根的判别式练习(答案版)
根的判别式练习题(含答案)
根的判别式练习题一．填空题（共9小题）1．方程x2﹣5x﹣1＝0的根的判别式的值为．2．若关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．3．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为．4．若关于x的一元二次方程k2x2+（4k﹣1）x+4＝0有两个不同的实数根，则k的取值范围是．5．等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+6﹣a＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是．6．等腰△ABC中，BC＝8，AB、AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，则m的值是．7．如果恰好只有一个实数a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0的根，则k的值为．8．若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则＝9．已知双曲线y＝与直线y＝﹣x+1没有交点，则b的取值范围是．二．解答题（共5小题）10．已知关于x的一元二次方程．（1）求证：对于任意实数m，该方程总有两个不相等实数根；（2）如果此方程有一个根为0，求m的值．11．已知关于x的方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．12．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx+m2+m﹣3＝0（m为常数）．（1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根：（2）若x＝2是方程的根，则m的值为．13．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（3m+1）x+2m2+m＝0（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）若△ABC的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为3，当△ABC为等腰三角形时，求m的值及△ABC的周长．14．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）试说明：无论k取什么实数值，方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长a为1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长？参考答案与试题解析一．填空题（共9小题）1．方程x2﹣5x﹣1＝0的根的判别式的值为29．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝29，此题得解．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．故答案为：29．【点评】本题考查了根的判别式，牢记根的判别式Δ＝b2﹣4ac是解题的关键．2．若关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为0或4．【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝0，即可得出关于m的方程，解之即可求出m的值．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣m）2﹣4×1×m＝0，解得：m1＝0，m2＝4，∴m的值为0或4．故答案为：0或4．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．3．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为2．【分析】由关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，即可得判别式Δ＝0，继而可求得k的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×k＝8﹣4k＝0，解得：k＝2，故答案为：2．【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个相等的实数根，即可得Δ＝0．4．若关于x的一元二次方程k2x2+（4k﹣1）x+4＝0有两个不同的实数根，则k的取值范围是且k≠0．【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别列出不等式组求解即可．【解答】解：根据题意可知，．解得：且k≠0，故答案为：且k≠0．【点评】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，根据题意列出不等式组是解题的关键．5．等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+6﹣a＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是10．【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（a+2）2﹣4（6﹣a）＝0，进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．【解答】解：根据题意得Δ＝（a+2）2﹣4（6﹣a）＝0，解得a1＝﹣10（负值舍去），a2＝2，在等腰△ABC中，①4为底时，则b＝a＝2，∵2+2＝4，∴不能组成三角形；②4为腰时，b＝4，∵2+4＞4，∴能组成三角形，∴△ABC的周长＝4+4+2＝10．综上可知，△ABC的周长是10．故答案为：10．【点评】此题考查了根的判别式、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理；在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加，而应在三角形三边关系定理为前提条件下分类讨论，以免造成多解、错解．6．等腰△ABC中，BC＝8，AB、AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，则m的值是25或16．【分析】等腰△ABC中，BC可能是方程的腰也可能是方程的底边，应分两种情况进行讨论．当BC是底边时，AB＝AC，则方程x2﹣10x+m＝0有两个相等的实根，即Δ＝0，即可得到关于m的方程，求得m的值；当BC是腰时，则方程一定有一个解是x＝8，根据一元二次方程的根与系数的关系即可求得另一边，即底边与m的值．【解答】解：在方程x2﹣10x+m＝0中，x1+x2＝10，当这两边是等腰三角形的腰时，有x1＝x2＝5，∴x1x2＝25＝m，当这两边的长有一边为8时，有8+x2＝10，∴x2＝2，m＝x1x2＝2×8＝16，∴m＝25或16．故答案为：25或16．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及等腰三角形中有两边相等的性质，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．7．如果恰好只有一个实数a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0的根，则k的值为±3或﹣5．【分析】分原方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论即可得到答案．【解答】解：①当原方程是一个一元一次方程时，方程只有一个实数根，则k2﹣9＝0，解得k＝±3，②如果方程是一元二次方程时，则方程有两个相等的实数根，即Δ＝b2﹣4ac＝0，即：4（k+1）2﹣4（k2﹣9）＝0解得：k＝﹣5．故答案为±3或﹣5．【点评】本题考查了根的判别式，同时还考查了分类讨论思想，是一道好题．8．若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则＝﹣．【分析】由二次方程有实根，得到△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，通过代数式变形可得两个非负数的和小于或等于0，从而得到a，b的方程组，解方程组即可求出它们的比．【解答】解：∵方程有实根，∴△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，化简得：2a2+4ab+4b2﹣2a+1≤0，∴（a+2b）2+（a﹣1）2≤0，而（a+2b）2+（a﹣1）2≥0，∴a+2b＝0，a﹣1＝0，解得a＝1，b＝﹣，所以＝﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了几个非负数和的性质以及代数式变形的能力．9．已知双曲线y＝与直线y＝﹣x+1没有交点，则b的取值范围是b＞．【分析】根据方程解析式，可以得到＝﹣x+1，即可转化为一个一元二次方程，利用判别式求出b的取值范围．【解答】解：因为双曲线y＝与直线y＝﹣x+1没有交点，即方程＝﹣x+1无解，去分母，得x2﹣x+b＝0，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×b＝1﹣4b＜0，解得b＞．【点评】考查一元二次方程根的判别式和双曲线与直线的位置关系，同时考查综合应用能力及推理能力．二．解答题（共5小题）10．已知关于x的一元二次方程．（1）求证：对于任意实数m，该方程总有两个不相等实数根；（2）如果此方程有一个根为0，求m的值．【分析】（1）求出Δ＝1，即可证明方程总有两个不相等实数根；（2）把x＝0代入可得关于m的一元二次方程，即可解得答案．【解答】（1）证明：对关于x的一元二次方程，Δ＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×（m2﹣2m）＝m2﹣2m+1﹣m2+2m＝1，∴Δ＞0，∴对于任意实数m，一元二次方程总有两个不相等实数根；（2）解：如果此方程有一个根为0，则×02﹣（m﹣1）×0+（m2﹣2m）＝0，∴m2﹣2m＝0，解得m＝0或m＝2，答：m的值为0或2．【点评】本题考查一元二次方程根的判别式及解一元二次方程，解题的关键是掌握根的判别式△与根个数的关系以及解一元二次方程的方法步骤，此题难度不大．11．已知关于x的方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．【分析】（1）根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0列出关于k的不等式组，求解即可．（2）由（1）中k的取值范围得出符合条件的k的值，代入原方程，求解即可．【解答】解：（1）∵关于x的方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，∴，解得k≤3且k≠2．（2）由题意得，k＝3，当k＝3时，方程为x2﹣2x+1＝0，即（x﹣1）2＝0，解得x1＝x2＝1．【点评】本题考查一元二次方程，牢记：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式为Δ＝b2﹣4ac，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实根．12．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx+m2+m﹣3＝0（m为常数）．