2020届东北三省三校2017级高三下学期三模考试数学(理)试卷及解析
黑龙江省哈尔滨市高三数学下学期第三次模拟考试试题
黑龙江省哈尔滨市2017届高三数学下学期第三次模拟考试试题理（扫描版）高三第三次模拟考试数学（理）答案1、B2、B3、D4、C5、B6、C7、D8、B9、D 10、C 11、B 12、A13、3 14、23- 15、21- 16、33±=k 或3±=k 17、（1）()12212--⋅=-=n n a q , （2）1221212--⋅-+=⋅=n n n n n T n b ）(, 18、（1）略；（2）510 19、（1）210420C C（2）()1510664422===A A A P ξ，()15816644121412===A A C C C P ξ，()A A P A ξ===2444666215，()34=ξE 20、（1）13422=+y x （2）联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=134222y x kx y 得()04163422=+++kx x k ，由0>∆知412>k 3443416221221+=+-=+k x x k k x x , ()()0421212122121>++++=+=⋅x x k x x k y y x x OB OA ，解得342<k 所以21332-<<-k 或33221<<k （3）1434221=+y x C ：，设),(00y x H ，直线3400=+y y x x MN ：，003434y n x m ==,， 所以2211334m n += 21、（1）()[]()22221211++-+='++=x mx x m mx e x f x mx e x f x x )(,)( 当m <0时，)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-m 120,单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,m 12单调递减；当12m >时，)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-m 120,单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,m 12单调递增；当102≤≤m 时，)(x f 在()∞+，0单调递增 （2）()()22221121++-='+=mx mx mx e x f mx e x f x x )(,)( 因为)(x f 有两个极值点，所以10442>∴>-m m m ,.设21x x ,为方程0122=+-mx mx 两根，则()(),,,,x x x x x m +==>∴∈121211200112 又()12111+=mx e x f x ，()12222+=mx e x f x ，注意到()1121mx e x f x =，()2222mx e x f x =， ()()()m e e x e x x e x e m x f x f x x x x 121212*********>+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ 又()()()x x x x x e x e x e x e f x f x mx x -+-++==1211221111212222设()()(),,(,)x x g x x e xe x -⎡⎤=-+∈⎣⎦21201122，()()()x x g x e e x -'=+-2112，故()g x 在(,)01单调递减，在(,)12单调递增，所以，()()g x g e <=1，因此，()()f x f x e m <+<12. 22、（1）2C 的直角坐标方程为1322=-+)(y x ；（2）PQ 最小值为1；PQ 最大值为5 23、（1）(][)∞+-∞-，，75 ；（2）02a <<。
黑龙江哈尔滨市三中2017高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题含答案]
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哈尔滨市三中2017高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题考试说明：本试卷分第1卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题,共60 分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合M =「x | y =ln 2 - x ?, N =「x | x2-3x - 4 乞0?，则M N =A. [-1,2）B. [-1,2]C. [-4,1]D. [-1,4].22. 口—）的虚部为1 +iA. iB. -1C. -iD. 13. 已知向量a,b满足a b = 1, a| = 2, b| = 3,则a — b =A. 13B. 6C. THD. 5x —04. 已知x, y满足：x • y - 2，若目标函数ax y取最大值时的最优解有无数多个,x「y 二0则实数a 的值是A. 0B. -1C. _1D. 12 2 2 25•椭圆C :— -1与双曲线E:笃-爲=1(a,b ■ 0)有相同的焦点，且两曲线的离4 3a 2b 2心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为7•《孙子算经》是我国古代的数学著作，其卷下中有类似如下的问题：“今有方物一束，外周一匝有四十枚，问积几何？ ”如右图是解决该问 题的程序框图，若设每层外周枚数为 a ，则输出的结果为A . 81B . 74 C. 121D . 169（第 7题图）1 A.-2C」D .,3 26. 一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为A .32 350 B .3C.64 380 D .3（第6题8.已知函数f (x) =2f(2-x)-x 2・5x-5,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为条光线从点(1,-1)射出，经y 轴反射后与圆(x-2)2 • y 2=1相交，则入射光线所10. 在拍毕业照时，六个同学排成一排照相，要求其中一对好友甲和乙相邻，且同学丙不能和甲相邻的概率为 12 4 1 A.B.C.D. ■151515511. 正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在底面BCD 内的射影，则异面直线BM 与AO 所成角的余弦值为D .12. 定义在R 上的可导函数f (x )，其导函数记为 f "(x )，满足f (x )+f (2-x )=(x —1 ),3且当x 二1时，恒有f x 2 : x •若f m -f 1-m _ - 3m ，则实数m 的取值范围是 A. -：：,1〕B. 一丄,1C. 1, ：：D. 一：：,丄I 3」I 2」第口卷(非选择题,共90分)二、填空题(共 4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.)13. 知(2x +1)4 =a ° +色(x +1 j+a ? (x +1 $ +a3(x +1 )3 +a 4 (x +1 )4,贝H a 1 a 2 ag •环的值是 ___________________-3,0B . 0,3C . i 3,0D . 10,--4-4.4 .4在直线的斜率的取值范围为A B. y - -2x 3C. y - -3x 49.14. 函数y =-、；；3sin2 x _cos2x 的图象可由函数 y =2sin （2 x •-）的图象至少向右平6移 ____________ 个单位长度得到. 15. 下列共有四个命题：（D 命题"x ^ R, X 02 1 3x 0”的否定是"-X • R,x 2 1 ■： 3x ”；2 2（2） 在回归分析中，相关指数 R 为0.96的模型比R 为0.84的模型拟合效果好； （3） a,b ・R, p ：a :::b,q :1 ：：丄：：：0,则p 是q 的充分不必要条件；b a （4） 已知幕函数f （x ）二（m 2 - 3m 3）x m 为偶函数，则f （-2） = 4 . 其中正确的序号为（写出所有正确命题的序号）16. 已知 ABC 的三个内角A, B,C 的对应边分别为a,b,c ,且S ABC3a 2.贝V 使得a 122 2sin B sin C =msin BsinC 成立的实数 m 的取值范围是 _______________________ .三、解答题（本大题共 6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知数列：aj 的前n 项和为S n ，满足S n=S nj 2a n A1, n_2,n ・N ，且a^ 3.（i ）求数列〈a n 1的通项公式;18. （本小题满分12分）为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某重点高中数学教 师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于 15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足 120分的占1，统计成绩13后，得到如下的2 2列联表：分数大于等于120分分数不足120分合计 周做题时间不少于 15小时419周做题时间不足 15小时a n 1 2（n ）求证:(I)请完成上面的2 2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；(H) (i)按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是X，求X的分布列(概率用组合数算式表示) ;(ii)若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差•2附：K2n(a d-bc)(a+b)(c + d )(a+c)(b + d )19. (本小题满分12分)如图所示的几何体是由棱台ABC - A和棱锥D - AAC Q拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD是边长为2的菱形，且• BAD =60 , BB1±平面ABCD ,(I)求证：平面AB1C丄平面BBQ ；(n)求二面角A - BD -C1的余弦值.A1C20. （本小题满分12分）已知抛物线G ： y 2 =2px （ p . 0），过焦点F 的动直线丨与抛物线交于 A B 两点，线段AB 的中点为M •（I ）当直线l 的倾斜角为］时，|AB| = 16 .求抛物线G 的方程；4（n ）对于（I ）问中的抛物线G ,是否存在x 轴上一定点N ,使得| AB | -2 | MN |为定值，若存在求出点 N 的坐标及定值，若不存在说明理由.21. （本小题满分12分）是函数f x 的导数，且「X 的最小值小于等于0.(I)求a 的值；2 3(n)设函数 g(x)二 f(x) -一x -41 n x 6x ，且 g(xj g(x 2) =0 , 3求证：％ • x 2 - 2 •6 .请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分 22. （本小题满分10分）x = 1 、5 cos:一已知曲线C 的参数方程为（〉为参数），以直角坐标系原点 O 为极点,』=2 +T 5sin ax 轴正半轴为极轴建立极坐标系已知函数f x = 2X 3—3X 2log a3 2x , （ a 0且a "）为定义域上的增函数,(I)求曲线C的极坐标方程；Jt JT(n)设li：, 12:，若h、匚与曲线C相交于异于原点的两点A B ,6 3求AOB的面积.23. (本小题满分10分)4 设函数f (x) = x+a+1 + x-一，(a A O). a(I)证明：f(x) _5 ;(n)若f (1) ：：： 6成立，求实数a的取值范围参考答案1.A2.B3.；4.D5.D6.D7.C 8.A9.C 10.C 11.B 12.D13.0n 14.-615.(2)(4)16. 12,4 117. (本小题满分 12分)(I)由题意a n=2內二 1 n _2, n N.a n1 =2 a n 」1............................. 詔•分•又印1 = 4.a n • 1 =4 2n 1 ............................................. 5•分• -a n= 2n 1 —1 ............................................... 6•分…(n) a n= 2n 1, — 是首项为丄，公比为-的等比数列,IA 十+1J 4 211因此」丄.a^1 a 2+1丄a n12n：：11 •分…•.12 分(I)2245(15 16 -10 4)2■ K7.287 6.63525汉20勺9汇26-能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”………:.••…：.4分(n) (i )由分层抽样知大于等于120分的有5人，不足120分的有4人 (5)：2分1<— ....218.(本小题满分12分)4 1 3 2 2P x =0 卡,P X J , p x=2 ,C20 C20 C20P X=3 二響,p X=4 二-C20 C20(ii)设从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，这些人中周做题时间不少于15小时的人数为随机变量Y，.......................................... :..•分…由题意可知Y] B 20,0.6 , ............................................. ：：10・分…故E Y =12,D Y = 4.8 ......................................... ：.12 •分…佃.(本小题满分12分)(I)：BB1丄平面ABCD ••• BB1丄AC在菱形ABCD中，BD丄AC又BD " BB^i = B •- AC _ 平面BB1D .......................................... ••• AC 平面AB1C •平面AB1C丄平面BB1D(H)连接BD、AC交于点O ,以O为坐标原点，以OA为x轴，以OD为y轴,BA14 0，则n =(40, 3)BD n = 0设平面DCF的法向量m二(x, y, z)BD m = 0，则m 二(4,0八3) B。
