抽象函数的奇偶性、对称性和周期性

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10 第二章微专题抽象函数的性质

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(3)如果f (x＋a)＋f (x)＝c(a≠0)，那么f (x)是周期函数，其中一个周期T＝2a.
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微专题抽象函数的性质
类型三抽象函数的奇偶性和对称性
【例3】已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋6)＝f (x)，y＝f (x＋3)为偶函数．若
f (x)在(0，3)内单调递减，则下面结论正确的是( )
D．c>b>a
A
解析：因为∀x1，x2∈(－∞，0]且x1≠x2时，有f
x1 －f
x1－x2
x2 >0，
所以函数f (x)在(－∞，0]上单调递增．
由f (x)为偶函数，得函数f (x)在[0，＋∞)上单调递减．
因为0<sin 3<1，1<ln 3<2，21.5＞2，f
ln
1 3
＝f (－ln 3)＝f (ln 3)，
所以f (sin 3)>f (ln 3)>f (21.5)，即a>b>c.
微专题抽象函数的性质
思维建模比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用函数单调性比较大小．
微专题抽象函数的性质
类型二抽象函数的周期性【例2】(2022·新高考全国Ⅱ卷)若函数f (x)的定义域为R，且f (x＋y)＋f (x－y)＝f
22
所以∑ f k ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1－1－2－1＝－3.故选A．
k=1
微专题抽象函数的性质
思维建模
抽象函数的周期
(1)如果f (x＋a)＝－f (x)(a≠0)，那么f (x)是周期函数，其中一个周期T＝2a.

单调性、奇偶性、周期性、对称性、抽象函数知识点(函数性质)

f (x1) f (x2 )
f ( x1 x2 x2 ) f (x2 )
f (x1 x2 ) f (x2 ) f (x2 )
f ( x1 x2 )
3. f (xy) f (x) f ( y)
f (x1)
f (x2 )
f ( x1 x2
x2 )
f (x2 )
f ( x1 ) x2
求此函数的周期。
1. f (x y) f (x) f ( y)
f (x1) f (x2 ) f (x1 x2 x2 ) f (x2 ) f (x1 x2 ) f (x2 ) f (x2 ) f (x1 x2 ) 2. f (x y) f (x) f ( y)
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如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期.
如：潮汐现象的函数中，12h、24h、36h 都是一个周期，但是最小的是12h，所以这函数的最小正周期是12h.
注意：今后所称周期，若无特别说明，均指函数的最小正周期。
3.诱导公式1：终边相同角的同名三角函数值相等
抽象概括：
1.函数的周期性对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，
f(x+T)=f(x) 都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数， T叫做函数的一个周期，称y=f(x)具有周期性。
①常数T≠0，不一定是正数； ②如果T 为函数的一个周期，那么T的整数倍nT 也是函数的周期； ③对定义域内任意x， f(x+T)=f(x)都成立；
由此，你能得出正弦、余弦、正切函数的周期性的哪些结论？
(1) f (x a) f (x a)

抽象函数的对称性与周期性

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。

一、函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）1、函数的轴对称：推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称特殊地，函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称。

2、函数的点对称：推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称特殊地，若()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则()x f y =的图象关于点()0,a 对称。

特殊地，若()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称。

二、函数的周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。

抽象函数的对称性 ——点,直线,周期

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。

分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。

把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。

[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。

分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。

从抽象函数形式看函数性质

从抽象函数形式看函数性质—— 抽象函数在周期性、对称性、奇偶性上的体现㈠周期性定义：任意I ，I ∈x 是定义域，都有=()(+T)，T f x f x 是非零常数。

