八年级数学暑假 第13讲：函数的概念及正比例函数的概念
八年级暑假数学
（学生版）
最
新
教
案
函数的概念及正比例函数的概念是八年级数学上学期第三章第一节、第二节内容，主要对函数和正比例函数的概念进行讲解，重点是函数的概念理解，难点是函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习正反比例函数提供依据．
1、函数的概念
a)在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量；
b) 2.在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x允许的取值范围内，变量y
随着x变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量.函数用记号()
y f x
=表示，()
f a表示x a
=时的函数值；表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式．
函数的概念及正比例函数的概念知识结构
模块一：函数的概念
知识精讲
内容分析
例题解析
【例1】（1）瓜子每千克12元，买x千克瓜子需付款y元，用x的代数式表示y,并指出这个问题中的变量和常量；
（2）写出圆周长公式，并指出公式中每个字母所表示的量是常量还是变量．【难度】★
【答案】
【解析】
【例2】下列变量之间的变化关系不是函数关系的是（）
A、三角形的面积与底边的长
B、2
x-与x
C、圆的面积和它的半径
D、矩形的宽一定时，周长与长
【难度】★
【答案】
【解析】
【例3】下列各式中，y是否是x的函数？为什么？
（1）2
y x
3
=．
y x
=；（2）23
【难度】★
【答案】
【解析】
【例4】已知汽车驶出A站3千米后，以40千米∕小时的速度行驶了40分，请将这段时间内汽车与A站的距离S（km）表示成t（时）的函数．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例5】 扇形的面积公式是2360
n
S r π=
，其中S 表示面积，n 表示圆心角，r 表示半径，π表示圆周率，则其中常量是————
．
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例6】 物体所受的重力与它的质量之间有如下的关系：G mg =，其中m 表示质量，G 表
示重力，9.8g =牛/千克，物体所受重力G 是不是它的质量m 的函数？ 【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例7】 已知变量y 随着变量x 的变化而变化，且满足下列关系，试把它们改写成()
y f x =的形式
（1）951x y =+；
（2）34xy y x +=； （3）31
()212
y x x y -=
≠+；
（4）223520x xy y --=．
【难度】★★★ 【答案】 【解析】
【例8】 某厂有一水池，可贮水900吨，池内原有水100吨，现在以每小时15吨的速度注
水，t 时后，池内贮水量是吨，注满为止，求与之间的函数关系式． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】
1.函数的定义域和函数值
a) 函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域．
b) 函数自变量取遍定义中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域．
【例9】 求下列函数的定义域. （1）10y x =-； （2）2y x =+； （3）1
1
y x =
+；
（4）22
x y x -=
-+．
【难度】★ 【答案】 【解析】
【例10】
（1）如果函数5()51
x f x x =
-+，那么()1f -=
——————
；
（2）如果函数4()2
x
f x x -=
+， 那么()
2f -=——————；
（3）如果函数2223()231x x g x x x +-=++，那么12g ⎛⎫
⎪⎝⎭=——————
．
【难度】★ 【答案】 【解析】
【例11】
求函数202
1(2)y x x
=-+
的定义域．
【难度】★★ 【答案】 【解析】
例题解析
知识精讲
模块二：函数的定义域和函数值
【例12】 求函数
y 的定义域．
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例13】
若函数1y =221
1556
y x x =
++，求函数12y y y =⋅中自变量x 的取值
范围． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例14】
已知长方形面积为602cm ，长为x 厘米，求宽y 与x 的关系式，并写出自变量x 的取值范围．
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例15】
已知13()21
x
f x x -=
+． (1)求(0)f ，(1)f ，1(3
f ，1
()()2f a a ≠-；
(2)当x 为何值时，()f x 没有意义？ (3)当x 为何值时，()2f x =-？
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例16】
等腰三角形的周长是10厘米，腰长是x 厘米，底边长是y 厘米，求y 关于x 的
函数关系式，并求自变量x 的取值范围． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】
【例17】
已知：2()34,()53,f x x x g x x =+=-求：
（1）()()f x g x +；
（2）(1)(2)f g -+；
（3）(1)(1)f a g a +--．
【难度】★★★ 【答案】 【解析】
【例18】
已知函数y =
的定义域是1x ≤且1x ≠-，求的a 、b 值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】
【例19】
收割机的油箱里盛油65kg ，使用时，平均每小时耗油6kg
（1）如果收割机工作了4小时，那么油箱还剩多少千克的油？
（2）如果油箱里用掉36kg 油，那么使用收割机工作的时间为多少小时？ （3）写出油箱里剩下的油y 与使用收割机时间t 之间的函数关系式？ （4）在此函数关系式中，求函数定义域？ 【难度】★★★ 【答案】 【解析】
1．正比例函数的概念
a) 如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说
这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量x 、y 成正比例，就是y
k x
=，或
表示为y kx =（x 不等于0），k 是不等于零的常数.
