定理“三角形外心是其中位三角形垂心”的深入推广
三角形的重心垂心内心外心附三角函数的图象与性质练习题及答案
三角形的重心垂心内心外心附三角函数的图象与性质练习题及答案一、三角形重心定理二、三角形外心定理三、三角形垂心定理四、三角形内心定理五、三角形旁心定理有关三角形五心的诗歌三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
相似三角形的重心垂心和外心的性质
相似三角形的重心垂心和外心的性质相似三角形的重心、垂心和外心是三角形内涵丰富的特殊点，它们具有独特的性质和重要的几何意义。
在本文中，我们将探讨相似三角形的重心、垂心和外心的性质。
1. 重心：相似三角形的重心是三条中线的交点，记为G。
中线是连接三角形的顶点与对边中点的线段。
重心具有以下性质：(1) 重心G到三角形的顶点的距离与重心G到对边的距离成比例，比例为2:1。
(2) 重心G将三角形分成三个面积相等的小三角形。
2. 垂心：相似三角形的垂心是三条高线的交点，记为H。
高线是连接三角形顶点与对边垂直的线段。
垂心具有以下性质：(1) 垂心H到三角形三个顶点的距离相等，且垂心到对边的距离最短。
(2) 垂心H到相似三角形对边的距离成反比例，即垂心到对边的距离与对边的长度成反比。
3. 外心：相似三角形的外心是三个外接圆的交点，记为O。
外接圆是与三角形的三条边相切的圆。
外心具有以下性质：(1) 外心O到三角形的三个顶点的距离相等，且外心到三角形顶点的连线与三角形边相等。
(2) 外心是相似三角形三个顶点与对边中点的垂直平分线的交点。
通过对相似三角形的重心、垂心和外心的性质进行研究，我们可以发现它们在构造几何问题和解决几何难题中具有重要的应用价值。
通过利用重心、垂心和外心的性质，我们可以推导出许多有关相似三角形的定理和公式，进而解决一些复杂的几何问题。
总之，相似三角形的重心、垂心和外心是三角形内涵丰富的特殊点，它们具有独特的性质和重要的几何意义。
通过深入研究它们的性质，我们可以更加深入地理解相似三角形的性质，并在实际问题中应用它们。
这些特殊点的性质不仅在解决几何难题时有用，而且在建筑、地理、物理等领域也有广泛的应用。
相似三角形的重心、垂心和外心，将继续为几何学家和研究者提供新的思路和挑战！。
三角形的五心
三角形的五心三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍．三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． 锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)． 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =Sp ．特别的，在直角三角形中,有 r =12(a +b －c )．3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2．4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．每个三角形都有三个旁切圆．A 类例题例1 证明重心定理。
ABCOABCD EFGABC DEFI aIK HE FABCM证法1 如图，D 、E 、F 为三边中点，设BE 、CF 交于G ，连接EF ，显然EF ∥=12BC ，由三角形相似可得GB ＝2GE ，GC =2GF ． 又设AD 、BE 交于G '，同理可证G 'B =2G 'E ，G 'A =2G 'D ，即G 、G '都是BE 上从B 到E 的三分之二处的点，故G '、G 重合． 即三条中线AD 、BE 、CF 相交于一点G ． 证法2 设BE 、CF 交于G ，BG 、CG 中点为H 、I ．连EF 、FH 、HI 、IE ，因为EF ∥=12BC ，HI ∥=12BC ， 所以 EFHI 为平行四边形．所以 HG =GE 、IG=GF ，GB =2GE ，GC =2GF ．同证法1可知AG =2GD ，AD 、BE 、CF 共点． 即定理证毕．ABC D EFGIHGEFABC交于一点的充要条件是AZ ZB ·BX XC ·CYYA=1．（2）对于三角形的五心，还可以推广到n 边形，例如，如果我们称n （≥3）边形某顶点同除该点以外的n -1个顶点所决定的n -1边形的重心的连线，为n 边形的中线，（当n -1=2时，n -1边形退化成一线段，此时重心即为线段的中心）那么重心定理可推广如下：n 边形的各条中线(若有重合，只算一条）相交于一点，各中线被该点分为：（n -1）∶1的两条线段，这点叫n 边形的重心．请同学们自己研究一下其他几个“心”的推广。
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识点总结1．O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则AB C AOB AOC B OC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2．O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3．O 是ABC ∆的外心⇔||||||==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ∆的充要条件是(((=⋅=⋅=⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是c b a =++ 。
