指数函数及其性质 习题(含答案)
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6．A
【解析】分析：利用指数函数的单调性和对数函数与指数函数的对称性可得解.
详解：因为 ，.所以函数单调递减，排除B，D.
与 的图象关于 轴对称.排除A.
故选A.
点睛：对于指数函数 ，当 时函数单增；当 时函数单减；
指数函数 与对数函数 互为反函数，关于 对称.
7．C
【解析】分析：利用指数函数y=2x、y=0.5x及对数函数y=log2x的单调性，即可比较出三个数的大小．
点睛：本题考查了指数函数的性质和 ，属于基础题.
13．-5
【解析】分析：直接利用对数与指数的运算法则求解即可.
详解：
，故答案为 .
点睛：本题主要考查对数与指数的运算法则，意在考查计算能力以及对基本运算法则的掌握情况，属于简单题.
14．(－∞，1]
【解析】
【分析】
根据题意，设 ，则 ，由二次函数和指数函数的性质分析可得 以及 的单调区间，由复合函数的单调性分析可得答案．
25．（1） .（2）的取值范围是{ }∪[1,＋∞）．
【解析】
试题分析：（1）通过偶函数的定义，知 ，化简得 ,进而求出 。（2）通过分析得出题意可化为方程 有且只有一个实根,令 ,则 有且只有一个正根，再通过 ，分三种情况 、 、 讨论求 的取值范围。
试题解析：（1）由函数 是偶函数可知: ,
∴ ,
A． B． C． D．
5．函数 （ ，且 ）的图象一定经过的点是( )
A． B． C． D．
6．在同一坐标系中，函数 与 的图象都正确的是（）
A． B． C． D．
7．设 ，则 的大小关系为
A． B． C． D．
8．若 ，则 ， ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
9．若 ， ， 满足 ， ， ，则（ ）
则
解得 .
【点睛】
本题考查了换元法及变换主元法在函数最值和取值范围中的综合应用，注意换元后的取值范围，属于中档题。
28．(1) . (2) .
【解析】试题分析：（1）（2）都是由分数指数幂的运算性质计算得答案．
试题解析：(1) = = = = .
(2) = = .
＋500 －10( ＋2)＋1＝
＋10 －10 －20＋1＝－ .
(2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3lg22＋lg 1－lg 6＋lg 6－2＝
3lg 2×lg 5＋3lg 5＋3lg22－2＝
3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2＝
3(lg 2＋lg 5)－2＝3－2＝1.
【详解】
因为 是二次函数的零点，
由二次函数 （其中 ）的图象可知 ，
所以 的图象经过一二三象限，
只有选项 符合题意，故选D.
【点睛】
函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
20．(1)0；(2)答案见解析.
【解析】试题分析：（1）根据指数的运算性质，可得答案；（2）由已知 利用平方法，可得 及 ，进而得到答案.
试题解析：(1)原式 = =
(2)
∵
∴由 得
21．（1） ；（2） .
【解析】试题分析：
本题考查指数和对数的运算。（1）根据指数幂的运算法则求解即可。（2）根据对数运算的性质求解即可。
综上可知, 的取值范围是{ }∪[1,＋∞）．
考点：对数函数的奇偶性和分类整合思想
26．（1） .
（2）1.
【解析】
【分析】
（1）直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可,化简过程注意避免出现符号错误；（2）直接利用对数的运算法则求解即可，解答过程注意避免出现计算错误.
【详解】
(1)原式＝ ＋ － ＋1＝
23．⑴ ；⑵ .
【解析】
【分析】
⑴可以通过奇函数性质 以及 得出结果。
⑵可通过函数的奇偶性和单调性将 转化为 ，在通过计算得出结果。
【详解】
⑴因为 是定义在 上的奇函数，
所以 ，所以 ．
所以 ， ，所以 ，
即 对一切实数 都成立．
所以 ，所以 ．
⑵wenku.baidu.com等式 等价于 ．
又 是 上的减函数，所以 ．
所以 对 恒成立，
所以 ．
即实数 的取值范围是 ．
【点睛】
奇函数的性质① 、② 、③定义域关于y轴对称。
24．
【解析】
【分析】
分 和 两种情况结合函数的单调性讨论.
