第五章 定积分的换元法.
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定积分换元法
sqrt{x}$。
练习二：求解微分方程
总结词
将微分方程转化为可积分的定积分形式
详细描述
通过求解微分方程的练习，学生可以学会将微分方 程转化为可积分的定积分形式，进一步利用定积分 换元法求解。
练习题目示例
求解微分方程 $y' = frac{1}{x}$，其中 $y(1) = 2$。
练习三：求解物理问题中的定积分
定积分换元法的应用场景
几何意义
定积分换元法在几何上可用于计算曲线下面积、旋转体体积等问题。通过换元，可以将不规则图形转化为规则图形， 便于计算。
物理应用
在物理问题中，定积分换元法常用于解决与速度、加速度等物理量相关的积分问题，如物体运动轨迹、力做功等问题 。通过换元，可以将物理量之间的关系转化为更易于理解的形式。
根式换元法
总结词
根式换元法是通过引入根式来简化定积分计算的一种方法。
详细描述
根式换元法通常用于处理形如$int frac{1}{sqrt{x}} dx$的积分。通过令$x = t^2$，可以将积分转化为 $int frac{1}{t} dt$，进一步简化计算。
倒代换法
总结词
倒代换法是通过引入倒数变量来简化定积分计算的一种方法。
总结词
运用定积分换元法解决物理问题
详细描述
通过求解物理问题中的定积分的练习，学生可以学会运用定积分换 元法解决实际问题，加深对物理概念和公式的理解。
练习题目示例
求地球同步卫星的高度（已知地球半径和重力加速度）。
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定积分换元法
• 引言 • 定积分换元法的基本原理 • 定积分换元法的实例 • 定积分换元法的注意事项 • 定积分换元法的应用练习
高数《定积分》章节重点--期末重点
1exdx 1ex2dx
0
0
高 3. 积分的导数
变限积分求导公式：
d ( (x) f (t)dt) f ( (x)) (x) f ((x))(x)
dx ( x)
帮
常见题型 1．计算下列各导数:
(1) d x2 1 t3 dt ;
dx 0
解： d x2 1 t3 dt 1 (x2 )3 d (x 2 ) 2x 1 x6 .
帮 （换元法）
解 令 1 e2x =u ，则 u2 1 e2x e2x 1 u2来自 x= 1 ln 1 u2 . 2
数 数 原式
3 2
ud
(
1
ln(1
u
2
))
0
2
0
3 2
u(
1 2
)
2 u 1 u2
du
3 2 0
1
u
2
u
2du
3 2 0
u
2
1
1 u2
1du
.
3
高 高
3 2
x
dx.
（凑微分）
解
原式
0
1
1 cos2
x
d
cos
x
arctan(cos
x)
0
arctan(cos ) arctan(cos 0) ( ) . 4 42
常考题型 3 1 xe2xdx. 0
（分部积分）
帮
数 解
原式 1 2
1 xde2x
0
1 2
xe2 x
1 0
1
帮
lim
x0
x sin t 2dt
0
x3
lim x0
定积分的换元法
0`
第二十一页，编辑于星期六：二十三点 五十五 分。
六、证明：
a f ( x)dx
a
[ f (x)
f ( x)]dx,
a
0
并求
4
4
1
dx sin
x
.
七、设 f ( x)在 0 , 1 上连续，
证明
2
f
( cos
x
)dx
1
2
f ( cos x )dx.
0
40
第二十二页，编辑于星期六：二十三点 五十五 分。
40
(1
1
x2
)dx
4
1
40
1 x2dx
单位圆的面积
4 .
第十三页，编辑于星期六：二十三点 五十五分。
例 7 若 f ( x)在[0,1]上连续，证明
（1） 2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx;
0
0
（2）
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
3
3
3
三、 1 ln(1 e 1 ).
六、 2.
