高数(三)第五章习题解答

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北大版高等数学第五章向量代数与空间解析几何答案习题5.1

习题5.11.,,,,,().11,,().22ABCDAB AD AC DB MA M AC DB MA AM AC ===+=-=-=-=-+ 设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点解a b.a b a b a b a b()2.,1().211221().2M AB O OM OA OB OM OA AM OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+=+-=+设为线段的中点,为空间中的任意一点证明证3.,,1().3221()3321(),31(),3M ABC O OM OA OB OC OM OA AM OA AD OA AB AC OA AB AC OM OB BA BC OM OC =++=+=+=+⨯+=++=++=设为三角形的重心为空间中任意一点证明证1().313,().3CA CB OM OA OB OC OM OA OB OC ++=++=++4.,1,().41(),211(),(),221().24ABCD M O OM OA OB OC OD OM OA AM OA AB AD OM OB BA AD OM OC BA DA OM OD AB DA OM OA OB OC OD =+++=+=++=++=++=++=+++ 设平行四边形的对角线交点为为空间中的任意一点证明证1,().4OM OA OB OC OD =+++2222225.?(1)()();(2)();(3)()().(1).:()().(2).:()0, 1.(3),6.==⨯=⨯======0 对于任意三个向量与判断下列各式是否成立不成立例如,不成立例如,成立都是与组成的平行六面体的有向体积利用向量证明三角形两边中点的连线平行解a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b a b i c =j.a b c =j,b c a =a i b j,a b a b a,b c .,112211().22DE DA AE BA ACBA AC BC =+=+=+=于第三边并且等于第三边长度之半.证2227.:(1),;(2).(1)()()()()||||0.()cos |||||||||||||AC BD AB BC BC CD AB BC BC CD BC CD AB AC AB AB AD AB AB AB AD a AB ADAB AC AB AC AB AC α=++=+-=-=+++===利用向量证明菱形的对角线互相垂直且平分顶角勾股弦定理证2,||()cos cos .|||||||||||,.a AC AD AB AD AD AB AD AD a AB ADAB AC AB AC a AC βααβαβ+++===== 与都是锐角故 22222(2)||()()||||2||||.ACAC AC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC ==++=++=+2222222222222222228.()()||||.()()||||cos ||||sin ||||(cos sin )||||.9..||.AB AC ABC ABC ABDC AB AC αααα⨯+=⨯+=+=+=∆=⨯证明恒等式试用向量与表示三角形的面积11的面积=的面积22证解a b a b a b a b a b a b a b a b a b222222222210.,,,()()2().()()()()()()222().=++-=+++-=+++--=-+ 给定向量记为即现设为任意向量证明证a a a a a a a.a b , :a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a +b b +a b +a a +b b a b =a b2222222222211.,,:().:()||(||sin )||sin ||.,αα⨯≤⨯=⨯==≤=对于任意向量证明问等号成立的充分必要条件是什么?等号成立的充分必要条件是正交证22a b a b a b a b a b a ||b a ||b a ||b a b a b .。

高等数学题库第05章(定积分)

第五章定积分习题一一．选择题 1.⎰b xt dt e dx d 2的结果为( ) A.2x e B. 2x e - C. 22x b e e - D. 22x xe - 2.设()x f 连续,则()⎰=-→xa ax dt t f ax x lim( ) A.0 B.a C.()a af D. ()a f 3.设函数()⎰-=xdt t y 01,则y 有( )A.极小值21 B. 极小值21- C. 极大值21 D. 极大值21- 4.若()()⎰-=xdt x t dxd x f 0cos ,则()=x f ( ) A.x cos B. x cos - C.x sin D.x sin -5.若()⎰=+122dx k x ,则=k ( )A.0B.-1C.1D.21 6.曲线x y -=42与y 轴所围图形的面积为( ) A.()⎰--2224dy y B. ()⎰-224dy y C.dx x ⎰-44 D. dx x ⎰--444二．填空题1.若物体以速度()()()0≥=t v t v v 作直线运动,用定积分表示从时刻1t 到时刻2t 所经过的路程S,则S= .2.设平面图形由直线)1(,>==b b x x y 和曲线1=xy 所围(第一象限部分),该图形的面积I 的定积分表达式为 .3.()()[]=--⎰-dx x f x f a a.4.⎰-=-11221sin dx xx arc x .5.⎰=bdx x 0.6.设()x f '在[]b a ,连续,且()()1,0==b f a f ,则()()[]⎰=+badx x f x f 2'1 .7.设()x f 在()+∞∞-,一阶可导,()()()⎰≠=x x dt t xf x F 1,0则()=x F '' . 8.⎰=++∞→10421limdx x n nxn .9.若广义积分()⎰+∞2ln kx x dx发散,则k 的取值为 .10.由0,1,4>≥≤x y xy 所夹图形绕y 轴旋转所成旋转体体积V = . 三、计算题 1. 计算⎰+1313arctan dx xx x .2. 计算⎰+∞-0sin xdx e x .3. 求⎰-=xt dt e x f 02)(对x 的导数.4. 计算⎰-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++112)2ln(cos 3tan sin dx x x x x . 5. 计算⎰--22232)1(dx x .6. ⎰e dx x 13)(ln 7. ⎰-1)1(arcsin dx x x x习题二一．选择题1.()x f 在[]b a ,上连续是()⎰ba dx x f 存在的( )A.必要条件B.充分条件C. 充分必要条件D.以上A 、B 、C 都不对 2.在积分中值定理()()()a b f dx x f ba -=⎰ξ中,ξ是( )A. []b a ,内任意一点B. []b a ,的中点C. []b a ,内某一点D. []b a ,内至少存在的某一点3.若()x f 可导,()()20,00'==ff ,则()2limxdt t f xx ⎰→的值为( )A.0B.1C.2D.不存在4.设()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=⎰0,0,122x a x x dte xf x t 若()x f 在0=x 连续则必有( ) A.1=a B.2=a C.0=a D.1-=a 5.⎰=+b a dx xdx d 211( D ) A.211x + B. 211b + C. 211a+- D.0 6.设()()⎰-=x x f dt t f 02121，且()10=f ,则()x f =( )A.2xe B.x e 21 C.x e 2 D.x e 2217.若()()()⎰+==xtxCdt t e x f e x x g 02122213,,且()()23lim '=+∞→x g x f x ,则必有( ) A.C=0 B.C=1 C.C=-1 D.C=2 8.=⎰-112dx x ( )A.0B.21C.1D.2 9.设()x f ''在[]b a ,连续,且()()b a f a b f =='',,则()()⎰∙b adx x f x f '''=( )A.b a -B. )(21b a -C.22b a -D.)(2122b a -10.若10=⎰+∞-dx ae x 收敛,则=a ( )A.1B.2C.21D. 21- 二．填空题1.设()x f 在积分区间上连续,则()()[]=--⎰-dx x f x f x aa2 .2.定积分⎰-=22cos ππxdx x .3.定积分⎰-=22cos ππxdx x .4.定积分()⎰-=+ππdx x xsin 2.5.定积分⎰-=+222cos 1sin ππdx x x.6.设()⎰=x tdt x f 0tan ,则()=x f ' . 7.设()⎰+∙=20321x dt t t x f ,则()=x f ' .8.设()⎰=xtdt x f 1arctan ,则()=x f ' .9.设()⎰=x tdt x f 0sin ,则=⎪⎭⎫⎝⎛2'πf .10.⎰+∞-=02dx e x .三、计算题1. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-=-10 ,1101 ,)(2x x x xe x f x ,求⎰-2 0.)1(dx x f2. 求极限)cos 1()1arctan(lim 0002x x du dt t xu x -⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰→. 3. ⎰+1)1ln(dx x .4. 将2)(2--=x x xx f 展成x 的幂级数.5. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=+0,)1ln(0,)1(2x x x x xe x f x，求⎰-41)2(dx x f .6.求定积分⎰------6)6)(5)(4)(3)(2)(1(dx x x x x x x x .7．设连续函数)(x f 满足方程x xe dt tf x f +=⎰0)()(，求)(x f .习题三一．选择题1.设()x f 在区间[]b a ,上连续,则()()⎰⎰-babadt t f dx x f 的值( )A.小于0B.大于0C.等于0D.不能确定2.设()x f 在[]b a ,上连续,x 是[]b a ,上的任一点,则下式中是()x f 的一个原函数的是( )A.()⎰dx x fB.()⎰badx x f C.()⎰xadt t f D.()⎰xadt t f '3.设函数()x f 在区间[]b a ,上连续,则下列结论不正确的是( ) A.()⎰badx x f 是()x f 的一个原函数 B.()⎰xadt t f 是()x f 的一个原函数()b x a <<C.()⎰bxdt t f 是-()x f 的一个原函数 D. ()x f 在[]b a ,上是可积的4.设函数()x f 在[]1,0上连续,令x t 4=,则()⎰=14dx x f ( )A.()⎰40dt t f B.()⎰1041dt t f C. ()⎰404dt t f D. ()⎰441dt t f 5.广义积分⎰+∞-+222x x dx( )A.收敛于2ln 32B. 收敛于2ln 23C. 收敛于41ln 31 D.发散6.⎰baxdx dx d arctan 等于( ) A.x arctan B.211x + C.a b arctan arctan - D.07.若函数()x x x f +=3,则()⎰-22dx x f 的值等于( )A.0B.8C. ()⎰20dx x f D. ()⎰22dx x f8.下列定积分等于零的是( )A.⎰-112cos xdx x B. ⎰-11sin xdx x C. ⎰-+11)sin (dx x x D. ⎰-+11)(dx x e x9.变上限积分()⎰xadt t f 是( )A.()x f ' 的一个原函数B.()x f '的全体原函数C.()x f 的一个原函数D.()x f 的全体原函数10.极限⎰⎰→x xx tdttdtsin lim等于( )A.-1B.0C.1D.2二．填空题1.根据定积分的几何意义,有()⎰=-101dx x .2.设(),sin 12dt t x x⎰=ϕ则导数()=x 'ϕ .3.⎰--=121dx x . 4.()⎰=xa dt t f dx d . 5.()⎰=2x a dt t f dx d . 6.()⎰=ua dt t f du d . 7.()⎰=badx x f dx d . 8.=++⎰4122dx x x .9.=⎰210arcsin xdx .10.设()()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=+,0,1,0,111x e x x x x f x 则定积分()=-⎰201dx x f .三、计算题1. 计算⎰++102132dx x x . 2. 设xxe x f =+)12(, 求⎰53)(dt t f .3. 已知⎰+=+12)1ln()()(2x x f dx x f x , 求⎰1)(dx x f .4. 讨论级数∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--111co s 1)1(n n n 的敛散性, 若收敛,指出其条件收敛或绝对收敛.5. 计算⎰-20)2sin(1πdx x .6. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≥<=1,ln 1,)(2x x x x xe x f x ，求.)2(41⎰-dx x f7. 求.)2()1ln(102⎰-+dx x x习题四一．选择题 1.()⎰=+xdt t dx d 021ln （） A ．()1ln 2+x B.()1ln 2+t C.()1ln 22+x x D.()1ln 22+t t 2.=⎰→320sin limx dt t xx ( )A.0B.1C.31D.∞3.下列积分中,使用变换正确的是( )A.⎰+π03,sin 1dx xdx 令t x arctan = B.⎰-3023,1dx x x 令t x sin = C.()⎰-++2122,11ln dx xx x 令21x u += D.⎰--112,1dx x 令31t x = 4.下列积分中,值为零的是( )A.⎰-112dx x B.⎰-213dx x C.⎰-11dx D.⎰-112sin xdx x二．填空题1. 若2x e -为)(x f 的一个原函数，则='⎰1)(dx x f x .2. 函数⎰--=xdt t t y 02)2()1(的极小值点是 .3. 若)(x f 在R 上连续，则=⎰-aadt x f x )(cos 3 .4. 若⎰+=yx t dt e y x f 402),(，则='),(y x f x .5. 若⎰=x t dt xe x f 0)(，则=dxdf. 6. ⎰+∞-=04dx e x x .7. 若平面区域{}0,4),(22≥≤+=y y x y x D ，则=⎰⎰Ddxdy .8. =⎰∞→32sin limt xdx x tt . 9. 设,sin )(C xxdx x f +=⎰则=⎰362)(ππdx x xf .10. 设,)sin 3()( 02⎰+=x dt t t x f 则=→23)(limx x f x . 三、计算题1. 求连续函数),(x f 使其满足20)(2)(x dt t f x f x=+⎰.2. 计算⎰-12112dx ex .3. 计算⎰-0|cos sin |πdx x x .4. 讨论⎰+∞dx e ax 的敛散性.5. 设x e x f -=)(，（1）求dx x f ⎰)(;（2）若)()(x f x F ='，且1)0(=F ，求)(x F 的表达式；（3）计算⎰ba dx x f )(；（4）判别⎰+∞1)(dx x f 的收敛性，若收敛，求其值；（5）求202)(lim2xdt t f x x ⎰→；6. 计算⎰-12112dx ex .7. 可微函数)(x f y =满足⎰-=-xdt t f x f 0]1)(2[1)(，求：（1）)0(f ; （2）)(x f答案习题一一．选择题 1.⎰b xt dt e dx d 2的结果为( B ) A.2x e B. 2x e - C. 22x b e e - D. 22x xe - 2.设()x f 连续,则()⎰=-→xa ax dt t f ax x lim( C ) A.0 B.a C.()a af D. ()a f 3.设函数()⎰-=xdt t y 01,则y 有( B )A.极小值21 B. 极小值21- C. 极大值21 D. 极大值21-4.若()()⎰-=xdt x t dx d x f 0cos ,则()=x f ( A ) A.x cos B. x cos - C.x sin D.x sin -5.若()⎰=+122dx k x ,则=k ( C )A.0B.-1C.1D.21 6.曲线x y -=42与y 轴所围图形的面积为( A ) A.()⎰--2224dy y B. ()⎰-224dy y C.dx x ⎰-44 D. dx x ⎰--444二．填空题1.若物体以速度()()()0≥=t v t v v 作直线运动,用定积分表示从时刻1t 到时刻2t 所经过的路程S,则S= . ()⎰21t t dt t v2.设平面图形由直线)1(,>==b b x x y 和曲线1=xy 所围(第一象限部分),该图形的面积I 的定积分表达式为 . ⎰⎪⎭⎫⎝⎛-b dx x x 113.()()[]=--⎰-dx x f x f aa. 04.⎰-=-11221sin dx xx arc x . 05.⎰=b dx x 0 . 221b ± 6.设()x f '在[]b a ,连续,且()()1,0==b f a f ,则()()[]⎰=+badx x f x f 2'1 .4π 7.设()x f 在()+∞∞-,一阶可导,()()()⎰≠=x x dt t xf x F 1,0则()=x F '' . ⎪⎭⎫⎝⎛x f x 11'3 8.⎰=++∞→10421limdx x n nx n . 4π9.若广义积分()⎰+∞2ln kx x dx发散,则k 的取值为 . 1>k10.由0,1,4>≥≤x y xy 所夹图形绕y 轴旋转所成旋转体体积V = . π 三、计算题 1. 计算⎰+1313arctan dx xx x .2. 计算⎰+∞-0sin xdx e x .3. 求⎰-=xt dt e x f 02)(对x 的导数.4. 计算⎰-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++112)2ln(cos 3tan sin dx x x x x . 5. 计算⎰--22232)1(dx x .6. ⎰e dx x 13)(ln 7. ⎰-1)1(arcsin dx x x x习题二一．选择题1.()x f 在[]b a ,上连续是()⎰ba dx x f 存在的( B )A.必要条件B.充分条件C. 充分必要条件D.以上A 、B 、C 都不对 2.在积分中值定理()()()a b f dx x f ba -=⎰ξ中,ξ是( D )A. []b a ,内任意一点B. []b a ,的中点C. []b a ,内某一点D. []b a ,内至少存在的某一点 3.若()x f 可导,()()20,00'==ff ,则()2limx dt t f xx ⎰→的值为( B ) A.0 B.1 C.2 D.不存在4.设()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=⎰0,0,122x a x x dte xf x t 若()x f 在0=x 连续则必有( C ) A.1=a B.2=a C.0=a D.1-=a 5.⎰=+b a dx x dx d 211( D ) A.211x + B. 211b + C. 211a+- D.06.设()()⎰-=xx f dt t f 02121，且()10=f ,则()x f =( C ) A.2xe B.x e 21 C.x e 2 D.x e 2217.若()()()⎰+==xtxCdt t e x f e x x g 02122213,,且()()23lim '=+∞→x g x f x ,则必有( B ) A.C=0 B.C=1 C.C=-1 D.C=2 8.=⎰-112dx x ( C )A.0B.21C.1D.2 9.设()x f ''在[]b a ,连续,且()()b a f a b f =='',,则()()⎰∙b adx x f x f '''=( D )A.b a -B. )(21b a -C.22b a -D.)(2122b a -10.若10=⎰+∞-dx ae x 收敛,则=a ( C )A.1B.2C.21D. 21- 二．填空题1.设()x f 在积分区间上连续,则()()[]=--⎰-dx x f x f x aa2 . 02.定积分⎰-=22cos ππxdx x . 03.定积分⎰-=22cos ππxdx x . 04.定积分()⎰-=+ππdx x xsin 2. 332π5.定积分⎰-=+222cos 1sin ππdx x x. 06.设()⎰=x tdt x f 0tan ,则()=x f ' . x tan7.设()⎰+∙=20321x dt t t x f ,则()=x f ' . 34312x x +∙8.设()⎰=xtdt x f 1arctan ,则()=x f ' . x arctan9.设()⎰=x tdt x f 0sin ,则=⎪⎭⎫⎝⎛2'πf . 110.⎰+∞-=02dx e x .21三、计算题1. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-=-10 ,1101 ,)(2x x x xe x f x ,求⎰-2 0.)1(dx x f2. 求极限)cos 1()1arctan(lim0002x x du dt t xu x -⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰→. 3. ⎰+1)1ln(dx x .4. 将2)(2--=x x xx f 展成x 的幂级数.5. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=+0,)1ln(0,)1(2x x x x xe x f x，求⎰-41)2(dx x f .6.求定积分⎰------6)6)(5)(4)(3)(2)(1(dx x x x x x x x .7．设连续函数)(x f 满足方程x xe dt tf x f +=⎰0)()(，求)(x f .习题三一．选择题1.设()x f 在区间[]b a ,上连续,则()()⎰⎰-babadt t f dx x f 的值( C )A.小于0B.大于0C.等于0D.不能确定2.设()x f 在[]b a ,上连续,x 是[]b a ,上的任一点,则下式中是()x f 的一个原函数的是( C )A.()⎰dx x fB.()⎰badx x f C.()⎰xadt t f D.()⎰xadt t f '3.设函数()x f 在区间[]b a ,上连续,则下列结论不正确的是( A ) A.()⎰b adx x f 是()x f 的一个原函数 B.()⎰xadt t f 是()x f 的一个原函数()b x a <<C.()⎰b xdt t f 是-()x f 的一个原函数 D. ()x f 在[]b a ,上是可积的 4.设函数()x f 在[]1,0上连续,令x t 4=,则()⎰=104dx x f ( D )A.()⎰4dt t f B. ()⎰1041dt t f C. ()⎰404dt t f D. ()⎰441dt t f5.广义积分⎰+∞-+222x x dx( A )A.收敛于2ln 32B. 收敛于2ln 23C. 收敛于41ln 31 D.发散6.⎰baxdx dx d arctan 等于( D ) A.x arctan B.211x + C.a b arctan arctan - D.07.若函数()x x x f +=3,则()⎰-22dx x f 的值等于( A )A.0B.8C. ()⎰20dx x f D. ()⎰22dx x f8.下列定积分等于零的是( C )A.⎰-112cos xdx x B. ⎰-11sin xdx x C. ⎰-+11)sin (dx x x D. ⎰-+11)(dx x e x9.变上限积分()⎰xadt t f 是( C )A.()x f ' 的一个原函数B.()x f '的全体原函数C.()x f 的一个原函数D.()x f 的全体原函数10.极限⎰⎰→x xx tdttdtsin lim等于( C )A.-1B.0C.1D.2二．填空题1.根据定积分的几何意义,有()⎰=-101dx x .21 2.设(),sin 12dt t x x⎰=ϕ则导数()=x 'ϕ . 2sin x3.⎰--=121dx x . 2ln - 4.()⎰=xa dt t f dx d . ()x f 5.()⎰=2x a dt t f dx d . ()22x xf 6.()⎰=ua dt t f du d . ()u f 7.()⎰=badx x f dx d . 0 8.=++⎰4122dx x x .322 9.=⎰210arcsin xdx .12312-+π10.设()()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=+,0,1,0,111x e x x x x f x 则定积分()=-⎰201dx x f . 2ln 1+三、计算题1. 计算⎰++102132dx x x . 2. 设x xe x f =+)12(, 求⎰53)(dt t f .3. 已知⎰+=+12)1ln()()(2x x f dx x f x , 求⎰1)(dx x f .4. 讨论级数∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--111co s 1)1(n n n 的敛散性, 若收敛,指出其条件收敛或绝对收敛.5. 计算⎰-20)2sin(1πdx x .6. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≥<=1,ln 1,)(2x x x x xe x f x ，求.)2(41⎰-dx x f7. 求.)2()1ln(102⎰-+dx x x习题四一．选择题 1.()⎰=+xdt t dx d 021ln （ A ） A ．()1ln 2+x B.()1ln 2+t C.()1ln 22+x x D.()1ln 22+t t2.=⎰→320sin limx dt t xx ( C )A.0B.1C.31D.∞3.下列积分中,使用变换正确的是( C )A.⎰+π03,sin 1dx xdx 令t x arctan = B.⎰-3023,1dx x x 令t x sin =C.()⎰-++2122,11ln dx xx x 令21x u += D.⎰--112,1dx x 令31t x = 4.下列积分中,值为零的是( A )A.⎰-112dx x B.⎰-213dx x C.⎰-11dx D.⎰-112sin xdx x二．填空题1. 若2x e -为)(x f 的一个原函数，则='⎰1)(dx x f x .2. 函数⎰--=xdt t t y 02)2()1(的极小值点是 .3. 若)(x f 在R 上连续，则=⎰-aadt x f x )(cos 3 .4. 若⎰+=yx t dt e y x f 402),(，则='),(y x f x .5. 若⎰=x t dt xe x f 0)(，则=dxdf. 6. ⎰+∞-=04dx e x x .7. 若平面区域{}0,4),(22≥≤+=y y x y x D ，则=⎰⎰Ddxdy .8. =⎰∞→32sin limt xdx x tt . 9. 设,sin )(C xxdx x f +=⎰则=⎰362)(ππdx x xf .10. 设,)sin 3()( 02⎰+=x dt t t x f 则=→23)(limx x f x . 三、计算题1. 求连续函数),(x f 使其满足20)(2)(x dt t f x f x=+⎰.2. 计算⎰-12112dx ex .3. 计算⎰-20|cos sin |πdx x x .4. 讨论⎰+∞dx e ax 的敛散性.5. 设x e x f -=)(，（1）求dx x f ⎰)(;（2）若)()(x f x F ='，且1)0(=F ，求)(x F 的表达式；（3）计算⎰ba dx x f )(；（4）判别⎰+∞1)(dx x f 的收敛性，若收敛，求其值；（5）求202)(lim2xdt t f x x ⎰→；6. 计算⎰-12112dx ex .7. 可微函数)(x f y =满足⎰-=-xdt t f x f 0]1)(2[1)(，求：（1）)0(f ; （2）)(x f。