b) 解析式形如y kx =（k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数k 叫
做比例系数.正比例函数y kx =的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式.
【例20】
下列那些函数是正比例函数？哪些不是?如果是，请指出比例系数．
（1）2x y =； （2）1
2y x =；
（3）2y x =+；
(4)2y x =．
【难度】★ 【答案】 【解析】
【例21】
（1）已知2()(3)f x m x =-是正比例函数，求m 的取值范围．
（2）若函数2()(3)3f x m x m =-+-是正比例函数，那么m 的值是多少？ 【难度】★★ 【答案】 【解析】
例题解析
知识精讲
模块三：正比例函数的概念。
初二数学(人教版) -正比例函数的概念-1教案
（3）若围10个这样的正方形需要多少米篱笆？
（4）用500米篱笆可以围出多少个这样的正方形？
解：（1）60米；90米.
（2）y=30x.
（3）当x=10时，y=30×10=300（米），
所以需要300米篱笆.
教学重点：正比例函数的概念。
教学难点：将实际情境抽象为函数模型，用函数的方法解决实际问题.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
同学们好，今天我们一起来学习正比例函数的概念。
首先，我们一起来回顾什么是函数？
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体的温度T随冷冻时间t的变化而变化.
3.观察：列出的这5个函数解析式有什么共同的特点？
可以发现：这些式子等式右边都是非零常数与自变量的积的形式.我们把这样形式的函数叫做正比例函数.
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
教 案
教学基本信息
课题
《正比例函数的概念》
学科
数学
学段：初中
年级
初二
教材
书名：数学八年级下册出版社：人民教育出版社出版日期：2013年11月
教学设计参与人员
姓名
单位
设计者
实施者
指导者
课件制作者
其他参与者
教学目标及教学重点、难点
教学目标：正比例函数的概念，提高将实际问题抽象为函数模型的能力（即数学建模能力）。
八年级数学上册 18.1 函数的概念及正比例函数教案 沪
函数的概念及正比例函数知识精要1.常量与变量在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量。
2、函数：一般地，设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。
（1）自变量取值范围的确是：①解析式是只含有一个自变量的整式的函数，自变量取值范围是全体实数。
②解析式是只含有一个自变量的分式的函数，自变量取值范围是使分母不为0的实数。
③解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函数，自变量取值范围是使被开方数非负的实数。
注意：在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，还必须使实际问题有意义。
（2）函数值：给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值。
3．正比例概念（1）．如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数(这个常数不等于零)那么就说这两个变量成正比例。
y （k是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数k叫（2）．解析式形如kx做比例系数。
精解名题常量与变量例1.（1）瓜子每千克12元，买x千克瓜子需付款y元，用x的代数式表示y,并指出这个问题中的变量和常量。
（2）写出圆周长公式，并指出公式中每个字母所表示的量是常量还是变量。
