上海市2019届高考数学一轮复习 专题突破训练 排列组合二项式定理 理
35：排列组合和二项式定理高三复习数学知识点总结(全)
排列、组合与二项式定理1.两个计数原理（1）分类计数定理（加法原理）：如果完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有1m 种不同的方法，在第2类方式中有2m 种不同的方法，......，在第n 类方式中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法.（2）分步计数定理（乘法原理）：如果完成一件事，需要完成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，......，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法.（3）两个计数原理的区别分类计数原理与分步计数原理的区别关键在于看事件能否完成，事件完成了就是分类，分类后要将种数相加；事件必须要连续若干步才能完成的则是分步，分步后要将种数相乘.2.排列（1）排列的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.（2）排列数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示.（3）排列数公式：)1()2)(1()!(!+---=-=m n n n n m n n A m n .特别地：①（全排列）.123)2)(1(!⋅⋅--== n n n n A n n ②.1!0=3.组合（1）组合的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）组合数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示.（3）组合数公式：()()()()121!!!!m m n n m m n n n n m A n C A m m n m ---+===- .特别地：01n C =.（4）组合数的性质：①m n n m n C C -=；②11-++=m n m n m n C C C ；③11--=kn k n nC kC .4.解决排列与组合问题的常用方法通法：先特殊后一般（有限制条件问题），先组合后排列（分组问题），先分类后分步（综合问题）.例：某校开设9门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课时问相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有多少种不同的选修方案？答：.75461336=+C C C （1）特殊元素、位置优先安排法：对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列，然后排列其他一般元素或位置.例4-1：0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？答：.3013131224=+C C C A （2）限制条件排除法：先求出不考虑限制条件的个数，然后减去不符合条件的个数.也适用于解决“至多”“至少”的排列组合问题.例4-2：从7名男同学和5名女同学中选出5人，若至少有2名女同学当选，问有多少种情况？答：.596)(471557512=+-C C C C（3）相邻问题“捆绑法”：将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列，待整个问题排好之后再考虑它们内部的排列数，它主要用于解决相邻问题.例4-3：5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？答：6363A A =4320（4）不相邻问题“插空法”：先把无位置要求的元素进行排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的“空档”中（注意两端）.例4-4：5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？答：5354A A （5）元素相同“隔板法”：若把n 个不加区分的相同元素分成m 组，可通过n 个相同元素排成一排，在元素之间插入1-m 块隔板来完成分组，共11--+m m n C 种方法.例4-5：10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？答：.49C （6）元素不多“列举法”：即把符合条件的一一列举出来.例4-6：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格内，每个方格填一个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有种。
高三数学高考一轮复习基础强化训练(排列组合二项式定理概率统计)高考数学基础强化：排列组合二项式定理概
排列组合二项式定理概率统计测试题(时间:90分钟,满分100分)班别: 姓名: 学号:一.选择题: (每小题5分,共计65分)1.从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（ ）A ．95B ．94C ．2111D ．2110 2.从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（ ）A ．12513B ．12516C ．12518D ．12519 3.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ）A ．56个B ．57个C ．58个D ．60个4.一台X 型号的自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是（ ）(A)0.1536 (B)0.1808 (C)0.5632 (D)0.97285.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为( )(A)0.6小时 (B)0.9小时 (C)1.0小时 (D)1.5小时6.