第五章第三节等比数列及其前n项和课时作业经典高考练习及答案详解

课时作业 A 组基础对点练1．设数列{a n }满足：2a n ＝a n ＋1(n ∈N *)，且前n 项和为S n ，则S 4a 2的值为( )A.152 B.154 C ．4D ．2解析：由题意知，数列{a n }是以2为公比的等比数列，故S 4a 2＝a 1(1－24)1－2a 1×2＝152，故选A.答案：A2．(2017·河南名校联考)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，a 9＝a 2a 3a 4，则公比q 的值为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：由a 9＝a 2a 3a 4得a 1q 8＝a 31q 6，所以q 2＝a 21，因为等比数列{a n }的各项都为正数，所以q ＝a 1＝3.答案：D3．在等比数列{a n }中，a 5a 11＝3，a 3＋a 13＝4，则a 15a 5＝( )A ．3B ．－13C ．3或13D ．－3或－13解析：根据等比数列的性质得⎩⎪⎨⎪⎧(a 3q 5)2＝3，a 3(1＋q 10)＝4，化简得3q 20－10q 10＋3＝0，解得q 10＝3或13，所以a 15a 5＝a 5q 10a 5＝q 10＝3或13. 答案：C4．(2017·泰安模拟)在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x ＋y ＋z 的值为( )2 4 1 2 x yzA.1B ．2C ．3D ．4解析：由题知表格中第三纵列中的数成首项为4，公比为12的等比数列，故有x ＝1.根据每横行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，52，故第四列的公比为12.所以y ＝5×⎝⎛⎭⎫123＝58，同理z ＝6×⎝⎛⎭⎫124＝38，因此x ＋y ＋z ＝2. 答案：B5．已知各项均是正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4的值为( )A.5－12B.5＋12C ．－5－12D.5－12或5＋12解析：设{a n }的公比为q (q ＞0)，由a 3＝a 2＋a 1，得q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52.从而a 4＋a 5a 3＋a 4＝q ＝1＋52.答案：B6．已知{a n }为等比数列，且a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18，若a n ＝12，则n ＝________.解析：设{a n }的公比为q ，由a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝(a 3＋a 6)q ＝18，解得q ＝12，由a 1(q 2＋q 5)＝36得a 1＝128，进而a n ＝128·⎝⎛⎭⎫12n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －8.由a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －8＝12，解得n ＝9. 答案：97．(2017·天津六校联考)设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________.解析：法一：由题意得a n ＝(－2)n －1，所以a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋|－2|＋(－2)2＋|(－2)3|＝15.法二：由题意得a n ＝1×(－2)n －1，因为a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|，所以数列{|a n |}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为1－241－2＝15.答案：158．已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5.对任意的m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m ，则数列{b m }的前m 项和S m ＝________.解析：设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n .由T 5＝105，a 10＝2a 5，得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×(5－1)2d ＝105，a 1＋9d ＝2(a 1＋4d )，解得a 1＝7，d ＝7，因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N *)．对任意的m ∈N *，若a n ＝7n ≤72m ，则n ≤72m －1.因此b m ＝72m －1，所以数列{b m }是首项为7，公比为49的等比数列，故S m ＝7×(1－49m )1－49＝7×(72m －1)48＝72m ＋1－748.答案：72m ＋1－7489．(2017·合肥质检)在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n ，n ∈N *.(1)求证：数列{a nn }为等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解析：(1)证明：由a n ＋1＝n ＋12n a n 知a n ＋1n ＋1＝12·a nn，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为12，公比为12的等比数列，∴a n n ＝⎝⎛⎭⎫12n ，∴a n＝n2n ， ∴S n ＝121＋222＋…＋n2n ，①则12S n ＝122＋223＋…＋n2n ＋1，② ①－②得：12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，∴S n ＝2－n ＋22n .10．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋3(n ∈N *)．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝2a n，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)证明：由a n ＋1＝a n a n ＋3(n ∈N *)，可得1a n ＋1＝a n ＋3a n ＝1＋3a n .∴1a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫1a n ＋12，又a 1＝1，则1a 1＋12＝32， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，∴1a n ＋12＝32×3n －1，∴a n ＝23n －1.(2)∵数列{b n }满足b n ＝2a n＝3n －1，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝3＋32＋ (3)－n ＝3(3n －1)2－n ＝3n ＋1－32－n .B 组能力提速练1．在数列{a n }中，“a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…”是“{a n }是公比为2的等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a n ＝0时，也有a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…，但{a n }不是等比数列，因此充分性不成立；当{a n }是公比为2的等比数列时，有a na n －1＝2，n ＝2,3,4，…，即a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…，所以必要性成立．故选B.答案：B2．已知等比数列{a n }的前n 项积记为Ⅱn ，若a 3a 4a 8＝8，则Ⅱ9＝( ) A ．512 B ．256 C ．81D ．16解析：由题意知，a 3a 4a 7q ＝a 3a 7a 4q ＝a 3a 7a 5＝a 35＝8，Ⅱ9＝a 1a 2a 3…a 9＝(a 1a 9)(a 2a 8)(a 3a 7)(a 4a 6)a 5＝a 95，所以Ⅱ9＝83＝512.答案：A3．已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }满足b n ＝lg a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }的前n 项和的最大值为( )A ．126B ．130C ．132D ．134解析：设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由题意可知，lg a 3＝b 3，lg a 6＝b 6.又b 3＝18，b 6＝12，则a 1q 2＝1018，a 1q 5＝1012，∴q 3＝10－6，即q ＝10－2，∴a 1＝1022.又{a n }为正项等比数列，∴{b n }为等差数列，且公差d ＝－2，b 1＝22，故b n ＝22＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋24.∴数列{b n }的前n 项和S n ＝22n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋23n ＝－(n －232)2＋5294.又n ∈N *，故n ＝11或12时，(S n )max ＝132.答案：C4．(2017·陕西质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．解析：(1)证明：n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1，又a 1＝1≠0，∴{a n }是首项为1，公比为43的等比数列．(2)∵a n ＝⎝⎛⎭⎫43n －1，由b n＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，得b n ＋1－b n ＝⎝⎛⎭⎫43n －1.当n ≥2时，可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝⎛⎭⎫43n －11－43＝3×⎝⎛⎭⎫43n －1－1，当n ＝1时，上式也成立，∴数列{b n }的通项公式为b n ＝3×⎝⎛⎭⎫43n －1－1.5．(2017·唐山模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n＋2n (n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．解析：(1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)·S n ＋2n (n ∈N *)， ∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4， ∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6， ∴a 3＝8.(2)证明：∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2.∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2， ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0， ∴S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．。

