高三数学一轮复习 8 解三角形应用举例学案 文(无答案)
2024年高考数学一轮复习第三章第八讲解三角形应用举例课件
A.75 10 m C.150 m
图 3-8-2
B.75 7 m D.75 2 m
解析：依题意，在 Rt△MAC 中，AC＝60，tan ∠MCA＝43， 则 cos ∠MCA＝45，CM＝cos ∠ACMCA＝640＝75；
5 在 Rt△BCN 中，BC＝70 3，cos ∠NCB＝1145，
术语名称
术语意义
在目标视线与水平视线所成的角
仰角与 中，目标视线在水平视线上方的叫 俯角 做仰角，目标视线在水平视线下方
的叫做俯角
图形表示
(续表) 术语名称
术语意义
从某点的指北方向线起按顺时针方向 方位角 到目标方向线之间的夹角叫做方位角
.方位角θ的范围是0°≤θ<360°
图形表示
(续表) 术语名称
6
6 000 000
＝ 2
22，
又 0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，
所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角∠CAD 为 45°.故选 B.
答案：B
⊙解三角形中的综合问题
[例 4]在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A＝π4，b sin 4π＋C－c sin 4π＋B＝a.
所以由正弦定理得12(
6＋ 1
2)＝CM，故 2
CM＝24(
3＋1).
2
2
所以在 Rt△CDM 中，sin 60°＝CCMD，
故 CD＝CM·sin 60°＝24×( 3＋1)× 23＝12×(3＋ 3)≈57.
故选 D.
答案：D
考点三 测量角度问题 [例 3]在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北 偏东 45°方向，相距 12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每 小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75°方向前进，若红方侦察艇以每 小时 14 n mile 的速度，沿北偏东 45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若 要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦 值.
高三数学一轮复习 第八节 解三角形教案 新人教版
第８课 解三角形【考点导读】1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化． 【基础练习】1．在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝.2．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8AB C =，则B ∠的大小是______________. 3．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB4．在△ABC 中，若22tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形． 5．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为 ． 6．△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边.如果a ，b ，c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23【范例解析】例1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，已知20a c +=，2C A =，3cos 4A =． （1）求ca的值；（2）求b 的值． 分析：利用2C A =转化为边的关系．解：（1）由sin sin 232cos sin sin 2c C A A a A A ====．（2）由20,3.2a c c a +=⎧⎪⎨=⎪⎩得8,12.a c =⎧⎨=⎩．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得： 218800b b -+=，解得：8b =或10b =， 若8b =，则A B =，得4A π=，即3cos 4A =≠矛盾，故10b =． 点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论．例2.在三角形ABC 中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，试判断该三角形的形状．分析一：边化角解法一：由已知得：22[sin()sin()][sin()sin()]a A B A B b A B A B --+=---+，π2331+化简得222cos sin 2cos sin a A B b B A =，由正弦定理得：22sin cos sin sin cos sin A A B B B A =， 即sin sin (sin cos sin cos )0A B A A B B -=，又,(0,)A B π∈，sin sin 0A B ∴⋅≠，sin 2sin 2A B ∴=．又2,2(0,2)A B π∈，22A B ∴=或22A B π=-，即该三角形为等腰三角形或直角三角形． 分析二：角化边解法二：同解法一得：222cos sin 2cos sin a A B b B A =，由正余弦定理得：2222222222b c a a c b a b b a bc ac+-+-=，整理得：22222()()0a b c a b ---=，即a b =或222c a b =+，即该三角形为等腰三角形或直角三角形． 点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状．例3.如图，已知△ABC 是边长为1的正三角形，M ，N 分别是边AB 、AC 上的点， 线段MN 经过△ABC 的中心G ，设∠MGA ＝α（233ππα≤≤）． （1）试将△AGM 、△AGN 的面积（分别记为S 1与S 2）表示为α的函数； （2）求221211y S S =+的最大值与最小值． 分析：利用正弦定理建立目标函数． 解：（1）因为G 是边长为1的正三角形ABC 的中心， 所以AG ＝23，∠MAG ＝6π，由正弦定理GM GA sin sin 66πππα＝（－－）得GM 6sin 6πα＝（＋） 则S 1＝12GM •GA •sin α＝sin 12sin 6απα（＋），同理可求得S 2＝sin 12sin 6απα（－）．（2）221211y S S =+＝222144sin sin sin 66ππααα〔（＋）＋（－）〕＝72（3＋22cos sin αα） 因为233ππα≤≤，所以当α＝3π或α＝23π时，y 取得最大值y max ＝240；当α＝2π时，y 取得最小值y min ＝216． 点评：本题关键是选取变量，建立目标函数，根据目标函数求最值．AB CNMGαD例3例4.如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AB =AD ，记∠CAD =α，∠ABC =β. （1）证明：sin cos 20αβ+=； （2）若AC，求β．分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系. （1）证明：C βα=+，2C B π=-，22πβα∴=+，（2）解：AC，2sin 2βαββ∴===.(0,)2πβ∈，sin 2β∴=，3πβ∴=. 点评：本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出β的值.【反馈演练】 1．在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 则BC =_____________． 2．ABC ∆的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且2c a =，则cos B =_____．3．已知ABC ∆顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，．若A ∠是钝角，则c 的取值范围 ___________ ． 4．已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为 ．5．在ABC ∆中，若2a b c =+，2sin sin sin A B C =，则∆的形状是____等边___三角形．6．若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A += ．7． ABC ∆的三个内角为A B C 、、，则cos 2cos2B CA ++的最大值为 ． 8．在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断： ①tan 1tan AB= ；② 1sin sin A B <+≤③ 1cos sin 22=+B A ； ④ C B A 222sin cos cos =+．其中正确的序号有______②④_____．9．