2016北京事业单位考试和定最值问题解题锦囊妙计——极限转化法
16种求极限的方法及一般题型解题思路分享
千里之行，始于足下。
16种求极限的方法及一般题型解题思路共享求极限是微积分中格外重要的概念，它可以挂念我们争辩函数的性质以及解决各种数学问题。
在求极限的过程中，有很多种不同的方法可以使用。
本文将介绍16种常见的求极限的方法，并共享一般题型的解题思路。
1. 代入法：将变量的值直接代入函数中，求出函数在该点的函数值。
这种方法适用于对于给定的变量值函数值可以直接计算的状况。
2. 合并同类项法：对于多项式函数，可以将同类项合并，化简为简洁的表达式，使得求极限更加便利。
3. 分子有理化法：对于分式函数，可以通过有理化分子的方法将其转化为整式的形式，使得求极限更加便利。
4. 凑微分法：对于含有微分的项，可以通过凑微分的方法将其转化为可求极限的形式。
5. 分部积分法：对于不定积分的形式，可以通过分部积分的方法将其转化为可求极限的形式。
6. 换元法：通过适当的变量替换，将原函数转化为简洁函数的形式，使得求极限更加便利。
7. 反函数法：对于已知函数，可以通过找到其反函数，将原函数的极限转化为反函数的极限来求解。
第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。
8. 夹逼定理：假如一个函数在某点四周的两个函数夹住，并且这两个函数的极限都存在且相等，那么该点的极限存在且等于这两个函数的极限。
9. 洛必达法则：对于两个函数的极限，假如它们的导数的极限都存在且有限，那么这两个函数的极限相等。
这个法则对于解决0/0和∞/∞型的极限问题格外有用。
10. 先有界后无穷法则：假如一个函数在某个点四周有界，并且向正无穷或负无穷趋于极限，那么该点的极限等于无穷。
11. 拆分法则：假如一个极限可以通过拆分成多个极限来求解，那么可以分别求解这些极限，然后将结果合并。
12. 开放法则：对于含有无穷小量的表达式，可以将其开放成多项式的形式，然后求极限。
13. 不等式法则：可以通过利用一些不等式关系来限定函数的范围，从而求出极限的范围。
14. 递推法：对于递归定义的序列或函数，可以通过递推关系式来求出其极限。
北京事业单位数学运算题高效解题法
北京事业单位逻辑判断题解题思路北京事业单位考试网为广大参加事业单位考试的考生整理了事业单位考试技巧，帮助大家备考。
更多事业单位考试了解更多北京事业单位招聘信息，请点击北京事业单位考试网在事业单位行测考试中，数量关系题一般由数字推理和数学运算构成。
其中数学运算部分，知识点复杂，系统复习，必不可少!中公事业单位考试网为此为考生提供数学运算题高效解题法，帮助考生顺利备考!一、掌握基础知识这是做好数学运算试题的基本前提。
数学运算基础知识众多，基本上都是涉及小学、初中到高中的基础知识，需要系统梳理，建议把的所有公式自己找出来，并进行理解记忆，这是快速解答数学运算题的基础。
二、了解基本题型数学运算基本题型并不是很多，但每一种题型都有其对应公式或核心解题思想，建议考生要熟悉常见考点，做到知己知彼。
三、实战快速提升在考生进行知识梳理后，还需要通过解答模拟题来培养对数学运算的感觉，这种感觉对提高数学运算的解题速度和正确率有很重要的作用。
四、提高综合能力复杂的数学运算题往往是基本题型的变形或是将等量关系隐藏于题干之中，因此要提高综合分析能力，在复杂问题面前，能够看到本质，挖掘其中深层次的等量关系，这需要大量做题来积累。
五、掌握解题技巧努力提高解题速度。
如果一道题目运用常规的方法无法得到解答，那么则可以考虑运用一些技巧。
首先，多用代入排除法。
既然是选择题，那么在特定的题型中可以将答案代入原题中，符合的就是正确答案。
这个对于答案数字简单，但是题目中数字复杂的尤其适合。
其次，大胆假设。
假设某个答案是正确的，进行反推。
另外还可以运用一些数字特性思想，都会起到很好的效果的。
【例】自2009年起，由天猫发起的11.11“光棍节”促销，到2014年已是第6个年头。