第二十三页，编辑于星期六：二十三点 五十五 分。
0 f (sin x)dx 0 xf (sin x)dx,
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
20
0
1
x
sin x cos2
x
dx
2
0
1
sin x cos2
x
dx
2
0
1
1 cos2
x
d
(cos
x)
2
arctan(cos
定积分的换元法和分部积分法
配元不换限 4
例1 计算 a a2x2dx(a0). 0
解: 令
则 dxaco tdts,且
当 x0时 ,t0;
xa时 ,t2.y
∴
原式 = a 2
2 cos2 tdt
0
y a2x2
a2
2(1co2st)dt
20
S o ax
a2(t1sin2t)
2
定理2 设 u (x ),v (x ) C 1 [a ,b ],则
b
b
u(x)v(x)dxu(x)v(x)
a
a
abu(x)v(x)dx
证明: [ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x )
两端[在 a,b]上积分
证明:
a
f (x)dx
0
f (x)dx
a
f (x)dx
a
a
0
2019/7/22
a
a
0 f (t)dt 0 f (x)dx
令xt
a
0[f(x)f(x)]dx
a
20 f (x)dx,
f(x)f(x)时
0,
f(x)f(x)时
8
二、定积分的分部积分法
【教育类精品资料】
ห้องสมุดไป่ตู้
2019/7/22
1
第六章
第2.2节 定积分的换元法
和分部积分法
不定积分 换元积分法 分部积分法
换元积分法 定积分
分部积分法
一、定积分的换元法
二、定积分的分部积分法
2019/7/22
2
一、定积分的换元法
定积分的换元法
换元法的步骤
确定换元变量
根据定积分的被积函数和积分限，选择合适 的换元变量。
计算新定积分
将原定积分的积分变量替换为新变量，并计 算新定积分的值。
建立新变量与原变量的关系
根据选择的换元变量，建立新变量与原变量 的关系式。
还原原定积分
将新定积分的值还原为原定积分的值。
换元法的应用范围
简化计算
通过换元法，可以将复杂的定积分转化为简单 的定积分，从而简化计算过程。
解决特殊问题
对于一些特殊形式的定积分，通过换元法可以 找到更有效的求解方法。
推广定理
换元法还可以用于推广某些定积分的定理和性质。
03
定积分的换元法实例分析
三角函数换元法
总结词
通过将自变量替换为正弦或余弦函数，可以将原函数转化为易于积分的三角函数形式。
详细描述
假设被积函数为$f(x)$，选择一个角$\theta$，使得$x = \cos\theta$或$x = \sin\theta$，将原函数转化为关 于$\theta$的三角函数形式，再利用正弦或余弦函数的性质进行积分。
详细描述
假设被积函数为$f(x)$，选择一个变量$t$，使得$x = e^t$，将原函数转化为关于$t$的指数函数形式 ，再利用指数函数的性质进行积分。
04
定积分的换元法在解题中的应用
利用换元法求定积分
三角换元法
对于形如$\int \sqrt{a^2 - b^2} dx$的 定积分，可以令$x = a\cos\theta, y = b\sin\theta$进行换元，化简为$\int \sqrt{a^2 - b^2} d\theta$的定积分。
06
定积分的换元法的应用前景与发 展趋势
定积分换元法三换原则
定积分换元法三换原则嘿，大家好！今天咱们要聊聊一个看似高深，其实没那么复杂的数学概念——定积分换元法。
大家别怕，这个话题听起来挺吓人，其实它就像我们做饭时换个锅、换个火候一样，适当的调整一下，结果就会变得更好。
尤其是当我们遇到那些复杂的积分式子时，这个“换元法”简直就是一道闪亮的“灵丹妙药”，能把复杂问题变简单。
你看啊，定积分本来就是把一个函数在某个区间上的面积给计算出来，但有些时候这个函数做得太“刁钻”，让你根本看不懂它的“套路”。
这时候怎么办？就要用换元法了。
换元法，说白了，就是你在计算积分的时候，把原本复杂的函数换成一个更简单、你能看懂的函数。
就像是你去超市买菜，看见那些高高的架子上放着难找的调料，换个视角，原来在底下就有更合适的。
你只要掌握了换元的技巧，原本艰涩的积分题目，分分钟就能搞定。
换元法其实有三个小原则。
你如果记住了这三点，简直就是在数学的世界里“走路不怕累，走到哪都能赢”的节奏。
第一条原则就是“变函数”。
你想啊，原来你要计算的函数可能特别复杂，里面有各种各样的三角函数、对数函数，搞得你头大得要命。
那怎么办呢？咱们先换个“元”，把它换成你熟悉的东西。
比如把三角函数换成代数式，或者把根号函数换成平方等等。
你说，生活中的事也是一样，有时候换个角度、换个方法，问题就解决了。
第二条原则是“变积分区间”。
这个听起来可能有点儿玄乎，但其实也不难。
比如你要计算定积分的时候，区间是从A到B，但你换了个元后，可能这个区间就不再是A到B了。
你得适当调整一下，这样才能确保你的积分计算是准确的。
这就好比是你打篮球，原本的场地是半场，但你换了个战术后，得重新跑到全场去，不然怎么得分呢？这个变区间，实际上也是数学里的一种“适应性”，要做的就是灵活应对。
最后一个原则，就是“变微分”。
你看，定积分换元法的精髓之一就在于微积分的微妙转换。
换元时，我们不仅要调整原函数，还要注意到微分项的变化。
简单来说，微分是衡量函数变化快慢的工具，而当你换元后，微分项的形式可能会发生改变，所以你得小心点，得把这些“细节”都搞清楚。
5.3 定积分的换元法和分部积分法
( 2 ) න (sin )d
= − න (π − )(sin(π − ))d
则 d = −d
0
0
π
= න (π − )(sin )d
0
π
π
= π න (sin )d − න (sin )d
0
π
0
π
= π න (sin )d − න (sin )d ,
0
+ න () d
0
= න [(−) + ()] d
0
2 න () d , (−) = (),
=
0
0,
− = − .
