2018年秋苏科版九年级上《2.6正多边形和圆》同步练习含答案
苏科版初中数学九年级上册《2.6 正多边形与圆》同步练习卷
苏科新版九年级上学期《2.6 正多边形与圆》同步练习卷一．选择题（共28小题）1．正六边形的半径是6，则这个正六边形的面积为（）A．24B．54C．9D．542．正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（）A．10B．8C．6D．53．边长为4的正方形的外接圆与内切圆组成的圆环的面积为（）A．2πB．4πC．8πD．16π4．已知⊙O是正△ABC的内切圆，且⊙O的内接正六边形的周长为24，则△ABC 的周长为（）A．24B．36C．12D．245．小雷在⊙O中作了两条互相垂直的直径AC，BD，然后顺次连接AB，BC，CD，DA组成了一个正多边形，若⊙O的半径为6，则该正多边形的边心距为（）A．3B．6C．6D．126．如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则＝（）A．3B．4C．5D．67．一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（）A．5：4B．5：2C．：2D．：8．正方形ABCD与正八边形EFGHKLMN的边长相等，初始如图所示，将正方形绕点F顺时针旋转使得BC与FG重合，再将正方形绕点G顺时针旋转使得CD与GH重合，…，按这样的方式将正方形ABCD旋转2013次后，正方形ABCD中与正八边形EFGHKLMN重合的边是（）A．AB B．BC C．CD D．DA9．已知正六边形的周长是12a，则该正六边形的半径是（）A．6a B．4a C．2a D．10．周长相等的正三角形、正方形、正六边形、圆中，面积最大的是（）A．正三角形B．正方形C．正六边形D．圆11．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则下列对∠ABP度数的说法正确的是（）A．45°B．大于45°C．60°D．大于60°12．一个边长为1的正方形的边心距和中心角分别是（）A．B．C．D．13．同圆的内接正三角形与正六边形的边长之比为（）A．1：2B．1：1C．：1D．2：114．正六边形的边心距与边长之比为（）A．：3B．：2C．1：2D．：215．如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O（使该角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是（）A．4B．5C．6D．716．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论正确的是（）①弦AB的长等于圆内接正六边形的边长；②弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长；③弧AC＝弧BC；④∠BAC＝30°．A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③17．已知正六边形的边心距为，则它的周长是（）A．6B．12C．D．18．一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是（）A．2B．C．1D．19．一正多边形的一个外角为90°，则它的边心距与半径之比为（）A．1：2B．C．D．1：320．边长为a的正六边形的内切圆的半径为（）A．2a B．a C．D．21．小华想做一个边长是10cm的正六边形图案（如图），那么它的半径是（）A．5cm B．10cm C．5cm D．10cm22．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（）A．cm B．9cm C．cm D．cm23．边长为a的正六边形的面积等于（）A．a2B．a2C．a2D．a224．已知正三角形的边长为6，则这个正三角形的外接圆半径是（）A．B．2C．3D．25．半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（）A．1：：B．：：1C．3：2：1D．1：2：326．有一边长为4的正n边形，它的一个内角为120°，则其外接圆的半径为（）A．B．4C．D．227．同圆的内接正方形和外切正方形的周长之比为（）A．：1B．2：1C．1：2D．1：28．正五边形ABCDE内有一个正三角形PQR，QR与AB重合，将△PQR在五边形内沿着它的边AB、BC、CD、DE、EA、AB、…连续地翻转n次，使点P、Q、R同时回到原来的起始位置，那么n的最小值为（）A．5B．9C．10D．15二．填空题（共15小题）29．若正n边形的中心角等于24°，则这个正多边形的边数为．30．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB的度数为．31．如图，⊙O中，直径为MN，正方形ABCD四个顶点分别在半径OM、OP 以及⊙O上，并且∠POM＝45°，若AB＝1，则该圆的半径为．32．两个正五边形的周长分别为15和20，则它们半径的比为．33．一个边长为4cm的正方形的中心角是°，边心距是cm．34．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，重复上述过程，经过10次后，所得到的正六边形是原正六边形边长的倍．35．若正n边形的一个内角等于它的中心角的1.5倍，则n＝．36．有一边长为2cm的正六边形，若要剪一圆形纸片完全盖住它，则圆纸片的最小半径是．37．如图，用一块直径为a的圆桌布平铺在对角线长为a的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为．38．一个正多边形的中心角等于45°，它的边数是．39．正六边形ABCDEF的边长为2cm，点P为这个正六边形内部的一个动点，则点P到这个正六边形各边的距离之和为cm．40．如图是对称中心为点O的正六边形．如果用一个含30°角的直角三角板的角，借助点O（使角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能的值是．41．已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，图中阴影部分的面积为，则⊙O 的半径为．42．已知正六边形的边长为a，则它的边心距等于．43．如图，以正方形ABCD的边AD、BC、CD为直径画半圆，阴影部分的面积记为m，空白部分的面积记为n，则m与n的关系为．三．解答题（共2小题）44．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：P A＝PB+PC；（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：；（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究P A、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．45．如图1、2、3、…、n，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON．（1）求图1中∠MON的度数；（2）图2中∠MON的度数是，图3中∠MON的度数是；（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）．苏科新版九年级上学期《2.6 正多边形与圆》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共28小题）1．正六边形的半径是6，则这个正六边形的面积为（）A．24B．54C．9D．54【分析】边长为6的正六边形可以分成六个边长为6的正三角形，计算出正六边形的面积即可．【解答】解：连接正六变形的中心O和两个顶点D、E，得到△ODE，因为∠DOE＝360°×＝60°，又因为OD＝OE，所以∠ODE＝∠OED＝（180°﹣60°）÷2＝60°，则三角形ODE为正三角形，∴OD＝OE＝DE＝6，＝OD•OE•sin60°＝×6×6×＝9．∴S△ODE正六边形的面积为6×9＝54．故选：D．【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，不仅要熟悉正六边形的性质，还要熟悉正三角形的面积公式．2．正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（）A．10B．8C．6D．5【分析】设这个正多边形的边数是n，再根据正多边形的中心角是36°求出n的值即可．【解答】解：设这个正多边形的边数是n，∵正多边形的中心角是36°，∴＝36°，解得n＝10．故选：A．【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角是解答此题的关键．3．边长为4的正方形的外接圆与内切圆组成的圆环的面积为（）A．2πB．4πC．8πD．