指数函数及其性质(一)练习题
指数函数及其性质
(0<a<1)
y
y=ax
(a>1)
图 象
y=1
(0,1) 0 x
(0,1)
y=1
0 x
a>1
0<a<1
a>1
0<a<1
1.图象全在x轴上方，与x轴无限接近。
1.定义域为R，值域为(0,+). 性 2.当x=0时，y=1 3.在R上是增 函数 3.在R上是减 函数
图 象 特 征
2.图象过定点（0，1） 3.自左向右图 3.自左向右图 象逐渐上升 象逐渐下降 4.图象分布在左 下和右上两个 区域内 4.图象分布在左 上和右下两个区 域内
(1), (6), (7)是指数函数。
已知f(x)是指数函数，且其图象
过点(2, 9)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值.
2、指数函数的图象和性质： (1) 作出函数y 2 的图象.
x
(2)
1 作出函数y 的图象. 2
x
x
y2
x
…
-3
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
x
y
(2)
(1)
( 3)
( 4)
(0,1)
O
x
x
(4)y d 的图象,
x
x
比较a, b, c, d与1的大小关系 .
c d 1 a b.
y
对于多个指 数函数来说， 底数越大的图 象在 y 轴右侧 的部分越高.
(0,1)
O
x
简称：右侧 底大图高.
指数函数的图象和性质
a>1
y
§2.1.2指数函数及其性质(1)
本节课学习了那些知识?
• 指数函数的定义
一 地 函 y = a (a > 0, a ≠1 叫 指 般 ， 数 ) 做 数
x
函 ， 中是 变 ， 数 定 域 数 其 x 自 量 函 的 义 是 R。
指数函数的图象及性质！
归纳
指数函数在底数 0 < a < 1 及 情况下的图象和性质： 情况下的图象和性质：
1 f (− 3) = π = π
−1
应用
2、比较下列各题中两个值的大小： 、比较下列各题中两个值的大小：
(1 )1 . 7
, 2 . 3 1 .6
2 .5
,1 .7 3 ; (2
0 . 8 − 0 .1 , 0 . 8 − 0 .2 ; )
, 0 .9 ;
( 4 )1 . 8 0 . 3 ,, 2 ..3 3 . 1 ;( 4 )1 . 7 3 7 0 9
f(x) = 0.9x
1.4
1.4
1.2
1.2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
-2
-1.5
-1
-0.5 -0.2
0.5
1
1.5
2
2.5
-0.5 -0.2
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-0.4
-0.4
方法总结： 方法总结： 对同底数幂大小的比较用的是指数函数的 单调性， 单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数 函数的两个函数值； 函数的两个函数值；对不同底数幂的大小的比 较可以与中间值进行比较. 较可以与中间值进行比较.
课时作业5：4．1.2 指数函数的性质与图像(一)
4．1.2 指数函数的性质与图像(一)1．在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图像之间的关系是( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称答案 A2．若函数y ＝(1－2a )x 是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为() A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B ．(－∞，0)C.⎝⎛⎭⎫－∞，12 D.⎝⎛⎭⎫－12，12答案 B解析 ∵y ＝(1－2a )x 是R 上的增函数，则1－2a >1，∴a <0.3．函数y ＝a x ＋1(a >0且a ≠1)的图像必经过点( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(2,1)D ．(0,2)答案 D4．若函数y ＝(m 2－5m ＋5)m x 是指数函数，则有( )A ．m ＝1或m ＝4B ．m ＝1C ．m ＝4D ．m >0或m ≠1答案 C解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－5m ＋5＝1，m >0且m ≠1，∴m ＝4. 5．函数f (x )＝a x 与g (x )＝－x ＋a 的图像大致是( )答案 A6．函数y ＝32－2x 的定义域是________．答案 (－∞，5]解析 由32－2x ≥0，得2x ≤25，∴x ≤5.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥3，f (x ＋1)，x <3，则f (x )的值域为________． 答案 [8，＋∞)解析 当x ≥3时，2x ≥23＝8；当x <3时，皆可通过有限次加1转化为第一类．8．已知f (x )＝a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6，则a ＝________. 