江苏省13市2017届高三数学上学期测试习题分类汇编统计与概率

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江苏省苏北四市2017届高三上学期期中学考试试数学精彩试题(解析汇报版)

2016-2017学年江苏省苏北四市联考高三（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知全集U={﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，2}，则∁U A= ．2．已知复数z 满足z （1﹣i ）=2，其中i 为虚数单位，则z 的实部为．3．函数y=cos （x+）的最小正周期为．4．如图是一个算法的流程图，则输出x 的值为．5．某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取人．6．若随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为．7．设实数x ，y 满足，则3x+2y 的最大值为．8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 2=3，S 4=16，则S 9的值为．9．将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是．11．若tan β=2tan α，且cos αsin β=，则sin （α﹣β）的值为．12．已知正数a，b满足+=﹣5，则ab的最小值为．13．已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB=8，CD=6，则•的取值范围是．14．已知函数f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|，x∈[﹣3，3]．若f（x）的最大值是0，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15．（14分）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanB=2，tanC=3．（1）求角A的大小；（2）若c=3，求b的长．16．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF⊥C1D．求证：（1）直线A1E∥平面ADC1；（2）直线EF⊥平面ADC1．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣4x=0及点A（﹣1，0），B（1，2）（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN=AB，求直线l的方程；（2）在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．18．（16分）某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中∠ABC=∠BAD=90°，AD=DC=2km，BC=1km．现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将绿地分成面积相等的两部分．（1）如图①，若E为CD的中点，F在边界AB上，求灌溉水管EF的长度；（2）如图②，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度．19．（16分）在数列{an }中，已知a1=，an+1=an﹣，n∈N*，设Sn为{an}的前n项和．（1）求证：数列{3n a n}是等差数列；（2）求S n；（3）是否存在正整数p，q，r（p＜q＜r），使S p，S q，S r成等差数列？若存在，求出p，q，r的值；若不存在，说明理由．20．（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax2+ax，a为正实数．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求证：f（）≤0；（3）若函数f（x）有且只有1个零点，求a的值．[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的垂线，垂足为F．求证：AB2=BE•BD﹣AE•AC．[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）求椭圆C：+=1在矩阵A=对应的变换作用下所得的曲线的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．设c＞0，|x﹣1|＜，|y﹣1|＜，求证：|2x+y﹣3|＜c．七、解答题（共2小题，满分20分）25．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AP=4，AB=BC=2，M为PC的中点．（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；（2）点N在线段AD上，且AN=λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．26．（10分）设n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2．（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）证明：对任意正整数n，f（n）是8的倍数．2016-2017学年江苏省苏北四市联考高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（2016秋•江苏期中）已知全集U={﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，2}，则∁U A= {0，1} ．【考点】补集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】根据补集的定义进行计算即可．【解答】解：全集U={﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，2}，所以∁U A={0，1}．故答案为：{0，1}．【点评】本题考查了补集的定义与计算问题，是基础题目．2．（2016秋•江苏期中）已知复数z满足z（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z的实部为 1 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（1﹣i）=2，得，∴z的实部为1．故答案为：1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（2016秋•江苏期中）函数y=cos（x+）的最小正周期为4π．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；定义法；三角函数的图像与性质．【分析】找出ω的值，代入周期公式计算即可得到结果．【解答】解：∵ω=，∴函数的最小正周期T==4π，故答案为：4π【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．4．（2016秋•江苏期中）如图是一个算法的流程图，则输出x的值为23 ．【考点】程序框图．【专题】综合题；数形结合；数形结合法；算法和程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的S是什么．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，知第1次循环，x=5，n=2；第2次循环，x=11，n=3；第3次循环，x=23，n=4；退出循环，输出x=23．故答案为：23．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结果，是基础题．5．（2016秋•江苏期中）某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取8 人．【考点】分层抽样方法．【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计．【分析】先求出足球、篮球、排球的成员的比例，再根据比例确定足球兴趣小组应抽取的学生数．【解答】解：足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人则比例为40：60：20=2：3：1，则足球兴趣小组中应抽取：24×=8人故答案为：8．【点评】本题考查基本的分层抽样，本题考查分层抽样的定义和方法，用样本容量除以每个个体被抽到的概率等于个体的总数．属基本题．6．（2016秋•江苏期中）若随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；集合思想；定义法；概率与统计．【分析】先求出基本事件总数，再求出这两个数恰好为一奇一偶包含的基本事件个数，由此能求出这两个数恰好为一奇一偶的概率．【解答】解：随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，基本事件总数n=，这两个数恰好为一奇一偶包含的基本事件个数m==6，∴这两个数恰好为一奇一偶的概率p==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．7．（2016秋•江苏期中）设实数x，y满足，则3x+2y的最大值为 3 ．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图：设z=3x+2y，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点C时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即C（1，0），此时z max=3×1+2×0=3，故答案为：3【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．8．（2016秋•江苏期中）设S n是等差数列{a n}的前n项和，且a2=3，S4=16，则S9的值为81 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 2=3，S 4=16，∴a 1+d=3，4a 1+d=16，解得a 1=1，d=2．则S 9=9+×2=81．故答案为：81．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（2016秋•江苏期中）将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】综合题；方程思想；演绎法．【分析】几何体为两个同底等高的圆锥的组合体．【解答】解：等腰直角三角形的斜边长为4，斜边的高为2．∴旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥的组合体．圆锥的底面半径为2，高为2．∴几何体的体积V=2×=．故答案为：．【点评】本题考查了旋转体的结构特征和体积计算，属于基础题．10．（2016秋•江苏期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是．【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由B 2F ⊥AB 1，可得•=0，即可得出．【解答】解：F （c ，0），A （a ，0），B 1（0，﹣b ），B 2（0，b ），∴=（﹣c ，b ），=（a ，b ），∵B 2F ⊥AB 1，∴•=﹣ac+b 2=0， ∴a 2﹣c 2﹣ac=0，化为：e 2+e ﹣1=0，0＜e ＜1．解得e=，故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（2016秋•江苏期中）若tan β=2tan α，且cos αsin β=，则sin （α﹣β）的值为 ﹣ ．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得 2sin αcos β=cos αsin β，再根据cos αsin β=，求得 sin αcos β的值，利用两角差的正弦公式求得sin （α﹣β）的值．【解答】解：∵tan β=2tan α，即=2， ∴2sin αcos β=cos αsin β．∵cos αsin β=，∴sin αcos β=，则sin （α﹣β）=sin αcos β﹣cos αsin β=﹣=﹣，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．12．（2016秋•江苏期中）已知正数a ，b 满足+=﹣5，则ab 的最小值为 36 ．【考点】基本不等式．【专题】转化思想；不等式．【分析】正数a ，b 满足+=﹣5，﹣5≥，化为：﹣5﹣6≥0，解出即可得出．【解答】解：∵正数a ，b 满足+=﹣5， ∴﹣5≥，化为：﹣5﹣6≥0，解得≥6，当且仅当=，+=﹣5，即a=2，b=18时取等号．解得ab ≥36．故答案为：36．【点评】本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（2016秋•江苏期中）已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB=8，CD=6，则•的取值范围是[﹣9，0] ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】以AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设出点M（x，y），表示出•，求出它的最值即可．【解答】解：以AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示；且圆O的直径为AB，设M（x，y），则A（4，0），B（﹣4，0），=（4﹣x，﹣y），=（﹣4﹣x，﹣y）；•=（4﹣x）（﹣4﹣x）+（﹣y）2=x2+y2﹣16，又M是圆O的弦CD上一动点，且CD=6，所以16﹣9≤x2+y2≤16，即7≤x2+y2≤16，其中最小值在CD的中点时取得，所以•的取值范围是[﹣9，0]．故答案为：[﹣9，0]．【点评】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，解题的关键是建立适当的平面直角坐标系，表示出出•，是综合性题目．14．（2016秋•江苏期中）已知函数f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|，x∈[﹣3，3]．若f（x）的最大值是0，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5] ．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|=|x﹣2|（|x+2|+a）≤0，分离参数，得到a≤﹣|x+2|，设y=﹣|x+2|，x∈[﹣3，3]．画出图象，结合图象即可得到a的取值范围．【解答】解：f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|=|x﹣2|（|x+2|+a）≤0，当x=2时，f（x）=0恒成立，当x≠2时，∴|x+2|+a≤0，∴a≤﹣|x+2|，设y=﹣|x+2|，x∈[﹣3，3]．则其图象为：由图象可知y min=﹣5，a≤﹣5，故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]，故答案为：（﹣∞，﹣5]【点评】本题考查了参数的取值的范围，关键是分离参数，属于基础题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15．（14分）（2016秋•江苏期中）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanB=2，tanC=3．（1）求角A的大小；（2）若c=3，求b的长．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）利用两角和的正切函数公式表示出tan（B+C），把tanB和tanC的值代入即可求出tan （B+C）的值，根据三角形的内角和定理及诱导公式得到tanA等于﹣tan（B+C），进而得到tanA的值，结合A的范围即可得解；（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，sinC的值，进而利用正弦定理即可得解b的值．