微积分李建平第五章+不定积分
第五章不定积分
第一节不定积分的概念与性质
一、原函数
在微分学中，导数是作为函数的变化率引进的，例如，已知变速直线运动物体的路程函数s=s(t),则物体在时刻t的瞬时速度v(t)=s′(t)，它的反问题是：已知物体在时刻t的瞬时速度v=v(t)，求路程函数s(t),也就是说，已知一个函数的导数，要求原来的函数．这就引出了原函数的概念．
定义1 设f(x)是定义在区间I上的已知函数，如果存在函数F(x)，使对任意x∈I都有
F′(x)=f(x),或d F(x)=f(x)d x，（5－1－1）则称F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数．
例如在(1，+∞)内
,
［ln(x）］′
(1，+∞)内的一个原函数．显然，ln(x）+2，
故ln(x
ln(x）
的原函数．一般地，对任意常数C，ln(x）+C
由此可知，当一个函数具有原函数时，它的原函数不止一个．
关于原函数，我们首先要问：一个函数具备什么条件，能保证它的原函数一定存在?这个问题将在下一章中讨论，这里先介绍一个结论．
定理1(原函数存在性定理) 如果函数f(x)在区间I上连续，则在区间I上存在可导函数F(x)，使对任意x∈I，都有
F′（x)=f(x)．
这个结论告诉我们连续函数一定有原函数．
我们已经知道：一个函数如果存在原函数，那么原函数不止一个，这些原函数之间的关系有如下定理：
定理2 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则在区间I上f(x)的所有原函数都可以表示成形如F(x)+C(C为任意常数)的形式．
定理需要证明两个结论：
(1) F(x)+C是f(x)的原函数；
(2) f(x)的任一原函数都可以表示成F(x)+C的形式．
证 (1) 已知F (x )是f (x )的一个原函数，故F ′(x )=f (x )． 又［F (x )+C ］′=F ′(x )=f (x ),所以F (x )+C 是f (x )的一个原函数．
(2) 设G (x )是f (x )的任意一个原函数，即G ′（x ）=f (x ),则有
［G （x )-F (x )］′=G ′(x )-F ′(x )=f (x )-f (x )=0．
由拉格朗日中值定理的推论1知，导数恒等于零的函数是常数，故
G （x )-F (x )=C ,
即 G （x )=F (x )+C ．
由定理2知，只要找到f (x )的一个原函数F (x )，就能写出f (x )的原函数的一般表达形式F (x )+C (C 为任意常数)，即f (x )的全体原函数．
二、 不定积分
定义2 设F (x )是f (x )的一个原函数，则f (x )的全体原函数F (x )+C (C 为任意常数)称为f (x )的不定积分，记作
()f x ?d x ，即
()f x ?d x =F (x )+C ， （5－1－2）
其中，∫称为积分号，f (x )称为被积函数，f (x )d x 称为被积表达式，x 称为积分变量，C 称为积分常数．
例1 求x ?
d x ．
解 由于(
212x ）′=x ，故21
2
x 是x 在(-∞,+∞)内的一个原函数， 因此 x ?d x =2
12
x ＋C ．
例2 求1
x
?d x ．
解 由于(ln x )′=1x ,故ln x 是1
x
在(-∞，0)∪(0,+∞)内的一个原函数，因此
1
x ?d x =ln x ＋C ．
例3 设曲线通过点(1，2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程．
解 设所求的曲线方程为y =f (x )，按题设，曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为
d d y
x
＝２x ， 即f (x )是2x 的一个原函数．因为
2x ?
d x =2x ＋C ， 从而y =2
x ＋C ．因所求曲线通过点(1，2)，故 2=1+C , C =1． 于是所求曲线方程为 y =2
x ＋１．
函数f (x )的原函数的图形称为f (x )的积分曲线．本例即是求函数2x 的通过点(1，2)的
那条积分曲线．显然，这条积分曲线可以由另一条积分曲线(例如y =2
x ）经y 轴方向平移而得(见图5-1)．
图5-1
三、 不定积分的性质
从不定积分的定义，即可知其下述性质： 由于
()f x ?d x 是f (x )的原函数，所以有
(1)
d
d x
［()f x ?d x ］=f (x ), 或 d ［
()f x ?d x ］=f (x )d x ； 又由于F (x )是F ′(x )的原函数，所以有 (2) '()F x ?
d x =F (x )＋C ,
或记作 d ?
F (x )＝F (x )＋C ．
由此可见，微分运算(以记号d 表示)与求不定积分的运算(简称积分运算，以记号?表 示)是互逆的．当记号∫与d 连在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数． (3)
[]()()f x g x αβ+?d x =α()f x ?d x ＋β()g x ?d x ，其中α，β为任意常数．
此性质可以简单地说成：和的积分等于积分的和；常数因子可以从积分符号中提出来，这是一个积分常用的性质。
性质（3）可以推广到任意有限个函数的情形．
四、 基本积分表
既然积分运算是微分运算的逆运算，那么很自然地可以从导数公式得到相应的积分公式．
例如，因为α≠-1时，1()'1x αα++=x α，所以11
x αα++是x α
的一个原函数，于是x α
?d x =
1
11
x αα++ +C (α≠-1)． 类似地可以得到其他积分公式．下面我们把一些基本的积分公式列成一个表，这个表通
常叫做基本积分表． (1) k ?
d x =kx +C (k 为常数)， (2) x α?
d x =
1
11
x αα+++C (α为常数且α≠-1)， (3)
1
x ?d x =ln ︱x ︱+C ,
(4) x a ?d x =1ln x
a a
+C ,
(5) e x ?
d x =
e x
+C ,
(6) cos ?d x =sin x +C , (7) sin x ?
d x =-cos x +C ,
(8) 2sec x ?
d x =
2d cos x
x ?=tan x +C , (9) 2csc x ?d x =2
d sin x
x
?=-cot x +C , (10) sec tan x x ?d x =sec x +C , (11) csc cot x x ?
d x =-csc x +C ,
(12)
?
=arcsin x +C ，
(13)
2d 1x
x +?=arctan x +C ．
以上13个基本积分公式及前面的不定积分性质是求不定积分的基础，读者应该熟记．
例4 求313()x x x +
?d x ．
解 313
()x x x
+-?d x
=x ?d x +1
x
?d x -12x ?d x +33x -?d x
=22x ＋ln x -2332x -232x -+C ． 例5 求42
1x x
+?d x ． 解 421x x +?d x =42111x x -++? d x =2
21(1)1x x -++? d x =313
x －x +arctan x +C ．
例6 求2tan x ?
d x ．
解 2tan x ?d x =2(sec 1)x -?d x =2sec x ?d x -dx ?
