高一教科版物理必修二讲义及练习：第二章 竖直面内有支撑物的圆周运动的临界问题探究
竖直面内的圆周运动(解析版)
竖直面内的圆周运动一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆”模型1.“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。
2.有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。
物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示异同点受力特征除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上受力示意图力学方程mg＋F N＝mv2R mg±F N＝mv2R临界特征F N＝0mg＝mv2minR即v min＝gRv＝0即F向＝0F N＝mg过最高点的条件在最高点的速度v≥gR v≥0【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。
小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，则()A ．小球的质量为aRbB ．当地的重力加速度大小为RbC ．v 2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上D ．v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 【答案】： ACD【典例2】用长L ＝ 0.6 m 的绳系着装有m ＝ 0.5 kg 水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。
G ＝10 m/s 2。
求：(1) 最高点水不流出的最小速度为多少？(2) 若过最高点时速度为3 m/s ，此时水对桶底的压力多大？ 【答案】 (1) 2.45 m/s (2) 2.5 N 方向竖直向上【解析】(1) 水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。
这是最小速度即是过最高点的临界速度v 0。
以水为研究对象， mg ＝m v 20L解得v 0＝Lg ＝0.6×10 m/s ≈ 2.45 m/s(2) 因为 v ＝ 3 m/s>v 0，故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。
专题圆周运动中的临界专题课件-高一物理人教版(2019)必修第二册
◆知识总结◆
临界问题：由于物体在竖直平面内做圆周运动的依托物（绳、轨道、轻杆、管道
等）不同，所以物体恰好能通过最高点的临界条件也不同。
N
mg
O
绳
mg
O
内轨道
mg
O
杆
物体在最高点的最小速度取决于该点所受的最小合外力。
N
mg
O
管道
物理情景
最高点无支撑
最高点有支撑
实例
球与绳连接、水流星、沿内轨
道运动的“过山车”等
且摩擦力方向同向．
第二、与弹力有关的临界极值问题
①压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；
②绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最
大承受力等。
02
竖直面内圆周运动的临界问题
竖直平面内的圆周运动，一般情况下是变速圆周运动，物体能否通过最高点是
有条件的。
1、轻绳（或内轨道）——小球组成无支撑的物理模型（称为“轻绳模型”）
(1)临界条件：最高点时，绳子或轨道对小球没有力的作用
v2
mg＝m R ⇒v 临界＝ Rg.
(2)能过最高点的条件：v≥ Rg，当 v> Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产
生压力．
(3)不能过最高点的条件：v＜v
做斜抛运动)．
临界
(实际上球还没到最高点时就脱离了轨道而
（4）小球在最低点时：绳对小球产生竖直向上的拉力（若是内轨道则产生竖直向
题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值
，这个极值点也往往对应着临界状态。
②确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态
出现的条件，并以数学形式表达出来。
物理同步优化指导(教科版必修2)课件：培优课(二) 圆周运动中的临界问题
而竖直方向 Tcos θ＝mg，因此 tan θ＝ωg2r，半径不同，所以悬
挂 A、B 的缆绳与竖直方向的夹角不相等，选项 C 错误；半径
大的 θ 大，由 Tcos θ＝mg 可知，对应的拉力就大，选项 D 正
确．
答案：D
二、圆周运动中的临界问题 做圆周运动的物体在某些特定位置上，存在着某一速度， 若物体的实际速度小于(或大于)这个速度，物体就不能再继续 做圆周运动了，即临界速度，此时物体的受力必满足特定的条 件，也就是临界条件．此类问题常出现在竖直平面内、斜面上 或水平面上的圆周运动等变速圆周运动中，遇到有关圆周运动 的临界问题时，首先应判断属于哪一类情况，再通过受力分析 来确定临界状态和临界条件，然后灵活运用圆周运动规律求 解．
(2)当 ω＝ 32μrg时，ω＞ω0，所以绳子的拉力 F 和最大静 摩擦力共同提供向心力，此时，F＋μmg＝mω2r
即 F＋μmg＝m·32μrg·r， 得 F＝12μmg．
(3)当 ω＝ μ2gr时，ω＜ω0，所以此时绳子拉力为 0，由静
摩擦力提供向心力 f＝mω2r，得 f＝12μmg．
答案：(1)
②能过最高点的条件：v≥v 临． ③不能通过最高点的条件：v<v 临，实际上物体在到达最高 点之前就脱离了圆轨道．