若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；范 例(一例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足(ACAB++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心A CB1e 2e P解析：因为AB是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(,同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D. (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右，图中GE GC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心AB(x 1C(x 2,yx H Q G D EF解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=，由平行四边形性质知12OE OD =，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。
三角形的重心、垂心、内心、外心知识讲解
一、三角形重心定理二、三角形外心定理三、三角形垂心定理四、三角形内心定理五、三角形旁心定理有关三角形五心的诗歌三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A 为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
三角形五心定理
中小学1对1课外辅导专家武汉龙文教育学科辅导讲义授课对象授课教师授课时间授课题目三角形五心定理课型复习课使用教具讲义纸笔教学目标教学重难点参考教材义务教育课程标准实验教科书·数学九年级教学流程及授课详案教学过程一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2．重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3．重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4．在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3）例1 AD，BE，CF是△ABC的三条中线，P是任意一点.证明：在△PAD，△PBE，△PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和.(第26届莫斯科数学奥林匹克)分析：设G为△ABC重心，直线PG与AB，BC相交.从A，C，D，E，F分别作该直线的垂线，垂足为A′，C′，D′，E′，F′.易证AA′=2DD′，CC′=2FF′，2EE′=AA′+CC′，∴EE′=DD′+FF′.有S△PGE =S△PGD+S△PGF. 两边各扩大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF.时间分配及备注AA'FF'G EE'D'C'PCBD例2 如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF .(1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′. 不妨设a ≥b ≥c ，有 CF =2222221c b a -+， BE =2222221b a c -+， AD =2222221ac b -+.将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF =a 23，BE =b 23，AD =c 23.∴CF :BE :AD =a 23:b 23:c 23=a :b :c .故有△∽△′.(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列. 当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′， ∴∆∆S S '＝(aCF )2.据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有∆∆S S '=43.∴22aCF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2⇒a 2+c 2=2b 2.二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质
为三角形的 Ａ 外心 Ｂ 内心
C 重心
D 垂心
（B
）
6．在三角形
ABC
中，动点
P
满足：
2
CA
2
CB
2AB• CP ，则
P
点轨迹一定通过△ABC
的：
（B） Ａ 外心
Ｂ 内心
C 重心
D 垂心
7.已知非零向量A→B与A→C满足(|AA→→BB|
A→C +|A→C|
)·B→C=0 且|AA→→BB|
·|AA→→CC|
若 O 是 ABC (非直角三角形)的垂心，则 S BOC：S AOC：S AOB tan A：tan B：tan C
故 tan AOA tan BOB tan COC 0
3．O
是 ABC 的外心
|
OA
||
OB
||
OC
|
(或
2
OA
2
OB
2
OC
)
若 O 是 ABC 的外心则 SBOC：SAOC：SAOB sinBOC：sinAOC：sinAOB sin2A : sin2B : sin2C
例 11． 设 O、G、H 分别是锐角△ABC 的外心、重心、垂心.
求证 OG 1 OH
3
证明 按重心定理 G 是△ABC 的重心 OG 1 (OA OB OC)
3
按垂心定理 OH OA OB OC
由此可得 OG 1 OH .