【附28套精选模拟试卷】东北三省三校2020届高三第三次联合模拟考试数学(理)试卷(含答案)
东北三省三校2020届高三第三次联合模拟考试数学（理）试卷（含答案）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}1=0,0.1.2.31x A xB x ⎧+⎫≤=⎨⎬-⎩⎭，则A B I =（ ） A.{}-10.1， B ．{}01， C ．{}-10，D ．{}0 2.已知复数21-2)2i z i=+（，则复数z 的模为（ ）A ．5B ．310D A ．0.85 B ．0.65 C ．0.35 D ．0.154.已知等比数列{}n a 的前n 项和为Sn ,若11,3;a Sn S ==，则4a （ ）A ．2B C.4 D ．1 5.已知4cos 45a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2a =（ ) A ．7-25 B ．725 C.1-5 D ．156.非零向量,a b r r满足;()0a b a a b -=•-=r r r r r ,则a b -r r 与b r 夹角的大小为（ ）A ．135°B ．120° C.60° D ．45° 7.下面是某几何体的视图，则该几何体的体积为（ ）A ．73 B ．83 C. 93 D ．1038.已知实数,a b 满足01,01a b ≤≤≤≤,则函数()321f x x ax bx =-++存在极值的概率为（ ） A ．19 B ．13 C.25 D ．899.执行下面的程序框图，若输入,S a 的值分别为1,2,输出的n 值为4,则m 的取值范围为（ ）A ．37m <≤B ．715m <≤ C.1531m <≤ D ．3163m <≤10.已知点12F F 分别是双曲线2222:1(0x y C a a b-=>，b>0),的左、右焦点，O 为坐标原点，点P在双曲线C 的右支上122F F OP =,12PF F ∆的面积为4,且该双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22122x y -=B ．22144x y -= C.2284x y - D ．22124x y -= 11.棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AD 中点，过点1B ，且与平面1A BE 平行的正方体的截面面积为（ ）A ．5 B．D ．612.已知函数()2(1)043,0e xf x x x x x ⎧+⎪=≤⎨+->⎪⎩，函数()y f x a =-有四个不同的零点，从小到大依次为1234,,,x x x x 则1234x x x x ++的取值范围为（ ）A ．[)4,5B ．(]4,5 C.[)4+∞， D ．(],4-∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.过抛物线2:4C x y =的焦点F 的直线与抛物线C 交于.A B 两点，若弦.A B 中点到x 轴的距离为5,则AB = ．14.设,x y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,则z x y =-的最小值为 ．15..已知数列{}n a 满足1121,2n n n a a a a +==+.记2nnCn a =，则数列{}Cn 的前n 项和12...C C Cn +++= ．16.已知定义在R 上的函数()f x 满足①()()11,f x f x +=-在[)1,+∞上为增函数;若1,12x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，()()1f ax f x <-成立，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知(2,),(cos cos )),01a sin x sin x cos x b x x x ωωωωωωω=+=-<<r r 函数()f x a b =•r r ,直线56x π=是函数()f x 图像的一条对称轴。
2017年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学三模试卷(理科)及答案
2017年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）设复数z满足z•（1+i）=2i（i是虚数单位），则|z|=（）A．B．2C．1D．2．（5分）A={x|y=lg（x2+3x﹣4）}，，则A∩B=（）A．（0，2]B．（1，2]C．[2，4）D．（﹣4，0）3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）单调递减的函数是（）A．y=﹣x3B．y=ln|x|C．y=cosx D．y=2﹣|x|4．（5分）等比数列{a n}，若a12=4，a18=8，则a36为（）A．32B．64C．128D．2565．（5分）已知，且，则sin2α的值为（）A．B．C．D．6．（5分）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a，b分别为18，27，则输出的a=（）A．0B．9C．18D．547．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．（5分）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知AB⊥AC，AB=AC，点M满足，若，则t的值为（）A．B．C．D．10．（5分）中心在原点的椭圆C1与双曲线C2具有相同的焦点，F1（﹣c，0），F2（c，0），P为C1与C2在第一象限的交点，|PF1|=|F1F2|且|PF2|=5，若椭圆C1的离心率，则双曲线的离心率e2的范围是（）A．B．C．（2，3）D．11．（5分）三棱锥P﹣ABC中，底面△ABC满足BA=BC，，P在面ABC 的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P到面ABC的距离为（）A．2B．3C．D．12．（5分）设函数，若曲线上存在（x0，y0），使得f（f（y0））=y0成立，则实数m的取值范围为（）A．[0，e2﹣e+1]B．[0，e2+e﹣1]C．[0，e2+e+1]D．[0，e2﹣e﹣1]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）.13．（5分）某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x 人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x= ．14．（5分）平面上，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，则有（其中S △PAB 、S △PCD 分别为△PAB 、△PCD 的面积）；空间中，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，点E 、F 为射线PL 上的两点，则有= （其中V P ﹣ABE 、V P ﹣CDF 分别为四面体P﹣ABE 、P ﹣CDF 的体积）．15．（5分）已知数列{a n }满足，则{a n }的前50项的和为 ．16．（5分）已知圆C ：x 2+y 2=25，过点M （﹣2，3）作直线l 交圆C 于A ，B 两点，分别过A ，B 两点作圆的切线，当两条切线相交于点N 时，则点N 的轨迹方程为 ．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（12分）已知是函数f （x ）=msinωx ﹣cosωx （m ＞0）的一条对称轴，且f （x ）的最小正周期为π（Ⅰ）求m 值和f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）设角A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，对应边分别为a ，b ，c ，若f （B ）=2，，求的取值范围．18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X，求X的分布列与数学期望．（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x 的值（精确到0.01），并说明理由．19．（12分）如图，在棱台ABC﹣FED中，△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形，BC⊥CD，CD=1，N为CE中点，．（Ⅰ）λ为何值时，MN∥平面ABC？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求直线AN与平面BMN所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆的右焦点为F，过椭圆C中心的弦PQ长为2，且∠PFQ=90°，△PQF的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A1、A2分别为椭圆C的左、右顶点，S为直线上一动点，直线A1S交椭圆C于点M，直线A2S交椭圆于点N，设S1、S2分别为△A1SA2、△MSN的面积，求的最大值．21．（12分）已知f（x）=e2x+ln（x+a）．（1）当a=1时，①求f（x）在（0，1）处的切线方程；②当x≥0时，求证：f （x）≥（x+1）2+x．（2）若存在x0∈[0，+∞），使得成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线C1：ρ=1，（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C1上的点到曲线C2距离的最小值；（Ⅱ）若把C1上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的倍，得到曲线．设P（﹣1，1），曲线C2与交于A，B两点，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y∈R．（Ⅰ）若x，y满足，，求证：；（Ⅱ）求证：x4+16y4≥2x3y+8xy3．2017年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）设复数z满足z•（1+i）=2i（i是虚数单位），则|z|=（）A．B．2C．1D．【解答】解：由z•（1+i）=2i，得，则|z|=．故选：A．2．（5分）A={x|y=lg（x2+3x﹣4）}，，则A∩B=（）A．（0，2]B．（1，2]C．[2，4）D．（﹣4，0）【解答】解：A={x|y=lg（x2+3x﹣4）}={x|x2+3x﹣4＞0}={x|x＞1或x＜﹣4}，={y|0＜y≤2}，则A∩B=（1，2]，故选：B．