考研数学第五章+定积分

定理1 若函数 f ( x) 在区间 [a,b] 上连续, 则 f ( x) 在区间 [a,b] 上可积.
定理2 若函数 f ( x) 在区间 [a,b] 上有界, 且只有有限个间断点, 则 f ( x) 在区间[a,b]
上可积.
3. 定积分的基本性质
性质1
b a
[
f
(
x)
g(
x)]dx
b a
m(b a)
b a
f
( x)dx
M (b
a).
性质7 (定积分中值定理) 如果函数 f ( x)在闭区
间[a,b]上连续,则在积分区间 (a,b) 上至少存在一
个点 , 使
b a
f ( x)dx
f ( )(b a)
(a b).
积分中值公式
4. 基本定理
定义 设函数 f ( x) 在区间[a,b]上连续, x为[a,b]
则有
b
b
a
udv
[uv]
b a
vdu.
a
定积分的分部积分公式
三、积分计算技巧
1. 利用定积分的几何意义直接得出某些定积 分的值。
2. 利用对称区间上奇偶函数的积分性质。 3. 利用周期函数的积分性质。 4. 利用几个常用积分公式。 5. 利用被积函数的分解与结合。
知识要点讲解
一、定积分的概念与基本性质、基本定理 二、定积分的计算 三、积分计算技巧 四、反常积分 五、定积分的几何应用 六、定积分的简单经济应用
一、定积分的概念与基本性质、基本定理
1.定积分的定义
定义 设函数 f ( x)在[a, b]上有界，在[a, b]中任意插入
若干个分点 a x x x x x b
5. 奇偶函数与周期函数的积分性质
定理 当 f ( x)在[a,a]上连续, 则
(1)当 f ( x)为偶函数, 有
a
a
f ( x)dx 2 f ( x)dx;
a
0
(2)当 f ( x)为奇函数, 有
a
f ( x)dx 0.
a
二、定积分的计算
1. 定积分的分项积分法与分段积分法
2. 定积分的换元积分法
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法，只要当 0时，和S 总趋于 确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f ( x)
在 区 间 [ a , b ] 上 的 定 积 分 ， 记为
积分和
积分上限
b
f ( x)dx
a
I
n
lim 0 i1
f (i )xi
积分下限
上的变量, 则
( x)
x a
f
(t
)dt
变上限定积分
定理１ 如果 f ( x)在[a,b]上连续，则积分上限的函
数( x)
x
a
f
(t )dt 在[a,b] 上具有导数，且它的导
数是( x)
dx
dx a
f (t )dt
f (x)
(a x b)
推论 如果 f (t )连续， ( x) 、 ( x) 可导，
f [( x)]( x)
定理 如果 f ( x)在[a,b]连续, 则积分上限的函数
( x)
x a
f
(t
)dt
就是 f ( x)在[a,b]上的一个原函数.
定理 若 F ( x) 是连续函数 f ( x)在区间[a,b]
上的一个原函数, 则
b
f ( x)dx F (b) F (a).
a
牛顿－莱布尼茨公式
被 积 函 数
被
积
[a,b] 积分区间
积
分
表
变
达 式
量
几点说明:
(1) 积分值仅与被积函数及积分区间有关, 而与
积分变量的字母无关, 即
b
b
b
a f ( x)dx a f (t)dt a f (u)du.
(2) 定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
(3) 当函数 f ( x) 在区间 [a,b]上的定积分存在时,
称 f ( x)在区间 [a,b]上可积.
（4）当a b 时,
b a
f
(
x)dx
0;
当a b时,
b a
f
(
x)dx
a b
f
(
x)dx.
2. 定积分的几何意义、函数的可积性
y f ( x) 0,
y f ( x) 0,
oa
bx
oa
bx
b
a
f
( x)dx
A
曲边梯形的面积
b
a
f
(
x)dx
A
曲边梯形的面积 的负值
定理 假设 f ( x) 在[a,b]上连续,函数 x (t)
满足条件:
(1)( ) a, ( ) b;
(2)(t)在[ , ]上具有连续导数, 且其值域不超
出[a,b],则有
b
f ( x)dx f [(t)]'(t)dt.
a
定理 若u( x) 、v( x) 在区间[a,b]上具有连续导数,
0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成n个小区间，各小区间的长度依次为
xi xi xi1，(i 1,2,)，在各小区间上任取
一点i （i xi ），作乘积 f (i )xi (i 1,2,)
n
并作和， S f (i )xi i 1
记 max{ x1 , x2 ,, xn }，如果不论对[a, b]
几何意义
y
A2
o A1
A3 x
它是介于x 轴、函数 f ( x) 的图形及两条 直 线 x a, x b 之 间 的 各 部 分 面 积 的 代数 和 ． 在 x 轴 上 方 的 面 积 取 正 号 ；在 x 轴 下 方 的 面 积取负号．
b
a f ( x)dx A1 A2 A3
定积分存在定理
（1）
F(x)
a
x
f
(t )dt
则F( x)
[
x
a
f
(t )dt ]
f
(x)
（2）
F(x)
(x)
a
f
(t )dt
则F

x
)
f (t)dt]
f ( ( x)) ( x)
(3)
F(x)
(x)
( x )
f
(t )dt
则F( x)的导数为
F( x)
d dx
(x)
( x )
f
(t
)dt
f ( x) ( x)
f
(
x)dx
b a
g(
x)dx.
性质2
b a
kf
(
x)dx
k
b a
f
(
x)dx
(k 为常数).
性质3 设 a c b,则
b a
f
(
x)dx
c a
f
(
x)dx
b c
f
(
x)dx.
补充: 不论 a,b,c的相对位置如何, 上式总成立.
性质4
b a
1
dx
b a
dx
b
a
性质5 如果在区间 [a,b]上 f ( x) 0, 则
b a
f
(
x)dx
0
(a b).
推论1 如果在区间[a,b]上 f ( x) g( x), 则
b a
f
(
x)dx
b a
g(
x)dx
(a b).
推论2 |
b a
f
(
x)dx
|
b a
|
f
( x) | dx
(a b).
性质6 设 M 及 m分别是函数 f ( x) 在区间[a,b]
上的最大值及最小值, 则