二次函数的存在性问题(相似三角形的存在性问题)

二次函数的存在性问题（相似三角形）

1、已知抛物线的顶点为A (2，1)，且经过原点O ，与x 轴的另一交点为B 。

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；

(3)连接OA 、AB ，如图②，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

2、设抛物线2

2y ax bx =+-与x 轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m ，0)，与y 轴交于点C .且∠ACB=90°．

A A

B B O

O x x y y

图②

x

y

F -2 -4

-6

A

C

E P

D

B

5 2 1 2

4 6 G (1)求m 的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A 的直线1y x =+交抛物线于另一点E ．若点P 在x 轴上，以点P 、B 、D 为顶点的三角形与△AEB 相似，求点P 的坐标．(3)在(2)的条件下，△BDP 的外接圆半径等于________________．

解：(1)令x=0，得y=－2 ∴C(0，一2)．∵ACB=90°，CO ⊥AB,．∴ △AOC ∽△COB,．

∴OA ·OB=OC 2；∴OB=22

2

41

OC OA == ∴m=4．

3、已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （5，0）、B （6，-6）和原点.（1）求抛物线的函数关系式； （2）若过点B 的直线y kx b '=+与抛物线相交于点C （2，m ），请求出∆OBC 的面积S 的值.

（3）过点C 作平行于x 轴的直线交y 轴于点D ，在抛物线对称轴右侧位于直线DC 下方的抛物线上，任取一点P ，过点P 作直线PF 平行于y 轴交x 轴于点F ，交直线DC 于点E . 直线PF 与直线DC 及两坐标轴围成矩形OFED （如图），是否存在点P ，使得∆OCD 与∆CPE 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

解：（1）由题意得：255036600a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩ 解得1

50a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩

故抛物线的函数关系式为2

5y x x =-+

（2）C 在抛物线上，2

252,6m m ∴-+⨯=∴= C ∴点坐标为（2，6），

B 、

C 在直线y kx b '=+上

∴6266k b k b

'=+⎧⎨'-=+⎩ 解得3,12k b '=-=∴直线BC 的解析式为312y x =-+

设BC 与x 轴交于点G ，则G 的坐标为（4，0）11

46462422

OBC

S

∴=⨯⨯+⨯⨯-= （3）存在P ，使得OCD ∽CPE 设P (,)m n ，90ODC E ∠=∠=︒ 故2,6CE m EP n =-=-

若要OCD ∽CPE ，则要

OD DC CE EP =或OD DC EP CE = 即6226m n =--或62

62

n m =

-- 解得203m n =-或123n m =- 又(,)m n 在抛物线上，22035m n n m m =-⎧⎨

=-+⎩或2

1235n m

n m m

=-⎧⎨=-+⎩ 解得12211023,,6

509m m n n ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩

或121226

,66m m n n ==⎧⎧⎨⎨

==-⎩⎩ 故P 点坐标为1050()39，和(6,6)- 4、如图，抛物线(1)(5)y a x x =+-与x 轴的交点为M N ，．直线y kx b =+与x 轴交于(20)P -，，与y 轴交于C ．若A B ，两点在直线y kx b =+

上，且AO BO ==

，AO BO ⊥．D 为线段MN 的中点，OH 为

Rt OPC △斜边上的高．

（1）OH 的长度等于 ；k = ，b = ．

（2）是否存在实数a ，使得抛物线(1)(5)y a x x =+-以D N E ，，为顶点的三角形与AOB △是否还有符合条件的E 点（简要说明理由）每一个E 点，直线NE 与直线AB 的交点G 是否总满足

10PB PG < 解：（1）1OH

=；3k

=

，3

b =．（2）设存在实数a D N E ，，为顶点的三角形与等腰直角AOB △相似．

∴以D N E ，，为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，

一类是以DN 为直角边的等腰直角三角形，另一类是以DN 为斜边的等腰直角三角形．

①若DN 为等腰直角三角形的直角边，则ED DN ⊥．由抛物线(1)(5)y a x x =+-得：(1

0)M -，，(50)N ，．(20)D ∴，，3ED DN ∴==．E ∴的坐标为(23)，．把(23)E ，代入抛物线解析式，得1

3a =-．

∴抛物线解析式为1(1)(5)3y x x =-+-．即2145

333

y x x =-++．

②若DN 为等腰直角三角形的斜边，则DE EN ⊥，DE EN =．

E ∴的坐标为(3.51.5)

，．把(3.51.5)E ，代入抛物线解析式，得2

9a =-． ∴抛物线解析式为2(1)(5)9y x x =-+-，即22810

999

y x x =-++

当1

3a =-时，在抛物线2

145

3

33

y x x =-+

+上存在一点(23)E ，满足条件，

如果此抛物线上还有满足条件的E 点，不妨设为E '点，那么只有可能DE N '△是以DN 为斜边的等腰直角三角形，由此得(3.51.5)E '，， 显然E '不在抛物线2145333y x x =-

++上，故抛物线2145

333

y x x =-++上没有符合条件的其他的E 点． 当29a =-

时，同理可得抛物线22810

999

y x x =-++上没有符合条件的其他的E 点． 当E 的坐标为(23)，，

对应的抛物线解析式为2145

333

y x x =-++时，EDN △和ABO △都是等腰直角三角形，45

GNP PBO ∴∠=∠=又

NPG BPO ∠=∠，NPG BPO

∴△∽△．PG PN

PO PB

∴

=，

2714PB PG PO PN ∴==⨯=，∴总满足10PB PG <．当E 的坐标为(3.51.5)

，，对应的抛物线解析式为22810

999

y x x =-

++时，同理可证得：2714PB PG PO PN ==⨯=，∴

总满足10PB PG <5、如图，抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛

物线上求点M ，使△MOB 的面积是△AOB 面积的3倍；（3）连结OA ，AB ，在x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，使△OBN 与△OAB 相似？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由． 解：（1）由题意可设抛物线的解析式为1)2(2+-=x a y

∵抛物线过原点 ∴01)20(2=+-a ∴4

1

-=a ∴抛物线的解析式为1)2(412+--=x y 即x x y +-=24

1

. （2）∵△AOB 与△MOB 同底不等高 又∵S △MOB =3 S △AOB ∴△MOB 的高是△

∴x x +-=-2

413 ∴01242=--x x 解得 61=x ，22-=x ∴)36(1-，

M )32(2--，M （3）由抛物线的对称性可知：AO =AB ABO AOB ∠=∠

若△OBN 与△OAB 相似， 必须有BNO BOA BON ∠=∠=∠， 显然 )12('-，A ∴直线ON 的解析式为x y 21-

=， 由x x x +-=24

1

21，得01=x ，62=x ∴)36(-，

N 过N 作NE ⊥x 轴，垂足为E . 在Rt △BEN 中，BE =2，NE =3，∴133222=+=NB 又OB =4 ∴NB ≠OB