3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）单调递减的函数是（）A．y=﹣x3B．y=ln|x|C．y=cosx D．y=2﹣|x|【解答】解：A．y=﹣x3是奇函数，不是偶函数，∴该选项错误；B．x∈（0，+∞）时，y=ln|x|=lnx单调递增，∴该选项错误；C．y=cosx在（0，+∞）上没有单调性，∴该选项错误；D．y=2﹣|x|是偶函数；x∈（0，+∞）时，单调递减，∴该选项正确．故选：D．4．（5分）等比数列{a n}，若a12=4，a18=8，则a36为（）A．32B．64C．128D．256【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，∴a182=a12a24，∵a12=4，a18=8，a12，a18，a24同号∴a24=16．∴由a242=a12a36，得：a36=64，故选：B．5．（5分）已知，且，则sin2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，且，∴2（cos2α﹣sin2α）=（cosα+sinα），∴cosα﹣sinα=，或cosα+sinα=0．当cosα﹣sinα=，则有1﹣sin2α=，sin2α=；∵α∈（0，），∴cosα+sinα=0不成立，故选：C．6．（5分）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a，b分别为18，27，则输出的a=（）A．0B．9C．18D．54【解答】解：由a=18，b=27，不满足a＞b，则b变为27﹣18=9，由b＜a，则a变为18﹣9=9，由a=b=9，则输出的a=9．故选：B．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知，该几何体是底面为边长为2的正方形，一条侧棱垂直底面的四棱锥，高为2，故其体积V=，故选：A．8．（5分）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从3名男生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C32A22=6种不同排法），剩下一名男生记作B，将A，B插入到3名女生全排列后所成的4个空中的2个空中，故有C32A22A42A33=432种，3位男生和3位女生共6位同学站成一排，有A66=720种，∴3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为，故选：C．9．（5分）已知AB⊥AC，AB=AC，点M满足，若，则t的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（0，0）．不妨设C（3，0），B（0，3），∵点M满足，∴点M在BC上．设|AM|=a，则acos+a=3，解得a=3﹣3．∴M．∵点M满足，∴=0+（1﹣t）×3，解得t=．故选：C．10．（5分）中心在原点的椭圆C1与双曲线C2具有相同的焦点，F1（﹣c，0），F2（c，0），P为C1与C2在第一象限的交点，|PF1|=|F1F2|且|PF2|=5，若椭圆C1的离心率，则双曲线的离心率e2的范围是（）A．B．C．（2，3）D．【解答】解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），其离心率为e1，双曲线的方程为﹣=1（m＞0，n＞0），其离心率为e2，|F1F2|=2c，∵有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形，∴在椭圆中，|PF1|+|PF2|=2a，而|PF1|=|F1F2|=2c，∴|PF2|=2a﹣2c，①同理，在该双曲线中，|PF2|=2c﹣2m；②由①②可得m=2c﹣a．∵e1=∈（，），∴＜＜，又e2====∈（2，3）．故选：C．11．（5分）三棱锥P﹣ABC中，底面△ABC满足BA=BC，，P在面ABC 的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P到面ABC的距离为（）A．2B．3C．D．【解答】解：设AC的中点为D，连接BD，PD，则PD⊥平面ABC，∵△ABC是等腰直角三角形，∴外接球的球心O在PD上，设AB=BC=a，PD=h，外接球半径OC=OP=R，则OD=h﹣R，CD=AC=a，===，∴a2=，∵V P﹣ABC∵CD2+OD2=OC2，即（h﹣R）2+a2=R2，∴R===≥3=，当且仅当即h=3时取等号，∴当外接球半径取得最小值时，h=3．故选：B．12．（5分）设函数，若曲线上存在（x0，y0），使得f（f（y0））=y0成立，则实数m的取值范围为（）A．[0，e2﹣e+1]B．[0，e2+e﹣1]C．[0，e2+e+1]D．[0，e2﹣e﹣1]【解答】解：∵﹣1≤cosx≤1，∴的最大值为e，最小值为1，∴1≤y 0≤e ，显然f （x ）=是增函数，（1）若f （y 0）＞y 0，则f （f （y 0））＞f （y 0）＞y 0，与f （f （y 0））=y 0矛盾； （2）若f （y 0）＜y 0，则f （f （y 0））＜f （y 0）＜y 0，与f （f （y 0））=y 0矛盾； ∴f （y 0）=y 0，∴y 0为方程f （x ）=x 的解，即方程f （x ）=x 在[1，e ]上有解， 由f （x ）=x 得m=x 2﹣x ﹣lnx ， 令g （x ）=x 2﹣x ﹣lnx ，x ∈[1，e ]， 则g′（x ）=2x ﹣1﹣==，∴当x ∈[1，e ]时，g′（x ）≥0， ∴g （x ）在[1，e ]上单调递增，∴g min （x ）=g （1）=0，g max （x ）=g （e ）=e 2﹣e ﹣1， ∴0≤m ≤e 2﹣e ﹣1． 故选：D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）.13．（5分）某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x 人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x= 27 ．【解答】解：由题意可得=，即x=27， 故答案为：2714．（5分）平面上，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，则有（其中S △PAB 、S △PCD 分别为△PAB 、△PCD 的面积）；空间中，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，点E 、F 为射线PL 上的两点，则有=（其中V P ﹣ABE 、V P ﹣CDF 分别为四面体P ﹣ABE 、P ﹣CDF 的体积）．【解答】解：设PM与平面PDF所成的角为α，则A到平面PDF的距离h1=PAsinα，C到平面PDF的距离h2=PCsinα，=V A﹣PBE==，∴V P﹣ABEV P﹣CDF=V C﹣PDF==，∴=．故答案为：．15．（5分）已知数列{a n}满足，则{a n}的前50项的和为1375．【解答】解：当n是奇数时，cosnπ=﹣1；当n是偶数时，cosnπ=1．则a n=（﹣1）n（n2+4n）=（﹣1）n n2+（﹣1）n×4n，{a n}的前50项的和S50=a1+a2+a3+…+a50，=（﹣12+22﹣32+42﹣…+502）+4（﹣1+2﹣3+4﹣…+50），=（1+2+3+4+…+50）+4×25，=1275+100，=1375，故答案为：137516．（5分）已知圆C：x2+y2=25，过点M（﹣2，3）作直线l交圆C于A，B两点，分别过A，B两点作圆的切线，当两条切线相交于点N时，则点N的轨迹方程为2x﹣3y﹣25=0．【解答】解：设A（m，n），N（x，y），根据圆的对称性可得N点是经过C点垂直于AB的直线与A点切线的交点∵圆x2+y2=25的圆心为C（0，0）∴切线AN的斜率为k1=﹣=﹣，得得AN方程为y﹣n=﹣（x﹣m），化简得y=﹣x+…①又∵直线MA的斜率k MA=，∴直线CN的斜率k2=﹣=，得直线CN方程为y=x…②①②联解，消去m、n得2x﹣3y+25=0，即为点N轨迹所在直线方程．故答案为：2x﹣3y+25=0．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知是函数f（x）=msinωx﹣cosωx（m＞0）的一条对称轴，且f（x）的最小正周期为π（Ⅰ）求m值和f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设角A，B，C为△ABC的三个内角，对应边分别为a，b，c，若f（B）=2，，求的取值范围．【解答】解：函数f（x）=msinωx﹣cosωx（m＞0）化简可得：f（x）=sin（ωx+θ），其中tanθ=﹣．∵f（x）的最小正周期为π，即T=π=，∴ω=2．又∵是其中一条对称轴，∴2×+θ=k，k∈Z．可得：θ=，则tan（kπ﹣）=﹣．m＞0，当k=0时，tan=∴m=．可是f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x﹣），令2x﹣，k∈Z，得：≤x≤，所以f（x）的单调递增区间为[，]，k∈Z．（2）由f（B）=2sin（2B﹣）=2，可得2B﹣=，k∈Z，∵0＜B＜π，∴B=由正弦定理得：=2sinA﹣sin（A+）=sinA﹣cosA=sin（A﹣）∵0∴A﹣∈（，）∴的取值范围是（，），18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X，求X的分布列与数学期望．（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x 的值（精确到0.01），并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据频率和为1，得（0.06+0.18+2a+0.42+0.52+0.11+0.06+0.03）×0.5=1，解得a=0.30；（Ⅱ）月均用水量不低于3吨的频率为（0.11+0.06+0.03）×0.5=0.1，则p=0.1，抽取的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3；∴P（X=0）=•0.93=0.729，P（X=1）=•0.1•0.92=0.243，P（X=2）=•0.12•0.9=0.027，P（X=3）=•0.13=0.001；∴X的分布列为数学期望为EX=0×0.729+1×0.243+2×0.027+3×0.001=0.3；（Ⅲ）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占的百分比为0.5×（0.06+0.18+0.3+0.42+0.52）=0.73，即73%的居民月均用水量小于2.5吨；同理，88%的居民月均用水量小于3吨；故2.5＜x＜3，假设月均用水量平均分布，则x=2.5+0.5×=2.9（吨），即85%的居民每月用水量不超过标准为2.9吨．19．（12分）如图，在棱台ABC﹣FED中，△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形，BC⊥CD，CD=1，N为CE中点，．（Ⅰ）λ为何值时，MN∥平面ABC？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求直线AN与平面BMN所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）当，即M为AF中点时MN∥平面ABC．事实上，取CD中点P，连接PM，PN，∵AM=MF，CP=PD，∴MP∥AC，∵AC⊂平面ABC，MP⊄平面ABC，∴MP∥平面ABC．由CP∥PD，CN∥NE，得NP∥DE，又DE∥BC，∴NP∥BC，∵BC⊂平面ABC，NP⊄平面ABC，∴NP∥平面ABC．∴平面MNP∥平面ABC，则MN∥平面ABC；（Ⅱ）取BC中点O，连OA，OE，∵AB=AC，OB=OC，∴AO⊥BC，∵平面ABC⊥平面BCDE，且AO⊂平面ABC，∴AO⊥平面BCDE，∵OC=，BC∥ED，∴OE∥CD，又CD⊥BC，∴OE⊥BC．分别以OE，OC，OA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．则A（0，0，），C（0，1，0），E（1，0，0），，∴F（1，，），M（，，），N（）．设为平面BMN的法向量，则，取z=1，得．cos＜＞=．∴直线AN与平面MNB所成角的正弦值为．20．（12分）已知椭圆的右焦点为F，过椭圆C中心的弦PQ长为2，且∠PFQ=90°，△PQF的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A1、A2分别为椭圆C的左、右顶点，S为直线上一动点，直线A1S交椭圆C于点M，直线A2S交椭圆于点N，设S1、S2分别为△A1SA2、△MSN的面积，求的最大值．