16π【分析】先根据题意画出正方形的外接圆与内切圆，由正方形的边长求出OD、OA的长，由圆的面积公式分别求出两圆的面积，再求出其差即可．【解答】解：如图所示，∵正方形的边长为4，∴AD＝OD＝2，∴OA＝＝＝2，∴此正方形外接圆的面积为：S1＝π（OA）2＝π（2）2＝8π，此正方形内切圆的面积为：S2＝π（OD）2＝π•22＝4π，∴此圆环的面积为：S1﹣S2＝8π﹣4π＝4π．故选：B．【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，再根据正方形的性质及勾股定理即可解答．4．已知⊙O是正△ABC的内切圆，且⊙O的内接正六边形的周长为24，则△ABC 的周长为（）A．24B．36C．12D．24【分析】根据题意画出图形，连接OD，OE，OB，OF，根据正六边形的性质得出其边长，再根据等边三角形的性质即可得出结论．【解答】解：如图所示，连接OD，OE，OB，OF，∵⊙O的内接正六边形的周长为24，∴DE＝＝4．∵△ODE是等边三角形，∴OD＝OE＝4，⊙O的半径等于4．∵△ABC是等边三角形，∴∠OBF＝30°，∴BF＝＝＝4，∴BC＝2BF＝8，∴△ABC的周长＝3BC＝24．故选：D．【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．5．小雷在⊙O中作了两条互相垂直的直径AC，BD，然后顺次连接AB，BC，CD，DA组成了一个正多边形，若⊙O的半径为6，则该正多边形的边心距为（）A．3B．6C．6D．12【分析】根据题意画出图形，由正方形的判定定理可得出四边形ABCD是正方形，根据勾股定理求出AB的长，进而可得出结论．【解答】解：如图所示，∵AC⊥BD，且AC，BD是⊙O的直径，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝∠ABC，∴四边形ABCD是正方形．∵⊙O的半径为6，∴OA＝OB＝6，∴AB＝＝6，∴OD＝AB＝3．故选：A．【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知正方形的性质是解答此题的关键．6．如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则＝（）A．3B．4C．5D．6【分析】先求得两个三角形的面积，再求出正六边形的面积，求比值即可．【解答】解：如图，∵三角形的斜边长为a，∴两条直角边长为a，a，＝a•a＝a2，∴S空白∵AB＝a，∴OC＝a，＝6×a•a＝a2，∴S正六边形∴S阴影＝S正六边形﹣S空白＝a2﹣a2＝a2，∴＝＝5，法二：因为是正六边形，所以△OAB是边长为a的等边三角形，即两个空白三角形面积为S△OAB，即＝5故选：C．【点评】本题考查了正多边形和圆，正六边形的边长等于半径，面积可以分成六个等边三角形的面积来计算．7．一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（）A．5：4B．5：2C．：2D．：【分析】先画出图形，分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可．【解答】解：如图1，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB＝∠ABO＝90°，AB＝BC＝CD＝1，∵∠AOB＝45°，∴OB＝AB＝1，由勾股定理得：OD＝＝，∴扇形的面积是＝π；如图2，连接MB、MC，∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，∴∠BMC＝90°，MB＝MC，∴∠MCB＝∠MBC＝45°，∵BC＝1，∴MC＝MB＝，∴⊙M的面积是π×（）2＝π，∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷（π）＝．故选：A．【点评】本题考查了正方形性质，圆内接四边形性质，扇形的面积公式的应用，解此题的关键是求出扇形和圆的面积，题目比较好，难度适中．8．正方形ABCD与正八边形EFGHKLMN的边长相等，初始如图所示，将正方形绕点F顺时针旋转使得BC与FG重合，再将正方形绕点G顺时针旋转使得CD与GH重合，…，按这样的方式将正方形ABCD旋转2013次后，正方形ABCD中与正八边形EFGHKLMN重合的边是（）A．AB B．BC C．CD D．DA【分析】根据正方形和正八边形的性质得出旋转规律，进而得出正方形ABCD 中与正八边形EFGHKLMN重合的边．【解答】解：由题意可得出：正方形每旋转8次则回到原来位置，∵2013÷8＝251…5，∴正方形旋转251周后，再旋转5次，即正方形旋转4次一周后，BC与ML重合．故选：B．【点评】此题主要考查了正多边形的性质，得出旋转规律进而求出是解题关键．9．已知正六边形的周长是12a，则该正六边形的半径是（）A．6a B．4a C．2a D．【分析】由于正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，而三角形的边长就是正六边形的半径，由此即可求解．【解答】解：∵正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，而三角形的边长就是正六边形的半径，又∵正六边形的周长为12a，∴正六边形边长为2a，∴正六边形的半径等于2a．故选：C．【点评】此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题，解题的关键是利用了等边三角形的性质及三角形的面积公式．10．周长相等的正三角形、正方形、正六边形、圆中，面积最大的是（）A．正三角形B．正方形C．正六边形D．圆【分析】要比较周长相等的正三角形、正方形、正六边形、圆中，面积最大的是什么图形，需分别计算出它们的面积；而正三角形、正方形、正六边形的面积都可以用其边长的代数式表示，圆的面积可以用半径的代数式表示，所以可设周长为L；用含L的代数式分别表示正三角形、正方形、正六边形的边长、圆的半径，从而可表示出正三角形、正方形、正六边形、圆的面积．【解答】解：设周长为L，根据题意得，正三角形、正方形、正六边形的边长分别为：L，L，L，圆的半径为L，则正三角形、正方形、正六边形、圆的面积分别为：×L L＝L2，＝L2，＝L2，＝L2．所以，面积最大的是圆．故选：D．【点评】要熟练掌握正三角形、正方形、正六边形、圆的周长和面积公式．11．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则下列对∠ABP度数的说法正确的是（）A．45°B．大于45°C．60°D．大于60°【分析】连接OD，OA，OP，再根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：连接OD，OA，OP，∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD＝90°，∴所对的圆周角为45°．∵＞，∴∠ABP＞45°．故选：B．【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的性质是解答此题的关键．12．一个边长为1的正方形的边心距和中心角分别是（）A．B．C．D．【分析】运用正方形的性质，以及与外接圆的关系，可分别求出中心角，边心距．【解答】解：∵正方形的边长为1，由中心角只有四个可得出360°÷4＝90°，∴中心角是：90°，∴边心距是边长的一半，为cm，故选：A．【点评】此题主要考查了正方形的性质与正方形与它的外接圆的关系，题目比较典型．13．同圆的内接正三角形与正六边形的边长之比为（）A．1：2B．1：1C．：1D．2：1【分析】根据题意画出图形，设出圆的半径，再由正多边形及直角三角形的性质求解即可．【解答】解：设圆的半径为R，如图（一），连接OB，过O作OD⊥BC于D，则∠OBC＝30°，BD＝OB•cos30°＝R，故BC＝2BD＝R；如图（二），连接OA、OB，过O作OG⊥AB，则△OAB是等边三角形，故AG＝OA•cos60°＝R，AB＝2AG＝R，∴圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为R：R＝：1．故选：C．【点评】本题考查的是圆内接正三角形及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键．14．正六边形的边心距与边长之比为（）A．：3B．：2C．1：2D．：2【分析】首先根据题意画出图形，然后设六边形的边长是a，由勾股定理即可求得OC的长，继而求得答案．【解答】解：如图：设六边形的边长是a，则半径长也是a；经过正六边形的中心O作边AB的垂线OC，则AC＝AB＝a，∴OC＝＝a，∴正六边形的边心距与边长之比为：a：a＝：2．故选：B．【点评】此题考查了正多边形和圆的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．15．