（1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根：（2）若x＝2是方程的根，则m的值为．【分析】（1）根据根的判别式求出Δ＝（m﹣4）2+8，再根据根的判别式得出答案即可；（2）把x＝2代入方程，得出关于m的一元二次方程，再求出方程的解即可．【解答】（1）证明：2x2﹣3mx+m2+m﹣3＝0，Δ＝（﹣3m）2﹣4×2×（m2+m﹣3）＝9m2﹣8m2﹣8m+24＝m2﹣8m+24＝（m﹣4）2+8，因为不论m为何值，（m﹣4）2≥0，即Δ＞0，所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根：（2）解：把x＝2代入方程2x2﹣3mx+m2+m﹣3＝0得：2×22﹣3m×2+m2+m﹣3＝0，整理得：m2﹣5m+5＝0，解得：m＝，故答案为：．【点评】本题考查了解一元二次方程，根的判别式，一元二次方程的解等知识点，能熟记根的判别式的内容和一元二次方程的解的定义是解此题的关键．13．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（3m+1）x+2m2+m＝0（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）若△ABC的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为3，当△ABC为等腰三角形时，求m的值及△ABC的周长．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝（m+1）2≥0，由此可证出：无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）分3为底边及3为腰长两种情况考虑：①当3为底边时，根据等腰三角形的性质可得出m的值，结合根与系数的关系可求出两根之和，由该值为负值可得出该结论不符合题意；②当3为腰长时，代入x＝3可求出m值，再利用根与系数的关系结合三角形的三边关系可求出△ABC的周长．综上即可得出结论．【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（3m+1），c＝2m2+m，∴Δ＝[﹣（3m+1）]2﹣4（2m2+m）＝m2+2m+1＝（m+1）2≥0，∴无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）解：设方程的两根为x1，x2．①当3为底边时，则两腰的长是方程的两根，∴Δ＝（m+1）2＝0，∴m＝﹣1，∴x1+x2＝3m+1＝3×（﹣1）+1＝﹣2＜0，∴此种情况不合题意，舍去；②当3为腰时，把x＝3代入方程x2﹣（3m+1）x+2m2+m＝0得：9﹣3（3m+1）+2m2+m＝0，解得m1＝1，m2＝3．当m＝1时，x1+x2＝3m+1＝4，△ABC的周长为7；当m＝3时，x1+x2＝3m+1＝10，此时腰长为3，底为7，∵3+3＜7，∴此种情况不合题意，舍去．综上所述：m的值为1，△ABC的周长为7．【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形三边关系，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）分3为底边及3为腰长两种情况考虑．14．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）试说明：无论k取什么实数值，方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长a为1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长？【分析】（1）把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出△≥0可知方程总有实数根；（2）根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b，c的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出△ABC的周长．【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0，∴无论k取任意实数值，方程总有实数根；（2）解：分两种情况：①若b＝c，∵方程x2﹣（k+2）x+2k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（k﹣2）2＝0，解得k＝2，∴此时方程为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，∴△ABC的周长为5；②若b≠c，则b＝a＝1或c＝a＝1，即方程有一根为1，∵把x＝1代入方程x2﹣（k+2）x+2k＝0，得1﹣（k+2）+2k＝0，解得k＝1，∴此时方程为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，∴方程另一根为2，∵1、1、2不能构成三角形，∴所求△ABC的周长为5．综上所述，△ABC的周长为5．。
考点练习(必修五)：不等式的恒成立问题(附答案)
不等式恒成立问题一、利用根的判别式1. 若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－1)C.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311∪(1，＋∞)2. 已知不等式22230ax ax a -++>的解集为R,则a 的取值范围是（ ）A.a ≥0B.a ＞0C.a ≥－3D.a ＞－33. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为__________.4. 若关于x 的不等式2224< 24ax ax x x +-+对一切x R ∈恒成立，则a 的取值范围是____．5. 若不等式x 2－4x ＋3m <0的解集为空集，则实数m 的取值范围是________．6. 若不等式x 2＋mx ＋m2>0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(0,2)7. 若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]8. 已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，如果对一切x ∈R ，f (x )＞0恒成立，求实数a 的取值范围．9. 已知函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1，是否存在实数m 对所有的实数x ，f (x )<0恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．10. 不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．11. 若函数f (x )＝log 2(x 2－2ax －a )的定义域为R ，则a 的取值范围为________．12. 定义在R 上的运算：()*1x y x y =-，若不等式()()*1x y x y -+<对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是______．13. 设0πα≤≤，不等式()288sin cos20x x αα-+≥对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为 .14. 已知函数)()lgf x x x =+，若不等式()()33920x x x f m f ⋅+--<对任意x ∈R恒成立，求实数m 的取值范围.二、转化为函数最值问题1. 若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为( )A ．1B ．－1C ．－3D ．32. 当x ∈(1,2)时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是_______________.3. 设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．4. 对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．5. 已知函数()221f x x ax =-+对任意0 1]x ∈（，恒有()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1 +∞，）B ．[1 2∞-+，）C ．1] -∞（，D ．12]∞--（，6. 当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．[]5,3--B ．96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]6,2--D ．[]4,3--7. 已知()()()()23 22x f x m x m x m g x =-++=-，．若任意() < 0x R f x ∈，或()< 0g x ，则m 的取值范围是________．三、变更主元1. 对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ≥0恒成立，求x 的取值范围．2. 已知函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4，对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立，试求x 的取值范围．3. 对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)4. 已知不等式mx 2－2x ＋m －2<0.(1)若对于所有的实数x 不等式恒成立，求m 的取值范围；(2)设不等式对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围．5. 设函数21f x mx mx =--（） （1）若对一切实数() < 0x f x ，恒成立，求m 的取值范围． （2）若对一切实数 2 [ 2]m ∈-，，()< 5f x m -+恒成立，求x 的取值范围．四、存在问题1. 存在实数x ，使得243< 0x bx b -+成立，则b 的取值范围是________．2. 若不存在整数x 使不等式()()2440kx k x <---成立，则实数k 的取值范围是____．3. 关于x 的不等式()21< 0x a x a -++的解集中恰有3个整数解，则a 的取值范围是________．4. 已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，是否存在实数a，使得对任意x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立．若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由．5. 已知函数f(x)＝2kxx2＋6k(k＞0)．(1)若f(x)＞m的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，求不等式5mx2＋kx＋3＞0的解集；(2)若存在x＞3，使得f(x)＞1成立，求k的取值范围．参考答案 不等式恒成立问题一、利用根的判别式1. 解析：选C ①当m ＝－1时，不等式为2x －6<0，即x <3，不符合题意．