【解答】解：（Ⅰ）弦PQ过椭圆中心，且∠PFQ=90°，则c=丨OF丨=丨PQ丨=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）不妨设P（x0，y0）（x0，y0＞0），∴，△PQF的面积=×丨OF丨×2y0=y0=1，则x0=1，b=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）a2=b2+c2=2，∴椭圆方程为+y2=1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）设S（2，t），直线A1S：x=y﹣，则，整理（+2）y2﹣y=0，解得y1=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）同理，设直线A2S：x=y+，得（+2）y2+y=0，解得y2=﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）则==丨×丨﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）≤×=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）当且仅当t2+9=3t2+3，即t=±时取“=”﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）已知f（x）=e2x+ln（x+a）．（1）当a=1时，①求f（x）在（0，1）处的切线方程；②当x≥0时，求证：f （x）≥（x+1）2+x．（2）若存在x0∈[0，+∞），使得成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=e2x+ln（x+1），f′（x）=2e2x+，①可得f（0）=1，f′（0）=2+1=3，所以f（x）在（0，1）处的切线方程为y=3x+1；②证明：设F（x）=e2x+ln（x+1）﹣（x+1）2﹣x（x≥0），F′（x）=2e2x+﹣2（x+1）﹣1F″（x）=4e2x﹣﹣2=[e2x﹣﹣]+2（e2x﹣1）+e2x＞0，（x≥0），所以，F′（x）在[0，+∞）上递增，所以F′（x）≥F′（0）=0，所以，F（x）在[0，+∞）上递增，所以F（x）≥F（0）=0，即有当x≥0时，f（x）≥（x+1）2+x；（2）存在x0∈[0，+∞），使得成立⇔存在x0∈[0，+∞），使得e﹣ln（x0+a）﹣x02＜0，设u（x）=e2x﹣ln（x+a）﹣x2，u′（x）=2e2x﹣﹣2x，u″（x）=4e2x+﹣2＞0，可得u′（x）在[0，+∞）单调增，即有u′（x）≥u′（0）=2﹣①当a≥时，u′（0）=2﹣≥0，可得u（x）在[0，+∞）单调增，则u（x）min=u（0）=1﹣lna＜0，解得a＞e；②当a＜时，ln（x+a）＜ln（x+），设h（x）=x﹣﹣ln（x+），（x＞0），h′（x）=1﹣=，另h′（x）＞0可得x＞，h′（x）＜0可得0＜x＜，则h（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．则h（x）≥h（）=0．设g（x）=e2x﹣x2﹣（x﹣），（x＞0），g′（x）=2e2x﹣2x﹣1，g″（x）=4e2x﹣2＞4﹣2＞0，可得g′（x）在（0，+∞）单调递增，即有g′（x）＞g′（0）=1＞0，则g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（x）＞g（0）＞0，则e2x﹣x2＞x﹣＞ln（x+）＞ln（x+a），则当a＜时，f（x）＞2ln（x+a）+x2恒成立，不合题意．综上可得，a的取值范围为（e，+∞）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线C1：ρ=1，（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C1上的点到曲线C2距离的最小值；（Ⅱ）若把C1上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的倍，得到曲线．设P（﹣1，1），曲线C2与交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1：ρ=1，∴曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2=1，∴圆心为（0，0），半径为r=1，（t为参数）消去参数t的C2：y=x+2，（2分）∴圆心到直线距离d=，（3分）∴曲线C1上的点到曲线C2距离的最小值为．（5分）（Ⅱ）∵把C1上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的倍，得到曲线．∴伸缩变换为，∴曲线：=1，（7分）（t为参数）代入曲线，整理得．∵t1t2＜0，（8分）∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=．（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y∈R．（Ⅰ）若x，y满足，，求证：；（Ⅱ）求证：x4+16y4≥2x3y+8xy3．【解答】证明：（Ⅰ）利用绝对值不等式的性质得：|x|=[|2（x﹣3y）+3（x+2y）|]≤[|2（x﹣3y）|+|3（x+2y）|]＜（2×+3×）=；（Ⅱ）因为x4+16y4﹣（2x3y+8xy3）=x4﹣2x3y+16y4﹣8xy3=x3（x﹣2y）+8y3（2y﹣x）=（x﹣2y）（x3﹣8y3）=（x﹣2y）（x﹣2y）（x2+2xy+4y2）=（x﹣2y）2[（x+y）2+3y2]≥0，∴x4+16y4≥2x3y+8xy3。
【全国市级联考】辽宁省沈阳市2017届高三第三次模拟考试数学(理)试题(解析版)
辽宁省沈阳市2017届高三第三次模拟考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，集合，，则集合( )A. B. C. D.【答案】C【解析】，所以.故本题正确答案为C.2. 在复平面内复数（是虚数单位）对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】,复数对应点为:.点在第二象限,所以B选项是正确的.3. 向量，，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若,则由向量的定义显然有,必有;若,则,得,不能推出,故选A.4. 如下的程序框图，其作用是输入的值，输出相应的值，若，则这样的值有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】试题分析：根据题意可知，当时，，令，解得，当时，，令，解得，当时，，方程在给定范围内无解，故一共有三个解，所以答案为C．考点：程序框图．5. 已知一个三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为（）A. 9B. 21C. 25D. 34...【答案】B【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个三棱锥由正视图和俯视图可得底面底边长为2，由左视图可得底面底边上的高为2，故底面积由主视图和左视图可得棱锥的高故棱锥的体积.点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．6. 已知,分别是双曲线：的两个焦点，若在双曲线上存在点满足，则双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设点是双曲线左支上的点，由，化为（为双曲线的焦距），，容易证明，于是,．故选D．7. 已知函数的图象在轴左侧的第一个最高点为，第一最低点为，则函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题可得,,当时，，过点，可得，，当时（舍）.8. 若，则（）A. B. 3 C. D.【答案】C【解析】，则.9. “杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图.下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”.该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，数表的每一行从右往左都是等差数列，且第一行公差为1,第二行公差为2,第三行公差为4,…,第2015行公差为，故第1行的第一个数为：，...第2行的第一个数为：，第3行的第一个数为：，…第行的第一个数为： (n+1)×2n−2，表中最后一行仅有一个数，则这个数是.10. 直线与圆相切，则的最大值为（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】由函数奇偶性的定义可知，即，因为（当且仅当取等号），所以，应选答案C。
2020届黑龙江省哈尔滨市三中2017级高三下学期3月模拟考试数学(理)试卷及解析
2020届黑龙江省哈尔滨市三中2017级高三下学期3月模拟考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.已知i 为虚数单位,则1i i +=( ) A. 0B. 1-C. 1i -D. 1i +【答案】C【解析】根据复数的除法运算,化简即可得解.【详解】由复数的除法运算,化简可得 ()()()111i i i i i i i +⋅-+==-⋅-, 故选：C.2.设{1,2,3}A =,2{|10}B x x x =--<,则A B =( )A. {1,2}B. {1,2,3}C. {2,3}D. {1}【答案】D【解析】解不等式可得集合B,再由交集运算即可求解.【详解】2{|10}B x x x =--<,解不等式可得|B x x ⎧⎪=<<⎨⎪⎪⎩⎭,所以由交集运算可得{}{}1,2,3151|221A B x x ⎧-+⎪=<<=⎨⎪⎪⎩⎭, 故选：D. 3.某校为了研究a ,b 两个班的化学成绩,各选了10人的成绩,绘制了如下茎叶图,则根据茎叶图可知,a 班10人化学成绩的中位数和化学成绩更稳定的班级分别是( )A. 83,aB. 82.5,bC. 82.5,aD. 82,b 【答案】C【解析】根据茎叶图,可求得a 班化学成绩的中位数；由数据分布情况,即可判断化学成绩更稳定的班级.【详解】由茎叶图可知,a 班10人化学成绩从低到高排列,第五个人的成绩为82,第6个人的成绩为83,所以a 班化学成绩的中位数为828382.52+=； 由茎叶图中的叶的分布可知,a 班化学成绩分布较为集中,且低成绩和高成绩人数较少,因而a 班化学成绩更稳定.故选：C .4.已知向量(1,3),(,1)a b x ==且a 与b 的夹角为60︒,则||b =( ) 23 B. 13 3 D. 23 【答案】A【解析】根据平面向量数量积的坐标运算及夹角求法,即可求得参数x 的值,进而可得向量的模. 【详解】向量(1,3),(,1)a b x ==且a 与b 的夹角为60︒, 由平面向量数量积的坐标运算可得cos 60a ba b ⋅︒=⋅,代入可得213221x x +=⨯+解得33x =-, 所以3,1b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,。
哈尔滨2017年高三第三次模拟考试数学试题(理)含答案
______（其中 VP ABE 、 VP CDF 分别为四面体 P — ABE 、 P — CDF 的体积）.
15.已知数列
an 满足 an n2 4n cos nπ ，则 an 的前 50 项的和为______.
2 2 M 2,3 16.已知圆 C : x y 25 ，过点 作直线 l 交圆 C 于 A ， B 两点，分别过 A ， B 两
（Ⅰ）求 m 值和
2017 年高三第三次模拟考试
理科数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条 形码区域内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体工整、笔记清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草 稿纸、试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第Ⅰ卷（选择题共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.）
的离心率 e2 的范围是（
3 5 , A. 2 3 5 ,2 B. 3
）
2,3 C.