解：（1）y=12x,单价12元是常量，瓜子的重量x、付款金额y是变量。
(2)C=2例2.物体所受的重力与它的质量之间有如下的关系：G=mg，其中m表示质量，G表示重力，g=9.8牛/千克，物体所受重力G是不是它的质量m的函数？解：物体所受重力G随着它的质量m的变化而变化，由G=mg可知，这两个变量之间存在确定的依赖关系，所以物体所受重力G是它的质量m的函数。
函数的定义域与函数值例3.求下列函数的定义域：x x y 232-= （2）321+-=x x y （3）x y 25-= （4）xx y 3134-+= 解：（1）定义域是全体实数 （2）x ≠-3/2 (3)x ≤5/2(4)-3/4≤x<1/3 例4．1.已知()123+-=x x x f ，求⎪⎭⎫⎝⎛-21f 的值。
八年级数学函数知识点
八年级数学函数知识点以下是八年级数学中关于函数的主要知识点：1. 函数的定义：函数是一个特殊的关系，每个自变量（输入）只对应一个因变量（输出）。
记作：y = f(x)。
2. 定义域和值域：定义域是自变量可能取值的集合，值域是因变量可能取值的集合。
3. 函数的表示方法：函数可以用表格、图像、公式等方式进行表示。
4. 函数的四种基本运算：a. 函数的加减：给定两个函数f(x)和g(x)，其和（f + g）和差（f - g）分别为两个函数在每一个点上的和与差。
b. 函数的乘法：给定两个函数f(x)和g(x)，其积（f * g）为两个函数在每一个点上的乘积。
c. 函数的除法：给定两个函数f(x)和g(x)，若g(x) ≠ 0，则商（f / g）为两个函数在每一个点上的商。
d. 函数的复合：给定两个函数f(x)和g(x)，g(x)的值域必须是f(x)的定义域，复合函数（f∘g）是将g(x)的输出作为f(x)的输入得到的函数。
5. 函数图像的性质：a. 正比例函数：y = kx，k为常数，函数图像经过原点，呈现直线。
b. 反比例函数：y = k/x，k为常数，函数图像不通过原点，呈现曲线，与x轴和y 轴都有渐进线。
c. 平方函数：y = x²，函数图像为抛物线。
d. 开方函数：y = √x，x ≥ 0，函数图像为半开口的抛物线（右侧开口）。
e. 绝对值函数：y = |x|，函数图像为以原点为顶点的V形曲线。
6. 函数的性质：奇偶性、单调性、最值、周期性等。
7. 函数关系的描述：函数关系可以用函数值和自变量的关系、图像的特征以及函数的解析式等方式进行描述。
这些是八年级数学中关于函数的主要知识点，希望可以帮到你。
2022-2023上海八年级数学上册期末专题复习05 函数的概念及正比例函数(考点讲解)(学生版)
专题05 函数的概念及正比例函数【考点剖析】 1.函数定义：在某个变化过程中有两个变量x 和y ，在变量x 的允许取值范围内，变量y 随x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫x 的函数. 函数记号：()y f x =，()f a 表示x ＝a 时的函数值. 设()f x 为整式，则函数()y f x =的定义域：一切实数；函数1()y f x =的定义域：满足()0f x ≠的实数；函数y ()0f x ≥的实数.函数[]0()f x 的定义域：满足()0f x ≠的实数 2.正比例函数1）.正比例：如果两个变量的每一组对应值的比值是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成正比例.用数学式子表示两个变量x,y 成正比,就是yk x=或者y kx =,其中0k ≠。
2）.正比例函数：k>0k<03.注意点(1)正比例函数y kx =中, 0k ≠,但定义域是一切实数,两者不能混淆.(2)在实际问题中,正比例函数的图形往往是一条线段,一切要根据定义域来确定线段的所在范围。
(3)正比例函数与正比例是有区别的,正比例函数一定要满足y kx =,比如: 2(1)y x =+就不是正比例函数,是一次函数,但是y 与x+1成正比例。