【详解】
若 ， 在 上为减函数，故 ，矛盾；若 ，则 在 上为增函数， ，故 ，此时函数的值域为 ，故实数 .
【点睛】
一般地，对于底数不确定的函数，讨论其单调性时需分 和 两种情况.本题中注意定义域和值域端点的对应的关系.
【详解】
若 在 递增，排除 选项，
递增，排除 ；纵轴上截距为正数，排除 ，
即 时，不合题意；
若 ， 在 递减，可排除 选项，
由 递减可排除 ，故选B.
【点睛】
本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及 时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
化简得 ,
即 对一切 恒成立,∴ .
（2）函数 与 的图象有且只有一个公共点,
即方程 有且只有一个实根,
化简得:方程 有且只有一个实根,
且 成立,则
令 ,则 有且只有一个正根
设 ,注意到 ,
所以①当 时,有 ,合题意;
②当 时, 图象开口向下,且 ,则需满足
,此时有 ; （舍去）
③当 时,又 ,方程恒有一个正根与一个负根.
(1)
(2)
23．已知定义在 上的函数 是奇函数．
⑴求 的值，并判断函数 在定义域中的单调性（不用证明）；
⑵若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
24．若函数 的定义域和值域都是 ，求实数 的值.
25．（本小题满分10分）已知函数 是偶函数．
（1）求实数 的值;
（2）设 ,若 有且只有一个实数解,求实数 的取值范围．
详解：因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
又 ，
所以 ．
点睛：本题考查指数函数的单调性、对数函数的单调性等知识，意在考查学生的逻辑思维能力．
10．2
【解析】由题意得 .
11．
【解析】 在 上单调递增
最小值为
12．(-2,0)
【解析】分析：利用 即可得出.
详解：令 ，则函数 ，
函数 的图象必过定点 .
故答案为： .
试题解析：
（1）原式
。
（2）原式 。
22．（1） ；（2）37
【解析】
【分析】
（1）利用指数性质、运算法则直接求解;
（2）利用指数、对数性质、运算法则直接求解．
【详解】
（1）原式
（2）原式
．
【点睛】
本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质、运算法则等基础知识，灵活应用运算法则，可使运算更简便.
详解：∵0＜0.52＜1，20.5＞1，log20.5＜0，
∴a＞b＞c，
故选：C．
点睛：本题考查了指数函数和对数函数类型数的大小比较，充分理解指数函数和对数函数的单调性是解决问题的关键．
8．D
【解析】因为 ，所以 .
.
,所以 , .
综上： .
故选D.
9．A
【解析】
分析：先利用指数函数的单调性确定 的取值范围，再通过对数函数的单调性确定 的范围，进而比较三个数的大小．
16．计算： __________．
17．若函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是________
18．已知函数 的定义域和值域都是 ，则 __________．
三、解答题
19．（1）计算： ；（2）已知 用 表示 ．
20．(1)
(2)已知 ,求 和 的值.
21．计算：
（1） .
（2） .
22．化简求值
指数函数及其性质习题（含答案）
一、单选题
1．在同一坐标系内，函数 和 的图象可能是( )
A． B． C． D．
2．已知函数 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 （其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）＝ax＋b的图象大致是( )
A． B． .
C． D．
4．已知 ， ， ，则 的大小关系是( )
27．（1） ； （2） .
【解析】
【分析】
（1）利用换元法，将函数转化为关于t的二次函数，根据t的取值范围求得函数 的值域。
（2）根据恒成立条件，得到关于m的二次函数表达式；利用变换主元法看成关于a的函数表达式，进而求得m的取值范围。
【详解】
（1）令
原函数变为：
的值域为 .
（2）
即
恒成立
令 ,
图象为线段，
2．D
【解析】分析：先化简 得到 ，再求 的值.
详解：由题得
所以 故答案为：D
点睛：（1）本题主要考查函数求值和指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力.（2）解答本题的关键是整体代入求值.
3．D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象得到 ,继而得到 的图象经过一二三象限，问题得以解决.
【详解】
设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝ u在R上为减函数，所以函数f(x)＝ －x2＋2x＋1的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．
又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，
所以f(x)的减区间为(－∞，1]．
故答案为 .