答案 2解析 ∵f (x )＝a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6，∴a ＋a 2＝6，即a 2＋a －6＝0，∴a ＝2或a ＝－3(舍)．9．求下列函数的定义域和值域．(1)y ＝13x -； (2)y ＝5－x －1.解 (1)由1－x ≥0，得x ≤1.∴定义域为(－∞，1]．设t ＝1－x ≥0，则3t ≥30＝1，∴值域为[1，＋∞)．(2)定义域为R ，∵5－x >0，∴5－x －1>－1，∴值域为(－1，＋∞)．10．已知x ∈[－3,2]，求f (x )＝14x －12x ＋1的最小值与最大值． 解 f (x )＝14x －12x ＋1＝4－x －2－x ＋1＝2－2x －2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫2－x －122＋34，∵x ∈[－3,2]，∴14≤2－x ≤8，则当2－x ＝12，即x ＝1时，f (x )有最小值34， 当2－x ＝8，即x ＝－3时，f (x )有最大值57.11．已知函数f (x )＝(a 2－1)x ，若x >0时总有f (x )>1，则实数a 的取值范围是( )A ．1<|a |<2B ．|a |<2C ．|a |>1D ．|a |> 2答案 D解析 由题意知a 2－1>1，解得a >2或a <－2，故选D.12．函数y ＝a x －a (a >0且a ≠1)的大致图像可能是( )答案 C解析 如果函数的图像是A ，那么由1－a ＝1，得a ＝0，这与a >0且a ≠1相矛盾，故A 不可能；如果函数的图像是B ，那么由a 1－a <0，得0<0，这是不可能的，故B 不可能；如果函数的图像是C ，那么由0<1－a <1，得0<a <1，且a 1－a ＝0，故C 可能；如果函数的图像是D ，那么由a 1－a <0，得0<0，这是不可能的，故D 不可能．13．若函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有( )A ．0<a <1，且b >0B ．a >1，且b >0C ．0<a <1，且b <0D ．a >1，且b <0答案 C解析 函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图像是由函数y ＝a x 的图像经过向上或向下平移而得到的，因其图像不经过第一象限，所以a ∈(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y ＝a x (0<a <1)的图像向下平移大于1个单位长度，即b －1<－1，所以b <0.14．若函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |＋m 与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________．答案 [－1,0)解析 y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图像如图，若y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |＋m 的图像与x 轴有公共点，则y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图像必须下移|m |个单位长度且0<|m |≤1，且m ＜0，所以－1≤m <0.15．已知0<m <n <1，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图像为( )答案 C解析 令x ＝1，则①y ＝m ，②y ＝n ，∵m <n ，∴C 对．16．已知函数y ＝⎝⎛⎭⎫13|x ＋1|.(1)画出函数的图像(简图)；(2)由图像指出函数的单调区间；(3)由图像指出当x 取何值时函数有最值，并求出最值．解 (1)方法一 y ＝⎝⎛⎭⎫13|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎫13x ＋1，x ≥－1，3x ＋1，x <－1.其图像由两部分组成： 一部分：y ＝⎝⎛⎭⎫13x (x ≥0)的图像――――――――――→向左平移1个单位长度y ＝⎝⎛⎭⎫13x ＋1(x ≥－1)的图像； 另一部分：y ＝3x (x <0)的图像――――――――――→向左平移1个单位长度y ＝3x ＋1(x <－1)的图像． 得到的函数图像如实线部分所示．方法二 ①可知函数y ＝⎝⎛⎭⎫13|x |是偶函数，其图像关于y 轴对称，故先作出y ＝⎝⎛⎭⎫13x (x ≥0)的图像，当x <0时，其图像与y ＝⎝⎛⎭⎫13x (x ≥0)的图像关于y 轴对称，从而得出y ＝⎝⎛⎭⎫13|x |的图像． ②将y ＝⎝⎛⎭⎫13|x |的图像向左平移1个单位长度，即可得y ＝⎝⎛⎭⎫13|x ＋1|的图像，如图所示．(2)由图像知函数的单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是(－1，＋∞)．(3)由图像知当x ＝－1时，函数有最大值1，无最小值．。
指数函数的性质及常考题型(含解析)
【变式 1-2】下列函数：① = 3 ；② = 6 ；③ = 6 ⋅ 2 ；④ = 8 + 1；⑤ = −6 .