【典例分析】 【考点1】函数的概念1．下列各选项中分别有两个变量x 、y ，则y 不是x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．y=-2x-1D ．在国内投寄到外埠质量为100g 以内的普通信函应付邮资如下表： 信件质量/x y 020x <≤2040x <≤ 4060x <≤ 6080x <≤ 80100x <≤邮资y /元 1.202.403.604.806.002．函数y 11-x 的自变量x 的取值范围是______3．在函数y =中，自变量x 的取值范围是_________．4．如果函数()11f x x =-，那么f =_____．【考点2】正比例函数的图像及性质 1．下列问题中两个变量成正比例的是（ ） A ．正方形面积和它的边长B ．一条边确定的长方形，其周长与另一边长C ．圆的面积与它的半径D ．半径确定的圆中，弧长与该弧长所对圆心角的度数2．已知函数223y x k =+-是正比例函数，则常数k 的值为（ ） A ．2- B ．0 C ．2 D ．2±3．下列函数中，正比例函数是（ ） A ．3x y = B ．21y x - C ．22y x = D ．3y x=4．已知正比例函数34y x =-，则下列各点在该函数图象上的是（ ）A ．()4,3-B ．()4,3--C ．()2,1-D ．()3,4-5．在32y x a =+-中，若y 是x 的正比例函数，则常数=a ___________．6．若函数()2269y m x m =++-是关于x 的正比例函数，则m 的值为_____________．7．已知正比例函数m y mx =∣∣，它的图象除原点外都在第二、四象限内，则m 的值为____．8．已知y 是x 的正比例函数，当2x =-时，8y =．求y 关于x 的函数表达式，以及当3x =时的函数值．9．已知3y 与21x -成正比例，且当1x =时，6y =． (1)求y 与x 之间的函数解析式．(2)已知点(,)P m n 在该函数的图像上，且4m n -=，求点P 的坐标．10．已知正比例函数过点(42)-，A ，点P 在正比例函数图像上，又(04)B ，且10ABPS =，求点P 的坐标．【课后练习】1．下列各图象中，不能表示y 是x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．函数()032x y x -=+-的自变量x 的取值范围是___________3．已知函数1()1f x x=+，则3)f ＝ .4．下列问题中，两个变量之间成正比例关系的是（ ） A ．圆的面积S （cm 2）与它的半径r （cm ）之间的关系B ．某水池有水15m 3，现打开进水管进水，进水速度为5m 3/h ，xh 后这个水池有水y m 3C ．三角形面积一定时，它的底边a （cm ）和底边上的高h （cm ）之间的关系D ．汽车以60km/h 的速度匀速行驶，行驶路程y 与行驶时间x 之间的关系5．下列变化过程中，y 是x 的正比例函数是（ ）A ．某村共有5210m 耕地，该村人均占有耕地y （单位：2m ）随该村人数x （单位：人）的变化而变化B ．一天内，温岭市气温y （单位：℃）随时间x （单位：时）的变化而变化C ．汽车油箱内的存油y （单位：升）随行驶时间x （单位：时）的变化而变化D ．某人一年总收入y （单位：元）随年内平均月收入x （单位：元）的变化而变化6．下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（ ） A ．正方形的周长C 随着边长x 的变化而变化 B ．正方形的面积S 随着边长x 的变化而变化C ．面积为20的三角形的一边a 随着这边上的高h 的变化而变化D ．水箱以0.5L /min 的流量往外放水，水箱中的剩水量VL 随着放水时间t min 的变化而变化7．若()224y m x m =-+-是y 关于x 的正比例函数，求该正比例函数的解析式．8．正比例函数y=ax 中，y 随x 的增大而增大，则直线()1y a x =--经过（ ） A ．第一、三象限 B ．第二、三象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限9．