(精选试题附答案)高中数学第五章三角函数解题方法技巧

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第五章三角函数解题方法技巧单选题1、若角α的终边上一点的坐标为(1，−1)，则cosα=( ) A ．−1B ．−√22C ．√22D ．1 答案：C分析：根据任意角三角函数的定义即可求解.∵角α的终边上一点的坐标为(1，−1)，它与原点的距离r =√12+(−1)2=√2， ∴cosα=xr =√2=√22，故选：C.2、将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以A 、B 、C 为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（）（1）曲线Γ不是等宽曲线；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长；（3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB 的长；（4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等；（5）若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：B分析：若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12，根据定义逐项判断即可得出结论. 若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12，（1）根据定义，可以得曲线Γ是等宽曲线，错误；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长，正确；（3）根据（2）得（3）错误；（4）曲线Γ的周长为3×16×2π=π，圆的周长为2π×12=π，故它们的周长相等，正确；（5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为π×126=π6，正三角形的面积S =12×1×1×√32=√34，则一个弓形面积S =π6−√34，则整个区域的面积为3(π6−√34)+√34=π2−√32，而圆的面积为π(12)2=π4，不相等，故错误；综上，正确的有2个，故选：B.小提示：本题主要考查新定义，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键． 3、sin1860°等于（） A ．12B ．-12C ．√32D ．-√32答案：C分析：用诱导公式先化简后求值.sin1860°=sin(5×360°+60°)=sin60°=√32,故选: C4、已知锐角α终边上一点A的坐标为(2sin3,−2cos3)，则角α的弧度数为（）A．3−π2B．π2−3C．π−3D．3π2−3答案：A分析：先根据定义得α正切值，再根据诱导公式求解tanα=−2cos32sin3=−sin(π2−3)cos(π2−3)=tan(3−π2)，又0<3−π2<π2，α为锐角，∴α=3−π2，故选：A.5、已知函数f(x)=sin(2x+π3)，为了得到函数g(x)=cos(2x+π3)的图象只需将y=f(x)的图象（）A．向左平移π4个单位B．向右平移π4个单位C．向左平移π2个单位D．向右平移π2个单位答案：A分析：利用三角函数的平移结合诱导公式即可求解. 解：因为sin(2x+π3+π2)=cos(2x+π3)所以sin(2x+π3)→sin(2x+π2+π3)，只需将f(x)的图象向左平移π4个单位，故选：A.6、若sinα+cosαsinα−cosα=12，则tan (α+π4)的值为（） A ．−2B ．2C ．−12D ．12答案：C分析：利用弦化切和两角和的正切展开式化简计算可得答案. 因为sinα+cosαsinα−cosα=12．所以tanα+1tanα−1=12，解得tanα=−3，于是tan (α+π4)=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=−3+11−(−3)=−12．故选：C.7、已知tanθ=2，则sin(π2+θ)−cos(π−θ)cosθ−sin(π−θ)=（）A ．2B ．-2C ．0D ．23 答案：B分析：根据tanθ=2，利用诱导公式和商数关系求解. 因为tanθ=2，所以sin(π2+θ)−cos(π−θ)cosθ−sin(π−θ)，=2cosθcosθ−sinθ， =21−tanθ=−2，故选：B8、已知sin (π+α)=35，则sin(−α)cos(π−α)sin(π2−α)=（）A ．−45B ．45C ．−35D ．35 答案：C解析：由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果.∵sin(π+α)=35=−sinα，∴sinα=−35，则sin(−α)cos(π−α)sin(π2−α)=−sinα⋅(−cosα)cosα=sinα=−35，故选：C9、已知sinαcosα=−16, π4<α<3π4，则sinα-cosα的值等于（）A ．2√33B ．−2√33C ．−√63D ．43答案：A分析：结合同角三角函数的基本关系式，利用平方的方法求得正确结论. 由于sinαcosα=−16, π4<α<3π4，所以sinα>0,cosα<0，故sinα−cosα>0，所以sinα−cosα=√(sinα−cosα)2=√1−2sinαcosα=√1+13=2√33. 故选：A10、已知角α的终边与单位圆的交点P (45,35)，则sin (π−α)=（） A ．−35B ．−45C ．35D ．45 答案：C分析：首先根据三角函数的定义求得sinα，然后根据诱导公式求得正确结果.依题意sinα=35√(5)2+(5)2=35，sin (π−α)=sinα=35.故选：C 填空题11、已知角θ的终边经过点M (3m,1−m )，且tanθ=2，则实数m =______．答案：17分析：根据三角函数的定义，已知角终边上的点(x,y )，则角的正切值为yx，可得答案由三角函数的定义可知tanθ=1−m 3m=2，解得m =17．所以答案是：1712、写出一个满足tan20°＋4cos θ＝√3的θ＝_________. 答案：70°（答案不唯一）．分析：√3=tan60°，然后变形tan60°−tan20°可得．由题意4cosθ=√3−tan20°=tan60°−tan20°=sin60°cos60°−sin20°cos20°=sin60°cos20°−cos60°sin20°cos60°cos20°=sin40°cos60°cos20°=2sin20°cos20°12cos20°=4sin20°=4cos70°，因此θ=70°（实际上θ=k ⋅360°±70°,k ∈Z ）．所以答案是：70°（答案不唯一）．13、求值：sin10°−√3cos10°cos40°=____________．答案：−2分析：应用辅助角公式及诱导公式化简求值即可.sin10°−√3cos10°cos40°=2(12sin10°−√32cos10°)cos40°=2sin(10°−60°)cos40°=−2sin50°cos40°=−2．所以答案是：−214、已知tanθ=12，则sinθsin 3θ+cosθ=______. 答案：511分析：进行弦化切，把tanθ=12代入直接求值. 因为tanθ=12，所以sinθ≠0,cosθ≠0，所以sinθsin 3θ+cosθ=1sin 2θ+1tanθ=1sin 2θ+2=sin 2θ+cos 2θ3sin 2θ+2cos 2θ=tan 2θ+13tan 2θ+2=511.所以答案是：51115、已知sin 2(π4+α) =23，则sin2α的值是____.答案：13分析：直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.∵sin 2(π4+α)=(√22cosα+√22sinα)2=12(1+sin2α)∴12(1+sin2α)=23∴sin2α=13所以答案是：13小提示：本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 解答题16、已知函数f (x )=Asin(ωx +φ)+B (A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示.(1)求f (x )的解析式及对称中心坐标：(2)先把f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数g (x )的图象，若当x ∈[−π4,π6]时，关于x 的方程g (x )+2a −1=0有实数根，求实数a 的取值范围. 答案：(1)f(x)=2sin (2x +π3)−1，(k π2−π6,−1) (k ∈Z )分析：（1）由最大值和最小值求得A ，B 的值，由T2=7π12−π12以及T =2πω可得ω的值，再由最高点可求得φ的值，即可得f (x )的解析式，由正弦函数的对称中心可得f (x )对称中心；（2）由图象的平移变换求得g (x )的解析式，由正弦函数的性质可得g (x )的值域，令1−2a 的取值为g (x )的值域，解不等式即可求解. （1）由题意可得：{A +B =1−A +B =−3 ，可得{A =2B =−1，所以f (x )=2sin(ωx +φ)−1，因为T2=7π12−π12=π2，所以T =π=2πω，可得ω=2，所以f (x )=2sin(2x +φ)−1，由2×π12+φ=π2+2k π(k ∈Z )可得φ=π3+2k π(k ∈Z )，因为|φ|<π2，所以k =0，φ=π3，所以f (x )=2sin (2x +π3)−1. 令2x +π3=k π(k ∈Z )可得x =k π2−π6(k ∈Z )，所以对称中心为(k π2−π6,−1)(k ∈Z ).（2）由题意可得：g (x )=2sin [2(x +π6)+π3]−1+1=2sin (2x +2π3)，当x ∈[−π4,π6]时，2x +2π3∈[π6,π]，sin (2x +2π3)∈[0,1]，g (x )∈[0,2]若关于x 的方程g (x )+2a −1=0有实数根，则1−2a =g (x )有实根，所以0≤1−2a ≤2，可得：−12≤a ≤12. 所以实数a 的取值范围为[−12,12]. 17、已知函数f (x )=2sin (2x +π6)+2. (1)若f (α)=3，且α∈(0,π)，求α的值；(2)若对任意的x ∈[π4,π2]，不等式f (x )>m −3恒成立，求实数m 的取值范围.(2)(−∞,4)分析：（1）根据已知条件求得sin (2α+π6)=12，结合α∈(0,π)即可求解；（2）根据x 的范围求得f (x )的范围，只需f (x )min >m −3即可求解. (1)因为f (α)=3，所以2sin (2α+π6)+2=3，即sin (2α+π6)=12，又由α∈(0,π)，得π6<2α+π6<13π6，所以2α+π6=5π6，解得α=π3. (2)对x ∈[π4,π2]，有2π3≤2x +π6≤7π6，所以−12≤sin (2α+π6)≤√32，可得1≤f (x )≤2+√3，所以要使f (x )>m −3对任意的x ∈[π4,π2]恒成立，只需f (x )min >m −3，所以m −3<1，解得：m <4. 故所求实数m 的取值范围为(−∞,4).18、已知f (α)=sin (π−α)cos (2π−α)cos(3π2−α)cos(π2−α)sin (−π−α).(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且sin (α−π)=15，求f (α)的值.答案：(1)f(α)=−cosα;(2)2√65. 分析：(1)根据诱导公式直接化简即可;(2)由sin (α−π)=15,可以利用诱导公式计算出sinα,再根据角所在象限确定cosα,进而得出结论.(1)根据诱导公式f(α)=sin(π−α)cos(2π−α)cos(3π2−α) cos(π2−α)sin(−π−α)=sinα⋅cosα⋅(−sinα)sinα⋅sinα=−cosα,所以f(α)=−cosα;(2)由诱导公式可知sin(α−π)=−sinα,即sinα=−15,又α是第三象限角,所以cosα=−√1−sin2α=−2√65,所以f(α)=−cosα=2√65.小提示：本题主要考查诱导公式的运用,属于基础题.使用诱导公式时,常利用口诀“奇变偶不变,符号看象限”进行记忆.19、已知α,β∈(0,π2)，且sinα=35,cos(α+β)=−513，求cosβ的值．答案：1665分析：根据角的范围，求出cosα，sin（β+α），利用cosβ＝cos[α+β﹣α按照两角差的余弦公式展开，代入已知以及求出的结果，即可得到cosβ的值．∵α,β∈(0,π2)，sinα=35,cos(α+β)=−513∴cosα=45，α+β∈(0,π)∴sin(α+β)=1213∴cosβ＝cos[α+β﹣α]＝cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=−513×45+1213×35=1665小提示：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，其中角的变换cosβ＝cos[α+β﹣α]为解题简化关键，是中档题．。