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，给出下列结论：①111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形；②111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形；BDCαβ A例433- 3425(,)3+∞ 32③111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形； ④111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形． 其中，正确结论的序号有____④_____． 10．在ABC ∆中，已知2AC =，3BC =，4cos 5A =-． （Ⅰ）求sinB 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 解：（Ⅰ）在ABC ∆中，3sin 5A ===，由正弦定理，sin sin BC AC A B =．所以232sin sin 355AC B A BC ==⨯=．（Ⅱ）因为4cos 5A =-，所以角A 为钝角，从而角B 为锐角，于是cos 5B ===，2217cos 22cos 12()1525B B =-=⨯-=，2sin 22sin cos 25525B B B ==⨯⨯=．sin 2sin 2cos cos 2sin 666B B B πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭171252=+⨯= 11．在ABC ∆中，已知内角A π=3，边BC =．设内角B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值． 解：（1）ABC ∆的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3．应用正弦定理，知sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===3，2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭． 因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<<⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin cos sin 2y x x x ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪2⎝⎭5x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y取得最大值 12．在ABC ∆中，1tan 4A =，3tan 5B =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆，求最小边的边长．解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯．又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）34C =π，AB ∴边最大，即AB =．又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭，，，，∴角A 最小，BC 边为最小边．由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin A =sin sin AB BC C A =得：sin 2sin A BC AB C== 所以，最小边BC =。
高三数学大一轮复习 解三角形应用举例教案 理
城东蜊市阳光实验学校§解三角形应用举例2021高考会这样考考察利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中和三角形有关的角度、方向、间隔等测量问题．复习备考要这样做1.会从实际问题抽象中解三角形问题，培养建模才能；2.掌握解三角形实际应用的根本方法，体会数学在实际问题中的应用．1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量间隔问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目的线在同一铅垂平面内的程度视线和目的视线的夹角，目的视线在程度视线上方叫仰角，目的视线在程度视线下方叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的程度角，如南偏东30°，北偏西45°等．(3)方位角指从正北方向顺时针转到目的方向线的程度角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与程度面所成的二面角的正切值．3．解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或者者余弦定理求解．(4)将三角形问题复原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．[难点正本疑点清源]解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或者者余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，量与未知量涉及到两个或者者两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．1．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，那么∠BAC＝________.答案130°解析由∠BAD＝60°，∠CAD＝70°，∴∠BAC＝60°＋70°＝130°.2．(2021·)在相距2千米的A，B两点处测量目的C，假设∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，那么A，C两点之间的间隔是__________千米．答案解析如下列图，由题意知∠C＝45°，由正弦定理得＝，∴AC＝·＝.3．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，那么两条船相距________m.答案10解析如图，OA为炮台，M、N为两条船的位置，∠AMO＝45°，∠ANO＝60°，OM＝AOtan45°＝30，ON＝AOtan30°＝×30＝10，由余弦定理得，MN＝＝＝10(m)．4．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，那么山的高度BC为____________m.答案500(＋1)解析过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°.于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°.又∠BAD＝45°－30°＝15°，故∠ABD＝15°，由正弦定理得AB＝＝＝500(＋)(m)．所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin45°＝500(＋1)(m)．5．两座A和B与海岸观察站C的间隔相等，A在观察站北偏东40°，B在观察站南偏东60°，那么A在B 的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°答案B解析A、B的相对位置如下列图，由得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CB A＝50°，那么α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.题型一测量间隔问题例1要测量对岸A、B两点之间的间隔，选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的间隔．思维启迪：将题中间隔、角度转化到一个三角形中，再利用正、余弦定理解三角形．解如下列图，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝＝.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝()2＋2－2×××cos75°＝3＋2＋－＝5，∴AB＝(km)，∴A、B之间的间隔为km.探究进步这类实际应用题，本质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．假设此人步行的速度为每分钟50米，那么该扇形的半径为________米．答案50解析连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×＝17500，解得OC＝50(米)．题型二测量高度问题例2某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，假设沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．