其中一定为指数函数的有（
A．0 个
）
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【解题思路】根据指数函数的定义判断即可；
【解答过程】解：形如 =
( > 0且 ≠ 1)为指数函数，其解析式需满足①底数为大于
数
函
数
︶
如图是指数函数（1）y＝ax，
（2）y＝bx，
（3）y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底数 a，b，c，
d 与 1 之间的大小关系为 c>d>1>a>b．
由此我们可得到以下规律：在 y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
3．比较指数幂的大小的方法
比较指数幂的大小的方法（分三种情况）
：
（1）底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断；
培
优
篇
高
【变式 5-2】已知函数() = ⋅ 的图像经过点(1,2)，(2,4)．
中
（1）求()的解析式；
数
（2）解不等式( + 3) > (4)．
学
︵
指
数
函
数
︶
【变式 5-3】已知函数() = + (0 < < 1)的图象经过点(0, −1)．
（1）求实数 b；
B．0 < < 1,0 < < 1
指
C．0 < < 1, > 1
D． > 1,0 < < 1
数
函
【变式 6-2】如图中，①②③④中不属于函数 = 3 ， = 2 ， =
2.1.2指数函数及其性质(1)
1.图像向左、向右是无限延伸的。 (0,1)
2.图像都在x轴的上方。 3.都过定点（0，1）。
0
x
y a x (a 0且a 1) 的图象和特征：
a>1
图
6
5
象 4
3
2
11
-4
-2
0
2
4
6
-1
1.图象在x轴上方
特 2.从左到右上升 征 3.过定点 (0，1)
4、a越大，向上越靠近y轴
0<a<1
2.1.2指数函数及其性质
第一课时
问题 引入
问题1、某种细胞分裂时，由1个分裂成 2个，2个分裂成4个，1个这样的细胞分 裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数 关系式是什么？
研究
分裂
次数 1次 2次 3次 4次
x次
……
y 2x
细胞 2个 4个 8个 16个
总数
21
22
23
24
2x
问题 引入
质
4.单调性：
在R上是增函数
单调性: 在R上是减函数
对称性: y=ax和y=a-x关于y轴对称
例3、 如图为指数函数：
(1) y ax (2) y bx (3) y cx (4) y d x的图象,
y
(2) (3)
(1)
(4)
比较 a, b, c, d 与1的大小关系.
O
x
c d 1 a b
例5、已知指数函数 f (x) ax (a 0且a 1） 的图像经过 点（3，π）求 f(0), f(1), f(-3)的值。
解：因为 f (x) a x 的图像过点(3, ),所以
指数函数的练习题
指数函数的练习题指数函数是高中数学中的重要内容，它在数学和实际生活中都有广泛的应用。
通过练习题的形式，我们可以更好地理解和掌握指数函数的相关概念和性质。
下面，我将给大家提供一些指数函数的练习题，希望能够对大家的学习有所帮助。
练习题一：简单指数函数计算1. 计算 $2^3$ 和 $(-3)^2$ 的值。
2. 计算 $10^{-2}$ 和 $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}$ 的值。
练习题二：指数函数的性质1. 如果 $a > 1$，那么 $a^x$ 是否是递增函数？为什么？2. 如果 $0 < a < 1$，那么 $a^x$ 是否是递增函数？为什么？3. 如果 $a > 1$，那么 $a^x$ 是否有上界？为什么？练习题三：指数函数的图像1. 画出函数 $y = 2^x$ 和 $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ 的图像。
2. 画出函数 $y = 3^x$ 和 $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ 的图像。
练习题四：指数函数的应用1. 假设某种细菌的数量每小时增加50%，现在有1000个细菌，经过多少小时后细菌的数量会达到5000个？2. 一笔投资每年以5%的利率复利计算，如果初始投资为10000元，经过多少年后投资会翻倍？练习题五：指数函数的方程1. 解方程 $2^x = 8$。
2. 解方程 $3^{2x-1} = \frac{1}{9}$。
通过以上的练习题，我们可以加深对指数函数的理解和运用。
在计算指数函数的值时，我们需要注意底数的正负以及指数的大小。
指数函数的性质也是我们需要掌握的重要内容，它们对于理解函数的增减性和图像的变化有着重要的影响。
通过绘制指数函数的图像，我们可以更直观地观察函数的特点和变化趋势。
指数函数在实际生活中也有广泛的应用。
在金融领域中，复利计算常常使用指数函数的概念。
课时作业4：4.1.2 指数函数的性质与图像(一)
