指数函数及其性质优质课
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指数函数及其性质(公开课)1精品PPT课件
引例《2 庄子·逍遥游》记载：一尺之椎，日取其 半，万世不竭.意思是一尺长的木棒，一天截取一 半，很长时间也截取不完.这样的一个木棒截取x 次，剩余长度y与x的关系是 y （ 1 ）x .
2
y 2x
y （ 1 ）x 2
思考:这两个例子的式子有什么共同特征?
底数是常数,指数是变量
1. 指数函数的定义
y 2x
2.如何来研究指数函数的性质呢？
用描点法作出下列两组函数的图象，
然后写出其一些性质： (1)y 2 x
y
y 2x
1
0
1
x
y （ 1 ）x 2
y
y
1 2
x
1
0
1
x
(2)y 3 x
列表：
与 y ( 1 ) x 的图象.
3
x … -3
-2
-1
0
1
2
3…
y=3x … 0.03 0.11
(1)y 4x;
(2)y x4;
(3)y4x;
(4)y(4)x; (7)y xx;
(5)yx;
(6) y
1
x
(8)y(2a1)x(a1,a1) 2
答案：（1）（5）（6）（8）是指数函数
2：函 y(数 a23a3)ax是指数函 a2数
3：已知y=f(x)是指数函数，且f(2)=4,求函数
y=f(x)的解析式。
系数为1
y＝1 ·ax
自变量
常数
定义：一般地,函数 yax(a0,a1 ,x R )叫做指数函数
注意:
(1) 规定a0,a1
x 0 a x恒等于零
a 0x 0 无意义
a0 无意义
4.2.1指数函数及其性质(优质课件)
（x,y)和(x,-y)关 于x轴对称！
(1) y 2 x (2) y 2x (3) y 2 x
y y=2x
y y=2x
y y=2x
(0,1)
o
x
(0,1)
o
x
(0,1)
o
x
(1) y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 y 轴 对称； (2) y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 x 轴 对称； (3) y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 原 点 对称.
换元令 t＝ax，利用二次函数和指数函数的单调性来研究函数 的单调性，构建方程获解． 解 令 t＝ax (a>0 且 a≠1)， 则原函数化为 y＝(t＋1)2－2 (t>0)． ①当 0<a<1 时，x∈[－1,1]，t＝ax∈a，1a， 此时 f(t)在a，1a上为增函数．
所以 f(t)max＝f1a＝1a＋12－2＝14. 所以1a＋12＝16，所以 a＝－15或 a＝13. 又因为 a>0，所以 a＝13. ②当 a>1 时，x∈[－1,1]，t＝ax∈1a，a， 此时 f(t)在1a，a上是增函数．
【3】方程 2x x2y 的解有___3__个.
o
x
【点评】当判断方程 f (x) = g (x)的实根个数时，
我们可转化为判断函数y = f (x) 与函数 y = g (x)的
图像的交点的个数．
【4】函数y＝ax+2015＋2015(a＞0,且a≠1)的 图象恒过定点___________.