双十一淘宝销售额：2009年5200万元，2010年9.36亿元，2011年33.6亿元，2012年191亿元，2013年350.19亿元。
2014年11月11日凌晨，天猫平台“双十一”正式开启，在第2分53秒，交易额突破10亿元。
事业单位数量关系：最小值VS最大值
各位小伙伴,大家好,国考已经结束。
事业单位又考试拉开帷幕那对于即将开始的考试，小伙伴们储备的知识有没有越来越多呢?赶紧学习起来吧，我们每天一个小知识，成绩就会往前走一步。
今天我们一起来学习一下事业单位笔试中行测部分里的数量关系考的一类题型一和定最值。
和定最值问题一般会给我们几个数的和，然后求其中一个的个数的最大值或者最小值。
题目可能有以下几种描述：1 :求最小值的最小值:。
2 : 最大值的最大值。
3 :最大值的最小值。
4:最小值的最大值等等。
听起来像绕口令一样的问法，但其实核心思想就一个：求某个数的最大值，那么我们就让其它数要尽可能的小;要求某个数的最小值，那么我们就让其它数要尽可能的大。
难度并不大，大家跟我一起来学习吧。
-：题型展示【例U 8名学生参加某项竞赛，共得131分。
已知每人得分各不相同，且最高是21分，则最低分最低是（）分。
A.1B.2C.3D.5解析：题目要求最低分最低是多少分，也就是;要求某个数的最小值，所以其它数要尽可能的大。
所以其余7个人的分数应该尽可能的高，但每人得分各不相同，且最高是21分，所以前面7个人分数为连续数列就可以满足题意。
以次为21,20,19,18,17,16,15。
所以最低分的最小值为131-（21+20+19+18 + 17+16+15)=5o故选D。
这就是和定最值的问题，并不难吧，记住核心的那句话：求某个数的最大值, 那么其它数要尽可能的小;要求某个数的最小值，那么其它数要尽可能的大。
问题就迎刃而解了，大家来试试看吧。
二:试题重现【例2】某连锁企业在10个城市共有100家专卖店，每个城市的专卖店数量都不同。
如果专卖店数量排名第5多的城市有12家专卖店，那么专卖店数量排名最后的城市，最多有几家专卖店？A.2B.3C.4D.5解：题目要求卖店数量排名最后的城市，最多有几家，也就是要求某个量的最大职，所以其它数要尽可能的小。
所以其余9城市的专卖店应该尽可能的少，每个城市的专卖店数量都不同，并且第5多的城市有12家专卖店。
公务员行测考试极值问题技巧
公务员行测考试极值问题技能行测全部是挑选题，如果你找到了合适自己的答题速度和准确率的黄金结合点，你就离上岸不远了!想拿高分要学会舍弃，更要掌控技能，全力争取。
下面作者给大家带来关于公务员行测考试极值问题技能。
公务员行测考试中极值问题的解决方法和定极值问题的特点在于题干中常常会有类似于几个数的和一定这类描写，然后让我们去求其中最大的那个数最小是多少或者最小的那个数最大是多少，这是和定极值问题中最常见的两种问法。
大多数这样的题都需要我们求平均数来解决。
接下来我们通过三道例题来进行具体演练。
【例1】一次数学考试满分为100分，某班前六名同学的平均分为95分，排名第六的同学得分86分，假设每个人的得分是互不相同的整数，那么排名第三的同学最少很多少分?A.94B.97C.95D.96【解析】对于这道题来说，读完题干之后，第一应当关注的是问题，问题问的是排名第三的同学最少很多少分。
想要让排名第三的人得分最少，就要让其他人的得分越多越好。
由于满分为100分，所以在这里面我们不难发觉，排名第一的人得100分是第一位得分最多的情形。
然后我们让排第二名的得分为99分。
由于第六名已经肯定为86分，所以说，在这种情形下，第三名、第四名和第五名的得分之和就应当是95_6-100-99-86=285分。
然后285÷3=95，所以如果第三名、第四名和第五名分数相同，那就是各为95分，但三人分数相同的情形并不多见，还是要推敲分数差异，可推出第三名96分、第四名95分、第五名94分。
所以排第三的同学最少得96分。
【例2】5名学生参加某学科比赛，共得91分，已知每人得分各不相同，且最高是21分，则最低分最低是( )。