则 ()f x 是周期函数，其周期是T 。

推广：①I ，∀∈x 都有),22(+)=(-T T f x f x 则()f x 是以T 为周期的周期函数。

②I ，∀∈x 都有()=()++f x A f x B ，A ，B 是常数，则()f x 是以｜｜-B A 为周期的周期函数。

下面给出证明：令,+=∴=-∴+=-+x A X x X A x B X A B 。

()()()∴=+-∴f X f X B A f x 是以｜｜-B A 为周期的周期函数。

另可发现规律：括号内两项之差为定值T ，周期T=定值。

③若存在非零常数T ，使()()0+-=f x T f x ，则()f x 是周期的周期函数。

联想：()()0++=f x T f x 是不是周期函数呢？事实上，若()（）+=-f x T f x 成立，则()（）+=-f x T f x ()()⎡⎤⎣⎦=---=-f x T f x T ， ()∴f x 是以2T 为周期的周期函数。

证明：11()=(),()1()()+==-∴-f x T f x T f x f x f x T 是以2T 为周期的周期函数。

1(),()()⑤若+=-∴f x T f x f x 是以2T 为周期的周期函数。

11()(),()1()()+=-=-=-∴--f x T f x T f x f x f x T 是以2T 为周期的周期函数。

证明：11()(),()1()()+=-=-=-∴--f x T f x T f x f x f x T 是以2T 为周期的周期函数。

㈡对称性①偶函数()f x 关于y 轴0=x 对称，()()。

-=f x f x②结论1：()f x 的图象关于=x a 对称()()⇔+=-f a x f a x证明：⇐对,0∀x 不妨令,00>x 在（,0）a 右侧0x 处，取+0,=x a x 对应纵坐标()10=+y f a x 。

抽象函数的奇偶性、周期性和对称性

抽象函数的奇偶性、周期性和对称性一、奇偶性1、奇函数的定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数。

（1）定义域必须关于原点对称；（2）对定义中的任意一个x ，都有)()(x f x f -=-；（3）图象特征：奇函数图象关于原点对称。

（这是判断奇函数的直观方法）2、偶函数定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数 ()f x 就叫做偶函数。

（1）定义域必须关于原点对称；（2）对定义中的任意一个x ，都有)()(x f x f =-；（3）图象特征：偶函数图象关于y 轴对称。

（这是判断偶函数的直观方法）二、周期性周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期，并不是所有周期函数都存在最小正周期。

例如，狄利克雷函数，当x 为有理数时，()f x 取1；当x 为非有理数时，()f x 取0。

（1）如果函数)(x f y =满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数。

（2）如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 4为周期的周期函数。

（3）如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 2为周期的三、对称性1、函数图象本身的对称性（自身对称）题设：函数)(x f y =对定义域内一切x 来说，其中a 为常数，函数)(x f y =满足：（1）)()(x a f x a f -=+⇔函数)(x f y =图象关于直线a x =成轴对称；（2）)()2(x f x a f =-⇔函数)(x f y =的图象关于直线a x =成轴对称；（3）)()(x b f x a f -=+⇔函数)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=成轴对称；（4）)(x f -=)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于y 轴对称（偶函数）；（5）)(2)2(x f b x a f -=-⇔函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称；（6）)(x f -=—)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于原点成中心对称（奇函数）；（7）如果函数)(x f y=满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数；（8）如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 4为周期（9）如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 2为周期的周期函数。