思维启迪：依题意画图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40米，此时∠DBF＝45°，从C到D沿途测塔的仰角，只有B到测试点的间隔最短时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB＝，AB为定值，BE最小时，仰角最大．要求出塔高AB，必须先求BE，而要求BE，需先求BD(或者者BC)．解如下列图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40，此时∠DBF＝45°，过点B作BE⊥CD于E，那么∠AEB＝30°，在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理，得＝，∴BD＝＝20(米)．∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.在Rt△BED中，BE＝DBsin15°＝20×＝10(－1)(米)．在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，∴AB＝BEtan30°＝(3－)(米)．故所求的塔高为(3－)米．探究进步在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进展求解．注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识．如下列图，B，C，D三点在地面的同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为β和α(α<β)，那么A点距地面的高AB为_______________．答案解析AB＝ACsinβ，＝＝，解得AB＝.题型三测量角度问题例3某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处得悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，间隔为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9nmile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间是是．思维启迪：此题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间是是相等，先设出所用时间是是t，找出等量关系，然后解三角形．解如下列图，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间是是为th，并在B处与渔轮相遇，那么AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，所以212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×，即360t2－90t－100＝0，解得t＝或者者t＝－(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间是是为h．此时AB＝14，BC＝6.在△ABC中，根据正弦定理得＝，所以sin∠CAB＝＝，即∠CAB≈2°或者者∠CAB≈15°(舍去)．即舰艇航行的方位角为45°＋2°＝6°.所以舰艇以6°的方位角航行，需h才能靠近渔轮．探究进步对于和航行有关的问题，要抓住时间是是和路程两个关键量，解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件．如下列图，位于A处的信息中心得悉：在其正向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，那么cosθ等于()A. B. C. D.答案B解析如下列图，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，所以BC＝20.由正弦定理，得sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝.故cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝.正、余弦定理在实际问题中的应用典例：(12分)如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间是是．审题视角(1)分清条件和未知条件(待求)．(2)将问题集中到一个三角形中，如△ABC和△BCD.(3)利用正弦定理或者者余弦定理求解．标准解答解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，那么CD＝10t(海里)，BD＝10t(海里)，[1分]在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝(－1)2＋22－2(－1)·2·cos120°＝6.∴BC＝(海里)．[3分]又∵＝，∴sin∠ABC＝＝＝，∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，[5分]在△BCD中，由正弦定理，得＝，∴sin∠BCD＝＝＝.∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．[8分]又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝.∴t＝小时≈15(分钟)．[11分]∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．[12分]答题模板解斜三角形应用题的一般步骤为第一步：分析——理解题意，分清与未知，画出示意图；第二步：建模——根据条件与求解目的，把量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；第三步：求解——利用正弦定理或者者余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；第四步：检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．温馨提醒(1)由实际出发，构建数学模型是解应用题的根本思路．假设涉及三角形问题，我们可以把它抽象为解三角形问题进展解答，之后再复原成实际问题，即利用上述模板答题．(2)此题的易错点：不能将和待求量转化到同一个三角形中，无法运用正、余弦定理求解.方法与技巧1．合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型．2．把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值．3．合理运用换元法、代入法解决实际问题．失误与防范在解实际问题时，应正确理解如下角的含义．1．方向角——从指定方向线到目的方向线的程度角．2．方位角——从正北方向线顺时针到目的方向线的程度角．3．坡度——坡面与程度面所成的二面角的正切值．4．仰角与俯角——与目的视线在同一铅直平面内的程度视线和目的视线的夹角，目的视线在程度视线上方时称为仰角，目的视线在程度视线下方时称为俯角．A组专项根底训练(时间是是：35分钟，满分是是：57分)一、选择题(每一小题5分，一一共20分)1．假设在测量中，某渠道斜坡的坡度为，设α为坡角，那么cosα等于()A. B. C. D.答案B解析因为tanα＝，所以cosα＝.2．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，那么斜坡长为() A．1 B．2sin10°C．2cos10°D．cos20°答案C解析如图，∠ABC＝20°，AB＝1，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.在△ABD中，由正弦定理得＝，∴AD＝AB·＝＝2cos10°.3．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，那么水柱的高度是()A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m答案A解析设水柱高度是hm，水柱底端为C，那么在△ABC中，∠A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.4.如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的间隔为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的间隔为()A．50m B．50mC．25m D.m答案A解析∵∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，∴∠ABC＝180°－105°－45°＝30°.在△ABC中，由正弦定理得＝，∴AB＝＝＝50(m)．二、填空题(每一小题5分，一一共15分)5．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，那么甲、乙两楼的高分别是________________．答案203米、米解析如图，依题意有甲楼的高度为AB＝20·tan60°＝20(米)，又CM＝DB＝20(米)，∠C AM＝60°，所以AM＝CM·＝(米)，故乙楼的高度为CD＝20－＝(米)．6．