=tan x -x +C ．
例7 求2
sin
2x
? d x ．
解 2sin 2x ?d x =12?（１-cos x )d x =12∫(1-cos x )d x =12
(x -sin x )+C ．
应该注意，由于两个原函数之间可以相差一个常数，因此，积分结果在形式上可能不一
样，此时可通过求导来验证结果，比如，
arcsin .x C =+
另一方面，由于
(arccos )x '=，所以，
arcsin .x C =-+ 这两个结果都正确。造成积分结果形式不同的原因是arcsin arccos .2
x x π
+=
习题 5-1
1． 求下列不定积分：
(1)
2
5)x -d x ; (2) 2
x ; (3) 3e x x ?d x ； (4) 2
cos
2
x
?
d x ； (5) 23523x x x ?-??d x ； (6) 22cos 2d cos sin x x x x
?． 2． 解答下列各题：
(1) 一平面曲线经过点(1，0)，且曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程； (2) 设sin x 为f (x )的一个原函数，求
'()f x ?d x ；
(3) 已知f (x )的导数是sin x ，求f (x )的一个原函数； (4) 某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000(即P =0时，Q =1000),已知需求量的变化率(边际需求)为Q ′（P ）=-10001
()3
P
ln 3,求需求量与价格的函数关系．
第二节 换元积分法
直接利用基本积分表和积分的性质所能计算的不定积分是非常有限的．因此，有必要进一步研究不定积分的方法．本节把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用变量代换得到复合函数的积分法，称为换元积分法，简称换元法，换元法通常分为两类，分别称为第一类换元法和第二类换元法．
一、 第一类换元法
我们知道，如果F (u )是f (u )的原函数，则
()f u ?d u ＝F (u )+C ,
而如果u 又是另一变量x 的函数u =? (x ),且? (x )可微，那么根据复合函数的微分法，有
［F （? (x )）］′＝f （? (x )）?′(x )． 再由不定积分的定义，得
f ?（? (x )）?′(x )d x ＝F （? (x )）＋C ＝()
()u x f u du ?=??
??
?．
于是有下述定理：
定理1 设f (u )具有原函数，u =? (x )可导，则有换元公式
f ?（? (x )）?′(x )d x ＝()
()u x f u du ?=??
??
?． (５-２-1)
由此可见，如果被积函数具有f (? (x )) ?′(x )的形式，那么可令u =? (x )，代入后
有
f ?（? (x )）?′(x )d x ＝()
()u x f u du ?=??
??
?．
这样，上式左端的积分便转化成了函数f (u )的积分，如果能求得f (u )的原函数，再将u =? (x )
代回，就可得到左端的积分F (? (x ))+C ．
例1 求2cos 2x ?
d x .
解 被积函数中，cos 2x 是cos u 与u =2x 的复合函数，常数因子2恰好是中间变量u =2x 的导数，因此作变量代换u =2x ,便有
2cos 2x ?d x =cos 2x ?·２d x =cos 2x ?·（２x )′d x ＝cos ?u d u ＝sin u +C ． 再以u =2x 代入，即得2?
cos 2x d x =sin 2x +C .
例2 求1
d 25x x +?. 解 125x +可看成1u
与u =2x +5的复合函数，被积函数中虽没有u ′=2这个因子，但我们可
以凑出这个因子：125x +=12·125x +·２=12·1
25
x +·(2x +5)′，
从而令u =2x +5,便有
125x +? d x =12?·125x + (2x +5)d x ＝12125x +?d(2x +5)＝1
2
1
u ?d u
=12ln u +C ＝1
2
ln 25x + +C ． 一般地，对于积分
f ? (ax +b )d x ，总可以作变量代换u =ax +b ，把它化为
()d f ax b x +?
＝1a ?f (ax +b )d(ax +b )＝1
a
()()u x f u du ?=?????． 以后，我们还常常用到下列微分公式，读者应熟悉。 设,k C 为常数，则
d d()d();k x kx kx C ==+ 2211
d d()d()22
x x x x == ；
231
d d();3x x x x =
1d=d(ln );x x x = sin d d(cos ); cos d d(sin );x x x x x x =-= 2sec d d(tan ).x x x =
例3 求tan ?
x d x ． 解 tan ?
x d x =
sin cos x x ?d x ＝1cos x -? (cos x )′d x ＝1
cos x -?d(cos x ) cos u x =令 -1
u
?d u =-ln u +C =-ln cos x +C ． 类似地可得cot ?
x d x =ln sin x +C ．
例4 求x ?
x ．
解
x ?
d x =-
1
2
2
)'x -d x ＝-
1
2
1
22
(1)x -?
d(1-2x ）2
1u x =-令-
1
2
12
u ?d u =3213u -+C =-13 3
2
2(1)x -+C ．
在对变量代换比较熟练以后，就不一定写出中间变量u ，只需做到“心中有数”即可．
例5 求221
a x +?d x ． 解 221a x +?d x =21
a ?·211()x a +d x =1a 211()
x a
+?d （x a ）=1a arctan x a +C ． 例6
求
d x (a ＞0)．
解
x
=
=
d()
x =arcsin x a +C ． 例7 求3sin ?
x d x ．
解 3sin ?x d x ＝2
(1cos )x -?
sin x d x =-2
(1cos )x -?
d(cos x )
=- d ? (cos x )+ 2cos ?
x d(cos x )
=-cos x +
1
3
3cos x +C ． 例8 求2sin ?
x d x ．
解 2sin ?
x d x =
1cos 22x -? d x =1d 2?x -1cos 24x ? d(2x )= 12x -1
4
sin 2x +C ． 类似地可得
2
cos ? x d x ＝12x +14
sin 2x +C ． 例9 求
221
a x -?d x (0a >)．
解
22
1
a x -?d x =1()()a x a x +-?d x =
111
()d 2x a a x a x
++-?=1()()2d a x d a x a a x a x +-??-??+-???? =
1
ln ln 2a x a x a ?+--??
? +C =1ln 2a x a a x +- +C ． 例10 求sec x ?
d x ． 解 sec x ?
d x =
1cos x ?d x =2cos cos x x ?d x =21
1sin x -?d(sin x )
=
11sin ln 21sin x
x
+-＋C （由例9) =
211sin ln()2cos x x
+＋C =ln sec tan x x +＋C ．
类似地可得
csc x ?d x =ln csc cot x x -＋C ．
例11 求cos3x ?
cos 2x d x ．
解 利用三角函数的积化和差公式有
cos3x ?cos 2x d x =12? (cos x +cos 5x )d x =12
cos x ?d x +
1
10
cos5x ?d(5x ) =12sin x +110
sin 5x +C ．
例12 求
x ．
解
?
x =
23
?＝
23
C ． 例13 求53tan sec x x ?
d x
解 53tan sec x x ?d x =42tan sec x x ?sec x tan x d x =222(sec 1)sec d(sec )x x x -?
=642(sec 2sec sec )dsec x x x x -+?
=
753121
sec sec sec 753
x x x -++C ． 二、 第二类换元法
上面介绍的第一类换元法是通过变量代换u =? (x )，将积分f ? (? (x )) ?′(x )d x
化为积分f ? (u )d u ．下面将介绍的第二类换元法是：适当地选择变量代换x =? (t )，将积
分
f ? (x )d x 化为积分f ? (? (t )) ?′(t )d t ，这是另一种形式的变量代换，换元公式可
表示为
f ? (x )d x =f ? (? (t )) ?′(t )d t ．
上述公式的成立是需要一定条件的，首先等式右边的不定积分要存在，即f （?(t )）?' (t )有原函数；其次，f ?
（? (t )）?′(t )d t 求出后必须用x =? (t )的反函数t =1
?- (t )代回去，为了保证反函数存在而且是可导的，我们假定直接函数x =? (t )在t 的某个区间(这区
间和所考虑的x 的区间相对应)上是严格单调的、可导的，并且?′(t )≠0．
归纳上述，我们有下面的定理．
定理2设x =? (t )是单调的、可导的函数，并且?′(t )≠0，又设f (? (t )) ?′(t )具有原函数，则有换元公式
f ? (x )d x ＝1()(())'()d t x f t t t ???-=??
??
?． （５-２-２）
证 设f (? (t )) ?′(t )的原函数为Φ(t )，记Φ(1
?-（x ）)=F (x ),利用复合函数的求导法则及反函数的导数公式可得
F ′(x )=
d d d d d d d d Φx Φx
t t t t ?==f (? (t )) ?′(t )·1'()
t ?=f (? (t ))=f (x )． 即F (x )是f (x )的原函数，所以有
f ?