【解答】（本题满分为10分）解：（1）因为：tanB=2，tanC=3，tan（B+C）===﹣1，…（3分）因为：A=180°﹣B﹣C，（4分）所以：tanA=tan（180°﹣（B+C））=﹣tan（B+C）=1…因为：A∈（0，π），所以：A=．（2）因为：c=3，tanB=2，tanC=3．所以：sinB=，sinC=，所以由正弦定理可得：b===2…（10分）【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式，三角形的内角和定理，诱导公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．16．（14分）（2016秋•江苏期中）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF⊥C1D．求证：（1）直线A1E∥平面ADC1；（2）直线EF⊥平面ADC1．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】（1）连接ED，∵D，E分别为BC，B1C1的中点．可得四边形B1BDE是平行四边形，进而证明四边形AA1ED是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明直线A1E∥平面ADC1．（2）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，利用线面垂直的判定与性质定理可得AD⊥BB1，又△ABC是正三角形，可得AD⊥BC，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论．【解答】证明：（1）连接ED，∵D，E分别为BC，B1C1的中点，∴B1E∥BD且B1E=BD，∴四边形B1BDE是平行四边形，∴BB1∥DE且BB1=DE，又BB1∥AA1且BB1=AA1，∴AA1∥DE且AA1=DE，∴四边形AA1ED是平行四边形，∴A1E∥AD，又∵A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，∴直线A1E∥平面ADC1．（2）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1，又△ABC是正三角形，且D为BC的中点，∴AD⊥BC，又BB1，BC⊂平面B1BCC1，BB1∩BC=B，∴AD⊥平面B1BCC1，又EF⊂平面B1BCC1，∴AD⊥EF，又EF⊥C1D，C1D，AD⊂平面ADC1，C1D∩AD=D，∴直线EF⊥平面ADC1．【点评】本题考查了空间位置关系、线面平行与垂直的判定性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（14分）（2016秋•江苏期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣4x=0及点A （﹣1，0），B（1，2）（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN=AB，求直线l的方程；（2）在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；演绎法；直线与圆．【分析】（1）求出圆心C到直线l的距离，利用勾股定理建立方程，即可求直线l的方程；（2）求出P的轨迹方程，利用两圆的位置关系，即可得出结论．【解答】解：（1）圆C的标准方程为（x﹣2）2+y2=4，所以圆心C（2，0），半径为2．因为l∥AB，A（﹣1，0），B（1，2），所以直线l的斜率为，设直线l的方程为x﹣y+m=0，…（2分）则圆心C到直线l的距离为．…（4分）因为，而，所以，…（6分）解得m=0或m=﹣4，故直线l的方程为x﹣y=0或x﹣y﹣4=0．…（8分）（2）假设圆C上存在点P，设P（x，y），则（x﹣2）2+y2=4，PA2+PB2=（x+1）2+（y﹣0）2+（x﹣1）2+（y﹣2）2=12，即x2+y2﹣2y﹣3=0，即x2+（y﹣1）2=4，…（10分）因为，…（12分）所以圆（x﹣2）2+y2=4与圆x2+（y﹣1）2=4相交，所以点P的个数为2．…（14分）【点评】本题考查了直线与圆的方程的求法，考查了圆与圆的位置关系，是中档题．18．（16分）（2016秋•江苏期中）某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中∠ABC=∠BAD=90°，AD=DC=2km，BC=1km．现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将绿地分成面积相等的两部分．（1）如图①，若E为CD的中点，F在边界AB上，求灌溉水管EF的长度；（2）如图②，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】综合题；转化思想；演绎法．【分析】（1）取AB中点G，则四边形BCEF的面积为，求出GF，即可求灌溉水管EF的长度；（2）△ADC中，由余弦定理，得，即可求灌溉水管EF的最短长度．【解答】解：（1）因为AD=DC=2，BC=1，∠ABC=∠BAD=90°，所以，…（2分）取AB中点G，则四边形BCEF的面积为，即=，解得，…（6分）所以（km ）．故灌溉水管EF 的长度为km ．…（8分）（2）设DE=a ，DF=b ，在△ABC 中，，所以在△ADC 中，AD=DC=CA=2，所以∠ADC=60°，所以△DEF 的面积为，又，所以，即ab=3．…（12分）在△ADC 中，由余弦定理，得，当且仅当时，取“=”．故灌溉水管EF 的最短长度为km ．…（16分）【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，考查余弦定理，属于中档题．19．（16分）（2016秋•江苏期中）在数列{a n }中，已知a 1=，a n+1=a n ﹣，n ∈N *，设S n 为{a n }的前n 项和．（1）求证：数列{3na n }是等差数列；（2）求S n ；（3）是否存在正整数p ，q ，r （p ＜q ＜r ），使S p ，S q ，S r 成等差数列？若存在，求出p ，q ，r 的值；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【专题】计算题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）把给出的数列递推式a n+1=a n ﹣，n ∈N *，变形后得到新数列{3n a n }，该数列是以1为首项，以﹣2为公差的等差数列；（2）由（1）推出{a n }的通项公式，利用错位相减法从而求得求S n ；（3）根据等差数列的性质得到2S q =S p +S r ，从而推知p ，q ，r 的值．【解答】（1）证明：由a n+1=a n ﹣，n ∈N *，得到3n+1a n+1=3na n ﹣2，则3n+1a n+1﹣3na n =﹣2．又∵a 1=，∴3×a 1=1，数列{3na n }是以1为首项，以﹣2为公差的等差数列；（2）由（1）可以推知：3na n =1﹣2（n ﹣1），所以，a n =，所以S n =﹣﹣﹣﹣…﹣，①S n =﹣﹣﹣﹣…﹣，②①﹣②，得S n =﹣2（+++…+）﹣，=﹣2×﹣，=，所以S n =．（3）假设存在正整数p ，q ，r （p ＜q ＜r ），使S p ，S q ，S r 成等差数列．则2S q =S p +S r ，即=+．由于当n ≥2时，a n =＜0，所以数列{S n }单调递减．又p ＜q ，所以p≤q﹣1且q至少为2，所以≥，﹣=．①当q≥3时，≥≥，又＞0，所以＜+，等式不成立．②当q=2时，p=1，所以=+．所以=，所以r=3，（数列{S n}单调递减，解唯一确定）．综上可知，p，q，r的值分别是1，2，3．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（16分）（2016秋•江苏期中）设函数f（x）=lnx﹣ax2+ax，a为正实数．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求证：f（）≤0；（3）若函数f（x）有且只有1个零点，求a的值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题；转化思想；演绎法；导数的概念及应用．【分析】（1）求导数，确定切线的斜率，切点坐标，可得切线方程；（2）构造函数，确定函数的单调性与最值，即可证明结论；（3）由（1）可知，a=2时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=0，即可得出结论．【解答】（1）解：当a=2时，f（x）=lnx﹣2x2+2x，f′（x）=﹣2x+1，∴f′（1）=0，∵f（1）=0，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=0；（2）证明：f（）=﹣lna﹣+1（a＞0），令g（x）=﹣lnx﹣+1（x＞0），则g′（x）=，∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，函数单调递增；x＞1时，g′（x）＜0，函数单调递减，∴x=1时，函数取得极大值，即最大值，∴g（x）≤g（1）=0，∴f（）≤0；（3）解：由（1）可知，a=2时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=0，∴若函数f（x）有且只有1个零点，则a=2．【点评】本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）（2016•宿迁三模）如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的垂线，垂足为F．求证：AB2=BE•BD﹣AE•AC．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆知，BD•BE=BA•BF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BE•BD﹣AE •AC．【解答】证明：连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠AFE=90°，则A，D，E，F四点共圆，∴BD•BE=BA•BF，又△ABC∽△AEF，∴，即AB•AF=AE•AC∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB•（BF﹣AF）=AB2．【点评】本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）（2016秋•江苏期中）求椭圆C：+=1在矩阵A=对应的变换作用下所得的曲线的方程．【考点】几种特殊的矩阵变换．【专题】选作题；转化思想；演绎法；矩阵和变换．【分析】确定变换前后坐标之间的关系，代入椭圆方程，即可求出曲线的方程．【解答】解：设椭圆C上的点（x1，y1）在矩阵A对应的变换作用下得到点（x，y），则，…则代入椭圆方程，得x2+y2=1，所以所求曲线的方程为x2+y2=1．…（10分）【点评】本题考查矩阵变换，考查学生的计算能力，确定坐标之间的关系是关键．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016秋•江苏期中）已知曲线C的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】方程思想；转化思想；坐标系和参数方程．【分析】由展开得，再利用互化公式即可得出．【解答】解：由展开得，又ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴曲线C的直角坐标方程为．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016秋•江苏期中）设c＞0，|x﹣1|＜，|y﹣1|＜，求证：|2x+y﹣3|＜c．【考点】绝对值三角不等式．【专题】选作题；转化思想；演绎法；不等式．【分析】运用绝对值不等式的性质：|a+b|≤|a|+|b|，结合不等式的基本性质，即可得证．【解答】证明：由c＞0，|x﹣1|＜，|y﹣1|＜，可得|2x+y﹣3|=|2（x﹣1）+（y﹣1）|≤2|x﹣1|+|y﹣1|＜=c，则|2x+y﹣3|＜c成立．【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题．七、解答题（共2小题，满分20分）25．（10分）（2016秋•江苏期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AP=4，AB=BC=2，M为PC的中点．（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；（2）点N在线段AD上，且AN=λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间角．【分析】（1）分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出，，利用向量的夹角公式，即可求异面直线AP，BM所成角的余弦值；（2）求出平面PBC的一个法向量，利用直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．【解答】解：（1）因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，又因为∠BAD=90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直．分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由AD=2AB=2BC=4，PA=4可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0），P（0，0，4），又因为M为PC的中点，所以M（1，1，2）．所以，，…（2分）所以=，所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为．…（2）因为AN=λ，所以N（0，λ，0）（0≤λ≤4），则，，，设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则令x=2，解得y=0，z=1，所以=（2，0，1）是平面PBC的一个法向量．…（7分）因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，所以，解得λ=1∈[0，4]，所以λ的值为1．…（10分）【点评】本题考查空间角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．26．（10分）（2016秋•江苏期中）设n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2．（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）证明：对任意正整数n，f（n）是8的倍数．【考点】函数的值．【专题】计算题；方程思想；归纳法；函数的性质及应用．【分析】（1）由n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2，分别取n=1，2，3，能求出f（1），f（2），f（3）的值．（2）利用用数学归纳法能证明对任意正整数n，f（n）是8的倍数．【解答】解：（1）∵n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2，∴f（1）=3+7﹣2=8，f（2）=32+72﹣2=56，f（3）=33+73﹣2=368．证明：（2）用数学归纳法证明如下：①当n=1时，f（1）=3+7﹣2=8，成立；②假设当n=k时成立，即f（k）=3k+7k﹣2能被8整除，则当n=k+1时，f（k+1）=3k+1+7k+1﹣2=3×3k+7×7k﹣2=3（3k+7k﹣2）+4×7k+4=3（3k+7k﹣2）+4（7k+1），∵3k+7k﹣2能被8整除，7k+1是偶数，∴3（3k+7k﹣2）+4（7k+1）一定能被8整除，即n=k+1时也成立．由①②得：对任意正整数n，f（n）是8的倍数．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数值是8的倍数的证明，是基础题，解题时要认真审，注意数学归纳法的合理运用．。

