线性相关的三种判断方法

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平面向量的线性相关与线性无关

平面向量的线性相关与线性无关一、引言平面向量的线性相关与线性无关是线性代数中的重要概念之一。

在本文中，我们将探讨平面向量的线性相关与线性无关的定义、特点以及相关性质。

二、定义平面中的向量是指具有大小和方向的量。

平面中的两个向量u和v，如果存在实数a和b，使得au + bv = 0，其中0表示零向量，则称向量u和v是线性相关的。

反之，如果向量u和v满足上述条件时，只有a和b都为零时，才称u和v是线性无关的。

三、线性相关的特点1. 存在非零向量的线性组合等于零向量。

2. 具有方向相同或相反的向量可以是线性相关的。

3. 线性相关的向量的个数可以大于2。

四、线性无关的特点1. 只有零向量的线性组合等于零向量。

2. 具有不同方向的向量一定是线性无关的。

3. 线性无关的向量的个数不会超过平面的维数。

五、线性相关与线性无关的性质1. 唯一表达式定理：如果向量组中某个向量可以被其他向量的线性组合表示，则该向量可以从向量组中排除。

2. 最大线性无关组：一个向量组中所含向量的个数等于向量组中的极大线性无关向量的个数。

3. 基底：平面向量中的基底是指一个线性无关且能够表示该平面所有向量的向量组。

4. 相关定理：如果一个向量组中的向量个数大于向量的维数，则该向量组一定是线性相关的。

5. 范数定理：如果一个向量组中的向量个数小于向量的维数，则该向量组一定是线性无关的。

六、应用平面向量的线性相关与线性无关在实际问题中有广泛的应用。

例如，平面上的物体受到多个力的作用时，可以将力矢量表示为平面向量，并通过判断这些力矢量的线性相关性来判断物体的平衡状态。

另外，在计算机图形学和几何学中，线性相关性的理论也被广泛应用于图像的处理和计算。

七、总结平面向量的线性相关与线性无关是线性代数中的核心概念之一。

通过了解线性相关与线性无关的定义、特点以及相关性质，我们可以更好地理解和应用平面向量的概念。

在实际问题中，正确地判断和利用线性相关与线性无关的性质，将为我们解决问题提供有力的工具和方法。

浅议向量组线性相关性的判别方法

浅议向量组线性相关性的判别方法作者：王星星贾会芳来源：《速读·下旬》2017年第12期摘要：向量组的线性相关性是《线性代数》的重要内容，也是考研必不可少的一部分。

行列式的值、矩阵的初等变换、齐次线性方程组的解等理论都可用于判别向量组的线性相关性，本文总结了判别向量组线性相关性的几种方法，并给出一些典型例子。

关键词：向量组；线性相关性；判别方法向量组的线性相关性是线性代数的重要内容，它与行列式、矩阵、线性方程组的解等都有着紧密的联系。

由于其概念比较抽象，以致向量组的线性相关性判定成了一大难题。

1相关结论法下面的结论简单易懂，是判别向量组线性相关性的最直接方法。

结论1：单个零向量线性相关，单个非零向量线性无关。

结论2：[α1，α2]，线性相关的充要条件是[α1，α2]的分量对应成比例。

结论3：含零向量的向量组必线性相关。

结论4：若向量组[α1…，αr]线性相关，则向量组[α1…，αrαr+1…，αm]（m>r）线性相关；若向量组线性无关，则其任意的部分组线性无关。

结论5：当m>n时，则n维向量组[α1，α2…，αm]必线性相关；特别n+1个n维向量组必线性相关。

结论6：向量组[α1，α2…，αm]（m≥2）线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示。

结论7：若向量组线性无关，则对其中每个向量在相同位置任意添加多个分量后所得向量组仍线性无关（无关组添加分量仍无关）。

例1：判别向量组[α1=2，3，4，1，α2=（-2，1，-1，4）T，α3=（4，-6，1，2）T，α4=（9，7，-2，1）T，α5=（-5，-4，-2，0）T]的线性相关性。

解：由结论5知，5个四维向量一定是线性相关的。

2定义法利用定义来判别时，只要令[k1α1+k2α2+…+kmαm=0]，如果存在不全为零的数[k1，k2…，km]使得等式成立，则向量组[α1，α2...，αm]是线性相关的，否则称它是线性无关的。