3
补充练习
1．已知 A、B、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形 ABC 的重心，动点 P 满足
3
证明 PG PA AG PB BG PC CG 3PG ( AG BG CG) (PA PB PC)
三角形的五心定理
三角形的五心定理重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
该点叫做三角形的重心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
垂心定理：三角形的三条高交于一点。
该点叫做三角形的垂心。
内心定理：三角形的三条内角平分线交于一点。
该点叫做三角形的内心。
旁心定理：三角形的一条内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。
该点叫做三角形的旁心。
三角形有三个旁心。
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。
它们都是三角形的重要相关点。
三角形的重心重心三角形的三条中线交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍.△ABC 的三条中线AD 、BE 、CF 交于P ，则.2===PFCP PE BP PD AP三角形的内心内心和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.例：⊙O 是△ABC 的内切圆，△ABC 是⊙O 的一个外切三角形，点O 叫做△ABC 的内心.三角形的三条内角平分线有一个且只有一个交点，这个交点到三角形三边的距离相等，就是三角形的内心.三角形有且只有一个内切圆.三角形的外心外心经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.例：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的一个内接三角形，点O叫做△ABC的外心.三角形三边的垂直平分线有一个且只有一个交点，这个交点到三角形三个顶点的距离相等，就是三角形的外心.三角形有且只有一个外接圆.三角形的垂心垂心三角形的三条高线交于一点.三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.锐角三角形的垂心在三角形内（图1）；直角三角形的垂心在直角的顶点（图2）；钝角三角形的垂心在三角形外（图3）.三角形的旁心旁心与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形的旁心.例：图中⊙O1、⊙O2、⊙O3都是△ABC的旁切圆，点O1、O2、O3叫做△ABC的旁心.三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，这个交点到三角形一边及其他两边延长线的距离相等，就是三角形的旁心.三角形有三个旁切圆，三个旁心.补充：三角形的中心当且仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。
三角形外心相关定理-概述说明以及解释
三角形外心相关定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述三角形外心相关定理是针对三角形的外心进行研究的一系列数学定理。
为了全面了解这些定理的应用和意义，本文将对三角形外心的相关定理进行详细阐述和探讨。
三角形外心是指能够同时和三角形的三个顶点相切的圆心。
它是三角形的一个重要几何属性，具有许多独特的性质和应用。