(x )d x =F （x ）+C =Φ(1?-（x ）)+C =1()
(())'()t x f t t dt ???-=????
?．
这就证明了公式(5-2-2)．
下面举例说明公式(5-2-2)的应用．
例14 求?
x .
解 遇到根式中是一次多项式时，可先通过适当的换元将被积函数有理化，然后再积分． 令313x -=t ,即x =13
(1-3t ），则d x =-2t d t ． 因而
3
13x x -?d x =-133(1)t -?t 3d t =-13(47
47t t -)＋C =731(13)21x --431(13)12x -+C ．
例15
1e
x
+?
d x ．
解 令1e x +=u ，则x =ln （2
u －１），d x =
2
21
u
u -d u ．于是 1x e +?
＝２211du u -?=ln 11u u -++C =ln 1e 1
1e 1
x x +-+++C ． 例16 求
22a x -?
d x (a ＞0)．
解 由于根号内是二次式，因此，若如例14一样，令22a x t -=，将不能去掉根号。注意到22sin cos 1t t +=，故令x =a sin t ，t ∈（-
2π,2
π
),则它是t 的单调可微函数，且d x =a cos t d t ， 22a x -＝a cos t ,因而
22a x -?
d x ＝a ? cos t ·a cos t d t =22cos a t ? d t =2
a 1cos 22t +? d t
=2
a (11
24
t +sin 2t )+C =22sin cos 22a a t t t ++C =2arcsin 2a x a +2212x a x -＋C ． 其中最后一个等式是由x =a sin t ，22a x -=a cos t 得到的（见图5-2）．
图5-2
例17 求
2
2
a x
+d x （a ＞0)．
解 令x =a tan t ,t ∈(-
2π,2
π)，则d x =a 2
sec t d t 22x a +a sec t ,因而 22
a x +?
x =
2
1sec sec a t a t
?? d t =sec ?t d t =ln sec tan t t ++1C
=ln
22x a x
a a
+++1C =ln 22x a x +++C ，
其中C =1C －ln a ．（见图5-3）
例18 求
2
2
d x x a
-?
（a ＞0)．
解 令x =a sec t ,t ∈(0,
π
2
)，可求得被积函数在(a ,+∞)上的不定积分，这时d x =a sec t tan t d t , 22x a -=a tan t ,故
22
dx x a -?
=1
tan a t
?
·a sec t tan t d t =sec t ?d t 1ln |sec tan |t t C =++ =ln 22x x a a a
-++1C =ln 22x x a +-+C ，
图5-4
其中C =1C -ln a ,（见图5-4）.至于x ∈(-∞,-a ),可令x =a sec t （
π
2
＜t ＜π)，类似地可得到相同形式的结果．
以上3例所作变换均利用了三角恒等式，称之为三角代换，目的是将被积函数中的无理22a x -x =a sin t 或x =a cos t 22x a +x =a tan t ;22x a -x =a sec t ．
下面通过例子来介绍一种在不定积分计算中很有用的代换——倒代换x =1
t
,利用它常可消去在被积函数f (x )的分母中的变量因子x μ
．
例19 求
2
1
x
x -．
解 令x =1t
,则d x =-21
t
d t ， 于是
2
1
x
x -＝－
2
1t t
t
-d t ．
当x ＞0时，有
=-
d t =-arcsin t +C =-arcsin
1
x
+C ； 当x ＜0时，有
?=
t =arcsin t +C =arcsin
1
x
+C ． 综合起来，则有
=-1
arcsin
x
+C ．
a ,
b ,
c ,
d 为实数)时，我们常作代换
t
例20 求
dx
x
．
解 令t 则x =2211t t -+,d x =-22
4(1)t
t +d t ,从而
dx x =2211t t t +?-?224(1)t t -?+d t ＝-2224(1)(1)t t t +-?d t ＝2222()11t t
-+-?d t ＝2211(
)111t t t
--++-?
d t ＝２arctan t -ln 1t +＋ln 1t -+C
＝２arctan t ＋ln
11t t -++C ＝２+C ．
在本节的例题中，有几个积分是以后经常会遇到的．所以它们通常也被当做公式使用．
(其中常数a ＞0)：
(14) tan x ?
d x =-ln cos x +C , (15) cot x ?d x =ln sin x ＋C ， (16) sec x ?
d x =ln |sec x +tan x |+C , (17) csc x ?
d x =ln |csc x -cot x |+C , (18)
22d 1arctan x x
C a x a a
=++?,
(19)
22d 1ln ||2x x a
C x a a x a -=+-+?,
(20)
arcsin
x
C a
=+?,
(21)
ln(x C =+?
,
(22)
ln x C =++?
．
例21 求
2d 23x
x x ++?．
解
2d 1),23x x x x =+++?
利用公式(18)，便得
2d .23x C x x =+++? 例22
求
解
12==
利用公式(21)，便得
1
ln(2.2
x C =
+ 例23
求
解
1d()
x -= 利用公式(20)，便得
.C =+ 习题 5-2
1．在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立： (1) d x = d(ax +b )(a ≠0)； (2) d x = d(7x -3)； (3) x d x = d(52
x )； (4) x d x = d(1-2
x )；
(5) 3
x d x = d(34
x -2); (6) 2e x
d x = d(2
e x
)； (7) 2e
x -d x = d(1+2
e
x -
); (8)
d x
x = d(5ln ｜x ｜);
= d(1-arcsin x = d
;
(11)
2d 19x x += d(arctan 3x ); (12) 2
d 12x
x += d(x );
(13) (32x -2)d x = d(2x -3
x )； (14) cos （23x -1）d x = d sin （23
x -1）．
２.求下列不定积分：
(1) 5e d t t ?; (2) 3(32)x -?
d x ;
(3)
d
12x
x -?; (4) ?
(5)
t
; (6) d ln ln ln x x x x ?; (7) 102tan sec d x x x ?; (8) 2
e
d x x x -?
;
(9)
d
sin cos x x x ?; (10) tan ?(11)
d
e e x x
x
-+?; (12) x ?; (13) 34
3d 1x x x -?; (14) 3sin d cos x x x ?; (15)
x ?
; (16) 3
2d 9x x x +?; (17)
2d 21
x
x -?; (18) d (1)(2)x x x +-?; (19 2cos ()d t t ω?+?); (20) 2
cos ()sin()d t t t ω?ω?++?
;
(21) sin2cos3d x x x ?; (22) cos cos
d 2
x
x x ?
; (23) sin5sin 7d x x x ?; (24) 3tan sec d x x x ?
;
(25)
x ; (26) ;
(27)
ln tan d cos sin x
x x x
?; (28) 21ln d (ln )x x x x +?; (29)
2
,0x a >; (30)
(31)
x
?
; (32) ;
(33)
?; (34)
,0x a >; 第三节 分部积分法
前面我们在复合函数求导法则的基础上，得到了换元积分法．现在我们利用两个函数乘积的求导法则，来推得另一个求积分的基本方法----分部积分法．
设函数u =u (x )及v =v (x )具有连续导数．那末，两个函数乘积的导数公式为
(uv )′=u ′v +uv ′,
移项，得 uv ′=(uv )′-u ′v ． 对这个等式两边求不定积分，得
?
uv ′d x = uv -
?
u ′v d x ． （５-３-１）
公式（５-３-１）称为分部积分公式.如果求
?uv ′d x 有困难,而求
?
u ′v d x 比较容易时,
分部积分公式就可以发挥作用了.
为简便起见,也可把公式（５-３-１）写成下面的形式:
?
u d v = uv -?
v d u ． （５-３-2）
现在通过例子说明如何运用这个重要公式.
例1 求cos d x x x ?