如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O（使该角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可，即让周角除以30的倍数就可以解决问题．【解答】解：360°÷30°＝12；360°÷60°＝6；360°÷90°＝4；360°÷120°＝3；360°÷180°＝2；因此n的所有可能的值共5种情况，故选：B．【点评】本题考查了正多边形和圆，只需让周角除以30°的倍数即可．16．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论正确的是（）①弦AB的长等于圆内接正六边形的边长；②弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长；③弧AC＝弧BC；④∠BAC＝30°．A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③【分析】首先由垂径定理确定③正确，再由在⊙O中，OA＝AB，确定△OAB是等边三角形，即可得到∠AOB＝60°，得到①正确，又由垂径定理，求得∠AOC＝30°，得到②正确，根据同弧所对圆周角等于其对圆心角的一半，即可求得∠BAC＝15°，则问题得解．【解答】解：∵在⊙O中，OC⊥AB，∴弧AC＝弧BC，故③正确；∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，∵OA＝OB，OA＝AB，∴OA＝OB＝AB，∴∠AOB＝60°，∴弦AB的长等于圆内接正六边形的边长，故①正确；∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝30°，∴弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长，故②正确；∴∠BAC＝∠BOC＝15°，故④错误．∴结论正确的有①②③．故选：D．【点评】此题考查了圆的内接多边形与垂径定理的知识．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．17．已知正六边形的边心距为，则它的周长是（）A．6B．12C．D．【分析】设正六边形的中心是O，一边是AB，过O作OG⊥AB与G，在直角△OAG中，根据三角函数即可求得边长AB，从而求出周长．【解答】解：如图，在Rt△AOG中，OG＝，∠AOG＝30°，∴cos30°＝，∴OA＝OG÷cos 30°＝2．这个正六边形的周长＝12．故选：B．【点评】此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题．解题的关键是正确的构造直角三角形．18．一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是（）A．2B．C．1D．【分析】先判断出多边形的边数，再求多边形的半径．【解答】解：设多边形的边数为n．因为正多边形内角和为（n﹣2）•180°，正多边形外角和为360°，根据题意得：（n﹣2）•180°＝360°×2，n﹣2＝2×2，n＝6．故正多边形为6边形．边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，所以正多边形的半径等于2，故选：A．【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，要注意利用特殊角的正多边形，以简化计算．19．一正多边形的一个外角为90°，则它的边心距与半径之比为（）A．1：2B．C．D．1：3【分析】利用多边形的外角和是360度，判断该多边形的形状，就很容易求出它的边心距与半径之比了．【解答】解：多边形的外角和是360度，正多边形的一个外角为90°，因而正边形的边数是360÷90＝4，因而这个多边形是正方形，因而它的边心距与半径之比为1：．故选B．【点评】根据多边形的外角和定理求多边形的边数是解决本题的关键．20．边长为a的正六边形的内切圆的半径为（）A．2a B．a C．D．【分析】解答本题主要分析出正多边形的内切圆的半径，即为每个边长为a的正三角形的高，从而构造直角三角形即可解．【解答】解：边长为a的正六边形可以分成六个边长为a的正三角形，而正多边形的内切圆的半径即为每个边长为a的正三角形的高，所以正多边形的内切圆的半径等于．故选C．【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算，误选B．21．小华想做一个边长是10cm的正六边形图案（如图），那么它的半径是（）A．5cm B．10cm C．5cm D．10cm【分析】根据正六边形的边长等于它的外接圆的半径，所以可直接得出答案．【解答】解：根据正六边形的边长等于它的外接圆的半径，它的半径是10cm．故选：B．【点评】此题主要考查了正六边形与它的外接圆的性质，这个问题经常在中考中出现．22．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（）A．cm B．9cm C．cm D．cm【分析】已知小正方形的面积即可求得边长，在直角△ACE中，利用勾股定理即可求解．【解答】解：如图，圆心为A，设大正方形的边长为2x，圆的半径为R，根据对称性可知AE＝BC＝x，CE＝2x；∵小正方形的面积为16cm2，∴小正方形的边长EF＝DF＝4，由勾股定理得，R2＝AE2+CE2＝AF2+DF2，即x2+4x2＝（x+4）2+42，解得，x＝4或﹣2（舍去），∴R＝cm．故选：C．【点评】本题利用了勾股定理，正方形的性质求解．23．边长为a的正六边形的面积等于（）A．a2B．a2C．a2D．a2【分析】经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C；连接OA，则在直角△OAC中，∠O＝，OC是边心距，OA即半径．再根据三角函数即可求解．【解答】解：边长为a的正六边形的面积＝6×边长为a的等边三角形的面积＝6××a×（a×sin60°）＝a2．故选：C．【点评】解决本题的关键是求得正六边形的面积所分割的等边三角形的面积．24．已知正三角形的边长为6，则这个正三角形的外接圆半径是（）A．B．2C．3D．【分析】先根据题意画出图形，再根据正三角形的特点求出∠BOC的度数，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质解答即可．【解答】解：如图所示，连接OB，OC，过O作OD⊥BC；∵△ABC是正三角形，∴∠BOC＝＝120°，∵OB＝OC，∴∠BOD＝＝60°，∴∠OBD＝30°，OB＝＝＝2．故选：B．【点评】解决本题的关键是构造与外接圆半径相关的直角三角形．25．半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（）A．1：：B．：：1C．3：2：1D．1：2：3【分析】从中心向边作垂线，构建直角三角形，通过解直角三角形可得．【解答】解：设圆的半径是r，则多边形的半径是r，则内接正三角形的边长是2r sin60°＝r，内接正方形的边长是2r sin45°＝r，正六边形的边长是r，因而半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为：：1．故选：B．【点评】正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．26．有一边长为4的正n边形，它的一个内角为120°，则其外接圆的半径为（）A．B．4C．D．2【分析】根据正n边形的特点，构造直角三角形，利用三角函数解决．【解答】解：经过正n边形的中心O作边AB的垂线OC，则∠B＝60度，∠O＝30度，在直角△OBC中，根据三角函数得到OB＝4．故选：B．【点评】正多边形的计算一般要经过中心作边的垂线，并连接中心与一个端点构造直角三角形，把正多边形的计算转化为解直角三角形．27．同圆的内接正方形和外切正方形的周长之比为（）A．：1B．2：1C．1：2D．1：【分析】根据题意画出图形，再设圆的半径为R，分别用R表示出圆的内接正方形和外切正方形的周长，再求出其比值即可．【解答】解：如图所示，设圆的半径OC＝R，则OD＝CD＝，∴圆内接正方形的边长为R，∴圆内接正方形的周长为4R；∵圆的半径为R，∴OB＝AB＝R，∴圆外切正方形的边长为2R，其周长为8R，∴同圆的内接正方形的周长：外切正方形的周长＝4R：8R＝1：．故选：D．【点评】本题考查的是正方形及等腰直角三角形的性质，根据题意画出图形是解答此题的关键．28．正五边形ABCDE内有一个正三角形PQR，QR与AB重合，将△PQR在五边形内沿着它的边AB、BC、CD、DE、EA、AB、…连续地翻转n次，使点P、Q、R同时回到原来的起始位置，那么n的最小值为（）A．5B．9C．10D．15【分析】先找出正三角形PQR翻折一周时所落的点，找出规律即可求出n的值．【解答】解：如图所示，当正三角形PQR沿AB、BC、CD、DE、EA、AB、…翻转第一圈时所落的大致位置是C、E、B，当翻第二圈时A落的大致位置是如图（二），D、A，故此三角形翻转两圈时点P、Q、R同时回到原来的起始位置，即n＝15．故选：D．