【点睛】
本题主要考查函数单调性的应用、二次函数的图象和性质等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想．复合函数的单调性的判断方法，即同增异减，在解决函数问题时需要格外注意函数的定义域.
26．计算：(1) ；
(2)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋3lg22＋lg ＋lg 0.06.
27．已知 ．
（1）求 的值域．
（2）若 对任意 和 都成立，求 的取值范围．
28．计算下列各式的值;
(1) .
(2) .
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
分两种情况讨论，利用函数的单调性，筛选排除即可得结果
所以
19．（1）3 （2）
【解析】
【分析】
：⑴利用指数、有理指数幂的运算法则化简求解即可．
（2）利用指数与对数的互化以及对数的运算性质，求解即可．
【详解】
试题解析
（1） =1-（1-4）÷ =3
（2）∵
∴a=log32，b=log35，
【点睛】
本题考查有理指数幂的运算法则，指数与对数的互化以及对数的运算性质，属基础题.
15．4
【解析】 ， .
故答案为：4， .
16．7
【解析】由 。
17．
【解析】∵函数 在 上是减函数,
∴ ,
解得 。
∴实数 的取值范围是 。
答案：
18．4
【解析】当 时，函数 单调递增，所以函数 过点(-1,-1)和点(0,0)，所以 无解；
当 时，函数 单调递减，所以函数 过点(-1,0)和点(0,-1)，所以 ，解得 .
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象
4．B
【解析】
【分析】
利用指数与对数的单调性与中间量0，1可求得三个数大小。
【详解】
由题意可得 ，所以 ，选B.
【点睛】
本题考查的是比较指数式及对数式值的大小，构造合适函数，利用指数函数与对数函数的性质及单调性，结合中间量是常用方法。
5．D
【解析】由题意，过定点 ，故选D。
【点睛】
本题主要考查对数的运算法则、指数幂的运算，属于中档题.指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）.
A． B． C． D．
二、填空题
10．已知： ，则 __________．
11．函数 在 上的最小值是__________．
12．函数y=ax+2-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点________.
13．求值： __________．
14．函数 的单调减区间为________．
15． __________， __________.
【解析】分析：利用指数函数的单调性和对数函数与指数函数的对称性可得解.
详解：因为 ，.所以函数单调递减，排除B，D.
与 的图象关于 轴对称.排除A.
故选A.
点睛：对于指数函数 ，当 时函数单增；当 时函数单减；
指数函数 与对数函数 互为反函数，关于 对称.
7．C
【解析】分析：利用指数函数y=2x、y=0.5x及对数函数y=log2x的单调性，即可比较出三个数的大小．
点睛：本题考查了指数函数的性质和 ，属于基础题.
13．-5
【解析】分析：直接利用对数与指数的运算法则求解即可.
详解：
，故答案为 .
点睛：本题主要考查对数与指数的运算法则，意在考查计算能力以及对基本运算法则的掌握情况，属于简单题.
14．(－∞，1]
【解析】
【分析】
根据题意，设 ，则 ，由二次函数和指数函数的性质分析可得 以及 的单调区间，由复合函数的单调性分析可得答案．
25．（1） .（2）的取值范围是{ }∪[1,＋∞）．
【解析】
试题分析：（1）通过偶函数的定义，知 ，化简得 ,进而求出 。（2）通过分析得出题意可化为方程 有且只有一个实根,令 ,则 有且只有一个正根，再通过 ，分三种情况 、 、 讨论求 的取值范围。
试题解析：（1）由函数 是偶函数可知: ,
∴ ,
A． B． C． D．
5．函数 （ ，且 ）的图象一定经过的点是( )
A． B． C． D．
6．在同一坐标系中，函数 与 的图象都正确的是（）
A． B． C． D．
7．设 ，则 的大小关系为
A． B． C． D．
8．若 ，则 ， ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
9．若 ， ， 满足 ， ， ，则（ ）
则
解得 .
【点睛】
本题考查了换元法及变换主元法在函数最值和取值范围中的综合应用，注意换元后的取值范围，属于中档题。
28．(1) . (2) .
【解析】试题分析：（1）（2）都是由分数指数幂的运算性质计算得答案．
试题解析：(1) = = = = .