三角形外心相关定理研究的就是这个圆心的性质和定位方法。
在正文部分，我们将首先介绍外接圆定理，它是三角形外心相关定理中最基本的一个。
外接圆定理指出，三角形的三条边的中垂线交于一点，该点即为三角形的外心。
我们将通过具体的推导和证明，解释为什么中垂线会交于外心，并说明外心与三角形的关系。
接着，我们将进一步探讨外接圆定理的推论，如外心与三角形三个顶点的距离相等，外心到三角形三边的距离相等等。
这些推论将帮助我们更好地理解外心在三角形中的位置和作用。
除了外接圆定理及其推论，本文还将介绍其他与三角形外心相关的定理，如垂心定理、重心定理、内心定理等。
这些定理分别研究了三角形的垂心、重心和内心与外心之间的关系，从不同的角度揭示了外心的重要性和特点。
最后，在结论部分，我们将对这些定理进行总结，并展望未来可能深化研究的方向。
通过对三角形外心相关定理的深入学习和探索，我们可以更好地理解三角形的几何特性，为解决与三角形相关的实际问题提供有力的数学工具和方法。
通过全面介绍三角形外心相关定理的内容，本文旨在帮助读者深入了解和掌握这一重要的数学概念和定理，为进一步研究和应用提供基础和启示。
希望本文能够对读者在学习和应用三角形外心相关定理方面起到积极的指导作用。
1.2文章结构文章结构部分的内容是对整篇文章的章节安排和主题展开进行说明。
在本文中，文章结构部分可以包括以下内容：文章结构部分的内容首先介绍了整篇文章的章节安排和主题展开。
文章包括引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要包括概述、文章结构和目的三个小节。
在概述中，对三角形外心相关定理的背景和重要性进行简要介绍。
三角形的外心与内心关系性质解析
三角形的外心与内心关系性质解析三角形是几何学中基本的图形之一，其内部存在着许多有趣的几何性质。
其中，三角形的外心与内心关系性质引人注目。
本文将对三角形的外心与内心的关系进行深入探讨。
一、内心与外心的定义在讨论内心与外心的关系之前，我们先来了解一下内心与外心的定义。
1. 内心：对于任意一个三角形ABC，其内心是指三角形内部的一个点I，它与三角形的三条边都相切。
2. 外心：对于任意一个三角形ABC，其外心是指三角形外部的一个点O，它等距离地位于三角形的三个顶点A、B、C之间。
二、三角形的外心与内心关系性质在研究三角形的外心与内心关系之前，我们先来了解一些基本知识。
1. 垂心：对于任意一个三角形ABC，其垂心是指三角形的三条高所交于的点H。
2. 边心：对于任意一个三角形ABC，其边心是指三角形的三条边的中点所连成的三条线段所交于的点M。
3. 旁心：对于任意一个三角形ABC，其旁心是指三角形的三条边的垂直平分线所交于的点E、F、G。
有了以上的基本知识，下面我们来探讨三角形的外心与内心关系性质。
1. 三角形的外心、内心和垂心共线：对于任意一个三角形ABC，其外心O、内心I和垂心H是共线的。
这条性质也被称为欧拉定理。
2. 三角形的外心、内心和边心共线：对于任意一个三角形ABC，其外心O、内心I和边心M也是共线的。
这条性质也被称为威尔逊定理。
3. 三角形的外心、内心和旁心共线：对于任意一个三角形ABC，其外心O、内心I和旁心E、F、G也是共线的。
以此类推，我们可以得出结论：三角形的外心与内心以及其他重要的点（如垂心、边心、旁心）都是共线的。
这种性质的存在使得我们更加深入地理解了三角形的几何关系。
三、应用与拓展三角形的外心与内心的关系性质不仅仅是理论上的求证，实际中也具有一定的应用价值。
1. 定位：通过求解三角形的外心与内心关系，可以准确地确定三角形的位置，帮助我们进行几何定位。
2. 构造：三角形的外心与内心关系性质可以通过构造的方式进行验证和应用。