．
解 设u =x ,cos sin dv xdx d x == ,则
cos d x x x ?=dsin x x ? =x sin x -sin d x x ?
=x sin x +cos x +C ．
如果考虑到cos d x x x ?
=21cos d(
)2x x ?，而设u =cos x ,d v =d(2
12x )，则 cos d x x x ?=2
1cos d()2x x ? =212x cos x +1
2
2sin d x x x ?. 上式右端的积分比原积分更不容易求出．
由此可见，如果u 和d v 选取不当就求不出结果，所以应用分部积分法时，恰当选取u 和d v 是关键，一般以
?
v d u 比
?
u d v 易求出为准则．
例2 求2sin d x x x ?
．
解 类似例1，有
2
22sin d cos (cos 2cos )x
x x x d x x x x xdx =-=--???
22cos 2sin cos 2(sin sin )x x xd x x x x x xdx =-+=-+-?? 2cos 2sin 2cos .x x x x x C =-+++
由例1、例2可看出，对形如sin d n x x x ?，cos d n x x x ?
的积分，均可利用分部积分公式，
经 n 次分部积分求出，其中n 为正整数。
例3 求e d x x x ?
．
解 e d x x x ? =de x x ?
=e x
x -e d x x ?
=x e x -e x +C ．
此处若取u =e x
,v =
2
12
x ，则 e d x
x x ?=21e d()2x x ?=2211e d(e )22x x x x -? =2211e e d 22
x x
x x x -?. 显然此时求右端积分2e d x x x ?比求左端积分e d x x x ?
更困难．
一般，形如d n x x e x ?
的积分均可经 n 次分部积分求出，其中n 为正整数。
例4 求ln .x xdx ? 解 222111ln ln (ln )22x xdx xdx x x x dx x ==-???g 2211
ln .24
x x x C =
-+ 一般，形如ln d n n x x x ?
的积分均可经 n 次分部积分求出，其中n 为正整数， 1.α≠-当
1α=-时，可用凑微分法求得。
例5 求sin d .arc x x ?
解 2
1sin d arcsin arcsin (1)2arc x x x x x x x =-
=+
-?
arcsin .x x C =
一般，形如arcsin d ,arccos d ,arctan d ,arccot d n n n n x x x x x x x x x x x x ????
的积分可考
虑用分部积分求解。
例6 求e cos d x x x ?
．
解 e cos d x x x ? =cos d(e )x x ?
=e cos x
x -e d(cos )x x ?
=e cos x
x + e sin d x x x ?
=e cos x
x +sin d(e )x x ?
=e cos x x +e sin x
x -e d(sin )x x ?
=e cos x x +e sin x
x -e cos d x x x ?
.
2e cos d x x x ?
=1e (cos sin )x
x x C ++．
因为上式右端已不包含不定积分项，所以必须加上任意常数1C ，因而
e cos d x
x x ?=
12
e (cos sin )x
x x C ++． 其中11
2
C C =
． 例7 求3sec d x x ?
．
解 3
sec d x x ?
=2
sec sec d x x x ?
=sec d(tan )x x ?
=sec tan x x -2
sec tan d x x x ?
=sec tan x x -2sec (sec 1)d x x x -?
=sec tan x x -3
sec d x x ?
+sec d x x ?
=sec tan x x +ln |sec tan |x x + -3
sec d x x ?
．
所以
3
sec d x x ?=11sec tan ln |sec tan |22
x x x x C +++. 从上面的例题可以看出，不定积分的计算是具有较强的技巧性的．对求不定积分的几种
方法我们要认真理解，并能灵活地应用．下面再看一例．
例8
求
x x ．
解 令t
则2
ln(3)x t =+，2
2d d 3
t
x t t =+, 于是
x
x =2
22
242ln(3)d 2ln(3)d 3t t t t t t t +=+-+?? =2
2ln(3)t t +
-4t C ++
=2(x C -
习题 5-3
求下列不定积分：
(1) sin d x x x ?; (2) e d x x x -?
;
(3) arcsin d x x ?
; (4) e cos d x x x -?
;
(5) 2e
sin d 2
x
x
x -?
; (6) 2tan d x x x ?;
(7) 2e d t t t -?; (8)2(arcsin )d x x ?
;
(9) 2e sin d x x x ?
; (10) x ?
;
(11)cos(ln )d x x ?; (12)2
(1)sin 2d x x x -?
; (13)ln(1)d x x x -?
; (14)22
cos
d 2
x
x x ?
; (15)32ln d x
x x
?; (16)sin cos d x x x x ?;
第四节 几种特殊类型函数的积分
一、 有理函数的积分
设P m (x )和Q n (x )分别是m 次和n 次实系数多项式，则形如
()
()
m n P x Q x (5-4-1) 的函数称为有理函数.当m 由代数学的有关理论知道：任何一个假分式都可以分解成一个整式（即多项式）与一个真分式之和.多项式的积分容易求得，所以为了求有理函数的不定积分，只需研究真分式的积分即可. 以下四个真分式称为最简真分式（其中A 、B 为常数）： (1) A x a - (a 为常数)； (2) ()k A x a - (k ＞1为整数，a 为常数)； (3) 2Ax B x px q +++ (p ，q 为常数，且p ２ -4q <0); (4) 2() k Ax B x px q +++ (p ，q 为常数，且p ２ -4q < 0,k >1为整数). 显然(1)式与(2)式的积分很容易求出；(3)与(4)式形式的积分将分别以例1、例2为例来说明． 例1 求 22 d 23x x x x -++?． 解 由于2 23x x ++为二次质因式，所以被积函数为最简真分式，于是 2 221(23)32 2d d 2323 x x x x x x x x x '++--=++++?? 2 2211d d(23)3223(1)2 x x x x x x = ++-++++?? 22 13d ln(23)1221x x x x = ++-++? 22 1ln(23)21x x =+++ 21ln(23)2x x C = +++． 注 本例中积分 2d (1)2x x ++?也可以直接利用本章第二节中的积分公式（18）式求得． 例2 求 22+1 d (1)x x x +?． 解 2222222+11d(1)d d (1)2(1)(1) x x x x x x x +=++++??? 22 11 arctan 2(1) 2(1)2 x x C x x =- + ++++． 注 其中 22d (1)x x +?可由三角代换x =tan t 或分部积分求得． 一般地，对任何一个有理函数(5-4-1)都可以通过以下程序求出它的原函数： (1) 如果式(5-4-1)是假分式，则将其表示成一个整式与一个真分式之和，然而分别求其原函数． (2) 如果式(5-4-1)已经是一个真分式，则可以将其分解成若干个最简分式之和，分别求原函数． (3) 将上述过程中分别求出的原函数相加，就得到有理函数(5-4-1)的原函数． 以下通过例题说明将真分式分解成若干最简分式之和的方法，此方法称为待定系数法。 例3 试将分式2256(1)(23) x x x x x ++-++分解为部分最简分式之和． 解 设 222 56(1)(23)123 x x A Bx C x x x x x x +++=+-++-++． 两边去分母并合并同类项得 2256()(2)(3)x x A B x A B C x A C ++=++-++-． 比较x 同次幂的系数，得方程组 1,25,3 6.A B A B C A C +=?? -+=??-=? 解之得A =2,B =-1,C =0，故 222 562(1)(23)123 x x x x x x x x x ++=--++-++． 习题5.1 1.（1） sin x x ；3sin x （2）无穷多 ；常数（3）所有原函数（4）平行 2. 23x ；6x 3.（1）3223 x C --+（2）323sin 3x x e x C +-+（3）3132221(1565(2))15x x x x C -++-+ （4 2103)x x C -++ （5）4cos 3ln x x C -++（6）3 23 x x ex C +-+ （7） sin 22 x x C -+（8 ）5cos x x C --+ 4. 3113y x =+ 5. 32()0.0000020.0034100C x x x x =-++；(500)1600;(400)(200)552C C C =-= 习题5.2 1.（1）1a （2）17（3）110（4）12-（5）112（6）12（7）2-（8）15（9）-（10）12 - 2. （1）515t e C + （2）41(32)8x C --+（3）1ln 122x C --+（4）231(23)2 x C --+ （5 ）C -（6）ln ln ln x C +（7）111tan 11x C +（8）212 x e C --+ （9）ln cos ln sin x x C -++（10 ）ln C -+（11）3sec sec 3 x x C -++ （12 ）C （13）43ln 14x C --+（14）2sec 2 x C + （15 12arcsin 23x C + （16）229ln(9)22 x x C -++ （17 C （18）ln 2ln 133 x x C -+-+ （19）2()sin(2())4t t C ?