②当m ≠－1时，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ<0，解得m <－1311，符合题意．故实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－1311. 2. 【答案】A 【解析】由题意可知当时,符合题意；当时，要求解得.综上所述a 的取值范围是a ≥0.. 3.【解析】当时，不等式变形为，解集为，符合题意； 当时，依题意可得，综上可得．4. 【答案】]2 2-（，【解析】不等式2224< 24ax ax x x +-+，可化为()()22224< 0a x a x -+--， 当20a -=，即2a =时，恒成立，合题意．当20a -≠时，要使不等式恒成立， 需020a ∆<⎧⎨-<⎩，解得2< < 2a -．所以a 的取值范围为]2 2-（，．故答案为：]2 2-（，5. 解析：由题意，知x 2－4x ＋3m ≥0对一切实数x 恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m ≤0，解得m ≥43. 答案：⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 6. 解析：选D ∵不等式x 2＋mx ＋m2>0，对x ∈R 恒成立，∴Δ<0即m 2－2m <0，∴0<m <2.7. 解析：选D 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．8. [解] 由题意可知，只有当二次函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4的图象与直角坐标系中的x 轴无交点时，才满足题意，则其相应方程x 2＋2(a －2)x ＋4＝0此时应满足Δ＜0，即4(a －2)2－16＜0，解得0＜a ＜4.故a 的取值范围是(0,4)．9. 已知函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1，是否存在实数m 对所有的实数x ，f (x )<0恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：f (x )＝mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方． 当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m－m ＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解． 综上可知不存在这样的m .10. 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. ∴a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)11. 解析：已知函数定义域为R ，即x 2－2ax －a ＞0对任意x ∈R 恒成立．∴Δ＝(－2a )2＋4a ＜0. 解得－1＜a ＜0. 答案：(－1,0) 12.【答案】13 22⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】由已知()()()()*11x y x y x y x y -+=---<对一切实数x 恒成立， 所以2210x x y y --++>对一切实数x 恒成立，所以()21410y y ∆=--++<，所以1322y -<<． 13. 分析 根据开口向上的二次函数定义域为R 时函数值非负的条件()0∆≤列式直接运算求解.解析 由题意，要使()288sin cos20x x αα-+≥对x ∈R 恒成立，需264sin32cos20∆αα=-≤，化简得1cos 22α≥.又0πα≤≤，所以π5π0222π33αα或≤≤≤≤，解得π5π0π66αα或≤≤≤≤. 答案：0,π5π⎡⎤⎡⎤,π⎢⎥⎢⎥66⎣⎦⎣⎦. 14. 略二、转化为函数最值问题1. 解析：选C 由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立，又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，∴f (x )min ＝f (1)＝－3，∴m ≤－3. 2. (],5-∞-3. 解：要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，则m ＜0.综上所述，m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，67. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1. 因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可． 因为m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，67.4. 解析：当x ＝0时，不等式恒成立，当x ≠0时，将问题转化为－a ≤1|x |＋|x |，由1|x |＋|x |≥2，故－a ≤2，即a ≥－2.所以实数a 的取值范围为[－2，＋∞)．答案：[－2，＋∞)5. 【答案】C【解析】解法一：依题意可得2440a ∆=-≤，或0(0)0202f a ∆>⎧⎪-⎪-⎨≤≥⎪⎪⎩或1(1)0202f a ∆>⎧⎪-⎪-⎨≥≥⎪⎪⎩，解得11a ≤≤-，或01 1 10a a a ><-⎧≥⎪≤⎪⎨⎩或或111 1 a a a a ><-⎧≤⎪≥⎪⎨⎩或，即有11a ≤≤-，或1a <-或a ∈∅，故实数a 的取值范围是：1] -∞（，． 解法二：()221f x x ax -=+对任意0 1]x ∈（，恒有()0f x ≥成立，即有12a x x≤+在0 1]x ∈（，恒成立，由于12x x+≥，当且仅当1x =取最小值2，则22a ≤，即有1a ≤．故选C ． 6. 略7.【答案】()4 0-，【解析】因为()22x g x =-，当1x ≥时，()0g x ≥，又因为任意x R ∈，()< 0f x 或()< 0g x ， 所以此时()()()230f x m x m x m =-++<在1x ≥时恒成立．若()0 0m f x ==，恒成立，不符合，0m ≠故， 则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在（1，0）的左面 则03121m m m <⎧⎪--<⎨⎪<⎩，所以40m -<<．故答案为： 4 0-（，）．三、变更主元1. 解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0， 解得x <1或x >3.故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．2. 解：原函数可化为g (a )＝2xa ＋x 2－4x ＋4，是关于a 的一元一次函数．要使对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧ g＜0，g －＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4＜0，x 2－10x ＋4＜0. 因为x 2－2x ＋4＜0的解集是空集，所以不存在实数x ，使函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4，对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立． 3. 解析：选B 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧ g ＝x 2－3x ＋2>0，g－＝x 2－5x ＋6>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2，x <2或x >3⇔x <1或x >3. 4. 解：(1)对所有实数x ，都有不等式mx 2－2x ＋m －2<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x ＋m －2的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，－2x －2<0，显然对任意x 不能恒成立； 当m ≠0时，由二次函数的图象可知有⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝4－4mm －，解得m <1－2，综上可知，m 的取值范围是(－∞，1－2)．(2)设g (m )＝(x 2＋1)m －2x －2，它是一个以m 为自变量的一次函数，由x 2＋1>0，知g (m )在[－2,2]上为增函数，则只需g (2)<0即可，即2x 2＋2－2x －2<0，解得0<x <1. 故x 的取值范围是(0,1)．5. 【答案】（1）]( 4 0-，；（2）()1 2-，． 【解析】（1）当0m =时，()211f x mx mx =--=-，对一切实数x ，()< 0f x 恒成立； 当0m ≠时，若对一切实数x ，()< 0f x 恒成立，则有2040m m m <⎧⎪⎨+<⎪⎩，所以4< < 0m -，综上，m 的取值范围是]( 4 0-，． （2）因为()< 5f x m -+，所以21< 5mx mx m ---+，所以()216< 0x x m -+-， 因为对一切实数 2 [ 2]m ∈-，，()< 5f x m -+恒成立，且21>0x x -+，所以只需()2216< 0x x -+-，解得1< < 2x -．所以x 的取值范围是()1 2-，．四、存在问题1. 【答案】3> < 04b b 或【解析】因为存在实数x ，使得243< 0x bx b -+成立的等价说法是：存在实数x ，使得函数243y x bx b =-+的图象在x 轴下方，即函数与x 轴有两个交点，故对应的()23443>0< 0>4b b b b ∆=--⨯⇒或．故答案为：< 0b 或3>4b ．2. 【答案】14k ≤≤【解析】设原不等式的解集为A ，当0k =时，则>4x ，不合题意，当>0k 且2k ≠时，原不等式化为[]44< 0x k x k -+-（）（），因为4>4k k+，所以44 ()A k k =+，，要使不存在整数x 使不等式()()244< 0kx k x ---成立，需45k k+≤，解得：14k ≤≤；当2k =时，A =∅，合题意；当< 0k 时，原不等式化为44>[]0x k x k-+-（）（），所以44 A k k=-∞++∞（，）（，），不合题意，故答案为：14k ≤≤．3. 【答案】 3 2 ]4 [5--，）（，【解析】由()21< 0x a x a -++，得()()1< 0x x a --，若1a =，则不等式无解． 若>1a ，则不等式的解为1< < x a ，此时要使不等式的解集中恰有3个整数解，则此时3个整数解为 2 3 4x =，，，则45a <≤．若1a <，则不等式的解为1a x <<，此时要使不等式的解集中恰有3个整数解，则此时3个整数解为0 1 2x =--，，，则3< 2a -≤-．综上，满足条件的a 的取值范围是 3 2 ]4 [5--，）（，．故答案为： 3 2 ]4 [5--，）（，．4. 解：若对任意，x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立，则满足题意的函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4的图象如图所示．由图象可知，此时a 应该满足⎩⎪⎨⎪⎧f－＜0，f ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧25－6a ＜0，1＋2a ＜0，解得⎩⎨⎧a ＞256，a ＜－12.这样的实数a 是不存在的，所以不存在实数a 满足：对任意x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立．5. 解：(1)由不等式f (x )＞m ⇔2kxx 2＋6k＞m ⇔mx 2－2kx ＋6km ＜0，∵不等式mx 2－2kx ＋6km ＜0的解集为{x |x ＜－3或x ＞－2}， ∴－3，－2是方程mx 2－2kx ＋6km ＝0的根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k m ＝－5，6k ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，m ＝－25，故有5mx 2＋kx ＋3＞0⇔2x 2－x －3＜0⇔－1＜x ＜32， ∴不等式5mx 2＋kx ＋3＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，32. (2)f (x )＞1⇔2kxx 2＋6k＞1⇔x 2－2kx ＋6k ＜0⇔(2x －6)k ＞x 2.存在x ＞3，使得f (x )＞1成立，即存在x ＞3，使得k ＞x 22x －6成立．令g (x )＝x 22x －6，x ∈(3，＋∞)，则k ＞g (x )min .令2x －6＝t ，则x ＝t ＋62，则t ∈(0，＋∞)，y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋622t＝t 4＋9t＋3≥2 t 4·9t＋3＝6， 当且仅当t 4＝9t ，即t ＝6时等号成立．当t ＝6时，x ＝6，∴g (x )min ＝g (6)＝6，故k 的取值范围为(6，＋∞)．。