2022年11月16日星期三
课前自助餐: 1. 将下列各数值按从小到大的顺序排列
2: 求 下列函数的定义域
(1) y 22x1 ,
指数函数及其性质-(公开课)
函数的奇偶性
总结词
指数函数并非总是奇函数或偶函数，这取决于底数 $a$ 的值 。
详细描述
如果 $a > 0$ 且 $a neq 1$，那么 $f(x) = a^x$ 是非奇非偶函 数。这是因为对于所有 $x in mathbb{R}$，都有 $f(-x) = a^{-x} = frac{1}{a^x} neq a^x = f(x)$，同时也不满足 $f(-x) = -f(x)$。
风险评估
指数函数可以用于风险评估，例如计算投资组合的贝塔系数，衡量 投资组合相对于市场的波动性。
在科学研究中的应用
放射性衰变
01
放射性衰变是指放射性物质释放出射线并转化为另一种物质的
过程，指数函数可以用来描述放射性衰变的规律。
种群增长模型
02
在生态学中，指数函数可以用来描述种群数量的增长趋势，例
如细菌繁殖等。
谢谢
THANKS
变化。
网络流量预测
网络流量的变化趋势可以使用指数 函数进行建模和预测。
软件性能测试
在软件性能测试中，指数函数可以 用于描述软件响应时间随用户数量 增加的变化规律。
04 指数函数与其他数学知识的联系
CHAPTER
与对数函数的关系
对数函数是指数函数的反函数，即如 果y=a^x，那么x=log_a y。
03 指数函数的应用
CHAPTER
在金融领域的应用
复利计算
指数函数在金融领域中常 用于计算复利，描述本金 及其产生的利息之和随时 间变化的规律。
股票价格模型
股票价格通常使用指数函 数进行建模，以描述其随 时间增长的趋势。
保险与养老金计算
保险费和养老金的累积也 常使用指数函数进行计算。
高中数学指数函数及其性质优秀教案设计
高中数学指数函数及其性质优秀教案设计教案：指数函数及其性质教学目标：1.理解指数函数的定义和性质。
2.掌握指数函数的图像特征和变化规律。
3.能够应用指数函数解决实际问题。
教学重点：1.指数函数的定义和性质。
2.指数函数图像的特征和变化规律。
教学难点：1.理解指数函数的定义和性质。
2.熟练掌握指数函数图像的特征和变化规律。
教学准备：1.教师：电脑、投影仪、教学PPT。
2.学生：教科书、笔记本。
教学过程：Step 1：导入新知1.教师利用PPT展示指数函数的定义和性质，引导学生思考指数函数与幂函数的关系，并提出问题：“指数函数与幂函数有什么区别？它们的图像有何特点？”2.学生回答问题并进行讨论。
Step 2：学习指数函数的定义和性质1.教师通过展示幂函数的特征和图像，引导学生理解指数函数的概念和定义。
2.教师讲解指数函数的性质，如：a.正指数函数和负指数函数的性质；b.指数函数的单调性和奇偶性；c.指数函数在x轴和y轴上的截距。
Step 3：探究指数函数图像的特征和变化规律1.教师通过PPT展示指数函数的图像，并引导学生观察和总结图像的特点。
2.教师指导学生探究指数函数图像的变化规律，如正指数函数图像的增长趋势和负指数函数图像的衰减趋势。
3.学生在笔记本上完成练习，绘制两个指数函数的图像，并分析它们之间的关系。
Step 4：应用指数函数解决实际问题1.教师通过实际问题展示指数函数的应用，如人口增长问题、放射性衰变问题等。
2.教师提供一些实际问题，并引导学生运用指数函数解决。
Step 5：归纳总结1.教师带领学生归纳总结指数函数的定义、性质和图像特征。
2.学生进行小组讨论，共同总结归纳。
Step 6：作业布置1.学生独立完成教科书上的习题，巩固所学的知识。
2.学生还可以选择一个实际问题，利用指数函数解决，并写出解题过程和思路。
教学反思：此教学设计能够帮助学生深入理解指数函数的定义和性质，通过观察和探究图像特征和变化规律，提高数学建模和解决实际问题的能力。
指数函数的图象及性质--优质获奖精品课件 (1)
1
2
3
4
5
3.函数y＝(a2－5a＋7)(a－1)x是指数函数，则a的值为( B ) A.2 解析 B.3 C.2或3 D.任意值 由指数函数的定义可得a2－5a＋7＝1，
解得a＝3或a＝2， 又因为a－1>0且a－1≠1，故a＝3.
解析答案
1
2
3
4
5
4.已知函数f(x)＝4＋ax＋1的图象经过定点P，则点P的坐标是( A ) A.(－1,5) C.(0,4) 解析 B.(－1,4) D.(4,0) 当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数，
x
解析答案
1 (3)y＝ 2
x 2 2 x 3
；
x 2 2 x 3
解
1 y＝ 2
x 2 2 x 3
的定义域为 R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
1 ∴ 2
1 －4 ≤2 ＝16.
x 2 2 x 3
1 x -4
1 又 ≠0，即 2 x－4
故 y＝ 2
1 x -4
≠1，
的值域为{y|y＞0，且 y≠1}.
解析答案
(2)y＝ 1－2x；
解
由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，
∴y＝ 1－2x的定义域为(－∞，0].
由0＜2x≤1，得－1≤－2x＜0，∴0≤1－2x＜1，
∴y＝ 1－2 的值域为[0,1).
1 解得 a＝2.
