解】由题意得，即的形状是等边三角形.【点睛】本题考查三个数成等差数列与等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 15．设为实数，若函数存在零点，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】首先令函数，并求出函数的定义域，对函数求导，确定出函数的单调区间，从而求得函数的最小值，进一步求得结果.【详解】记函数，由题意得：，解得，所以函数的定义域为：，在上恒成立，所以在上是减函数，且，所以函数的值域为：，要使函数有零点，只需在函数的值域范围内即可，所以，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关将函数有零点转化为求函数的值域的问题，应用导数求得结果，属于中档题目.16．如果函数在其定义域上有且只有两个数，使得，那么我们就称函数为“双函数”，则下列四个函数中：①②③④，为“双函数”的是_______________．(写出所有正确命题的序号)【答案】①③【解析】【分析】根据定义逐一验证选择.【详解】①,有两解②;有一解③,;有两解④,有无数个解综上填①③【点睛】本题考查新定义以及利用导数导数研究函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题17．已知复数．（1）若为纯虚数，求实数的值；（2）若在复平面上对应的点在直线上，求实数的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】分析：（1）若z为纯虚数，实部为0，虚部不为0，求实数a的值；（2）求出z在复平面上对应的点的坐标，代入直线x+2y+1=0，求实数a的值．详解：Ⅰ若z为纯虚数，则，且，解得实数a的值为2；Ⅱ在复平面上对应的点，在直线上，则，解得．点睛：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z 就是实数018．设数列的前项之积为，并满足.（1）求；（2）证明：数列为等差数列.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据积项与通项关系的递推关系式，逐一代入得；（2）先归纳猜想，再根据数学归纳法证明，最后根据等差数列定义证明结论.【详解】(1)因为，所以,相除得,所以（2）猜测：，并用数学归纳法证明：当时，结论成立，假设当时结论成立，即,当时，,所以，综上，因此，，所以数列为等差数列.【点睛】本题考查数列通项公式、数学归纳法以及等差数列定义，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.19．已知函数在处有极值.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在区间上有且仅有一个零点，求的取值范围.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)【解析】解：（Ⅰ）由题意知：…………2分令令的单调递增区间是单调递减区间是（-2，0）…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，为函数极大值，为极小值…………7分函数在区间[-3，3]上有且公有一个零点，即…………10分，即的取值范围是…………12分20．（1）设是坐标原点，且不共线，求证：；（2）设均为正数，且.证明：.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）先根据点到直线距离求高，再根据三角形面积公式的结果，（2）根据基本不等式进行论证.【详解】（1），B到直线OA距离为所以（2）因为，所以，.【点睛】本题考查点到直线距离公式以及基本不等式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.21．（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当时，；（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）．【解析】试题分析：（1）先求出函数的导数，令导函数大于0，解出即可；（2）构造函数F（x）=f（x）-x+1，先求出函F（x）的导数，根据函数的单调性证明即可；（3）通过讨论k 的范围，结合函数的单调性求解即可试题解析：（1）得.得，解得故的单调递增区间是（2）令,则有当时，所以在上单调递减，故当时，，即当时，（3）由（Ⅱ）知，当时，不存在满足题意。