高三数学精品讲义：比较大小的方法总结

高考命题中，常常在选择题或填空题中出现一类比较大小的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答.本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧.

【方法归纳】

（一）常用技巧和方法

1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来： 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为和

（1）如果底数和真数均在中，或者均在中，那么对数的值为正数 （2）如果底数和真数一个在中，一个在中，那么对数的值为负数 例如：等

2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了

3、比较大小的两个理念：

（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况

例如：，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同

，从而只需比较底数的大小即可

（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分

()0,1()1,+∞()0,1()1,+∞()0,1()1,+∞30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>1

113

4

2

3,4,5()()()

11111143634212

12

12

33

,44

,55

===

割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如，可知，进而可估计是一个1点几的数，从而便于比较 4、常用的指对数变换公式：

（1）

（2） （3）

（4）换底公式： 进而有两个推论： （令） （二）利用函数单调性比较大小

1、函数单调性的作用：在单调递增，则

(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁） 2、导数运算法则：

（1）

（2） 3、常见描述单调性的形式 （1）导数形式：

单调递增；单调递减

2log 32221log 2log 3log 42=<<=2log 3n

m m n

a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭

log log log a a a M N MN +=log log log a a a

M M N N

-=()log log 0,1,0n

a a N n N a a N =>≠>log log log c a c b

b a

=

1log log a b b a =

c b =log log m n a a n

N N m

=()f x [],a b []()()

121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<()()()()()()()'

''f x g x f x g x f x g x =+()()()()()()

()'

''2

f x f x

g x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭

()()'0f x f x >⇒()()'0f x f x <⇒

（2）定义形式：或： 表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减 4、技巧与方法：

（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点

（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整

（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较 （三）数形结合比较大小

1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系

（1）若关于轴对称，且单调增，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小

（2）若关于轴对称，且单调减，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大

2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点.抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图象作在同一坐标系

()()

1212

0f x f x x x ->-()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦()f x x a =(),a +∞()f x x a =(),a +∞

下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小.

【经典例题】

例1.【2019全国Ⅰ卷理数】已知，则（ ） A ． B ． C ．

D ．

【答案】B

【解析】

即

则． 故选B ．

例2.【2019全国Ⅱ卷理数】若a >b ，则（ ） A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │

【答案】C

【解析】取，满足，但，则A 错，排除A ； 由，知B 错，排除B ；

取，满足，但，则D 错，排除D ；

因为幂函数是增函数，，所以，即a 3−b 3>0，C 正确.

故选C ．

例3.【2019全国Ⅲ卷理数】设是定义域为R 的偶函数，且在单调递减，则

0.20.32

log 0.220.2a b c ===，，a b c <

02

21,b =>=0.3000.20.21,c <=<=01,c <ln()0a b -=219333=>=1,2a b ==-a b >|1||2|<-3

y x =a b >33a b >()f x ()0,+∞