【点评】本题考查的是正多边形和圆，解答此题的关键是画出图形，分别画出三角形翻转时一个点所落的大致位置，找出三角形翻转回起始点所翻的次数即可．二．填空题（共15小题）29．若正n边形的中心角等于24°，则这个正多边形的边数为15．【分析】根据正多边形的中心角和为360°作答．【解答】解：∵多边形的中心角和＝360°，∴它的边数是360°÷24°＝15．故答案为：15．【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角和为360°是解答此题的关键．30．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB的度数为45°．【分析】由题意知，⊙O为大正方形的内接圆，又A，B两点为⊙O的上的两点，且∠AOB＝90°，根据圆心角等于2倍的圆周角，即可得出∠APB的度数．【解答】解：由题意知，∠AOB＝90°，且A，B，P均位于⊙O的上，所以有∠APB＝∠AOB＝45°．【点评】此题主要考查学生对圆心角和圆周角等知识点的掌握和灵活运用能力．31．如图，⊙O中，直径为MN，正方形ABCD四个顶点分别在半径OM、OP 以及⊙O上，并且∠POM＝45°，若AB＝1，则该圆的半径为．【分析】连接OA，构造直角三角形，求出AB和BO的长，然后利用勾股定理即可求出圆的半径．【解答】解：因为ABCD为正方形，所以DC＝AB，∠DCO＝∠DCB＝90°，又因为∠DOC＝45°，所以CO＝DC＝1．连接AO，则三角形ABO为直角三角形，于是AO＝＝＝．【点评】此题将正方形、圆、直角三角形巧妙结合在一起，考查了同学们综合运用知识的能力．作出辅助线AO，以便利用勾股定理是解题的关键．32．两个正五边形的周长分别为15和20，则它们半径的比为3：4．【分析】根据两个正五边形相似且相似比等于半径的比，也等于周长的比．【解答】解：∵两个周长分别为15和20正五边形相似，∴相似比为：3：4，∵相似正五边形的半径的比等于相似比，∴它们半径的比为3：4，故答案为：3：4．【点评】本题考查了正多边形与圆及相似多边形的性质，能判定两个正五边形是相似多边形是解决本题的关键．33．一个边长为4cm的正方形的中心角是90°，边心距是2cm．【分析】运用正方形的性质，以及与外接圆的关系，可分别求出中心角，边心距．【解答】解：∵正方形的边长为4，由中心角只有四个可得出＝90°，∴中心角是：90°，∴边心距是边长的一半，为2cm，故答案为90，2【点评】此题主要考查了正方形的性质与正方形与它的外接圆的关系，题目比较典型．34．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，重复上述过程，经过10次后，所得到的正六边形是原正六边形边长的243倍．。
【九年级数学试题】2018年九年级上2.6正多边形与圆同步练习2(苏科版有答案)
2018年九年级上2.6正多边形与圆同步练习2（苏科版有答
案）
26 正多边形与圆
1．A 已知正六边形ABcD EF的半径为2c，求这个正六边形的边长、周长和面积
2．B 正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是 ( ) 3．B 如图所示，正五边形的对角线Ac和BE相交于点求证E=AB 4．A 已知正六边形边长为a，求它的内切圆的面积
5．B 如图，△AFG中，AF=AG，∠FAG=108°，点c、D在FG上，且cF=cA，DG=DA，过点A、c、D的⊙分别交AF、AG于点B、E 求证五边形ABcDE是正五边形
6．B 已知正方形的边长为2c ，求它的外接圆的外切正三角形的边长和面积
7．B 已知如图，⊙的半径为R，正方形ABcD，A′B′c′D′ 分别是⊙的内接正方形和外切正方形．求二者的边长比AB ∶A′B′ 和面积比S内∶S外．
8．B 已知如图，⊙ 的半径为R，求⊙的内接正六边形、⊙的外切正六边形的边长比AB∶A′B′ 和面积比S内∶S外．
9．c 如图，⊙1与⊙ 2相交于A，B两点，圆心1在⊙ 2上，过B点作两圆的割线cD，射线D1交Ac于E 点求证DE⊥Ac。
苏科版九年级数学上册《正多边形与圆》同步培优训练卷
苏科版九年级数学上册2.6正多边形与圆（1）同步培优训练卷（有答案）一、填空题1、各边_________、各角也_______的多边形叫做正多边；一般地，用量角器把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形．正多边形的外接圆的________叫做正多边形的中心，外接圆的________叫做正多边形的半径2、正十二边形的每一个外角为____ °，每一个内角是______°，该图形绕其中心至少旋转_____°和本身重合.3、半径为r圆内接正方形的边长为________，面积为_________．4、⊙O的半径等于3，则⊙O的内接正方形的边长等于_______．5、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．6、如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA=________度．(6)(7) (8)7、如图是7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是．8、如图，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，P是CD⌒上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是．9、如图，等边三角形ABC的边长为a，则其内切圆的内接正方形DEFG的面积为．(9)(10) (14)10、将一块正五边形纸片（如图①）做成一个底面仍为正五边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，如图②），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图1中的四边形ABCD，则∠BAD的度数是．二、选择题11、下列说法中正确的是( )A.平行四边形是正多边形B. 矩形是正四边形C. 菱形是正四边形D. 正方形是正四边形12、已知正n边形的一个外角与一个内角的比为1﹕3,则n等于( )A. 4B. 6C. 8D. 1213、如果一个正多边形绕它的中心旋转90°就和原来的图形重合,那么这个正多边形是( )A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形13、半径为8cm的圆的内接正三角形的边长为（）A．8 cm B．4 cm C．83cm D．43cm14、如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（）A.弦AB的长等于圆内接正六边形的边长B.∠OAC=90°C.弧AC=弧BCD.弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长15、如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=（）A．60°B．65°C．72°D．75°最新WORD 可修改欢迎下载最新 WORD 可修改 欢迎下载 16、如图，在⊙O 中，OA=AB ，OC ⊥AB ，则下列结论错误的是（ ）A ．弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长 B ．弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长C ．AC ⌒＝BC ⌒D ．∠BAC=30°(16)(17)17、已知正六边形的边心距为3，则该正六边形的边长是（ ） A ．3B ．2C ．3D ．2318、已知⊙O 的内接多边形的周长为3，⊙O 的外切多边形的周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1719、如图，要拧开一个边长为a =6 mm 的正六边形螺帽，扳手张开的开口b 至少为（ ）A ．62mmB ．12 mmC ．63mmD ．43mm20、如果正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）A ．2B ．3C ．3D ．23 三、解答题21、如图，正六边形ABCDEF 的边长为5，求对角线AC 、AD 的长．BA CF E D22、如图，在正八边形ABCDEFGH 中，四边形BCFG 的面积为20cm 2，求正八边形的面积． 23、如图，在正五边形ABCDE 中，点F 、G 分别是BC 、CD 的中点，AF 与BG 相交于H ．（1）求证：△ABF ≌△BCG ；（2）求∠AHG 的度数．24、（1）如图1，圆内接△ABC 中，AB=BC=CA ，OD 、OE 为⊙O 的半径，OD ⊥BC 于点F ，OE ⊥AC 于点G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是△ABC 的面积的三分之一。
新苏科版数学九年级上册同步练习2.6正多边形与圆