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到B处，看到这个在北偏东15°方向，这时船与的间隔为______km.答案30解析如下列图，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得＝，解得BM＝30(km)．7.如图，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，那么BC的长为________．答案8解析在△ABD中，设BD＝x，那么BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即142＝x2＋102－2·10x·cos60°，整理得x2－10x－96＝0，解之得x1＝16，x2＝－6(舍去)．在△BCD中，由正弦定理：＝，∴BC＝·sin30°＝8.三、解答题(一一共22分)8．(10分)如下列图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一程度面内的两个观测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30 m，并在点C处测得塔顶A的仰角为60°，求塔高AB.解在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理，得＝，所以BC＝＝15(m)．在Rt△ABC中，AB＝BC·tan∠ACB＝15tan60°＝15(m)．所以塔高AB为15 6 m.9．(12分)如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．解在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得cos∠ADC＝＝＝－，∴∠ADC＝120°，∴∠ADB＝60°.在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得＝，∴AB＝＝＝＝5.B组专项才能提升(时间是是：25分钟，满分是是：43分)一、选择题(每一小题5分，一一共15分)1．在△ABC中，∠A＝45°，AB＝，BC＝2，那么∠C等于()A．30°B．60°C．120°D．30°或者者150°答案A解析利用正弦定理可得＝，∴sinC＝，∴∠C＝30°或者者150°.又∵∠A＝45°，且∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠C＝30°，应选A.2．某人向正向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是km，那么x的值是()A. B．2C.或者者2 D．3答案C解析如下列图，设此人从A出发，那么AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，由余弦定理得()2＝x2＋32－2x·3·cos30°，整理，得x2－3x＋6＝0，解得x＝或者者2.3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座，海轮在A处观察，其方向是南偏东70°，在B处观察，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的间隔是()A．10海里B．10海里C．20海里D．20海里答案A解析如图，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．二、填空题(每一小题5分，一一共15分)4．一船由B处向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个C、D恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后到达A处，看见C在它的南偏西60°方向，D在它的南偏西75°方向，那么这艘船的速度是______海里/小时．答案10解析如下列图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是＝10(海里/小时)．5．某路边一树干被大风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，那么折断点与树干底部的间隔是__________米．答案解析如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，那么∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，∴∠OAB＝60°.由正弦定理知，＝，∴AO＝(米)．6．在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝DC，∠ADB＝120°，AD＝2.假设△ADC的面积为3－，那么∠BAC＝_____.答案60°解析S△ADC＝×2×DC×＝3－，解得DC＝2(－1)，∴BD＝－1，BC＝3(－1)．在△ABD中，AB2＝4＋(－1)2－2×2×(－1)×cos120°＝6，∴AB＝.在△ACD中，AC2＝4＋[2(－1)]2－2×2×2(－1)×cos60°＝24－12，∴AC＝(－1)，那么cos∠BAC＝＝，∴∠BAC＝60°.三、解答题7．(13分)如图，A、B、C、D都在同一个与程度面垂直的平面内，B、D 为两岛上的两座的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.试探究图中B、D间间隔与另外哪两点间间隔相等，然后求B、D的间隔(计算结果准确到0.01 km，≈14，≈49)．解在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.在△ABC中，＝，所以AB＝＝，即BD＝≈0.33(km)．故B、D的间隔约为0.33 km.。
2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形第8讲解三角形的应用举例课件文
【解析】 由题可得，在△ABC 中， AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos ∠ACB， 所以 AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000. 所以 AB＝200 7 m．即 A，B 两点间的距离为 200 7 m.
【答案】 200 7
角度三 两点间可视但有一点不可到达 如图所示，A，B 两点在一条河的两
在某次测量中，在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰角是
60°，C 点的俯角为 70°，则∠BAC 等于( )
A．10°
B．50°
C．120°
D．130°
答案：D
若点 A 在点 C 的北偏东 30°，点 B 在点 C 的南偏东 60°，且
．11.4 km C．6.5 km
B．6.6 km D．5.6 km
解析：选 B．因为 AB＝1 000×610＝530(km)． 所以 BC＝sinAB45°·sin 30°＝3502(km)． 所以航线离山顶 h＝3502×sin 75° ＝3502×sin(45°＋30°)≈11.4(km)． 所以山高为 18－11.4＝6.6(km)．
[典例引领]
角度一 两点都不可到达
如图，A，B 两点在河的同侧，且 A，
B 两点均不可到达，要测出 A，B 的距离，
测量者可以在河岸边选定两点 C，D，测
得 CD＝a，同时在 C，D 两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，
∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC 和△BDC 中，由正弦定理分
别计算出 AC 和 BC，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出 AB．
岸，测量者在 A 的同侧，且 B 点不可到达， 要测出 A，B 的距离，其方法为：在 A 所在 的岸边选定一点 C，可以测出 A，C 的距离 m，再借助仪器，测 出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以
高考数学一轮复习 第三章 三角函数与解三角形 第8讲 解三角形应用举例课件 理
答案(dá àn)：150
第二十一页，共三十六页。
【规律方法】(1)测量高度时，要准确理解(lǐjiě)仰角、俯角的 概念(gàiniàn).
(2)分清(fēn qīng)已知量和待求量，分析(画出)示意图，明确在哪个 三角形内运用正弦或余弦定理.
答案(dá àn)：C
图 D25
第十一页，共三十六页。
考点(kǎo d测iǎn量) (cèliáng)问题 考向 1 测量(cèliáng)距离问题 例 1：某沿海四个城市 A，B，C，D 的位置如图3-8-3所示，
其中∠ABC＝60°，∠BCD＝135°，AB＝80 nmile，BC＝40＋ 30 3 nmile，CD＝250 6 nmile.现在有一艘轮船从 A 出发以
62⇒x＝100.
答案(dá àn)：100
第十四页，共三十六页。
【规律(guīlǜ)方法】(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在
有关的三角形中，建立一个(yī ɡè)解三角形的模型.