4.1.2 指数函数的性质与图像(一)一、选择题1．下列函数中，指数函数的个数为( )①y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x ；④y ＝⎝⎛⎭⎫122x －1. A ．0 B ．1 C ．3 D ．42．已知f (x )＝3x －b (b 为常数)的图像经过点(2,1)，则f (4)的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．813．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝3x －2的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤1，53 B ．[－1,1]C.⎣⎡⎦⎤－53，1 D ．[0,1]4．在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝ax 与g (x )＝a x 的图像可能是()二、填空题5．函数f (x )＝1－e x 的值域为________．6．若指数函数y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫－2，116，则f ⎝⎛⎭⎫－32＝________.7．若关于x 的方程2x －a ＋1＝0有负根，则a 的取值范围是________．三、解答题8．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，求a 的值．9．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝21x －1；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫13222x －.10．设f (x )＝3x ，g (x )＝⎝⎛⎭⎫13x .(1)在同一坐标系中作出f (x )，g (x )的图像；(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？【参考答案】一、选择题1．【解析】由指数函数的定义可判定，只有②正确．【答案】B2．【解析】由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，所以f (x )＝3x －2，f (4)＝9.可知C 正确．【答案】C3．【解析】因为指数函数y ＝3x 在区间[－1,1]上是增函数，所以3－1≤3x ≤31，于是3－1－2≤3x－2≤31－2，即－53≤f (x )≤1.故选C. 【答案】C4．【解析】需要对a 讨论：①当a >1时，f (x )＝ax 过原点且斜率大于1，g (x )＝a x 是递增的；②当0<a <1时，f (x )＝ax 过原点且斜率小于1，g (x )＝a x 是减函数，显然B 正确．【答案】B二、填空题5．【解析】由1－e x ≥0得e x ≤1，故函数f (x )的定义域为{x |x ≤0}，所以0<e x ≤1，－1≤－e x <0,0≤1－e x <1，函数f (x )的值域为[0,1)．【答案】[0,1)6．【解析】设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)．因为f (x )过点⎝⎛⎭⎫－2，116，所以116＝a －2， 所以a ＝4，所以f (x )＝4x ， 所以f ⎝⎛⎭⎫－32＝432-＝18. 【答案】18 7．【解析】因为2x ＝a －1有负根，所以x <0，所以0<2x <1.所以0<a －1<1，所以1<a <2.【答案】(1,2)三、解答题8．【解】由指数函数的定义知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，①a >0且a ≠1，② 由①得a ＝1或2，结合②得a ＝2.9．【解】(1)要使y ＝21x －1有意义，需x ≠0，则21x ≠1； 故21x －1>－1且21x －1≠0， 故函数y ＝21x －1的定义域为{x |x ≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)函数y ＝⎝⎛⎭⎫13222x －的定义域为实数集R ，由于2x 2≥0，则2x 2－2≥－2. 故0<⎝⎛⎭⎫13222x －≤9，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫13222x －的值域为(0,9]． 10．【解】(1)函数f (x )与g (x )的图像如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3；f (π)＝3π，g (－π)＝⎝⎛⎭⎫13－π＝3π；f (m )＝3m ，g (－m )＝⎝⎛⎭⎫13－m ＝3m .从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等， 即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图像关于y 轴对称．。
指数函数及其性质(含知识点、例题、练习、测试)