2.6 正多边形与圆1.如图2- 6— 1 , O O 是正五边形 ABCDE 的外接圆，则/ AOB 的度数是（）A . 72°B . 60°C . 54°D . 36图 2 — 6 — 1 图 2 — 6 — 2这个正六边形的边心距 OM 的长为 ___________3.如图2— 6— 3,在正五边形 ABCDE 中，点F , G 分别是 BC , CD 的中点.求证:△ ABF ◎△ BCG.U 知迟要点型练知识点1正多边形的相关概念S.2. ［教材例题变式］如图2— 6 — 2,正六边形 ABCDEF 内接于O O , O O 的半径为6,则图2—6—3知识点2画正多边形 4.画正六边形.规律方法综合练 提升能力5. [2018南京秦淮区二模]如图2 — 6- 4, CF , CH 是正八边形 ABCDEFGH 的对角线， 则/ HCF =° .6. [2018贵阳]如图2— 6 — 5,点M, N 分别是正五边形 ABCDE 的两边AB , BC 上的点， 且AM = BN ，点O 是正五边形的中心，则/ MON 的度数为 __________________ .DE& V Ca 拓厂探究创新练7.如图2 — 6-6①②③，等边三角形 ABC 、正方形ABCD 、正五边形ABCDE 分别是O O 的内接三角形、内接四边形、内接五边形 ，点M , N 分别从点B , C开始，以相同的速度在圆周上逆时针运动，AM ，BN 相交于点P.(1)求图①中/ APB 的度数.⑵图②中，/ APB 的度数是 ,图③中/ APB 的度数是 N①EN③⑶根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正n边形的情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由.教师详解详析1 . A ［解析］TO O是正五边形ABCDE的外接圆，•••/ AOB = 360 ° - 5= 72° .2. 3 33. 证明：•••五边形ABCDE是正五边形，AB = BC= CD，/ ABC=Z BCD.••• F , G分别是BC, CD的中点，1 1•BF = 2BC, CG=2CD,•BF = CG.在厶ABF和厶BCG中，j-AB = BC,/ ABF =Z BCG,BF = CG,•△ ABF ◎△ BCG.4. ［解析］画正六边形的途径有两种，一种是用量角器将圆六等分；另一种是用圆规和直尺将圆六等分.解：（方法一）用量角器将圆六等分（略）.（方法二）用直尺和圆规将圆六等分.作法：1•在O O中任意作一条直径AD ;2. 分别以点A, D为圆心，O O的半径为半径画弧，与O O相交于点B, F和点C, E;3. 依次连接AB, BC, CD , DE, EF , FA,六边形ABCDEF就是所求作的正六边形.5. 45,•••/ AOB = Z BOC =360— = 725•••/ OAB = Z OBC.在厶AOM 和厶BON 中, 「OA = OB , 丿 / OAM = Z OBN , AM = BN ,• △ AOM ◎△ BON , AOM =Z BON , •••/ MON = Z AOB = 72° .7.［解析］根据对顶角相等和三角形内角和外角的关系解答即可.解：(1) •••点M , N 分别从点B , C 开始以相同的速度在圆周上逆时针运动，•••/ BAM = Z CBN.又•••/ APN =Z BPM ,•••/ APN = Z BPM = Z ABN + Z BAM =Z ABN + Z CBN = Z ABC = 60° , •••/ APB = 120° .⑵90 ° 72°(3)能推广到一般的正 n 边形的情况.问题：正n 边形ABCD …内接于O O ,点M , N 分别从点B , C 开始，以相同的速度在圆 周上逆时针运动，AM , BN 相交于点P ,求/ APB 的度数.结论：/ APB 的度数为所在正多边形的外角度数 ，即/ APB =3606. 72［解析］连接OA , OB , OC.•••五边形ABCDE 是正五边形 ,OA = OB , OB = OC ,D。
苏科版九年级数学上册同步练习：2.6正多边形与圆
2.6 正多边形与圆一、选择题1．已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为 ( )A ．1 B.3 C ．2 D ．2 32．如图25－K －1，等边三角形ABC 内接于⊙O .若等边三角形的边长为4 3cm ，则⊙O 的半径为( )图25－K －1A ．6 cmB ．4 cmC ．2 cmD ．2 3cm 3．已知正方形的外接圆的半径是R ，则正方形的周长是( )A.2R B ．2R C ．4 2R D ．8R4．如图25－K －2，正六边形螺帽的边长是2 cm ，这个扳手的开口a 的值应是( )图25－K －2A ．2 3cm B.3cm C.2 33cm D ．1 cm5．如图25－K －3，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为 ( )图25－K －3A ．10B ．9C ．8D ．7 二、填空题6．正十边形的中心角等于________°.7．如图25－K －4，正六边形ABCDEF 内接于半径为4的圆，则B ，E 两点间的距离为________．图25－K －48．如图25－K －5，AB 为⊙O 的内接正多边形的一边，已知 ∠OAB ＝70°，则这个正多边形的内角和为__________.图25－K－59．如图25－K－6，AB，AC分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，而BC恰好是同圆一个内接正n边形的一边，则n＝________．图25－K－610．如图25－K－7，将正六边形ABCDEF放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合．若点A的坐标为(－1，0)，则点C的坐标为__________．图25－K－711．如图25－K－8，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上．若AB＝4，则CN＝________．图25－K－8 图25－K－912．如图25－K－9，正三角形EFG内接于⊙O，其边长为2 6，则⊙O的内接正方形ABCD 的边长为________．三、解答题13．作图与证明：如图25－K－10，已知⊙O和⊙O上的一点A，请完成下列任务：(1)作⊙O的内接正六边形ABCDEF；(2)连接BF，CE，判断四边形BCEF的形状，并加以证明.图25－K－1014. 如图25－K－11，⊙O的半径为4 cm，六边形ABCDEF是其内接正六边形，点P，Q 分别从点A，D同时出发，以1 cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ.设运动时间为t s.(1)求证：四边形PEQB为平行四边形．(2)填空：①当t＝________s时，四边形PBQE为菱形；②当t＝________s时，四边形PBQE为矩形．图25－K－11 15．如图25－K－12，在⊙O中，如果作两条互相垂直的直径AB，CD，那么弦AC是⊙O 的内接正方形的一边；如果以点A为圆心，以OA为半径画弧，与⊙O相交于点E，F，那么弦AE，CE，EF分别是⊙O的内接正六边形、正十二边形、正三角形的一边，为什么？图25－K－1216 如图25－K－13，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M，N分别从点B，C开始，同时以相同的速度在⊙O上逆时针运动，AM，BN相交于点P.图25－K－13(1)求图①中∠APB的度数．(2)图②中∠APB的度数是________，图③中∠APB的度数是________．(3)根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正n边形？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．答案1． B . 2．B 3.C 4． A 5． D . 6．36 7．8.8．1260°. 9．12.10． ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.11． 6－2 3.12． 4.13．解：(1)如图①，首先作直径AD ，然后分别以A ，D 为圆心，OA 长为半径画弧，分别交⊙O 于点B ，F ，C ，E ，连接AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，AF ，则正六边形ABCDEF 即为所求．(2)四边形BCEF 证明：如图②，连接OE.∵六边形ABCDEF 是正六边形， ∴AB ＝AF ＝DE ＝DC ＝FE ＝BC ，∴AB ︵＝AF ︵＝DE ︵＝DC ︵，∴BF ︵＝CE ︵，∴BF ＝CE ， ∴四边形BCEF 是平行四边形． ∵∠EOD ＝360°6＝60°，OE ＝OD ，∴△EOD 是等边三角形，∴∠OED ＝∠ODE ＝60°， ∴∠EDC ＝∠FED ＝2∠ODE ＝120°. ∵DE ＝DC ，∴∠DEC ＝∠DCE ＝30°， ∴∠CEF ＝∠FED －∠DEC ＝90°， ∴四边形BCEF 是矩形．