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１０ 中学数学研究 ２００６年第８期
定理“三角形外心是其中位三角形垂心＂的深入推广
江西省赣南师范学院（３４１０００） 熊曾润 徐建平
美国数学家 ·Ａ·约翰逊在其名著［１］中，介绍
了三角形的一个美妙性质，即
定理１设ＡＡＢＣ三条边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ的中点分别
为Ｄ、Ｅ、Ｆ，则ＡＡＢＣ的外心是ＡＤＥＦ的垂心．
本文拟应用向量方法，将这个定理多方位地推广
到一般圆内接闭折线中．为此约定：ｎ为正整数，ｎ≥
３；Ａ（ｎ）表示任意一条平面闭折线ＡｌＡ２Ａ３…Ａ ｌ；从
Ａ（ｎ）的ｎ个顶点中，去掉顶点Ａ ，其余顶点组成的集
合，称为Ａ（ｎ）的一级顶点子集，记作ｖＪ（１≤ ≤ｎ）．
定义 设闭折线Ａ（ｎ）内接于④０，对任意给定
的正整数ｋ，若点Ｑ满足
ＯＱ＝÷∑ ，① ＝ ， （Ｄ
～ｉ＝Ｉ
则Ｑ称为Ａ（ｎ）关于其外心Ｏ的ｋ号心，简称为Ａ（ｎ）
的ｋ号心；若点Ｑ （１≤ ≤ｎ）满足
１（毒一ＯＡｉ一 ）， ②
则９Ｊ称为Ａ（ｎ）的一级顶点子集ｖｊ关于其外心Ｏ的ｋ
号心，简称为 的ｋ号心．
我们称圆内接闭折线Ａ（ｎ）的１号心为其垂心［ ，
２号心为其欧拉圆心［ ，ｎ号心为其重心［４ｌ，易见这是
三角形（ｎ＝３时）的垂心、欧拉圆心（即九点圆心）…
和重心的推广，而圆内接闭折线的ｋ号心则是进一步
的统一推广．
根据上述定义，我们可以推得
引理 设ｋ为正整数，闭折线Ａ（ｎ）内接于
Ｏ（０，Ｒ），其一级顶点子集 的ｋ号心为Ｑｆ（１≤Ｊ≤
ｎ），则闭折线Ｑ（ｎ）＝ＱｌＱｚＱ３…Ｑ Ｑ 内接于圆，其外
心是Ａ（ｎ）的ｋ号心Ｑ．
证明 因点Ｑ和ＱＪ分别满足①和②，故
ｋ。ＱｊＱ＝ｋ（ＯＱ一０ ）＝０ ，
Ｉ Ｑ Ｉ＝ １ １ ０ Ｉ
（１≤Ｊ≤ｎ）．
故Ｑ（ｎ）内接于④（Ｑ，Ｒ／ｋ），其外心为Ｑ．
本文的主要结论是：
定理２ 设ｋ，ｋｌ为正整数，闭折线Ａ（ｎ）内接于
④０，其ｋ号心为Ｑ，其一级顶点子集 的ｋ号心为
Ｑ７（１≤ ≤ｎ），在线段Ｑｏ上取一点Ｍ，使 ：ｋｌ·
蘅，则 是闭折线Ｑ（ｎ）：Ｑ。Ｑ２Ｑ３…Ｑ．Ｑ。的ｋ。号心．
证明 由引理知Ｑ（ｎ）内接于圆，其外心为Ｑ．要
证 是Ｑ（ｎ）的ｋ。号心，只需证如下等式成立：
ＱＭ：士∑ ．＝亡 Ｑ ． ③
一１ Ｊ＝Ｉ
事实上由下列两式知③成立：
③左＝一亡 ＝一瓦１∑ ；
③右＝击 （ 一 ）＝ｉ＝
１
ｋｋ
‘
ｉ ｉ
，
ＯＡｊ·
值得指出的是：这个定理的内涵是相当丰富的，考
察它的种种特例，将会得到许多花样翻新的有趣命题．
例如，在定理２中令ｋ．＝１和２，可得
推论１ 设ｋ为正整数，闭折线Ａ（ｎ）内接于
Ｏ０，其一级顶点子集 的ｋ号心为Ｑｓ（１≤ ≤ｎ），则
点０是闭折线Ｑ－Ｑ２Ｑ３…Ｑ Ｑ。的垂心．
显而易见，推论１是定理１的推广．
推论２设ｋ为正整数，闭折线Ａ（ｎ）内接于④０，
其ｋ号心为Ｑ，其一级顶点子集 的ｋ号心为Ｑ （１≤
Ｊ≤ｎ），则线段ＯＱ的中点是闭折线ＱｌＱ２Ｑ３…Ｑ．Ｑ。的
欧拉圆心．
特别地，在推论１和２中令ｎ：４，ｋ＝１，２，３，可得
命题１ 设四边形ＡＢＣＤ内接于④０，ＡＢＣＤ，
ＡＣＤＡ，ＡＤＡＢ，ＡＡＢＣ的垂心分别为Ａｌ、Ｂ１、Ｃｌ、Ｄｌ，
则点０是四边形ＡｌＢｌＣｌＤ１的垂心．
命题２ 设四边形ＡＢＣＤ内接于④０，ＡＢＣＤ，
ＡＣＤＡ，ＡＤＡＢ，ＡＡＢＣ的欧拉圆心分别为Ａ２、 ２、ｃ２、
Ｄ２，则点０是四边形Ａ２ ２ ｃ２Ｄ２的垂心．
命题３ 设四边形ＡＢＣＤ内接于④０，ＡＢＣＤ，
ＡＣＤＡ，ＡＤＡＢ，ＡＡＢＣ的重心分别为Ａ３、 ３、ｃ３、Ｄ３，