2020_2021学年高中数学第五章数列习题课_等比数列习题课课后习题含解析新人教B版选择性必修第三

第五章数列习题课——等比数列习题课课后篇巩固提升基础达标练1.(2020济南高二月考)等比数列{a n }中,a 1+a 3=10,a 4+a 6=54,则数列{a n }的通项公式为( )A.a n =24-nB.a n =2n-4C.a n =2n-3D.a n =23-n{a n }中,a 1+a 3=10,a 4+a 6=54,由等比数列通项公式可得{a 1+a 1q 2=10,a 1q 3+a 1q 5=54,两式相除可得q 3=18,即q=12,代入可求得a 1=8=23, 所以a n =23·12n-1=24-n .2.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且4a 1,2a 2,a 3成等差数列.若a 1=1,则S 4等于( ) A .7B .8C .15D .16q ,则由4a 1,2a 2,a 3成等差数列,得4a 2=4a 1+a 3,∴4a 1q=4a 1+a 1q 2.∴q 2-4q+4=0. ∴q=2.∴S 4=15.3.已知在等比数列{a n }中,a 2=1,则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A.(-∞,-1] B.(-∞,0)∪(1,+∞) C.[3,+∞) D.(-∞,-1]∪[3,+∞)4.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 1,S 2+a 2,S 3成等差数列,则数列{a n }的公比为( ) A.1 B.2 C.12D.3S 1,S 2+a 2,S 3成等差数列,所以2(S 2+a 2)=S 1+S 3,2(a 1+a 2+a 2)=a 1+a 1+a 2+a 3,a 3=3a 2,q=3.选D .5.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 5=15,S 9=18,在等比数列{b n }中,b 3=a 3,b 5=a 5,则b 7的值为( ) A.23B.43C.2D.3{a n }中,由{5a 1+10d =15,9a 1+36d =18,得a 3=3,a 5=2.于是b 3=3,b 5=2,所以b 7=b 52b 3=43.6.(多选)(2020江苏苏州实验中学高二月考)已知等差数列{a n }的首项为1,公差d=4,前n 项和为S n ,则下列结论成立的有( ) A.数列S n n的前10项和为100B.若a 1,a 3,a m 成等比数列,则m=21C.若∑i=1n1a i a i+1>625,则n 的最小值为6D.若a m +a n =a 2+a 10,则1m+16n 的最小值为2512解析由已知,可得a n =4n-3,S n =2n 2-n ,Snn =2n-1,则数列S n n为等差数列,则前10项和为10(1+19)2=100.所以A 正确;a 1,a 3,a m 成等比数列,则a 32=a 1·a m ,a m =81,即a m =4m-3=81,解得m=21,故B 正确; 因为1a i a i+1=1414i -3−14i+1,所以∑i=1n1a i a i+1=141-15+15−19+…+14n -3−14n+1=n4n+1>625,解得n>6,故n 的最小值为7,故选项C 错误; 由等差数列的性质可知m+n=12, 所以1m +16n=1121m+16n(m+n )=1121+nm+16m n+16≥112(17+2×4) =2512,当且仅当n m=16m n时,即n=4m=485时取等号,因为m ,n ∈N +,所以等号不成立,故选项D 错误. 故选AB .7.已知{a n }是递增等比数列,a 2=2,a 4-a 3=4,则此数列的公比q= .{a n }的公比为q ,则a 4=a 2q 2,a 3=a 2q.所以a 4-a 3=a 2q 2-a 2q=4,又a 2=2, 所以q 2-q-2=0, 解得q=2或q=-1.又{a n }为递增数列,所以q=2.8.已知各项不为0的等差数列{a n }满足2a 2-a 62+2a 10=0,首项为18的等比数列{b n }的前n 项和为S n ,若b 6=a 6,则S 6= .2a 2-a 62+2a 10=0,∴4a 6=a 62.∵a 6≠0,∴a 6=4.∴b 6=4.又∵{b n }的首项b 1=18,∴q 5=b6b 1=32.∴q=2.∴S 6=18-4×21-2=638.9.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 1,S 3,S 2成等差数列. (1)求{a n }的公比q ; (2)若a 1-a 3=3,求S n .由题意得a 1+(a 1+a 1q )=2(a 1+a 1q+a 1q 2),∵a 1≠0,∴2q 2+q=0.又q ≠0,∴q=-12.(2)由已知可得a 1-a 1(-12)2=3,故a 1=4,∴S n =4[1-(-12)n ]1-(-12)=83[1-(-12)n].10.已知数列{a n },用a 1,a 2,a 3,…,a n ,…构造一个新数列a 1,(a 2-a 1),(a 3-a 2),…,(a n -a n-1),…,此数列是首项为1,公比为13的等比数列.求: (1)数列{a n }的通项; (2)数列{a n }的前n 项和S n .a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1)=1+13+(13)2+…+(13)n -1=1-(13)n1-13=32[1-(13)n]. (2)S n =a 1+a 2+a 3+…+a n =32(1-13)+32[1-(13)2]+32[1-(13)3]+…+32[1-(13)n]=32{n -13[1+13+(13)2+…+(13)n -1]}=32n-12×1-(13)n1-13=32n-34[1-(13)n] =34(2n-1)+14(13)n -1.能力提升练1.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1+a 3=52,a 2+a 4=54,则Sn a n=( )A.4n-1B.4n -1C.2n-1D.2n -1{a 1+a 3=52,a 2+a 4=54,∴{a 1+a 1q 2=52,①a 1q +a 1q 3=54,②①②得1+q 2q+q 3=2,解得q=12.代入①得a 1=2,∴a n =2×(12)n -1=42n ,∴S n =2×[1-(12)n]1-12=4(1-12n ),∴S na n=4(1-12n )42n=2n -1,故选D.2.数列{a n }满足a 1=1,对任意的n ∈N +都有a n+1=a 1+a n +n ,则1a 1+1a 2+…+1a2020=( )A.40382021 B.20192020 C.4038 D.40402021a n+1=a 1+a n +n ,得a n+1-a n =n+1,所以a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,…,a n -a n-1=n (n ≥2),上述(n-1)个式子相加得a n -a 1=2+3+…+n , 所以a n =1+2+3+…+n=n (n+1)2,当n=1时,a 1=1满足上式, 所以a n =n (n+1)2(n ∈N +),所以1a n=2n (n+1)=2(1n -1n+1),所以1a 1+1a 2+1a 3+…+1a2020=2×(1-12+12−13+…+12020−12021)=2×(1-12021)=40402021.故选D .3.如图,已知点D 为△ABC 的边BC 上一点,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,E n (n ∈N +)为边AC 上的动点,满足E n A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14a n+1E n B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -(3a n +2)E n D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .实数列{a n }中,a n >0,a 1=1,则{a n }的通项公式为( )A.3·2n-1-2B.2n -1C.3n -2D.2·3n-1-1BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,E n C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =E n B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =D E n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +E n C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以E n C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13E n B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +43E n D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 设m E n C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =E n A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则由E n A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14a n+1E n B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -(3a n +2)·E n D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 得-13m=14a n+1,43m=-(3a n +2),所以14a n+1=14(3a n +2),所以a n+1+1=3(a n +1).因为a 1+1=2,所以数列{a n +1}是以2为首项,3为公比的等比数列,所以a n +1=2·3n-1, 所以a n =2·3n-1-1.故选D .4.数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=15,且对任意正整数m ,n ,都有a m+n =a m a n ,若S n <t 恒成立,则实数t的最小值为 .m=1,则a n+1a n=a 1,由a 1=15,知a n+1=15a n ,∴{a n }是以a 1为首项,15为公比的等比数列. ∴a n =(15)n, ∴S n =15-(15)n+11-15=14(1-15n )=14−14·5n<14.由S n <t 恒成立,得t>S n 的最大值,可知t 的最小值为14.5.设{a n }是公比为q 的等比数列,|q|>1,令b n =a n +1(n=1,2,…),若数列{b n }有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则6q= .,数列{b n }有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,说明{a n }有连续四项在集合{-54,-24,18,36,81}中,由于{a n }中连续四项至少有一项为负,∴q<0,又|q|>1,∴{a n }的连续四项为-24,36,-54,81, ∴q=36-24=-32,∴6q=-9.96.(2020南昌高三月考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且T n =a 1·a 2·a 3·a 4·…·a n ,若a 7=2,a 10=16,则满足S n >T n 的最大正整数n 的值为 .,a 7=2,a 10=16,∴q=2,所以a n =2n-6.记S n =a 1+a 2+…+a n =132(1-2n )1-2=2n -132,T n =a 1·a 2·…·a n =2-5·2-4·…·2n-6=2n (n -11)2,由题意S n >T n ,即2n -125>2n (n -11)2,∴2n-1>2n (n -11)2+5=2n 2-11n+102,∴2n-2n 2-11n+102>1,因此只需n>n 2-11n+102,∴n 2-13n+10<0,∴13-√1292<n<13+√1292.由于n 为整数,因此n 最大为13+√1292的整数部分,即为12.故答案为12.7.(2020山东青岛高三月考)已知数列{a n }是等差数列,a n+1>a n ,a 1·a 10=160,a 3+a 8=37. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若从数列{a n }中依次取出第2项,第4项,第8项,…,第2n 项,按原来的顺序组成一个新数列{b n },求S n =b 1+b 2+…+b n .等差数列{a n }中,a n+1>a n ,a 1+a 10=a 3+a 8=37,则{a 1·E 10=160,a 1+a 10=37,解得{a 1=5,a 10=32.∴d=32-510-1=3.∴a n =5+(n-1)×3=3n+2.(2)由(1)知, b 1=a 2=3×2+2, b 2=a 4=3×4+2, …b n =a 2n =3·2n +2,∴S n =b 1+b 2+…+b n=(3×2+2)+(3×4+2)+…+(3·2n +2) =3×(2+4+…+2n )+2n =3×2-2n+11-2+2n=3×2n+1-6+2n =6×2n +2n-6.8.设数列{a n }满足:a 1=1,a n+1=3a n ,n ∈N +.设S n 为数列{b n }的前n 项和,已知b 1≠0,2b n -b 1=S 1·S n ,n ∈N +. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)设c n =b n ·log 3a n ,求数列{c n }的前n 项和T n ; (3)证明对任意n ∈N +,且n ≥2,有1a2-b 2+1a3-b 3+…+1an -b n<32.a n+1=3a n ,∴{a n }是公比为3,首项为a 1=1的等比数列, ∴通项公式为a n =3n-1. ∵2b n -b 1=S 1·S n ,∴当n=1时,2b 1-b 1=S 1·S 1, ∵S 1=b 1,b 1≠0,∴b 1=1.∴当n ≥2时,b n =S n -S n-1=2b n -2b n-1, ∴b n =2b n-1,∴{b n }是公比为2,首项为b 1=1的等比数列, ∴通项公式为b n =2n-1.n =b n ·log 3a n =2n-1log 33n-1=(n-1)2n-1,T n =0×20+1×21+2×22+…+(n-2)2n-2+(n-1)2n-1, ① 2T n =0×21+1×22+2×23+…+(n-2)2n-1+(n-1)2n ,②①-②得-T n =0·20+21+22+23+…+2n-1-(n-1)2n =2n -2-(n-1)2n =-2-(n-2)2n , ∴T n =(n-2)2n +2.n ≥2时,1an -b n=13n -1-2n -1=13·3n -2-2n -1=13n -2+2(3n -2-2n -2)≤13n -2,1a 2-b 2+1a3-b 3+…+1an -b n≤130+131+…+13n -2=1-(13)n -11-13=32(1-13n -1)<32. 素养培优练设数列{a n }的前n 项和为S n ,n ∈N +.已知a 1=1,a 2=32,a 3=54,且当n ≥2时,4S n+2+5S n =8S n+1+S n-1.(1)求a 4的值;(2)证明{a n+1-12a n }为等比数列;(3)求数列{a n }的通项公式.令n=2可得a 4的值;(2)先将4S n+2+5S n =8S n+1+S n-1(n ≥2)转化为4a n+2+a n =4a n+1,再利用等比数列的定义可证{a n+1-12a n }是等比数列;(3)先由(2)得数列{a n+1-12a n }的通项公式,再将数列{a n+1-12a n }的通项公式转化为数列{a n (12)n }是等差数列,进而可得数列{a n }的通项公式.n=2时,4S 4+5S 2=8S 3+S 1,即4×(1+32+54+a 4)+5×(1+32)=8×(1+32+54)+1,解得a 4=78.4S n+2+5S n =8S n+1+S n-1(n ≥2),∴4S n+2-4S n+1+S n -S n-1=4S n+1-4S n (n ≥2),即4a n+2+a n =4a n+1(n ≥2).∵当n=1时,4a 3+a 1=4×54+1=6=4a 2,∴当n=1时,4a n+2+a n =4a n+1成立. ∵a n+2-12a n+1a n+1-12a n=4a n+2-2a n+14a n+1-2a n =4a n+1-a n -2a n+14a n+1-2a n=2a n+1-a n 2(2a n+1-a n )=12,∴数列{a n+1-12a n }是以a 2-12a 1=1为首项,以12为公比的等比数列.(2),知数列{a n+1-12a n }是以a 2-12a 1=1为首项,以12为公比的等比数列,∴a n+1-12a n =(12)n -1,即a n+1(12)n+1−a n (12)n =4,∴数列{a n(12)n }是以a 112=2为首项,以4为公差的等差数列,∴a n(12)n =2+(n-1)×4=4n-2,即a n =(4n-2)×(12)n=(2n-1)×(12)n -1,∴数列{a n }的通项公式是a n =(2n-1)×(12)n -1.。

第五章典型习题解答与提示

第五章定积分的应用典型习题解答与提示习题 5-21．（1）)10S x dx =⎰；（2）()10xS e e dx =-⎰；（3）()12332S x x dx -=--⎰；（4）(0]aS dx =⎰；（5）()544sin cos S x x dx ππ=-⎰。

2．（1）3ln 22-；（2）12e e+-；（3）()121413S x dx -=-=⎰；（4）2424182y S y dy -⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭⎰。

3．()0332234sin cos 8S a td a t a ππ==⎰。

4．（1）()22214cos 42S d ππθθπ-==⎰；（2）()223013sin 324S a d a ππθθ=⨯=⎰；（3）()2121521cos 2424S d πππθθπ⎡⎤=++=-⎢⎥⎣⎦⎰，252244S πππ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭。

5．（1）32,85x y V V ππ==；（2）()11102484xdx x dx πππ--=⎰⎰；（3）22sin 2xdx πππ=⎰；（4）()()2222301cos [sin ]5a t d a t t a πππ--=⎰。

6．（1）()()33222[11]3aS b a ==+-+⎰；（2）(0ln 1S ==+⎰。

习题 5-31．()0.060.0018J W kxdx ==⎰。

2．()2R hRkmM mMhW dx k x R R h +==+⎰。

3．()()5209.81512250J W x dx =⨯-=⎰。

4．()()215109.81557697.5J 15x W x dx π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰。

5．()()39.82[32]205.8N F x dx =⨯+-=⎰。

6．取圆心为原点，x 轴正向向下，()39.82176.4N F =⨯=⎰。

习题 5-41．（1）总收益函数为()20200200100200QQQ Q R Q MRdQ dQ Q ⎛⎫==-=-⎪⎝⎭⎰⎰，故50Q =个单位时，总收益()25050200509987.5200R R ==⨯-=；（2）200220010010020019850200Q R MRdQ Q ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰V 。

华理高数答案第5章

第5章（之1）第24次作业教学内容：§5.1定积分概念 5.2定积分的性质1．选择题*（1）定积分所表示的和式极限是（）[]{}[])21max ()(lim )()()(lim )()(1lim )()(lim )(111111i i i i ni i i i i i ni i i n n i n ni n x x n i x x f D x x x f C a b n i f n a b B a b n i f n a b A ，，，，　．，　．．．-=→-=∞→=∞→=∞→∈=∆=∆∈∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑∑∑∑ξλξξξλ答:D*（2）可知，据定积分的几何意义设：⎰=b ax x f Id )( （）轴所围图形的面积。