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是 ( )(A)5216 (B)25216 (C)31216 (D)912167.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180 个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销焦点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②，则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ）（A ）分层抽样，系统抽样法 （B ）分层抽样法，简单随机抽样法（C ）系统抽样法，分层抽样法 （D ）简随机抽样法，分层抽样法8. 将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不．一致的放入方法种数为（ ） A ．120 B ．240 C ．360 D ．7209. 已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为（ ）A ．2140B ．1740C ．310D ．712010. 某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（ ） A.110 B.120 C.140 D.112011. 甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是了（ ）A ．21p pB ．)1()1(1221p p p p -+-C ．211p p -D ．)1)(1(121p p ---12. 有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不．左右相邻，那么不同排法的种数是（ ） A ．234 B ．346 C ．350 D ．36313. 从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种二.填空题: (每小题5分,共计20分)14. 某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n= .15. 某班委由4名男生和3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长。
2019年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题1.7 排列组合二项式定理(测)含解析
2019年高考数学（理）二轮复习讲练测 专题1.7排列组合二项式定理（测）专题七 排列组合二项式定理总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______一、选择题（12*5=60分）1．【2018届广西南宁市高三9月摸底】（2x ﹣1x）5的展开式中x 3项的系数为（ ） A. 80 B. ﹣80 C. ﹣40 D. 48【答案】B 【解析】通项公式，令523r -=，解得1r =，∴展开式中3x 项的系数，故选B. 2．从7名男队员和5名女队员中选出4人进行乒乓球男女混合双打，不同的组队种数是（ ）A. 2275C CB. 22754C CC. 22752C CD. 2275A A 【答案】C【解析】第一步先选男女运动员各选2人有2275C C 种方法；第二步选出4人进行乒乓球男女混合双打共有2种，所以组队种数有22752C C 种.三、解答题（共6道小题，共70分）17. 已知集合, ,设(),P x y ， x M ∈， y N ∈,若点P 直线y x =的上方，则这样的点P 有多少个？【答案】9【解析】∵P 直线y x =的上方，∴x y <，又x M ∈， y N ∈,分1,2,3x =三类讨论得，共有点4+3+2=9个.18．已知 展开式的二项式系数之和为64（1）求；（2）若展开式中常数项为，求的值；【答案】⑴6；⑵.19．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画.（1）从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？（2）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？（3）从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？【答案】（1）14（2）70（3）59【解析】（1）共有种不同的选法.（2）共有种不同的选法.（3）不同的选法.20．已知展开式中偶数项二项式系数和比()2n+展开式中奇数项二项式系数和a b小120，求：（1）展开式中第三项的系数;（2）()2n+展开式的中间项。
上海市高考数学一轮复习专题突破训练排列组合二项式定理理
6 名女教师，共 C95=126 种；
9 名老师，
则男、女教师都有的选取方式的种数为 126﹣6=120 种；
故答案为： 120．
2、 D 3、 472 4、 C 5、 B 6、 D
7、 180 8、 7
9、选 A
数为 210 .
5、（普陀区 2015 届高三二模）在
(x
2 x2
)n
(n
N * ) 的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数
之比为 56： 3，则展开式中的常数项是（ B ）
A. 第 2 项 B. 第 3 项 C. 第 4 项 D. 第 5 项 6、（徐汇、松江、金山区 2015 届高三二模）执行如图所示的程序框图，输出的结果为
13、－ 10
的取法共有 66 种 . 11、 解析 : 先分类 :3:0,3:1,3:2
共计 3 类, 当比分为 3:0 时 , 共有 2 种情形 ; 当比分为 3:1 时 , 共有
C
1 4
A22
=
8 种情形
; 当比分为
3:2
时 , 共有
C
2 5
A22
=
20 种情形 ; 总共有 2 + 8 + 20 = 30 种 , 选 D.