3 ,3 D. 2
ABC
2 ， P 在面 ABC 的射影为
11.三棱锥 P ABC 中，底面 ABC 满足 BA BC ，
9 AC 的中点，且该三棱锥的体积为 2 ，当其外接球的表面积最小时， P 到面 ABC 的距离为 （ ）
2020年东北三省三校(辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)
2020年东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中）高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x∈Z|x2≤1}，B={-1，0，1，2}，则A∩B=（）A. {-1，1}B. {0}C. {-1，0，1}D. [-1，1]2.命题“∀x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是（）A. ∃x∈R，x3-x2+1≥0B. ∃x∈R，x3-x2+1＞0C. ∃x∈R，x3-x2+1≤OD. ∀x∈R，x3-x2+1＞03.已知向量，的夹角为60°，||=2，||=4，则（-）=（）A. -16B. -13C. -12D. -104.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则C的渐近线方程为（）A. y=±xB. y=±xC. y=±2xD. y=±x5.等比数列{a n}的各项均为正数，a1=1，a1+a2+a3=7，则a3+a4+a5=（）A. 14B. 21C. 28D. 636.某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布N（10，0.12）（单位：kg），现抽取500袋样本，X表示抽取的面粉质量在（10，10.2）kg的袋数，则X的数学期望约为（）参考数据：若X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9973A. 171B. 239C. 341D. 4777.在复平面内，复数z=a+bi（a∈R，b∈R）对应向量（O为坐标原点），设||=r，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为θ，则z=r（cosθ+i sinθ），法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：z1=r1（cosθ1+i sinθ1），z2=r2（cosθ2+i sinθ2），则z1z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+i sin（θ1+θ2）]，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：[r（cosθ+i sinθ）]n=r n（cos nθ+i si n nθ），则（）5=（）A. B. C. D.8.运行程序框图，如果输入某个正数n后，输出的s∈（20，50），那么n的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 69.已知四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD为边长2的等边三角形，BD=DC，BD⊥CD，则异面直线，AC与BD所成角的余弦值为( )A. B. C. D.10.一项针对都市熟男（三线以上城市30～50岁男性）消费水平的调查显示，对于最近一年内是否购买过以下七类高价商品，全体被调查者，以及其中包括的1980年及以后出生（80后）被调查者、1980年以前出生（80前）被调查者回答“是”的比例分别如下：全体被调查者80后被调查者80前被调查者电子产品56.9%66.0%48.5%服装23.0%24.9%21.2%手表14.3%19.4%9.7%运动、户外用品10.4%11.1%9.7%珠宝首饰8.6%10.8% 6.5%箱包8.1%11.3% 5.1%个护与化妆品 6.6% 6.0%7.2%以上皆无25.3%17.9%32.1%根据表格中数据判断，以下分析错误的是（）A. 都市熟男购买比例最高的高价商品是电子产品B. 从整体上看，80后购买高价商品的意愿高于80前C. 80前超过三成一年内从未购买过表格中七类高价商品D. 被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例大约为2：111.椭圆+y2=1上存在两点A，B关于直线4x-2y-3=0对称，若O为坐标原点，则||=（）A. 1B.C.D.12.如图，直角梯形ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2，AB=BC=1，E是边CD中点，△ADE沿AE翻折成四棱锥D′-ABCE，则点C到平面ABD′距离的最大值为（）A. B. C. D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=24，a8=17，则S8=______．14.函数y=sin（ωx+）（ω∈N*）的一条对称轴为x=，则ω的最小值为______．15.若函数f（x）=在（-∞，+∞）上单调递增，则m的取值范围是______．16.已知f（x）=+b，g（x）=f2（x）-1，其中a≠0，c＞0，则下列判断正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①f（x）关于点（0，b）成中心对称②f（x）在（0，+∞）上单调递增③存在M＞0，使|f（x）|≤M④若g（x）有零点，则b=0⑤g（x）=0的解集可能为{1，-1，2，-2}三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，2sin A•sin B（1-tan A•tan B）=tan A•tan B．（Ⅰ）求∠C的大小；（Ⅱ）求sin A-cos B的取值范围．18.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，△ACD是边长为2的等边三角形，且AB=BC=，PA=2，点M是棱PC上的动点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）当线段MB最小时，求直线MB与平面PBD所成角的正弦值．19.现代社会，“鼠标手”已成为常见病．一次实验中，10名实验对象进行160分钟的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌电频率（sEMG）等指标．（Ⅰ）10名实验对象实验前、后握力（单位：N）测试结果如下：实验前：346，357，358，360，362，362，364，372，373，376实验后：313，321，322，324，330，332，334，343，350，361完成茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少N？（Ⅱ）实验过程中测得时间t（分）与10名实验对象前臂表面肌电频率（sEMG）的中位数y（Hz）的九组对应数据（t，y）为（0，87），（20，84），（40，86），（60，79），（80，78），（100，78）（120，76），（140，77），（160，75）建立y关于时间t的线性回归方程；（Ⅲ）若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态，根据（Ⅱ）中9组数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？参考数据：（t i）（y i）=-1800参考公式：回归方程=t+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=．20.抛物线x2=4y的焦点为F，准线为l，若A为抛物线上第一象限的一动点，过F作AF的垂线交准线l于点B，交抛物线于M，N两点．（Ⅰ）求证：直线AB与抛物线相切；（Ⅱ）若点A满足AM⊥AN，求此时点A的坐标．21.已知函数f（x）=（2-x）e k（x-1）-x（k∈R，e为自然对数的底数）（Ⅰ）若f（x）在R上单调递减，求k的最大值；（Ⅱ）当x∈（1，2）时，证明：ln＞2（x-）．22.已知曲线C的参数方程为（θ为参数），A（2，0），P为曲线C上的一动点．（Ⅰ）求动点P对应的参数从变动到时，线段AP所扫过的图形面积；（Ⅱ）若直线AP与曲线C的另一个交点为Q，是否存在点P，使得P为线段AQ的中点？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．23.已知函数f（x）=|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4-|x-1|；（Ⅱ）已知m＞0，n＞0，m+n=1，若对任意的x∈R，m＞0，n＞0不等式|x-a|-f（x）≤（a ＞0）恒成立，求正数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵集合A={x∈Z|x2≤1}={-1，0，1}，B={-1，0，1，2}，∴A∩B={-1，0，1}．故选：C．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：解：将量词否定，结论否定，可得∃x∈R，x3-x2+1＞0故选：B．将量词否定，结论否定，可得结论．本题考查命题的否定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：向量，的夹角为60°，||=2，||=4，则（-）===-12．故选：C．直接利用向量的数量积的运算法则化简求解即可．本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力．4.答案：B解析：【分析】本题考查双曲线的几何性质，注意由双曲线的标准方程分析焦点的位置，确定双曲线的渐近线方程，属于基础题．根据题意，由双曲线的离心率e=2可得c=2a，由双曲线的几何性质可得b==a，即=，由双曲线的渐近线方程可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：-=1，其焦点在x轴上，其渐近线方程为y=±x，又由其离心率e==2，则c=2a，则b==a，即=，则其渐近线方程y=±x；5.答案：C解析：解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1=1，a1+a2+a3=7，∴1+q+q2=7，解得q=2．则a3+a4+a5=q2+q3+q4=4+8+16=28．故选：C．利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：B解析：解：∵P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545，且μ=10，σ=0.1，∴P（9.8＜X＜10.2）≈0.9545，∴P（10＜X＜10.2）==0.47725，则面粉质量在（10，10.2）kg的袋数Y服从二项分布，即Y～B（500，0.47752），则E（Y）=500×0.47752≈239．故选：B．先根据正态分布求得质量在（10，10.2）kg的袋数的概率，再根据袋数Y服从二项分布可得．本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．7.答案：A解析：解：（）5==+i=-i．故选：A．（）5=，再利用棣莫弗定理即可得出．本题考查了棣莫弗定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：B解析：解：由题意，模拟程序的运行，可得s=0，k=1第1次执行循环体，s=1，k=2第2次执行循环体，s=4，k=3第3次执行循环体，s=13，k=4第4次执行循环体，s=40，k=5第5次执行循环体，s=121，k=6由上可知，若要输出的s∈（20，50），那么n的值为4，即k=5＞4时，退出循环得解．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．解析：【分析】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，过D作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与BD所成角的余弦值．【解答】解：四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD为边长2的等边三角形，BD=DC，BD⊥CD，以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，过D作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，1，），C（2，0，0），B（0，2，0），D（0，0，0），=（2，-1，-），=（0，-2，0），设异面直线AC与BD所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为．故选：A．10.答案：D解析：解：对于选项A，从表中的数据可得都是熟男购买电子产品的比例为56.9%，为最高值，所以A正确；对于选项B，从表中后两列的数据可以看出，前6项的比例均是80后得意愿高于80前的意愿，所以B正确；对于选项C，从表中的最后一列可看出，80前一年内从未购买过表格中7类高价商品的比例为32.1%，约为3成，所以C正确；对于选项D，根据表中数据不能得到被调查者的都是熟男中800后人数与80前人数的比例，所以D 不正确．故选：D．根据表中的数据逐项进行分析可得．本题考查了进行简单的合情推理，属中档题．11.答案：C解析：解：∵椭圆+y2=1上，焦点在x轴上，设椭圆上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线4x-2y-3=0对称，AB中点为M（x0，y0），直线AB的斜率为-，则x12+4y12=4，①x22+4y22=4，②①-②得：（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0，由中点坐标公式可知：x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，即2x0•（x1-x2）+4•2y0•（y1-y2）=0，∴=-=-，∴2y0=x0，代入直线方程4x-2y-3=0，得x0=1，y0=，∴x1+x2=2，y1+y2=1，∴=（x1+x2，y1+y2）=（2，1）∴||==，故选：C．将A，B坐标代入椭圆方程，利用作差法，求得直线AB的斜率，由直线AB的斜率为-，代入求得AB中点M（x0，y0），求出点M的坐标，再根据向量的模计算即可．本题考查作差法求弦的直线方程的斜率，点与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．12.答案：B解析：解：直角梯形ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2，AB=BC=1，E是边CD中点，△ADE沿AE翻折成四棱锥D′-ABCE，当D′E⊥CE时，点C到平面ABD′距离取最大值，∵D′E⊥AE，CE∩AE=E，∴D′E⊥平面ABCE，以E为原点，EC为x轴，EA为y轴，ED′为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，1，0），C（1，0，0），D′（0，0，1），B（1，1，0），=（1，0，0），=（1，-1，0），=（0，-1，1），设平面ABD′的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，1），∴点C到平面ABD′距离的最大值为：d===．