与，及直线是曲线．　数和．轴之间各部分面积的代与，及直线是曲线．　．，从而图形的＂高＂，则上述图形面积为零．若　．以轴所围图形的面积，所与，及直线是由曲线．　x b x a x x f y I D x b x a x x f y I C x f I B I x b x a x x f y I A ========>===)()()()(0)(0)(0)()( 答:C*（3） [][]上可积的，在上连续是，在闭区间函数b a x f b a x f )()( （）件．．既非充分也非必要条．充分必要条件　．充分条件．必要条件 )( )()( )(D C B A答: B*（4） []轴围成图形和，，直线上连续曲线，由x b a b x a x x f y b a )()(<====S 的面积（）[]　．．　．．　2)()()()(d )()(d )()(d )()(a b a f b f D x x f C x x f B x x f A b ab a b a -+⎰⎰⎰. 答: C**（5） []，，令，，上，设在区间⎰=>''<'>ba x x f S x f x f x f ba d )(0)(0)(0)(1 []，则有，)()()(21))((32a b a f b f S a b b f S -+=-= （）132213312321)()()()(S S S D S S S C S S S B S S S A <<<<<<<<；；； . 答: B*2. 试证不等式：2d 2420sin πππ≤≤⎰-x x .证明：1sin 0≤≤x ， ]2,0[π∈x ， 1221sin ≤≤∴-x ， ⎰⎰⎰=≤≤=∴-2020sin 202d 1d 2d 214πππππx x x x.**3. 试估计下列积分值：⎰-+1021xx dx 。

大学高数第五章第5节-微分方程在医学中的应用

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0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
t(hour)
c/c0
23
2、恒速静脉注射
恒速静脉注射：相当于药物以恒定速率k0进入中心室，此时中心室的初始药量为零。
中心室内药量减小的速率与体内当时的药量成正比。
D
dx dt
k0
kx,
V,x
x(0) 0.
则通解为 y c1er1x c2er2x.
2. r1 r2 (特征方程有两个相等的实根r1, r2 ), 则通解为 y (c1 c2x)er1x.
3. r1,2 i (特征方程有一对共轭复根), 则通解为 y ex (c1 cos x c2 sin x).
12
三、二阶常系数线性非齐次微分方程一般形式为
其中l maxm, n l次多项式
k由特征根的情况决定
15
~y xkex[Ql (x)cosx Rl (x)sin x]
k由特征根的情况决定
i不是特征根 k 0
i是单根
k 1
16
第5节微分方程在医学上的应用
目的与要求
❖了解用微分方程解决一些简单的医学问题
17
一、药物动力学模型
f
(x0 x) f (x0)
f
(
x0
)
x
37
导数的定义
1
lim
x0
f
(x0)
f
(x0 x) f (x0)
f
(
x0
)

高数习题答案- 5(xtk)-PPT课件

9
y 2 x M ( 1 , 1 , 1 )且与两直线 L , 例4 求过点 0 1: z x 1 y 3 x 4 L 都相交的直线 L . 2: z 2 x 1 解将两已知直线方程化为参数方程为 x t x t L L2 : y 3 t 4 · A L1 : y 2 t B z 2t 1 L 1 z t 1 L2
a i ， b j 2 k , c 2 i 2 j k , 例1 已知 0 0 0 求一单位向量 n ，使 n c ，且 n , a , b 共面 0 解设 n x i y j z k , 由题设条件得 0 x2 y2 z2 1 n 1 0 2 x 2 y z 0 n c 2y z 0 0 n a b a b { 0 , 2 , 1 } 2 1 2 0 解得 n ( i j k ). 3 3 3
4
x 1 y z 1 : ( 1 ) 直 L 线 : 例2 求 1 1 1 在平面 : x y 2 z 1 0 的投影 L 的方 ; 0

(2 )直线 L 绕 y 轴旋转一周而成的曲面方程 . 0 x 1y z 1 L L 由线对称式解将直 1 1 1 x y 1 0 化为一般式 zy 1 0
y
2 0
2 M ( 0 , y , 0 ) 0
d

Q ( x ,y ,z )

P ( x ,y ,z ) 0 0
,y ,z )在直线L0上, 因为 (x 0 0 O x 1 2 2 2 2 z ( y 1 ) y, 0 所以 x 0 4 L0 z 4 因此 ,L 绕 y 轴旋转一周而成的曲面方程为 0 2 2 2 1 2 x z 4 y( y 1 ) , 4 2 2 2 即 4 x 17 y 4 z 2 y 1 0

高数第五章定积分及其应用(第129-163页,共35页张勇)