片不能是同一种颜色 , 且红色卡片至多 1 张 . 不同取法的种数为
（）
A． 232
B． 252
C． 472
D．484
二、二项式定理 1、（ 2015 年上海高考）在（ 1+x+
） 10 的展开式中， x 2 项的系数为 45 （结果用数值表示） ．
2019年高考数学临门冲刺：排列组合、二项式定理专题总结
2019年高考数学冲刺 排列组合、二项式定理专题总结【高考展望】命题角度：该部分的命题就是围绕两个点展开．第一个点是围绕排列，组合展开，设计利用排列组合和两个基本原理求解的实际计数问题的试题，目的是考查对排列组合基本方法的掌握程度，考查分类与整合的思想方法，试题都是选择题或者填空题，难度中等或者偏易；第二点是围绕二项式定理展开，涉及利用二项式的通项公式计算二项式中特定项的系数、常数项、系数和等试题，目的是考查对二项式定理的掌握程度和基本的运算求解能力，试题也都是选择题或者填空题，难度中等．预计2019高考对该部分的考查基本方向不变，即考查简单的计数问题、二项式定理的简单应用，但由于排列，组合试题的特点，也不排除出现难度稍大的试题的可能．复习建议：该部分的复习以基本问题为主，要点有两个：一个是引导学生掌握解决排列，组合问题的基本思想，即分类与分步的思想，使学生在解题时有正确的思维方向；一个是掌握好二项展开式的通项公式的应用，这是二项式定理的考查核心． 【知识升华】一、排列与组合1、分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.2、排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.3、排列与组合的主要公式 ①排列数公式：)1()1()!(!+-⋅⋅⋅-=-=m n n n m n n A mn (m ≤n)A n n =n! =n(n ―1)(n ―2) ·…·2·1. ②组合数公式：12)1()1()1()!(!!⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯+-⋅⋅⋅-=-=m m m n n n m n m n C mn (m ≤n).③组合数性质：①mn nm n C C -=(m ≤n). ②n nn n n n C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++③1314202-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++n n n n n n C C C C C4、分类应在同一标准下进行，确保“不漏”、“不重”，分步要做到“步骤连续”和“步骤独立”，并能完成事项.5、界定“元素与位置”要辩证地看待，“特殊元素”、“特殊位置”可直接优先安排，也可间接处理.6、解排列组合综合问题注意先选后排的原则，复杂的排列、组合问题利用分类思想转化为简单问题求解.7、常见的解题策略有以下几种： （1）特殊元素优先安排的策略； （2）合理分类与准确分步的策略； （3）排列、组合混合问题先选后排的策略； （4）正难则反、等价转化的策略； （5）相邻问题捆绑处理的策略； （6）不相邻问题插空处理的策略； （7）定序问题除法处理的策略； （8）分排问题直排处理的策略；（9）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略； （10）构造模型的策略. 二、二项式定理 1、二项式定理(a +b)n =C 0n a n +C 1n a n －1b+…+C r n a n －r b r +…＋C n n b n ，其中各项系数就是组合数C r n ，展开式共有n+1项，第r+1项是T r+1 =C r n an －r b r. 2、二项展开式的通项公式二项展开式的第r+1项T r+1=C r n an －r b r(r=0,1,…n)叫做二项展开式的通项公式。
专题1.7 排列组合二项式定理(讲)-2019年高考数学(理)二轮复习讲练测 Word版含解析
2019年高三二轮复习讲练测之讲案【新课标版理科数学】专题七 排列组合二项式定理考向一 两个计数原理、排列组合的综合应用【高考改编☆回顾基础】2017课标II 改编】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 . 【答案】36 【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有24C 种方法，然后进行全排列33A 即可，由乘法原理，不同的安排方式共有种方法.2.【两个计数原理】【2018年新课标I 卷】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）【答案】16 【解析】根据题意，没有女生入选有种选法， 从6名学生中任意选3人有种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共 有种，故答案是16.3.【计数原理、简单组合问题】【2018年浙江卷】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 【答案】1260. 【解析】若不取零，则排列数为若取零，则排列数为因此一共有个没有重复数字的四位数.4.【计数原理、简单排列组合问题】【2017天津，理14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）【答案】1080【解析】.【命题预测☆看准方向】从近五年高考试题来看,高考命题对排列组合注重基础知识和基本解题方法、规律的考查以及运算能力的考查.题目的难度基本都为中等或中等以下.考查的重点重点，一是利用计数原理、排列、组合知识进行计数；二是与概率问题的综合等.