计算机算法设计与分析(第3版)第4章

用贪心算法解背包问题的基本步骤：
首先计算每种物品单位重量的价值Vi/Wi，然后，依贪心 选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。 若将这种物品全部装入背包后，背包内的物品总重量未超过 C，则选择单位重量价值次高的物品并尽可能多地装入背包。 依此策略一直地进行下去，直到背包装满为止。 具体算法可描述如下页：
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4.2 贪心算法的基本要素

0-1背包问题：
给定n种物品和一个背包。物品i的重量是Wi， 其价值为Vi，背包的容量为C。应如何选择装入背包的 物品，使得装入背包中物品的总价值最大?
在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有2种选择，即 装入背包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次，也不能只 装入部分的物品i。
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4.1 活动安排问题
活动安排问题就是要在所给的活动集合中选出 最大的相容活动子集合，是可以用贪心算法有效求解 的很好例子。该问题要求高效地安排一系列争用某一 公共资源的活动。贪心算法提供了一个简单、漂亮的 方法使得尽可能多的活动能兼容地使用公共资源。
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4.1 活动安排问题
设有n个活动的集合E={1,2,…,n}，其中每个活动都 要求使用同一资源，如演讲会场等，而在同一时间内只有 一个活动能使用这一资源。每个活动i都有一个要求使用 该资源的起始时间si和一个结束时间fi,且si <fi 。如果 选择了活动i，则它在半开时间区间[si, fi)内占用资源。 若区间[si, fi)与区间[sj, fj)不相交，则称活动i与活 动j是相容的。也就是说，当si≥fj或sj≥fi时，活动i与 活动j相容。
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4.2 贪心算法的基本要素
2、Байду номын сангаас优子结构性质
当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时， 称此问题具有最优子结构性质。问题的最优子结构性 质是该问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键 特征。
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4.2 贪心算法的基本要素
3、贪心算法与动态规划算法的差异
贪心算法和动态规划算法都要求问题具有最优子 结构性质，这是2类算法的一个共同点。但是，对于具 有最优子结构的问题应该选用贪心算法还是动态规划 算法求解?是否能用动态规划算法求解的问题也能用贪 心算法求解?下面研究2个经典的组合优化问题，并以 此说明贪心算法与动态规划算法的主要差别。
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4.2 贪心算法的基本要素

void Knapsack(int n,float M,float v[],float w[],float x[]) {
Sort(n,v,w);
int i; for (i=1;i<=n;i++) x[i]=0; float c=M;