2022年北师大版数学《一元二次方程的根的判别式》配套精品练习(附答案)
第1课时一元二次方程的根的判别式基础题知识点1利用根的判别式判别根的情况1．一元二次方程x2－4x＋4＝0的根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．无实数根2．(自贡中考)一元二次方程x2－4x＋5＝0的根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3．(云南中考)下列一元二次方程中，没有实数根的是()A．4x2－5x＋2＝0 B．x2－6x＋9＝0C．5x2－4x－1＝0 D．3x2－4x＋1＝04．(苏州中考)下列关于x的方程有实数根的是()A．x2－x＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0C．(x－1)(x＋2)＝0 D．(x－1)2＋1＝05．不解方程，判定下列一元二次方程根的情况：(1)9x2＋6x＋1＝0；(2)16x2＋8x＝－3；(3)3(x2－1)－5x＝0.6．(泰州中考)已知：关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判别方程的根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．知识点2 利用根的判别式确定字母的取值7．(温州中考)若关于x 的一元二次方程4x 2－4x ＋c ＝0有两个相等的实数根，则c 的值是( )A ．－1B ．1C ．－4D ．48．(益阳中考)一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0总有实数根，则m 应满足的条件是( )A ．m ＞1B ．m ＝1C ．m ＜1D ．m ≤19．(东莞中考)若关于x 的方程x 2＋x －a ＋94＝0有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥2 B ．a ≤2C ．a ＞2D ．a ＜210．(龙口期中)当k 为何值时，关于x 的一元二次方程x 2－(2k －1)x ＝－k 2＋2k ＋3.(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)无实根．中档题11．(内江中考)若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2x －2＝0有不相等实数根，则k 的取值范围是( )A ．k ＞12B ．k ≥12C ．k ＞12且k ≠1D ．k ≥12且k ≠1 12．(贵港中考)若关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋2＝0有实数根，则整数a 的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．213．(泸州中考)若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋kb ＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y ＝kx ＋b 的大致图象可能是( )14．(烟台中考)等腰三角形三边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋n －1＝0的两根，则n 的值为( )A ．9B ．10C．9或10D．8或1015．关于x的方程(a－5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足的条件是________．16．(贺州中考)已知关于x的方程x2＋(1－m)x＋m24＝0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是________．17．(福州中考)已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求m的值．18．(汕尾中考)已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．综合题19．(自贡中考)用配方法解关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.参考答案基础题1．B 2.D 3.A 4.C5.（1）∵a＝9，b＝6，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝36－36＝0.∴此方程有两个相等的实数根．（2）化为16x2＋8x＋3＝0.∵a＝16，b＝8，c＝3，∴Δ＝b2－4ac＝64－4×16×3＝－128<0.∴此方程没有实数根．（3）化为一般形式为：3x 2－5x －3＝0.∵a ＝3，b ＝－5，c ＝－3，∴Δ＝(－5)2－4×3×(－3)＝25＋36＝61＞0.∴此方程有两个不相等的实数根．6.(1)∵b 2－4ac ＝(2m)2－4×1×(m 2－1)＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)将x ＝3代入原方程，得9＋6m ＋m 2－1＝0，解得m 1＝－2，m 2＝－4.∴m 的值为－2或－4.7.B 8.D 9.C10.原方程整理为x 2－(2k －1)x ＋k 2－2k －3＝0，Δ＝(2k －1)2－4(k 2－2k －3)＝4k ＋13.(1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，即4k ＋13>0，解得k>－134. (2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，即4k ＋13＝0，解得k ＝－134. (3)当Δ<0时，方程没有实数根，即4k ＋13<0，解得k<－134. 中档题11．C 12.B 13.B 14.B 15.a ≥1 16.017.∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0.∴2m －1＝±4.∴m ＝52或m ＝－32. 18.(1)∵1为原方程的一个根，∴1＋a ＋a －2＝0.∴a ＝12.代入方程得：x 2＋12x －321＝1，x 2＝－32.∴a 的值为12，方程的另一个根为－32.(2)证明：在x 2＋ax ＋a －2＝0中，Δ＝a 2－4a ＋8＝(a －2)2＋4>0，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．综合题19．∵关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0是一元二次方程，∴a ≠0，∴由原方程，得x 2＋b a x ＝－c a ，等式的两边都加上(b 2a)2，得x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b 2a )2，配方，得(x ＋b 2a )2＝－4ac －b 24a 2，当b 2－4ac>0时，开方，得：x ＋b 2a ＝±b 2－4ac 2a，解得x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a ，当b 2－4ac ＝0时，解得x 1＝x 2＝－b 2a；当b 2－4ac<0时，原方程无实数根．《第1章 特殊平行四边形》一、选择题1．下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AB ∥CD ，AD=BC B ．∠A=∠C ，∠B=∠D C ．AB ∥CD ，AD ∥BC D ．AB=CD ，AD=BC2．下列说法中，错误的是（ ）A ．平行四边形的对角线互相平分B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形C ．菱形的对角线互相垂直D ．对角线互相垂直的四边形是菱形3．如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（ ）A．50° B．55° C．60° D．65°4．如图，▱ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周长为（）A．8.3 B．9.65．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（）A．6米B．6米C．3米D．3米6．已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）A．6 cm和9 cm B．5 cm和10 cm C．4 cm和11 cm D．7 cm和8 cm7．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD8．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7 B．9 C．10 D．119．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）A．2 B．3 C．D．1+10．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE 的和最小，则这个最小值为（）A．2 B．3 C． D．二、填空题11．（5分）已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是cm2．12．（5分）如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O且AC=8，如果∠AOD=60°，那么AD= ．13．（5分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于．14．（5分）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为．三、解答题（15题12分，16题12分，17题16分）15．