解
2 2a －3a＋2＝1， 由题意得a>0， a≠1，
1 ∴a 的值为2.
解析答案
题型二
指数函数的图象 )
例2
如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，
指数函数的性质与图像公开课优质课件一等奖
2024/1/27
16
人口增长模型
人口增长模型
假设人口增长率保持不变，则人口数量与时间之间的关系可以用指数函数来描 述。即N(t) = N0e^(rt)，其中N(t)表示t时刻的人口数量，N0表示初始人口数 量，r表示人口增长率。
指数函数在人口增长模型中的应用
通过指数函数模型，可以预测未来人口数量的变化趋势，为城市规划、资源分 配等提供决策依据。
指数函数的性质与图像公 开课优质课件一等奖
2024/1/27
1
目录
2024/1/27
• 指数函数基本概念 • 指数函数性质分析 • 指数函数图像特征 • 指数函数在生活中的应用举例 • 求解指数方程和不等式方法探讨 • 总结回顾与拓展延伸
2
01
指数函数基本概念
2024/1/27
3
指数函数定义
指数函数是形如 f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1) 的函数，其中 a 是底数，x 是指 数。
当a=1时，指数函数f(x)=1是偶函数，因为 f(-x)=f(x)对于所有的x都成立。
当a=-1时，指数函数f(x)=(-1)^x是奇函数， 因为f(-x)=-f(x)对于所有的x都成立。
2024/1/27
10
03
指数函数图像特征
2024/1/27
ห้องสมุดไป่ตู้
11
图像形状及位置
指数函数图像是一条从左下方 向右上方延伸的曲线，形状类 似于指数增长的曲线。
指数函数的单调性可以通过其导数进行证明。对于底数a>1的指数函数，其导数恒大于0，因此函数单调增加； 对于0<a<1的指数函数，其导数恒小于0，因此函数单调减少。
参赛优质课指数函数图像和性质
解： 考察指数函数y=1.5x,
∵1.5>1 ∴ y=1.5x是R上的增函数 又∵2.5<3.2 ∴1.52.5< 1.53.2
(2)0.5
– 1.2
,0.5
– 1.5
解：考察指数函数y=0.5x,
∵0<0.5<1 ∴ y=0.5x是R上的减函数 又∵-1.2>-1.5 ∴ 0.5– 1.2 <0.5– 1.5
x 1 x x ) 2 ,g ( x ) 已知 f ( 2
思考
(1) 在同一坐标系中作出f(x)和g(x)的图像 （2）计算f(1)与g(-1),f(-π )与g(π ),f(m)与 g(-m)的值,从中你能得出什么结论？
在R上是减函数
若x>0, 则y >1
若x>0, 则 0<y<1
若x<0, 则 0<y<1 若x<0, 则 y>1
例1.比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.52.5 ,1.5
(2)0.5
– 1.2 3.2 ； – 1.5
,0.5
1.2
(3)1.50.3 ,0.8
(1)1.52.5 ,1.5
3.2 ；
(3)1.50.3 ,0.8
1.2
解： ∵1.50.3>1.50=1,0.81.2<0.80=1
∴ 1.50.3>1,0.81.2<1
∴1.50.3>0.81.2
(1)1.52.5 ,1.5
(2)0.5
– 1.2
3.2 ；
– 1.5
,0.5
1.2
(3)1.50.3 ,0.8
例2 （1）解方程
指数函数及其性质优质课(课堂PPT)
引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%， 设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的
函数关系式为 y 0 .8x5 x
2
在 y 2 x, y 0.85x 中指数x是自变量，
底数是一个大于0且不等于1的常量. 我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个
大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.
0 .5
1
1 .5
2
2 .5
3
3 .5
4
从而有 1.7 0.3 > 0.93.1
17
总 结
（1）对同底数幂大小的比较，
方 法
明确 所考察的函数对象， 运用指数函数的单调性。
规 律
（2）对不同底数幂大小的比较 常借助中间变量进行比较 如：1或0
18
2
4
练习：⑴比较大小：( 2 .5 ) 3 , ( 2 .5) 5
2.2
2
1.8
x
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-2
-1.5
-1
-0.5
-0.2
-0.4
0.5
1
1.5
2
2.5
0.93.1 1
3 .2
3
2 .8
2 .6
2 .4
2 .2
2 1 .8
f x = 0.9 x
1 .6
1 .4
1 .2
1
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
-0.5 -0.2
-0.4
1.7 1
0.5 1 2 1.7 3 9
2.5 … 15.6 …
0.6 0.3 0.1 0.06 …
函数关系式为 y 0 .8x5 x
2
在 y 2 x, y 0.85x 中指数x是自变量，
底数是一个大于0且不等于1的常量. 我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个
大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.