ω?ωω++++ （20）3cos ()3t C ?ωω +-+ （21）cos 1cos5210x x C -+ （22）13sin sin 232x x C ++（23）11sin 2sin12424 x x C -+ 习题5.3 1.（1）arcsin ,,u x dv dx v x === （2）,sin ,cos u x dv xdx v x ===- 第五章 习题5-1 1.求下列不定积分： (1) 2 5)x -d x ; (2) 2 x ; (3) 3e x x ?d x ； (4) 2cos 2 x ?d x ； (5) 23523x x x ?-??d x ； (6) 22cos 2d cos sin x x x x ?. 解 5 15173 2 2222 22210 (1) 5)(5)573d d d d x x x x x x x x x x C -=-=-=-+??? 2. 解答下列各题： (1) 一平面曲线经过点(1，0)，且曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程； (2) 设sin x 为f (x )的一个原函数，求 ()f x '?d x ； (3) 已知f (x )的导数是sin x ，求f (x )的一个原函数； (4) 某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000(即P=0时，Q =1000),已知需求量的变化率(边际需求)为Q ′(P )=-10001( )3 P ln3,求需求量与价格的函数关系. 解 (1)设所求曲线方程为y =f (x ),由题设有f′(x )=2x -2, 又曲线过点(1,0),故f (1)=0代入上式有1-2+C =0得C =1,所以,所求曲线方程为 2()21f x x x =-+. (2)由题意有(sin )()x f x '=,即()cos f x x =, 故 ()sin f x x '=-, 所以 ()sin sin cos d d d f x x x x x x x C '=-=-=+???. (3)由题意有()sin f x x '=,则1()sin cos d f x x x x C ==-+? 于是 1 2 ()(cos )sin d d f x x x C x x C x C =-+=-++??. 其中12,C C 为任意常数,取120C C ==,得()f x 的一个原函数为sin x -. 注意 此题答案不唯一.如若取121,0C C ==得()f x 的一个原函数为sin x x --. (4)由1()1000( )ln 33 P Q P '=-得 将P =0时,Q =1000代入上式得C =0 第五章数值微积分 一、内容分析与教学建议 本意内容是数值微积分。数值微分包括：用插值多项式求数值微分、用三次样条函数求数值微分和用Richardson外推法求数值微分。数值积分包括：常见的Newton-Cotes求积公式，如：梯形公式、Simpson公式和Cotes公式；复化求积公式；Romberg求积公式和Gauss型求积公式等内容。 (一)数值微分 1、利用Taylor展开式建立数值微分公式，实际上是利用导数的离散化，即用差商近似代替导数，在由Taylor公式的余项估计误差；由于当步长h很小时，回出现两个非常接近的数相减，因此，在实际运用中往往采用事后估计的方法来估计误差。 2、用插值多项式求数值微分，主要是求插值节点处的导数的近似值。借助第二章的Lagrange插值公式及其余项公式，确定插值节点处的导数的近似值及其误差。常用的有三点公式和五点公式。 3、阐明用三次样条函数s(x)求数值微分的优点：由第三章的三次样条函数s(x)的性质知：只要f(x)的4阶导数连续，则当步长h 0时，s(x)收敛到f (x) , s(x)收敛到f (x) , s (x) 收敛到f (x).因此，用三次样条函数s(x)求数值微分，效果是很好的。指出其缺点是：需要解方程组，当h很小时，计算量较大。 4、讲解用Richardson外推法求数值微分时，首先阐明方法的理论基础是导数的离散化，即用差商近似代替导数；然后重点讲解外推法的思想和推导过程，因为这种方法和思路在后面的数值积分和微分方程数值解中还要用到。 （二）数值积分的一般概念 1、由定积分的几何意义引入数值积分的思想，介绍求积公式、求积节点、求积系数、余项等基本概念。 2、重点介绍代数精度以及如何求一个判定积公式的代数精度，并举例说明。 3、介绍插值型求积公式以及插值型求积公式的代数精度的特点。 （三）等距节点的求积公式 1、简单介绍一般的等距节点的插值型求积公式--- Newton-Cotes公式以及Cotes系数。 2、重点介绍几种常用的Newton-Cotes公式：梯形公式、Simpson公式和Cotes公式。要求学生掌握上述三种求积公式的表达式，并了解三种求积公式各自的余项。 3、以Simpson公式为例，求出它的代数精度是3;并要求学生课后自己求出梯形公式和Cotes公式的代数精度。 （四）复化求积公式 1、结合分段插值的思想阐明复化求积公式的思想。 2、重点介绍复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Cotes公式以及它们各自的余项，并举一、两个例子加以说明。 3、简介事后估计和自适应Simpson方法。 （五）Romberg求积法 1、Romberg求积法是一种逐步分半加速法，它是以复化梯形公式为基础构造高精度求 第五章 一元函数积分学 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写 出cos t a == 邻边斜边，于是21arcsin(/)22a x a C =+ 例3：求不定积分sin x xdx ? 分析：如果被积函数()sin f x x x =中没有x 或sinx ，那么这个积分很容易计算出来，所以可以考虑用分部积分求此不定积分，如果令u=x ，那么利用分部积分公式就可以消去x （因为' 1u =） 解令,sin u x dv xdx ==，则du dx =，cos v x =-. 于是sin (cos )(cos )cos sin x xdx udv uv vdu x x x dx x x x C ==-=---=-++???? 。熟悉分部积分公式以后，没有必要明确的引入符号,u v ，而可以像下面那样先凑微分，然后直接用分部积分公式计算： sin cos (cos cos )cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C =-=--=-++??? 第五章 数值微积分 一、内容分析与教学建议 本章内容是数值微积分。数值微分包括：用插值多项式求数值微分、用三次样条函数求数值微分和用Richardson 外推法求数值微分。数值积分包括：常见的Newton-Cotes 求积公式，如：梯形公式、Simpson 公式和Cotes 公式；复化求积公式；Romberg 求积公式和Gauss 型求积公式等内容。 （一） 数值微分 1、利用Taylor 展开式建立数值微分公式，实际上是利用导数的离散化，即用差商近似代替导数，在由Taylor 公式的余项估计误差；由于当步长h 很小时，回出现两个非常接近的数相减，因此，在实际运用中往往采用事后估计的方法来估计误差。 2、用插值多项式求数值微分，主要是求插值节点处的导数的近似值。借助第二章的Lagrange 插值公式及其余项公式，确定插值节点处的导数的近似值及其误差。常用的有三点公式和五点公式。 3、阐明用三次样条函数()s x 求数值微分的优点：由第三章的三次样条函数()s x 的性质知：只要()f x 的4阶导数连续，则当步长0h →时，()s x 收敛到()f x ，()s x '收敛到()f x '，()s x ''收敛到()f x ''. 因此，用三次样条函数()s x 求数值微分，效果是很好的。指出其缺点是：需要解方程组，当h 很小时，计算量较大。 4、讲解用Richardson 外推法求数值微分时，首先阐明方法的理论基础是导数的离散化，即用差商近似代替导数；然后重点讲解外推法的思想和推导过程，因为这种方法和思路在后面的数值积分和微分方程数值解中还要用到。 （二）数值积分的一般概念 1、由定积分的几何意义引入数值积分的思想，介绍求积公式、求积节点、求积系数、余项等基本概念。 2、重点介绍代数精度以及如何求一个判定积公式的代数精度，并举例说明。 3、介绍插值型求积公式以及插值型求积公式的代数精度的特点。 （三）等距节点的求积公式 1、简单介绍一般的等距节点的插值型求积公式——Newton-Cotes公式以及Cotes系数。 2、重点介绍几种常用的Newton-Cotes公式：梯形公式、Simpson公式和Cotes公式。要求学生掌握上述三种求积公式的表达式，并了解三种求积公式各自的余项。 3、以Simpson公式为例，求出它的代数精度是3；并要求学生课后自己求出梯形公式和Cotes公式的代数精度。 （四）复化求积公式 1、结合分段插值的思想阐明复化求积公式的思想。 2、重点介绍复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Cotes公式以及它们各自的余项，并举一、两个例子加以说明。 3、简介事后估计和自适应Simpson方法。 （五）R omberg求积法 第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积 (1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. 第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i Λ=?