故选：B．当D′E⊥CE时，点C到平面ABD′距离取最大值，以E为原点，EC为x轴，EA为y轴，ED′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C到平面ABD′距离的最大值．本题考查点到平面的距离的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.答案：80解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S4=24，a8=17，∴4a1+d=24，a1+7d=17，解得a1=3，d=2，则S8==80．故答案为：80．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.答案：2解析：解：函数y=sin（ωx+）（ω∈N*）的一条对称轴为x=，故：（k∈Z），解得：ω=6k+2（k∈Z），由于：ω∈N*，当k=0时，ω的最小值为2．故答案为：2直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数中正弦型函数性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．15.答案：0＜m≤3解析：解：函数f（x）=在（-∞，+∞）上单调递增，由x≥0时，f（x）=1+2x递增，可得x＜0时，f（x）也递增，即有m＞0，且1+20≥0+m-1，即m≤3，综上可得0＜m≤3．故答案为：0＜m≤3．由指数函数的单调性和定义，可得m＞0且1+20≥0+m-1，解不等式可得所求范围．本题考查分段函数的单调性，注意运用指数函数的单调性和定义法，考查运算能力，属于基础题．16.答案：①③⑤解析：解：对于①，函数y=是定义域R上的奇函数，图象关于原点（0，0）对称，所以函数f（x）=+b的图象关于点（0，b）对称，①正确；对于②，x＞0时，f'（x）==，当-时，f'（x）＞0，当x或x时，f'（x）＜0，所以f（x）在[-，]上单调递增，在（-∞，-）和（，+∞）上单调递减．所以②错；对于③，由②知，函数f（x）在（-∞，-）上单调递减，在[-，]上单调递增，在（，+∞）上单调递减．当x→∞时y=→0，所以当x→∞时，f（x）→b，所以|f（x）|≤max{f（-），}，所以存在存在M＞0，使|f（x）|≤M；对于④若g（x）有零点，只需|f（x）|=1，即b=，b不一定为0，④错误；对于⑤，当a=-20，b=9，c=1时，g（x）=0的解集为{1，-1，2，-2}．故⑤正确；故填：①③⑤．对于①根据y=是定义域R上的奇函数，f（x）是由y=向上平移b个单位得到，故①正确；对于②，求导后讨论f（x）的单调性即可得到结论；对于③结合②的结论，|f（x）|≤max{f（-），}，故③正确；对于④，由g（x）有零点，得b═，b不一定为0，所以④错误；对于⑤举出实例即可．本题考查了函数的奇偶性、函数的单调性、函数的最值、函数的零点等．属于难题．17.答案：解：（Ⅰ）∵在△ABC中，2sin A•sin B（1-tan A•tan B）=tan A•tan B，∴两边同时乘以cos A cos B，可得2sin A•sin B（cos A cos B-sin A sin B）=sin A•sin B，∴2cos A cos B-2sin A sin B=1，即2cos（A+B）=1，即cos（A+B）=，∴A+B=，∴C=．（Ⅱ）sin A-cos B=sin A-cos（-A）=sin A-cos A-sin A=sin A-cos A=sin（A-），∵A∈（0，），∴A-∈（-，），∴sin（A-）∈（-，），sin A-cos B的取值范围为（-，）．解析：（Ⅰ）△ABC中，由题意利用三角恒等变换求得cos（A+B）=，可得A+B=，可得∠C的大小．（Ⅱ）化简sin A-cos B为sin（A-），再利用正弦函数的定义域和值域，求得它的取值范围．本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18.答案：解：（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，取AC中点O，连接OB，OD，则AC⊥OB，AC⊥OD，∴点O，B，D共线，即AC⊥BD，又∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．∵BD⊂平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD．（Ⅱ）解：取CP中点E，连接OE，OE∥PA，∴OE⊥底面ABCD，∴OC，OD，OE两两垂直，以O为原点如图建立空间直角坐标系O-xyz，则B（0，-1，0），C（1，0，0），D（0，，0），P（-1，0，2），∴=（0，+1，0），=（-1，1，2），设平面PBD的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1可得平面PBD的一个法向量=（2，0，1），设=λ（0≤λ≤1），则=+=（1-2λ，1，2λ），∴||==，∴当λ=时，||取得最小值，此时=（，1，），设直线MB与平面PBD所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，∴直线MB与平面PBD所成角的正弦值为．解析：（I）取AC中点O，可证O在直线BD上，得出BD⊥AC，BD⊥PA，于是BD⊥平面PAC，得出平面PAC⊥平面PBD；（II）取PC中点E，证明OE⊥平面ABCD，以O为原点建立空间坐标系，求出||最短时对应的坐标，求出平面PBD的法向量，计算平面法向量与的夹角的余弦值即可得出结论．本题考查了面面垂直的判定，考查空间向量与线面角的计算，属于中档题．19.答案：解：（Ⅰ）根据题意填写茎叶图如下；计算=×（346+357+358+360+362+362+364+372+373+376）=363，=×（313+321+322+324+330+332+334+343+350+361）=333，-=363-333=30（N），所以实验前后握力的平均值下降了30N；---------（4分）（II）=80，=80，（t i-）（y i-）=-1800，=（0-80）2+（20-80）2+（40-80）2+（60-80）2+（80-80）2+（100-80）2+（120-80）2+（140-80）2+（160-80）2=24000；回归系数为===-0.075，==80-（-0.075）×80=86，---------（9分）y关于时间t的线性回归方程为：=-0.075t+86；----------（10分）（III）九组数据中40分钟到60分钟y的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，所以使用鼠标60分钟就该休息了．---------（12分）解析：（Ⅰ）根据题意填写茎叶图，计算平均值、，求出-的值；（II）计算平均值，求出回归系数、，写出y关于t的线性回归方程；（III）根据题意知40分钟到60分钟y的下降幅度最大，说明60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，该休息了．本题考查了利用茎叶图求平均数的应用问题，也考查了线性回归方程的应用问题，是中档题．20.答案：解：（I）设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），F（0，1），∴直线AF的斜率为，由已知直线BF斜率存在，直线BF的方程为y=x+1，令y=-1，x=，∴B（，-1），直线AB的斜率为==，由y=知，y′|=，∴直线AB与抛物线相切．（II）A（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），直线AM的斜率为==，直线AN的斜率为=，∵AM⊥AN，∴•=-1，∴x1x2+x0（x1+x2）+x02=-16，∴，∴x2-x-4=0，∴x1+x2=，x1x2=-4∴x02+x0-4=-16，∴y02-2y0-3=0∵y0＞0，∴y0=3，又x0＞0，∴x0=2，∴存在A（2，3），使得AM⊥AN．解析：（I）设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），分别求出直线AF的斜率，可得直线BF的方程，求出点B的坐标，根据直线核对斜率公式和导数的几何意义已即可证明．（Ⅱ）分别设M（x1，y1），N（x2，y2），求出直线AM，AN的斜率，根据直线的垂直可得x1x2+x0（x1+x2）+x02=-16，再根据韦达定理，即可求出点A的坐标．本题考查抛物线的性质，直线的斜率公式，导数的几何意义，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．21.答案：解：（I）∵函数f（x）=（2-x）e k（x-1）-x（k∈R，e为自然对数的底数），∴f′（x）=e k（x-1）[k（2-x）-1]-1≤0恒成立，--------（2分）即-kx+2k-1≤对于∀x∈R恒成立，设g（x）=，则g（x）≥0对于∀x∈R恒成立．则g（1）=2-k≥0，∴k≤2．--------（4分）当k=2时，，g′（1）=0，x∈（1，+∞），g′（x）＞0，g（x）单调递增，x∈（-∞，1），g′（x）＜0，g（x）单调递减，g（x）min=g（1）=0，即g（x）≥0恒成立，故k的最大值为2．--------（6分）证明：（II）当k=2时，f（x）=（2-x）•e2（x-1）-x单调递减，且f（1）=0，--------（7分）当x∈（1，2）时，f（x）＜f（1），即（2-x）•e2（x-1）＜x，ln（2-x）+2（x-1）＜ln x，2（x-1）＜ln，①--------（9分）下面证明：-，②令H（x）=ln（2x-1）-（-），则H′（x）=≥0，∴H（x）单调递增，H（x）＞H（1）=0，故②成立，--------（11分）由①+②得ln＞2（x-）成立．---------（12分）解析：（I）推导出f′（x）=e k（x-1）[k（2-x）-1]-1≤0恒成立，从而-kx+2k-1≤对于∀x∈R恒成立，设g（x）=，则g（x）≥0对于∀x∈R恒成立．推导出k≤2．当k=2时，，g′（1）=0，利用导数性质推导出g（x）≥0恒成立，由此能求出k的最大值．（II）当k=2时，f（x）=（2-x）•e2（x-1）-x单调递减，且f（1）=0，当x∈（1，2）时，（2-x）•e2（x-1）＜x，从而ln（2-x）+2（x-1）＜ln x，2（x-1）＜ln，再证明：-，由此能证明ln＞2（x-）成立．本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查换元法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：（I）设θ=时对应的点为M，θ=时对应的点为N，线段AP扫过的面积=S△AMN+S弓形=S△OMN+S弓形=S扇形OMN=×12×=----（4分）（II）设P（cosθ，sinθ），A（2，0）∵P为线段AQ的中点，∴Q（2cosθ-2，2sinθ）---------（6分）∵Q在曲线C上，曲线C的直角坐标方程为x2+y2=1∴（2cosθ-2）2+（2sinθ）2=1∴8cosθ=7，cosθ=---------（8分）P（，±）---------（10分）解析：（Ⅰ）设θ=时对应的点为M，θ=时对应的点为N，线段AP扫过的面积=S△AMN+S弓形=S△OMN+S2×=；弓形=S扇形OMN=×1（Ⅱ）根据中点公式求得中点坐标代入曲线C的方程可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．23.答案：解：（Ⅰ）不等式f（x）＜4-|x-1|，即|3x+2|+|x-1|＜4，∴①，或②，或③．解①求得-＜x＜-，解②求得-≤x＜，解③求得x∈∅．综上可得，不等式的解集为（-，）．（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），∴+=（m+n）（+）=2++≥2+2=4，当且仅当m=n=时，取等号．再根据|x-a|-f（x）≤+（a＞0）恒成立，可得|x-a|-f（x）≤4，即|x-a|-|3x+2|≤4．设g（x）=|x-a|-|3x+2|=，故函数g（x）的最大值为g（-）=+a，再由+a≤4，求得0＜a≤．解析：（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由条件利用基本不等式求得+≥4，结合题意可得|x-a|-|3x+2|≤4恒成立．令g（x）=|x-a|-|3x+2|，利用单调性求得它的最大值，再由此最大值小于或等于4，求得a的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2017年吉林省长春市高考数学三模试卷(理科) 有答案
2017年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1．已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}3．若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A．2 B．C．D．4．某高中体育小组共有男生24人，其50m跑成绩记作a i（i=1，2，…，24），若成绩小于6.8s 为达标，则如图所示的程序框图的功能是（）A．求24名男生的达标率B．求24名男生的不达标率C．求24名男生的达标人数D．求24名男生的不达标人数5．等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=（）A．9 B．15 C．18 D．306．在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．27．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A． B．C．D．8．将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．79．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（）A．B．C．D．10．设n∈N*，则=（）A．B．C．D．11．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．对函数f（x）=，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）. 13．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠（chuí），长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖（粗细均匀变化）长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是．14．函数f（x）=e x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是．15．