0 .5
1
1 .5
2
2 .5
3
3 .5
4
从而有 1.7 0.3 > 0.93.1
17
总 结
（1）对同底数幂大小的比较，
方 法
明确 所考察的函数对象， 运用指数函数的单调性。
规 律
（2）对不同底数幂大小的比较 常借助中间变量进行比较 如：1或0
18
2
4
练习：⑴比较大小：( 2 .5 ) 3 , ( 2 .5) 5
2.2
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x
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-2
-1.5
-1
-0.5
-0.2
-0.4
0.5
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0.93.1 1
3 .2
3
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2 .6
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2 .2
2 1 .8
f x = 0.9 x
1 .6
1 .4
1 .2
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0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
-0.5 -0.2
-0.4
1.7 1
0.5 1 2 1.7 3 9
2.5 … 15.6 …
0.6 0.3 0.1 0.06 …
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4.5
4
3.5
3
fx
=
1.7x
2.5
2
1.5
1.7
2.5
<
1.7 3
1 0.5
-2
-1
-0.5
1
2
3
4
5
② 0.80.1， 0.80.2 分析 ：利用函数单调性 0.80.1 与 0.80.2 的底数是0.8，它们可以看成函数 y= 0.8x
比较x=-0.1和-0.2时的函数值。
解：因为0<0.8<1，所以函数y= 0.8x 在R是减函数，
f (3) 1 1 .
例2 比较下列各题中两个值的大小：
① 1.72.5 ， 1.73
分析：利用函数单调性1.72.5与 1.73
的底数是1.7，它们可以看成函数 y=1.7 x
比较x=2.5和3时的函数值。
5
解：因为1.7>1，所以函数y=1.7 x
； 在R上是增函数，而2.5<3， 所以，
a x=1，是一个常量，没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a1。
探究2：函数 y 2 3x 是指数函数吗？ 不是
因为指数函数的解析式y=a x 中，a x的系数是1.
有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如
y a x k (a>0且a 1，k R)；
有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如
2 1.8
fx = 1.7x 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2
-2
-1.5
-1
-0.5
-0.2
-0.4
0.5
1
1.5
2
2.5
3.2 3
2.8 2.6 2.4 2.2
2 1.8 1.6 1.4 1.2
1 0.8 0.6 0.4 0.2
-0.5 -0.2 -0.4
0.93.1 1
2
2
解：因为 (2.5) 3 3 (2.5)2 3 2.52 2.53
4
4
(2.5) 5 5 (2.5)4 5 2.54 2.55
利用函数单调性
2
4
2.53 2.55
3.2 3
2.8 2.6 2.4 2.2
2 1.8
fx = 2.5x 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2
其中x是自变量，函数定义域是R。
探究1：为什么要规定a>0,且a 1呢？
a ①若a=0，则当x>0时， x =0； 当x0时，a x无意义.
②若a<0，则对于x的某些数值，可使a x 无意义.
如 (2) x ，这时对于x= 1 ，x= 1
4
2
……等等，在实数范围内函数值不存在.
③若a=1，则对于任何x R，
(
)的图象过
点 (3, )，求 , , f (3)的值.