=?=∑=→λξλ y =f (x ) x =a x =b y =f (x ) a=x 0 x 1 x i-1 x i x n =b 抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<=Λ10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i ΛΛ=?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量 注: (1) ∑ =?n i i i x f 1 )(ξ与区间的分割法x i 和取点法 i 有关; 而 ? b a dx x f )(与x i 和 i 无 关. (2) ? b a dx x f )(与a 、b 、f 有关，与x 无关，即： [][]???? ===b a b a b a b a d f du u f dt t f dx x f )()()()( 2．定积分存在定理 定理 若)(x f 在[a , b ]上有界且只有有限个间断点，则)(x f 在[a , b ]上可积. 推论 若)(x f 在[a , b ]上连续，则)(x f 在[a , b ]上可积. 例1. 求 ?1 xdx 第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+1 31 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+1 1 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2 ） (1n S n =++ ++ 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4） 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而1112 n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质 知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5） ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+ ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6） 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7） 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8） (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：（1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且 其和为1+ 12=3 2 . （2） 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++?? 微积分（经管类）第五章答案 5.1 定积分的概念与性质 一、1、∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ； 2、被积函数,积分区间,积分变量； 3、介于曲线)(x f y =,x 轴,直线b x a x ==,之间各部分面积的代数和； 4、? b a dx ； 5、 ?? +b c c a dx x f dx x f )()(； 6、b a a b M dx x f a b m b a <-≤≤-? ,)()()(； 7、 ? b a dx x f )( ?-=a b dx x f )(； 8、)(ξf 与a b -为邻边的矩形面积；二、略. 三、 ? -231 cos xdx . 四、略。 五、(1)+； (2)-； (3)+. 六、(1)<; (2)<. 七、略。 5.2. 微积分基本定理 一、1、0； 2、)()(a f x f -； 3、 )1ln(23 +x x ； 4、 6 5 ； 5、(1)ππ,； (2)0,0； 6、(1)0； (2)0。 7、;6 1 45 8、 6 π ； 9、1. 二、1、 1 sin cos -x x ；2、)sin cos()cos (sin 2 x x x π?-； 3、2-. 三、 1、852； 2、3 π； 3、14+π ； 4、4. 四、1、0； 2、10 1 . 五、略。 六、 3 35π , 0. 七、???? ???>≤≤-<=π πφx x x x x ,10,)cos 1(210,0)(. 5.3. 定积分的换元积分法与分部积分法 一、1、0； 2、34-π； 3、2π； 4、32 3 π； 5、0. 6、e 21- ； 7、)1(412+e ； 8、2 3 ln 21)9341(+-π. 二、1、 41； 2、3 322-； 3、1-2ln 2； 4、34； 5、22； 6、 8 π；7、417；8、2ln 21 ； 9、1-e . 10、211cos 1sin +-e e ； 11、)11(2e -； 12、21 2ln -； 13、 2ln 3 3 -π； 14、22+π；15、3ln 24-；16、2+)2ln 3(ln 21-。 三、 )1ln(1 -+e . 六、2. 八、8. 5.5 反常积分 一、1、1,1≤>p p ；2、1,1≥ 第五章 定积分 【考试要求】 1．理解定积分的概念和几何意义，了解可积的条件． 2．掌握定积分的基本性质． 3．理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握变上限定积分求导数的方法． 4．掌握牛顿——莱布尼茨公式． 5．掌握定积分的换元积分法与分部积分法． 6．理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法． 7．掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积． 【考试内容】 一、定积分的相关概念 1．定积分的定义 设函数 ()f x 在[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<=， 把区间[,]a b 分成n 个小区间01[,]x x ，12[,]x x ，，1[,]n n x x -， 各个小区间的长度依次为1 10x x x ?=-，221x x x ?=-，，1n n n x x x -?=-．在 每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ （1i i i x x ξ-≤≤） ，作函数值()i f ξ与小区间长度i x ?的乘积()i i f x ξ? （1,2, ,i n =），并作出和1 ()n i i i S f x ξ==?∑． 记 12max{,,,}n x x x λ=???，如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间 1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么称这个极 限I 为函数 ()f x 在区间[,]a b 上的定积分（简称积分），记作 ()b a f x dx ?，即 1 ()lim ()n b i i a i f x dx I f x λξ→===?∑? ， 其中 ()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限， b 叫做积分上限，[,]a b 叫做积分区间． 说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，也就是说 ()()()b b b a a a f x dx f t dt f u du ==? ??． 2．定积分存在的充分条件（可积的条件） （1）设 ()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积． （2）设 ()f x 在区间[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在区间[,]a b 上可积． 说明：由以上两个充分条件可知，函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上 一定可积；若 ()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在区间[,]a b 上不一定连续，故函数() f x 在区间[,]a b 上连续是 ()f x 在[,]a b 上可积的充分非必要条件． 3．定积分的几何意义 在区间[,]a b 上函数 ()0f x ≥时，定积分()b a f x dx ?在几何上表示由曲线 ()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积． 在区间[,]a b 上 ()0f x ≤时，由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴 所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，定积分()b a f x dx ? 在几何上表示上述曲边梯形面积的 负值． 在区间[,]a b 上 ()f x 既取得正值又取得负值时，函数()f x 的图形某些部分在x 轴 的上方，而其他部分在x 轴的下方，此时定积分 ()b a f x dx ? 表示x 轴上方图形的面积减去 x 轴下方面积所得之差． 二、定积分的性质 第五章练习参考答案 5.1-5.2 三、提示：先用描点作图法画出星形的图像 0 3 3 2 2 4 2 2 46 20 2 2 2 44sin (cos ) 43sin cos 12(sin sin )31531312( )42 64228 a A ydx a td a t a t tdt a t t dt a a ππ πππ===-=-???