直线kx﹣3y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长的最小值为．16．过双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．18．（12分）某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机用户（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为．20．（12分）已知F1，F2分别是长轴长为的椭圆C：的左右焦点，A1，A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线C（2，2，0）交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与B（2，0，0）轴交于点N，点N横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围．21．（12分）已知函数．（1）求f（x）的极值；（2）当0＜x＜e时，求证：f（e+x）＞f（e﹣x）；（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x1，f（x1）、B（x2，f（x2）），中点横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分10分）22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l：（为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线P（x0，y0）上点P的极坐标为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．2017年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1．已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知直接利用求解．【解答】解：∵z=1+2i，∴=|z|2=．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}【考点】集合的表示法．【分析】先化简A，B，再求出其交集即可．【解答】解：由A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜0，或x＞1}，故A∩B={x|﹣1＜x＜0，或1＜x＜3}．故选D．【点评】本题考查了集合的交集的运算，属于基础题．3．若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A．2 B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据题意，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，将抛物线的方程为标准方程，求出其准线方程，分析可得d的最小值，即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y=2x2上，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，抛物线的方程为y=2x2，即x2=y，其准线方程为：y=﹣，分析可得：当P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|的最小值为，故选：D．【点评】本题考查抛物线的几何性质，要先将抛物线的方程化为标准方程．4．某高中体育小组共有男生24人，其50m跑成绩记作a i（i=1，2，…，24），若成绩小于6.8s 为达标，则如图所示的程序框图的功能是（）A．求24名男生的达标率B．求24名男生的不达标率C．求24名男生的达标人数D．求24名男生的不达标人数【考点】程序框图．【分析】由题意，从成绩中搜索出大于6.8s的成绩，计算24名中不达标率．【解答】解：由题意可知，k记录的是时间超过6.8s的人数，而i记录是的参与测试的人数，因此表示不达标率；故选B．【点评】本题考查程序框图的理解以及算法功能的描述．5．等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=（）A．9 B．15 C．18 D．30【考点】等比数列的前n项和．【分析】设等比数列{a n}的公比为q＞0，由2S3=8a1+3a2，可得2（a1+a2+a3）=8a1+3a2，化为：2q2﹣q﹣6=0，解得q，进而得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵2S3=8a1+3a2，∴2（a1+a2+a3）=8a1+3a2，化为：2a3=6a1+a2，可得=6a1+a1q，化为：2q2﹣q﹣6=0，解得q=2．又a4=16，可得a1×23=16，解得a1=2．则S4==30．故选：D．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．【解答】解：不等式组所表示的平面区域位于直线x+y﹣3=0的下方区域和直线x﹣y+1=0的上方区域，根据目标函数的几何意义，可知目标函数经过A时，z取得最大值．由可得A（1，2），所以目标函数z的最大值为4．故选B．【点评】本题主要考查线性规划问题．画出可行域判断目标函数的几何意义是解题的关键．7．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A． B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，四棱锥的表面积为．故选D．【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的表面积的求法，考查计算能力，空间想象能力．8．将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】由题意，1﹣≥，即可求出n的最小值．【解答】解：由题意，1﹣≥，∴n≥4，∴n的最小值为4，故选A．【点评】本题考查概率的计算，考查对立事件概率公式的运用，比较基础．9．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的对称性．【分析】由题意可得2x+∈[，]，根据题意可得=，由此求得x 1+x 2 值．【解答】解：∵x ∈[0，]，∴2x +∈[，]，方程在上有两个不相等的实数解x 1，x 2，∴=，则x 1+x 2=，故选：C ．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．10．设n ∈N*，则=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】归纳推理．【分析】利用数列知识，即可求解．【解答】解： =．故选A ．【点评】本题主要考查推理证明的相关知识，比较基础．11．已知向量，，（m ＞0，n ＞0），若m +n ∈[1，2]，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】简单线性规划；简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，由向量的坐标运算公式可得=（3m +n ，m ﹣3n ），再由向量模的计算公式可得=，可以令t=，将m +n ∈[1，2]的关系在直角坐标系表示出来，分析可得t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，进而可得t 的取值范围，又由=t ，分析可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，=（3m +n ，m ﹣3n ），则==，令t=，则=t，而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐标系表示如图，t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，分析可得：≤t≤2，又由=t，故≤≤2；故选：D．【点评】本题考查简单线性规划问题，涉及向量的模的计算，关键是求出的表达式．12．对函数f（x）=，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数的值．【分析】当m=2时，f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长；当m＞2时，只要即可，当m＜2时，只要即可，由此能求出结果．【解答】解：当m=2时，f（x）==1，此时f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长，成立；当m＞2时，，只要即可，解得2＜m＜5；当m＜2时，，只要即可，解得，综上．故选：C．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）. 13．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠（chuí），长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖（粗细均匀变化）长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是15斤．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意可知等差数列的首项和第5项，由等差数列的前n项和得答案．【解答】解：由题意可知等差数列中a1=4，a5=2，则S5=，∴金杖重15斤．故答案为：15斤．【点评】本题考查等差数列的前n项和，是基础的计算题．14．函数f（x）=e x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是y=x．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出f′（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵f（x）=e x•sinx，f′（x）=e x（sinx+cosx），（2分）f′（0）=1，f（0）=0，∴函数f（x）的图象在点A（0，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣0），即y=x（4分）．故答案为：y=x．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．15．直线kx﹣3y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长的最小值为2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由条件可求得直线kx﹣3y+3=0恒过圆内定点（0，1），则圆心（1，3）到定点的距离为，因此最短弦长为．【解答】解：由条件可求得直线kx﹣3y+3=0恒过圆内定点（0，1），则圆心（1，3）到定点（0，1））的距离为，当圆心到直线kx﹣3y+3=0的距离最大时（即等于圆心（1，3）到定点（0，1））的距离）所得弦长的最小，因此最短弦长为2=．故答案为：2．【点评】题考查直线和圆的位置关系，以及最短弦问题，属于中档题16．过双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】方法一、运用两渐近线的对称性和条件，可得A为BF的中点，由垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可得Rt△OAB中，∠AOB=，求得渐近线的斜率，运用离心率公式即可得到；方法二、设过左焦点F作的垂线方程为，联立渐近线方程，求得交点A，B的纵坐标，由条件可得A为BF的中点，进而得到a，b的关系，可得离心率．【解答】解法一：由，可知A为BF的中点，由条件可得，则Rt△OAB中，∠AOB=，渐近线OB的斜率k==tan=，即离心率e===．解法二：设过左焦点F作的垂线方程为联立，解得，，联立，解得，，又，∴y B=﹣2y A∴3b2=a2，所以离心率．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，主要是离心率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量共线的合理运用．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）（2017•长春三模）已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．【考点】平面向量数量积的运算；基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用．【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解最值．（2）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值．【解答】解：（1）∵，∴，∴当时，f（x）取得最小值2．（2）∵f（A）=4，∴，又∵BC=3，∴，∴9=（b+c）2﹣bc．，∴，∴，当且仅当b=c取等号，∴三角形周长最大值为．【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数的最值，基本不等式以及余弦定理的应用，考查计算能力．18．（12分）（2017•长春三模）某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机用户（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）根据已知可得频率，进而得出矩形的高=，即可得出图形．（II）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于8（0分）有6人，其中评分小于9（0分）的人数为4，从6人中任取3人，记评分小于9（0分）的人数为X，则X取值为1，2，3，利用超几何分布列的计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：由图可得女性用户更稳定．（4分）（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于8（0分）有6人，其中评分小于9（0分）的人数为4，从6人中任取3人，记评分小于9（0分）的人数为X，则X取值为1，2，3，；P（X=2）==；．所以X的分布列为．（12分）【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、超几何分布列的概率与数学期望计算公式、分层抽样，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2017•长春三模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）证明AB⊥平面PAD，推出AB⊥PD，AE⊥PD，AE∩AB=A，即可证明PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，求出相关点的坐标，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB，又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE ∩AB=A，AE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，令|AB|=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F（1，0，0），，，，M（2λ，2λ，2﹣2λ）设平面PFM的法向量，，即，设平面BFM的法向量，，即，，解得．