第五章定积分综合练习题

第五章定积分综合练习题
一、填空：
1、函数)(x f 在],[b a 上有界是
)(x f 在],[b a 上可积的 条件，而)
(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上可积的 条件； 2、由定积分的几何意义，则
⎰
-1
21dx x = ；
3、设
,18)(31
1
=⎰
-dx x f ,4)(3
1
=⎰-dx x f 则=⎰3
1
)(dx x f ；
4、正弦曲线
x
y sin =在
],0[π上与x
轴所围成的平面图形的面积
是 ；
5、某汽车开始刹车，其运动规律为,510)(t t v -=问从刹车开始到停车，汽车驶过的距离是 ；
6、⎰=x
tdt y 02sin ，则4
π=
'x y = ；
7、估计定积分⎰
+4
/54
/2)sin 1(ππdx x 的值的范围是： ；
8、比较下列两个积分值的大小：⎰
2
1
ln xdx ⎰2
1
2)(ln dx x ；
9、)(x f ''在],[b a 上连续，则=''⎰
b
a
dx x f x )( ；
10、无穷积分⎰
+∞
1
dx x p 收敛，则p 的取值范围是 .
二、计算下列各导数.
1、
⎰+2
211x x
dt t
dx d 2、⎪⎩
⎪⎨⎧==⎰⎰t t udu y udu
x 00sin cos ，求dx dy
. 三、计算下列各定积分.
1、
dx x x )1(2
1
+⎰
2、dx x ⎰+3
31211 3、dx x
⎰--2121211
4、
dx x ⎰
40
2
tan π 5、dx x
x x ⎰-+++0
122
41133 6、dx x ⎰π20sin 四、求极限
2
)sin(0
2lim
x tdt
x x ⎰→.
五、用换元积分法求下列定积分：
1、⎰-+1
12
)
511(1
dx x 2、⎰2
/6
/2
cos ππ
udu 3、⎰+2
1
ln 1e x
x dx
4、
⎰
-π
θθ0
3
)sin 1(d 5、⎰
-2
2
2dx x 6、⎰
+41
1x
dx
六、用分部积分法求下列定积分：
1、
⎰
e
xdx x 1
ln 2、⎰
2
/30
arcsin xdx 3、⎰-1
dt te t
七、求定积分
⎰10
dx e x
八、求定积分
⎰2
/0
cos πxdx e x
九、求定积分
⎰
π
3cos 2sin xdx x .
十、求定积分
⎰
4
/0
4tan πxdx .
十一、设
,0
,0,1)(2⎩⎨⎧≥<+=-x e x x x f x 求⎰-2
)1(dx x f .
十二证明：若函数)(x f 在],[a a -上连续，则⎰-=--a
a dx x f x f 0)]()([.
十三证明：⎰⎰+=+1
1
12211x x
t dt t
dt .
十四、判定无穷积分
⎰
+∞
1
41
dx x
的收敛性，如果收敛，计算其值.
十五、判定瑕积分⎰
-1
2
1dx x
x 的收敛性，如果收敛，计算其值.
选做题：
1、设
,10,101,1)(2⎩
⎨⎧<≤-<<-+=x e x x x f x 求⎰-=x
dt t f x F 1)()(的表达式，并讨论)(x F 的连续性、可导性.
2、计算)1
...2111(lim n
n n n n ++++++∞→. （提示：利用定积分的定义） 3、设)1(,tan )(4
≥=
⎰
n xdx n f n π
，试证：
（1）)()1(n f n f <+； （2）)2(1
1
)2()(>-=
-+n n n f n f
4、设)(x f 为连续函数，证明：
dt du u f dt t x t f x
x t
))(())((0
⎰
⎰⎰=-
5、计算定积分⎰x
dt t t 023}1,,max{
.。