一个向量组线性相关的判定方法

交流Experience ExchangeDI G I T C W 经验262DIGITCW2019.05定义：给定一个向量组I ，若存在m 个不全为零的数，使得成立，则称向量组线性相关。

否则，称向量组线性无关。

等价定义：若向量组I 中至少有一个向量能由其余的向量线性表出，则该向量组线性相关。

给出任意一个向量组，判断其线性相关性，有以下几种判定方法：（1）包含零向量的向量组必线性相关。

若，则有，所以向量组线性相关。

（2）只含有一个向量的向量组线性相关该向量是零向量。

“”若，有，所以α线性相关。

“”若线性相关，则存在，使得，得到。

（3）含有两个向量的向量组线性相关它们的对应分量成比例。

“”若线性相关，存在不全为零的数，使得成立。

假设，则有，故对应分量成比例。

“”若对应分量成比例，一定存在数，使得或者，则有线性相关。

例1：对应分量不成比例，所以向量组线性无关。

（4）单位向量组必线性无关。

由于，有，所以单位向量组线性无关。

（5）向量组的向量个数>向量维数，必线性相关。

任意一个向量都可以由单位向量线性表出，即有下，又因为单位向量组是线性无关的，由等价定义可得，该向量组必线性相关。

判断一个向量组是否线性相关等价于判断一个齐次线性方程组是否有非零解，令向量组中向量的维数等于方程的个数，向量的个数等于方程中未知量的个数，即可构成一个齐次线性方程组。

例2：讨论的线性相关性。

解：由向量方程，可以得到齐次线性方程组由于齐次线性方程组系数矩阵A 的秩，故该齐次线性方程组有非零解，即不全为零，所以向量组线性相关。

（6）向量组的向量个数向量维数时，判断对应的齐次线性方程组是否有非零解，只需要根据其系数行列式和系数矩阵来判定即可，故有以下两种判定方法：方法一：以各向量为列向量组成行列式D ，方法二：以各向量为列向量组成矩阵A ，进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵，例3：讨论向量组，，的线性相关性。

解：由向量方程，可以得到齐次线性方程组所以向量组线性相关。

线性关系的检验和的

线性关系的检验和的线性关系的检验和————————————随着科技的进步，线性关系的检验和对数学的研究变得越来越重要。

线性关系是指其实质是一个函数，在一定范围内，可以用一条直线表示的关系，这样的函数可以用一元一次方程来表示，可以用来描述两个变量之间的关系。

一、什么是线性关系线性关系是指两个变量之间存在一定的正相关或负相关，而且它们之间存在一定的函数关系，这样的函数可以用一元一次方程来表示，可以用来描述两个变量之间的关系。

例如，假设x和y是两个变量，那么当x增加1时，y也会增加2，那么就可以用一元一次方程y=2x来表示它们之间的关系。

二、线性关系的检验当我们想要检验两个变量之间是否存在线性关系时，我们就要使用一个工具：卡方检验。

卡方检验是一种检验两个变量是否存在线性关系的方法。

它可以让我们通过计算两个变量的卡方值来得出它们之间是否存在正相关或负相关的结论。

三、卡方检验的原理卡方检验的原理是根据两个变量之间的实际观察值和理论值之间的差异，来判断它们之间是否存在正相关或负相关的关系。

卡方检验通过计算实际观察值和理论值之间的差异，来判断它们之间是否存在正相关或负相关的关系。

根据卡方值的大小，如果卡方值小于某一阈值（通常是0.05或0.01），那么就可以判断它们之间存在正相关或负相关的关系。

四、应用场景卡方检验可以用于检验各种不同类型的数据之间是否存在正相关或负相关的关系。

如数理统计中常用的数据分析（如回归分析）、人口学中常用的样本分布分析（如卡方分布分析）、生物学中常用的遗传学分析（如卡方遗传学分析）、心理学中常用的实验分析（如卡方实验分析）等。

五、应用步骤1. 准备数据：准备好要使用的数据集；2. 设定期望值：根据数据集中已有数据得出期望值；3. 计算卡方值：根据实际数据与期望值之间的差异计算卡方值；4. 检验显著性：根据所得卡方值与显著性水平对比得出最后的判断。

