3-2 劳斯判据

① s4 s3 s2 s1 s0
1
1
1
∵特征方程式不缺项且系数为正值， ε→0+时， c41 < 0，劳斯表中第一列 元素符号改变了两次。 ∴系统不稳定，有两个正根。
3
0(ε)
3 3
3
1
0
② （s+1）乘以原特征方程，得新的特征方程为：
D1(s) = D(s)(s + 1) = s5+4s4 +4s3 + 4s2 + 4 s + 1 = 0 1 4 4 s5
8
3.5.2 劳斯判据

劳斯判据是一种根据系统闭环特征方程式来判断特征根在
s平面的位置，从而决定系统的稳定性的代数判别方法。

是劳斯于1877年提出的，因此叫劳斯稳定性判据。它能够 判定一个多项式方程中是否存在位于复平面右半部的正根， 而不必求解方程。由此劳斯获得了亚当奖。
劳斯判据的应用程序如下：
2
则就不能恢复到初始平衡状态，则称为小范围稳定的系统。
如果系统受到有界扰动，系统在取消扰动后无法恢 复到初始平衡状态，则称为不稳定的系统。
3
对于稳定的线性系统，它必然在大范围内和小范 围内都能稳定，只有非线性系统才可能有小范围稳定 而大范围不稳定的情况。
4

单摆运动
b
a
5
线性控制系统稳定性的定义如下：若线性控制系 统在初始扰动(t)的影响下，其过渡过程随着时间的推 移逐渐衰减并趋向于零，则称系统为稳定。反之，则 为不稳定。 线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性， 而与输入信号无关。 根据定义输入(t)，其输出为脉冲过渡函数g(t)。 如果当 t→∞时， g(t)收敛到原来的平衡点，即有
s4
s3
1
0
3
0
2
s2
s1
s0
此时，特征方程中存在对原点对称的 根（实根，共轭虚根或共轭复数根）。 19 对此情况，可作如下处理：
用全为零上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助 方程求导，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。 s5 s4 s3 s2 s1 1 1
0 4
3 3
6 0
2 2
0
F(s) =s4 +3s2+ 2 F(s)= 4s3 +6s
i k
q
r
(t 0)
式中 dk k 1 k2；k =arccos k ；Ak、Bk是与 7
C(s)在对应闭环极点上的留数有关的常数。
线性系统稳定的充要条件
线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有 根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均位于 s左半平面（不包括虚轴）。 根据稳定的充要条件决定系统的稳定性，必须知道 系统特征根的全部符号。如果能解出全部根，则立即可 判断系统的稳定性。然而对于高阶系统，求根的工作量 很大，常常希望使用一种直接判断根是否全在s左半平 面的代替方法，下面就介绍劳斯代数稳定判据。
lim g ( t ) 0
t
那么，线性系统是稳定的。
6
不失一般性，设n 阶系统的闭环传递函数为
M ( s) bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 ( s) D( s ) an s n an1 s n1 a1 s a0
bm C (s) ( s) C ( s) R( s) an
a si 1 a0 i 1
n
a2 si s j a i 1 0
j 1 i j
n

an si (1) a i 1 0
n
n
从上式可以导出，系统特征根都具有负实部的必 要条件为： ai aj > 0 ( i, j =1,2, , n)
11
即闭环特征方程各项同号且不缺项。 如果特征方程不满足上式的条件，系统必然不 稳定。但满足上式，还不能确定一定是稳定的，因为 上式仅是必要条件。 要得到系统稳定的充要条件，必须列写劳斯表。

根的分布情况 如果劳斯表的第一列元素不全为正的，那么劳斯表中第 一列元素符号改变的次数，等于该特征方程位于右半s平面 上根的个数。
例3-5 设有下列特征方程D(s) = s4 +2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0试 用劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。
解：劳斯表
s4 s3 s2 s1 s0
1 2 1 6 5
3 4 5 0
5 0
特征方程式不缺项，且系数都为正值，劳斯表的第一列 15 元素 符号改变了2次，∴系统不稳定，且s 右半平面有2 个根。
3.5.3 两种特殊情况

第一种特殊情况：劳斯表中某行的第一列元素为零， 而其余各项不为零，或不全为零。对此情况，有两 种处理方法。

第二种特殊情况：劳斯表中某行元素全为零。对
12
劳斯表的组成
D(s) a0 s n a1s n1 a2 s n2 an1s an 0 闭环特征方程式：
劳 sn sn−1 sn−2 sn−3 … s0 a0 （c11） a1 （c21） c31 c41 … an a2 （c12） a3 （c22） c32 c42 … 斯 表 a4 （c13） a5 （c23） c33 c43 … … … … … … … … … … …
0< K < 6
22
②确定系统的相对稳定性 例3-9 检验多项式 2s3 + 10s2 + 13s + 4 = 0 是否有根在s 右半平面，并检验有几个根在垂直线 s = 1 的右边？
解：1)
s3 s2
2 10
13 4
劳斯表中第ห้องสมุดไป่ตู้列元素均 为正
∴系统在s 右半平面没有 根，系统是稳定的。
s1
s0
①确定一个或两个参数变化对系统稳定性的影响 例3-8 已知系统结构图如下，试确定使系统稳定时K 的取值范围。 R(s) C(s) K + ﹣ s(s+1)(s+2) 解：系统特征方程式 s3 1 2 s2 s1 s0 3 (6 K)/3 K K s3 + 3s2 + 2s + K = 0
要使系统稳定，劳斯表中第 一列元素均大于零。
( i 3, j = 1, 2, )
2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。
3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。
劳斯判据判断系统稳定性的步骤：