(2)有物体支撑的小球(小球固定在轻杆上或小球沿内壁光 滑的圆管运动)在竖直平面内做圆周运动的情况，作用，小球能到达最 高点的临界速度 v 临＝0，轻杆或管壁对小球的支持力：FN＝mg．
答案：(1)mg
1 2mg
(2)4mg
0
长 L＝0．5 m 的轻杆，其一端连 接着一个零件 A，A 的质量 m＝2 kg．现让 A 在竖直平面内绕 O 点做匀速圆周运动，如图 所示．在 A 通过最高点时，求下列两种情况 下 A 对杆的作用力大小：
人教版高中物理必修二5.7竖直面内圆周运动的临界问题+课件+(共15张PPT)
v2
仅受重力作用,
FT mg
mgFT m R
由牛顿第二定律有：
当 F T0时v， 0 gR mg m v2
L
小球通过最高点的条件 ：
得：v gL
v gR
小球在最低点受力情况呢？
练习：如图所示，一质量为m的小
球，在半径为R 光滑轨道上，使其
mg
在竖直面内作圆周运动.若小球恰
O
好能通过最高点，则小球的受力
O 杆
3、如图所示，在倾角为α=30°的光滑斜面上， 有一根长为L=0.8m的细绳，一端固定在O点， 另一端系一质量为m=0.2kg的小球，沿斜面作圆 周运动，试计算：（重力加速度g=10m/s2） （1）小球通过最高点A的最小速度． （2）若细绳的抗拉力为Fmax=10N，小球在最低 点B的最大速度是多少
轨道
情况如何？小球在最高点的速度
是多少？
FN mg
v2
mgFN0 m Rv0
v0 gR
小球通过最高点的条件 ：
v≥ gR
1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
2、(双)长为L的轻杆一端固定一个小球，另一端固定在 光滑水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，关于 小球在过最高点的速度,下列叙述中正确的是 A．v的极小值为 gl B．v由零逐渐增大，向心力也逐渐增大 C．当由值 gl逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增 大 D．当由值 gl逐渐减小时，杆对小球的弹力也逐渐减 小
高中物理人教版必修2微专题(二) 圆周运动的临界问题(课件)
第五章 曲线运动
专项突破
随堂演练
长度为 0.5 m 的轻杆 OA 绕 O 点在竖直平面内做圆周运动，A 端连着 一个质量 m＝2 kg 的小球。求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作 用力的大小和方向：(g 取 10 m/s2)
(1)杆做匀速圆周运动的转速为 2.0 r/s。 (2)杆做匀速圆周运动的转速为 0.5 r/s。
物理 必修2
第五章 曲线运动
专项突破
随堂演练
解析： 设座椅对人的作用力为 F，人在最高点时，由牛顿第二定律和向心
力公式可得 F＋mg＝mvR2，由此可知，当 v＝ gR时，人只受重力作用；当 v> gR
时，重力和座椅对人向下的压力提供向心力；当 v< gR时，除受重力外，人还受
保险带向上的拉力，选项 A 项错误。当 v＝ 2gR时，座椅对人向下的压力等于重
物理 必修2
第五章 曲线运动
专项突破
随堂演练
随堂演练
物理 必修2
第五章 曲线运动
专项突破
随堂演练
1．如图所示，在光滑的轨道上，小球滑下经过圆弧部分的最高点 A 时，恰 好不脱离轨道，此时小球受到的作用力是( )
A．重力、弹力和向心力 B．重力和弹力 C．重力和向心力 D．重力
物理 必修2
第五章 曲线运动
第五章 曲线运动
专项突破
随堂演练
解析： 若小球恰好过最高点，则绳子拉力为零，由重力充当向心力。所以 mg＝mvr2，可得 v＝2.24 m/s，又根据 v＝2 πrn，可得 n＝0.71 r/s。
所以当转速为 2.0 r/s 时，小球能在竖直面内做圆周运动；当转速为 0.5 r/s 时， 小球不能在竖直面内做圆周运动。
高中物理必修二 第二章 专题强化5 竖直面内的圆周运动
6.在游乐园乘坐如图所示的过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内 沿圆周轨道运动，已知重力加速度为g，下列说法正确的是 A.车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉
住，若没有保险带，人一定会掉下去 B.人在最高点时对座位仍会产生压力，但压力一定
小于mg C.人在最高点和最低点时的向心加速度大小相等
√D.人在最低点时对座位的压力大于mg
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
过山车上人经过最高点及最低点时，受力如图，
在最高点，由 mg＋FN＝mvR12，可得：FN＝m(vR12－g)
①
在最低点，由 FN′－mg＝mvR22，可得：FN′＝m(vR22＋g)
②
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
当 v1≥ gR时，在最高点无保险带也不会掉下，且还可能会对座位 有压力，大小因 v1 而定，A、B 错误. 最高点、最低点两处向心力大小不相等，向心加速度大小也不相等 (变速率)，C错误. 由②式知，在最低点FN′＞mg，根据牛顿第三定律知，D正确.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
二、竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型
导学探究
如图所示，细杆上固定的小球和在光滑管形轨道内运动的小球在重 力和杆(管道)的弹力作用下在竖直平面内 做圆周运动，这类运动称为“轻杆模型”. 1.分析求解小球通过最高点的最小速度. 答案 由于杆和管在最高点处能对小球产生向上的支持力，故小球 恰能到达最高点的最小速度v＝0，此时小球受到的支持力FN＝mg.