总而言之，卡方检验是一个很有用的工具，可以用来帮助我们判断两个变量之间是否存在正相关或负相关的关系。

向量组线性相关与线性无关的判定方法

V ol .32N o.5M ay 2016赤峰学院学报(自然科学版)J our nalofChi f eng U ni ver s i t y (N at ur alSci ence Edi t i on )第32卷第5期(上)2016年5月向量组线性相关与线性无关的判定方法侯雯昕(华东师范大学经济与管理学系,上海200062)摘要:向量组的线性相关性是线性代数理论的基本概念,它与向量空间、子空间等概念有密切关系,同时在解析几何以及常微分方程中有广泛应用.本文主要研究的是向量组线性相关性的判定方法,包括利用线性相关性的定义、行列式的值、矩阵的秩及齐次线性方程组的解等判定向量组的线性相关性,并比较了几种不同判定方法的适用条件.关键词:向量组;线性相关;线性无关;行列式;矩阵中图分类号:O 151.2文献标识码:A文章编号:1673-260X (2016)05-0004-02向量组的线性相关与线性无关的判定较难理解和掌握,实际上,向量组的线性相关与线性无关是相对的,只要掌握了线性相关的判定,线性无关的判定也就没有问题了.因此,本文主要论述了向量组的线性相关性的几种判定方法.1线性相关及相性无关的概念及性质1.1定义设有n 维向量组a 1,a 2,…,a n ,如果存在一组不全为零的数k 1,k 2,…,k n 使k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0成立,则称向量组a 1,a 2,…,a n 线性相关;如果仅当k 1,k 2,…,k n全为0时,上式k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0才成立,则称向量组a 1,a 2,…,a n 线性无关.1.2性质由向量组的概念易知向量组的线性相关性具有以下简单性质:(1)含有零向量的向量组线性相关.(2)若单个向量a ≠0,则向量组是线性无关的;相反,则向量组线性相关.(3)含有n+1个向量的n 维向量组必定线性相关.(4)向量组中一部分向量线性相关,则该向量组线性相关;若向量组线性无关,则其任一部分向量组线性无关.因此,一个向量组不是线性相关就是线性无关,为了更好的理解线性相关和线性无关,下面列出它们之间的不同点.(1)定义不同:线性相关的向量组是,存在不全为零的一组数k 1,k 2,…,k n 使k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0成立而线性无关的向量组,只有当k 1=k 2=…=k n =0,才有k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0成立.(2)线性表示问题:线性相关向量组中至少有一个向量能由其余n-1个向量线性表示;而线性无关的向量中任何一个向量都不能由其余n-1个向量线性表示.(3)与线性方程组的关系:若a 1,a 2…a n 线性相关,则存在不全为零的数x 1,x 2,…,x n ,使a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n=0,即[a 1,a 2,…,a n]x 1x 2x n⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=0或A X =0有非零解;而线性无关,则是A x=0只有零解.由此也可以看出研究向量的线性相关与方程组有着直接的关系.2向量组线性相关性的判定2.1利用定义法判定这是判定向量组的线性相关的基本方法,即给定向量组A :a 1,a 2,…,a n 如果存在不全为零的数k 1,k 2,…,k n ,使得k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0成立,则称向量组A 是线性相关的.否则,如果不存在不全为零的数k 1,k 2,…,k n ,使得k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0成立.也就是说,只有当k 1,k 2,…,k n 全为零,才有k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0,则称向量组A 是线性无关的.例如,证明向量组β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α4,β4=α4+α1线性相关,则需要证明设存在4个数k 1,k 2,k 3,k 4,使得k 1β1+k 2β2+k 3β3+k 4β4=0.因此需将β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α4,β4=α4+α1代入上式有:k 1(α1+α2)+k 2(α2+α3)+k 3(α3+α4)+k 4(α4+α1)=0,即收稿日期:2016-03-234--. All Rights Reserved.