分析： 要求 ， ，f (3)的值，需要求 的解析式，要先求a的值。根据函数图象 过点(3, )，可以求得a的值。
解： f (x) a x 的图像经过点(3, )， f (3)
1
x
即 a3 ，a 3， f (x) 3
1
f (0) 0 1, f (1) 3 3 ,
-2
-1.5
-1
-0.5
-0.2
-0.4
0.5
1
1.5
2
2.5
练习： ⑵已知下列不等式，试比较m、n的大小：
(2)m (2)n m n
33
1.1m 1.1n m n
⑶比较下列各数的大小：
10 , 0.42.5 ,
2 0.2
1 0.42.5 0
2 0.2
小结：1.指数函数的定义：函数 y a x (a 0且a 1)
叫做指数函数，其中x是自变量，定义域是R。 2.指数函数的的图象和性质：
a>1
0<a<1
图
6
5
象
4 3
2
11
-4
-2
0
-1
2
4
6
性 1.定义域：R
质 2.值域：（0，+∞）
6 5 4 3 2
11
-4
-2
0
-1
2
4
6
3.过点（0，1），即x=0时，y=1
4.在 R上是增函数
在R上是减函数
1.B 2.D 3.C 4.<
y a x (a 0且a 1) 的图象和性质：
a>1
0<a<1
图
6
5
象
4
3 2
11
-4
-2
0
-1
性 1.定义域：
质 2.值域：
2
4
6
(,)
(0,)
6 5 4 3 2
11
-4
-2
0
-1
2
4
6
3.过点 (0,1) ，即x= 0 时，y= 1
4.在 R上是 增 函数 在R上是 减 函数
例1 已知指数函数
y ax (a 0,且a 1)
因为它可以化为 y 1 x a
( 1 0,且 1 1)
a
a
(口答)1.下列函数是指数函数的是 （D）
y （A） 3 x
y （B） 3x1
y （C） 3x1
y （D） 3 x
指数函数的图象和性质：
在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：
y 2x
引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%， 设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的
函数关系式为 y 0.85x x
在 y 2x, y 0.85 x 中指数x是自变量，
底数是一个大于0且不等于1的常量.
我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个 大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.
列表如下：
y
1
x
2
y 3x
y
1
x
3
x
2x
1 x 2
… -3 -2 -1 … 0.13 0.25 0.5 …8 4 2
-0.5 0 0.71 1 1.4 1
0.5 1 2 3 … 1.4 2 4 8 … 0.71 0.5 0.25 0.13 …
x … -2.5 -2 -1
3x … 0.06 0.1 0.3
学习目标： 1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与 现实生活及其他学科的联系； 2. 理解指数函数的概念和意义； 3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数 的性质（单调性、特殊点）.
学习重点： 指数函数的图像与性质. 学习难点： 指数函数的概念和意义.
新知：
指数函数的定义：
函数 y a x (a 0且a 1) 叫做指数函数，
1 x … 15.6 9
3
3
-0.5 0 0.6 1
1.7 1
0.5 1 2 1.7 3 9
2.5 … 15.6 …
0.6 0.3y 2x … 0.13 0.25 0.5
y 1 x … 8
4
2
2
-0.5 0
0.71 1
8
1.4 1
7
6
5
4
gx = 0.5x 3
fx = 0.9x
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
从而有 1.70.3 > 0.93.1
总 结
（1）对同底数幂大小的比较， 明确 所考察的函数对象，
方 法
运用指数函数的单调性。
规
律
（2）对不同底数幂大小的比较
常借助中间变量进行比较
如：1或0
2
4
练习：⑴比较大小：(2.5) 3 , (2.5) 5
5.{x | x 0}
课本59页：5题 ，7题 ， 8题
长垣一中 郑忠博 2017年3月15日
引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个， 2个分裂成4个，……. 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是 什么？
分裂次数：1，2，3，4，…，x 细胞个数：2，4，8，16，…，y
由上面的对应关系. 可知，函数关系是
y 2x x
2
1
0.5 1 2 3 … 1.4 2 4 8 …
0.71 0.5 0.25 0.13 …
fx = 2x
-6
-4
-2
2
4
6
x … -2.5 -2 -1
y 3x … 0.06 0.1 0.3
y
1 x
…
15.6
9
3
3
-0.5 0
11666
0.6 1
1.7 11444
1
11222
0.5 1 2 1.7 3 9
2.5 … 15.6 …
0.6 0.3 0.1 0.06 …
11000
)( gx =
1x 3
88 66
fx = 3x
44
22
-1-0100
--55
55
111000
q(x) 1 x 3
g(x) 1 x 2
f (x) 3x h(x) 2x
想看一般情 况的图象? 想了解变化 规律吗
指数1
指数2
而-0.1>-0.2，所以，
0.80.1 < 0.80.2
1.8 1.6
fx = 0.8x 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2
-1.5
-1
-0.5
-0.2
0.5
1