2.(多选)如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周 运动.圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不 脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是(重力加速度为g) A.小球对圆环的压力大小等于mg
高中物理必修2：专题拓展课三 竖直面内圆周运动模型及临界问题ppt课件
解析 (1)在最高点，由牛顿第二定律可得 mg＋F＝mvL21 得 v1＝ 2gL＝2 m/s。
(2)在最低点，由牛顿第二定律可得 F′－mg＝mvr22 得F′＝45 N。
(3)当速度最小时，重力提供向心力，有 mg＝mvL23 得 v3＝ gL＝ 2 m/s。 答案 (1)2 m/s (2)45 N (3) 2 m/s
解析 由题意知 FN＋mg＝2mg＝mvR2，故速度大小 v＝ 2gR，选项 C 正确。 答案 C
拓展点2 竖直面内圆周运动的轻杆模型
1.模型概述 有支撑物(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)的竖直面内的圆周运动，称为 “轻杆模型”。
2.模型特点 比较项目 情景图示 弹力特征
特点 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
【例2】 如图所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做 半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在 最高点的速度大小为v，FN－v2图像如图所示。下列说法正确的是( )
A.当地的重力加速度大小为Rb B.小球的质量为abR C.v2＝c 时，杆对小球弹力方向向上 D.若 v2＝2b，则杆对小球弹力大小为 2a
【思维建构】 1.根据物理现象列出物理方程。如例 1：FT＋mg＝mvr2。 2.根据物理方程整理成函数关系。如例 1：FT＝mr v2－mg。 3.将物理方程与一次函数相对应。如例 1：FT＝mr v2－mg―对―应→y＝kx＋b。 4.根据函数思想对应物理图像分析求解。
【详细分析】 【例 1】 当 v2＝a 时，此时绳子的拉力为零，物体的重力提供向心力，则有 mg＝ mvr2，解得 v2＝gr 即 a＝gr，故与物体的质量无关，A 错误；当 v2＝2a 时，对物体 受力分析，则有 mg＋b＝mvr2，解得 b＝mg，故与小球的质量有关，B 错误；根据 以上分析可知：ba＝mr ，与小球的质量有关，与圆周轨道半径有关，C 错误；若 F ＝0，由图知 v2＝a，则有 mg＝mvr2，解得 r＝ag，当 v2＝2a 时，则有 mg＋b＝mvr2， 解得 m＝bg，D 正确。 答案 D
高一物理必修二 竖直平面内的圆周运动问题-带答案
竖直平面内的圆周运动问题绳球模型和杆球模型一、单选题（本大题共5小题，共20.0分）1.如图，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环可视为质点，从大环的最高处由静止滑下。
重力加速度大小为g，当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为( )A. B. C. D.2.如图所示，轻杆的一端有一个小球m，另一端有光滑的固定转轴O．现给小球一初速度v，使小球和杆一起绕O轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F表示小球到达最高点时杆对小球的作用力，则F（）A. 一定是拉力B. 一定是支持力C. 一定等于0D. 可能是拉力,可能是支持力,也可能等于03.质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v，若物体与球壳之间的摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是( )A. 受到向心力为B. 受到的摩擦力为C. 受到的摩擦力为D. 受到的合力方向指向圆心4.如图所示，在竖直平面内有一“V”形槽，其底部BC是一段圆弧，两侧都与光滑斜槽相切，相切处B、C位于同一水平面上。