(2)利用正弦、余弦定理解出所需要(xūyào)的边和角，求得该数学 模型的解.
第十五页，共三十六页。
【互动(hù dònɡ)探究】
第二十二页，共三十六页。
【互动探究(tànjiū)】
2.在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分
400 别是(biéshì) 30°，60°，则塔高为_____3___m.
解析：如图 D26，由已知，可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°. ∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°.∴AD＝CD.
高考数学一轮复习 第三章 三角函数与解三角形 第8讲 解三角形应用举例课时作业 理
第8讲解三角形应用举例1．某人向正东方向走x km后，顺时针转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 3 km，则x＝( )A. 3 B．2 3C．2 3或 3 D．32．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°的方向，灯塔B在观察站C的南偏东40°的方向，则灯塔A与灯塔B的距离为( ) A．a km B.2a km C．2a km D.3a km3．如图X381，一艘海轮从A处出发，以40海里/时的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )图X381A．10 2海里B．10 3海里C．20 2海里D．20 3海里4．(2014年四川)如图X382，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)图X3825．(2016年河南信阳模拟)某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是________分钟．6．(2017年浙江)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.7．(2016年上海)已知△ABC 的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________．8．(2017年广东揭阳一模)如图X383，在△ABC 中，∠B ＝π6，AC ＝1，点D 在边AB上，且DA ＝DC ，BD ＝1，则∠DCA ＝________.图X3839．(2017年新课标Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．10．(2017年广东广州一模)如图X384，在△ABC 中， 点P 在BC 边上， ∠PAC ＝60°，PC ＝2，AP ＋AC ＝4.(1)求∠ACP ； (2)若△APB 的面积是332， 求sin ∠BAP .图X384第8讲 解三角形应用举例1．C 解析：如图D105，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝3，∠ABC ＝30°.由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC .∴3＝x 2＋9－6x ·cos 30°，解得x ＝3或23.图D105 图D1062．D 解析：如图D106，依题意，得∠ACB ＝120°.由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°＝a 2＋a 2－2a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴AB ＝3a km.故选D. 3．A 解析：在△ABC 中，∠BAC ＝50°－20°＝30°，∠ABC ＝40°＋65°＝105°，AB ＝40×0.5＝20(海里)，则∠ACB ＝45°.由正弦定理，得BCsin 30°＝20sin 45°.解得BC ＝102(海里)．故选A.4．60 解析：根据已知的图形可得AB ＝46sin 67°.在△ABC 中，∠BCA ＝30°，∠BAC ＝37°，由正弦定理，得AB sin 30°＝BCsin 37°.所以BC ≈2×460.92×0.60＝60(m)．5．40 解析：设两船在B 处碰头，设舰艇到达渔船的最短时间是x 小时，则AC ＝10，AB ＝21x ，BC ＝9x ，∠ACB ＝120°，由余弦定理，知(21x )2＝100＋(9x )2－2×10×9x ×cos120°，整理，得36x 2－9x －10＝0.解得x ＝23或x ＝－512(舍)．故舰艇到达渔船的最短时间是40分钟．6.152104解析：取BC 中点E ，DC 中点F ，连接AE ，BF .由题意知AE ⊥BC ，BF ⊥CD .在△ABE 中，cos ∠ABC ＝BEAB ＝14，∴cos ∠DBC ＝－14，sin ∠DBC ＝1－116＝154.∴S △BDC ＝12×BD ×BC ×sin ∠DBC ＝152.∴cos ∠DBC ＝1－2sin 2∠DBF ＝－14.∴sin ∠DBF ＝104. ∴cos ∠BDC ＝sin ∠DBF ＝104.综上所述，△BDC 的面积为152，cos ∠BDC ＝104. 7.7 33 解析：利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为32＋52－722×3×5＝－12，所以此角的正弦值为32.设外接圆半径为R ，则2R ＝732.所以R ＝7 33. 8.π3或π9 解析：方法一，设∠A ＝∠ACD ＝θ，0<θ<π2，则∠ADC ＝π－2θ，又AC ＝1，由正弦定理，得AC sin 2θ＝CD sin θ⇒CD ＝12cos θ.在△BDC 中，由正弦定理，得CD sin B ＝BDsin ∠BCD⇒12cos θsin π6＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2θ⇒cos θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2θ⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2θ，由0<θ<π2⇒0<π2－θ<π2，－π6<5π6－2θ<5π6，得π2－θ＝5π6－2θ或π2－θ＋5π6－2θ＝π⇒θ＝π3或π9.⎣⎢⎡或cos θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2θ⇒cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3⇒2θ－⎦⎥⎤π3＝±θ⇒θ＝π3或π9 方法二，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，设∠A ＝∠ACD ＝θ，则∠CDB ＝2θ.在Rt △AEC 中，CE ＝sin θ.在Rt △CED 中，DE ＝－CE tan 2θ＝－sin θtan 2θ.在Rt △CEB 中，BE ＝CEtanπ6＝3sin θ.由BD ＝1，得sin θtan 2θ＋3sin θ＝1⇒sin θcos 2θ＋3sin θ·sin 2θ＝sin 2θ⇒cos 2θ＋3sin 2θ＝2cos θ⇒cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3⇒2θ－π3＝±θ⇒θ＝π3或π9.9．