如图，已知平行四边形ABCD，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．（1）求证：CD=CE；（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．16．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．（1）求证：△DCE≌△BFE；（2）若CD=2，∠ADB=30°，求BE的长．17．已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长；（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．《第1章特殊平行四边形》参考答案与试题解析一、选择题1．下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠C，∠B=∠D C．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC【考点】平行四边形的判定．【分析】直接根据平行四边形的判定定理判断即可．【解答】解：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．∴C能判断，平行四边形判定定理1，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；∴B能判断；平行四边形判定定理2，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；∴D能判定；平行四边形判定定理3，对角线互相平分的四边形是平行四边形；平行四边形判定定理4，一组对边平行相等的四边形是平行四边形；故选A．【点评】此题是平行四边形的判定，解本题的关键是掌握和灵活运用平行四边形的5个判断方法．2．下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．【分析】根据平行四边形和菱形的性质对各个选项进行分析从而得到最后答案．【解答】解：根据平行四边形和菱形的性质得到ABC均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形，故选：D．【点评】主要考查了平行四边形和特殊平行四边形的特性，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．菱形的特性是：四边相等，对角线互相垂直平分．3．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）A．50° B．55° C．60° D．65°【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】数形结合．【分析】首先根据AD∥BC，求出∠FED的度数，然后根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，则可知∠FED=∠FED′，最后求得∠AED′的大小．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠EFB=∠FED=65°，由折叠的性质知，∠FED=∠FED′=65°，∴∠AED′=180°﹣2∠FED=50°．故∠AED′等于50°．故选：A．【点评】本题考查了：1、折叠的性质；2、矩形的性质，平行线的性质，平角的概念求解．4．如图，▱ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周长为（）A．8.3 B．9.6【考点】平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的中心对称性，可知EF把平行四边形分成两个相等的部分，先求平行四边形的周长，再求EF的长，即可求出四边形BCEF的周长．【解答】解：根据平行四边形的中心对称性得：OF=OE=1.3，∵▱ABCD的周长=（4+3）×2=14∴四边形BCEF的周长=×▱ABCD的周长+2.6=9.6．【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．平行四边形是中心对称图形．5．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（）A．6米B．6米C．3米D．3米【考点】菱形的性质．【专题】应用题．【分析】由四边形ABCD为菱形，得到四条边相等，对角线垂直且互相平分，根据∠BAD=60°得到三角形ABD为等边三角形，在直角三角形ABO中，利用勾股定理求出OA的长，即可确定出AC的长．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD=24÷4=6（米），∵∠BAD=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD=AB=6（米），OD=OB=3（米），在Rt△AOB中，根据勾股定理得：OA==3（米），则AC=2OA=6米，故选A．【点评】此题考查了勾股定理，菱形的性质，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键．6．已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）A．6 cm和9 cm B．5 cm和10 cm C．4 cm和11 cm D．7 cm和8 cm【考点】矩形的性质．【分析】根据已知条件以及矩形性质证△ABE为等腰三角形得到AB=AE，注意“长和宽分别为15cm和10cm”说明有2种情况，需要分类讨论．【解答】解：如图，∵矩形ABCD中，BE是角平分线．∴∠ABE=∠EBC．∵AD∥BC．∴∠AEB=∠EBC．∴∠AEB=∠ABE∴AB=AE．当AB=15cm时：则AE=15cm，不满足题意．当AB=10cm时：AE=10cm，则DE=5cm．故选B．【点评】此题考查了矩形的性质与等腰三角形的判定与性质．注意出现角平分线，出现平行线时，一般出现等腰三角形，需注意等腰三角形相等边的不同．7．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD【考点】矩形的判定．【分析】由四边形ABCD的对角线互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，再添加AC=BD，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形ABCD是矩形．【解答】解：可添加AC=BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选：D．【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．8．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7 B．9 C．10 D．11【考点】三角形中位线定理；勾股定理．【专题】计算题．【分析】根据勾股定理求出BC的长，根据三角形的中位线定理得到HG=BC=EF，EH=FG=AD，求出EF、HG、EH、FG的长，代入即可求出四边形EFGH的周长．【解答】解：∵BD⊥DC，BD=4，CD=3，由勾股定理得：BC==5，∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴HG=BC=EF，EH=FG=AD，∵AD=6，∴EF=HG=2.5，EH=GF=3，∴四边形EFGH的周长是EF+FG+HG+EH=2×+3）=11．故选D．【点评】本题主要考查对勾股定理，三角形的中位线定理等知识点的理解和掌握，能根据三角形的中位线定理求出EF、HG、EH、FG的长是解此题的关键．9．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）A．2 B．3 C．D．1+【考点】旋转的性质．【专题】压轴题．【分析】当AB绕点A逆时针旋转45度后，刚回落在正方形对角线AC上，可求三角形与边长的差B′C，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求B′O，OD，从而可求四边形AB′OD的周长．【解答】解：连接B′C，∵旋转角∠BAB′=45°，∠BAC=45°，∴B′在对角线AC上，∵AB=AB′=1，用勾股定理得AC=，∴B′C=﹣1，在等腰Rt△OB′C中，OB′=B′C=﹣1，在直角三角形OB′C中，由勾股定理得OC=（﹣1）=2﹣，∴OD=1﹣OC=﹣1∴四边形AB′OD的周长是：2AD+OB′+OD=2+﹣1+﹣1=2．故选A．【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，特殊三角形边长的求法．连接B′C构造等腰Rt△OB′C是解题的关键．10．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE 的和最小，则这个最小值为（）A．2 B．3 C． D．【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE 的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为4，可求出AB的长，从而得出结果．【解答】解：连接BD，与AC交于点F．∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面积为4，∴AB=2．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2．∴所求最小值为2．故选：A．【点评】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题．二、填空题11．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是 3 cm2．【考点】菱形的性质．【分析】由知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求得答案．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，∴它的面积是：×2×3=3（cm2）．故答案为：3．【点评】此题考查了菱形的性质．注意菱形的面积等于对角线乘积的一半．12．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O且AC=8，如果∠AOD=60°，那么AD= 4 ．【考点】矩形的性质．【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OD=AC，然后判断出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的三边都相等解答即可．【解答】解：在矩形ABCD中，OA=OD=AC=×8=4，∵∠AOD=60°，∴△AOD是等边三角形，∴AD=OA=4．故答案为：4．【点评】本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，等边三角形的判定与性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于 3.5 ．【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．【分析】由菱形的四边相等求出边长，再根据对角线互相垂直得出∠AOD=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵AB+BC+CD+DA=28，∴AD=7，∵H为AD边中点，∴OH=AD=3.5；故答案为：3.5．