=- =??????? 5.3-5.4 一、求两个半径为R 的正交圆柱体公共部分的体积（如图：为所求立体的八分之一图像） . 解: 上图为所求立体的八分之一图像,先求它的体积. 可见在x 轴上取任意点x ,[]0,x R ∈,过点x 垂直于x 轴的截面均为正方形 其中，阴影部分为在任意点x 则( )2 22 A x R x ==- ()0 R V A x dx = ? ()2 2 R R x dx = -? 2 313R R x x o ??=- ???323R = 所以 两个半径为R 的正交圆柱体公共部分的体积为3 1683 V R = 将上题中的R 换成a ,就可以得到第一题的解答过程. 这道题还可以用二重积分来解. 三. 所给图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为 ?=a x dx y V ππ202?-?-=π π2022)c o s 1()c o s 1(dt t a t a ?-+-=ππ20323)c o s c o s 3c o s 31(dt t t t a =5π 2a 3. 所给图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差. 设曲线左半边为x =x 1(y )、右半边为x =x 2(y ). 则 ??-=a a y dy y x dy y x V 20 2 12022)()(ππ ???--?-=π ππππ022222s i n )s i n (s i n )s i n (t d t a t t a t d t a t t a ?--=π π20 23s i n )s i n (t d t t t a =6π 3a 3 . 第四、五章综合测试题参考答案 一、5、 ()( ) ( ) [][]0 2 2 00(cos cos sin sin )cos cos sin sin sin cos cos cos sin sin sin sin cos cos 1cos x x x x x x x f x t x t x dt x tdt x tdt x tdt x x tdt x x t x t x ' =+' =+=-+++=-+-+=????? 三、 sin [] 2,2, cos 1.sin cos 1 (sin cos )(cos sin ) 2 sin cos x t t dt t t t t t t dt t t ππ =∈- = +++-=+???( )11 1 11sin cos ln sin cos 22sin cos 2 2 11arcsin ln 2 2t d t t t t t C t t x x C =+ +=+ +++= ++ +? x y 五、2此题中的旋转轴不是轴,也不是轴,因此不能用教材上旋转体体积的计算公式计算,但能用已知截面面积立体体积的计算方法: 先画出题中曲边三角边的图象，在区间11,2?? ????上任取一点x ，过点x 作与x 轴 （或直线 1 y =）垂直的的平面，得截面面积为： ( )( ( () 2 2 111212 A x dx x dx ππππ=- - =-+= ??11 220 所求旋转体体积:V= 第五章 定积分 一、填空题 1. [)_____)2(1)(0)(30 2 =+=∞+?f x dt t f x f x ，则上连续，且， 在设 [) 02. ()0()(1cos ) , ()_____2 x f x f t dt x x f π +∞=+=?在，上连续，且则 3. 4 1 =dx ? -4. 31d =x x +?0 1 1 5. =-? 6. 1?= 7. []_____)()(=-? -a a dx x f a a x f 上连续的奇函数，则，为设 8. []______)()(=-? -a a dx x f a a x f 上连续的偶函数，则，为设 9. ? =-210 2 _______1x xdx 10. ? =+-1 0 ______11dx x x 11. ________a -=? 12. _______cos 0 2=? π xdx 13. ________sin 1 2 2=-? dx x π π 14. []_________) (1) (31)(3 1 2=+''?dx x f x f x f 上连续，则， 在设 15. __________11 2 =-? x dx 16. _________2cos 40 5=?dx x π 17. ? =20 4_________sin π xdx 18. ___________321 =?? dx x x 二、选择题 []{}[]1 11110 1 1.1()lim ()()lim ()()lim ()() ()lim ()(max 12)n n n n i i n i i i i i n i n i i i i i i i b a i b a i A f b a B f b a n n n n C f x x x D f x x i n x x λξξξλξ→∞→∞==-→∞ =-→=---?? ??--?????? ?? ?∈?=?=∈∑∑∑∑L 定积分所表示的和式极限是（ ） ． ．． ，． ，，，， [][]2.()()() ()() ()f x a b f x a b A B C D 函数在闭区间，上连续是在，上可积的（） ．必要条件 ．充分条件 ．充分必要条件．既非充分也非必要条件 [][]3.()()()()d ()()d ()()()()()d ()2 b b a a b a a b y f x x a x b a b x S A f x x B f x x f b f a b a C f x x D ===<=+-???由，上连续曲线，直线，和轴围成图形面积（ ） ． ． ． ． 2 1110 4.()()d 0 ()3()3()3()3x x x f x f x x e x A e B e C e D e ---≥?==?=+=+-? 设连续，，且，则 ． ．． 数值微积分 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 第五章 数值微积分 一、内容分析与教学建议 本章内容是数值微积分。数值微分包括：用插值多项式求数值微分、用三次样条函数求数值微分和用Richardson 外推法求数值微分。数值积分包括：常见的Newton-Cotes 求积公式，如：梯形公式、Simpson 公式和Cotes 公式；复化求积公式；Romberg 求积公式和Gauss 型求积公式等内容。 （一） 数值微分 1、利用Taylor 展开式建立数值微分公式，实际上是利用导数的离散化，即用差商近似代替导数，在由Taylor 公式的余项估计误差；由于当步长h 很小时，回出现两个非常接近的数相减，因此，在实际运用中往往采用事后估计的方法来估计误差。 2、用插值多项式求数值微分，主要是求插值节点处的导数的近似值。借助第二章的Lagrange 插值公式及其余项公式，确定插值节点处的导数的近似值及其误差。常用的有三点公式和五点公式。 3、阐明用三次样条函数()s x 求数值微分的优点：由第三章的三次样条函数()s x 的性质知：只要()f x 的4阶导数连续，则当步长0h →时，()s x 收敛到()f x ，()s x '收敛到 ()f x '，()s x ''收敛到()f x ''. 因此，用三次样条函数()s x 求数值微分，效果是很好的。指出 其缺点是：需要解方程组，当h 很小时，计算量较大。 4、讲解用Richardson 外推法求数值微分时，首先阐明方法的理论基础是导数的离散化，即用差商近似代替导数；然后重点讲解外推法的思想和推导过程，因为这种方法和思路在后面的数值积分和微分方程数值解中还要用到。 （二） 数值积分的一般概念 1、由定积分的几何意义引入数值积分的思想，介绍求积公式、求积节点、求积系数、余项等基本概念。 第一章 函数极限与连续 一、填空题 1、已知x x f cos 1)2 (sin +=，则=)(cos x f 。 ２、=-+→∞) 1()34(lim 22 x x x x 。 3、0→x 时,x x sin tan -是x 的 阶无穷小。 4、01sin lim 0=→x x k x 成立的k 为 。 5、=-∞→x e x x arctan lim 。 6、???≤+>+=0 ,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续,则=b 。 7、=+→x x x 6)13ln(lim 0 。 8、设)(x f 的定义域是]1,0[,则)(ln x f 的定义域是_＿_______＿。 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为____＿_＿__。 10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→x x a x a x 。 11、已知当0→x 时,1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。 12、函数x x x f +=13arcsin )(的定义域是＿＿_＿_＿_＿__。 13 、lim ____________x →+∞=。 14、设8)2(lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ＿_______。 1５、)2)(1(lim n n n n n -++++∞ →=＿_________＿_。 二、选择题 1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数,)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。 (Ａ）)()(x g x f +;（B ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。 