(2) = = .
＋500 －10( ＋2)＋1＝
＋10 －10 －20＋1＝－ .
(2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3lg22＋lg 1－lg 6＋lg 6－2＝
3lg 2×lg 5＋3lg 5＋3lg22－2＝
3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2＝
3(lg 2＋lg 5)－2＝3－2＝1.
【详解】
因为 是二次函数的零点，
由二次函数 （其中 ）的图象可知 ，
所以 的图象经过一二三象限，
只有选项 符合题意，故选D.
【点睛】
函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
20．(1)0；(2)答案见解析.
【解析】试题分析：（1）根据指数的运算性质，可得答案；（2）由已知 利用平方法，可得 及 ，进而得到答案.
试题解析：(1)原式 = =
(2)
∵
∴由 得
21．（1） ；（2） .
【解析】试题分析：
本题考查指数和对数的运算。（1）根据指数幂的运算法则求解即可。（2）根据对数运算的性质求解即可。
综上可知, 的取值范围是{ }∪[1,＋∞）．
考点：对数函数的奇偶性和分类整合思想
26．（1） .
（2）1.
【解析】
【分析】
（1）直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可,化简过程注意避免出现符号错误；（2）直接利用对数的运算法则求解即可，解答过程注意避免出现计算错误.
【详解】
(1)原式＝ ＋ － ＋1＝
23．⑴ ；⑵ .
【解析】
【分析】
⑴可以通过奇函数性质 以及 得出结果。
⑵可通过函数的奇偶性和单调性将 转化为 ，在通过计算得出结果。
【详解】
⑴因为 是定义在 上的奇函数，
所以 ，所以 ．
所以 ， ，所以 ，
即 对一切实数 都成立．
所以 ，所以 ．
⑵wenku.baidu.com等式 等价于 ．
又 是 上的减函数，所以 ．
所以 对 恒成立，
所以 ．
即实数 的取值范围是 ．
【点睛】
奇函数的性质① 、② 、③定义域关于y轴对称。
24．
【解析】
【分析】
分 和 两种情况结合函数的单调性讨论.
【详解】
若 ， 在 上为减函数，故 ，矛盾；若 ，则 在 上为增函数， ，故 ，此时函数的值域为 ，故实数 .
【点睛】
一般地，对于底数不确定的函数，讨论其单调性时需分 和 两种情况.本题中注意定义域和值域端点的对应的关系.
【详解】
若 在 递增，排除 选项，
递增，排除 ；纵轴上截距为正数，排除 ，
即 时，不合题意；
若 ， 在 递减，可排除 选项，
由 递减可排除 ，故选B.
【点睛】
本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及 时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
化简得 ,
即 对一切 恒成立,∴ .
（2）函数 与 的图象有且只有一个公共点,
即方程 有且只有一个实根,
化简得:方程 有且只有一个实根,
且 成立,则
令 ,则 有且只有一个正根
设 ,注意到 ,
所以①当 时,有 ,合题意;
②当 时, 图象开口向下,且 ,则需满足
,此时有 ; （舍去）
③当 时,又 ,方程恒有一个正根与一个负根.
(1)
(2)
23．已知定义在 上的函数 是奇函数．
⑴求 的值，并判断函数 在定义域中的单调性（不用证明）；
⑵若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
24．若函数 的定义域和值域都是 ，求实数 的值.
25．（本小题满分10分）已知函数 是偶函数．
（1）求实数 的值;
（2）设 ,若 有且只有一个实数解,求实数 的取值范围．
详解：因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
又 ，
所以 ．
点睛：本题考查指数函数的单调性、对数函数的单调性等知识，意在考查学生的逻辑思维能力．
10．2
【解析】由题意得 .
11．
【解析】 在 上单调递增
最小值为
12．(-2,0)
【解析】分析：利用 即可得出.
详解：令 ，则函数 ，
函数 的图象必过定点 .
故答案为： .
试题解析：
（1）原式
。
（2）原式 。
22．（1） ；（2）37
【解析】
【分析】
（1）利用指数性质、运算法则直接求解;
（2）利用指数、对数性质、运算法则直接求解．
【详解】
（1）原式
（2）原式
．
【点睛】
本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质、运算法则等基础知识，灵活应用运算法则，可使运算更简便.
