八年级数学暑假 第13讲：函数的概念及正比例函数的概念

八年级暑假数学

（学生版）

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函数的概念及正比例函数的概念是八年级数学上学期第三章第一节、第二节内容，主要对函数和正比例函数的概念进行讲解，重点是函数的概念理解，难点是函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习正反比例函数提供依据．

1、函数的概念

a)在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量；

b) 2.在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x允许的取值范围内，变量y

随着x变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量.函数用记号()

y f x

=表示，()

f a表示x a

=时的函数值；表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式．

函数的概念及正比例函数的概念知识结构

模块一：函数的概念

知识精讲

内容分析

例题解析

【例1】（1）瓜子每千克12元，买x千克瓜子需付款y元，用x的代数式表示y,并指出这个问题中的变量和常量；

（2）写出圆周长公式，并指出公式中每个字母所表示的量是常量还是变量．【难度】★

【答案】

【解析】

【例2】下列变量之间的变化关系不是函数关系的是（）

A、三角形的面积与底边的长

B、2

x-与x

C、圆的面积和它的半径

D、矩形的宽一定时，周长与长

【难度】★

【答案】

【解析】

【例3】下列各式中，y是否是x的函数？为什么？

（1）2

y x

3

=．

y x

=；（2）23

【难度】★

【答案】

【解析】

【例4】已知汽车驶出A站3千米后，以40千米∕小时的速度行驶了40分，请将这段时间内汽车与A站的距离S（km）表示成t（时）的函数．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例5】 扇形的面积公式是2360

n

S r π=

，其中S 表示面积，n 表示圆心角，r 表示半径，π表示圆周率，则其中常量是————

．

【难度】★★ 【答案】 【解析】

【例6】 物体所受的重力与它的质量之间有如下的关系：G mg =，其中m 表示质量，G 表

示重力，9.8g =牛/千克，物体所受重力G 是不是它的质量m 的函数？ 【难度】★★ 【答案】 【解析】

【例7】 已知变量y 随着变量x 的变化而变化，且满足下列关系，试把它们改写成()

y f x =的形式

（1）951x y =+；

（2）34xy y x +=； （3）31

()212

y x x y -=

≠+；

（4）223520x xy y --=．

【难度】★★★ 【答案】 【解析】

【例8】 某厂有一水池，可贮水900吨，池内原有水100吨，现在以每小时15吨的速度注

水，t 时后，池内贮水量是吨，注满为止，求与之间的函数关系式． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】

1.函数的定义域和函数值

a) 函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域．

b) 函数自变量取遍定义中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域．

【例9】 求下列函数的定义域. （1）10y x =-； （2）2y x =+； （3）1

1

y x =

+；

（4）22

x y x -=

-+．

【难度】★ 【答案】 【解析】

【例10】

（1）如果函数5()51

x f x x =

-+，那么()1f -=

——————

；

（2）如果函数4()2

x

f x x -=

+， 那么()

2f -=——————；

（3）如果函数2223()231x x g x x x +-=++，那么12g ⎛⎫

⎪⎝⎭=——————

．

【难度】★ 【答案】 【解析】

【例11】

求函数202

1(2)y x x

=-+

的定义域．

【难度】★★ 【答案】 【解析】

例题解析

知识精讲

模块二：函数的定义域和函数值

【例12】 求函数

y 的定义域．

【难度】★★ 【答案】 【解析】

【例13】

若函数1y =221

1556

y x x =

++，求函数12y y y =⋅中自变量x 的取值

范围． 【难度】★★ 【答案】 【解析】

【例14】

已知长方形面积为602cm ，长为x 厘米，求宽y 与x 的关系式，并写出自变量x 的取值范围．

【难度】★★ 【答案】 【解析】

【例15】

已知13()21

x

f x x -=

+． (1)求(0)f ，(1)f ，1(3

f ，1

()()2f a a ≠-；

(2)当x 为何值时，()f x 没有意义？ (3)当x 为何值时，()2f x =-？

【难度】★★ 【答案】 【解析】