2、x x x +-=11)(α,31)(x x -=β，则当1→x 时有 。 (A)α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； (C ）α与β是同阶无穷小; (Ｄ）βα~。 3、函数?? ???=-≥≠-+-+=0)1(0,1111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续,则=k 。 （Ａ)23; （Ｂ)3 2； （Ｃ)1； (D)0。 ４、数列极限=--∞ →]ln )1[ln(lim n n n n 。 (A ）1; （B ）1-； (C ）∞; （Ｄ）不存在但非∞。 5、???????>=<+=01cos 00 0sin )(x x x x x x x x x f ，则0=x 是)(x f 的 。 习题 略 习题— （A ） 一 计算下列定积分 1．?20 3cos sin π xdx x 解：原式23 4 20 11cos cos cos 44xd x x π π =-=-=? 2．?-a dx x a x 0 222 解：令t a x sin =，则tdt a dx cos = 当0=x 时0=t ，当a x =时2 π= t 原式???=20 22cos cos sin π tdt a t a t a ()??-== 20 4 20 2 4 4cos 18 2sin 4 π π dt t a tdt a 420 4 4 164sin 41828a t a a π ππ =-= 3．? +3 1 2 2 1x x dx 解：令θtg x =，则θθd dx 2sec = 当1=x ，3时θ分别为 4π，3 π 原式θθθθ π πd tg ?=34 22 sec sec ()?-=34 2 sin sin π πθθd 33 2 2- = 4．? --11 45x xdx 解：令u x =-45，则2 4145u x -= ，udu dx 2 1-= 当1-=x ，1时，1,3=u 原式() 6 1 5811 32=-=?du u 5．? +4 1 1 x dx 解：令t x =，tdt dx 2= 当1=x 时，1=t ；当4=x 时，2=t 原式????? ?+-=+=??? 212 121 1212t dt dt t tdt ()[] 3 2 ln 221ln 22 12 1+=+-=t t 6．?--1 4 3 1 1x dx 解：令u x =-1，则21u x -=，udu dx 2-= 当1,43= x 时0,2 1=u 原式2ln 2111 121221 00 21-=-+-=--=??du u u du u u 7．? +2 1 ln 1e x x dx 解：原式()? ?++=+=221 1 ln 1ln 11ln ln 11e e x d x x d x 232ln 1221 -=+=e x 8．? -++0 222 2x x dx 解：原式() ()? --+=++=02 22 111x arctg x dx 网易 新闻微博邮箱闪电邮相册有道手机邮印像派梦幻人生 更多 博客 博客首页博客话题热点专题博客油菜地找朋友博客圈子博客风格手机博客短信写博邮件写博博客复制 摄影 摄影展区每日专题 窗体顶端 搜博客 窗体底端 随便看看 关注此博客 选风格不再艰难 搬家送Lomo卡片 退出( 0) xingshi3.. 使用此风格 消息 短消息：0评论：0评论回复：0留言：0通知：0 我的博客 首页日志相册心情收藏音乐关于我 博客设置博客装扮 个人中心 鸿星尔克大师赛开始倒计时，iPad、iPod nano等你来终结，赶快行动吧！显示下一条 | 关闭 北风之子-红色尖兵 导航 首页 日志 相册 音乐 收藏 博友 关于我 日志 massiach 加博友已关注<取消 最新日志 可疑邮件的特征与处置 Fire and Ice The River of Life A Red ,Red Rose 07中国军事要闻（由CLJ友情 影响正常曝光的十大因素 博主推荐 相关日志 随机阅读 7大细节破译男人是否来电？ Selina剃头俞灏明植皮偶像明星也难做收租婆的忧伤谁人知？ 应对极端寒冷天气小贴士 破解《黎明之前》口碑形成之谜 小远广播之孤独的战争（第95期） 首页推荐 请亚运为死难者默哀 日本鬼子被宅男美化 日本严惩火灾责任人 老外稀奇古怪的三轮 婚姻法欺负了女人？ '青春美少女'变裸女 更多>> MATLAB入门教程第四章数值计算功能（2） Matlab入门教程第五章符号数学基础（2） Matlab入门教程第五章符号数学基础（1） 软件2007-06-17 20:56:47 阅读264 评论0 字号：大中小订阅 第五章符号数学基础 Chapter 5:Foundation of Symbolic Mathematics 一．符号对象的创建(Creating a symbolic object) 1. 创建符号变量和表达式(Creating a symbolic variable and expression) 创建符号变量和表达式的两个基本函数：sym, syms *x=sy m(‘x’) 创建一个符号变量x，可以是字符、字符串、表达式或字符表达式。 *syms用于方便地一次创建多个符号变量，调用格式为：syms a b c d . 书写简洁意义清楚，建议使用。 例1：使用sym函数创建符号变量. a=sym(‘a’) b=sym( ‘hello’) c=sym(( ‘(1+sqrt(5))/2’) y=sym( ‘x^3+5*x^2+12*x+20’) a = a b = hello C = (1+sqrt(5))/2 Y = x^3+5*x^2+12*x+20 例2：用syms函数创建符号变量。 syms a b c d 2. 创建符号矩阵(Symbolic matrix Creating) 例1：创建一个循环矩阵。 syms a b c d n=[a b c d;b c d a;c d a b;d a b c] n = [ a, b, c, d] [ b, c, d, a] [ c, d, a, b] [ d, a, b, c] 例2：将3阶Hilbert矩阵转换为符号矩阵。 h=hilb(3) h1=sym(h) 《微积分》(中国商业出版社 经管类)课后习题答案 习题五 （A ） 1．求函数)(x f ，使)3)(2()(x x x f --='，且0)1(=f . 解：6x 5x )(f 2++-='x C x x x x f +++-=?625 31)(23 623 0625310)1(=?=+++-?=C C f 6 23 62531)(23+++-=x x x x f 2．一曲线)(x f y =过点（0，2），且其上任意点的斜率为x x e 32 1+，求)(x f . 解：x e x x f 32 1)(+= C e x x f x ++= ?341)(2 1232)0(-=?=+?=C C f 134 1)(2 -+= ?x e x x f 3．已知)(x f 的一个原函数为2 e x ，求? 'x x f d )(. 解：2 2 2)()(x x xe e x f ='= ? +=+='C xe C x f dx x f x 2 2)()( 4．一质点作直线运动，如果已知其速度为t t dt dx sin 32-=，初始位移为20=s ，求s 和t 的函数关系. 解：t t t S sin 3)(2-= C t t t S ++=?cos )(3 1212)0(=?=+?=C C S 1cos )(3++=?t t t S 5．设[]2 11)(ln x x f +='，求)(x f . 解：[]12 arctan )(ln 11)(ln C x x f x x f +=?+= ' )0()(arctan arctan 1>==?+C Ce e x f x C x 6．求函数)(x f ，使5e 1111 )(22 +--+ +='x x x x f 且0)0(=f . 解：C x e x x x f e x x x f x x ++-++=?--++= +521 arcsin 1ln )(1111)(252 2 1002100)0(=?=++- +=C C f 2 1 521arcsin 1ln )(2++- ++=?x e x x x f x 7．求下列函数的不定积分 （1） ?-x x x x d 2 （2） ? -) 1(t a dt （3）? m n x x d （4） ?+-x x x d 1 1 2 2 （5） ?++x x x d 1 1 2 4 （6） ? ++x x x x d cos sin 2sin 1 （7）?+x x x x d cos sin 2cos （8）? ++x x x d 2cos 1cos 12 （9） ? x x x x d cos sin 2cos 2 2 （10）x x x d sin 2cos 22? ?? ? ??+ （11）?-x x x x d cos sin 1 2cos 22 （12） ?+-x x x d 1e 1 e 2 （13） ? ?-?x x x x d 85382 （14） x x x x d 10521 1?-+- （15）? -x x x -x x d ) e (e （16）? ++x x x x d )31)(2e (微积分第五章第六章习题答案
微积分二课后题答案,复旦大学出版社第五章
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微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第九章习题详解
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k k ； 4、发散， 1； 5、过点x 平行于y 轴的直 线左边,曲线)(x f y =和x 轴所围图形的面积 . 二、1、 1 2 -p p ； 2、π； 3、!n ； 4、发散；
专升本高等数学 第五章定积分及其应用
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