A.14B.16C.13D.15【解析】这道题跟上道题明显的不同之处在于问法。
这道题问的是最低分最低是多少。
想要让最低分最低，就要让其他人的得分越高。
得分最高的人21分、第二高的人20分、第三高的人19分、第四高的18分，然后用总分把这些分数减掉。
2016国考易考题型讲解：最不利原则解决极值问题
2016国考易考题型讲解：最不利原则解决极值问题相信通过这一段时间的，大家对于国考当中常考的一些数量关系的题型特点以及方法已经有了一定的了解，今天中公教育专家就带大家重点复习常考题型——极值问题，并讲解如何运用最不利原则解决极值问题。
先来看一个小例子简单了解一下这类题是什么样的。
例：商场举行抽奖活动，从编号为1—10的十个球中随机抽取一个，不放回，抽中偶数就算中奖，问：①至少抽几次，就有可能中奖?②至少抽几次，才能保证一定中奖?中公解析：①有可能中奖，意思就是只要有中奖的可能性就行，所以考虑最有利的情况，第一次就抽中偶数，所以至少抽1次，就可能中奖。
(最有利原则)②“至少…才能保证一定中奖”，要想保证就要考虑到最不利的情况，也就是1、3、5、7、9这些奇数，抽完这些之后只要再从中抽取一个，一定能保证中奖，所以至少抽6次才能保证一定中奖。
(最不利原则)第2种题型就是我们接下来要重点讲解的“最不利原则解决极值问题”。
相信通过这两问的区分，大家能看出这类题：题型特点：“至少…才能保证…”解题原则：最不利原则方法：最不利情况+1理论就这些，接下来就通过一些例子，让大家掌握什么是最不利原则，以及最不利情况如何寻找。
【小练习】一副完整的扑克牌，每次从中抽取一张，不放回，问：(1)至少抽几张，才能保证两张牌的花色一样?中公解析：两张牌花色一样满足题意，最不利的情况就是从来没有抽到过重复的花色，即：黑红梅方大小王1 1 1 12 +1=7张(2)至少抽几张，才能保证四张牌的花色一样?中公解析：四张牌花色一样满足题意，最不利的情况就是每个花色只抽到3张就再没有抽到，就跟生活中60分及格，最不利的情况是考了59分一个道理，所以黑红梅方大小王3 3 3 3 2 +1=15张【真题1】有300名求职者参加高端人才专场招聘会，其中软件设计类、市场营销类、财务管理类和人力资源管理类分别有100、80、70和50人。
问至少有多少人找到工作，才能保证一定有70名找到工作的人专业相同?A. 71B. 119C. 258D. 277【答案】C。
2016年事业单位考试行测备考：和定最值的进阶
2016年事业单位考试行测备考：和定最值的进阶2016年事业单位考试需做好充足的准备,而好的备考技巧和方法则会达到事半功倍的效果,小编在这里整理了2016年事业单位考试行测备考：和定最值的进阶,希望能对2016年事业单位考试考生带来一定的帮助,在此预祝考生顺利备考,顺利通关!更多精彩内容关注文都网校事业单位频道。
第一阶：同向和定最值1.问法：“求最大值的最大值”或“求最小值的最小值”2.求解方法：列举法3.例题①现有26株树苗，要分植于5片绿地上，若要使每片绿地上分得的树苗数各不相同，则分得树苗最多的绿地最多可以分得几株树苗?【解析】要求最大量的最大值，并且量各不相同，就应该使其他值尽可能的小，所以最小就应该为1棵，其次为2棵，3棵，4棵，共10棵，所以树苗最多的绿地最多可以分得26-10=16株。
②6个数的和为48，已知各个数各不相同，且最大的数是11分，则最小数最少是多少?要求最小量的最小值，并且量各不相同，就该使其他值尽可能的大，所以最大为11分，其次为10分，9分，8分，7分，共45分，所以最小数的最少为48-45=3分。
第二阶：逆向和定最值1.问法：“求最大值的最小值”或“求最小值的最大值”2.求解方法：方程法3.例题①某单位2011年招聘了65名毕业生，拟分配到该单位的7个不同部门，每个部门分得的人数不一样，假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都多，问行政部门分得的毕业生人数至少为多少名?【解析】要求最大量的最小值，就应该使其他值尽可能的大，但不超过最大值。