(k 1+k 4)α1+(k 1+k 2)α2+(k 2+k 3)α3+(k 3+k 4)α4=0,取k 1=k 3=1,k 2=k 4=-1,则有k 1β1+k 2β2+k 3β3+k 4β4=0,由线性相关性的定义可知,向量组β1,β2,β3,β4线性相关.2.2利用齐次线性方程组的解判定对于各分量都给出的向量组a 1,a 2,…,a n ,若以A =[a 1,a 2,…,a n ]为系数矩阵的齐次线性方程组A X =0有非零解则此向量组a 1,a 2,…,a n 是线性相关的;若以A =[a 1,a 2,…,a n ]为系数矩阵的齐次线性方程组A X =0只有零解,则此向量组a 1,a 2,…,a n 是线性无关的.例如,判断x 1=(-1,1,1),x 2=(-2,1,2),x 3=(-1,2,-1)的线性相关性.需要令k 1x 1+k 2x 2+…+k n x n =0,即:将三组值代入后解方程组,可得k 1=0,k 2=0,k 3=0,故x 1,x 2,x 3是线性无关的.2.3利用矩阵的秩判定设向量组A :a 1,a 2,…,a m 是由m 个n 维列向量所组成的向量组,则向量组A 的线性相关性可由向量组A 所构成的矩阵A =(a 1,a 2,…,a m )的秩的大小来进行判定.(1)当R (A )=m 时,则向量组A :a 1,a 2,…,a m 是线性无关的;(2)当R (A )<m 时,则向量组A :aa 1,a 2,…,a m 是线性相关的.2.4利用行列式的值来判定(1)若向量组A :a 1,a 2,…,a m 是由m 个m 维列向量所组成的向量组,且向量组A 所构成的矩阵A =(a 1,a 2,…,a m ),即A 为m 阶方阵,则有:①当|A |=0时,则向量组A :a 1,a 2,…,a m 是线性相关的;②当|A |=0时,则向量组A :a 1,a 2,…,a m 是线性无关的.(2)若向量组A :a 1,a 2,…,a m 的个数m 与维数n 不同时,则有:①当m >n 时,则向量组A :a 1,a 2,…,a m 是线性相关的;②当m <n 时,转化为上述来进行判定,即选取m 个向量组成的m 维向量组,若此m 维向量组是线性相关的,则添加分量后,得到的向量组也是线性相关的.2.5利用反证法判定有些题目中,直接证明结论常常比较困难,而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知的定义、定理、公理相悖的结果,从而说明原结论成立.例如,向量组A :a 1,a 2,…,a m 中任一向量a i 不是它前面i -1个向量的线性组合,且a i ≠0,证明向量组A :a 1,a 2,…,a m 是线性无关的.可用反证法证明,假设向量组A :a 1,a 2,…,a m 线性相关,则存在不全为零的m 个数k 1,k 2,…,k m ,使得k 1a 1+k 2a 2+…+k m a m =0.由此可知,k m =0,否则由上式可得a m =k 1k m a 1-k 2k m a 3-…-k m -1k ma m -1即a m 可由它前面m -1个向量线性表示,这与题设矛盾,因此k m =0.从而有k 1a 1+k 2a 2+…k m -1a m -1=0.同理可得k m -1=k m -2=…=k 3=k 2=0,最后得到k 1a 1=0因为a i ≠0,所以k 1=0,但这又与k 1,k 2…k m 不全为零矛盾.因此,向量组A :a 1,a 2,…,a m 线性无关.2.6利用向量组在线性空间中象的线性关系判定线性空间V 中向量组a 1,a 2,…,a r 线性相关的充要条件是它们的象σ(a 1),σ(a 2)…σ(a r )线性相关.因为由k 1a 1+k 2a 2+…+k r a r =0可得k 1σ(a 1)+k 2σ(a 1)+…+k r σ(a r )=00.进而有σ(k 1a 1+k 2a 2+…+k r a r )=0.2.7利用方程组法判定方程组法就是将向量组的线性相关性问题转化为齐次线性方程组的有无非零解的问题.对于各分量都给出的向量组a 1,a 2,…,a s 线性相关的充要条件是以a 1,a 2,…,a s 的列向量为系数矩阵的齐次线性方程组的有非零解;若齐次线性方程组只有零解,则向量组线性无关.3小结本文主要对向量组线性相关性的定义以及性质进行了分析,并且给出了一些判定方法,由于向量组的线性相关性是线性代数中一个基础和重点的问题,仅限于这些讨论是远远不够的,还有待我们作进一步的研究.———————————————————————参考文献:〔1〕张禾瑞.郝鈵新.高等代数.高等教育出版社,2007.130-270.〔2〕杨燕新.王文斌.关于向量组线性相关的集中判定.山西农业大学学报,2005(8):292-294.〔3〕李先富.胡劲松.判断向量组线性相关性的另外一种方法.四川理工学报,2005(8):94-95.〔4〕肖艾平.向量组线性相关性的几种判定方法.伊犁师范学院,2008(12):58-59.5--. All Rights Reserved.。