129第五章定积分及其应用§5.1 学习的要求1. 理解定积分的概念及几何意义，了解可积的条件．2. 掌握定积分的基本性质．3. 理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法．4. 熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式．5. 掌握定积分的换元积分法和分部积分法6. 理解无穷区间的广义积分，掌握其计算方法．7. 熟练掌握定积分求平面图形面积和掌握平面图形绕坐标轴旋转所成的旋转体体积 8. 会用定积分求变力直线做功和不均匀细棒的质量．§5.2内容提要一、定积分的概念（一）定积分的概念定义设函数)(x f y =在区间],[b a 上有定义，用任一组分点： 01....a x x =<<,i n x x b <<<=把区间],[b a 分成n 个小区间),...3,2,1](,[1n i x x i i =-在每个小区],[1i i x x -上任意取一点i ξi i i x x ≤≤-ξ1() 用函数值)(i f ξ与该区间的长度1--=∆i i i x x x 相乘,作和式i ni i x f ∑=∆1)(ξ 如果不论对区间],[b a 采取何种分法及i ξ如何选取,当 {}0(max (1)i x x x i n ∆→∆=∆≤≤)时，和式的极限存在，则称函数)(x f 在],[b a 上可积,此极限称为函数在区间],[b a 上的定积分(简称积分).记为dx x f ba)(⎰，即1()()limnbiiai x f x dx f x ξ=∆→=∆∑⎰，其中变量x 称为积分变量,)(x f 称为被积函数,dx x f )(称为被积表达式b a ,分别称为积分下限和积分上限, ],[b a 称为积分区间.⎰badx x f )( 是一个常量(b a ,为常数)，其值只与被积函数和积分上下限有关,与积分变量用什么字母无关.(二).几何意义 1. 若)(x f ≥0,定积分⎰ba dx x f )(表示曲线)(x f y =,直线x =a 和x =b 以及x 轴所围成的曲边梯形的面积. 2. 若)(x f ≤0,定积分⎰badx x f )(表示相应曲边梯形面积的负值.(三) 定积分存在定理定理如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则)(x f 在],[b a 上的定积分必定存在. 二、定积分的性质130 性质1 若],,[b a x ∈恒有)(x f =1，则有⎰⎰-==⋅bab aa b dx dx 1．性质2 ⎰ba dx x f )(=-⎰abdx x f )(．性质3 ⎰=badx x kf )(⎰badx x f k )( （k 是常数）性质4⎰⎰⎰±=±b ab abadx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121推论1 112[()()]()()()bb bbn n aaaaf x f x dx f x dx f x dx f x dx ±±=±±±⎰⎰⎰⎰性质5 ],[b a c ∈∀,则⎰badx x f )(=⎰c adx x f )(+⎰bcdx x f )(推论2 c b a ,,为任意的常数⎰badx x f )(=⎰c adx x f )(+⎰bcdx x f )(.性质6(积分中值定理) 若函数)(x f 在],[b a 上连续,则至少存在一点ξ()b a ,(∈ξ),使⎰badx x f )(=))((a b f -ξ三、牛顿—莱布尼茨公式 (一) 积分上限函数1. 定义设)(x f 在],[b a 上连续,],,[b a x ∈则)(t f 在],[x a 上可积 , 即⎰xadt t f )(存在,因此⎰xadt t f )(是上限x 的函数,记为()x φ=⎰xadt t f )(，称)(x φ为积分上限函数(或变上限积分) ．2.积分上限函数的导数设)(x f 在],[b a 上连续, )(x φ在],[b a 上可导,则⎰∈==xa b a x x f dt t f dxd x ].,[),()()('φ )(x φ就是)(x f 在],[b a 上的一个原函数．(二)牛顿—莱布尼茨公式定理如果函数()F x 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的任一原函数, 则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰,这个公式称为牛顿—莱布尼茨公式,也称为微积分学基本定理. 公式表明:一个连续函数在区间],[b a 上的定积分等于它的任一原函数在区间],[b a 上的增量.四. 定积分的换元法和分部积分法 (一) 定积分的换元法设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,令)(t x φ=,如果 (1) )(t φ在[βα,]上连续,当],[βα∈t 时, )(t φ的值不超出],[b a ,且有连续导函数)('t φ；(2) b a ==)(,)(βφαφ，则⎰badx x f )(=⎰βαφφdx t t f )('))((．用)(t x φ=进行变换时,积分限也要随之换成新变量t 的积分限,不必像不定积分那样将变量还原.131(二)定积分的分部积分法设函数),(x u )(x v 在],[b a 上具有连续的一阶导数 ),('),('x v x u 则''bb aaba uv dx u vdx uv =-⎰⎰；或bbaaba udv vdu uv =-⎰⎰ ．(三)偶，奇函数在对称区间],[a a -上的积分(1)当)(x f 是],[a a -上连续的偶函数时，⎰⎰-=aaadx x f dx x f 0)(2)(；(2)当)(x f 是],[a a -上连续的奇函数时，⎰-=aadx x f 0)(．五．广义积分(反常积分)(一) 无穷区间上的积分(无穷积分)定义设)(x f 在区间[,)a +∞上连续,取b a >,若极限lim ()bab f x dx →∞⎰,则称此极限值为 )(x f 在),[+∞a 上的广义积分,记作 ⎰+∞adx x f )(=lim ()bab f x dx →∞⎰；(1)类似地,可以定义如下反常积分⎰∞-bdx x f )(=lim()baa f x dx →-∞⎰； (2)⎰-∞∞-dx x f )(=⎰∞-cdx x f )(+⎰+∞cdx x f )(lim()caa f x dx →-∞=⎰+lim()bcb f x dx →+∞⎰， (3)其中c 为任何实数；当(1)(2)(3)式右端极限存在时,反常积分收敛,否则是发散的. (二) 无界函数的积分定义设)(x f 在],(b a 上连续,且lim ()x af x +→=∞，取0>ε若极限0lim ()ba f x dxεε+→⎰存在,则称此极限为无界函数)(x f 在],[b a 上的广义积分,记作⎰badx x f )(=0lim ()ba f x dx εε++→⎰．类似地,可定义在x b =附近无界函数()f x 的反常积分⎰b adx x f )(=0lim ()b af x dx εε-→⎰，以及在(a ,b )内一点x c =附近无界函数()f x 的反常积分⎰badx x f )(=⎰c adx x f )(+⎰bcdx x f )(=0lim ()c af x dx εε-→⎰+0lim ()bc f x dx εε++→⎰．六定积分的应用(二) 定积分的元素法.(1) 任取],[b a 上的代表性的小区间[,]x x dx + ,作出欲求量Q 在此小区间上增量Q ∆的近似值即微元： dx x f dQ )(= .(2)求积分，Q =⎰badx x f )(.注:关键是找出微元,例如求面积要找出“面积微元”,求体积要找出“体积微元”等. (三)定积分的几何应用1)平面图形的面积(1)直角坐标系下的面积公式①由曲线(),()(()())y f x y g x f x g x ==≥与)(,b a b x a x <==所围成的图形面积132 S=⎰-badx x g x f )]()([；②由曲线 (),()(()())x y x y y y φϕφϕ==≥与)(,d c d y c y <==所围成的图形面积[()()]dcs y y dy φϕ=-⎰.(2)极坐标系下的面积,求立体的体积由曲线],,[),(βαθθ∈=r r 与两条射线βθαθ==, 所围成的曲边扇形的面积 21()2s r d βαθθ=⎰. 2)已知平行截面的面积,求立体的体积设某立体由一曲面和垂直于x 轴的两个平面 b x a x ==,围成，用垂直于x 轴的平面去截这个立体，若截面面积()A x (b x a ≤≤)是已知的连续函数,则该立体体积()baV A x dx =⎰．3)旋转体的体积①连续曲线))((b x a x f y ≤≤=与b x a x =-,及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积⎰=bax dx x f V )(2π②连续曲线))((d y c y x ≤≤=φ与d y c y ==,及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体体积⎰=dcy dy y V )(2φπ．（三）定积分在物理上的应用 1.变力沿直线作功变力)(x f 作用于物体,使物体由点a x =移动到b x =,)(x f 在],[b a 上连续,由微元法，任取],[b a 上的小区间[,],x x dx +其上的变力)(x f 近似看着常数,得功元素dx x f dw )(=，以a 到b 求定积分,得所求的功 w =⎰badx x f )(．2.非均匀直线细棒的质量.直线细棒的线密度为∈=x x ),(ρρ],[b a ,在],[b a 上由微元法,任取],[b a 上的小区间[,],x x dx +其上的密度近似看着常数,得质量元素 dx x dm )(ρ=，从a 到b 求定积分,得到所求的直线细棒的质量m =⎰badx x )(ρ．3. 非均匀细棒的转动惯量细棒AB 的方程为,b kx y +=密度∈=x x ),(ρρ],[b a ,任取],[b a 上的小区间],[dx x x +,视该小区间上密度与],[dx x x +对应的细棒段CD 到转轴x 轴的距离y 为常数,得转动惯量微元dx x b kx k dx x k ydI x )()(1)(12222ρρ++=+=转动惯量为 ⎰++=bax dx x b kx k I )()(122ρ§5.3基本例题及分析133例1.比较下列积分的大小关系.(1)⎰21sin dx x x 与⎰212)sin (dx x x ； (2)⎰⎰++1010)1ln(1dx x dx xx 与．分析在积分上下限都相同的情况下，积分大小由被积函数的大小决定．比较两个函数的大小可以根据函数本身的图形关系、利用单调函数的定义等方法来判断.解 (1)当0x >时sin x x <，当1<x <2时,有1sin >x x ，即有 ,sin )sin (2xx x x > 则⎰⎰<21212)sin (sin dx x x dx x x . (2) 令0)0(),1ln(1)(=+-+=F x x xx F ，,)1(11)1(1)('22x xx x x F +-=+-+= 当0x >时,0)('<x F 时,()F x 单调下降,0)0()(,0=<>F x F x ，即)1l n (1x xx+<+，则⎰⎰+<+1010)1ln(11dx x dx x ．例2.估计积分1214xe ⎰的值.解当]21,41[∈x 时, x y =单增, x y arcsin=单增, u e y =是单增,所以x xe x f y arcsin )(==在]21,41[也是单增的,因此)21()()41(f x f f <<,由641111(),()4422f e f e ππ==，得 6411()42e f x e ππ<<，同时积分得42141681)(161ππe dx x f e <<⎰. 例3.设)(x f 在a x =处连续,求极限ax dt t f xaax -⎰→)(lim．分析 x a →时，分子趋向()aaf t dt ⎰（=0），所以是型极限，一般对变上限积分很常用“(())()xaf t dt f x '=⎰”这种运算方式，所以很自然想到用洛必达法则求解.解这是型未定式，用洛必达法则求解. 原式=)(1)(lim)'())((lim'a af x xf a x dt t tf ax xa ax ==-→→⎰.134 例 4. 设)(x f 在 ],[b a 上连续,且)(x f >0,证明：方程⎰⎰=+xaxbdt t f dt t f 0)(1)( 在区间),(b a 内恰有一个根.分析证明根的存在可以考虑零点定理：连续函数的端点函数值符号相反则函数至少有一个零点（即函数值为0的点），如果函数是单调函数，则只能有一次穿过x 轴.本例中出现变上限积分，一般要用到它的导数，注意变上限积分函数的自变量由变上限确定.证设 )(x F =⎰⎰+xaxbdt t f dt t f )(1)(,由于)(x f 连续, )(x f >0,则)(1x f 连续,所以)(x F 在],[b a 上也连续.又因为11()0,()()0()()ab b b a a F a dt dt F b f t dt f t f t ==-<=>⎰⎰⎰，由零点定理可知, )(x F =0在),(b a 内至少有一个根.又.0)(1)()('>+=x f x f x F 则)(x F 在],[b a 上单增，()0F x =在 ],[b a 上最多有一个根,由上述证明可知：)(x F 在),(b a 内恰好有一个根.例5. 计算下列积分 (1)⎰94sin dx xx ； (2)⎰2052sin cos πxdx x ；(3)⎰-adx x a x222(a >0)； (4) ⎰---1221x x dx ；(5)⎰-+1)1ln(e dx x ； (6)⎰-+223)cos (sin ππdx x x .分析（1）题出现了复合函数和其中间变量的导数，比较明显是用凑微分法；另外也项，可以尝试第二换元法.（2）题先用倍角公式化简后明显是用凑微分法的情形.（32xdx -的组成，所以用第二换元法的三角代换法．（4）题同（3）题，另外注意到和(arcsin )x '=.（5）题是幂函数乘对数函数的积分，显然用分部积分．（6）题的上下限是对称区间，根据奇偶函数在对称区间的积分来做.解:(1)法一:,21x d dx x=⎰⎰-=-==949494)3cos 2(cos 2cos 2sin 2sin xx d x dx xx .法二:(用第二换元法). 令,2,,2tdt dx t x x t === 当x =4时, t =2;当x =9时t =3,则93332422sin 22sin 2cos 2(cos 2cos3)t tdt tdt tt ===-=-⎰⎰⎰.(2)原式=2⎰⎰=-=-=2020276672cos 72cos cos 2sin cos πππx x xd xdx x .135(3)令tdt a dx t t a x cos ),20(,sin =≤≤=π,当x =0时, t =0;当x =a 时, t =2π,则22422220(sin )(cos )(cos )sin cos axa t a t a t dt at tdt ππ==⎰⎰⎰4422201cos 4sin 2442a a t tdt dt ππ-==⎰⎰4420sin 4()8416a t a t ππ=-=.(4)法一:用第二换元积分法,令sec ,sec tan x t dx t tdt ==，当2-=x 时,π32=t ;当1-=x 时, t =π,则⎰⎰⎰---=-=-=-12323223)1()tan (sec tan sec 1πππππdt dt t t t t x x dx . 法二:运用恒等变形和凑微分法. 当[2,1],x ∈--x =-1()x'==,令1u x =，则1121/----=⎰⎰11/2arcsin ()263u πππ--==---=-. (5)1111ln(1)ln(1)(1)[(1)ln(1)](1)ln(1)e e e e x dx x d x x x x d x ----+=++=++-++⎰⎰⎰11001(1)11e e e x dx e x x --=-+=-=+⎰ . (6)积分区间关于点对称, x 3sin 是奇函数,x 3cos 是偶函数.原式=/2/232/2/2sin cos 02cos 2xdx xdx xdx πππππ--+=+=⎰⎰⎰.例6.求证(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰．分析等式两边被积函数均含有)(sin x f ,注意到sin()sin t t π-=，如果t x -=π，其上下限互换了，并注意到定积分与积分变量用什么符号无关.证令t x -=π，,dt dx -=,当0=x 时, t =π;当x =π时, t =0.00(sin )()(sin())()()(sin )xf x dx t f t dt t f t dt ππππππ=---=--⎰⎰⎰=()(sin )(sin )(sin )t f t dt f t dt tf t dt πππππ-=-⎰⎰⎰,而定积分与积分变量无关,得⎰⎰=ππ00)(sin )(sin dx x xf dt t tf ，整理得⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin dx x f dx x xf .例7.计算⎰∞-0sin xdx e x ．136 分析被积函数的指数函数乘正弦函数，两次同型的分部积分就可以解出原函数．本题是广义积分，其实就是先求定积分，然后取上限或下限的极限.解:由不定积分⎰⎰---+-=xdxe x e xdx e x x x cos sin sin =dx x e x e x e xx x )sin (cos sin -+-----⎰，则⎰++-=--c x x e dx ex x)cos (sin 21sin ,⎰⎰∞-∞→-=00sin lim sin b xb x xdx e xdx e . 则 0lim[(/2)(sin cos )]x bb e x x -→∞-+=2/1)2/12cos sin (lim =++-∞→b b eb b 则⎰∞-0sin xdx e x 收敛,其值为1/2.例8.求曲线24x y -=与直线x =4, x 轴, y 轴在区间[0,4]上围成图形的面积S . 解S =42424222330224(4)(4)(4(34)16x dx x dx x dx x x x x -=-+-=-+-=⎰⎰⎰.例9.求由曲线θ2cos 22=r 所围成图形在r =1内的面积.分析本题没有明确指出极坐标下θ的变化范围，那么肯定要根据已知条件找出来，注意2r >0. 题意是求两个图形围成的图形面积，而r =1是一个半径为1的圆，它和曲线一定要相交，所以首先要求出交点，从而确定积分的限.解由 θ2cos 22=r 0≥ ,则 cos20θ≥,2,2244ππππθθ-≤≤-≤≤.令 {22cos21r r θ==，得6πθ±= ,交点(1,6π±).由于对称性,先计算第一象限内的部分.当6/0πθ<<时, r =1 ,阴影部分面积⎰⎰===660211212121πππθθd d r A ；当46πθπ<<时,,2cos 22θ=r 阴影部分的面积为2442661112cos 2(1222A r d d ππππθθθ===⎰⎰323)(421-+=+=πA A A .例10.求由曲线22x y -=与直线0),0(=≥=x x x y . 围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积.分析两曲线围成图形的旋转体体积可以看成大的旋转体去掉小的旋转体，曲线绕x 轴旋转，任意点x 处的截面半径是()r y f x ==,旋转体体积微元是22()y dx f x dx ππ=.解解方程组{22y xy x ==-且x 0≥,得x =1.则所求旋转体的体积为111222240(2)(45)x V x dx x dx x x dx πππ=--=-+⎰⎰⎰137=π513058(4)23515x x x π-+=例11.自地面垂直向上发射火箭,火箭质量为m , 试计算将火箭发射到距离地面高度为h 处所做的功.解:设地球质量M ,半径为R ,坐标原点在地心,地球对于r 点处火箭的引力大小为2rMmGf = (r 是地心到火箭的距离) ．火箭从r 处到dr r +处. 引力近似看成不变,为2)(rMmG r f =, 则功元素为dr r f dW )(=，2111()()()R R R R RRRRhhhhMm W dW f r dr Gdr GMm GMm r rR R h++++====-=-+⎰⎰⎰．§5.4 教材习题选解习题 5-11、判断题（1）定积分⎰ba x f )(由被积函数)(x f 与积分区间],[b a 确定．（√）（2）定积分⎰b a dx x f )(是x 的函数．（×）（3）若⎰=b adx x f 0)(，则0)(=x f ．（×）（4）定积分⎰badx x f )(在几何上表示相应曲边梯形面积的代数和．（√）2、选择题（根据右图（见教材P122图）写出答案）：（1）⎰=bdx x f 0)(（B ）；（A ）21A A +；（B ）21A A -；（C ）12A A +；（D ）231A A A -+．（2）⎰=dcC dx x f )()(；（A ）32A A +；（B ）32A A -；（C ）23A A -；（D ）213A A A -+．（3）⎰=d dx x f 0)(（C ）．（A ）321A A A ++；（B ）321A A A -+；（C ）321A A A +-；（D ）213A A A +-．习题 5-21、判断题（1）⎰⎰=2112)()(dx x f dx x f ；（×）138 （2）当c x f =)(时，⎰⎰+=11)()(a adx x f dx x f ；（√）（3）⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()(只对非零常数k 成立；（×）（4）⎰⎰⎰±=±bababadx x f k dx x f k dx x f k x f k )()()]()([22112211；（√）(5)⎰⎰⎰--+=ππππππ2339929sin sin sin xdx xdx xdx ． (√)2、已知⎰=10341dx x ，⎰=10231dx x ，⎰=1021xdx ，⎰=201cos πxdx ，⎰=201sin πxdx ，求定积分：（1）130(421)x x dx ++⎰；（2）120(2)x dx +⎰；（3）11(3)3x dx +⎰；（4）130(1)x dx +⎰；（5）220sin 2x dx π⎰；（6）20(sin cos )a x b x dx π+⎰．解（1）⎰⎰⎰⎰=+⨯+⨯=++=++101010103331212414124)124(dx xdx dx x dx x x ；（2）⎰⎰⎰⎰⎰=+⨯+=++=++=+1010*******2231642143144)44()2(dx xdx dx x dx x x dx x ；（3）⎰⎰⎰=+=⨯+⨯=+=+101010611629131213313)313(dx xdx dx x ；（4）⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=+++=+10101010123231333)133()1(dx xdx dx x dx x dx x x x dx x419121331341=+⨯+⨯+=；（5）2222200001cos 11111sin cos (2)22222224x x dx dx dx xdx ππππππ-==-=⨯-=-⎰⎰⎰⎰；（6）⎰⎰⎰+=⨯+⨯=+=+2020211cos sin )cos sin (πππb a b a xdx b xdx a dx x b x a ．