同角三角函数基本关系式及诱导公式

同角三角函数基本关系式及诱导公式

必修四：(新课标)同角三角函数基本关系式及诱导公式(典型例题+习题+答案)

1． 同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin 2α＋cos 2

α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.

2. 诱导公式

1． (2011·大纲全国)已知α∈⎝

⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. 答案 －

5

5

解析 ∵tan α＝2，∴sin α

cos α＝2，∴sin α＝2cos α.

又sin 2α＋cos 2α＝1，∴(2cos α)2＋cos 2α＝1，∴cos 2

α＝15.

又∵α∈⎝

⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴cos α＝－55. 2． 若tan α＝2，则2sin α－cos α

sin α＋2cos α

的值为________．

答案 34

解析 原式＝2tan α－1tan α＋2＝3

4

.

3． 已知α是第二象限的角，tan α＝－1

2

，则cos α＝________.

答案 －25

5

解析 ∵α是第二象限的角，∴cos α<0.

又sin 2α＋cos 2

α＝1，tan α＝sin αcos α＝－12，

∴cos α＝－25

5

.

4． sin 43π·cos 56π·tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－43π的值是________． 答案 －334

解析 原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3

＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫－

32×⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－32×(－3)＝－334. 5． 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝23，则sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α－2π3＝________. 答案 －2

3

解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6

－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－23.

题型分析 深度剖析

题型一 同角三角函数基本关系式的应用

例1 已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝1

5

.

(1)求sin A cos A 的值；

(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．

思维启迪：由sin A ＋cos A ＝15及sin 2A ＋cos 2

A ＝1，可求sin A ，cos A 的值．

解 (1)∵sin A ＋cos A ＝1

5①

∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝1

25，

∴sin A cos A ＝－12

25

.

(2)由sin A cos A ＝－12

25

<0，且0

可知cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形．

(3)∵(sin A －cos A )2

＝1－2sin A cos A

＝1＋2425＝4925，

又sin A >0，cos A <0，∴sin A －cos A >0，

∴sin A －cos A ＝7

5.②

∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－3

5，

∴tan A ＝sin A cos A ＝4

5

－35

＝－4

3

.

探究提高 (1)对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已

知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sin α±cos α)2

＝1±2sin αcos α；(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．

(1)已知tan α＝2，求sin 2α＋sin αcos α－2cos 2

α； (2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α.

解 (1)sin 2α＋sin αcos α－2cos 2

α

＝sin 2α＋sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2

α ＝tan 2

α＋tan α－2tan 2

α＋1＝45

. (2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin 2α＝4sin 2

β，① tan 2α＝9tan 2

β，②

由①÷②得：9cos 2α＝4cos 2

β，③

①＋③得：sin 2α＋9cos 2

α＝4，

∵cos 2α＋sin 2α＝1，∴cos 2

α＝38，即cos α＝±64.

题型二 三角函数的诱导公式的应用

例2

(1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫5π6－α的值；

(2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－72π的值． 思维启迪：(1)将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π

6－α的关系．

(2)先化简已知，求出cos α的值，然后化简结论并代入求值．

解 (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪

⎫5π6－α＝π，

∴

5π6－α＝π－⎝ ⎛⎭

⎪⎫π6＋α. ∴cos ⎝

⎛⎭⎪⎫5π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦

⎥

⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α

＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－33，

即cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫5π6－α＝－33.

(2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－3

5，

∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝

⎛⎭⎪⎫α－72π ＝sin(π＋α)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫72π－α＝sin α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝sin α·sin ⎝ ⎛⎭

⎪

⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭

⎪

⎫π2－α＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.

探究提高 熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关

键．另外，切化弦是常用的规律技巧．

(1)化简：tan(π＋α)cos(2π＋α)sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α－3π2cos(－α－3π)sin(－3π－α)；

(2)已知f (x )＝sin(π－x )cos(2π－x )tan(－x ＋π)cos ⎝ ⎛⎭⎪

⎫－π2＋x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－

31π3的值．

解 (1)原式＝tan αcos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2cos(3π＋α)[－sin(3π＋α)]＝tan αcos αsin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2＋α(－cos α)sin α

＝

tan αcos αcos α(－cos α)sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos α

sin α

＝－1.

(2)∵f (x )＝sin x ·cos x ·(－tan x )sin x

＝－cos x ·tan x ＝－sin x ，

∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－31π3＝sin 31π3 ＝sin ⎝

⎛⎭⎪⎫10π＋π3＝sin π3＝32.

题型三 三角函数式的化简与求值

例3 (1)已知tan α＝13，求1

2sin αcos α＋cos 2

α

的值；