一小物体从右侧斜槽上距BC平面高度为2h的A处由静止开始下滑，经圆弧槽再滑上左侧斜槽，最高能到达距BC所在水平面高度为h的D处，接着小物体再向下滑回，若不考虑空气阻力，则( )A. 小物体恰好滑回到B处时速度为零B. 小物体尚未滑回到B处时速度已变为零C. 小物体能滑回到B处之上,但最高点要比D处低D. 小物体最终一定会停止在圆弧槽的最低点5.一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。
如图（a）所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径。
现将一物体沿与水平面成α角的方向已速度υ0抛出，如图（b）所示。
2024年高一物理考点大串讲(人教版2019必修第二册)常见的圆周运动模型及其临界问题(解析版)
试题猜想03常见的圆周运动模型及其临界问题【必备知识】一、圆锥摆模型及水平面内圆周运动的临界问题1.圆锥摆模型(1)常见的圆锥摆模型物体受重力、斜向上的拉力或支持力等(也可能受斜面的摩擦力)在水平面内做匀速圆周运动，称为圆锥摆模型。
(2)圆锥摆问题的分析思路①对研究对象进行受力分析，确定向心力来源。
②确定圆心和半径。
③应用相关规律列方程求解。
在竖直方向根据平衡条件列式，在水平方向根据向心力公式和牛顿第二定律列式。
2.两类常见模型的临界情况分析(1)水平转盘模型①如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到，方向指向圆心。
最大静摩擦力，则最大静摩擦力f m＝mv2r②如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其临界情况要根据题设条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。
(2)圆锥摆模型①绳上拉力的临界条件是：绳恰好拉直且没有弹力或绳上的拉力恰好达到最大值。
②接触或脱离的临界条件是：物体与物体间的弹力恰好为零。
③对于半球形碗内的水平圆周运动有两类临界情况：摩擦力的方向发生改变；恰好发生相对滑动。
二、竖直面内的圆周运动模型及其临界问题1．竖直平面内的圆周运动模型在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况(除重力外)，可分为三种模型：一是只有拉(压)力，如球与绳连接、沿内轨道的“过山车”等，称为“轻绳模型”；二是只有推(支撑)力，称为“拱桥模型”；三是可拉(压)可推(支撑)，如球与杆连接、小球在弯管内运动等，称为“轻杆模型”。
【实战通关】A．所受的合力可能为零B．只受重力和地面的支持力作用C．所需的向心力由重力和支持力的合力提供D．最大速度不能超过10m/s在学校运动会中，A ．0.2倍B 【答案】D【详解】做圆周运动所需的向心力约为A ．tan g RθB ．R 【答案】C【详解】对小物块受力分析，由题意可知，小物块受重力，和罐壁的支持力，由牛顿第二定律可得米混合接力冠军，为中国体育代表团收获了北京冬奥会的首枚金牌。
高中 高考物理 圆周运动的临界问题
[跟进训练] 2.( 多选 )(2017· 河北石家庄质检 ) 如图所 示，长为 3L 的轻杆可绕光滑水平转轴 O 转 动，在杆两端分别固定质量均为 m 的球 A、 B，球 A 距轴 O 的距离为 L。现给系统一定 能量，使杆和球在竖直平面内转动。当球 B 运动到最高点 时，水平转轴 O 对杆的作用力恰好为零，忽略空气阻力， 已知重力加速度为 g，则球 B 在最高点时，下列说法正确 的是( )
[解析]
当小球到达最高点且杆的弹力为零时，重力提
v2 供向心力， 有 mg＝m R ， 解得 v＝ gR， 即当速度 v＝ gR时， 杆所受的弹力为零，故 A 正确；小球通过最高点的最小速度 为零，故 B 错误；小球在最高点，若 v< gR，则有 mg－F v2 ＝m R ，杆对小球的作用力随着速度的增大而减小，若 v2 v> gR，则有 mg＋F＝m R ，杆对小球的作用力随着速度增 大而增大，故 C、D 错误。 [答案] A
|竖直平面内圆周运动的临界
问题——轻杆模型
如图所示， 小球固定在轻杆上， 在竖直平面内做圆周运动， 或小球在竖直放置的光滑圆管中运动。该题型的特点是小 题 球到达最高点时杆不但可以对小球有拉力，还可以对小球 型 产生支持力，而光滑圆管不仅可以对小球产生向下的压 简 力，还可以对小球产生向上的支持力。 述