2017年江苏省高考数学试卷(含答案解析)

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2017年江苏省高考数学试卷一.填空题1．（5分）已知集合A={1，2｝，B=｛a，a2+3}．若A∩B=｛1｝，则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=(1+i）（1+2i)，其中i是虚数单位，则z的模是．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 3．件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是．5．(5分）若tan（α﹣）=．则tanα= ．6．（5分)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．7．(5分)记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5］上随机取一个数x，则x∈D的概率是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．9．（5分）等比数列｛a n｝的各项均为实数,其前n项为S n,已知S3=，S6=，则a8= ．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．11．（5分）已知函数f(x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f （2a2）≤0．则实数a的取值范围是．12．(5分）如图，在同一个平面内,向量，,的模分别为1，1，，与的夹角为α,且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m,n∈R),则m+n= ．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A(﹣12，0），B(0,6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．（5分）设f(x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1)上，f（x）=，14．其中集合D={x|x=，n∈N*｝,则方程f（x)﹣lgx=0的解的个数是．二。

2017年高考江苏卷数学试题及答案解析

2017年高考江苏卷数学试题1.已知集合{}=1,2A ，{}=+2,3B a a ，若A B ={1}则实数a 的值为________2.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件4.右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出的y 的值是5.若tan 1-=46πα⎛⎫ ⎪⎝⎭,则tan α= 6.如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下面及母线均相切。

记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是7.记函数()f x =的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ，则x ∈ D 的概率是8.在平面直角坐标系xoy k ,双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是9.等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为Sn ，已知36763，44S S ==，则8a =10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则x 的值是11.已知函数()3xx 12x+e -e -f x =x ，其中e 是自然数对数的底数，若()()2a-1+2a ≤f f 0，则实数a 的取值范围是。

12.如图，在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC ,的模分别为1,1OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°。

若OC =m OA +n OB （m ，n ∈R ），则m+n=13.在平面直角坐标系xOy 中，A （-12,0），B （0,6），点P 在圆O ：x2+y2=50上，若·20，则点P 的横坐标的取值范围是 .14.设f(x)是定义在R 且周期为1的函数，在区间)0,1⎡⎣上，()2,,x x D f x x x D ⎧∈=⎨∉⎩其中集合。

江苏省13市2020届高三上学期期中期末考试数学试题分类汇编：统计与概率

江苏省13市2020届高三上学期期中期末考试数学试题分类汇编统计与概率一、统计1、（常州市2020届高三上学期期末考试）已知一组数据17,18,19,20,21，则该组数据的方差是2、（南京、盐城市2020届高三上学期期末考试）已知样本789，x，y 的平均数是9，且xy 110 ，则此样本的方差是_______3、（南通、泰州市2020届高三上学期期末考试）某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5 名党员教师学习积分的平均值为_______.x的4、（苏北四市（徐州、宿迁、淮安、连云港）2020届高三上学期期末考试）若一组数据7,,6,8,8平均数为7，则该组数据的方差是_____.5、（苏州市2020届高三上学期期末考试）为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的车辆数，得到以下频率分布直方图（如图），已知在[5，7)之间通过的车辆数是440辆，则在[8，9)之间通过的车辆数是．6、（无锡市2020届高三上学期期末考试）某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟.7、（徐州市2020届高三上学期期中考试）某学校共有学生3000人，其中高一年级800人，高二年级1200人，高三年级1000人．为了了解该校学生的健康状况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若从高一年级抽取了160人，则应从高二年级抽取人．8、（扬州市2020届高三上学期期末考试）用分层抽样方法从某校三个年级学生中抽取一个容量为90的样本。