解：(1)由sin A ＋3cos A ＝0，得tan A ＝－ 3.所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理，得 28＝4＋c 2－4c cos2π3，即c 2＋2c －24＝0. 解得c ＝－6 (舍去)，c ＝4. (2)由题设可得∠CAD ＝π2.所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6.所以S △ABD S △ACD ＝12AB ·AD ·sinπ612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2×sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为3.10．解：(1)在△APC 中， 因为∠PAC ＝60°，PC ＝2，AP ＋AC ＝4， 由余弦定理，得PC 2＝AP 2＋AC 2－2·AP ·AC ·cos ∠PAC . 所以22＝AP 2＋(4－AP )2－2·AP ·(4－AP )·cos 60°. 整理，得AP 2－4AP ＋4＝0. 解得AP ＝2.所以AC ＝2. 所以△APC 是等边三角形． 所以∠ACP ＝60°.(2)方法一，由于∠APB 是△APC 的外角， 所以∠APB ＝120°. 因为△APB 的面积是332，所以12·AP ·PB ·sin ∠APB ＝3 32.所以PB ＝3. 在△APB 中，AB 2＝AP 2＋PB 2－2·AP ·PB ·cos ∠APB＝22＋32－2×2×3×cos 120°＝19, 所以AB ＝19.在△APB 中， 由正弦定理，得AB sin ∠APB ＝PBsin ∠BAP .所以sin ∠BAP ＝3sin 120°19＝35738.方法二，如图D107，作AD ⊥BC, 垂足为点D .图D107因为△APC 是边长为2的等边三角形， 所以PD ＝1，AD ＝3，∠PAD ＝30°.因为△APB 的面积是332， 所以12·AD ·PB ＝3 32. 所以PB ＝3.所以BD ＝4. 在Rt △ADB 中， AB ＝BD 2＋AD 2＝19，所以sin ∠BAD ＝BD AB＝419， cos ∠BAD ＝ADAB ＝319.所以sin ∠BAP ＝sin(∠BAD －30°) ＝sin ∠BAD cos 30°－cos ∠BAD sin 30° ＝419×32－319×12 ＝35738.。
高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例(1)学案(无答案)新人教A版必修5(2021年整理)
广西南宁市高中数学第一章解三角形1.2 应用举例（1）学案（无答案）新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（广西南宁市高中数学第一章解三角形1.2 应用举例（1）学案（无答案）新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为广西南宁市高中数学第一章解三角形1.2 应用举例（1）学案（无答案）新人教A版必修5的全部内容。
1.2应用举例（一）知识点一测量距离问题1．基线(1)定义：在测量上,根据测量需要适当确定的线段叫作________．（2)性质:在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度,使测量具有较高的精确度．一般来说,基线越长，测量的精确度________．2．测量距离的基本类型及求解的方法类型两点间不可通达的距离两点间可视不可到达的距离两个不可到达的点之间的距离图形方法余弦定理正弦定理先用正弦定理，再用余弦定理知识点二与测量角度有关的概念1．水平距离、垂直距离、坡面距离：如图1.2。
1，BC代表__________，AC代表__________,AB 代表__________．图1。
2.1 图1 2.22．坡度、坡角：如图1。
22,把坡面的____________和__________的比叫作坡度（或叫作坡比），用字母i表示，即i＝错误!，坡度一般写成h∶l的形式．如i＝1∶4即i＝错误!.坡面与水平面的夹角α叫作坡角,坡角与坡度之间有如下关系：____________.3．与测长度相关的角的概念考点一测量两点间的距离问题例1 如图1.2。
3,设A，B两点在河的两岸，要测量A，B两点的距离，先在岸边取基线AC,测得AC＝120 m，∠BAC＝45°，∠BCA＝75°,求A,B两点间的距离．图1.23[小结]平面上测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题,一般在可到达的点一侧再找一个点，测出两点距离和不可到达的点与这两点的连线的夹角，即可用正弦定理求出距离;若两点皆可到达,则可测量两边及其夹角，利用余弦定理求解．考点二测量不可到达两点之间的距离问题例2如图125所示,在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，选取两个相距为错误!的军事基地C和D,测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处,且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°,∠DCA＝60°，∠ACB＝45°。
高中数学第一章解三角形1.2应用举例(一)距离问题学案(无答案)新人教A版必修5
高中数学第一章解三角形1.2应用举例（一）距离问题学案（无答案）新人教A 版必修5一、学习任务：利用解决实际中有关距离、高度、角度的测量问题。
1、巩固正弦定理、余弦定理等知识。
2、利用正弦、余弦定理等知识求解实际中有关距离问题。
二、预习任务：（查资料完成并记住）1、 方位角：2、 方向角：3、 仰角与俯角：4、 坡比和坡角：三、回顾正、余弦定理公式及变式：1、正弦定理公式：2余弦定理公式：四、自主探究(一)、测量距离问题问题1、（1）测量从一个可到达的点A 到一个不可到达的点B 之间的距离问题。
如图所示：(11页图)这实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，应怎样计算？例如：课本例1.中AC=8cm ，∠BAC=30︒，∠ACB=45︒求A 、B 两点的距离？（2）若A 、B 不能直达之间用一座山隔着，A 、B 、C 都可到达（如图）我们需要测得哪些量就可求出AB 的长？若AD 、BE 的长已知了，如何求出DE=? (这实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题)。
例1.中变式：AC=8cm ，∠BAC=30︒，∠ACB=45︒AD=DE=1 cm ，求D 、,E 两点的距离？问题2、测量两个不可到达的点A 、B 之间的距离问题。
如图所示：(12页上图)首先把不可到达的两点A 、B 之间的距离转化为应用正、余弦定理求三角形边长问题，然后把未知的BC 和AC 的距离问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题。