指数函数及其性质 知识点一 指数函数及图像性质1.指数函数概念：定义：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R ，a 是底数.2. 指数函数的图象和性质：作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： 1()2x y =， 2x y =图像性质总结 底数 a >1 0<a <1图象性质 函数的定义域为R ，值域为(0，＋∞)函数图象过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1 当x >0时，恒有y >1；当x <0时，恒有0<y <1当x >0时，恒有0<y <1； 当x <0时，恒有y >1 函数在定义域R 上为增函数 函数在定义域R 上为减函数题型一 指数函数求值【例1】已知指数函数()xf x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)f f f -的值.题型二 比较大小【例2】比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5 与 1.73( 2 )0.10.8-与0.20.8-( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1题型三 指数函数性质【例3】求下列函数的定义域与值域：（1）442x y -= （2）||2()3x y =【过关练习】1、 函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为 .2、 比较大小：0.70.90.80.8,0.8, 1.2a b c ===； 01, 2.50.4,-0.22-, 1.62.5.思考探究：在[m ，n ]上，()(01)x f x a a a =>≠且值域问题？知识点二 指数函数应用1. 指数函数的应用模型（应用题）2. 指数形式的函数定义域、值域题型 函数综合【例1】 2017年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x 年后的总产值为原来的多少倍？ → 变式：多少年后产值能达到120亿？【例2】指数函数与函数性质综合1、已知函数[]2,1,2329∈+•-=x y xx ，求这个函数的值域；2、求函数2121x x y -=+的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.【过关练习】1、 一片树林中现有木材30000m 3，如果每年增长5%，经过x 年树林中有木材y m 3，写出x ，y 间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m 32. ① 求函数y =的定义域和值域.② 求下列函数的定义域、值域：21x y =+; y =110.4x y -=.【补救练习】 1、已知函数y ＝kx ＋a 的图象如图所示，则函数y ＝a x ＋k 的图象可能是( )2、比较下列各组数的大小： 13222()0.45--与（） ； 0.760.75333-（）与（）.【巩固练习】1、函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )2、下列函数中值域为正实数的是( )A ．y ＝－5xB ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－x C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1 D ．y ＝1－2x 【拔高练习】1、当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－4,3)C ．(－1,2)D ．(－3,4)2、某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃ 的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．【补救练习】 B ＞＜【巩固练习】B B 【拔高练习】 C 24。
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2.2.1指数函数及其性质（一）
一、选择题
1．函数f （x ）＝)1(log 2
1－x 的定义域是（ ）
A ．（1，＋∞）
B ．（2，＋∞）
C ．（－∞，2）
D ．]21(，
解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，
所以⎪⎩⎪
⎨⎧≥0)1(log 0
12
1
－＞－x x 解得1＜x ≤2． 答案：D
2．函数y ＝2
1log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（ ）
A ．（－∞，1）
B ．（2，＋∞）
C ．（－∞，
23
）
D ．（
2
3
，＋∞） 解析：先求函数定义域为（－o ，1）∪（2，＋∞），令t （x ）＝x 2＋3x ＋2，函数t （x ）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y ＝2
1log （x 2－3x ＋2）在（2，＋∞）上单调递减．
答案：B
3．若2lg （x －2y ）＝lg x ＋lg y ，则x
y
的值为（ ） A ．4
B ．1或41
C ．1或4
D ．4
1
错解：由2lg （x －2y ）＝lg x ＋lg y ，得（x －2y ）2＝xy ，解得x ＝4y 或x ＝y ，则有
x
y ＝
4
1
或y x ＝1． 答案：选B
正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x －2y ＞0，所以x ＞2y ．所以x ＝y 舍掉．只有x ＝4y ．
答案：D
4．若定义在区间（－1，0）内的函数f （x ）＝a 2log （x ＋1）满足f （x ）＞0，则a 的取值范围为（ ） A ．（0，2
1