在高一抽40人，高二抽30人，若高三有400人，则该校共有人9、（扬州市2020届高三上学期期末考试）若一组样本数据21,19，x,20,18的平均数为20，则该组样本数据的方差为参考答案：5、1001、22、23、404、456、7.57、2408、18009、2二、概率1、（常州市2020届高三上学期期末考试）某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率是2、（南京、盐城市2020届高三上学期期末考试）学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为_________.3、（南通、泰州市2020届高三上学期期末考试）将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次，则恰好出现 2 次正面向上的概率为______.4、（苏北四市（徐州、宿迁、淮安、连云港）2020届高三上学期期末考试）某学校高三年级有,A B 两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为______.5、（苏州市2020届高三上学期期末考试）从2名男生和1名女生中任选2名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概率为．6、（无锡市2020届高三上学期期末考试）小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_____.7、（徐州市2020届高三上学期期中考试）甲、乙两人依次从标有数字0，1，2的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字0的卡片的概率为8、（扬州市2020届高三上学期期末考试）已知{}{}(,)|4,0,0,(,)|2,0,0x y x y x y A x y x y x y Ω=+<>>=<>->，若向区域Ω上随机投掷一点P ，则点P 落在区域A 的概率为9、（扬州市2020届高三上学期期中考试）从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是．10、（常州市2020届高三上学期期末考试）批量较大的一批产品中有30％的优等品，现进行重复抽样检查，共取3个样品，以X 表示这3个样品中的优等品的个数.（1）求取出的3个样品中有优等品的概率；（2）求随机变量X 的概率分布及数学期望E(X).11、（南通、泰州市2020届高三上学期期末考试）一只口袋装有形状、大小完全相同的5 只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1 只.现从口袋中先后有放回地取球2n 次，且每次取1 只球.（1）当n=3时，求恰好取到3 次红球的概率；（2）随机变量X 表示2n 次取球中取到红球的次数，随机变量求Y 的数学期望（用n 表示）12、（扬州市2020届高三上学期期末考试）甲、乙两人采用五局三胜制的比赛，即一方先胜，则三局比赛结束.甲每场比赛获胜的概率均为23.设比赛局数为X.（1）求3X 得概率；（2）求X的分布列和数学期望. 参考答案：1、7102、233、384、125、326、127、138、149、2510、11、12、。

2017年全国高考数学试题及答案-江苏卷

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1. 已知集合2{1,2},{,3}A B a a ==+，若{1}AB =，则实数a 的值为________2. 已知复数(1)(12)z i i =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是__________3. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件4. 右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出的y 的值是 5. 若1tan()46a π-=，则tan a = 6. 如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下面及母线均相切。

记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是 7.记函数()f x = D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ，则x ∈ D 的概率是8. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是 9. 等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知36763,44S S ==，则8a = 10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则x 的值是11. 已知函数31()2xxf x x x e e =-+-，其中e 是自然数对数的底数，若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是。

12. 如图，在同一个平面内，向量,,OA OB OC 的模分别为1,1，OA 与OC 的夹角为a ，且t a n 7a =，OB 与OC 的夹角为45°。

【全国市级联考】江苏省南京市2017届高三上学期学情调研数学01(解析版)

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{0,1,2}A =，2{|0}B x x x =-≤，则A B = .【答案】{0，1} 【解析】试题分析：2{|0}[0,1]B x x x =-≤=，A B ={0，1}考点：集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2.设复数z 满足()34z i i i +=-+（i 为虚数单位），则z 的模为 .【答案】考点：复数的模【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi3.为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40,80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40,60)内的汽车有辆.【答案】80 【解析】试题分析：时速在区间[40,60)内的汽车有200(0.010.03)1080.⨯+⨯= 考点：频率分布直方图 4.若函数()sin()6f x x πω=+(0)ω>的最小正周期为π，则()3f π的值是 . 【答案】12考点：三角函数周期【方法点睛】已知函数sin()(A 0,0)y A x B ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω=(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.5.下图是一个算法的流程图，则输出k 的值是 .【答案】5 【解析】考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6.设向量(1,4)a =-，(1,)b x =-，3c a b =+，若//a c ，则实数x 的值是 . 【答案】4 【解析】试题分析：由题意得(1,4)//(2,43x)843x x 4---+⇒=-+⇒= 考点：向量平行7.某单位要在四名员工（含甲乙两人）中随机选两名到某地出差，则甲乙两人中，至少有一人被选中的概率是 . 【答案】56【解析】考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线222:1(0)4x y C a a -=>的一条渐近线与直线21y x =+平行，则实数a的值是 . 【答案】1 【解析】试题分析：由题意得221a a=⇒= 考点：双曲线渐近线9.在平面直角坐标系xOy 中，若直线20ax y +-=与圆心为C 的圆22(1)()16x y a -+-=相交于,A B 两点，且ABC ∆为直角三角形，则实数a 的值是 . 【答案】－1 【解析】试题分析：由题意得C 到直线20ax y +-=1.a =⇒=- 考点：直线与圆位置关系10.已知圆柱M 的底面半径为2，高为6，圆锥N 的底面直径和母线长相等，若圆柱M 和圆锥N 的体积相同，则圆锥N 的高为 . 【答案】6 【解析】试题分析：由题意得22126 6.3h h ππ⋅⋅=⇒= 考点：圆锥体积【方法点睛】(1)求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.(2)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 11.各项均为正数的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若2578a a -=-，313S =，则数列{}n a 的通项公式n a = . 【答案】3n －1考点：等比数列通项公式12.已知函数312,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，当(,]x m ∈-∞时，()f x 的取值范围为[16,)-+∞，则实数m 的取值范围是 . 【答案】[－2，8] 【解析】试题分析：320,1212402x y x x y x x '≤=-⇒=-=⇒=-（正舍），(2)16f -=-；由2168x x -=-⇒=，所以当2m <-时，()16f x >-；当28m -≤≤时，()16f x ≥-；当8m >时，min ()16f x <-；因此实数m 的取值范围是28m -≤≤考点：利用导数研究函数值域【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究. 13.在ABC ∆中，已知3AB =，2BC =，D 在AB 上，13AD AB =，若3DB DC ∙=，则AC 的长是 .【解析】试题分析：1||1||=23AD AB AD DB =⇒=，；33cos 2DB DC DC θ∙=⇒=，所以222233(1)2(2)||1022AC AC -+=--⇒=考点：向量投影【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 14.已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且1()()()2x f x g x +=，若存在01[,1]2x ∈，使得等式00()(2)0af x g x +=成立，则实数a 的取值范围是 .【答案】【解析】考点：函数值域【思路点睛】已知方程有解求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点,A B ，若点A ，点B . （1）求cos()αβ-的值；（2）求αβ+的值.【答案】（1（2）34π【解析】)．（2）由于αβ+的范围为(2π，32π)，所以先求αβ+的正弦值：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β)，再根据正弦函数单调性确定αβ+的值考点：三角函数的定义，给值求角【思路点睛】在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数。

江苏省南京市、盐城市2017届高三上学期第一次模拟考试数学试题(解析版)

