根的判别式的十种常见应用(专题)

第3讲：根的判别式的十种常见应用--专题二 类型一：不解一元二次方程，判别根的情况

（1）04322=+-x x （2）)0(02≠=-a bx ax

练1. 不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况．

（1）0)1(422=-+-k kx x （2）)0(02≠=+a bx ax （3）)0(02≠=+a c ax

类型二：根据方程根的情况，确定字母的值或取值范围

k 为何值时，关于x 的方程0542=-+-k x x

（1）有两个不相等的实数根

（2）有两个相等的实数根

（3）没有实数根

练2. 证明：不论m 取何值时，关于x 的方程2)2)(1(m x x =--总有两个不相等的实数根

类型三：证明系数为字母的一元二次方程没有实数根

求证：关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+m mx x m 没有实数根。

练3. 若关于x 的一元二次方程022=-+k x x 没有实数根，则k 的取值范围是？

类型四：应用根的判别式判断三角形的形状

已知三角形的两边AB ，AC 的长是关于x 的一元二次方023)32(22=++++-k k x k x 的两个实数根，第三边长为5.

（1）当k 为何值时，三角形ABC 是以BC 为斜边的直角三角形？

（2）当k 为何值时，三角形ABC 是等腰三角形？并求三角形ABC 的周长。

练4. 已知c b a ,,，是三角形的三条边长,且关于x 的方程

0)()(2)(2=-+-+-b a x a b x b c ,有两个相等的实数根,试判断三角形的形状？

类型五：判断当字母为何值时，二次三项式为完全平方式

（1）若关于a 的二次三项式25162++ka a 是一个完全平方式，求k 的值；

（2）若关于a 的二次三项式142++a ka 是一个完全平方式，求k 的值。

练5. 若关于x 的二次三项式322-+-a ax x 是一个完全平方式，则a 的值为多少？

类型六：判断抛物线与直线的交点情况

当m 取何值时，抛物线122-++=m x x y 与直线m x y 2+=只有一个交点？

练6. 已知抛物线22x y =,直线b kx y +=经过点(2,6)。若直线和抛物线只有一个交点,求直线解析式。k 取何值时,直线和抛物线没有交点。

类型七：判断抛物线与x 轴的交点情况

判断下列抛物线与x 轴交点的个数：

（1）1432++=x x y （2）962-+-=x x y （3）1242+-=x x y

练7. 判断下列各抛物线是否与x 轴相交，如果相交，求出交点的坐标．

（1）1262+-=x x y （2）814152++-=x x y （3）442+-=x x y

类型八：根据抛物线与x 轴的交点情况求字母的值或取值范围

已知抛物线122-++=m x x y

（1）当m 取什么值时，抛物线和x 轴有两个交点

（2）当m 取什么值时，抛物线和x 轴只有一个交点？并求出这个交点的坐标

（3）当m 取什么值时，抛物线与x 轴没有交点？

练8. 已知：抛物线)34()22(22-+-++-=m m x m x y

（1）抛物线与x 轴有两个交点，求m 的取值范围；

（2）当m 为不小于零的整数，且抛物线与x 轴的两个交点是整数点时，求此抛物线的解析式。

类型九：根据抛物线与x 轴的两交点间的距离求字母的值

当a 为何值时，抛物线3222++-=a ax x y 与x 轴的两个交点间的距离是3？

练9. 已知抛物线m x m x y ---=)3(2试求,当m 为何值时,抛物线与x 轴的两个交点间距离等于3？

类型十：根据根的判别式解抛物线与直线的交点问题

已知关于x 的一元二次方程0)1(2

1)1(22=+++-m x m x 有实数根。 （1）求m 的值；

（2）先作)1(2

1)1(22+++-=m x m x y 的图像关于x 轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图像的解析式；

（3）在（2）的条件下，当直线)(2m n n x y ≥+=与变化后的图像有公共点时，求n n 42-的最大值和最小值。

【家庭作业】

1. 若

5)1(222+++-k x k x 是完全平方式，求k 的值。

2. 若关于a 的二次三项式142++a ka 是一个完全平方式则k 的值可能是多少？

3. 不解方程，判别方程04322=-+x x 的根的情况（ ）

A. 有两个相等的实数根

B. 有两个不相等的实数根

C. 有一个实数根

D. 无实数根

4. 已知关于x 的方程0)3(2

5.022=+--m x m x 有两个不相等的实数根，那么m 的

最大整数值是（ ）。

A. 2

B. 1

C. 0

D. －1

5. 已知关于x 的方程022=+-k x x 有实数根，则k 的取值范围是（ ）

A. k < 1

B. k ≤ 1

C. k ≤ -1

D. k ≥ --1

6. 已知c b a ,,，是一个三角形三条边的长，那么方程

025.0)(2=+++c x b a cx 的根的情况是（ ）。

A. 无实数根

B. 有两个不相等的正实数根

C. 有两个不相等的负实数根

D. 有两个异号的实数根

7. 是否存在这样的非负整数m ，使关于x 的一元二次方程0

1)12(22=+--x m x m 有两个实数根？若存在请求出m 的值；若不存在，请说明理由。