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A （3，m ）、B （n ，﹣2），那么一定有（ ） A ．m ＞0，n ＞0B ．m ＞0，n ＜0C ．m ＜0，n ＞0D ．m ＜0，n ＜010．已知正比例函数y =kx 的图象经过点（2，﹣4），（1，1y ），（﹣1，2y ），那么1y 与2y 的大小关系是（ ） A ．1y ＜2y B ．1y ＝2y C ．1y ＞2yD ．无法确定11．正比例函数(1)y k x =+图像经过点（1，-1），那么k =__________．12．已知正比例函数()0y kx k =≠的图象经过第一、三象限，且经过点（k ，k +2），则k =________．13．若正比例函数()1y m x =-的图象从左到右逐渐上升，则m 的取值范围是___________________14．已知正比例函数y=kx 图像经过点（2，-4），求： (1)这个函数的解析式；(2)判断点A （2，-1）是否在这个函数图像上；(3)图像上两点()11,B x y ，()22,C x y ，如果12x x >，比较1y ，2y 的大小．15．已知y 与x-1成正比例，且当x= 3时，y= 4． (1)求y 与x 之间的函数解析式； (2)当x= -1时，求y 的值．16．如图，已知正比例函数y ＝kx 的图像经过点A ，点A 在第四象限，过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为H ，点A 的横坐标为4，且△AOH 的面积为8(1)求正比例函数的解析式．(2)在x 轴上能否找到一点P ，使△AOP 的面积为10？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．17．已知：如图，直线2y x =上有一点()2,P a ，直线()01y kx k =<<上有一点(),2Q b ．(1)求点P 和点Q 的坐标（其中点Q 的坐标用含k 的代数式表示）．(2)过点P 分别作PA y ⊥轴，PB x ⊥轴，过点Q 分别作QC x ⊥轴，如果OPQ △的面积等于BPQ 的面积的两倍，请求出k 的值．(3)在（2）的条件下，在直线OQ 上是否存在点D ，使12OCD S =△如果存在，请求出点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．。
19.2.1 第1课时 正比例函数的概念-2022-2023学年八年级下册初二数学同步说课稿(人教版
19.2.1 第1课时正比例函数的概念-2022-2023学年八年级下册初二数学同步说课稿（人教版）一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1.理解正比例函数的概念；2.理解正比例函数的特征和性质；3.能够通过实例判断两个变量是否成正比例关系；4.能够用表格和图像分析正比例函数的规律；5.能够利用正比例函数解决实际问题。
二、教学重点1.正比例函数的定义和特点；2.正比例函数的图像特征。
三、教学内容本节课的主要内容是正比例函数的概念和性质。
首先，引导学生回顾比例的概念，然后引出正比例函数的概念和特征，以及如何判断两个变量是否成正比例关系。
接着，通过实例和图像引导学生理解正比例函数的规律和特点，最后，让学生通过实际问题应用正比例函数进行解决。
四、教学步骤步骤一：复习比例的概念首先，复习上节课学习的比例的概念，并向学生提问：“什么是比例？”学生回答后，教师对比例的定义进行总结，并给出示例进行解释。
步骤二：引出正比例函数的概念和特点1.引导学生思考：“在比例中，两个变量之间的关系是怎样的？”引导学生回答“两个变量成正比例关系”。
2.教师解释正比例关系的含义，并给出具体的例子，如“如果两个人的体重和身高成正比，那么身高每增加一公分，体重增加多少千克？”，引导学生思考并回答。
3.引导学生总结正比例函数的定义：“当两个变量的比例关系是一致的，我们称之为正比例函数。