稳定的充要条件：
1、系统的闭环特征方程式s的幂次不缺项； 2、全部系数为正值；
3、由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都要是正的。
(s z )
j
m
( s pi ) ( s 2 2 k k s k2 )
i 1 k 1
q
j 1 r
式中，0 < k <1 。即系统有q 个实极点和r 对共轭复数极点。 取拉氏反变换，并设全部初始条件为零，得到系统单位脉冲响应的时间表达式：
g( t ) Ai e pi t Bk e kk t sin( dk t k )
3/2 2/3 2
2 0
特征方程式不缺项且系数为正值，劳斯表中
第一列元素的符号无变化，∴系统没有正实部 的根。解辅助方程求出系统有两对纯虚根，系
20 统处于临界（不）稳定。两对纯虚根分别是
s0
s=±j和s=±√2j，剩下的一个根是s=-1。
劳斯判据小结
控制系统稳定的充要条件是：
1、系统的闭环特征方程式s的幂次不缺项； 2、全部系数为正值； 3、由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都要是正的。
表中：1）最左一列元素按s 的幂次排列，由高到低， 只起标识作用，不参与计算。
ci c c2 1 112c,1,1,1 cci1,12,,3j 1 1 cij c32 c 31 c2 1 ci 1,1ccc,21i,1c,c,21,1 cic,22,3j 1 2 2 1 1
两种特殊情况：
第一种特殊情况：劳斯表中某行的第一列元素为零，而其余 各项不为零，或不全为零。对此情况有以下两种处理方法： 1、用一个很小的正数ε 来代替第一列为零的项； 2、可用因式（s+a）乘以原特征方程。 第二种特殊情况：劳斯表中某行元素全为零。对此情况，可 做辅助方程来重新列写劳斯表。
3.5.4 劳斯判据在系统分析中的应用
s4 s3 s2 s1 4 4 1 特征方程式不缺项且系数为正值，
1
3
-1 27/4 1
15/4
1 0
劳斯表中第一列元素符号改变了两次。
结论是：系统不稳定，有两个正根
（ S=-1是一个负实根）。
18
s0
例3-7 设某线性系统的闭环特征方程为 D(s) = s5+s4 +3s3 + 3s2 + 2 s + 2 = 0 试用劳斯判据判断系统稳定性。 解: 该系统的劳斯表如下 s5 1 3 2
劳斯判据下控制系统稳定的充要条件是：系统的闭环
特征方程式s的幂次不缺项，全部系数为正值，且由该方 程式作出的劳斯表中第一列全部元素都要是正的。 劳斯表的列写步骤：
1、劳斯表的第一行的组成：从特征方程式的最高幂次项系数开始，
每隔一幂次项系数写一个，直到没有可写的系数了； 2、劳斯表的第二行由剩余的项的系数从幂次高的到低的依次列写 组成； 3、从第三行开始，将由计算公式来决定。
24
12.2
4
2) 令 s = s1 1 2 s13 + 4 s12 s1 1 = 0
坐标平移，得新特征方程为
23
2 s13 + 4 s12 s1 1 = 0 s13 s12 s10
2
4 1
1
1
s11 0.5
劳斯表中第一列元素不全为正，且第一列元素符号 改变了一次，故系统在s1 右半平面有一个根。因此，系 统在垂直线 s = 1的右边有一个根。
线性系统的稳定性分析
朱文兴
3.5 3.5.1
线性系统的稳定性分析 稳定的概念
所谓稳定性是指系统在受到外界力的作用后恢复 平衡状态的能力。
如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多大， 当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态， 则这种系统称为大范围稳定的系统； 如果系统受到有界扰动，只有当扰动引起的初始偏差小于 某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否
此情况，可做辅助方程来重新列写劳斯表。
例3-6 系统的特征方程为 D(s) = s4 +3s3+ s2 + 3s + 1 = 0 试用劳斯判据判断系统的稳定性。 解：系统的劳斯表为 s4 s3 s2 s1 s0 1 3 0 1 3 1 1
第一种特殊情况出现，可作如下处理：
① 用一个很小的正数ε 来代替第一列 为零的项，从而使劳斯表继续下去。 ② 可用因式（s+a）乘以原特征方程， 其中a可为任意正数，再对新的特征方 17 程应用劳斯判据。
设线性系统的闭环特征方程为
D( s ) a0 s n a1 s n1 a2 s n 2 an1 s an a0 ( s si ) 0
10
n
i 1
式中，a0 >0 ，an ≠ 0, si（i =1,2 , , n）是系统的n个闭
环极点。根据代数方程的基本理论，下列关系式成立：