高考数学复习----《抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性》典型例题讲解

高考数学复习----《抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数()f x 对任意,R x y ∈，都有()()()f x y f x f y +=+成立．有以下结论：①()00f =；②()f x 是R 上的偶函数；③若()22f =，则()11f =；④当0x >时，恒有()0f x <，则函数()f x 在R 上单调递增．则上述所有正确结论的编号是________【答案】①③【解析】对于①令0x y ==，则()()()0000f f f +=+，解得()00f =，①正确；对于②令y x =−，则()()()00f f x f x =+−=，∴()()f x f x −=−，∴()f x 是R 上的奇函数，②错误；对于③令1x y ==，则()()()()211212f f f f =+==，∴()11f =，③正确；对于④设12x x >，则120x x −>，∴()()()12120f x x f x f x −=+−<，则()()()122f x f x f x <−−=，∴()f x 在R 上单调递减，④错误．故答案为：①③．例2、（2022·山东聊城·二模）已知()f x 为R 上的奇函数，()22f =，若对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x >时，都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤−−<⎢⎥⎣⎦，则不等式()()114x f x ++>的解集为（） A ．()3,1−B ．()()3,11,1−−−C ．()(),11,1−∞−− D ．()(),31,−∞−⋃+∞ 【答案】B【解析】由()()121221()[]0f x f x x x x x −−<，得()()11221212()[]0x f x x f x x x x x −−<，因为121200x x x x −>>，，所以()()11220x f x x f x −<，即()()1122x f x x f x <，设()()g x xf x =，则()g x 在()0,∞+上单调递减，而()()()()()1114222g x x f x f g +=++>==，则012x <+<，解得：11x −<<；因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()()g x xf x xf x g x −=−−==，则()g x 为R 上的偶函数，故()g x 在(,0)−∞上单调递增，()()()()11142g x x f x g +=++>=−，则210x −<+<，解得：31x −<<−；综上，原不等式的解集为(),111)3(,−−−．故选：B ．例4、（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =−，12b f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】C【解析】由函数()f x 的图像关于直线1x =对称可得()()31f f =−，结合奇函数的性质可知 ()3a f =−()()()311f f f =−=−−=，()()200c f f ===．由奇函数的性质结合()y f x =在[]0,1上单调递增可得()y f x =在[]1,1−上单调递增，所以()()1012f f f ⎛⎫−<< ⎪⎝⎭，所以b c a <<．故选：C例5、（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R 的偶函数满足()()2f x f x −=，当01x ≤≤时，()1e 1x f x −=−，则方程()11f x x =−在区间[]3,5−上所有解的和为（） A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】A【解析】解：因为函数()f x 满足()()2f x f x −=，所以函数()f x 的图像关于直线1x =对称，又函数()f x 为偶函数，所以()()()2−==−f x f x f x ，所以函数()f x 是周期为2的函数，又1()1g x x =−的图像也关于直线1x =对称，作出函数()f x 与()g x 在区间[]3,5−上的图像，如图所示：由图可知，函数()f x 与()g x 的图像在区间[]3,5−上有8个交点，且关于直线1x =对称，所以方程。