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２００６年第８期 中学数学研究
则点０是四边形 ３曰３Ｃ３ ３的垂心．
命题４设四边形ＡＢＣＤ内接于ｏ０，它的垂心为
ａＢＣＤ，ａＣＤＡ，ＡＤＡＢ，ＡＡＢＣ的垂心分别为Ａ 、
曰 、 、Ｄ ，则线段ＯＨ的中点是四边形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的欧
拉圆心．
命题５设四边形ＡＢＣＤ内接于ｏ０，它的欧拉圆
心为Ｅ，ａＢＣＤ，ａ ＣＤＡ，ａＤＡＢ，ＡＡＢＣ的欧拉圆心分
别为Ａ 、Ｂ 、ｃ７、Ｄ ，则线段ｏＥ的中点是四边形
Ａ＇２Ｂ ｃｌ 的欧拉圆心．
命题６设四边形ＡＢＣＤ内接于ｏ０，它的３号心
为 ，ａＢＣＤ，ａＣＤＡ，ａＤＡＢ，△ 曰ｃ的重心分别为
Ａ 、曰 、岛、Ｄ ，则线段ＯＷ的中点是四边形Ａ＇３Ｂ ｃ；ｏ
的欧拉圆心．
这些耐人寻味的命题是优美却鲜为人知的．诸如
此类的命题不胜枚举，这里就不赘述了．
参考文献
［１］Ｒ·Ａ·约翰逊（单蹲译）．近代欧氏几何学［Ｍ］．上海：上海
教育出版社，１９９９
［２］熊曾润．圆内接闭折线的垂心及其性质［．，］．中学数学，
２０００，３
［３］熊曾润．圆内接闭折线的欧拉圆及其性质［．，］．中学教研
（数学），１９９９，１１
［４］熊曾润．闭折线的顶点系重心的性质［，］．中学教研（数
学），１９９８，１ ２
编者按：熊曾润先生（１９３７～ ），江西赣州人．
１９５９年毕业于华中师范学院数学系．１９６３年任教于湖
北省沙市一中，次年起任数学教研组长．１９７９年调江西
省赣州师范学校，后任数学教研组长，兼任江西省中等
师范学校数学中心教研组长．１９８６年调赣南师范学院，
历任初等数学教研室主任、副教授、教授．１９９２～１９９５
年为江西省高校教师系列高级职务任职资格审查委员
会成员．１９９７年获曾宪梓教育基金会颁发的“高等师范
院校教师奖”，现为校教学督导组成员．熊曾润先生擅
长初等数学研究，热心数学普及工作，尤对平面闭折线
研究情有独钟，并致力于３维和ｎ维欧氏空间的拓广，
发表论文７０余篇，专著《平面闭折线趣谈》被著名数学
家王梓坤院士誉为是“关于初等数学的研究和教学的
优秀著作”，“对初等数学是一重要贡献”．１９８３～１９９５
年先后任《数学通讯》、《中学数学》等十多家刊物的特
约通讯员或特约编辑，江西省高等教育出版社兼职编
辑．１９９５年任江西省数学会理事．筹建了江西省数学会
初等数学专业委员会并任理事长（现为名誉理事）．
１９９６～２００６年任中国初等数学研究工作协调组成员，
１９９６年至今任中国折线研究小组负责人．
证明不等式不一定要等价
甘肃省平凉市甘沟中学（７４３４１２） 黄春光 王 鑫
本刊２００６年第１期中《代数问题应该用代数解法》
文例１中证明不等式（２）“￣／ ＋Ｙ 一ｘｙ＋
ｖ厂 【 ＞ｖ厂 ”时的叙述，笔者认为
有不正确之处．
原文：“平方化简变为等价的
２、／／（ ＋Ｙ 一ｘｙ）（ｙ ＋ 一ｙｚ）
＞（ —Ｙ）（Ｙ—ｚ），（３）．”
评注：因为对不等式（２）两边平方化简可得：
２￣／（ ＋Ｙ 一 ），）（Ｙ ＋ｚ 一ｙｚ）
＞（ —Ｙ）（Ｙ—ｚ）一Ｙ ． （４）
显然它与不等式（３）是不等价的！很明显作者想用分
析法来证明此题，思路是正确的，但表述却是错误的．
在用分析法证明不等式时，前后两个不等式可以是等
价的，但也可以是不等价的，只需要后一个不等式是前
个不等式的充分条件就可以了，至于是否为必要条
件是没有关系的．正确的解法如下：
证：要证（２）式，只需证（４）式．要使（４）成立，只需
证（３）式．（余同原文得证）
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