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 偶倍奇零
第三节 定积分的换元法和分部积分法
定积分
第五章
1
2 2 + cos
例6 计算 න
0
解
1
d.
( > 0)
π
令 = sin , d = cos d, = ⇒ = , = 0 ⇒ = 0.
2
π
2
cos
d
原式 = න
2
2
0 sin + (1 − sin )
=න
π
2
0
cos
1
d = න
sin + cos
1
=
6
6
1
อ
第三节 定积分的换元法和分部积分法
0
cos 5 sin d
= − න cos 5 d(cos )
= 0 ⇒ = 1.
原式 = − න
π
2
1
= .
= − න (π − )(sin(π − ))d
则 d = −d
0
0
π
= න (π − )(sin )d
0
π
π
= π න (sin )d − න (sin )d
0
π
0
π
= π න (sin )d − න (sin )d ,
0
+ න () d
0
= න [(−) + ()] d
0
2 න () d , (−) = (),
=
0
0,
− = − .
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 偶倍奇零
第三节 定积分的换元法和分部积分法
定积分
第五章
1
2 2 + cos
例6 计算 න
0
解
1
d.
( > 0)
π
令 = sin , d = cos d, = ⇒ = , = 0 ⇒ = 0.
2
π
2
cos
d
原式 = න
2
2
0 sin + (1 − sin )
=න
π
2
0
cos
1
d = න
sin + cos
1
=
6
6
1
อ
第三节 定积分的换元法和分部积分法
0
cos 5 sin d
= − න cos 5 d(cos )
= 0 ⇒ = 1.
原式 = − න
π
2
1
= .
定积分换元法
t x x
x
x
t
x
f (t )( x − t )dt.
t
证明 :
∫0 [∫0 f (u)du]dt = t ⋅ ∫0 f (u)du 0 − ∫0 t ⋅d[∫0 f (u)du]
=x
x
t
∫0 f (u )du − ∫0 tf (t )dt x x = x ∫ f (t )dt − ∫ tf (t )dt 0 0
7 5 3 1 π 35 = 4⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = π. 8 6 4 2 2 64
例 周期函数的积分性质 6．求下列定积分： 若 30 π f ( x )是以 T为周期的周期函数 , 则
f( （2） 10(1) sin nx dx x ) dx = π
n
∫
n
∫a ∫
a +T
∫0 f ( x)dx;
1
∫
1
∫
1 3 − x4 1 1 2 1 1 − x4 =− x f ′( x)dx = − x e dx = e d (− x 4 ) 0 2 0 4 0
∫
∫
∫
1 − x 4 1 1 −1 = e = (e − 1). 0 4 4
例 14.设f ( x)连续, 证明 :
∫0 [∫0 f (u )du ]dt = ∫0
f ( − x ) g ( x) dx
a
∴∫
=
a −a
f ( x) g ( x)dx = ∫ f (− x) g ( x)dx + ∫ f ( x) g ( x)dx
0 0
a
∫ 0 [ f ( x) + f (− x)]g ( x)dx =∫ 0 Ag ( x)dx =A∫ 0 g ( x)dx.
x
x
t
x
f (t )( x − t )dt.
t
证明 :
∫0 [∫0 f (u)du]dt = t ⋅ ∫0 f (u)du 0 − ∫0 t ⋅d[∫0 f (u)du]
=x
x
t
∫0 f (u )du − ∫0 tf (t )dt x x = x ∫ f (t )dt − ∫ tf (t )dt 0 0
7 5 3 1 π 35 = 4⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = π. 8 6 4 2 2 64
例 周期函数的积分性质 6．求下列定积分： 若 30 π f ( x )是以 T为周期的周期函数 , 则
f( （2） 10(1) sin nx dx x ) dx = π
n
∫
n
∫a ∫
a +T
∫0 f ( x)dx;
1
∫
1
∫
1 3 − x4 1 1 2 1 1 − x4 =− x f ′( x)dx = − x e dx = e d (− x 4 ) 0 2 0 4 0
∫
∫
∫
1 − x 4 1 1 −1 = e = (e − 1). 0 4 4
例 14.设f ( x)连续, 证明 :
∫0 [∫0 f (u )du ]dt = ∫0
f ( − x ) g ( x) dx
a
∴∫
=
a −a
f ( x) g ( x)dx = ∫ f (− x) g ( x)dx + ∫ f ( x) g ( x)dx
0 0
a
∫ 0 [ f ( x) + f (− x)]g ( x)dx =∫ 0 Ag ( x)dx =A∫ 0 g ( x)dx.