例2、（课本11页例2、）变式训练1、在一次反恐作战准备中，为了弄清基地组织两个训练营地A 和B 之间的距离，盟军在两个相距为a 23的观测点C 和D 处，测得∠ADB=30︒,∠BDC=30︒,∠DCA=60︒，∠ACB=45︒，求基地组织的这两个训练营地之间的距离。
变式训练2、隔河看两目标A,B,但不能到达，在岸边选取相距3km 的C 、D 两点，并测得∠ACB=75︒，∠BCD=45︒,∠ADC=30︒,∠ADB=45︒,(A 、B 、C 、D 在同一平面内)，求两目标A ，B 之间的距离？五、巩固训练1、 已知A 、B 两地相距10km ，B 、C 两地相距20km ，且∠ABC=120︒，则A 、C 两地相距_______。
高考数学一轮复习第三章第八节解三角形的应用课时作业文(含解析)
解析：由题意，/ ACB= 180°— 75°— 60°= 45由正弦定理得ACsin 60AB sin 45 ° ,2所以 AC= sin 45-sin 60 ° = 6(km).第八节 解三角形的应用题号1234567答案1. (2013 •绍兴模拟)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°,现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为()解析：如图，/ ABC= 20°, AB= 1，/ ADC= 10 •••/ ABD= 160°.答案：C2•如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 ( )A.锐角三角形 B •直角三角形 C.钝角三角形D •由增加的长度决定解析：设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ,且c 2=a 2 +b 2, a + b>c.新的三角形的三边长为a + x 、b + x 、c + x ,知c + x 为最大边，其对应角最大.而(a + x) + (b + x) — (c + x) = x + 2(a + b - c)x>0 ,由余弦定理知新的三角形的最大角 的余弦值为正，则为锐角，那么它为锐角三角形.____________答案：A3. 在相距2 km 的A 、B 两点处测量目标 C ,若/ CAB= 75°,/ CBA= 60°,贝U A 、C 两 点之间的距离是()A. 2工：3 km B . 3 2 km C. , 6 km D . 3 , 3 kmA. 1 B . 2sin 10C . 2cos 10 °D . cos 20在厶ABD 中，由正弦定理得 AD sin 160AB sin 10• AD= AB-sin 160 sin 20 sin 10sin 10=2cos 10.故选C 项.J答案：C4. 甲船在岛 B 的正南方A 处，AB= 10 km ，甲船以4 km/h 的速度向正北航行，同时乙 船自B 出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航 行的时间是（）C. 21.5分钟D . 2.15分钟解析：t 小时后，甲、乙两船的距离为 s ,2 2 2s = (6t)+ (10 — 4t) — 2X 6t X (10 — 4t)cos 120=28t 2— 20t + 100.20 5 5 150•••当t = 2X 28 = 14（小时）=14X 60= 7 （分钟）时，甲、乙两船的距离最近.故选 A.答案：A5. 某人在C 点测得某塔在南偏西 80°,塔顶仰角为45°,此人沿南偏东40°方向前进 10 m 到D,测得塔顶A 的仰角为30°,则塔高为()A. 15 m B . 5 m C . 10 m D . 12 m解析：如图，设塔高为 h ,在Rt △ AOC 中，/ AC(= 45°,贝U OC= OA= h.在Rt △ AOD 中， /ADO= 30°,贝U OD- 3h ,在厶 OCD 中，/ OC = 120°, CD = 10,由余弦定理得： OD = O C + CD — 2 OC - CDcosZ OCD 即 卩(W h)2= h 2 + 102— 2h X 10X cos 120 °,；h 2— 5 h — 50= 0，解 得 h = 10或 h =— 5(舍).答案：C6 .如图所示，为了测量某障碍物两侧 据，不能确定 A , B 间距离的是（）A.a, a , b B . a,3, a C. a , b , Y D . a,3, bA.罟分钟B. 弓分钟A ,B 间的距离，给定下列四组数解析：选项B 中由正弦定理可求 b ,再由余弦定理可确定 AB.选项C 中可由余弦定理确定AB•选项D同B类似.答案：A7. （2014 •济南模拟）如图，设A B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,/ACB= 45°,/ CAB= 105°后，就可以计算出A, B两点间的距离为（） A. 50 '2 m B . 50 mC. 25 .''2 mD.筈2m解析：因为/ ACB= 45°, / CAB= 105°ACAB中，由正弦定理，得sin / CBA= sin / ACBAB= 50 2(m)，故选A.答案：AC对于山坡的斜度为15°, &如图，在斜度一定的山坡上一点A测得山顶上一建筑物顶端向山顶前进100 m后，又从点B测得斜度为45 °,假设建筑物高50 m，设山对于地平面的斜度为B,则cos 0 =解析：在厶ABC 中，AB = 100 m , / CAB= 15°,/ ACB= 45°- 15°= 30°,由正弦定理得• 30 ° = i BC ° ,sin 30 sin 15••• BC= 200sin 15在厶DBC 中，CD= 50 m,/ CB= 45°,/ CD= 90°+0,50 200sin 15由正弦定理知，sin 45 ° = sin (90°+0)，解得cos 0= 3 - 1.o答案：3- 19.如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上,在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°,且第一排和最后一排的距离为10 ..'6 m,旗杆解析：设旗杆高为h 米，最后一排为点A,第一排为点B 旗杆顶端为点C,则BO sin 60o所以炮兵阵地到目标的距离为 42 km..在厶 ABC 中，AB= 10 6，/ CAB= 45°,/ ABC = 105°,所以/ ACB= 30°，由正弦定最后一排/" A第一排答案：3010.某炮兵阵地位于地面 A 处，两观察所分别位于地面 C 和D 处，已知CD= 6 km, / ACD =45°,/ ADC= 75。
第8节解三角形的实际应用--2025北师大版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)
坡比
之比叫坡比,即i= l =tan θ
所谓解三角形,就是已知三角形的几个元素(边或角)求其余元素的过程
2.解三角形实际应用题的步骤
微点拨要厘清各种角的含义,尤其是方位角和方向角,解题中出现较多的是
方向角.
自主诊断
题组一基础自测
1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”).
图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面