抽象函数和复合函数的应用解析版-高中数学

抽象函数与复合函数的应用①抽象函数的性质(定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性)②常见抽象函数模型①-一次函数、二次函数、反比例函数③常见抽象函数模型②-指对幂函数、三角函数④复合函数的应用一、必备知识整合一、抽象函数的性质1.周期性：f x +a =f x ⇒T =a ；f x +a =−f x ⇒T =2a ；f x +a =kf x⇒T =2a ；(k 为常数)；f x +a =f x +b ⇒T =a −b 2.对称性：对称轴：f a −x =f a +x 或者f 2a −x =f x ⇒f x 关于x =a 对称；对称中心：f a −x +f a +x =2b 或者f 2a −x +f x =2b ⇒f x 关于a ,b 对称；3.如果f x 同时关于x =a 对称，又关于b ,c 对称，则f x 的周期T =a −b 4.单调性与对称性(或奇偶性)结合解不等式问题①f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2>0；f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2<0；②f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 >x 2 (不变号加绝对值)；f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 <x 2 (变号加绝对值)；③f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有x 1+x 2>2a ；f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有x 1+x 2<2a ；④f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a >x 2−a (不变号加绝对值)；f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a <x 2−a (不变号加绝对值)；5.常见的特殊函数性质一览①f x =log a 1+mx 2±mx 是奇函数②f x =log ak −x k +x f x =log a k +xk −x(k 为常数)是奇函数③f x =1−a x 1+a x 或者f x =1+a x 1−a x 或者f x =a x +1a x −1或者f x =a x −1a x +1是奇函数④f x =m a x+1关于0,m2 对称⑤f g x 复合函数的奇偶性：有偶为偶，全奇为奇二、抽象函数的模型【反比例函数模型】反比例函数：f (x +y )=f (x )f (y )f (x )+f (y )，则f (x )=f (1)x ，x ,f (x ),f (y ),f (x +y )均不为0【一次函数模型】模型1：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )=f (1)x ；模型2：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )为奇函数；模型3：若f (x +y )=f (x )+f (y )+m ,则f (x )=f 1 +m x -m ；模型4：若f (x -y )=f (x )-f (y )+m ,则f (x )=f 1 -m x +m ；【指数函数模型】模型1：若f (x +y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型2：若f (x -y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型3：若f (x +y )=f (x )f (y )m ，则f (x )=f 1 mxm；模型4：若f (x -y )=m f (x )f (y )，则f (x )=m f 1 m x ；【对数函数模型】模型1：若f (x n )=nf (x )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x >0模型2：若f (xy )=f (x )+f (y )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x ,y >0模型3：若fxy=f(x)-f(y)，则f(x)=f a log a x a>0且≠1,x,y>0模型4：若f(xy)=f(x)+f(y)+m，则f(x)=f a +mlog a x-m a>0且≠1,x,y>0模型5：若fxy=f(x)-f(y)+m，则f(x)=f a -mlog a x+m a>0且≠1,x,y>0【幂函数模型】模型1：若f(xy)=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1模型2：若fxy=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1,y≠0,f y ≠0代入f a 则可化简为幂函数；【余弦函数模型】模型1：若f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)f(x)不恒为0，则f(x)=cos wx模型2：若f(x)+f(y)=2fx+y2f x-y2f(x)不恒为0，则f(x)=cos wx【正切函数模型】模型：若f(x±y)=f(x)±f(y)1∓f(x)f(y)f(x)f(y)≠1，则f(x)=tan wx模型3：若f(x+y)+f(x-y)=kf(x)f(y)f(x)不恒为0，则f(x)=2kcos wx三、复合函数1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。

专题三：抽象函数的周期性与对称性(培优)