【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键．14．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为（）n﹣1．【考点】正方形的性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】首先求出AC、AE、HE的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=1，∠B=90°，∴AC2=12+12，AC=；同理可求：AE=（）2，HE=（）3…，=（）n﹣1．∴第n个正方形的边长an故答案为（）n﹣1．【点评】该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用．三、解答题（15题12分，16题12分，17题16分）15．（2010•株洲）如图，已知平行四边形ABCD，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．（1）求证：CD=CE；（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．【考点】平行四边形的性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）根据DE是∠ADC的角平分线得到∠1=∠2，再根据平行四边形的性质得到∠1=∠3，所以∠2=∠3，根据等角对等边即可得证；（2）先根据BE=CE结合CD=CE得到△ABE是等腰三角形，求出∠BAE的度数，再根据平行四边形邻角互补得到∠BAD=100°，所以∠DAE可求．【解答】（1）证明：如图，在平行四边形ABCD中，∵AD∥BC∴∠1=∠3又∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴CD=CE；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，又∵CD=CE，BE=CE，∴AB=BE，∴∠BAE=∠BEA．∵∠B=80°，∴∠BAE=50°，∴∠DAE=180°﹣50°﹣80°=50°．【点评】（1）由角平分线得到相等的角，再利用平行四边形的性质和等角对等边的性质求解；（2）根据“BE=CE”得出AB=BE是解决问题的关键．16．（2015•乐山）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．（1）求证：△DCE≌△BFE；（2）若CD=2，∠ADB=30°，求BE的长．【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由AD∥BC，知∠ADB=∠DBC，根据折叠的性质∠ADB=∠BDF，所以∠DBC=∠BDF，得BE=DE，即可用AAS 证△DCE≌△BFE；（2）在Rt△BCD中，CD=2，∠ADB=∠DBC=30°，知BC=2，在Rt△BCD中，CD=2，∠EDC=30°，知CE=，所以BE=BC﹣EC=．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，根据折叠的性质∠ADB=∠BDF，∠F=∠A=∠C=90°，∴∠DBC=∠BDF，∴BE=DE，在△DCE和△BFE中，，∴△DCE≌△BFE；（2）在Rt△BCD中，∵CD=2，∠ADB=∠DBC=30°，∴BC=2，在Rt△ECD中，∵CD=2，∠EDC=30°，∴DE=2EC，∴（2EC）2﹣EC2=CD2，∴CE=，∴BE=BC﹣EC=．【点评】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等角对等边、平行线的性质以及勾股定理的综合运用，熟练的运用折叠的性质是解决本题的关键．17．（2016春•历下区期末）已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长；（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF；（2）通过△DBG≌△FBG的对应边相等知BD=BF=；然后由CF=BF﹣BC=即可求得；（3）分三种情况分别讨论即可求得．【解答】（1）证明：如图1，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS）；（2）证明：如图1，∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线，∴∠EBC=∠DBC=22.5°，由（1）知△BCE≌△DCF，∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的对应角相等）；∴∠BGD=90°（三角形内角和定理），∴∠BGF=90°；在△DBG和△FBG中，，∴△DBG≌△FBG（ASA），∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的对应边相等），∵BD==，∴BF=，∴CF=BF﹣BC=﹣1；（3）解：如图2，∵CF=﹣1，BH=CF∴BH=﹣1，①当BH=BP时，则BP=﹣1，∵∠PBC=45°，设P（x，x），∴2x2=（﹣1）2，解得x=1﹣或﹣1+，∴P（1﹣，1﹣）或（﹣1+，﹣1+）；②当BH=HP时，则HP=PB=﹣1，∵∠ABD=45°，∴△PBH是等腰直角三角形，∴P（﹣1，﹣1）；③当PH=PB时，∵∠ABD=45°，∴△PBH是等腰直角三角形，∴P（，），综上，在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P点坐标为（1﹣，1﹣）、（﹣1+，﹣1+）、（﹣1，﹣1）、（，）．【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．。
根的判别式练习题(含答案解析)
根的判别式练习题一．填空题（共8小题）1．若一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝．2．已知关于x的一元二次方程mx2﹣3x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是．3．已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的最大整数值是．4．等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+6﹣a＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是．5．等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1＝0的两根，则n的值为．6．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“友好方程”，则m 的值．7．若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，当k＝时，△ABC是等腰三角形；当k＝时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．8．若关于x的方程ax2+4x﹣3＝0有唯一实数解，则a的值为．二．解答题（共2小题）9．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．10．已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3＝0．（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）若方程mx2+（3m+1）x+3＝0有两个不同的整数根，且m为正整数，求m的值．参考答案与试题解析一．填空题（共8小题）1．若一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝2．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝16﹣8m＝0，解之即可得出结论．【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝16﹣8m＝0，解得：m＝2．∴m＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等实数根”是解题的关键．2．已知关于x的一元二次方程mx2﹣3x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是m≤且m≠0．【分析】根据判别式的意义得到m≠0，b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4m≥0，然后解不等式即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣3x+1＝0有两个实数根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4m≥0且m≠0，解得：m≤且m≠0，故答案为：m≤且m≠0．【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．3．已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的最大整数值是0．【分析】根据方程有实数根可知△≥0，据此求出m的取值范围，从而得到m的最大整数值．【解答】解：∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根，∴△≥0，∴[2（m﹣1）]2﹣4m2≥0，∴﹣8m+4≥0，解得，m≤，故m的最大整数值是0．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．4．等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+6﹣a＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是10．【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（a+2）2﹣4（6﹣a）＝0，进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．【解答】解：根据题意得Δ＝（a+2）2﹣4（6﹣a）＝0，解得a1＝﹣10（负值舍去），a2＝2，在等腰△ABC中，①4为底时，则b＝a＝2，∵2+2＝4，∴不能组成三角形；②4为腰时，b＝4，∵2+4＞4，∴能组成三角形，∴△ABC的周长＝4+4+2＝10．综上可知，△ABC的周长是10．故答案为：10．【点评】此题考查了根的判别式、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理；在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加，而应在三角形三边关系定理为前提条件下分类讨论，以免造成多解、错解．5．等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1＝0的两根，则n的值为10．【分析】讨论：当a＝2或b＝2时，把x＝2代入x2﹣6x+n﹣1＝0可求出对应的n的值；当a＝b时，根据判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4×（n﹣1）＝0，解得n＝10．