”并强调正比例函数的特点：“正比例函数的比例因子是恒定不变的”。
步骤三：判断两个变量是否成正比例关系1.教师给出几个实例，让学生判断其中两个变量是否成正比例关系。
2.教师指导学生观察实例中数值的关系，并引导学生用比例关系的定义来判断是否成正比例关系。
步骤四：用表格和图像分析正比例函数的规律1.教师给出一组数据，让学生用表格的形式记录两个变量之间的关系。
2.引导学生观察表格中数据的变化规律，并引出正比例函数的图像特征。
3.教师给出正比例函数的图像示例，让学生观察并总结图像的特点。
八年级函数概念知识点
八年级函数概念知识点八年级是初中数学的重要阶段，其中函数是一个非常重要的章节。
函数是数学中的基本概念之一，它是数学研究中的核心内容，具有广泛的应用价值。
函数的基本概念函数通常表示为f(x) = y，其中x是自变量，y是因变量，f是函数名。
自变量的取值不同，函数值也会有所变化。
函数可以用图像表示，在平面直角坐标系中，通常使用直线、抛物线、指数函数等图像表示函数。
函数的定义域和值域定义域是函数自变量的取值范围，值域是函数因变量的取值范围。
有时，我们需要调整定义域来使函数有意义，比如对于分式函数，为了避免分母为0，我们需要限制定义域。
函数的分类函数可以分为两大类：一次函数和非一次函数。
一次函数是形如y=kx+b的函数，其图像是一条直线。
非一次函数包含二次函数、三次函数、指数函数和对数函数等，它们的图像通常是曲线。
函数的性质函数还有很多性质。
其中最重要的性质是奇偶性和单调性。
奇偶性可以通过判断f(-x)和f(x)是否相等来判断。
单调性是指函数在定义域上是单增还是单减，也可以用导数的符号来判断。
函数的应用函数在生活中有很广泛的应用。
比如，它可以用于描述成长过程中人体身高、体重的变化；也可以用于描述身体的运动过程和车辆行驶的路程；在经济学领域，函数可以描述各种经济现象的变化趋势。
此外，函数还可以用于解决各种数学难题，帮助我们更好的理解数学。
总之，八年级的函数概念是初中数学中非常重要的一部分，学好函数是学好数学的关键之一。
希望同学们在数学学习中积极探索，勇于挑战，并取得优异的成绩。
正比例函数的概念(第1课时 )(教案)八年级数学下册(人教版)
(2)京沪高铁列车的行程y(单位：km)与运行时间t(单位：h)之间有何数量关系？
(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，是否已 经过了距离始发站1100km的南京南站？
解：(1)京沪高铁列车全程运行时间约需1318÷300≈4.4(h)
(1)y=-0.1x(2)y= (3)y=2x2(4)y2=4x
解：(1)，(2)是正比例函数.
2.列式表示下列问题中的y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数.
(1)正方形的边长为xcm，周长为ycm；
(2)某人一年内的月平均收入为x元，他这年(12个月)的总收入为y元；
(3)一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为xcm，体积为ycm3.
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注：(1)k是常数，且k≠0；(2)自变量x的次数是1；(3)自变量x的取值范围是一切实数；(4)y=kx，则称y与x成正比例；反之，若y与x成正比例，则可设y=kx.
【课堂检测案】
练习
1.下列式子中，哪些表示y是x的正比例函数？
（2）求收割完这块麦田需用的时间.
课后作业
1.若y=(k+3)x|k|-2是y关于x的正比例函数，试求k的值，并指出正比例系数.
2.若y关于x-2成正比例函数，当x=３时，y=-4.试求出y与x的函数关系式.
板书设计
教学反思
本节课在教师引导下使学生通过自己的观察、研究、自学和小组的探索、讨论来发现问题、解决问题，再通过教师的点拨、总结进行知识归纳，理论提升的教学方法. 由学生亲自来发现事物的特征和规律，更能使学生产生兴奋感、自信心，激发学生兴趣，产生自主学习的内在动力，更有利于发展学生的创造性思维能力.