镇（乡）学校班级考号姓名 ……○……题……○……不……○……得……○……超……○……过……○……此……○……密……○……封……○……专题三：抽象函数的奇偶性与对称性编辑，整理：冉春1．函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f (x )在x ＝0处有定义，那么一定有f (0)＝0. (2)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．(4)若y ＝f (x ＋a )是奇函数，则f (－x ＋a )＝－f (x ＋a )；若y ＝f (x ＋a )是偶函数，则f (－x ＋a )＝f (x ＋a )．2．周期性的几个常用结论对f (x )的定义域内任一自变量的值x ，周期为T ，则 (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a ＞0)； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a ＞0)； (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a ＞0)．3．函数的图象的对称性(1)函数y ＝f (x )，若其图象关于直线x ＝a 对称(a ＝0时，f (x )为偶函数)，则 ①f (a ＋x )＝f (a －x )；②f (2a ＋x )＝f (－x )；③f (2a －x )＝f (x )．(2)函数y ＝f (x )，若其图象关于点(a,0)中心对称(a ＝0时，f (x )为奇函数)，则 ①f (a ＋x )＝－f (a －x )；②f (2a ＋x )＝－f (－x )； ③f (2a －x )＝－f (x )．(3)函数y ＝f (x )，若其图象关于点(a ，b )中心对称，则①f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ；②f (2a ＋x )＋f (－x )＝2b ；③f (2a －x )＋f (x )＝2b . (4)函数f (x )与g (x )的图象关于直线x ＝a 对称，则g (x )＝f (2a －x )． (5)函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝a 对称，则g (x )＝2a －f (x )．1、（1）已知奇函数()f x 在(2,2)- 上单调递增，且()(21)0f t f t +->，则实数t 的取值范围是（）A. 1(,2)3B. 13(,)32 C . 1(,2)3- D. 13(,)22-（2）设奇函数0)()(,0)1(0)(＜则不等式）上为增函数，且，在（xx f x f f x f --=∞+的解集为（）A ．-1,01+（）∪（，∞）B ． -,-1（∞）∪（0，1）C ． -,-11+（∞）∪（，∞）D ．-1,0（）∪（0，1）（3）已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]（4）记max{a,b}=⎩⎨⎧≥b a b ba a ＜,,，函数f （x ）＝max{x+1,2x}，则函数f （x ）的解析式为________2、（1）已知)2(+x f 是偶函数，当212x x ＜＜时，0)()(1212）＞）（（x f x f x x --恒成立，设),4(),3(),21(f c f b f a ===则的大小关系是c b a ,,( ) A 、c b a ＜＜ B 、c a b ＜＜ C 、a c b ＜＜ D 、a b c ＜＜镇（乡）学校班级考号姓名 ……○……题……○……不……○……得……○……超……○……过……○……此……○……密……○……封……○……（2）已知)2(+x f 是偶函数，则)(x f 图像关于________对称（3）已知)2(－x f 是偶函数，则)(x f 图像关于________对称（4）已知)2(－x f 是奇函数，则)(x f 图像关于________对称3、（1）已知函数))((R x x f ∈满足)(2)(x f x f -=-,若函数xx y 1+=与)(x f y =图象的交点为)(1,1y x ,),(22y x ···，（m m y x ,），则=+∑=mi i iy x1)(（）A. 0B. mC. 2mD. 4m（2）下列函数中，其图象与函数ln y x =的图象关于直线1x =对称的是（） A ．()ln 1y x =- B ．()ln 2y x =- C ．()ln 1y x =+ D ．()ln 2y x =+（3）已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则=+++m 21...x x x ( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m（4）定义在R 上的函数f (x )满足f (−x )=4−f (x )，若函数y =1x +2与函数y =f (x )的图象的交点的坐标是(x 1,f (x 1)),(x 2,f (x 2)),…(x 30,f (x 30))，记x i +f (x i )=p i （其中i =1,2,…，30），则p 1+p 2+⋯+p 30=（） A ．15 B ．30 C ．60D ．120（提示：具有某相同对称属性的两个函数，其交点也具有该对称属性）4、（1）已知定义在R 上的奇函数f x 满足3f x f x ，且21f ，则20162017f f ________（2）定义在R 上的函数()f x 满足()()[)20,0,2f x f x x ++=∈时，()31xf x =-，则镇（乡）学校班级考号姓名 ……○……题……○……不……○……得……○……超……○……过……○……此……○……密……○……封……○……()2015f =________（3）已知在R 上是奇函数，且满足，当时，，则________（4）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f = ________（5）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 021)＝( )A ．2 021B ．0C ．1D ．－1（6）已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)-=+f x f x ．若(1)2=f ，则(1)(2)(3)(50)++++=…f f f f ________（7）函数对于任意实数满足条件，若，则________（8）定义在上的偶函数满足，对且，都有，)81(),64(),49(f f f 由小到大的顺序排列为（9）已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－1f (x )，且()x f ()()x f x f -=+5()5,0∈x ()x x x f -=2()=2016f )(x f x )(1)2(x f x f =+5)1(-=f =))5((f f R ()f x (3)()f x f x -=-12,[0,3]x x ∀∈12x x ≠1212()()0f x f x x x ->-镇（乡）学校班级考号姓名 ……○……题……○……不……○……得……○……超……○……过……○……此……○……密……○……封……○……当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 021)＋f (2 019)的值为（10）定义在实数集R 上的函数满足，(4)()f x f x -=.现有以下三种叙述：①是函数的一个周期；②的图象关于直线2x =对称；③是偶函数.