14．解：(1)证明：∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，∴AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝FA ，∠A ＝∠ABC ＝∠C ＝∠D ＝∠DEF ＝∠F.∵点P ，Q 分别从点A ，D 同时出发，以1 cm /s 的速度沿AF ，DC 向终点F ，C 运动， ∴AP ＝DQ.在△ABP 和△DEQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，AP ＝DQ ，∴△ABP ≌△DEQ(SAS )， ∴BP ＝EQ.同理可证PE ＝QB ，∴四边形PEQB 是平行四边形．(2)①当PA ＝PF ，QC ＝QD 时，四边形PBQE 是菱形，此时t ＝2 s . 故答案为2.②当t ＝0 s 时，∠EPF ＝∠PEF ＝30°， ∴∠BPE ＝120°－30°＝90°， ∴此时四边形PBQE 是矩形．当t ＝4 s 时，同法可知∠BPE ＝90°，此时四边形PBQE 是矩形． 综上所述，t ＝0 s 或t ＝4 s 时，四边形PBQE 是矩形． 故答案为0或4.15．解：如图，连接OE.∵OA ＝AE ＝OE ，∴∠AOE ＝60°， ∴AE 是⊙O 的内接正六边形的一边． ∵∠AOE ＝60°，∠AOC ＝90°， ∴∠EOC ＝90°－60°＝30°，∴EC 是⊙O 的内接正十二边形的一边． 连接OF ，∵易知∠AOF ＝60°， ∴∠EOF ＝60°×2＝120°，∴EF 是⊙O 的内接正三角形的一边．16解：(1)∵点M ，N 分别从点B ，C 开始，同时以相同的速度在⊙O 上逆时针运动， ∴BM ︵＝CN ︵，∴∠BAM ＝∠CBN ，∴∠BPM ＝∠ABN ＋∠BAM ＝∠ABN ＋∠CBN ＝∠ABC ＝60°， ∴∠APB ＝180°－∠BPM ＝120°. (2)90° 72°(3)能推广到一般的正n 边形．问题：正n 边形ABCD …内接于⊙O ，点M ，N 分别从点B ，C 开始，同时以相同的速度在⊙O 上逆时针运动，AM ，BN 相交于点P ，求∠APB 的度数．结论：∠APB 的度数为所在正多边形一个外角的度数，即∠APB ＝360°n .。
苏科版九年级数学上册《2.6 正多边形与圆》练习题(附带答案)
苏科版九年级数学上册《2.6 正多边形与圆》练习题(附带答案)一、选择题1.一个正多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是( )A. 6B. 8C. 9D. 122.如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是AE⏜的一点，则∠CPD的度数是( )A. 30°B. 36°C. 45°D. 72°3.如图，在由边长相同的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．再选择一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，则符合点C条件的格点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 44.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为DE⏜上的一点(点P不与点D重合)，则∠CPD的度数为( )A. 30°B. 36°C. 60°D. 72°5.如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是( )√ 3cm D. 1cmA. 2√ 3cmB. √ 3cmC. 236.如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有( )A. 4个B. 6个C. 8个D. 10个7.若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的边心距为( )A. 2√ 3B. 4C. 3√ 3D. 12√ 38.如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB=( )A. 2√ 2：√ 3B. √ 2：√ 3C. √ 3：√ 2D. √ 3：2√ 29.已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF的边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转……在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是( )A. 1.4B. 1.1C. 0.8D. 0.5二、填空题10.已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为______度．11.圆内接正六边形的边长为10cm，它的边心距等于cm．12.如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM=BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是______度．13.如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧BD⏜所对的圆心角∠BOD的大小为______度．14.刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S−S1=______．15.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是°.16.两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于______度．17.如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD分别相切于A、C两点，则∠AOC的度数为___________．三、解答题18.如图，在网格纸中，O、A都是格点，以O为圆心，OA为半径作圆．用无刻度的直尺完成以下画图：(不写画法)(1)在图①中画⊙O的一个内接正六边形ABCDEF；(2)在图②中画⊙O的一个内接正八边形ABCDEFGH．19.如图，已知等边△ABC，请用直尺(不带刻度)和圆规按下列要求作图(不要求写作法，但要保留作图痕迹):(1)作△ABC的外心O;(2)设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F、点H分别在边BC和AC上．20.如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，已知⊙O的周长等于6πcm，连接AD，BD．(1)求∠ADB的度数．(2)求正六边形ABCDEF的周长和面积．21.如图，正方形ABCD内接于⊙O，连接AC，点F是CD⏜的中点，过点D作⊙O的切线与AF的延长线相交于点G．(1)试判断AC与DG的位置关系，并说明理由．(2)求∠G的度数．22.如图，⊙O内切于正三角形ABC，正方形DEFG内接于⊙O，正三角形ABC的边长为a，求正方形DEFG的面积．答案和解析1.【答案】D【解析】解：360÷30=12(条)故选：D．任何一个多边形的外角都等于360°，用360除以每一个外角的度数就是这个多边形的边数．本题考查了多边形的外角和，关键是根据任何一个多边形的外角都等于360°解答．2.【答案】B【解析】解：如图，连接OC，OD．∵ABCDE是正五边形∴∠COD=360°5=72°∴∠CPD=12∠COD=36°故选：B．连接OC，OD，求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题；本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3.【答案】B【解析】解：AB的长等于六边形的边长+最长对角线的长据此可以确定共有2个点C，位置如图故选：B．确定AB的长度后确定点C的位置即可．考查了正多边形和圆及等腰三角形的判定，解题的关键是确定AB的长，难度不大．4.【答案】B【解析】解：如图，连接OC，OD．∵ABCDE是正五边形∴∠COD=360°5=72°∴∠CPD=12∠COD=36°故选：B．连接OC，OD求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题；本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5.【答案】A【解析】【分析】此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解．