设行政部门分得的毕业生人数最少为X，则与X想接近的值就为x-1，依次x-2……到x-6，把这几个数相加等于65，所以得到方程：x+x-1+x-2+x-3+x-4+x-5+x-6=65，求解得x=12……2，剩余的两个人只能加在第一多的和第二多的两个部门，否则与题意就不符合，所以行政分得的人数至少为12+1=13人。
②现有26株树苗，要分植于5片绿地上，若要使每片绿地上分得的树苗数各不相同，则分得树苗最少的绿地最多可以分得几株树苗?要求最小量的最大值，就应该使其他值尽可能的小，但要大于最小值，所以体现的是一个接近的核心，设分得树苗最少的绿地最多可以分得X株树苗，第二小的就应该为X+1，依次X+2……X+4，所以列出方程X+X+1+X+2+X+3+X+4=26，X=3……1，剩余的1棵应该加在第一多的那块地上，如果加在最少的绿地上，则与前一棵的数目就是一样的，与题意不符合，所以，分得最少的绿地最多可以分得3株。
2016国考数学运算高频考点讲解：和定最值的几种变化
2016国考数学运算高频考点讲解：和定最值的几种变化 2016国考临近，令诸多考生比较头疼的是数学运算，对多数人而言数学运算的主要目标不是每道题都会做，只要选取几种自己拿手的题型做对就可以。
国考数学运算中和定最值问题是出现频率较高的一种题型，中公教育专家在此对和定最值问题常见的几种变化进行分类讨论。
例：21本书分给5名同学，每人分到书的数目各不相同，求分得书最多的同学最少可以得到几本书?方法一：方程思想使分书最多的同学分得的书尽量少，其他同学分得应该尽量多，但再多也要比该同学少，不妨设该同学分X本，则分得书第二多的同学是X-1，同理其他同学书的个数也可以表示出来，得X+(X-1)+(X-2)+(X-3)+(X-4)=21，解得X=6余数是1，余数只能分给最多的同学，因为给任何其他人都会出现分得书本相同的情况。
所以分书最多的同学最少可以分7本。
方法二：平均思想为了做题方便，在公考中同学们需要掌握简便的方法快速作答，方程思想有助于我们理解题目，但为了同学们尽快做题，我们更需要掌握用平均思想快速解决此类问题。
中公解析：21÷5=4……1，4是平均数，只需要把4放到5个同学中间的位置，5个人里面，中间位置是分得书数量第三多的同学，该同学分4本书，则5名同学分得书的数目依次是6，5，4，3，2。
因为余数是1，需要把1分给某同学，题目要求每人分得数目各不相同，所以只能分给最多的那个同学，所以分得数目最多的同学最少分7本书。
如果题目变成22本书，则余数是2，这两本书就不是全给分得数目最多的那个同学，因为让其尽量少，所以其中1本给最多的，另1本给第二多的。
如果求分得数目最少的同学最多可以分多少，用平均的思想一样可以得到答案。
比如上面提到6，5，4，3，2，不管余数是1还是2，与分得数目最少的同学没有关系，余数不会加到他上面。
变化一：21本书分给4名同学，每人分书的数目各不相同，分得书最多的同学最少可以分得几本?中公解析：21÷4=5……1，5应该写在中间，但4个数字没有中间一个，我们可以假设中间多出一个数字让它等于5则两边两个数字应该是6，4，四个同学分得书依次是7，6，4，3。
行政职业能力测试：2016年事业单位考试数量关系
行政职业能力测试：2016年事业单位考试数量关系欢迎关注辽宁中公事业单位考试网，辽宁事业单位大部分考试科目为职业能测试和公共基础知识，具体考试内容需要看考试公告，查看最新辽宁事业单位考试招聘信息。
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对于行测考试中存在这样一类问法，出现最多、最少等字眼，这类题目统称为极值问题。
今天主要讨论极值问题中一种情形“和定最值问题”。
这种题型特点是问法比较绕，难以理解，没有针对性的复习无法找到相应的解题思路。
中公教育认为，事实上大家只要看懂题目的问法，形成思路，解题就会变得非常顺利。
1、什么是和定最值和定最值：一组数的和有定值，求其中某个数的最大值或最小值的问题。