【典例分析☆提升能力】【例1】【2018届山东省师大附中高三第三次模拟】将编号1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3盒子中,要求不允许有空盒子,且球与盒子的编号不能相同,则不同的放球方法有（）A. 6种B. 9种C. 12种D. 18种【答案】C【趁热打铁】【2018届辽宁省沈阳市郊联体高三上学期期末】高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有（）A. 16种B. 18种C. 37种D. 48种【答案】C【解析】满足题意的不同的分配方案有以下三类：①三个班中只有一个班去甲工厂有123C 3⨯=27种方案； ②三个班中只有两个班去甲工厂有23C 3⨯=9种方案；③三个班都去甲工厂有1种方案． 综上可知：共有27+9+1=37种不同方案． 故选：C ．【例2】【2018届北京市西城区高三期末】把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有____种．（用数字作答） 【答案】8【解析】当C 在最右边位置时，由336A = 种排法符合条件；当C 在从右数第二个位置时，由222A =种排法符合条件，把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有6+2=8种，故答案为8.2.在分步乘法计数原理中,各个步骤相互依存,在各个步骤中任取一种方法,即是完成这个步骤的一种方法.3.应用两种原理解题要注意分清要完成的事情是什么,完成该事情是分类完成还是分步完成.分类的就应用分类加法计数原理,分步的就应用分步乘法计数原理;在综合应用两个原理时,一般先分类再分步,在每一步当中又可能用到分类加法计数原理.4.解决排列组合问题的基本方法有: 解决排列问题的主要方法(1)解决“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置． (2)解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看做一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列．(3)解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．(4)对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列． (5)若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”．【规范示例☆避免陷阱】【典例】要从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法？ (1)A ，B ，C,3人都参加； (2)A ，B ，C,3人都不参加；(3)A，B，C,3人中只有一个参加．【反思提高】解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．【误区警示】解答排列组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手.(1)“分析”就是找出题目的条件、结论,哪些是“元素”,哪些是“位置”;(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合,对某些元素的位置有无限制等;(3)“分类”就是首先对于较复杂问题中的元素分成互斥的几类,然后逐类解决;(4)“分步”就是首先把问题化成几个互相联系的步骤,而每一步都是简单的排列组合问题,然后逐步解决.考向二二项式定理【高考改编☆回顾基础】1.【二项式定理求指定项系数】【2018年全国卷Ⅲ理改编】的展开式中的系数为 .（用数字作答）【答案】40【解析】由题可得令,则所以.2．【二项式定理由指定项系数求n 】【2017山东，理11】已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = . 【答案】4【解析】试题分析：由二项式定理的通项公式，令2r =得：22C 354n ⋅=，解得4n =．3. 【由二项式定理求指定项】【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________．【答案】7 【解析】二项式的展开式的通项公式为,令得，故所求的常数项为4. 【二项式定理由指定项系数求参数值】【2016高考山东理数】若（ax 2）5的展开式中x 5的系数是—80，则实数a=_______. 【答案】-2【解析】因为，所以由，因此【命题预测☆看准方向】从近五年高考试题来看,高考命题对二项式定理注重基础知识和基本解题方法、规律的考查以及运算能力的考查.题目的难度基本都为中等或中等以下.考查的重点重点是求二项展开式中的某一项的二项式系数、指定项、各项系数和、n 的值、参数的值等.【典例分析☆提升能力】【例1】【2018届黑龙江省七台河市高三上期末】已知展开式的所有项系数之和为81，则的常数项为__________．【答案】-2 【解析】因为展开式的所有项系数之和为81，所以，解得2a =，所以中的常数项为，故填2-.【趁热打铁】【2018届四川省成都市龙泉中学高三12___________.（用数字作答）【解析】通项公式，则3r = ∴常数项【例2】【2018届河北省鸡泽县第一中学高三上学期第四次月考】展开式中含3x 项的系数为_______.（用数字表示） 【答案】0【解析】∵（x+1）（x ﹣1）5=（x+1）（05C x 5+++++()5551C ⋅-），故展开式中含x 3的项的系数为﹣35C +25C =0，故答案为 0．【趁热打铁】【广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三摸底】的展开式中的含的系数为__________ (用数字填写作答）. 【答案】 11 【解析】=而展开式的通项为取和，得展开式中含和项的系数分别为10和1，所以的展开式中的含的系数为10+1=11.(3)公式中a,b的指数和为n,且a,b不能随便颠倒位置;(4)要将通项中的系数和字母分离开,以便于解决问题;(5)对二项式(a-b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题.。