上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为
15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面
A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(
B 正确;在 Rt△BCD 中,因为∠
BDC=45°,∠BCD=90°,所以 BD=√2CD=30√2 ≠30√3(海里),故 D 错误;在△
ABD 中,由余弦定理得 AB= 2 + 2 -2·cos∠ =
450 + 1 800-2 × 15√2 × 30√2 ×
1
=15√6(海里),故
得CD∥C'B',DE∥B'A',EC∥A'C',所以∠ECD=∠A'C'B'=45°,
100
∠EDC=∠A'B'C'=60°.在Rt△CDB中, CD=tan15°,
在△CDE 中,∠CED=180°-45°-60°=75°,由正弦定理,得
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学案8 解三角形应用举例
班级________姓名_______
【导学目标】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的
实际问题．
【知识梳理】
1．仰角和俯角
与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，
目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下
方时叫俯角．(如图所示)
3．方向角：相对于某一正方向的水平角．(如图所示)
①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．
②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．
③南偏西等其他方向角类似．
4．坡角
坡面与水平面的夹角．(如图所示)
5．坡比
坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i ＝h l
＝tan α(i 为坡比，α为坡角)．
【自我检测】
1． 在某次测量中，在A 处测得同一半平面方向的B 点的仰角是60°，C 点的俯角是70°，
则∠BAC＝________.
2．在相距2千米的A ，B 两点处测量目标C ，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A ，C 两点
之间的距离是__________千米．
3． 某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000 m
后到达D 处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC 为____________ m.
4．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的（ ）
A ．北偏东10°
B ．北偏西10°
C ．南偏东10°
D ．南偏西10°
探究点一 与距离有关的问题
例1 如图，要计算西湖岸边两景点B 与C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A
和D 两点，现测得AD CD ⊥，10AD km =，14AB km =，
60BDA ︒∠= ，135BCD ︒∠=，求两景点B 与C 的距离（精确到0.1km ）．
1.414,
1.732,
2.236.===
变式1 某观测站C 在目标A 的南偏西25°方向，从A 出发有一条南偏东35°走向的公路，在C 处测得与C 相距31千米的公路上B 处有一人正沿此公路向A 走去，走20千米到达D ，此时测得CD 为21千米，求此人在D 处距A 还有多少千米？
探究点二测量高度问题
例2如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.
变式2某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．
探究点三 测量角度问题
例3 如图1，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出
发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
（1）求渔船甲的速度；（2）求sin α的值．
变式3 如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的
B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏
西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线
CB 前往B 处救援，则cos θ等于 ( ) A.217 B.2114 C.32114 D.2128
【课后练习与提高】
1．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )
A ．1
B ．2sin 10°
C ．2cos 10°
D ．cos 20° 2．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边
选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可
以计算出A 、B 两点的距离为( )
A ．50 2 m
B ．50 3 m
C ．25 2 m D.2522
m 3．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是 3 km ，那么x 的值为( )
A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．3
4．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时( )
A ．5海里
B ．53海里
C ．10海里
D ．103海里
5．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是______________．
6．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________．
7． 某路边一树干被大风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是__________米．
8．如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°、30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距
离相等，然后求B 、D 的距离(计算结果精确到0.01 km ，2≈1.414，6
≈2.449)．
9．如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，
此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？。