正比例函数的图像与性质讲义全
龙文教育个性化辅导教案讲义任教科目：数学授课题目：正比例函数的图像及性质年级：八年级任课教师：任老师授课对象：武汉龙文个性化教育校区教研组组长签字：教学主任签名：日期：武汉龙文教育学科辅导讲义知识点1．形如___________（k是常数，k≠0）的函数是正比例函数，其中k叫，正比例函数都是常数与自变量的乘积的形式2．正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们通常称之为直线y=kx．当k>0时，图像位于第象限，从左向右，y随x的增大而，也可以说成函数值随自变量的增大而_________；当k<0时，图像位于第 象限，从左向右 ，y 随x 的增大而 ，也可以说成函数值随自变量的增大而_________．3．正比例函数的图像是经过坐标 点和定点__ __两点的一条 。
根据两点确定一条直线，可以确定两个点（两点法）画正比例函数的图象． 例1：已知y=（k+1）x+k-1是正比例函数，求k 的值．例2：根据下列条件求函数的解析式 ①y 与x 2成正比例，且x=-2时y=12．②函数y=（k 2-4）x 2+（k+1）x 是正比例函数，且y 随x 的增大而减小．选择题1、如图函数y ＝－x （x ＜0）的图象是（）2．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ）A ．y=4x+1B ．y=2x 2C ．y=-5xD ．y=x3．下列说法中不成立的是（ ）A ．在y=3x-1中y+1与x 成正比例；B ．在y=-2x中y 与x 成正比例 C ．在y=2（x+1）中y 与x+1成正比例； D ．在y=x+3中y 与x 成正比例 4．若函数y=（2m+6）x 2+（1-m ）x 是正比例函数，则m 的值是（ ） A ．m=-3 B ．m=1 C ．m=3 D ．m>-35．已知（x 1，y 1）和（x 2，y 2）是直线y=-3x 上的两点，且x 1>x 2，则y 1与y 2•的大小关系是（ ）A ．y 1>y 2B ．y 1<y 2C ．y 1=y 2D ．以上都有可能两条直线的位置关系与系数K 之间的关系6．若正比例函数x k y 1 和x k y 2 的图像是两条平行直线，那么（ ）（A ）21k k （B ）21k k （C ）21k k （D ）K1和K2不确定7．若正比例函数x k y 1 和x k y 2 的图像是两条平行直线，那么（K1与K2有什么数量关系 ） 8．若正比例函数x k y 1 和x k y 2 的图像关于坐标轴对称，那么（ ） （A ）21k k （B ）21k k （C ）21k k （D ）K1和K2不确定平移规律8、．若正比例函数Y=2X 向上平移2个单位，那么平移后的解析式（ ） 9、若正比例函数Y=2X 向下平移2个单位，那么平移后的解析式（ ） 10、若正比例函数Y=2X 向左平移2个单位，那么平移后的解析式（ ） 11、若正比例函数Y=2X 向右平移2个单位，那么平移后的解析式（ ）一 根据正比例函数解析式的特点求值1、若x 、y 是变量，且函数y=（k+1）x k2是正比例函数，则的值为？2、果y=x-2a+1是正比例函数，则a 的值为？3、若y =（n-2）x ︳n ︳-1 ，是正比例函数，则n 的值为？4、已知y=（k+1）x+k-5是正比例函数求k 的值．5、若函数y=（2m+6）x 2+（1-m ）x 是正比例函数，则m 的值是（ ）6、已知函数y=(2m+1)x+m －3 若函数图象经过原点,求m 的值？二 求正比例函数的解析式1、正比例函数图象过（-2，3），则这个正比例函数的解析式？2、已知y与x成正比例，且x=2时y=-6，则y=9时x的值是多少？．3．一个函数的图像是经过原点的直线，并且这条直线过第四象限及点（2，－3a）与点（a，－6），求这个函数的解析式．4．已知y与x－1成正比例，x=8时，y=6，写出y与x之间函数关系式，并分别求出x=4和x=－3时y的值．三正比例函数图象的性质1、正比例函数y=（m－1）x的图象经过一、三象限，则m的取值范围是2、若正比例函数图像又y=(3k-6)x的图像经过点A（x1,x2）和B（y1，y2），当x1<x2时，y1>y2,则k的取值范围是3、点A（-5，y1）和点B（-6，y2）都在直线y= -9x的图像上则y1与y2的大小关系是？4、已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y=-3x上的两点，且x1>x2，则y1与y2•的大小关系是（）5、正比例函数y=(3m-1)x的图像经过点A（x1,x2）和B（y1，y2），且该图像经过第二、四象限.(1)求m的取值范围(2)当x1>x2时，比较y1与y2的大小,并说明理由.4已知y－4与x成正比例，且当x = 6时，y =－4．