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（12分）（2017•长春三模）已知F1，F2分别是长轴长为的椭圆C：的左右焦点，A1，A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线C（2，2，0）交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与B（2，0，0）轴交于点N，点N横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由已知2a=2，解得a=，记点P（x0，y0），k OM=，可得k OM•=•利用斜率计算公式及其点P（x0，y0）在椭圆上，即可得出．（2）设直线l：y=k（x+1），联立直线与椭圆方程得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，记A（x1，y1），B（x2，y2）．利用根与系数的关系、中点坐标公式、弦长公式即可得出．【解答】解：（1）由已知2a=2，解得a=，记点P（x0，y0），∵k OM=，∴k OM•=•=•=，又点P（x 0，y0）在椭圆上，故+=1，∴k OM•=﹣=﹣，∴，∴b2=1，∴椭圆的方程为．（4分）（2）设直线l：y=k（x+1），联立直线与椭圆方程，得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，记A（x1，y1），B（x2，y2）．由韦达定理可得，可得，故AB中点，QN直线方程：，∴，已知条件得：，∴0＜2k2＜1，∴，∵，∴．（12分）【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、中点坐标公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2017•长春三模）已知函数．（1）求f（x）的极值；（2）当0＜x＜e时，求证：f（e+x）＞f（e﹣x）；（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x1，f（x1）、B（x2，f（x2）），中点横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值即可；（2）问题转化为证明（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），设F（x）=（e﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）f′（x）=，f（x）的定义域是（0，+∞），x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．当x=e时，f（x）取极大值为，无极小值．（2）要证f（e+x）＞f（e﹣x），即证：，只需证明：（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x）．设F（x）=（e﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），，∴F（x）＞F（0）=0，故（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），即f（e+x）＞f（e﹣x），（3）证明：不妨设x1＜x2，由（1）知0＜x1＜e＜x2，∴0＜e﹣x1＜e，由（2）得f[e+（e﹣x1）]＞f[e﹣（e﹣x1）]=f（x1）=f（x2），又2e﹣x1＞e，x2＞e，且f（x）在（e，+∞）上单调递减，∴2e﹣x1＜x2，即x1+x2＞2e，∴，∴f'（x0）＜0．【点评】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分10分）22．（10分）（2017•长春三模）已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l：（为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线P（x0，y0）上点P的极坐标为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2），直角坐标为（2，2），，利用点到直线l的距离公式能求出点M到直线l的最大距离．【解答】解：（1）由曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，得直角坐标方程，直线l：，消去参数，可得普通方程l：x+2y﹣3=0．（2），直角坐标为（2，2），，M到l的距离d==，从而最大值为．（10分）【点评】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，参数方程的运用．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．（2017•长春三模）已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；（2）法一，二：问题转化为≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，∵|x +a |+|x ﹣|≥|（x +a ）﹣（x ﹣）|=a +且|x ﹣|≥0，∴f （x ）≥a +，当x=时取等号，即f （x ）的最小值为a +，∴a +=1，2a +b=2；法二：∵﹣a ＜，∴f （x ）=|x +a |+|2x ﹣b |=，显然f （x ）在（﹣∞，]上单调递减，f （x ）在[，+∞）上单调递增，∴f （x ）的最小值为f （）=a +，∴a +=1，2a +b=2．（2）方法一：∵a +2b ≥tab 恒成立，∴≥t 恒成立，=+=（+）（2a +b ）•=（1+4++），当a=b=时，取得最小值，∴≥t ，即实数t 的最大值为； 方法二：∵a +2b ≥tab 恒成立，∴≥t 恒成立，t ≤=+恒成立，+=+≥=，∴≥t ，即实数t 的最大值为； 方法三：∵a +2b ≥tab 恒成立， ∴a +2（2﹣a ）≥ta （2﹣a ）恒成立， ∴2ta 2﹣（3+2t ）a +4≥0恒成立， ∴（3+2t ）2﹣326≤0，∴≤t ≤，实数t 的最大值为．【点评】本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及二次函数的性质，考查转化思想，是一道中档题．21。
黑龙江省哈尔滨市2017届高三模拟试题(三)数学(理)试卷及答案
2017年哈尔滨市高考模拟试题（三）数学（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）（）则已知集合=⋂<<=<-+=B A x x B x x x A },31|{},0)2)(1(|{.1 A ．()3,1- B ．()1,1- C ．()2,1 D ．()3,2()1.23=-=i i Z 复数A ．0B ．i 2C ．i +1D ．i -1⎪⎩⎪⎨⎧≥-++=≤-+≥+-,022,02,01.3y x y x Z y x y x 的最小值为（）则已知 A ．-1 B ．1 C ．23D ．24. 下图的程序框图，如果要求输出的结果为输入的三个实数中的最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的 ( )A ．x c >B ．c x >C ．b c >D ． c b >的（）条件是，均为非零向量已知q p q p ".:","||||:").,,,(,.5⊥==-=+ A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分又不必要A ．8B ．4C ．2D ．17.四对夫妇坐成一排照相，每对夫妇都不能隔开，且同性别的人不能相邻的排法有（）种A ．444422A A AB ．4422A AC ．4444A AD ． 44422)(A A）上都外切的圆的圆心在（及圆与圆01281.82222=+-+=+x y x y xA ．一个椭圆B ．双曲线的一支C ．一条抛物线D ．一个圆此球的表面积为点在同一个球面上，则等的三棱锥）的各个顶的正四面体（棱长都相体积为322.9（）A ．π2B ．π3C ．π6D ．π8Z k x x x f ∈≤≤+++=），）的单调递减区间为（，（奇函数πθθπθπ0)2cos()2sin()(.10 )4,4.(ππππ+-k k A )14,14.(+-k k B )34,4.(ππππ++k k C )34,14.(++k k D,,1,.1121212222F F F F by a x C B A λ==+分别为左、右焦点，且上不同两点，：为椭圆 的离心率为（）则椭圆C F BF BF AF AB ,3,1221π=∠== 21.A 12.-B 13.-C 31.D 恒成立，时，当函数0)1()(tan 40,))(34()(.12103>-+≤≤+=⎰m f f x dx x f x x f θπθ的取值范围是（）则m )0,2.(-A ),2.(+∞-B )1,.(-∞C )1,0.(D二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13. 的奇偶性为函数)1(2)1(2log log )(x x x f -++= .14. 为的展开式中各项系数和32)1()1)(1(c b a +++ .15.已知三棱锥的三视图的正视图是等腰三角形，俯视图是边长为2的等边三角形，侧视图，则三棱锥的表面积为锥的体积为是直角三角形，且三棱3的最小值为则中，已知AB A b b c ABC tan 1tan 2,cos 2.16++=∆ . .12,1}{.1711+==+n n n n a a a a a 中数列 是等差数列；证明数列}1{)1(n a.1111)2(14951++⋅⋅⋅+++n a a a a 求18班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析.（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，男、女生各抽取多少位才符合抽样要求？ （Ⅱ）随机抽出8位，他们的数学、物理分数对应如下表：①若规定85分以上（包括85分）为优秀，在该班随机调查一位同学，他的数学和物理分数均为优秀的概率是多少？②根据上表数据，用变量y与x的相关系数说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱，如果有较强的线性相关关系，求y与x之间线性相关关系的强弱.如果有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关关系，说明理由.的极坐标方程；，写出圆轴为极轴建立极坐标系为极点，）以坐标原点（为参数，，直线为参数：已知圆C x O t t y t x l y x C +≤≤⎩⎨⎧==⎩⎨⎧+=+=1).0(,sin ,cos :)(,sin 21,cos 21.22παααθθθ .||1|OA |1,)2(的最大值两点，求交于与圆若直线OB BA Cl + 3|13|.23<-n n 满足不等式已知正整数的值；求n )1( 4log log log log ,,,,)2()1(2)1()1(2)1(22≥+++=++++d c b a d c b a n abcd 都是正数，求证：且若2017年数学三模答案（理科）一、 选择题二、 填空题13.偶函数 14.64 15. 16.19. （1）因为，所以……2分又所以……4分又，所以……6分（2）以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系.由题意……7分平面的法向量为。
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2020届东北三省三校2017级高三下学期三模考试
数学（理）试卷
★祝考试顺利★
(解析版)
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集U =R ,集合{|(1)(3)0}A x x x =--≥,11|24x B x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
.则集合()U A B 等于（ ）
A. (1,2)
B. (2,3]
C. (1,3)
D. (2,3) 【答案】A
【解析】
先算出集合
U A ,再与集合B 求交集即可. 【详解】因为{|3A x x =≥或1}x ≤.所以
{|13}U A x x =<<,又因为{}|24{|2}x B x x x =<=<. 所以(){|12}U A B x x ⋂=<<.
故选：A .
2. 设复数z 满足
i (i i 2i z z -=-为虚数单位),则z =（ ） A. 13i 22
- B. 13i 22+ C. 13i 22-- D. 13i 22-+ 【答案】B
【解析】 易得2i 1i
z +=-,分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】由已知,i i 2z z -=+,所以2i (2i)(1i)13i 13i 1i 2222
z ++++=
===+-. 故选：B. 3. 用电脑每次可以从区间(0,3)内自动生成一个实数,且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数,则这3个实数都小于1的概率为（ ）
A. 427
B. 13
C. 127
D. 19
【答案】C
【解析】
由几何概型的概率计算,知每次生成一个实数小于1的概率为13
,结合独立事件发生的概率计算即可.
【详解】∵每次生成一个实数小于1的概率为13.∴这3个实数都小于1的概率为3
11327⎛⎫= ⎪⎝⎭
. 故选：C.
4. 如图所示是某年第一季度五省GDP 情况图,则下列说法中不正确的是（ ）
A. 该年第一季度GDP 增速由高到低排位第3的是山东省
B. 与去年同期相比,该年第一季度的GDP 总量实现了增长
C. 该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个
D. 去年同期浙江省的GDP 总量超过了4500亿元
【答案】D
【解析】
根据折线图、柱形图的性质,对选项逐一判断即可.
【详解】由折线图可知A 、B 项均正确,该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的
省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C 项正确；4632.1(1 3.3%)44844500÷+≈<. 故D 项不正确.
故选：D.
5. 已知α为锐角,322sin αα=,则cos2α等于（ ）。