3、设)(x f 和)(x g 在],[b a 上连续，且)()(0x g x f ≤≤试用定积分的几何意义说明⎰⎰≤babadx x g dx x f )()(．解令)()()(x f x g x h -=，则在],[b a 上，≥)(x h 0，()0b ah x dx ∴≥⎰，即⎰⎰⎰≥-=-b a b a badx x f dx x g dx x f x g 0)()())()((，()()bbaaf x dxg x dx ≤⎰⎰．4、用第3题的结论比较定积分的大小：（1）⎰21xdx 与⎰212dx x ；（2）⎰43ln xdx 与⎰432)(ln dx x ；（3）⎰20πxdx 与⎰20sin πxdx ；（4）⎰10sin xdx 与⎰12sin xdx ．139解（1）在[1，2]上，x x >2，⎰⎰<∴21212dx x xdx ．(2) 在[3，4]上，ln 1x >，知2ln (ln )x x <∴⎰43ln xdx <⎰432)(ln dx x ．(3) 在]20[π，上，x x x f sin )(-=，'()1cos 0f x x =-≥，即()f x 在]2,0[π是增函数，显然在]20[π，上，当0=x 时，)(x f 取到最小值0，即在]20[π，上0sin )(≥-=x x x f ，有sin x x ≤，则220sin xdx xdx ππ>⎰⎰．（4）在[0，1]上，0sin 1x <<，2sin sin x x >⎰⎰>∴1012sin sin xdx xdx ．习题 5-31、判断题（1）当⎰=Φxadt t f x )()(时，)()('x f x =Φ；（√）（2）对任意函数)(x f 有⎰-=baa Fb F dx x f )()()(；（×）（3）⎰=--122)11(πdx x；（×）（4）0sin 20=⎰kxdx π．（√）2、计算定积分（2）)0()13(211>+-⎰+a dx x x x a ；（3）⎰+2142)1(dx xx ；（4）4dx +⎰； (5)⎰+33121x dx ； (6)⎰--212121xdx ； (7)⎰>+a a x a dx 3022)0(； (8)⎰-4221x dx； (9)⎰-1024xdx ； (10)⎰-+++11241133dx x x x ；（11）⎰23sin πxdx ；（12）dx x |sin |20⎰π；（13）⎩⎨⎧>-≤=1,121,)(2x x x x x f ，求⎰20)(dx x f ；（14）⎰+π0)cos 3sin 2(dx x x ；（15）⎰402tan πxdx ；（16）⎰++212123dx xx x ；（17）⎰+π02)2cos (dx xe x ．140 解（2）1211(3)a x x dx x +-+⎰1123|)|ln 2(++-=a x x x0211)1ln(2)1()1(23-+-+++-+=a a a)1ln(22523++++=a a a a ．(3) ⎰+2142)1(dx x x 8212463)3131(3183138)3131(2133==--⨯-=-=-x x ．(4) ⎰⎰+=+=+94942232194)2132()()1(x x dx x x dx x x)1621832()81212732(⨯+⨯-⨯+⨯= 6145621110)8316()28118(=+=+-⨯=．(5) ⎰+33121xdx663arctan 331πππ=-==x ．(6)⎰--212121x dx 3)6(6arcsin 2121πππ=--==-x． (7)220dx a x +aa a xaa 3031arctan130ππ=-⋅==． (8)⎰-4221x dx 5ln 213ln 31ln 2153ln 21|11|ln 2142-=-=+-=x x ． (9) ⎰-1024xdx60arcsin 21arcsin 2arcsin 10π=-==x ． (10) ⎰-+++11241133dx x x x ⎰-++++-+=112222143)1(3)1(3dx x x x x x ⎰⎰⎰--+++++=1111222141)1(23x dx x x d dx 1111211113arctan 4)1ln(233----++-=x x x x 2604[()]2444πππ=-++--=-．(11)⎰23sin πxdx⎰=---=-=-=2020203232)10()10(31cos cos 31)(cos )1(cos πππx x x d x ．141(12)dx x |sin |20⎰π⎰⎰+-=-=ππππππ0202cos cos sin sin xx xdx xdx4)11()11(=+++=．(13) ⎰⎰⎰=-+=-+=-+=21212121032312)02(31)(3)12()(x x x dx x dx x dx x f ．(14)⎰+π)cos 3sin 2(dx x x ⎰⎰+-=+=ππππ0sin 3cos 2cos 3sin 2x x xdx xdx4)00(3)11(2=-++=(15)⎰402tan πxdx ⎰-=-=-=4040241)(tan )1(sec οππx x dx x ．(16)⎰++212123dx xxx 42121)2t t t dt =++)13253(2)222322453(2)3253(22135++-+⋅+⋅=++=t t t1568215142-=． (17) ⎰+π02)2cos (dx x e x ⎰⎰++=ππ002cos 1dx x dx e x 12)00(21)02()1(sin 2121000-+=-+-+-=++=πππππππe e x x e x．3、设k 为正整数，证明：（1）sin 0kxdx ππ-=⎰；（2）⎰-=ππ0cos kxdx ．证明：（1）⎰⎰---=---=-==ππππππππ0))cos((cos 1cos 1)(sin 1sin k k k kx k kx kxd k kxdx ；（2）⎰⎰---=--===ππππππππ0))sin((sin 1sin 1)(cos 1cos k k k kx k kx kxd k kxdx ．4、设某公司拟在市场推出一种新产品，据市场预测，产品最终可占有全国市场的4%，即每年可销售480万元，产品刚上市时大家陌生，故开始时达不到预测数，若收益函数变化率])1(11[480)('3+-=t t R （万元/年），问第二年的收益为多少？第三年呢？解第二年的收益为：⎰⎰+-=21213])1(11[480)('dt t dt t R32446]4121191212[480])1(121[480212=⋅--⋅+=+⋅+=t t （万），第三年的收益为：142 ⎰⎰+-=32323])1(11[480)('dt t dt t R 31468]91212161213[480])1(121[480212=⋅--⋅+=+⋅+=t t （万）．习题 5-41、判断题：（1）定积分换元时要交换上、下限；（×）（2）⎰-=++2232110)2)(cos 1(ππdx x x x ；（√）（3）222sin 4cos x u udu π=⎰⎰；（√）（4）dx xdx x e e +-=+⎰⎰--11)1ln(11；（×）（5）⎰-=--124)1(πdx x ．（√）2、计算定积分（1）⎰+2024t dt；（2）⎰+10431dx x x ；（3）dt t t ⎰-211；（4）31e ⎰；（5）21211cos dt t tππ⎰；（6）⎰203cos sin πxdx x ；（7）⎰+ωπϕω02)(sin dt t ；（8）⎰-222cos cos ππxdx x ；（9）222)1(x xdx+⎰；（10）⎰-121dx x ；（11）⎰>-2022)0(a a xa dx．解(1)⎰+224t dt ⎰⎰===40402821sec 4)tan 2(tan 2πππdu u u d u t ． (2) ⎰+10431dx x x ⎰=+=++=1014442ln 41)1ln(411)1(41x x x d ． (3) dt tt ⎰-21121122220011(1)2111u u u d u du t u u u =+-+==+++⎰⎰ 22arctan 22)111(21010102π-=-=+-=⎰u u du u ．(4)31e⎰222221122221111111()2222t t t t t t d e t e dt dt tx etet e-----=⋅=====⋅⎰⎰⎰．143(5)22111cos dt t t ππ⎰2121111cos ()sin sin sin 12d t t t ππππππ=-=-=-=-⎰． (6)⎰203cos sin πxdx x ⎰=-===2204341)01(41sin 41)(sin sin ππxx xd ． (7)20sin ()tdt πωωϕ+⎰1cos 2()2tdt πωωϕ-+=⎰11cos 2()(2())24t t d t ππωωωϕωϕω=-++⎰ 011sin 2()[sin(22)sin 2]24242t πωπππωϕπϕϕωωωωω=-+=-+-=． (8) ⎰-222cos cos ππxdx x 222222sin 213sin 61)cos 3(cos 21ππππππ---+=+=⎰x x dx x x 32)11(21)11(61=++--=． (9) 2220)1(x xdx +⎰222201(1)(1)2x d x -=++⎰52)151(211121202=--=+-=x ． (10) ⎰-1021dx x ⎰⎰⎰+===202022022cos 1cos )(sin cos sin πππdu u udu u ud u x 42sin 414)2(2cos 4121202020πππππ=+=+=⎰u u ud u ． 969323 (11)20a ⎰⎰⎰===60606cos )sin (sin πππdu u a u a d ua x ． 3、计算定积分：（1）10xxe dx -⎰；（2）0sin t tdt π⎰；（3）120arcsin xdx ⎰；（4）1arctan x xdx ⎰； (5)⎰202cos πxdx e x ； (6)⎰π2sin xdx x ．解(1) 11111102()1xx xx xxe dx xdx e xee dx e ee ------=-=-+=--=-⎰⎰⎰；(2)00sin (cos )cos cos sin t tdt td t t ttdt tπππππππ=-=-+=+=⎰⎰⎰．(3)111122220001arcsin arcsin (arcsin )26xdx x xxd x π=-=⋅-⎰⎰⎰112222011(1)(1)1122122122x d x πππ-=++-=+⋅+-⎰．144 (4) 211112220000111arctan arctan (arctan )22821x dx x xdx x x x d x x π=-=-+⎰⎰⎰ 112001111(1)[arctan )]8218242dx x x x πππ=--=--=-+⎰． (5)⎰22cos πxdx e x ⎰⎰-==202022022)(sin sin )(sin πππx x x e xd x e x d e⎰⎰⎰-+=+=-=202020220222)(cos 2cos 2)(cos 2sin 2πππππππx xxxe xd x e e x d e e xdx e e22024cos x e e xdx ππ=--⎰，⎰-=∴202)2(51cos πx x e xdx e ． (6)⎰π2sin xdx x ⎰⎰+-=-=πππ22cos 2cos )(cos xdx x x x x d x222202(sin )2sin 2sin 2cos 4xd x x xxdx xππππππππ=+=+-=+=-⎰⎰．4、求定积分（1）⎰--+12511x dx ；（2）⎰-10221dt t t ；（3）⎰414ln dx xx ；（4）11ln e x dx x +⎰；（5）⎰-ππxdx x 34sin ；（6）⎰-+11231)1cos (dx x x ．解(1) ⎰--+12511x dx 6ln 51)1ln 6(ln 51|511|ln 51511)511(511212=-=+=++=----⎰x x x d ．(2) ⎰-1221dt t t ⎰⎰⋅=⋅=202022)cos (sin )(sin cos sin sin ππdu u u u ud u u t 222220000111cos 411sin 2cos 444288u udu du u udu ππππ-===-⎰⎰⎰201sin 4163216u πππ=-=． (3) ⎰414ln dx xx 2222221111ln 1()ln ln 4t d t tdt t t t dt t t ==-⎰⎰ 12ln 22ln 221-=-=t ．(4) 11ln ex dx x +⎰2211113(1ln )(1ln )(1ln )[(11)1]222e e x d x x =++=+=+-=⎰．145(5) ⎰-ππxdx x 34sin 0=（奇函数）．(6)⎰-+11231)1cos (dx x x ⎰⎰⎰--=+=+=11111231220)cos (dx dx dx x x （奇函数）． 5、证明在区间],[a a -上，若)(x f 为偶函数，则⎰⎰-=aaadx x f dx x f 0)(2)(．证明00()()()aa a af x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰，对0()()af x d x -⎰，令x u =-，有00()()()()()()()()()()aaaaaf x d x f u d u f u d u f u d u f u d u -=--=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰，又因为积分与变量形式无关，知()()()()aaf u d u f x d x =⎰⎰，从而⎰⎰-=aaadx x f dx x f 0)(2)(．6、设k 为自然数，试证：（1）2cos kxdx πππ-=⎰；（2）2sin kxdx πππ-=⎰．证明（1）⎰⎰⎰----+=+=ππππππππkxdx x dx kx kxdx 2cos 212122cos 1cos 2111cos 2(2)sin 2(00)444kxd kx kxk kkππππππππ--=+=+=+-=⎰．（2）21cos 211sin cos 2222kx kxdx dx xkxdx ππππππππ-----==-⎰⎰⎰ ⎰--=--=-=-=ππππππππ)00(412sin 41)2(2cos 41k kx k kx kxd k ．7、证明：⎰⎰>+=+11122)0(11x x x x dx x dx ．证明 1211111112212211()1111111x t x x x x x d dx t t dt dt x t t t t==-=-+=+++⎰⎰⎰⎰ 11221111x xdt dx t x ==++⎰⎰．（积分与变量形式无关，只与积分上下限和函数有关）习题 5-51、某河床的横断面如下图所示（图形见教材P134），为了计算最大排洪量，需要计算它的横断面的面积，试根据图示的测量数据（单位：m ）用梯形法计算其横断面面积．解26.67277279.529.55.225.21.121.10(4)(36+++++++++++≈⎰dx x f146 )22.222.21.421.46.6++++++)2.21.46.6779.55.21.1(4+++++++= 6.145=（2m ）． 2、用矩形法，梯形法与抛物线法近似计算定积分⎰21xdx ，以求2ln 的近似值（取10=n ，被积函数值取四位小数）．解取10=n ，分点为：10=x ，1.11=x ，2.12=x ，…，9.19=x ，210=x 且101=∆x矩形法：用外接矩形21(1 3.4595+2.7282)0.7187710x ≈+=⎰，或者用内接矩形211(0.5 3.4595+2.7282)0.6687710dx x ≈+=⎰梯形法：2111( 1.5000 3.4595+2.7282)0.6938102dx x ≈⨯+=⎰，抛物线法：211(1.50002 2.72824 3.4595)0.69316*5dx x ≈+⨯+⨯=⎰．习题 5-61、计算反常积分（1）41x dx ⎰∞+；（2）dx e ax-+∞⎰0（0a >）；（3）⎰∞+a dx x x ln （0a >）；（4）⎰∞+∞-++222x x dx ；（5）⎰-121x xdx ；（6）⎰-e x x dx 12)(ln 1；（7）xdx e xsin 0-+∞⎰；（8）⎰242cos ππx dx ．解(1)41x dx ⎰∞+31)1lim (3131331341=--=-==--+∞→∞+--∞+⎰b x dx x b ．147(2) dx eax-+∞⎰ae e a e aax d e a ab b axax 1)lim (11)(1000=--=-=--=-+∞→∞+--∞+⎰．(3) ⎰∞+adx x x ln +∞=-===+∞→∞+∞+⎰)ln ln lim (21ln 21)(ln ln 222a b x x xd b aa （发散）．(4) ⎰∞+∞-++222x x dx∞+∞-∞+∞-+=+++=⎰)1arctan(1)1()1(2x x x dlim arctan(1)lim arctan(1)a b a b →+∞→-∞=+-+πππ=--=)2(2．(5)⎰-121x xdx101)1(1lim 211)1(21201022=-+---=---=+→⎰εεxx d ． (6)⎰-ex x dx 12)(ln1101(ln )lim arcsin(ln )122ee x x εεππ+→-===-=⎰．(7)xdx e xsin 0-+∞⎰(cos )cos cos ()xxx e d x e xxd e +∞+∞+∞---=-=-+⎰⎰00lim cos cos 0(sin )a x a e a e e d x +∞--→+∞=-+-⎰01sin sin xx e xxde +∞+∞--=-+⎰xdx e e b e x bb sin 0sin sin lim 10-∞+-+∞→⎰-+-=xdx e x sin 10-+∞⎰-=，21sin 0=∴-∞+⎰xdx e x ． (8) ⎰242cos ππx dx 2242004sec lim tan lim tan()12xdx x πππεπεεπε++-→→===--=+∞⎰（发散）． 2、求分开数值为1C 的两个相反电荷所需要的能量，假定正负电荷开始相距1m ，将一个电荷移动至另一个电荷的无穷远处．解设两个相反电荷的横坐标分别为0，1，则将2C 移至无穷远处所需能量为2221111()(lim ()1)a C k dx kC kC kC x xa+∞+∞→+∞=-=-+=⎰．习题 5-71、判断题（1）微元dx x f dA )(=是所求量A 在任意微小区间].[dx x x +上部分量A ∆的近似值；（√）148 （2）由曲线2x y =与3x y =围成图形面积为⎰-=13)(dx x x A ；（×）（3）由曲线3x y =与x y =在[0，1]上围成图形绕y 轴旋转所得旋转体体积⎰-=126)(dy y y V ππ；（√）（4）)(x f y =在任意微小区间],[dx x x +上的弧微分为21y ds '+=．（×） 2、将阴影部分的面表用定积分表示出来（图形见教材P144）：解（4）令223x x =+，有(1)(3)0x x +-=，∴两曲线交点横坐标为1-=a ，3=b ，∴ ⎰--+=312)32(dx x x A ．4、求由曲线围成图形的面积（1）xy 1=与直线x y =及2=x ；（2）x e y =，xe y -=与直线1=x ；（3）x y ln =，2ln =y ，7ln =y ，0=x ；（4）22,4y x x y =+=；（5）2x y =与直线x y =及x y 2=．解(1) ⎰-=---=-=-=212122ln 23)021(2ln 2|)|ln 2()1(x x dx x x A ．(2) 21)11(1)()(11-+=+-+=+=-=⎰--e e e e e e dx e e A xxxx(3) 由ln y x =，有yx e =，则⎰=-===7ln 2ln 7ln 2ln 527yy edy e A ．(4) 由242y y =-有2280y y +-=，即(2)(4)0y y -+=，解得两曲线交点纵坐标为4-=a ，2=b ，从而2232244(4)(4)18226y y y A y dx y --=--=--=⎰．(5) 显然2x y =与x y =交点横坐标为0，1，2x y =与x y 2=交点横坐标为0，2，⎰⎰⎰⎰-+=-+-=1021102122)2()2()2(dx x x xdx dx x x dx x x A67)311()384(21)3(2213212=---+=-+=x x x ．5、求由曲线围成图形的面积：（1）θρcos 2=，0=θ，6πθ=；（2）)cos 1(2θρ+=a ，0=θ，πθ2=．解(1) 266001(2cos )(1cos 2)2A d d ππθθθθ==+⎰⎰66011sin 2262264ππππθθ=+=+⋅=+．149(2) θθθθθππd a d a A )cos cos 21(2)]cos 1(2[212202220++=+=⎰⎰ 2203cos 22(2cos )22a d πθθθ=++⎰ππθθθπ222026)003(2)42sin sin 223(2a a a =++=++=．6、求曲线围成图形绕指定轴旋转所得旋转体的体积：（1）042=+-y x ，0=x 及0=y ，绕x 轴；（2）42-=x y ，0=y 绕x 轴；（3）12222=+by a x ，绕x 轴；（4）x y =2，y x =2，绕y 轴；（5）x y sin =，x y cos =及x 轴上的线段]2,0[π绕x 轴旋转．解(1) 因为 dx x dV 2)42(+=π，所以3222222(24)4(44)4(24)3x V x dx x x dx x x πππ---=+=++=++⎰⎰8324(88)33ππ=--+-=．(2) 因为 dx x dV 22)4(-=π，所以dx x x V )168(2422+-=⎰-π2235)16385(-+-=x x x ππ15512=．(3) 因为 2222(1)x dV y dx b dx aππ==-，所以a aa a x a xb dx a x b V ---=-=⎰)31()1(322222ππ234ab π=．(4) 因为 dy y y dy y dy y dV )()()(4222-=-=πππ，所以2514013()()02510y y V y y dy πππ=-=-=⎰．(5) 因为 xdx dV 2sin π=，]4,0[π∈x ，xdx dV 2cos π=，]2,4[ππ∈x ，224204sin cos V xdx xdx πππππ=+⎰⎰4(1cos 2)2x dx ππ=-⎰)2(4)2cos 1(224-=++⎰πππππdx x ．7、有一铸铁件，它是由三条线：抛物线2110y x =，11012+=x y 与直线10=y 围成的图形，绕y 轴旋转而成的旋转体，算出它的重量（长度单位是厘米(cm)，铁的比重是7.8g/cm 3）．。