其中正确的序号是5、（1）若)(x f y =在[)+∞∈,0x 上的表达式为)1()(x x x f -=，且)(x f 为奇函数，则(]0,∞-∈x 时)(x f =（2）若)(x f y =在[)+∞∈,0x 上的表达式为)1()(x x x f -=，且)(x f 为偶函数，则(]0,∞-∈x 时)(x f =6、已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ∈R,恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0，2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2，4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2022)7、已知函数()f x 图象关于直线x ＝－1对称，且当x ∈(0，＋∞)时，有xx f 1)(=，则当x ∈(－∞，－2)时，求)(x f 的解析式镇（乡）学校班级考号姓名 ……○……题……○……不……○……得……○……超……○……过……○……此……○……密……○……封……○……8、已知函数f (x )的定义域为R ，并且对一切实数x ,都有f (−x )+f (x )=0,f (−x −2)=−f (x )成立 .当x ∈(0,1)时，f (x )=sin πx +1. （1）.求f (0),f (1)的值；（2）.当x ∈(11,13)时，求f (x )的解析式.9、（1）已知函数f (x )是定义域为[0，＋∞)的减函数，且f (2)＝－1，则满足 1)12(＞－-x f 的实数x 的取值范围是（2）设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（3）设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是__ ______（4）定义在R 上的偶函数()f x 在[0,+∞）内单减，(2)=0f ，若(1)0f x -＞，则x 的取值范围是__（5）定义在R 上的奇函数()f x 在[0,+∞）内单减，(2)=0f ，若(lg )0f x ＞，则x 的取值范围是__（6）已知定义在R 上的偶函数()f x 在（—∞，0]上单减，且(1)=2f ，则不等式2)(log 2＞x f 的x 的取值范围是__镇（乡）学校班级考号姓名 ……○……题……○……不……○……得……○……超……○……过……○……此……○……密……○……封……○……（7）定义在R 上的奇函数()f x 在（—∞，0）单减，且(2)=0f ，则(1)0x f x ⋅-≥的x 的取值范围是__ ____（8）已知奇函数f (x )在x ＞0时单调递增，且f (1)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围为( )A ．{x |0＜x ＜1或x ＞2}B ．{x |x ＜0或x ＞2}C ．{x |x ＜0或x ＞3}D ．{x |x ＜－1或x ＞1}10、设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x R ∈，都有(1)(1)f x f x +=-，已知当[]0,1x ∈时，1()2x f x -=，有以下结论：①2是函数()f x 的一个周期；②函数()f x 在()1,2上单调递减，在()2,3上单调递增； ③函数()f x 的最大值是1，最小值是0.5； ④当(3,4)x ∈时，3()2xf x -=．正确的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．411、的值域为用判别式法求函数3274222++-+=x x x x y （） A ．(]4.5,1--B ．[5.5,2)C ．[ 4.5,2)-D ．( 4.5,2)2-∪（，1]12、设函数g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.13、（ 1）函数)(x f f (在定义域(-∞，+∞)上是增函数,且对任意的实数x 恒有2)1)((3=+--x x x f f 成立，则)1(-f =（）A.-1B.-2C.-3D.-4（2）已知函数()f x 是定义在0+)（，∞ 上的单调函数，且对任意），（∞+∈0x 都有1)2)((-=+xx f f 恒成立，则=)1(f （）A. -1B. -4 C . -3 D. 0镇（乡）学校班级考号姓名 ……○……题……○……不……○……得……○……超……○……过……○……此……○……密……○……封……○…… 14、（1）定义在R 上的函数f (x )既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个周期，则方程f (x )=0在闭区间[-T , T ]上的实数根的个数可能是（） A. 1 B.3 C. 0 D. 5（2）定义在R 上的函数f (x )既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个周期，则方程f (x )=0在闭区间[-2T , 2T ]上的实数根的个数可能是（） A. 1 B.5 C. 9 D. 1215、函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7216、设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x ＋1)＝f (x －1)；③当0≤x ＜1时，f (x )＝2x－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.镇（乡）学校班级考号姓名 ……○……题……○……不……○……得……○……超……○……过……○……此……○……密……○……封……○……(2)已知函数f (x )对任意的x ∈R 都满足f (x )＋f (－x )＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32为偶函数，当0＜x ≤32时，f (x )＝－x ，则f (2 021)＋f (2 022)＝________.(3)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝________.17、函数y ＝f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，f (1)＝4，则f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)的值为________．18、（1）函数()ln 1f x x =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．（2）函数||2x y =的部分图像大致为（）AB C D（3）函数||2log x y =的图像大致是（）19、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(],0x ∈-∞时，()22f x x x =-+，若实数m 满足()2log 3f m ≤，则m 的取值范围是（）A ．(]0,2B ．1[,2]2C ．(]0,8D ．1[,8]8镇（乡）学校班级考号姓名 ……○……题……○……不……○……得……○……超……○……过……○……此……○……密……○……封……○……20、若函数()(31)4,1,1a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩，是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为（）A ．11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．11,,83⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭21、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，例如[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f (x )＝2x ＋11＋2x ，则函数y ＝[f (x )]的值域是( )A ．{0,1}B ．(0,2)C ．(0,1)D ．{－1,0,1}22、已知函数)()6(,)(x f x f R x R x f -=+∈恒有上的奇函数，对任意是定义在，且在（-3，-1）内单调递增。