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}1,0,1A =-，(,0)B =-∞，则A B =I ▲ .【答案】{}1-2.设复数z 满足(1i)2z +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为 ▲ .【答案】1-【解析】试题分析：(1i)21z z i +=⇒=-，所以虚部为 1.-考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi3.已知样本数据12345,,,,x x x x x 的方差23s =，则样本数据123452,2,2,2,2x x x x x 的方差为 ▲ .【答案】12【解析】试题分析：由题意得方差为2224312s =⨯=考点：方差4.如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是▲ ..【答案】95.在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为 ▲ . 【答案】56【解析】试题分析：对立事件概率为24116C =，因此所求概率为151.66-= 考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.第4题图(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.6.已知实数,x y 满足0722x x y x y >⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩，则y x 的最小值是 ▲ . 【答案】347.设双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的倾斜角为30︒，则该双曲线的离心率为 ▲ .【解析】试题分析：双曲线渐近线方程为x y a =±，所以1tan 302a c e a =⇒=⇒=⇒=o 考点：双曲线渐近线及离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.8.设{}n a 是等差数列，若45621a a a ++=，则9S = ▲ .【答案】63【解析】试题分析：由45621a a a ++=得57a =，所以19959()9632a S a a +===考点：等差数列性质【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.9.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位后，所得函数为偶函数，则ϕ= ▲ . 【答案】512π10.将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，3AB =，2BC =，圆柱上底面圆心为O ，EFG ∆为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O EFG -体积的最大值是 ▲ .【答案】4【解析】试题分析：1124432O EFG EFG EFG V AB S S -∆∆=⨯⨯=≤⨯⨯= 考点：三棱锥体积【方法点睛】(1)求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.(2)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.11.在ABC ∆中，已知AB =，3C π=，则CA CB ⋅uu r uu r 的最大值为 ▲ . 【答案】3212.如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线)1y x =+上从左向右依次取点k A 、k B ，1,2,k =⋅⋅⋅，其中1A 是坐标原点，使1k k k A B A +∆都是等边三角形，则101011A B A ∆的边长是 ▲ .【答案】512【解析】试题分析：设)1y x =+与x 轴交点为P ，则1112223331;112;224;A B A P A B A P A B A P ====+===+=依次类推得101011A B A ∆的边长为92512= 考点：归纳推理13.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数2ln y x =的图象与圆222:(3)M x y r -+=的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数()y f x =的图象经过点,,O P M ，则()y f x =的最大值为 ▲ .【答案】98【解析】试题分析：设00(,)P x y ，则由2y x '=得000000022111(3)32PM y k y x x x x x ⋅=-⇒⋅=-⇒=---，而二次函数1(3)2y x x =--正好过,,O P M 三点，所以19()(3)28f x x x =--≤ 考点：导数几何意义，二次函数最值【思路点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.14.在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22228a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，D ,E 分别是AB ,AC 的中点．（1）求证：11B C ∥平面1A DE ；（2）求证：平面1A DE ⊥平面11ACC A ．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析又1,CC AC ⊂平面11ACC A ，且1CC AC C =，所以DE ⊥平面11ACC A . ...............12分ABC A 1B 1C 1DE 第15题图又DE ⊂平面1A DE ，所以平面1A DE ⊥平面11ACC A ． ...............14分（注：第（2）小题也可以用面面垂直的性质定理证明DE ⊥平面11ACC A ，类似给分）考点：线面平行判定定理，面面垂直判定定理【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.16.(本小题满分14分)在ABC ∆中，a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边，且sin 2sin b C c B =．（1）求角C ；（2）若3sin()35B π-=，求sin A 的值.【答案】（Ⅰ）3C π=又23A B π+=，即23A B π=-，所以2sin sin()3A B π=-sin(())sin cos()cos sin()333333B B B ππππππ=--=--- ………12分413525=-⨯=. …………14分考点：正弦定理，给值求值【方法点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.17.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b +=(02)b <<的焦点. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.【答案】（Ⅰ）22142x y +=（Ⅱ）12- 【解析】试题分析：（Ⅰ）先确定交点位置：在x 轴上，再根据圆与x 轴交点得等量关系：c b =；又2a =,所以22b =（2）方法一：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)T x y ，联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得222(12)4240k x kmx m +++-=，所以122412km x x k +=-+，又22221m k -=，所以12x x +2k m=-，所以0k x m =-，012k y m k m m=-⋅=， ……………10分则1222221111122442(22)211m m k k k k k m m k m m ⋅=⋅===-----+--. …………14分方法二：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)T x y ，则22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差，得()()()()12121212042x x x x y y y y +-+-+=，又1202x x x +=，1202y y y +=，∴()()01201202x x x y y y -+-=，∴()01201202y y y x x x -+=-，又11(,)P x y ，22(,)Q x y 在直线y kx m =+上，∴1212y y k x x -=-，∴0020x ky +=，① 又00(,)T x y 在直线y kx m =+上，∴00y kx m =+，②由①②可得02212km x k =-+，0212my k=+. ……………10分以下同方法一.考点：直线与椭圆位置关系【思路点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解。

2017年江苏数学高考真题(含答案)

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合{}=1,2A ，{}=+2,3B a a ，若A B ={1}则实数a 的值为________2.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件.4.右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出的y 的值是 .5.若tan1 -= 46πα⎛⎫⎪⎝⎭,则tanα= .6.如图，在圆柱O1 O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。

记圆柱O1 O2的体积为V1 ,球O的体积为V2，则12VV的值是7.记函数2()6f x x x=+-的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是8.在平面直角坐标系xoy中,双曲线2213xy-=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q，其焦点是F1 , F2 ,则四边形F1 P F2 Q的面积是9.等比数列{}n a的各项均为实数，其前n项的和为S n，已知36763，44S S==，则8a=10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x的值是11.已知函数()3xx12x+e-e-f x=x，其中e是自然数对数的底数，若()()2a-1+2a≤f f0，则实数a的取值范围是。

江苏数学2017高考真题与答案

4．右图是一个算法流程图，若输入的值为，则输出的值是____．
5．若
则
____．
6．如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是____．
7．记函数概率是___的
8．在平面直角坐标系中，双曲线，，其焦点是，则四边形
21. 附加题【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．C．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系中，已知直线的参考方程为数方程为
( 为参数)，曲线的参
（2）求二面角 B-A1D-A 的正弦值．
23. 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（本小题满分 10 分）
数学 2017 年高三 2017 年江苏卷数学
数学
考试时间：____分钟
题型填空题简答题总分得分
填空题（本大题共 14 小题，每小题____分，共____分。）
1．已知集合
，
，若
，则实数的值为____．
2．已知复数
，其中 i 是虚数单位，则的模是____．
3．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200，400，300，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取____件．
的右准线与它的两条渐近线分别交于点的面积是____．

2017年高考数学真题试题(江苏卷)(Word版+答案+解析)