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《习题5部分习题解答》3. 计算下列不定积分：（1）原式=3323231213ln 3ln 33332x x x C x x C x -+-+=+-+ (2) 原式=()3523221221335x dx x x x x C =-+-+⎰(3) 原式=()2223222133223arctan 113x x dx x dx x x C x x +-⎛⎫=-=-+ ⎪++⎝⎭⎰⎰ (4) 原式=()()()2222222222(1)11arctan 111x x x x dx dx x C x x x x x x x ⎛⎫+++ ⎪=+=-++ ⎪+++⎝⎭⎰⎰ (5) 原式=()()()223233313339332x x x dx x x dx x x x C x -++=++=+++-⎰⎰(6) 原式=12cos ln 2sin xx e x dx e x x C x ⎛⎫-+=-++ ⎪⎝⎭⎰ (7) 原式=223223ln 2ln 3xx dx x C ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=-+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎰ （8）原式=32arcsin 3cos 1ln 3x xe x x C --++ (9) 原式=()22222222cos sin 11csc sec cot tan cos sin cos x x dx dx x x dx x x C sin x x x x -⎛⎫=-=-=--+⎪⋅⎝⎭⎰⎰⎰ (10) 原式=()()2sin cos sin cos cos sin sin cos x x dx x x dx x x C x x+=+=-+++⎰⎰5. 用第一类换元法计算下列不定积分（1）原式=()()()202111323232363x d x x C --=-+⎰ (2) 原式=()()2221ln 11d x x C x +=+++⎰(3) 原式=4443(1)3ln 1414d x x C x --=--+-⎰ (4) 原式=()2222222112222x x x x e d x x e C -+-+-+=+⎰ (5) 原式=()11112ln 122122d x x C x --=--+-⎰(6) 原式=()2112x --=()1322211123u du x C -=--+⎰(7) 原式=()()12331112323332x u du x C ---=-=--+⎰ （8）原式=()4441144x x e d x e C =+⎰(9) 原式=(22233e e e C ==+⎰⎰(10) 原式=31(arcsin )(arcsin )d x x ⎰=32112(arcsin )du C u x =-+⎰ (11) 原式=1ln 11(ln )(1)ln ln ln ln x u d x du du x x C x u u ++==+=++⎰⎰⎰ （12）原式=()()11ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln d x d x x C x x x==+⎰⎰ (13) 原式=32232cos 55sin 523323x d x x C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ (14) 原式=()332cos 1cos 2cos d x du C x u x -=-=+⎰⎰（15）原式=1cos 211sin 2224x dx x x C -=-+⎰ (16) 原式=()()2231tan (sec )sec1sec sec sec 3xd x x d x x x C =-=-+⎰⎰（17）原式=()()22422sin cos sin sin 1sin sin x xd x x x d x =-⎰⎰令sin u x ==()2227537531211211(sin )(sin )(sin )753753u u du u u u C x x x C -=-++=-++⎰6. 用第二类换元法计算下列不定积分（1） ,t = 则 22x tdx tdt ==原式=222112222arctan 11tt tdt dt t t C C t t ⎛⎫+-==-+= ⎪++⎝⎭⎰⎰(2) ,t = 则235,6t t dx t dt ===原式=2211666arctan 1t dt t t C C t ⎛⎫+-=-+= ⎪+⎝⎭⎰ (3) 令1x t=, 则21dx dt t =-原式=()6566614114ln 114241424d t t dt C t t x+-=-=-++++⎰⎰(4) 令sin x a t =，cos ,cos .a t dx a tdt =原式=()222224422cos 11cot csc cot cot sin a t dt t tdt td t a t a a=⋅=-⎰⎰⎰322232231()cot 33a x t C C a a x-=-+=-+ （5）令tan ,x t = 则2sec dx tdt =原式=231sec cos sin sec tdt tdt t C C t ==++⎰⎰ (6) 令3sec ,x t = 则 3sec tan dx t tdt=原式=()2223tan tan sec 13sec tan sec cos 9sec sec sec t t t t tdt dt dt t t dtt t t -===-⎰⎰⎰⎰ln sec tan sin t t t C =+-+ln x C =+ 7. 用分部积分法计算下列不定积分（1）原式=()x x x x xxde xe e dx xe e C ------=--=--+⎰⎰(2) 原式=sin sin sin sin sin x x x x xe d x e x xde e x e xdx -----=-=+⎰⎰⎰sin cos sin (cos cos )x x x x xe x e d x e x e x xde -----=-=--⎰⎰sin cos cos x x xe x e x e xdx ---=--⎰()1sin 2xe x cosx C -=-+(3) ,t =则2dx tdt=.原式=222()2()21)t t t t t t e tdt tde te e dt te e C C ==-=-+=+⎰⎰⎰(4) 原式=arccos arccos arccos x x xd x x x -=+⎰211arccos arccos 2d x x x x x C -=-= (5) 原式=111sin 2sin 22cos 2244x xdx x xd x xd x ==-⎰⎰⎰11111cos 2cos 2cos 2sin 244442x x xdx x x x C =-+=-+⋅+⎰1cos 2sin 248x x x C =-++ (6) 原式=3323311111ln ()ln ln 33339xd x x x x dx x x x C =-=-+⎰⎰（7）原式= 2(arcsin )x x -= 2(arcsin )2arcsin x x +⎰2(arcsin )2x x x x C =+-+（8）原式=41sec 4xd x ⎰= 441sec sec 44x x xdx -⎰ = 421sec (1tan )tan 44x x x d x -+⎰ 4311sec tan tan 4412x x x x C =--+8 计算下列不定积分（1）原式=111()211dx x x -+-⎰ 1(1)(1)211d x d x x x +-⎡⎤=-⎢⎥+-⎣⎦⎰⎰ 11ln 1ln 122x x C =+--+ （2）因为23565623x x x x x +-=+-+--，所以2356x dx x x +-+⎰=56()23dx x x -+--⎰=5ln 26ln 3x x C --+-+ （3）设221(1)1x A Bx C x x x x -+=+++= 22()(1)A B x Cx Ax x ++++，比较等号两边分子上x 的同次项系数，得1,1,1A B C =-==，因此=22111(1)1x x x x x x -+=-+++，故21(1)x dx x x -+⎰=221111x dx dx dx x x x -++++⎰⎰⎰ =221(1)ln arctan 21d x x x x +-+++⎰ =21ln arctan ln(1)2x x x C -++++ （4）3223232(1)(2)x x x x x x x x ++=+--+设23(1)(2)12x A B Cx x x x x x +=++-+-+，通分，两端去分母，得223()(2)2x A B C x A B C x A +=++++-- 比较两端同次幂的系数，得32A =-，53B =，16C =-故32232x dx x x x ++-⎰=3151231dx dx x x -+-⎰⎰1162dx x --⎰ =351ln ln 1ln 2236x x x C -+--++（5）33x dx x +⎰=227(39)3x x dx x -+-+⎰=3213927ln 332x x x x C -+-++ 9. 计算下列不定积分:(1) 原式=221sec tan 2222cos 2x x xdx d C x==+⎰⎰ (2).2tx t ==原式=()(22arctan arctan td t dt C =+⎰(3)tdx tdt ==原式=111()1ln 111t dt dt C t t +-⎛⎫=-=++ ⎪++⎝⎭⎰⎰(5) 原式 = 1(1cos 2)2x x dx -⎰=21cos 242x x xdx -⎰=21sin 242x xd x -⎰= 211sin 2sin 2444x x x xdx -+⎰ 211sin 2cos 2448x x x x C =--+ （6）原式=23(1)(1)dx x x x +-+⎰= 212()11x dx x x x -++-+⎰=21213ln 121x x dx x x --+--+⎰= 2221(1)31ln 12121d x x x dx x x x x -++-+-+-+⎰⎰= 21()13ln 1ln(1)22d x x x x -+--++= 21ln 1ln(1)2x x x C +--++ 10.．（1）原式= = 2arcsin2x C -+ ( 2) 略（3）2u dx udu =原式=udu ud u u u C 2cos 2sin 2sin 2cos ==++⎰⎰=C ；(4).原式=lncos tan tan lncos tan lncos xd x x x xd x =-⎰⎰=tan ln(cos )tan x x x x C +-+；(5) 21()1x x xx e dx dx e e e -=--⎰⎰=21()1xx de e -⎰=11ln 21x x e C e -++(6)u = 原式= dx u 2121-⎰=C +； 11.()()xf x f x =∴=3222111(1)(1)()23dx x x C f x ∴==--=--+⎰⎰12. 令,x e t =则有2231()1()(1)3f t tf t t dt t t C '=+∴=+=++⎰由(0)1f =得：1C =. 31()13f x x x ∴=++13. 22ln ()[(ln )]x f x x x'== ，2ln ()()()()2ln xxf x dx xdf x xf x f x dx x dxx'∴==-=-⎰⎰⎰⎰22ln ln x x C =-+14. 1()sin ()sin cos f x x f x xdx x C '=∴==-+⎰故()f x 的原函数为112()()(cos )sin F x f x dx x C dx x C x C==-+=-++⎰⎰15．解：设所求曲线方程为()y f x =，依题意有1()f x x '=，故1()ln f x dx x C x==+⎰ 代入点3(,3)e 得0C =，所以该曲线方程ln y x =. 16.解：依题意有()xf x x e '=+，故21()()2xx f x x e dx x e C =+=++⎰，代入点(0,2) 得1C =，所以()f x =2112x x e ++ 17.解：（1）已知ds v dt =，所以有23412(4cos )sin ds d sv dt t t dt t t C dt dt===-=++⎰⎰ 当0t =时，03v =，所以13C =，即v 和t 之间的函数关系为4()sin 3v t t t =++；（2）因为542(sin 3)cos 35t s vdt t t dt t t C ==++=-++⎰⎰且当0t =时，00s =，所以21C =，即s 和t 之间的函数关系为5()cos 315t s t t t =-++；18．解：因为收入函数()R q 是边际收入函数()R q '的原函数，所以()()R q R q dq '=⎰=322(64)323q q q dq q C -=-+⎰，将(0)0R =代入得0C =，于是收入函数为 32()323q R q q =-19．解：()()c q c q dq '=⎰=11331393q q e dq e d q =⎰⎰=139q e c +因为总成本等于可变成本与固定成本之和，当产量为零时，可变成本为零，此时总成本为固定成本89，即(0)89c =.代入总成本函数的一般形式，得80c =，于是总成本函数为13()980q c q e =+自测题（满分100分测试时间100分钟）三、计算（本题共7个题，每小题6分，共48分）1 22(21x x e dx x ++⎰ 解:原式=74242arctan 1ln 27x x e x x C +-++ 2. 因为 sin ()()xf x x'=所以()()()xdf x xf x f x dx =-⎰⎰= sin sin ()()x xx dx x x''-⎰ = xx C xsin cos 2-+ 3计算53tan sec x xdx ⎰（222(sec 1)sec sec x xd x -⎰=642(sec 2sec sec )sec x x x d x -+⎰=753121sec sec sec 753x x x C -++ 4.解：设1x t =则421(1)dx x x +⎰=421t dt t -+⎰=42111t dt t -+-+⎰ =221(1)1t dt t --++⎰=31arctan 3t t t C -+-+=3111arctan 3C x x x-+-+5计算⎰解设t =有2dx tdt =,⎰=222(1)t t dt -⎰=532222(1)(1)53x x C +-++6解: sin(23)x x dx -⎰=1cos(23)2xd x --⎰ =11cos(23)cos(23)22x x x dx --+-⎰=11cos(23)sin(23)24x x x C --+-+7.略8 解：设2tan x t =则22sec dx tdt =，于是222sec 8tan sec tdt t t ⎰=21cos 4sin tdt t ⎰=14sin C t -+=4C x-+四、解：依题意有()f x '=()f x dx =，设sec x t =则=1sec tan sec tan t tdt t t ⎰=t C +=1cos arc C x+，代入点(2,0)，得3C π=-所以1()arccos3f x x π=- 五、解：()()Q P Q P dP '=⎰=11000ln 3()3P dP -⎰=11000()3PC -+将0,P =1000Q =代入上式得0C =，故求需求量Q 与价格P 的函数关系为11000()3PQ =.。