【解答】解：当a＝2或b＝2时，把x＝2代入x2﹣6x+n﹣1＝0得4﹣12+n﹣1＝0，解得n＝9，此时方程的根为2和4，而2+2＝4，故舍去；当a＝b时，Δ＝（﹣6）2﹣4×（n﹣1）＝0，解得n＝10，故答案为10．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质．6．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“友好方程”，则m 的值1或﹣9．．【分析】通过解方程x2﹣2x＝0，可得出方程的根，分x＝0为两方程相同的实数根或x ＝2为两方程相同的实数根两种情况考虑：①若x＝0是两个方程相同的实数根，将x＝0代入方程x2+3x+m﹣1＝0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m＝1符合题意；②若x＝2是两个方程相同的实数根，将x＝2代入方程x2+3x+m﹣1＝0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m＝2符合题意．综上此题得解．【解答】解：解方程x2﹣2x＝0，得：x1＝0，x2＝2．①若x＝0是两个方程相同的实数根．将x＝0代入方程x2+3x+m﹣1＝0，得：m﹣1＝0，∴m＝1，此时原方程为x2+3x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣3，符合题意，∴m＝1；②若x＝2是两个方程相同的实数根．将x＝2代入方程x2+3x+m﹣1＝0，得：4+6+m﹣1＝0，∴m＝﹣9，此时原方程为x2+3x﹣10＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣5，符合题意，∴m＝﹣9．综上所述：m的值为1或﹣9．故答案为：1或﹣9．【点评】本题考查了一元二次方程的解，代入x求出m的值是解题的关键．7．若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，当k＝3或4时，△ABC是等腰三角形；当k＝2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．【分析】（1）此题要分两种情况进行讨论，若AB＝BC＝5时，把5代入方程即可求出k 的值，若AB＝AC时，则Δ＝0，列出关于k的方程，解出k的值即可；（2）若△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则根据勾股定理，AB2+AC2＝25，再根据根与系数的关系求得k的值即可．【解答】解：（1）因为Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2k+3）]2﹣4×1×（k2+3k+2）＝1＞0，所以方程总有两个不相等的实数根．若AB＝BC＝5时，5是方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的实数根，把x＝5代入原方程，得k＝3或k＝4．∵无论k取何值，Δ＞0，∴AB≠AC，故k只能取3或4；（2）根据根与系数的关系：AB+AC＝2k+3，AB•AC＝k2+3k+2，则AB2+AC2＝（AB+AC）2﹣2AB•AC＝25，即（2k+3）2﹣2（k2+3k+2）＝25，解得k＝2或k＝﹣5．根据三角形的边长必须是正数，因而两根的和2k+3＞0且两根的积k2+3k+2＞0，解得k ＞﹣1，∴k＝2．故答案为：3或4；2．【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系是：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．在解题的过程中注意不要忽视三角形的边长是正数这一条件8．若关于x的方程ax2+4x﹣3＝0有唯一实数解，则a的值为0．【分析】根据关于x的方程ax2+4x﹣3＝0有唯一实数解，可知是一元一次方程，依此求出a的值．【解答】解：∵关于x的方程ax2+4x﹣3＝0有唯一实数解，∴a＝0．故答案为：0．【点评】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，Δ＜0时，方程没有实数根．二．解答题（共2小题）9．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．【分析】根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0，解得m＞0，且m﹣1≠0，解得：m≠1，所以m＞0且m≠1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．10．已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3＝0．（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）若方程mx2+（3m+1）x+3＝0有两个不同的整数根，且m为正整数，求m的值．【分析】（1）分类讨论：当m＝0时，方程变形一元一次方程，有一个实数解；当m≠0时，方程为一元二次方程，再进行判别式得到Δ＝（3m﹣1）2，易得△≥0，故判别式的意义得到方程有两个实数根，然后综合两种情况得到不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）先利用求根公式得到x1＝﹣3，x2＝﹣，再利用方程有两个不同的整数根，且m 为正整数和整数的整除性易得m＝1．【解答】（1）证明：当m＝0时，方程变形为x+3＝0，解得x＝﹣3；当m≠0时，Δ＝（3m+1）2﹣4m•3＝9m2﹣6m+1＝（3m﹣1）2，∵（3m﹣1）2，≥0，即△≥0，∴此时方程有两个实数根，所以不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）解：根据题意得m≠0且Δ＝（3m+1）2﹣4m•3＝（3m﹣1）2＞0，x＝，所以x1＝﹣3，x2＝﹣，∵方程有两个不同的整数根，且m为正整数，∴m＝1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．。
一元二次方程根的判别式基础练习30题含详细答案
（3）设该方程的两个实数根为x1，x2，若x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1，求m的值．
21．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足x12+x22＝16，求k的值．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程根的情况，解题的关键是熟知根的判别式特点．
5．B
【分析】
先根据一元二次方程的解的定义得到α2+2α﹣2015＝0，则α2+2α＝2015，于是α2+3α+β可化为2015+α+β，再利用根与系数的关系得到α+β＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵α是方程x2+2x﹣2015＝0的根，
16．若关于x的一元二次方程kx2－4x+3=0有实数根，则k的取值范围是_____．
三、解答题
17．关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若x1+2x2=3，求|x1﹣x2|的值．
18．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）若方程的一个根为1，求m的值；
7．D
【分析】
要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断．有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于0的一元二次方程．
【详解】
解：A、x2+1=0中 ，没有实数根，故本选项错误；
根的判别式
1.（2012四川泸州，8，2分）若关于x 的一元二次方程0242=+-k x x 有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ≥2B ．k ≤2C ．k ＞-2D ．k ＜-2【答案】B2. （2012湖北襄阳，12，3分）如果关于x 的一元二次方程01122=++-x k kx 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A. 21<k B. 21<k 且0≠k C. 2121<≤-k D. 2121<≤-k 且0≠k【答案】D3. （2012山东东营，9，3分）方程0411)1(2=+---x k x k 有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）．A ． k ≥1B ． k ≤1C ． k >1D ． k <1 【答案】D4.（2012广西桂林，9，3分）关于x 的一元二次方程x 2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k 的值（ ）A 、k<1B 、k>1C 、k<—1D 、k>—1 【答案】A5. （2012山东日照9,4分）已知关于x 的一元二次方程(k -2)2x 2+(2k +1)x +1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 (A) k >34且k ≠2 (B)k ≥34且k ≠2 (C) k >43且k ≠2 (D)k ≥43且k ≠2 【答案】C6. （2012湖南常德，15，3分）若一元二次方程220x x m ++=有实数解，则m 的取值范围是（ ）A. m ≤－1B. m ≤1C. m ≤4D. m ≤127.（2012江西南昌，10,3分）已知关于x 的一元二次方程022=-+a x x 有两个相等的实数根，则a 的值是（ ） A ．1 B ．1- C ．41 D ．41- 【答案】B8.2012四川广安8,3分）已知关于x 的一元二次方程（a -1）2x -2x +1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A .2a ＞B .2a ＜C .21a a ≠＜且D .2a ＜- 【答案】C9. （2012湖南岳阳，12，3分）关于x 的一元二次方程2+(2k+1)+(k-1)=0kx x 有实数根，则k 的取值范围是___________. 【答案】1-08k k ≥≠且10. （2012北京，10，4分）若关于x 的方程220x x m --=有两个相等的实数根，则m 的值是_______________.【答案】－111（2012上海市，11，4分）如果关于x 的一元二次方程x 2-6x +c =0(c 是常数)没有实数根，那么c 的取值范围是 . 【答案】c ＞912. （2012广东广州，15，3分）已知关于x 的一元二次方程20x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为 * 。
根的判别式练习
根的判别式练习1.对于数字系数的一元二次方程，通过对根的判别式的计算，很容易判别方程根的情况。
例1、判别下列各方程根的情况：(1)2x2-5x-1=0；(2)；(3)3x2+2x+2=0.解：（1）∵△=（-5）2+4×2=25+8>0，∴方程2x2-5x-1=0有两个不相等的实数根。
(2)∵，∴方程有两个相等的实数根。
(3)∵△=22-4×3×2=4-24<0，∴方程3x2+2x+2=0没有实数根。
但对于字母系数的一元二次方程，要确定它的判别式大于零、等于零或小于零，往往要进行适当的变形。
返回主题例2、求证：关于x的方程x2+(a+2b)x+ab=0有实根。