连接AC，作BD⊥AC 于D；根据正六边形的特点求出∠ABC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由特殊角的三角函数值求出AD的长，进而可求出AC的长．【解答】解：如图连接AC，过B作BD⊥AC于D；∵AB=BC∴△ABC是等腰三角形∴AD=CD；∵此多边形为正六边形∴∠ABC=180°×46=120°∴∠ABD=120°2=60°∴∠BAD=30°，AD=AB⋅cos30°=2×√ 32=√ 3∴a=2√ 3cm．故选A．6.【答案】D【解析】解：如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，即有6个直角三角形AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形综上所述，△ABC是直角三角形的个数有6+4=10个．故选：D．根据正六边形的性质，分AB是直角边和斜边两种情况确定出点C的位置即可得解．本题考查了正多边形和圆，难点在于分AB是直角边和斜边两种情况讨论，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键，作出图形更形象直观．7.【答案】A【解析】解：连接OA，作OM⊥AB，得到∠AOM=30°∵圆内接正六边形ABCDEF的周长为24∴AB=4，则AM=2，OA=4因而OM=OA⋅cos30°=2√ 3．正六边形的边心距是2√ 3．故选：A．首先得出正六边形的边长，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．此题主要考查了正多边形和圆，正确掌握正六边形的性质是解题关键．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了正多边形和圆、垂径定理、等边三角形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理、等边三角形和正方形的性质是解题的关键．连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，由垂径定理得出AH=BH=12AB，证出△AOD是等腰直角三角形，∠AOH=∠BOH=60°，AH=BH=12AB，得出AD=√ 2OA，AH=√ 32OA，则AB=2AH=√ 3OA，进而得出答案．【解答】解：连接OA、OB、OD过O作OH⊥AB于H，如图所示：则AH=BH=12AB∵正方形ADEF和等边三角形ABC都内接于⊙O∴∠AOB=120°，∠AOD=90°∵OA=OD=OB∴△AOD是等腰直角三角形∠AOH=∠BOH=12×120°=60°∴AD=√ 2OA，∠OAH=30°∴OH=12OA∴AH=√ OA2−OH2=√ 32OA∴AB=2AH=2×√ 32OA=√ 3OA∴ADAB=√ 2OA√ 3OA=√ 2√ 3故选：B．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点M的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度．如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的弧线，分别对6次旋转过程进行分析，可知2−√ 2≤BM≤1，由此即可判断．【解答】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的弧线观察图象可知：在第一次旋转过程中在第二次旋转过程中，点M的位置不变在第三次旋转过程中，BM的长由1逐渐变小为√ 3−1；在第四次旋转过程中，点M在以点E为圆心，√ 2为半径的圆弧上，BM的长由√ 3−1逐渐变小为2−√ 2，然后逐渐变大为√ 3−1；在第五次旋转过程中，BM的长由√ 3−1逐渐变大为1；在第六次旋转过程中，点M的位置不变BM=1．显然连续六次旋转的过程中2−√ 2≤BM≤1．故选：C．10.【答案】36【解析】【分析】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．关键是掌握多边形内角和定理：(n−2)⋅180°，外角和等于360°．首先设此多边形为n边形，根据题意得：180(n−2)=1440，即可求得n=10，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【解答】解：设此多边形为n边形根据题意得：180(n−2)=1440解得：n=10∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10=36°．故答案为36．11.【答案】5√ 3【解析】【分析】本题考查的是正多边形与圆熟知正六边形的性质是解答此题的关键．根据题意画出图形利用等边三角形的性质及勾股定理直接计算即可．【解答】解：如图所示连接OB、OC过O作OG⊥BC于G∵此多边形是正六边形∴△OBC是等边三角形∴∠OBG=60°∴BG=5cm，OB=10cm根据勾股定理可得：边心距OG=5√ 3cm故答案为：5√ 3．12.【答案】72【解析】解：连接OA OB OC∠AOB=360°5=72°∵∠AOB=∠BOC OA=OB OB=OC∴∠OAB=∠OBC 在△AOM和△BON中{OA=OB∠OAM=∠OBN AM=BN∴△AOM≌△BON∴∠BON=∠AOM∴∠MON=∠AOB=72°故答案为：72．连接OA OB OC根据正多边形的中心角的计算公式求出∠AOB证明△AOM≌△BON根据全等三角形的性质得到∠BON=∠AOM得到答案．本题考查的是正多边形和圆的有关计算掌握正多边形与圆的关系全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．13.【答案】144【解析】【分析】本题主要考查了切线的性质正五边形的性质多边形的内角和公式熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．根据正多边形内角和公式可求出∠E∠A根据切线的性质可求出∠OBA∠ODE从而可求出∠BOD．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形∴∠E=∠A=(5−2)×180°=108°．5∵AB DE与⊙O相切∴∠OBA=∠ODE=90°∴∠BOD=(5−2)×180°−90°−108°−108°−90°=144°故答案为：144．14.【答案】0.14【解析】解：∵⊙O的半径为1∴⊙O的面积S=3.14∴圆的内接正十二边形的中心角为360°=30°12∴圆的内接正十二边形的面积S1=12×1×1×1×sin30°=32∴则S−S1=0.14故答案为：0.14．×1×1×根据圆的面积公式得到⊙O的面积S=3.14求得圆的内接正十二边形的面积S1=12×12sin30°=3即可得到结论．本题考查了正多边形与圆正确的求出正十二边形的面积是解题的关键．15.【答案】54【解析】【分析】本题考查正多边形与圆圆周角定理等知识解题的关键是灵活运用所学知识解决问题属于中考常考题型．连接AD根据圆周角定理得到∠ADF=90°根据五边形的内角和得到∠ABC=∠C=108°求得∠CBD=∠CDB=36°∠ABD=72°由圆周角定理得到∠F=∠ABD=72°求得∠FAD=18°进而得到∠CDF于是得到结论．【解答】解：连接AD∵AF是⊙O的直径∴∠ADF=90°∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形∴∠ABC=∠C=108°∵BC=CD∴∠CBD=∠CDB=180∘−108∘2=36°∴∠ABD=72°∴∠F=∠ABD=72°∴∠FAD=18°∴∠CDF=∠DAF=18°∴∠BDF=36°+18°=54°故答案为：54．16.【答案】108【解析】解：如图由正五边形的内角和得∠1=∠2=∠3=∠4=108°∠5=∠6=180°−108°=72°∠7=180°−72°−72°=36°．∠AOB=360°−108°−108°−36°=108°故答案为：108．根据多边形的内角和可得∠1∠2∠3∠4根据等腰三角形的内角和可得∠7根据角的和差可得答案．本题考查了多边形的内角与外角利用多边形的内角和得出每个内角是解题关键．17.【答案】144°【解析】【分析】本题主要考查的是多边形的内角和定理切线的性质正多边形和圆等有关知识．先根据五边形的内角和求出∠E=∠D=108°再由切线的性质得到∠OAE=∠OCD=90°最后利用五边形的内角和相减即可求解．【解答】解：∵正五边形的内角为：(5−2)×180°÷5=108°∴∠E=∠D=108°∵AE CD分别与⊙O相切于点A C两点∴∠OAE=∠OCD=90°∴∠AOC=540°−90°−90°−108°−108°=144°．故答案为144°．18.【答案】解：如图所示(1)如图①正六边形ABCDEF即为所求；(2)如图②正八边形ABCDEFGH即为所求．【解析】【分析】此题考查的是格点作图掌握圆的内接正六边形和内接正八边形的性质和中心角的求法是解决此题的关键．