2、常见的类型(1)同向极值问题①求最大量的最大值：让其他值尽量小。
例如：21棵树栽倒5块大小不同的土地上，要求每块地栽种的棵树不同，问，栽的最多的土地最多可以栽多少?解析：要求最大量取最大值，且量各不相同，则使其他量尽可能的小且接近，即为从”1”开始的等差数，依次为，1、2、3、4，共10棵，所以最多土地上最多有21-10=11棵。
②求最小量的最小值：让其他值尽可能的大。
例如：6个数的和是48，已知各个数各不相同，且最大的数是11分，则最小数最少是多少?解析：要求最小数的最小值，则使其他数尽可能大，又因各不相同，那么其余五个数依次为，11，10，9，8，7，和为45，还余3。
因此最小数最少为3。
(2)逆向极值问题①求最大量的最小值:让各个分量尽可能的“均等”，且保持大的量仍大，小的量仍小。
例如：21棵树栽倒5块大小不同的土地上，要求每块地栽种的棵树不同，问，栽的最多的土地最少可以栽多少?解析：最多的要尽可能少，其他量要尽可能大，但最终大的量仍是最大，假设所求是X，那么其他四个量分别是在X的基础上少“1”的等差数，即，X,X-1,X-2,X-3,X-4。
5X-10=21，算出X=6余1，又因为个不相同，所以余数只能分给最多，故所求为7。
2016国考数量关系必考题型——极值问题讲解
2016国考数量关系必考题型——极值问题讲解2016国考再次擂响战鼓，如何应战是考生所面临的重点问题。
很多同学对于行测考试的理解有很多误区，那么中公教育专家在这里简要跟大家说两点。
》》更多、更全行测技巧、高频考点、成公经验尽在中公教育国考频道《《第一：公考不是一个人的战斗，更是千军万马过独木桥，所以大家在学习的时候也可以看看身边同学的情况来把握自己的学习进度。
行测试卷中的五大部分，逻辑推理和资料分析算比较简单的部分，这两个部分拉不开多大的分差。
常识判断主要看平时的阅读量和积累量，短时间内提升空间不大。
所以剩下的两个部分中，文科生可能偏向于言语理解，而理科生应该把握好数量关系。
第二：很多考生认为数量关系太难，不想学，想放弃数学运算。
其实在行测试卷中的每个部分都会有简单题目，有难的题目，没有必要成块的放弃。
只要考生能够掌握解题技巧，解好题目其实不是什么难事，今天中公教育专家就针对数学运算中的极值问题来谈一谈解题方法。
极值问题是国考每年必考的题型，极值问题虽然分很多类，但是每一类都有自己固定的解题方法，所以对于每类题型都要清楚的认识。
极值问题常考的有以下几类：一、和定极值问题几个数的和一定，求某个数的最大值或者最小值的问题。
1、解题原则：想让某个数最大(最小)，一定让其它的数尽量小(尽量大)。
2、解题方法：方程法例.某连锁企业在10个城市共有100家专卖店，每个城市的专卖店数量都不同。
如果专卖店数量排名第5多的城市有12家专卖店，那么专卖店数量排名最后的城市，最多有几家专卖店?A.2B.3C.4D.5【答案】C。
中公解析：若想使排名最后的数量最多，则其他专卖店数量尽可能少。
第5名为12家，则第4、第3、第2、第1分别为13、14、15、16家，前五名的总数量为14×5=70家，设最后的城市有专卖店x家，则其余的应为x+1、x+2、x+3、x+4家，可得：5x+10=30，解得x=4家。
二、最不利原则问题题目特征：“至少……才能保证”或者“至少……一定能够”解题方法：先把不能满足条件的元素取出来，再取能够满足条件的元素。
数量关系解题技巧：极限转化思想巧解和定最值问题
数量关系解题技巧：极限转化思想巧解和定最值问题【导读】中公事业单位为帮助各位考生顺利通过事业单位招聘考试！今天为大家带来数量关系解题技巧：极限转化思想巧解和定最值问题。
数量关系占据了很重要的地位，数量关系的解题策略是“做一半，蒙一半”但是具体做哪一半，蒙哪一半又很关键，今天我们就来讲解一下，大家都能掌握的和定最值问题。