2017年高考数学真题试卷（江苏卷）一、填空题1.已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为________．2.已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是________．3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．4.如图是一个算法流程图：若输入x的值为116，则输出y的值是________．5.若tan（α﹣π4）= 16．则tanα=________．6.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则V1V2的值是________．7.记函数f （x ）= √6+x −x 2 定义域为D ．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23﹣y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1 ， F 2 ，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．9.等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项为S n ，已知S 3= 74 ，S 6= 634，则a 8=________．10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．11.已知函数f （x ）=x 3﹣2x+e x ﹣ 1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f （a ﹣1）+f （2a 2）≤0．则实数a 的取值范围是________．12.如图，在同一个平面内，向量 OA⃗⃗⃗⃗⃗ ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1，1， √2 ， OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，且tanα=7， OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°．若 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （m ，n ∈R ），则m+n=________．13.在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣12，0），B （0，6），点P 在圆O ：x 2+y 2=50上．若 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．14.设f （x ）是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f （x ）= {x 2，x ∈D x ，x ∉D，其中集合D={x|x=n−1n，n ∈N *}，则方程f （x ）﹣lgx=0的解的个数是________．二、解答题15.如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：（Ⅰ）EF ∥平面ABC ；（Ⅱ）AD ⊥AC ．16.已知向量a=（cosx，sinx），b⃗=（3，﹣√3），x∈[0，π]．（Ⅰ）若a∥b⃗，求x的值；（Ⅱ）记f（x）= a⋅b⃗，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．18.如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 √7cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（Ⅰ）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（Ⅱ）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．19.对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k+1+…+a n ﹣1+a n+1+…a n+k ﹣1+a n+k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（Ⅰ）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（Ⅱ）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列．20.已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+1（a ＞0，b ∈R ）有极值，且导函数f′（x ）的极值点是f （x ）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（Ⅰ）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）证明：b 2＞3a ；（Ⅲ）若f （x ），f′（x ）这两个函数的所有极值之和不小于﹣ 72 ，求a 的取值范围． 21.如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足．求证：（Ⅰ）∠PAC=∠CAB ；（Ⅱ）AC 2 =AP•AB ．22.已知矩阵A= [0110] ，B= [1002] ．（Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）若曲线C 1：x 28+y 22=1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2 ，求C 2的方程．23.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为 {x =−8+ty =t 2 （t 为参数），曲线C 的参数方程为{x =2s 2y =2√2s （s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．24.已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2+b 2=4，c 2+d 2=16，证明ac+bd≤8．25.如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1= √3，∠BAD=120°．（Ⅰ）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26.已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．（Ⅰ）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（Ⅱ）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜n．(m+n)(n−1)答案解析部分一、<b >填空题1.【答案】1【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，解得a=1．故答案为：1．【分析】利用交集定义直接求解．2.【答案】√10【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模【解析】【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴|z|= √(−1)2+32= √10．故答案为：√10．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．3.【答案】18【考点】分层抽样方法= 【解析】【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为6010006，100=18件，则应从丙种型号的产品中抽取300× 6100故答案为：18，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【分析】由题意先求出抽样比例即为61004.【答案】-2【考点】选择结构，程序框图，不满足x≥1，【解析】【解答】解：初始值x= 116=2﹣log224=﹣2，所以y=2+log2116故答案为：﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．5.【答案】75【考点】两角和与差的正切公式【解析】【解答】解：∵tan（α﹣π4）=tanα−tanπ41+tanαtanπ4= tanα−1tanα+1= 16∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα= 75，故答案为：75．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可6.【答案】32【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台），球的体积和表面积【解析】【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：43πR3，圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则V1V2=2πR34πR33= 32．故答案为：32．【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．7.【答案】59【考点】一元二次不等式的解法，几何概型【解析】【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，则D=[﹣2，3]，则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P= 3−(−2)5−(−4)= 59，故答案为：59【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．8.【答案】2 √3【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：双曲线x23﹣y2=1的右准线：x= 32，双曲线渐近线方程为：y= √33x，所以P（32，√32），Q（32，﹣√32），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．则四边形F1PF2Q的面积是：12×4×√3=2 √3．故答案为：2 √3．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．9.【答案】32【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和【解析】【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3= 74，S6= 634，∴a1(1−q3)1−q= 74，a1(1−q6)1−q= 634，解得a1= 14，q=2．则a8= 14×27=32．故答案为：32．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3= 74，S6= 634，可得a1(1−q3)1−q= 74，a1(1−q6)1−q= 634，联立解出即可得出．10.【答案】30【考点】基本不等式，基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= 600x ×6+4x≥4×2× √900x⋅x=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= 600x×6+4x，利用基本不等式的性质即可得出．11.【答案】[-1，12]【考点】函数奇偶性的性质，利用导数研究函数的单调性，一元二次不等式的解法，基本不等式【解析】【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣1e x的导数为：f′（x）=3x2﹣2+e x+ 1e x ≥﹣2+2 √e x⋅1e x=0，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣1e x=0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f （2a 2）≤﹣f （a ﹣1）=f （1﹣a ），即有2a 2≤1﹣a ，解得﹣1≤a≤ 12 ，故答案为：[﹣1， 12 ]．【分析】求出f （x ）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f （x ）在R 上递增；再由奇偶性的定义，可得f （x ）为奇函数，原不等式即为2a 2≤1﹣a ，运用二次不等式的解法即可得到所求范围． 12.【答案】 3【考点】平面向量的基本定理及其意义，两角和与差的余弦公式，两角和与差的正弦公式，同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A （1，0）．由 OA⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，且tanα=7． ∴cosα= 5√2 ，sinα= 5√2 ． ∴C (15，75) ．cos （α+45°）= √22 （cosα﹣sinα）= −35 ．sin （α+45°）= √22（sinα+cosα）= 45 ．∴B (−35，45) ．∵ OC⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （m ，n ∈R ）， ∴ 15 =m ﹣ 35 n ， 75 =0+ 45 n ，解得n= 74 ，m= 54 ．则m+n=3．故答案为：3．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A （1，0）．由 OA⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，且tanα=7．可得cosα= 5√2，sinα= 5√2 ．C (15，75) ．可得cos （α+45°）= −35 ．sin （α+45°）= 45 ．B (−35，45) ．利用 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （m ，n ∈R ），即可得出． 13.【答案】 [-5 √2 ，1]【考点】平面向量数量积的运算，直线和圆的方程的应用【解析】【解答】解：根据题意，设P （x 0 ， y 0），则有x 02+y 02=50，PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（﹣12﹣x 0 ， ﹣y 0）•（﹣x 0 ， 6﹣y 0）=（12+x 0）x 0﹣y 0（6﹣y 0）=12x 0+6y+x 02+y 02≤20，化为：12x 0+6y 0+30≤0，即2x 0+y 0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立 {x 02+y 02=502x 0+y 0+5=0 ，解可得x 0=﹣5或x 0=1，结合图形分析可得：点P 的横坐标x 0的取值范围是[﹣5 √2 ，1]，故答案为：[﹣5 √2 ，1]．【分析】根据题意，设P （x 0 ， y 0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x 0+y 0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案． 14.【答案】 8【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法，函数的周期性，对数函数的图象与性质，根的存在性及根的个数判断【解析】【解答】解：∵在区间[0，1）上，f （x ）= {x 2，x ∈Dx ，x ∉D ，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f （x ）是定义在R 上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，f （x ）= {(x −1)2，x ∈Dx −1，x ∉D ，此时f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；同理：区间[2，3）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；区间[3，4）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；区间[4，5）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；区间[5，6）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；区间[6，7）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；区间[7，8）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；区间[8，9）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；在区间[9，+∞）上，f （x ）的图象与y=lgx 无交点；故f （x ）的图象与y=lgx 有8个交点；即方程f （x ）﹣lgx=0的解的个数是8，故答案为：8【分析】由已知中f （x ）是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f （x ）= {x 2，x ∈Dx ，x ∉D ，其中集合D={x|x= n−1n，n ∈N *}，分析f （x ）的图象与y=lgx 图象交点的个数，进而可得答案．二、<b >解答题15.【答案】证明：（Ⅰ）因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ，且A 、B 、E 、F 四点共面，所以AB ∥EF ，又因为EF ⊊平面ABC ，AB ⊆平面ABC ，所以由线面平行判定定理可知：EF ∥平面ABC ；（Ⅱ）在线段CD 上取点G ，连结FG 、EG 使得FG ∥BC ，则EG ∥AC ，因为BC ⊥BD ，所以FG ⊥BC ，又因为平面ABD ⊥平面BCD ，所以FG ⊥平面ABD ，所以FG ⊥AD ，又因为AD ⊥EF ，且EF∩FG=F ，所以AD ⊥平面EFG ，所以AD ⊥EG ，故AD ⊥AC ．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定【解析】【分析】（Ⅰ）利用AB ∥EF 及线面平行判定定理可得结论；（Ⅱ）通过取线段CD 上点G ，连结FG 、EG 使得FG ∥BC ，则EG ∥AC ，利用线面垂直的性质定理可知FG ⊥AD ，结合线面垂直的判定定理可知AD ⊥平面EFG ，从而可得结论．