抽象函数,函数奇偶性对称性周期性,函数恒成立与存在问题

个性化学科教师辅导教案）证明f(x)在x>0）求证：对任意R x ∈都有对任意,x y R ∈，都有()f xy =时，[)()0,1f x ∈。

（I ）判断9，求a 的取值范围。

（2）已知()f x 为奇函数，当0x ≥时,2()2f x x x =+，当0x <时，求)(x f 解析式5.利用奇偶性求参数的值例5：（1）定义R 上的偶函数)(x f 在)0,(-∞单调递减，若)123()12(22+-<++a a f a a f 恒成立，求a 的范围.（2）定义R 上单调递减的奇函数()f x 满足对任意t R ∈，若22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的范围.6.利用图像解题例6：（1）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式()0<x f 的解是 .（2）若函数()f x 在(,0)(0,)-∞⋃+∞上为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增,(2)0f -=,则不等式()0xf x <的解集为 .7.利用性质选图像例7：（1）设1a >，实数,x y 满足1||log 0a x y-=，则y 关于x 的函数的图像形状大致是（）xy1xy1xy1xy1A B C D（2）函数x xx xe eye e--+=-的图象大致为三、周期函数结论：（1）()()f x f x a=+，T a=f(x-a)=f(x+a)(a>0), T=2a函数的奇偶性对称性与周期性综合例已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1，(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2013)的值．1.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则（）．A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)2.奇函数满足对任意都有，且，则的值为（）Ａ．－９Ｂ．９Ｃ．０Ｄ．3.函数()f x 为奇函数，定义域为R ，若()2f x +为偶函数，且()11f =，则( )A. 2-B. 1-C. 0D. 1()f x x R ∈(2)(2)0f x f x ++-=(1)9f =(2010)(2011)(2012)f f f ++。