2019届对口升学考试数学第10、11单元《排列组合二项式定理概率等》专题复习及检测含答案
第十、十一单元排列组合二项式定理及概率等一、考纲要求考试内容：分类计数原理与分步计数原理，理解排列、组合的定义及计算公式，排列和组合的知识解决一些简单问题，组合性质，二项式定理。
随机现象与概率的统计定义，必然事件和不可能事件，随机事件和样本空间。
古典概率的定义、应用。
N次独立重复试验中恰好发生k次的概率及简单应用。
总体和样本的概念以及抽样方法，计算样本平均数和样本方差。
离散随机变量及分布。
数制的概念，进行简单的转换。
逻辑代数的基本概念与基本运算。
数据表格的概念，数组运算及数据表格的应用。
二、知识点清单10.1分类计数法和分步计数法分类计数法(加法法则)：完成一件事有两类办法，第一类办法由m 种方法，第二类办法有n 种方法，无论用哪一类办法中的哪种方法，都能完成这件事，则完成这件事总共有m+n 种方法。
分步计数法(乘法法则)：完成一件事有两个步骤，第一个步骤有m 种方法，第二个步骤有n 种方法，连续完成这两个步骤这件事才完成，那么完成这件事总共有m ×n 种方法。
10.2 排列数、组合数公式排列（有顺序），公式：mn A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -；例：56737⨯⨯=A 4525⨯=A组合（没有顺序），公式：mn C =!)1()1(m m n n n +-- =！！！)(m n m n -⋅；m n C =m n n C - m n C +1-m n C =m n C 1+例：35123567!33737=⨯⨯⨯⨯==A C 3512344567!44747=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==A C10.3 组合数的性质(1)= ;(2) +=.注:规定.10.4 排列组合问题常见解题方法：(1)两个计数原理(2)特殊位置法(3)捆绑法(4)插空法10.5 二项式定理 ;二项展开式的通项公式.10.6 区分系数、二项式系数 10.7 二式项式系数的性质(1).(2).考点：1.随机现象与概率的统计定义2.必然事件和不可能事件3.随机事件和样本空间。
2019年高考理科数学知识点总结：排列、组合和二项式定理、数学归纳法
高中数学知识点总结 第 1 页 共 1 页 2019年高考理科数学知识点总结：排列、组合和二项式定理、数学归纳法排列、组合和二项式定理、数学归纳法127. 排列数、组合数的计算(1)排列数公式!(1)(2)(1)()()!m n n A n n n n m m n n m =---+=≤-L ；!(1)(2)21n n A n n n n ==--⋅L 。
(2)组合数公式()(1)(1)!()(1)21!!m mn nm m A n n n m n C m n A m m m n m ⋅-⋅⋅-+===≤⋅-⋅⋅⋅-；规定01！=，01n C =. (3)排列数、组合数的性质：①m n m n n C C -=；②111m m m n n n C C C ---=+；③11k k n n kC nC --=； （4）分组问题：要注意区分是否均匀，有无组别，平均分成n 组问题别忘除以n ！。
（5）至多至少问题要注意分清所需元素具体数目（切忌盲目保底）或者用间接法128.二项式定理：011()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++，其中组合数r n C 叫做第r +1项的二项式系数；展开式共有n +1项，其中第r +l 项1r n r r r n T C a b -+=称为二项展开式的通项，二项展开式通项的主要用途是求指定的项.特别提醒：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数。
（2）审题时注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？ 129、二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即m n nm n C C -=； （2）增减性与最大值：当12n r +≤时，二项式系数C r n 的值逐渐增大，当12n r +≥时,C rn 的值逐渐减小，且在中间取得最大值。
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上海市2019届高三数学理一轮复习专题突破训练
排列组合二项式定理
一、排列组合
1、（2019年上海高考）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 120 （结果用数值表示）．
2、（闵行区2019届高三二模）从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单， 要求最后一个节目必须是合唱，则这个节目单的编排方法共有 ( )
(A) 14种. (B) 48种. (C)72种. (D) 120种.