16.【答案】解：（Ⅰ）∵ a =（cosx ，sinx ）， b ⃗ =（3，﹣ √3 ）， a ∥ b⃗ ，∴﹣ √3 cosx+3sinx=0， ∴tanx= √3 ， ∵x ∈[0，π]， ∴x= π3 ，（Ⅱ）f （x ）= a ⋅b ⃗ =3cosx ﹣ √3 sinx=2 √3 （ √32cosx ﹣ 12sinx ）=2 √3 cos （x+ π6 ）， ∵x ∈[0，π]， ∴x+ π6 ∈[ π6 ，7π6]，∴﹣1≤cos （x+ π6 ）≤ √32，当x=0时，f （x ）有最大值，最大值3，当x=5π6时，f （x ）有最小值，最大值﹣2 √3【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示，平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，三角函数的最值，同角三角函数间的基本关系【解析】【分析】（Ⅰ）根据向量的平行即可得到tanx= √3 ，问题得以解决，（Ⅱ）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出 17.【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的离心率e= ca = 12 ，则a=2c ，①椭圆的准线方程x=±a 2c，由2×a 2c=8，②由①②解得：a=2，c=1，则b 2=a 2﹣c 2=3， ∴椭圆的标准方程：x 24+y 23=1 ；（Ⅱ）设P （x 0 ， y 0），则直线PF 2的斜率 k PF 2 = y 0x 0−1 ，则直线l 2的斜率k 2=﹣x 0−1y 0，直线l 2的方程y=﹣x 0−1y 0（x ﹣1），直线PF 1的斜率 k PF 1 = y 0x 0+1 ，则直线l 2的斜率k 2=﹣x 0+1y 0，直线l 2的方程y=﹣x 0+1y 0（x+1），联立 {y =−x 0−1y 0(x −1)y =−x 0+1y(x +1) ，解得： {x =−x 0y =x 02−1y 0，则Q （﹣x 0 ， x 02−1y 0 ），由Q 在椭圆上，则y 0=x 02−1y 0，则y 02=x 02﹣1，则 {x 024+y 023=1y 02=x 02−1 ，解得： {x 02=167y 02=97，则 {x 0=±4√77y 0=±3√77， ∵P 在第一象限，所以P 点的坐标为（4√77，3√77）【考点】直线的点斜式方程，两条直线的交点坐标，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式求得a=2c ，由椭圆的准线方程x=± 2a 2c，则2×2a 2c=8，即可求得a 和c 的值，则b 2=a 2﹣c 2=3，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）设P 点坐标，分别求得直线PF 2的斜率及直线PF 1的斜率，则即可求得l 2及l 1的斜率及方程，联立求得Q 点坐标，由Q 在椭圆方程，求得y 02=x 02﹣1，联立即可求得P 点坐标； 18.【答案】解：（Ⅰ）设玻璃棒在CC 1上的点为M ，玻璃棒与水面的交点为N ，在平面ACM 中，过N 作NP ∥MC ，交AC 于点P ， ∵ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正四棱柱，∴CC 1⊥平面ABCD ，又∵AC ⊂平面ABCD ，∴CC 1⊥AC ，∴NP ⊥AC ， ∴NP=12cm ，且AM 2=AC 2+MC 2 ，解得MC=30cm ， ∵NP ∥MC ，∴△ANP ∽△AMC ， ∴ ANAM = NPMC ，AN 40=1230 ，得AN=16cm ．∴玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．（Ⅱ）设玻璃棒在GG 1上的点为M ，玻璃棒与水面的交点为N ，在平面E 1EGG 1中，过点N 作NP ⊥EG ，交EG 于点P ，过点E 作EQ ⊥E 1G 1 ，交E 1G 1于点Q ，∵EFGH ﹣E 1F 1G 1H 1为正四棱台，∴EE 1=GG 1 ， EG ∥E 1G 1 ， EG≠E 1G 1 ，∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，∴E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，∴sin∠EE1G1= 45，sin∠EGM=sin∠EE1G1= 45，cos ∠EGM=−35，根据正弦定理得：EMsin∠EGM= EGsin∠EMG，∴sin ∠EMG=725，cos ∠EMG=2425，∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG= 35，∴EN= NPsin∠GEM =1235=20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，正弦定理【解析】【分析】（Ⅰ）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC 于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（Ⅱ）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E 作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM= 35，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．19.【答案】解：（Ⅰ）证明：设等差数列{a n}首项为a1，公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，则a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3，=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1），=2a n+2a n+2a n，=2×3a n，∴等差数列{a n}是“P（3）数列”；（Ⅱ）证明：由数列{a n}是“P（2）数列”则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，①数列{a n}是“P（3）数列”a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，②由①可知：a n﹣3+a n﹣2+a n+a n+1=4a n﹣1，③a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1，④由②﹣（③+④）：﹣2a n=6a n﹣4a n﹣1﹣4a n+1，整理得：2a n=a n﹣1+a n+1，∴数列{a n}是等差数列．【考点】等差数列的通项公式，数列的应用，等差关系的确定，等差数列的性质【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可知根据等差数列的性质，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=（a n﹣3+a n+3）+（a n ﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1）═2×3a n，根据“P（k）数列”的定义，可得数列{a n}是“P（3）数列”；（Ⅱ）由“P（k）数列”的定义，则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，变形整理即可求得2a n=a n﹣1+a n+1，即可证明数列{a n}是等差数列．20.【答案】（Ⅰ）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣a3．由于当x＞﹣a3时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣a3时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣a3，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣a3）=0，即﹣a327+ a39﹣ab3+1=0，所以b= 2a29+ 3a（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣2a23+ 9a＞0，解得a＞3，所以b= 2a29+ 3a（a＞3）．（Ⅱ）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a= 4a481﹣5a3+ 9a2= 181a2（4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（Ⅲ）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣a3）=b﹣a23，设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2= −2a3，x1x2= b3，所以f（x1）+f（x2）= x13+ x23+a（x12+ x22）+b（x1+x2）+2 =（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2= 4a327﹣2ab3+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣72，所以b﹣a23+ 4a327﹣2ab3+2= 3a﹣a29≥﹣72，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．【考点】导数的运算，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【分析】（Ⅰ）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣a3，从而f（﹣a3）=0，整理可知b= 2a29+ 3a（a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．（Ⅱ）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a= 4a481﹣5a3+ 9a2= 181a2（4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；（Ⅲ）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣a3）=b﹣a23，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为4a327﹣2ab3+2，进而问题转化为解不等式b﹣a23+ 4a327﹣2ab3+2= 3a﹣a29≥﹣72，因式分解即得结论．21.【答案】证明：（Ⅰ）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，∴∠PAC=∠CAB．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：△APC∽△ACB，∴ACAB = APAC．∴AC 2 =AP•AB ．【考点】相似三角形的判定，相似三角形的性质，弦切角，与圆有关的比例线段【解析】【分析】（Ⅰ）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC ．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：△APC ∽△ACB ，即可证明． 22.【答案】解：（Ⅰ）AB= (0110)(1002) = (0210) ，（Ⅱ）设点P （x ，y ）为曲线C 1的任意一点，点P 在矩阵AB 的变换下得到点P′（x 0 ， y 0），则 (0210)(x y ) = (2yx) ，即x 0=2y ，y 0=x ， ∴x=y 0 ， y= x 02，∴y 028+x 028=1 ，即x 02+y 02=8，∴曲线C 2的方程为x 2+y 2=8．【考点】矩阵变换的性质，矩阵与矩阵的乘法的意义【解析】【分析】（Ⅰ）按矩阵乘法规律计算；（Ⅱ）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C 1的方程化简即可． 23.【答案】解：直线l 的直角坐标方程为x ﹣2y+8=0，∴P 到直线l 的距离d=2√2s+8|√5=√2s−2)2√5，∴当s= √2 时，d 取得最小值 √5 = 4√55．【考点】二次函数在闭区间上的最值，点到直线的距离公式，参数方程化成普通方程，函数最值的应用【解析】【分析】求出直线l 的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d 关于参数s 的函数，从而得出最短距离．24.【答案】证明：∵a 2+b 2=4，c 2+d 2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos （α﹣β）≤8．当且仅当cos （α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．【考点】两角和与差的余弦公式，三角函数的最值，圆的参数方程，不等式的证明，同角三角函数基本关系的运用【解析】【分析】a 2+b 2=4，c 2+d 2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd 化简，利用三角函数的单调性即可证明．25.【答案】解：在平面ABCD 内，过A 作Ax ⊥AD ，∵AA 1⊥平面ABCD ，AD 、Ax ⊂平面ABCD ， ∴AA 1⊥Ax ，AA 1⊥AD ，以A 为坐标原点，分别以Ax 、AD 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系． ∵AB=AD=2，AA 1= √3 ，∠BAD=120°，∴A （0，0，0），B （ √3，−1，0 ），C （ √3 ，1，0）， D （0，2，0），A 1（0，0， √3 ），C 1（ √3，1，√3 ）．A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √3，−1，−√3 ）， AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √3，1，√3 ）， DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3，−3，0) ， DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，−2，√3) ．（Ⅰ）∵cos ＜ A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞=A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √7×√7=−17 ．∴异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为 17 ；（Ⅱ）设平面BA 1D 的一个法向量为 n ⃗ =(x ，y ，z) ，由 {n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，得 {√3x −3y =0−2y +√3z =0 ，取x= √3 ，得 n ⃗ =(√3，1，2√33) ；取平面A 1AD 的一个法向量为 m ⃗⃗ =(1，0，0) ． ∴cos ＜ m ⃗⃗ ，n ⃗ ＞= m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m⃗⃗⃗ ||n ⃗ |= √31×√3+1+43=34． ∴二面角B ﹣A 1D ﹣A 的正弦值为 34 ，则二面角B ﹣A 1D ﹣A 的正弦值为 √1−(34)2=√74．【考点】异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的性质，用空间向量求直线间的夹角、距离，二面角的平面角及求法【解析】【分析】在平面ABCD 内，过A 作Ax ⊥AD ，由AA 1⊥平面ABCD ，可得AA 1⊥Ax ，AA 1⊥AD ，以A 为坐标原点，分别以Ax 、AD 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A ，B ，C ，D ，A 1 ， C 1 的坐标，进一步求出 A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标．（Ⅰ）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值；（Ⅱ）求出平面BA 1D 与平面A 1AD 的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B ﹣A 1D ﹣A 的余弦值，进一步得到正弦值．26.【答案】解：（Ⅰ）设事件A i 表示编号为i 的抽屉里放的是黑球，则p=p （A 2）=P （A 2|A 1）P （A 1）+P （A 2| A 1̅̅̅ ）P （ A 1̅̅̅ ） = n−1m+n−1×n m+n ×n m+n−1×mm+n = n 2−n+mn (m+n)(m+n−1) = nm+n ．证明：（Ⅱ）∵X 的所有可能取值为 1n ，1n+1 ，…， 1n+m ， P （x= 1k ）= C k−1n−1C m+nn，k=n ，n+1，n+2，…，n+m ，∴E （X ）= ∑n+m k=1（ 1k ⋅C k−1n−1C n+mn ）= 1C n+mn⋅∑n+m k=n C k−1n−1k= 1C n+mn⋅∑n+m k=nC k−1n−1k＜ 1C n+mn⋅∑n+m k=nC k−1n−1k−1= 1C n+mn⋅∑n+m k=nC k−2n−2n−1= 1(n−1)C n+mn •（ C n−2n−2+C n−1n−2+⋯+C n+m−2n−2 ） = 1(n−1)C m+nn⋅C m+n−1n−1= n(m+n)(n−1) ，∴E （X ）＜ n(m+n)(n−1) ．【考点】离散型随机变量的期望与方差，条件概率与独立事件【解析】【分析】（Ⅰ）设事件A i 表示编号为i 的抽屉里放的是黑球，则p=p （A 2）=P （A 2|A 1）P （A 1）+P （A 2| A 1̅̅̅ ）P （ A 1̅̅̅ ），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（Ⅱ）X 的所有可能取值为 1n ，1n+1 ，…， 1n+m ，P （x= 1k ）= C k−1n−1C m+nn，k=n ，n+1，n+2，…，n+m ，从而E （X ）= ∑n+m k=1（ 1k ⋅C k−1n−1C n+mn）= 1C n+mn ⋅∑n+m k=nC k−1n−1k，由此能证明E （X ）＜ n(m+n)(n−1) ．。