首先我们来了解一下和定最值的题干特征：几个数加和一定求其中某个数的最大值或者最小值，这样的题目就是和定最值问题，那么解决这类问题，我们所采用的方法就是极限转化思想，那么什么又是极限转化思想呢?极限转化：假如一个集合只是由A、B两个部分组成，如果我们要求A的最大值，那么往往A的最大值不好求，但是我们知道A越大,B就越小，A取最大值的时候，B就取到最小值，所以当A的最大值不好求的时候，我们可以转而求B的最小值反之亦然，这就是极限转化思想。
极限转化思想该如何运用到和定最值的解题之中，我们通过两道例题来给大家讲解一下。
例1：已知A、B、C是三个互不相同的正整数，并且A+B+C=20，求其中最小数能取到的最大值?解析：我们已知A+B+C=20，那么可以假设A小于B小于C，那么根据题意我们要求的是A的最大值，那么我们就可以设A的最大值为X，根据极限转化思想，当A取到最大值的时候，B和C应该取到最小值，但是由于A小于B又是正整数，所以B最小只能取到X+1，同理C最小也只能取到X+2，那么根据题干列式就应该是X+(X+1)+(X+2)=20，解得X=5.67，那么我们又知道，X应该取整，到底应该取6还是取5呢，因为我们设的是A的最大值，所以A最大也不能超过5.67，那么只能取5。
例2：已知A、B、C是三个互不相同的正整数，并且A+B+C=20，求其中最大数能取到的最小值?解析：我们已知A+B+C=20，那么可以假设A小于B小于C，根据题意我们要求的应该是C的最小值，那么可以设C的最小值为X，根据极限转化，此时A、B应取到最大值，但A、B要小于C，所以列式为(X-2)+(X-1)+X=20，解得X=7.67，因为设C的最小值为X所以不能小于7.67,答案应该取8。
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事业单位考试整体难度不大，但对于知识点的考察非常灵活，这就要求考生对测查的知识点能够灵活掌握，把握问题考察的本质。
和定最值问题是事业单位考试中一种常见的考点。
现在中公教育献给广大考生一条锦囊妙计——极限转化法。
最值问题比较常规的考法是和定最值问题，题型特征有两点：①总量固定，②问其中某部分的最大或者最小值。
具有这两点特征的题目我们都可以利用极限转化的方法来解决。
具体的操作为，已知全集I，包含两个集合A和B，I=A∪B，A∩B=0。
如果求集合A最大值，令A的补集B取最小值，即可得出A=I-B最小值;如果求集合A最小值，令A的补集B取得最大值。
入门级-和定最值
例题1. 6个数的和为48，已知各个数各不相同，且最大的数是11分，最小数最少是
多少?( )。
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】：6个数的和为48，重量固定，问最小数最少是多少，利用极限转化的方法，令其他几个数取得最大值，最小数最少为48-11-10-9-8-7=3。
答案选C。
例2.10个箱子总重100公斤，且重量排在前三位的箱子总重不超过重量排在后三位的箱子的总重的1.5倍，问最重的箱子重量最多是多少公斤?
A.200/11
B.500/23
C.20
D.25
【解析】：设除了最重箱子其他几个箱子重量最少为x公斤，最重箱子重量为
4.5x-2x=2.5x公斤，2.5x+9x=100，解得x=200/23, 2.5 x=500/23，答案选B。
延伸升级-容斥极值
容斥极值问题也是极值问题的一种考法，考查形式变形很多，无论求任何部分的最大最小值，解题的关键离不开极限转化的方法。
例3.小明、小刚两人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了68题，小刚作对了58题。
问两人都做对的题目至少有几题?
A.26
B.30
C.34
D.38
【解析】：令两人未全做对的题目数量取最大值，小明做错题目数量为100-68=32，小刚做错题目数量为100-58=42，两人都做对的题目数量为100-(32+42)=26。
答案选A。
希望广大考生复习备考时一定要多思考总结，前提是我们要见过足够多的题目类型，从而拓宽思路，大家可以通过专项的教材反复进行演练，这样才能将知识点理解的更透彻。