详解：∵0＜0.52＜1，20.5＞1，log20.5＜0，
∴a＞b＞c，
故选：C．
点睛：本题考查了指数函数和对数函数类型数的大小比较，充分理解指数函数和对数函数的单调性是解决问题的关键．
8．D
【解析】因为 ，所以 .
.
,所以 , .
综上： .
故选D.
9．A
【解析】
分析：先利用指数函数的单调性确定 的取值范围，再通过对数函数的单调性确定 的范围，进而比较三个数的大小．
16．计算： __________．
17．若函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是________
18．已知函数 的定义域和值域都是 ，则 __________．
三、解答题
19．（1）计算： ；（2）已知 用 表示 ．
20．(1)
(2)已知 ,求 和 的值.
21．计算：
（1） .
（2） .
22．化简求值
指数函数及其性质习题（含答案）
一、单选题
1．在同一坐标系内，函数 和 的图象可能是( )
A． B． C． D．
2．已知函数 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 （其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）＝ax＋b的图象大致是( )
A． B． .
C． D．
4．已知 ， ， ，则 的大小关系是( )
27．（1） ； （2） .
【解析】
【分析】
（1）利用换元法，将函数转化为关于t的二次函数，根据t的取值范围求得函数 的值域。
（2）根据恒成立条件，得到关于m的二次函数表达式；利用变换主元法看成关于a的函数表达式，进而求得m的取值范围。
【详解】
（1）令
原函数变为：
的值域为 .
（2）
即
恒成立
令 ,
图象为线段，
2．D
【解析】分析：先化简 得到 ，再求 的值.
详解：由题得
所以 故答案为：D
点睛：（1）本题主要考查函数求值和指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力.（2）解答本题的关键是整体代入求值.
3．D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象得到 ,继而得到 的图象经过一二三象限，问题得以解决.
【详解】
设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝ u在R上为减函数，所以函数f(x)＝ －x2＋2x＋1的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．
又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，
所以f(x)的减区间为(－∞，1]．
故答案为 .
【点睛】
本题主要考查函数单调性的应用、二次函数的图象和性质等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想．复合函数的单调性的判断方法，即同增异减，在解决函数问题时需要格外注意函数的定义域.
26．计算：(1) ；
(2)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋3lg22＋lg ＋lg 0.06.
27．已知 ．
（1）求 的值域．
（2）若 对任意 和 都成立，求 的取值范围．
28．计算下列各式的值;
(1) .
(2) .
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
分两种情况讨论，利用函数的单调性，筛选排除即可得结果
所以
19．（1）3 （2）
【解析】
【分析】
：⑴利用指数、有理指数幂的运算法则化简求解即可．
（2）利用指数与对数的互化以及对数的运算性质，求解即可．
【详解】
试题解析
（1） =1-（1-4）÷ =3
（2）∵
∴a=log32，b=log35，
【点睛】
本题考查有理指数幂的运算法则，指数与对数的互化以及对数的运算性质，属基础题.
15．4
【解析】 ， .
故答案为：4， .
16．7
【解析】由 。
17．
【解析】∵函数 在 上是减函数,
∴ ,
解得 。
∴实数 的取值范围是 。
答案：
18．4
【解析】当 时，函数 单调递增，所以函数 过点(-1,-1)和点(0,0)，所以 无解；
当 时，函数 单调递减，所以函数 过点(-1,0)和点(0,-1)，所以 ，解得 .
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象
4．B
【解析】
【分析】
利用指数与对数的单调性与中间量0，1可求得三个数大小。
【详解】
由题意可得 ，所以 ，选B.
【点睛】
本题考查的是比较指数式及对数式值的大小，构造合适函数，利用指数函数与对数函数的性质及单调性，结合中间量是常用方法。
5．D
【解析】由题意，过定点 ，故选D。
【点睛】
本题主要考查对数的运算法则、指数幂的运算，属于中档题.指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）.
A． B． C． D．
二、填空题
10．已知： ，则 __________．
11．函数 在 上的最小值是__________．
12．函数y=ax+2-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点________.
13．求值： __________．
14．函数 的单调减区间为________．
15． __________， __________.