(1)设AO的延长线与圆交于点D根据正六边形的性质点D即为正六边形的一个顶点且正六边形的边长等于圆的半径根据垂直平分线的性质即可确定其它顶点；(2)先求出圆内接八边形的中心角然后根据正方形的性质即可找到各个顶点．【解答】解：(1)设AO的延长线与圆交于点D根据圆的内接正六边形的性质点D即为正六边形的一个顶点且正六边形的边长等于圆的半径即OB=AB故在图中找到AO的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点B和F；同理：在图中找到OD的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点C和E连接AB BC CD DE EF FA如图①正六边形ABCDEF即为所求．(2)圆的内接八边形的中心角为360°÷8=45°而正方形的对角线与边的夹角也为45°∴在如②图所示的正方形OMNP中连接对角线ON并延长交圆于点B此时∠AON=45°；∵∠NOP= 45°∴OP的延长线与圆的交点即为点C．同理即可确定点D E F G H的位置顺次连接如图②正八边形ABCDEFGH即为所求．19.【答案】解：(1)如图点O为△ABC的外心．(2)如图正六边形DEFGHI即为所求．【解析】【分析】本题考查尺规作图—复杂作图等边三角形的性质三角形的外接圆与外心正多边形的计算．(1)根据垂直平分线的作法作出AB AC的垂直平分线交于点O即为所求；(2)过D点作DI//BC交AC于I分别以D I为圆心DI长为半径作圆弧交AB于E交AC于H过E点作EF//AC交BC于F过H点作HG//AB交BC于G六边形DEFGHI即为所求正六边形．20.【答案】【小题1】如图连接OB．∵正六边形ABCDEF内接于⊙O∴∠AOB=60∘∴∠ADB=30∘．【小题2】如图过点O作OH⊥AB于点H则AH=12AB．∵⊙O的周长等于6πcm∴⊙O的半径为3cm．∵∠AOB=60∘OA=OB∴△OAB是等边三角形∴AB=OA=3cm∴AH=32cm∴OH=√ OA2−AH2=3√ 32cm∴S正六边形ABCDEF =6S△OAB=6×12×3×3√ 3(2=27√ 32(cm2),正六边形ABCDEF的周长为6AB=6×3=18(cm)．【解析】1.见答案2.见答案21.【答案】解：(1)AC//DG理由：连接OD∵四边形ABCD是正方形∴∠ACD=45°∴∠AOD=90°∵DG与⊙O相切于点D∴∠ODG=90°∴∠AOD=∠ODG∴AC//DG；(2)∵四边形ABCD是正方形∴∠ADC=90°DA=DC∴∠CAD=45°．∵点F是CD⏜的中点∴DF⏜=CF⏜∴∠CAF=∠FAD=22.5°∵AC//DG∴∠G=∠CAF=22.5°．【解析】(1)如图连接OD根据正方形的性质得到∠AOD=90°根据切线的性质得到OD⊥DG ∠ODG=90°根据平行线的性质即可得到结论；(2)根据正方形的性质得到∠ADC=90°DA=DC求得∠CAD=45°.根据平行线的自己看得到结论．本题考查了正多边形与圆正方形的性质切线的性质正确地作出辅助线是解题的关键．22.【答案】解：连接OB，OC，OE，OF过点O作OM⊥BC于点M则OE=OF=OM．∵⊙O是△ABC的内切圆．∴BM=12BC=CM=a2，BO=2MO．令OM=x∴BO=2x．∴BO2=OM2+BM2．即4x2=x2+a24．∴x2=a212．．∴S正方形DEFG =a26．【解析】见答案。
苏科版九年级上册 2.6 正多边形与圆 同步练习(含答案)
初中数学苏科版九年级上册2.6 正多边形与圆同步测试一、单选题1.以下说法正确的是()A.每个内角都是120°的六边形一定是正六边形B.正n边形的对称轴不一定有n条．C.正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．D.正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．2.正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（）A.10B.8C.6D.53.圆内接正六边形的边长为3，则该圆的直径长为()A.3B.3C.3D.64.已知正六边形的边长为6，则它的边心距（）A.3B.6C.3D.5.正三角形的外接圆的半径和高的比为（）A.1：2B.2：3C.3：4D.1：6.如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（）A. B. C. D.7.如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则⊙ABD的度数是（）A.60°B.70°C.72°D.144°8.有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若⊙ADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为()A.40B.50C.60D.809.如图，正八边形ABCDEFGH中，⊙EAG大小为（）A.30°B.40°C.45°D.50°10.如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（）A.4B.5C.6D.10二、填空题11.若正六边形的边长是4，则其半径是________，边心距是________，面积是________12.在半径为R的圆中，它的内接正三角形、内接正方形、内接正六边形的边长之比为（）A.1：：B.：：1C.1：2：3D.3：2：113.如图，在边长为的正六边形中，点P在BC上，则的面积为________.。
苏科版九年级数学上册 2.6：正多边形和圆 同步练习
2.6正多边形与圆一、基础训练1．一个正十边形，绕它的中心至少 度，才能与原正十边形重合． 2． 一个正多边形的内角和是12600，那么它是 边形．3． 如果正多边形的一个外角是400，那么它的内角和是 ． 4．正六边形的两条平行的边相距6cm,则它的边长是 cm ． 二、典型例题例1．已知圆的内接正六边形的面积是．分析：首先求出以正六边形的中心为顶点，一边为底边的一个等腰三角形的面积，然后求出该圆的半径．例2．如图，有一个圆O 和两个正六边形1T ，2T ．1T 的6个顶点都在圆周上，2T 的6条边都和圆O 相切（我们称1T ，2T 分别为圆O 的内接正六边形和外切正六边形）．（1）设1T ，2T 的边长分别为a ，b ，圆O 的半径为r ，求a r :及b r :（2）求正六边形1T ，2T 的面积比21:S S 的值．分析：连结圆心和正六边形的顶点，可得等边三角形．利用等边三角形边与边的关系解决问题．三．拓展提升：（1）如图1，把等边三角形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到一个六角星，则这个六角星的边数是 ． （2）如图2，在5×5的网格中有一个正方形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正方形，并去掉居中的那条线段．请你把得到的图形画在图3中，并写出这个图形的边数．（3）现有一个正五边形，把正五边形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正五边形，并去掉居中的那条线段，得到的图形的边数是多少？分析：图1所得六角星是在原来三角形基础上，多出3×3条边，图2在原来正方形基础上多出4×4条边，图3在原来五边形基础上多出5×5条边，所以所得图形为30条边． 四、课后作业1．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为 ．（图1）（图2） （图3）2．已知圆的半径为6cm，则它的内接正三角形的边长是，内接正方形的边长是，内接正六边形的边长是．3．已知正六边形的边长为6，则正六边形的面积为．4．若正四边形的外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，则rR的值等于．5．正六边形的内切圆的半径为r，求这个正六边形的面积．6．已知:如图，正方形ABCD的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的边长和面积．7．已知：如图，正方形ABCD内接于⊙O，E、F分别为DA、DC的中点，过E、F作弦MN，若⊙O的半径为12．（1）求弦MN的长；（2）连结OM、ON，求圆心角∠MON的度数．一．基础训练1．360，2．9 3．126004．C A二．典型例题例1． 32，即该圆的半径为2．例2．1）连接圆心O 和T 1的6个顶点可得6个全等的正三角形 ．所以r ∶a=1∶1;连接圆心O 和T 2相邻的两个顶点，得以圆O 半径为高的正三角形，所以r ∶b=3∶2;（2） T 1∶T 2的边长比是3∶2，所以S 1∶S 2=4:3):(2=b a ．三．拓展提升 （1）12．（2）这个图形的边数是20． （3）得到的图形的边数是30 四．课后作业1．2 2．3 62 6 3．3 4．225．223r 6． 边长为424 面积为32232 7．123MN = 0120MON ∠=。