第四章向量组的线性相关性总结

第四章向量组的线性相关性§1 n 维向量概念一、向量的概念定义1 n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数i a 称为第i 个分量.注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式()12,,,n a a a a =,出可以写成一列的形式12n a a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ⨯矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ⨯矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置.注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-.解 12v v -(1,1,0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =-12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+-(31203,31214,30210)T =⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-(0,1,2)T =定义设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。

§2 向量组的线性相关性一、向量组的线性组合定义3 给定向量组A :12,,,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,,,m k k k 称为这个线性组合的系数.定义4 给定向量组A :12,,,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,,,m λλλ,使得1122m m a a a b λλλ=+++则称向量b 是向量组A 的一个线性组合,或称向量b 可由向量组A 线性表示.注1任一个n 维向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭都可由n 维单位向量组12,,,n e e e 线性表示:1122n n a a a a e e e =+++ .注2向量b 可由向量组A :12,,,n a a a 线性表示（充要条件）⇔方程组1122n n a a a x x x b +++=有解m n A x b ⨯⇔=有解()(,)R A R A b ⇔=注3 由于线性方程组的解分为：无解，有唯一解，有无穷多解三种情况，所以向量β由向量12,,,n a a a 线性表示的情形也分为三种：不能线性表示，唯一线性表示，无穷多种线性表示，且线性表示式中的系数就是对应线性方程组的解。

线性代数向量的线性相关性

定义3 对向量组M 1,2,L ,m , 若存在不全为零的数
k1, k2 ,L , km 使得 k11 k22 kmm 0 (*)
则称向量组M是线性相关的，否则称M是线性无关的
注：(1) 对任意向量组 M 1,2,L ,m , 肯定存在一组数
k1, k2 ,L , km 使得 k11 k22 kmm 0 (*) 例 k1 0, k2 0,L , km 0 ; 所不同的是：
k3 0
故向量组线性无关
k1am1 k2am2 L kmamm 0 km 0
L L k1an1 k2an2 L kmanm 0
注若向量组中的向量作成矩阵的行或列所得矩阵A为
阶梯形矩阵,且 aii 均不为零, 则称向量组为阶梯形向量组
例4结论为“阶梯形向量组线性无关
特别地 Rn 中标准基 e1,e2,L ,en 线性无关
1
2
3
k2
0
1 5 6 k0
10 1
因为 1 2 3 0 由克莱姆法则知道方程有非零解。
15 6
故向量组线性相关
例2* 讨论向量组 1 1 2 0 , 2 0 2 1 , 3 0 0 1
的线性相关性解：设有数 k1, k2 , k3 使 k11 k22 k33 0 即方程
0
0
M
m
0
amm
M
anm
, m ，m n 证明向量组线性无关
证明：设有数 k1, k2 ,L , km 使 k11 k22 L kmm 0
L L L L k1a11 0
k1a21 k2a22 0
即 k1a31 k2a32 k3a33 0
k1 0 k2 0
M 1,2,L ,m 线性无关当且仅当

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线性相关的三种判断方法
现代社会，由于互联网的发展，线性相关性变得越来越重要，也越来越受到关注。

线性相关是指一组变量之间的相互关系，一般来讲，当数据具有线性关系时，两个变量会呈现线性增长或线性下降。

那么如何确定变量有线性关系呢?本文将介
绍线性相关性的三种判断方法。

首先，最简单的方法就是散点图法，它是一种图形化分析方法，可以用来发现
数据变量之间的线性关系。

其次，还可以使用相关性分析法，这是一种数据分析方法，能够准确地揭示两个变量之间的相关性，通常可以使用相关性系数衡量两个变量的线性Oneness程度来发现线性关系；最后，还可以使用回归分析法来确定线性关系，它可以对现有数据进行拟合，并产生一个可以刻画数据间线性Oneness的线性回归模型。

总结起来，线性相关的三种判断方法有散点图法、相关性分析法和回归分析法，它们都通过检测变量的相关性来发现线性关系。

该类方法在比较定量分析两个变量之间的关系时，一直是使用较为常见的分析办法。