） B ．（0，
2
1
）
C ．（
2
1
，＋∞）
D ．（0，＋∞）
解析：因为x ∈（－1，0），所以x ＋1∈（0，1）．当f （x ）＞0时，根据图象只有0＜2a ＜l ，解得0＜a ＜2
1
（根据本节思维过程中第四条提到的性质）． 答案：A 5．函数y ＝lg （x
－12
－1）的图象关于（ ） A ．y 轴对称 B ．x 轴对称
C ．原点对称
D ．直线y ＝x 对称
解析：y ＝lg （
x －12－1）＝x x －＋11lg ，所以为奇函数．形如y ＝x x －＋11lg 或y ＝x
x －＋11lg 的函数都为奇函数． 答案：C 二、填空题
已知y ＝a log （2－ax ）在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是__________． 解析：a ＞0且a ≠1⇒μ（x ）＝2－ax 是减函数，要使y ＝a log （2－ax ）是减函数，则a ＞1，又2－ax ＞0⇒a ＜3
2
（0＜x ＜1）⇒a ＜2，所以a ∈（1，2）． 答案：a ∈（1，2）
7．函数f （x ）的图象与g （x ）＝（3
1）x
的图象关于直线y ＝x 对称，则f （2x －x 2）的单调递减区间为______．
解析：因为f （x ）与g （x ）互为反函数，所以f （x ）＝3
1log x
则f （2x －x 2）＝3
1log （2x －x 2），令μ（x ）＝2x －x 2＞0，解得0＜x ＜2．
μ（x ）＝2x －x 2在（0，1）上单调递增，则f ［μ（x ）
］在（0，1）上单调递减；
μ（x ）＝2x －x 2在（1，2）上单调递减，则f ［μ（x ）
］在［1，2）上单调递增．
所以f （2x －x 2）的单调递减区间为（0，1）． 答案：（0，1）
8．已知定义域为R 的偶函数f （x ）在［0，＋∞］上是增函数，且f （2
1
）＝0， 则不等式f （l og 4x ）的解集是______．
解析：因为f （x ）是偶函数，所以f （－21）＝f （2
1
）＝0．又f （x ）在［0，＋∞］上是增函数，所以f （x ）在（－∞，0）上是减函数．所以f （l og 4x ）＞0⇒l og 4x ＞2
1
或l og 4x
＜－2
1．
解得x ＞2或0＜x ＜21
．
答案：x ＞2或0＜x ＜2
1
三、解答题
9．求函数y ＝3
1log （x 2－5x ＋4）的定义域、值域和单调区间．
解：由μ（x ）＝x 2－5x ＋4＞0，解得x ＞4或x ＜1，所以x ∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x ∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛μ｜μ＝x 2－5x ＋4｝＝R ＋
，所以函数的值域是R
＋
．因为函数y ＝3
1log （x 2－5x ＋4）是由y ＝3
1
log μ（x ）与μ（x ）＝x 2－5x ＋4复合而成，
函数y ＝3
1
log μ（x ）在其定义域上是单调递减的，函数μ（x ）＝x 2－5x ＋4在（－∞，2
5
）
上为减函数，在［
25，＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y ＝3
1log （x 2－5x ＋4）的增区间是定义域内使y ＝3
1
log μ（x ）为减函数、μ（x ）＝x 2－5x ＋4也
为减函数的区间，即（－∞，1）；y ＝3
1log （x 2－5x ＋4）的减区间是定义域内使y ＝3
1
log μ
（x ）为减函数、μ（x ）＝x 2－5x ＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）． 10．设函数f （x ）＝
532＋x ＋x
x
2323lg ＋－， （1）求函数f （x ）的定义域；
（2）判断函数f （x ）的单调性，并给出证明；
（3）已知函数f （x ）的反函数f －
1（x ），问函数y ＝f －
1（x ）的图象与x 轴有交点吗?
若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由． 解：（1）由3x ＋5≠0且x x 2323＋－＞0，解得x ≠－35且－23＜x ＜23．取交集得－2
3
＜x ＜
2
3
． （2）令 （x ）＝3x ＋5，随着x 增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；
x x 2323＋－＝－1＋x
236
＋随着x 增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数． 又y ＝lg x 在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，y ＝x
x
2323lg ＋－是减函数，所以f
（x ）＝532＋x ＋x
x
2323lg ＋－是减函数．
（3）因为直接求f （x ）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解．
设函数f （x ）的反函数f －
1（x ）与工轴的交点为（x 0，0）．根据函数与反函数之间定义
域与值域的关系可知，f （x ）与y 轴的交点是（0，x 0），将（0，x 0）代入f （x ），解得x 0＝
52．所以函数y ＝f －
1（x ）的图象与x 轴有交点，交点为（5
2，0）。