3、（长宁、嘉定区2019届高三二模）．现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．则不同取法的种数为__________．
4、（奉贤区2019届高三上期末）在二项式()612+x 的展开式中，系数最大项的系数是
（ ）
A ．20
B ．160
C ．240
D ．192
5、（金山区2019届高三上期末）用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数有( ▲ )．
(A) 60个 (B) 48个 (C) 36个 (D) 24个
6、（金山区2019届高三上期末）若集合A 1、A 2满足A 1∪A 2=A ，则称(A 1，A 2)为集合A 的一个分拆，并规定：当且仅当A 1=A 2时，(A 1，A 2)与(A 2，A 1)为集合A 的同一种分拆，则集合A={a 1，a 2，a 3}的不同分拆种数是( ▲ )．
(A)8 (B)9 (C)26 (D)27
7、（青浦区2019届高三上期末）若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的课程中恰有2门相同的选．法．
有 种. 8、（闸北区2019届高三上期末）用数字“1,2”组成一个四位数，则数字“1,2”都出现的四位偶数有 个
9、将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,
每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有 （ ）
A ．12种
B ．10种
C ．9种
D ．8种
10、若从1,2,2,,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有 （ ）
A ．60种
B ．63种
C ．65种
D ．66种
11、两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有 （ ）
A ．10种
B ．15种
C ．20种
D ．30种
12、现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为 （ ）
A ．232
B ．252
C ．472
D ．484
二、二项式定理
1、（2019年上海高考）在（1+x+）10的展开式中，x 2项的系数为 45 （结果用数值表示）．
2、（静安、青浦、宝山区2019届高三二模）在921x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，31x 的系数是 ． 3、（闵行区2019届高三二模）设二项式(31)n x +的展开式的二项式系数的和为p ，各项系数的和为q ，且1264p q +=，则n 的值为
4、（浦东新区2019届高三二模）已知21n
x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭展开式中二项式系数之和为1024，则含2x 项的系数为 210 .
5、（普陀区2019届高三二模）在*22)()n n N x ∈的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（ B ）
A.第2项
B.第3项
C.第4项
D.第5项
6、（徐汇、松江、金山区2019届高三二模）执行如图所示的程序框图，输出的结果为a ，二项式42
的展开式中3x 项的系数为2
a ，则常数m =
7、（长宁、嘉定区2019届高三二模）若8822108...)(x a x a x a a x a ++++=-（R ∈a ），且565=a ，则
=++++8210...a a a a _______________．
8、（静安区2019届高三上期末）设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则=++++8710a a a a
9、（浦东区2019届高三上期末）二项式4)2(x x +的展开式中，含3x 项系数为
10、（普陀区2019届高三上期末）在二项式81⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-x x 的展开式中，含2x 项的系数为 （结果用数值表示）.
11、（青浦区2019届高三上期末）9(1+展开式中有理项的个数．．
是 12、（上海市十三校2019届高三第二次（3月）联考）若多项式
13、（奉贤区2019届高三4月调研测试（二模））在56(1)(1)x x +-+的展开式中，含3x 的项的系数是____________．
参考答案
一、排列组合
1、 解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，
在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C 95=126种；
其中只有女教师的有C 65=6种情况；
则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；
故答案为：120．
2、D
3、472
4、C
5、B
6、D
7、180 8、7
9、选A 甲地由1名教师和2名学生:122412C C =种
10、【答案】D
【解析】1,2,2,,9这9个整数中有5个奇数,4个偶数.要想同时取4个不同的数其和为偶数,则取法有:4个
都是偶数:1种;2个偶数,2个奇数:225460C C =种;4个都是奇数:455C =种.∴不同的取法共有66种.
11、 解析:先分类:3:0,3:1,3:2共计3类,当比分为3:0时,共有2种情形;当比分为3:1时,共有12428C A =种情
形;当比分为3:2时,共有225220C A =种情形;总共有282030++=种,选D.
12、 【解析】若没有红色卡,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,若都不同色则有64141414=⨯⨯C C C 种,若2
色相同,则有14414241223=C C C C ;若红色卡片有1张,则剩余2张若不同色,有19214142314
=⨯⨯⨯C C C C 种,如同色则有72242314=C C C ,所以共有4727219214464=+++,故选C.
二、二项式定理
1、解：∵（1+x+）10 =
， ∴仅在第一部分中出现x 2项的系数． 再由
，令r=2，可得， x 2项的系数为． 故答案为：45．
2、126
3、4
4、210
5、B
6、14
7、256 8、25628= 9、24 10、70 11、5 12、0 13、－10。