（1）求y与x的函数关系式；（2）画出（1）中函数的图象；（3）设点P在y轴上，（1）中函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，△ABP的面积等于9，求点P的坐标探究题 1、在函数y=-3x 的图象上取一点P ，过P 点作PA ⊥x 轴，已知P 点的横坐标为-•2，求△POA 的面积（O 为坐标原点）．2、如图,三个正比例函数的图像分别对应的解析式是 ①y=ax ② y=bx ③ y=cx,则a 、b 、c 的大小关系是( )A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a1．2．已知y = y 1+ y 2，y 1与x 2成正比例，y 2与x －2成正比例，当x =1时，y =0，当x =－3时，y =4，求x =3时，y 的值．3．有一长方形AOBC 纸片放在如图3－3所示的坐标系中，且长方形的两边的比为OA ：AC ＝2：1.（1）求直线OC 的解析式；（2）求出x ＝－5时，函数y 的值； （3）求出y ＝－5时，自变量x 的值； （4）画这个函数的图象；（5）根据图象回答，当x 从2减小到－3时，y 的值是如何变化的？①②③武汉龙文教育学科辅导教案附：跟踪回访表家长（学生）反馈意见：学生阶段性情况分析：自我总结及调整措施：主任签字：龙文教育教务处。
八年级上册数学函数知识点
八年级上册数学函数知识点八年级上册数学函数知识点一、函数：一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
二、自变量取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
一般从整式(取全体实数)，分式(分母不为0)、二次根式(被开方数为非负数)、实际意义几方面考虑。
三、函数的三种表示法及其优缺点(1)关系式(解析)法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式(解析)法。
(2)列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
(3)图象法用图象表示函数关系的方法叫做图象法。
四、由函数关系式画其图像的一般步骤(1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值(2)描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点(3)连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
五、正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成(k，b为常数，k0)的形式，则称y是x的一次函数(x为自变量，y为因变量)。
特别地，当一次函数中的b=0时(即)(k为常数，k0)，称y是x的正比例函数。
2、一次函数的图像：所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数的图像是经过点(0，b)的直线;正比例函数的图像是经过原点(0，0)的直线。
八年级上册数学函数知识考点归纳大全我们称数值变化的量为变量(variable)。
有些量的数值是始终不变的，我们称它们为常量(constant)。
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们说x是自变量(independentvariable)，y是x的函数(function)。
19.1.1正比例函数的概念(教案)-2020-2021学年人教版数学八年级下册
还有一点就是，在总结回顾环节，我发现有些同学对于正比例函数在实际生活中的应用还不够熟悉。为了加强同学们的应用能力，我计划在后续的教学中，增加一些与生活密切相关的实例，让他们更好地将所学知识运用到实际生活中。
(2)正比例函数图像的理解：利用图示、表格和数学表达式等多种方式，让学生直观感受图像的变化，如通过改变k的值观察图像的斜率变化。
(3)解决实际问题的能力：设计具有挑战性的问题，如“两个城市的距离和汽车行驶速度的关系”，指导学生如何将问题转化为数学模型，并利用正比例函数求解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
(1)通过生活实例引入，如“小明骑自行车，速度和时间的关系”，让学生理解正比例函数的定义。
(2)通过图像观察和数据分析，让学生掌握正比例函数的性质，如当k>0时，函数图像斜率为正，当k<0时，图像斜率为负。
(3)设计实际应用题目，如“某商品的价格与购买数量的关系”，让学生学会构建正比例函数模型并解决问题。
2.教学难点
-函数思想的建立：对于初学者来说，从具体的实例中抽象出函数关系是一种挑战。
-正比例函数图像的理解：理解图像与函数性质之间的关系，尤其是当k的值不同时图像的变化。
-解决实际问题的能力：将现实问题转化为数学模型，并利用正比例函数解决问题。
举例解释：
(1)函数思想的建立：通过多角度、多实例的引导，帮助学生从实际问题中提取出正比例函数的数学关系，如“距离=速度×时间”。