证明:△=（a+2b）2-4ab=a2+4ab+4b2-4ab=a2+4b2，∵a为任何实数时，都有a2≥0；又b为任何实数时，都有b2≥0，则4b2≥0，∴a2+4b2≥0，即△≥0，∴方程x2+(a+2b)x+ab=0有实根。
又如，摸底检测题1，，∵m为任何实数时，都有，则，∴，即△> 0，∴方程(m-1)x2-(2m+3)x-m=0有两个不相等的实数根，即选A。
这个方程的判别式8m2+8m+9需经配方后，变形为，才能确定“△”大于零。
有一点应注意，运用判别式的前提是方程已化成了ax2+bx+c=0这样的标准型，否则是不能用判别式的。
2.对于方程根的讨论，应先认真审题，判断所给方程是否为一元二次方程。
返回主题例3、求证关于x的方程(a2+1)x2-(3a-1)x+5=0没有实数根。
分析：虽然题目中只说方程是关于x的方程，没有明确指明方程的次数，但由于二次项的系数为a2+1，a为任意实数时a2+1都大于0，所以此方程必然是关于x的一元二次方程。
证明：。
∵a为任意实数时，，则，∴，即△<0，∴原方程无实根。
而摸底检测题2，二次项系数为2(m+1)，有得零的可能性。
因此应分类讨论。
当2(m+1)=0，即m=-1时，方程为4x-3=0，解方程，得；当2(m+1)≠0，即m≠-1时，方程为关于x的一元二次方程，△=（-4m）2-8(m+1)(2m-1)=-8m+8. 当△>0，即m<1且m≠-1时，方程有两个不相等的实数根；当△=0，即m=1时，方程有两个相等的实数根；当△<0，即m>1时，方程没有实数根。
根的判别式练习题
根的判别式练习题根的判别式是代数中一个重要的概念，用于判断一个多项式方程的根的性质。
它在解代数方程和分析函数的性质等领域中有广泛的应用。
在本篇文档中，我们将提供一些根的判别式练习题，供读者加深对根的判别式的理解和运用。
1. 给定方程2x^2 + 3x - 5 = 0，求解该方程的根，并判别其性质。
解：首先，我们可以根据一元二次方程的判别式公式Δ = b^2 -4ac = 3^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49 来计算判别式的值。
当判别式Δ > 0 时，方程有两个不相等的实根；当判别式Δ = 0 时，方程有两个相等的实根；当判别式Δ < 0 时，方程没有实根，而有两个虚根。
带入计算我们得到Δ = 49 > 0，因此该方程有两个不相等的实根。
接下来，我们可以使用求根公式 x = (-b ±√Δ) / 2a 来求解方程的根。
将方程代入公式中，得到：x2 = (-3 - √49) / (2 × 2) = (-3 - 7) / 4 = -2所以，该方程的两个根分别为 x1 = 1 和 x2 = -2。
综上所述，方程2x^2 + 3x - 5 = 0 有两个不相等的实根，分别为x1 = 1 和 x2 = -2。
2. 对于方程4x^2 + 4x + 1 = 0，求解该方程的根，并判别其性质。
解：同样地，我们计算方程的判别式Δ = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(4)(1) = 16 - 16 = 0。
根据判别式的值，我们可以判断方程的根的性质。
当判别式Δ > 0 时，方程有两个不相等的实根；当判别式Δ = 0 时，方程有两个相等的实根；当判别式Δ < 0 时，方程没有实根，而有两个虚根。
在本例中，判别式Δ = 0，因此该方程有两个相等的实根。
再次，我们使用求根公式 x = (-b ±√Δ) / 2a 来求解方程的根。
将方程代入公式中，得到：所以，该方程的两个根为 x = -1/2。
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一元二次方程根的判别式练习题
（一）填空
1．方程x2＋2x-1＋m=0有两个相等实数根，则m=____．
2．a是有理数，b是____时，方程2x2＋（a＋1）x-（3a2-4a＋b）=0的根也是有理数．
3．当k＜1时，方程2（k+1）x2＋4kx+2k-1=0有____实数根．
5．若关于x的一元二次方程mx2+3x-4=0有实数根，则m的值为____．
6．方程4mx2-mx＋1=0有两个相等的实数根，则 m为____．
7．方程x2-mx＋n=0中，m，n均为有理数，且方程有一个根是2
8．一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）中，如果a，b，c是有理数且Δ=b2-4ac是一个完全平方数，则方程必有__．9．若m是非负整数且一元二次方程（1-m2）x2+2（1-m）x-1=0有两个实数根，则m的值为____．
10．若关于x的二次方程kx2+1=x-x2有实数根，则k的取值范围是____．
11．已知方程2x2-（3m＋n）x＋m·n=0有两个不相等的实数根，则m，n的取值范围是____．
12．若方程a（1-x2）＋2bx＋c（1＋x2）=0的两个实数根相等，则a，b，c的关系式为_____．
13．二次方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0有两个实数根，则k为___．
14．若一元二次方程（1-3k）x2＋4x-2=0有实数根，则k的取值范围是____．
15．方程（x2＋3x）2+9（x2+3x）＋44=0解的情况是＿解．
16．如果方程x2＋px＋q=0有相等的实数根，那么方程x2-p（1＋q）x＋q3＋2q2＋q=0____实根．
（二）选择
那么α= [ ]．
18．关于x的方程：m（x2＋x+1）=x2+x＋2有两相等的实数根，则m值为 [ ]．
19．当m＞4时，关于x的方程（m-5）x2-2（m＋2）x+m=0的实数根的个数为 [ ]．
A．2个； B．1个； C．0个； D．不确定．
20．如果m为有理数，为使方程x2-4（m-1）x＋3m2-2m+2k=0的根为有理数，则k的值为 [ ]．
则该方程[ ]．
A．无实数根； B．有相等的两实数根； C．有不等的两实数根； D．不能确定有无实数根．
22．若一元二次方程（1-2k）x2+8x=6没有实数根，那么k的最小整数值是 [ ]．
A．2； B．0； C．1；
D．3．
23．若一元二次方程（1-2k）x2+12x-10=0有实数根，那么k的最大整数值是 [ ]．
A．1； B．2； C．-
1； D．0．
24．方程x2+3x+b2-16=0和x2+3x-3b＋12=0有相同实根，则b的值是 [ ]．
A．4； B．-7； C．4或-7； D．所有实数．
[ ]．
A．两个相等的有理根； B．两个相等的实数根； C．两个不等的有理根；D．两个不等的无理根．26．方程2x（kx-5）-3x2+9=0有实数根，k的最大整数值是 [ ]．
A．-
1； B．0； C．1；
D．2．
29．若m为有理数，且方程2x2＋（m＋1）x-（3m2-4m+n）=0的根为有理数，则n的值为 [ ]．
A．4； B．1； C．-
2； D．-6．
30．方程x|x|-3|x|+2=0的实数根的个数
是 [ ]．A．1； B．2； C．3；
D． 4．
（三）综合练习
有两个相等的实数根．求证：a2+b2=c2．
32．如果a，b，c是三角形的三条边，求证：关于x的方程a2x2+（a2＋b2－c2）x＋b2=0无解．
33．当a，b为何值时，方程x2+2（1+a）x＋（3a2+4ab＋4b2＋2）=0有实数根．
34．已知：关于x的方程x2+（a-8）x+12-ab=0，这里a，b是实数，如果对于任意a值，方程永远有实数解，求b的取值范围．
35．一元二次方程（m-1）x2+2mx＋m＋3=0有两个不相等的实数根，求m的最大整数值．
36．k为何值时，方程x2+2（k-1）x+ k2+2k-4=0：
（1）有两个相等的实数根；（2）没有实数根；（3）有两个不相等的实数根．
37．若方程3kx2-6x＋8=0没有实数根，求k的最小整数值．
38．m是什么实数值时，方程2（m＋3）x2＋4mx＋2m-2=0：（1）有两个不相等的实数根；（2）没有实数根．
39．若方程3x2-7x＋3k-2=0有两个不相同的实数根，求k的最大整数值．
40．若方程（k+2）x2+4x-2=0有实数根，求k的最小整数值．
41．设a为有理数，当b为何值时，方程2x2＋（a＋1）x-（3a2-4a＋b）＝0的根对于a的任何值均是有理数？
42．k为何值时，方程k2x2＋2（k＋2）x＋1=0：（1）有两不等的实根；（2）有两相等的实根；（3）没有实数根．
43．已知方程（b-x）2-4（a-x）（c-x）=0（a，b，c为实数）．求证
（1）此方程必有实根；（2）若此方程有两个相等的实数根，则a= b= c．
44．若方程（c2＋a2）x＋2（b2-c2）x＋c2-b2=0有两个相等的实数根，且a，b，c是三角形ABC的三边，证明此三角形是等腰三角形．
1．2 一元二次方程的根的判别式
（一）填空
1．2 2．1 3．有两个不相等的 4．6，-4
6．16 7．4，1 8．两个有理数根 9．m=0
11．m，n为不等于零的任意实数 12．b2-c2+a2=0 13．任意实数
14．k≤1 15．无实数 16．也有相等的
（二）选择
17．B 18．A 19．A 20．B 21．C
22．A 23．B 24．A 25．B 26．D 29．B 30．C
（三）综合练习
已知方程有两个相等的实根，得Δ=0，
即得4m（a2-c2+b2）=0．由于m＞0，所以a2-c2+b2=0，即a2+b2=c2．32．提示：Δ＝（a2+b2-c2）2-4a2b2=（a2+b2-c2+2ab）（a2+b2-c2-2ab）=[（a+b）2-c2][（a-b）2-c2]=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（a-b-c）．因为a，b，c是三角形的三条边，所以a+b+c＞0，a+b-c＞0，a-b+c＞0，a-b-c＜0，因此Δ＜0，所以方程无解．
33．当a=1，b=-0.5时，方程有实数根．提示：由方程有实数根得Δ=[2（1+a）］2-4（3a2+4ab+4b2+2）=-4[（1-a）2+（a+2b）2]≥0．又因为（1-a）2≥0，（a+2b）2≥0，故而有（1-a）2+（a+2b）2≥0，所以只有-4[（1-a）2+
（a+2b）2]=0，即（1-a）2+（a+2b）2=0．从而得出1-a=0，所以a=1；a+2b=0，解出b=-0.5．
34．2≤b≤6．提示：方法一Δ=（a-8）2-4（12-2b）≥0，即a2+4a（b-4）+16≥0．因为对于任意a值上式均大于等于零，且二次项系数大于0．所以关于a的二次三项式中的判别式应小于等于零，即[4（b-4）]2-4×16≤0，即有b2-8b+12≤0，解之2≤b≤6．
方法二Δ=（a-8）2-4（12-2b）=a2+4a（b-4）+16
={a2+2a[2（b-4）]+[2（b-4）]2}-[2（b-4）]2+16
=[a+2（b-4）]2-4[（b-4）2-4]≥0．
因此只能（b-4）2-4≤0，由此得-2≤b-4≤2，所以2≤b≤6．
35．m的最大整数值为零．提示：由m-1≠0且Δ=（2m）2-4
k的最大整数值为2．
40．-4．
41．b=1．提示：Δ=（a+1）2+8（3a2-4a+b）=25a2-30a+8b+1．由于25a2-30a+8b+1应为a的完全平方式．所以（-30）2-4×25×（8b+1）=0，所以b=1．
42．（1）-1＜k＜0或k＞0；（2）k=-1；（3）k＜-1．
43．（1）（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0，即Δ≥0；（2）a-b=0，b-c=0，c-a=0，则a=b=c．
44．提示：Δ=[2（b2-c2）]2-4（c2+a2）（c2-b2）=4（b2-c2）（b2-c2+a2+c2）=4（b+c）（b-c）（b2+a2）．由方程有两个相等实根．故而Δ= 0，即4（b+c）（b-c）（b2+a2）=0．因为a，b，c是三角形的三边，所以b+c≠0，a2+b2≠0，只有b-c=0，解出b=c．。