A. 3mg C．3mg
B．2mg D．4mg
解析：选 A 当小球到达最高点时速率为 v， v2 两段线中张力恰好均为零，有 mg＝m r ；当小球 到达最高点时速率为 2v，设每段线中张力大小为 2v2 F，作出示意图如图所示，应有 2Fcos 30° ＋mg＝m r ； 解得 F＝ 3mg，选项 A 正确。
A．球 B 的速度为零 B．球 B 的速度为 2gL C．球 A 的速度为 2gL D．杆对球 B 的弹力方向竖直向下
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（答题时间：30分钟）
1. 如图所示，小球P粘在细直杆的一端，球随杆一起绕O做圆周运动，球在最高点时杆
对球的作用力：（ ）
A. 一定是拉力
B. 一定是支持力
C. 无作用力
D. 可能是拉力，也可能是支持力，也可能无作用力
2. 如图所示，质量为m的小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，ab是过轨道
圆心的水平线，下列说法中正确的是（ ）
A. 小球在ab线上方管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力
B. 小球在ab线上方管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
C. 小球在ab线下方管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力
D. 小球在ab线下方管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
3. 如图所示，一根长为L的细杆的一端固定一质量为m的小球，整个系统绕杆的另一
端在竖直面内做圆周运动，且小球恰能过最高点。已知重力加速度为g，细杆的质量不计。
下列说法正确的是（ ）
A. 小球过最低点时的速度大小为
gL
B. 小球过最高点时的速度大小为
gL
C. 小球过最低点时受到杆的拉力大小为5mg
D. 小球过最高点时受到杆的支持力为零
4. 如图所示，一根轻杆（质量不计）的一端以O点为固定转轴，另一端固定一个小球，
小球以O点为圆心在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动。当小球运动到图中位置时，
轻杆对小球作用力的方向可能（ ）
A. 沿F
1的方向 B. 沿F2
的方向
C. 沿F
3的方向 D. 沿F4
的方向
5. 竖直面内固定一个内部光滑的圆管，管的半径为r，管内有个直径和管的内径相差不
多的小球（可看成质点），质量为m，在管内做圆周运动。小球到达最高点时，对管壁的
压力大小为3mg，则小球在经过最高点时的速度大小为（ ）
A. B. C. D. 2
gr2gr3grgr
6. 如图所示，木板B托着木块A在竖直平面内逆时针方向做匀速圆周运动，a点为与圆
心在同一水平位置，最高点为b，不计空气阻力，则下列说法中正确的是（ ）
A. 从a点到b点的过程中A的向心加速度越来越大
B. 从a点到b点的过程中B对A的摩擦力越来越小
C. 在a点时A对B压力等于A的重力，A所受的摩擦力达到最大值
D. 在通过圆心的水平线以下各位置时A对B的压力一定大于A的重力
7. 如图所示，轻杆长为3L，在杆的A、B两端分别固定质量均为m的球A和球B，杆
上距球A为L处的点O装在光滑水平转动轴上，杆和球在竖直面内做匀速圆周运动，且
杆对球A、B的最大约束力相同，则（ ）
A. B球在最低点较A球在最低点更易脱离轨道
B. 若B球在最低点和杆作用力为3mg，则A球在最高点受杆的拉力
C. 若某一周A球在最高点和B球在最高点受杆的力大小相等，则A球受杆的支持力、
B球受杆的拉力
D. 若每一周做匀速圆周运动的角速度都增大，则同一周B球在最高点受杆的力一定
大于A球在最高点受杆的力
8. 如图所示，质量为m＝0.2kg的小球固定在长为L＝0.9m的轻杆的一端，杆可绕O点
的水平转轴在竖直平面内转动。（g＝10 m/s2）求：
（1）当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零?
（2）当小球在最高点的速度分别为6 m/s 和1.5 m/s 时，球对杆的作用力的大小与方
向?