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抽象函数的奇偶性、对称性和周期性
【自我诊断】
1.（1）在函数f (x )对于定义域内的任取x 1，都有x 2满足x 1＋x 2＝0，且f (x 1)＝f (x 2)恒成立，则该函数是____函数；
（2）在函数f (x )对于定义域内的任取x 1，都有x 2满足x 1＋x 2＝0，且f (x 1)＝－f (x 2)恒成立，则该函数是____函数．
【答案】（1）偶；（2）奇．
2．已知f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )f (y )对一切实数x ，y 恒成立，且f (0)≠0，判断f (x )的奇偶性．
【答案】偶函数．
【解析】令x ＝0，y ＝0，代入式子f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )f (y )可得2f (0)＝2f (0)·f (0)，且f (0)≠0，所以f (0)＝1．
令x ＝0，代入式子f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )f (y )可得f (y )＋f (－y )＝2f (0)f (y )，
f (y )＋f (－y )＝2f (y )，化简得f (－y )＝f (y )．
所以f (x )是偶函数．
【反思】背景函数f (x )＝cos x ．
3. 函数f (x )的值域不是单元素集合，定义域为R ，且对一切实数x ，y 恒有f (2x )＋f (2y )＝2f (x ＋y )f (x －y )，且f (1)＝0，则f (2016)的值是_________．
【解析】令x ＝u 2＋1，y ＝u 2
，代入已知式得f (u ＋2)＋f (u )＝2f (u ＋1)f (1)＝0，所以f (u ＋2)＝－f (u )．所以f (u ＋4)＝f [(u ＋2)＋2]＝－f (u ＋2)＝f (u )．
所以f (x )是周期为4的周期函数．
所以f (2016)＝f (4×504＋0)＝f (0)．
在f (2x )＋f (2y )＝2f (x ＋y )f (x －y )中，令x ＝y ，则2f (2x )＝2f (2x )f (0)恒成立，
所以f (0)＝1．所以f (2016)＝1．
【反思】背景函数f (x )＝cos π2
x ． 4.已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则x 1＋x 2＋…x m 的值为（）．
（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m
【答案】B ．
【解析】因为y ＝f (x )，y ＝|x 2－2x －3|都关于直线x ＝1对称，所以它们的交点也关于直线
x ＝1对称．
当m 为偶数时，所求的和为2×m 2
＝m ；当m 为奇数时，所求的和为 2×m －12
＋1＝m ．因此选B ．
5.已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x
与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则x 1＋y 1＋x 2＋y 2＋…x m ＋y m 的值为（）．
（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m
【答案】B ．
【解析】由f (－x )＝2－f (x )，得f (x )关于点(0，1)对称，函数y ＝x ＋1x ＝1＋1x
也关于点(0，1) 对称，所以两函数图象的交点也关于点(0，1)对称，将除点(0，1)外的其余交点两两配对，对于每一组对称点有x i ＋x j ＝0，y i ＋y j ＝0，所以x 1＋y 1＋x 2＋y 2＋…x m ＋y m
＝(x 1＋x 2＋…＋x m )＋(y 1＋y 2＋…＋y m )＝0＋2×m 2
＝m ． 6．设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋1)－f (x ＋2)，证明f (x )是周期函数．
【证明】由已知f (x )＝f (x ＋1)－f (x ＋2)，得f (x ＋1)＝f (x ＋2)－f (x ＋3)，
上面两式相加，得f (x )＝－f (x ＋3)，由此式可得f (x ＋3)＝－f (x ＋6)，
从而，得f (x )＝f (x ＋6)．所以f (x )是周期为6的函数．
7.设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝1对称，证明f (x )是周期函数．
【证明】函数y ＝f (x )关于直线x ＝1对称，所以f (x )＝f (2－x )，x ∈R ．
又由f (x )是偶函数得f (x )＝f (－x )，所以f (－x )＝f (2－x )，x ∈R ．
将上式中的－x 用x 代换，得f (x )＝f (2＋x )，x ∈R ．
这表明f (x )是以2为周期的周期函数．
【跟踪训练】
1．若f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )对一切实数x ，y 恒成立，且不恒等于0，试判断函数f (x )的奇偶性．
【答案】奇函数．
2.函数f (x )的定义域为全体实数，对任意实数a ，b 都有f (a ＋b )＋f (a －b )＝2f (a )f (b )，且存在
c ＞0，使得f (c 2
)＝0，求证：f (x )是周期函数．【答案】f (x )是以2c 为周期的周期函数．。