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江苏省13市2017高三上学期考试数学试题分类汇编
统计与概率
一、统计
1、（南京市、盐城市2017届高三第一次模拟）已知样本数据12345,,,,xxxxx的方差23s，
则样本
数据123452,2,2,2,2xxxxx的方差为 ▲ .

2、（南通、泰州市2017届高三第一次调研测）抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单
位：分），结果如下：
学生第1次第2次第3次第4次第5次
甲 65 80 70 85 75
乙 80 70 75 80 70
则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为 ▲ ．
3、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）某校有足球、篮球、
排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、
20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球
兴趣小组中应抽取 ▲ 人．
4、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）某次比赛甲得分的
茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个分数的方差为．

5、（苏州市2017届高三上期末调研测试）用分层抽样的方法从某高中校学生中抽取一个容
量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生
300
人，则该校学生总数为．
6、（扬州市2017届高三上学期期末）某学校共有师生3200人，现用分层抽样的方法，从所
有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师
人数是▲．

统计答案：
1、12 2、20 3、8 4、14 5、900
6、200 7、 8、 9、 10、
11、
二、概率
1、（南京市、盐城市2017届高三第一次模拟）在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选
中的数字中至少有一个是偶数的概率为 ▲ .

2、（南通、泰州市2017届高三第一次调研测）口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出

一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为 ▲ ．
3、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）若随机地从1，2，3，
4，5五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为 ▲ ．

4、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）从1,2,3,4,5,6这六
个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为．
5、（苏州市2017届高三上学期期末调研）一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为20.，
目标未受损的概率为40.，则目标受损但未完全击毁的概率为
6、（无锡市2017届高三上学期期末）从3男2女共5名学生中任选2人参加座谈会，则选
出的2人恰好为1男1女的概率为.

7、（扬州市2017届高三上学期期末）已知,AB3,1,1,2且AB，则直线
10AxBy
的斜率小于0的概率为 ▲ ．
8、（镇江市2017届高三上学期期末）袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，
2
只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．
9、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）甲、乙、丙分别从A，
B，C，D四道题中独立地选做两道题，其中甲必选B题．
(1)求甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率；
(2)设随机变量X表示D题被甲、乙、丙选做的次数，求X的概率分布和数学期望
E(X)．

10、（无锡市2017届高三上学期期末）某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超
过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算）.现
有甲乙两人独立来停车场停车（各停车一次），且两人停车时间均不超过5小时.设甲、乙两
人停车时间（小时）与取车概率如下表所示.

（1）求甲、乙两人所付车费相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量，求的分布列和数学期望E.
11、（扬州市2017届高三上学期期末）为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同
一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，
甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互
不影响，且每人选择每一课程都是等可能的.
（1）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；
（2）设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X的分布列和数学期望()EX.

12、（南京市、盐城市2017届高三第一次模拟）某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天
下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两
个班的综合实践课程.
（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；
（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数
学期望E(X).

参考答案
1、56 2、0.17 3、35 4、31 5、0.4

6、35 7、13 8、35
9、（1）设“甲选做D题，且乙、丙都不选做D题”为事件E．
甲选做D题的概率为1113C1C3，乙，丙不选做D题的概率都是2324C1C2．

则1111()32212PE．
答：甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率为112．„„„„„„„3分
（2）X的所有可能取值为0，1，2，3．„„„„„„„„„„„„„„„„4分
1112
(0)(1)32212PX
，

21
2

111115
(1)()(1)C(1)()3232212PX
，

122
22

111114
(2)C(1)()(1)C(1)3223212PX
，

22
2

111
(3)C(1)3212PX
．„„„„„„„„„„„„„„„„„8分

所以X的概率分布为
X 0 1 2
3

P
16 512 13 1
12

X
的数学期望15114()01236123123EX．„„„„„„„10分
10、
11、解：⑴甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门，共有3464种不同的选法，记“甲、
乙、丙三人选择的课程互不相同”为事件M，事件M共包含34A24个基本事件，则
243()648PM，所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率为3
8
.

--------------------3分
⑵方法一：X可能的取值为0,1,2,3， --------------------4分

3
3
327

(0)464PX
，1233C327(1)364PX，

233C39(2)464PX，3
3
3

C
1

(3)464PX
. --------------------8分

所以X的分布列为：
X
0 1 2 3
P
2764 2764 964 1
64

所以X的数学期望2727913()0123646464644EX. -------------10分
方法二：甲、乙、丙三人从四门课程中任选一门，可以看成三次独立重复试验，X为甲、
乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则1(3,)4XB，所以3313()C()()44kkkPXk，

0,1,2,3k
，

所以X的分布列为：
X
0 1 2 3

P
2764 2764 964 1
64

所以X的数学期望13()344EX.

12、解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为
32
1333P


. „„„„4分

（2）由题意得1~(5,)3XB，
5512(),0,1,2,3,4,533kkkPXkCk







. „„„„6分

所以X的概率分布表为：
X 0 1 2 3 4 5

P
32243 80243 80243 40243 10243 1

243

„„„„8分
所以，X的数学期望为15()533EX. „„„„10分