1. D 解析：对小球受力分析，受重力、杆的作用力，假设杆的作用力向下，如图；
由牛顿第二定律得：，解得：，讨论：
rvmGF2Gr
v
mF
2
①当F＝0时，无作用力；
②当F＞0时，一定是拉力；
③当F＜0时，一定是支持力，故D正确；
2. D 解析：小球在ab线上方管道中运动时，当速度较大时，小球做圆周运动的向心力
是小球所受的重力沿半径方向的分力和外侧管壁对小球的弹力的合力提供的，此时内侧管
壁对小球无作用力，A错；同理，当小球在管道中运动速度较小时，小球做圆周运动的向
心力是小球所受的重力沿半径方向的分力和内侧管壁对小球的弹力的合力提供的，此时外
侧管壁对小球无作用力，B错；小球在ab线下方运动时，小球做圆周运动的向心力是小球
所受重力沿半径方向的分力与外侧管壁对小球的弹力的合力提供的，此种情况下内侧管壁
对小球一定没有作用力，C错、D对。
3. C 解析：因杆能支撑小球，轻杆带着物体做圆周运动，只要物体能够到达最高点就
可以了，所以小球恰能过最高点时，在最高点的速度为零，所以B错误；设小球过最低点
的速度为，小球从最高点到达最低点的过程中，只有重力做功，机械能守恒，则有
v
＝，解得：，故A错误；在最高点和最低点时，球的重力与杆
Lmg2
2
2
1
mv
2vgL
对球的作用力的合力提供向心力。以小球为研究对象，设在最低点时杆对小球的作用力大
小为，方向竖直向上，根据牛顿第二定律得：，解得：，故
1
F
2
1
v
Fmgm
L
1
5Fmg
C正确；以小球为研究对象，设在最高点时杆对小球的作用力大小为F，方向竖直向上，
小球刚好能通过最高点P，速度为零，根据牛顿第二定律得：，即有
2
0vmgFm
r
F＝mg，所以小球过最高点时受到杆的支持力大小为，方向竖直向上，故D错误。所
mg
以选C。
4. C 解析：因小球做匀速圆周运动，所以其所受各力的合力一定指向圆心，充当向心
力，若受杆弹力为F1、F2、F4时与重力的合力，均不可能沿杆指向圆心，只有杆的弹力为
F
3
时，才可能合力沿杆指向圆心，故选项C正确，其余错误。
5. D 解析：小球到达最高点时，管壁对小球的压力由牛顿第三定律为3mg，方向竖直
向下，则在最高点小球受到的合力为：3mg＋mg＝4mg ，由合力提供向心力得：4mg＝
，解得：，D正确。
2
mv
r
2vgr
6. BCD 解析：A在竖直平面内逆时针方向做匀速圆周运动，则各位置的加速度大小相
等，则A错；从a点到b点的过程中，将加速度分解为水平向左和竖直向下两分量
a
x、ay，水平加速度ax
越来越小，而A受到的摩擦力等于A受到的合力，根据牛顿第二定
律，摩擦力越来越小，则B正确；在a点ax最大，则摩擦力达到最大值，同时在a点A
的ay等于零，根据牛顿第二定律，A的重力等于它受到的支持力，则A对B压力等于A
的重力，所以C正确。
在通过圆心的水平线以下各位置时ay竖直向上，则竖直方向合力向上，B对A的支持
力一定大于A的重力，则D正确。
7. AC 解析：杆和球在竖直面内做匀速圆周运动，它们的角速度相同，B做圆周运动的
半径是A的2倍，所以B的线速度是A的线速度的2倍，＝2。在最低点，由
BvAvBvA
v
向心力公式，得：，得：杆在最低点对A球的作用力
2vFmgmr2
v
Fmgm
r
。
杆在最低点对B球的作用力。所以，在最低点，>
2AvFmgmr2
2Bv
Fmgm
r
B
F
，而杆对球A、B的最大约束力相同，故B球在最低点较A球在最低点更易脱离轨道，
A
F
A正确；在最高点，由向心力公式 ，A球在最高点受杆的拉力
2
v
mgFm
r
，B球在最高点受杆的拉力，在最低点，杆对B球的作
2vFmgmr2
2v
Fmgm
r
用力＝3mg 得，所以FA＝0，则A球在最高点不受杆的拉力，
2
2Bv
Fmgm
r
vgl
所以B错；若某一周A球在最高点和B球在最高点受杆的力大小相等，只能FA＝－FB，
所以A球受杆的支持力、B球受杆的拉力，故C正确；当时，FB＝0，而FA＝
2
gL
v
>F
B
＝0，所以D错。
2
mg
8. （1）3m/s （2）6N 方向竖直向上 1.5N 方向竖直向下
解析：（1）球在最高点对杆作用力为零时，其受地球重力G提供球绕O做圆周运动
所需向必力，故有
2
v
mgm
L
代入数据解得：v＝3m/s
（2）当球在最高点速度为v1＝6m/s时，设杆对球的作用力为F1，取竖直向下为正，
则有
2
1
v
Fmgm
L
代入数据得：F1＝6N。
由牛顿第三定律有球对杆的作用力为＝－6N，方向竖直向上。
1
F
当球在最高点速度为v2＝1.5m/s时，设杆对球的作用力为F2，仍取竖直向下为正，则
有
2
2
2
v
Fmgm
L
代入数据得：F2＝－1.5N
由牛顿第三定律有球对杆的作用力为＝1.5N，方向竖直向下
2
F