1、算法基本思想
Dijkstra算法是解单源最短路径问题的贪心算法。
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4.5 单源最短路径
其基本思想是，设臵顶点集合S并不断地作贪心选 择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源 到该顶点的最短路径长度已知。 初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把 从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊 路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短 特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最 短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组 dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist 就记录了从源到所有其它顶点之间的最短路径长度。
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4.2 贪心算法的基本要素
对于0-1背包问题，贪心选择之所以不能得到最优解 是因为在这种情况下，它无法保证最终能将背包装满，部 分闲臵的背包空间使每公斤背包空间的价值降低了。事实 上，在考虑0-1背包问题时，应比较选择该物品和不选择 该物品所导致的最终方案，然后再作出最好选择。由此就 导出许多互相重叠的子问题。这正是该问题可用动态规划 算法求解的另一重要特征。 实际上也是如此，动态规划算法的确可以有效地解01背包问题。
for (int i=2;i<=n;i++) { if (s[i]>=f[j]) { A[i]=true; j=i; } else A[i]=false; } }
各活动的起始时间和结 束时间存储于数组s和f 中且按结束时间的非减 序排列
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4.1 活动安排问题
由于输入的活动以其完成时间的非减序排列， 所以算法greedySelector每次总是选择具有最早 完成时间的相容活动加入集合A中。直观上，按这 种方法选择相容活动为未安排活动留下尽可能多 的时间。也就是说，该算法的贪心选择的意义是 使剩余的可安排时间段极大化，以便安排尽可能 多的相容活动。 算法greedySelector的效率极高。当 输入的活动已按结束时间的非减序排列，算法只 需O(n)的时间安排n个活动，使最多的活动能相容 地使用公共资源。如果所给出的活动未按非减序 排列，可以用O(nlogn)的时间重排。
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4.4 哈夫曼编码
3、哈夫曼算法的正确性
要证明哈夫曼算法的正确性，只要证明最优前缀 码问题具有贪心选择性质和最优子结构性质。 (1)贪心选择性质 (2)最优子结构性质
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4.5 单源最短路径
给定带权有向图G =(V,E)，其中每条边的权是非 负实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。现在 要计算从源到所有其它各顶点的最短路长度。这里路 的长度是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源 最短路径问题。
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1、贪心选择性质
4.2 贪心算法的基本要素
所谓贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以 通过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到。这是 贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态 规划算法的主要区别。 动态规划算法通常以自底向上的方式解各子问题， 而贪心算法则通常以自顶向下的方式进行，以迭代的方 式作出相继的贪心选择，每作一次贪心选择就将所求问 题简化为规模更小的子问题。 对于一个具体问题，要确定它是否具有贪心选择性 质，必须证明每一步所作的贪心选择最终导致问题的整 体最优解。
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4.2 贪心算法的基本要素
本节着重讨论可以用贪心算法求解的问题的一般 特征。 对于一个具体的问题，怎么知道是否可用贪心算 法解此问题，以及能否得到问题的最优解呢?这个问题 很难给予肯定的回答。 但是，从许多可以用贪心算法求解的问题中看到 这类问题一般具有2个重要的性质：贪心选择性质和最 优子结构性质。
cC
使平均码长达到最小的前缀码编码方案称为给定 编码字符集C的最优前缀码。
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4.4 哈夫曼编码
2、构造哈夫曼编码
哈夫曼提出构造最优前缀码的贪心算法，由此产 生的编码方案称为哈夫曼编码。 哈夫曼算法以自底向上的方式构造表示最优前缀 码的二叉树T。 算法以|C|个叶结点开始，执行|C|－1次的“合并” 运算后产生最终所要求的树T。
对每一个字符规定一个0,1串作为其代码，并要求 任一字符的代码都不是其它字符代码的前缀。这种编 码称为前缀码。
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4.4 哈夫曼编码
编码的前缀性质可以使译码方法非常简单。 表示最优前缀码的二叉树总是一棵完全二叉树， 即树中任一结点都有2个儿子结点。 平均码长定义为： ) f (c )d T (c ) B (T
（4）单源最短路径； （5）最小生成树； （6）多机调度问题。
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顾名思义，贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。 也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择 只是在某种意义上的局部最优选择。当然，希望贪心算法 得到的最终结果也是整体最优的。虽然贪心算法不能对所 有问题都得到整体最优解，但对许多问题它能产生整体最 优解。如单源最短路经问题，最小生成树问题等。在一些 情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，其最终结果 却是最优解的很好近似。
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4.4 哈夫曼编码
在书上给出的算法huffmanTree中，编码字符集中 每一字符c的频率是f(c)。以f为键值的优先队列Q用在 贪心选择时有效地确定算法当前要合并的2棵具有最小 频率的树。一旦2棵具有最小频率的树合并后，产生一 棵新的树，其频率为合并的2棵树的频率之和，并将新 树插入优先队列Q。经过n－1次的合并后，优先队列中 只剩下一棵树，即所要求的树T。 算法huffmanTree用最小堆实现优先队列Q。初始 化优先队列需要O(n)计算时间，由于最小堆的 removeMin和put运算均需O(logn)时间，n－1次的合并 总共需要O(nlogn)计算时间。因此，关于n个字符的哈 夫曼算法的计算时间为O(nlogn) 。
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4.1 活动安排问题
若被检查的活动i的开始时间Si小于最近选择的活 动j的结束时间fi，则不选择活动i，否则选择活动i加 入集合A中。 贪心算法并不总能求得问题的整体最优解。但对 于活动安排问题，贪心算法greedySelector却总能求 得的整体最优解，即它最终所确定的相容活动集合A的 规模最大。这个结论可以用数学归纳法证明。
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4.1 活动安排问题
例：设待安排的11个活动的开始时间和结束时间按结 束时间的非减序排列如下：
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
S[ 1 i] f[i] 4
3
5
0
6
5
7
3
8
5
6
8
8
1 1 0 1 2 12
9 10 11 12 13 14
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4.1 活动安排问题
算法greedySelector 的计算过程如左图所示。 图中每行相应于算法的 一次迭代。阴影长条表 示的活动是已选入集合 A的活动，而空白长条 表示的活动是当前正在 检查相容性的活动。
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4.3 最优装载
有一批集装箱要装上一艘载重量为c的轮船。其中 集装箱i的重量为Wi。最优装载问题要求确定在装载体 积不受限制的情况下，将尽可能多的集装箱装上轮船。